初中数学二次函数压轴题的经典做法
中学数学二次函数压轴题解题技巧
中学数学二次函数压轴题解题技巧二次函数是中学数学中重要的概念之一。
在解题过程中，掌握一些解题技巧能够帮助我们更轻松地解决二次函数的压轴题。
以下是一些解题技巧的总结：1. 定义二次函数首先，我们需要清楚二次函数的定义和一般形式。
二次函数的一般形式是：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$，其中a、b、c为常数，且$a \neq 0$。
了解二次函数的定义和形式，有助于我们在解题过程中准确理解题目和相关知识。
2. 寻找顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点被称为顶点。
寻找顶点是解题过程中的关键步骤之一。
顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$。
通过计算这两个值，我们能够确定抛物线的位置和形状。
3. 判断开口方向通过观察二次函数的二次项系数a的正负，我们可以判断抛物线的开口方向。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
这一点在解题中很重要，因为它影响到抛物线与坐标轴的交点和极值。
4. 求解零点解题时，我们通常需要求二次函数的零点，即$f(x) = 0$的解。
求解零点的方法有两种：因式分解和配方法。
对于简单的二次函数问题，我们可以利用因式分解直接求解零点；对于复杂的问题，可以使用配方法。
5. 判断函数值的变化通过计算二次函数的值$f(x)$，我们可以判断函数在不同区间内的变化趋势。
当a大于0时，二次函数在顶点处取得最小值，且随着x增大或减小，函数值逐渐变大；当a小于0时，二次函数在顶点处取得最大值，且随着x增大或减小，函数值逐渐变小。
6. 利用对称性二次函数具有对称性，即关于顶点对称。
这一点在解题中经常用到。
通过利用对称性，我们可以快速求得函数的某些值，或者根据已知的函数值推导出其他函数值。
7. 注意特殊情况解题过程中，我们应该注意特殊情况的处理。
例如，当a等于零时，二次函数变为一次函数；当顶点坐标为整数时，我们可以在图像上快速标出顶点和其他点。
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结二次函数压轴题当中，同学们会遇到各种各样的解答问题，那么最常见的那些，今天就带同学们一块总结一下，方便大家记忆解题方法。
我们只说一下方法，过程就不再详细说了，在以前的题目中都有过程。
1.首先是最简单的一种问题，给定两个固定点，然后在对称轴或者抛物线上找一点，使得该点和两个固定点组成的两个线段之和最小，即线段和最小值问题，遇到该种问题，一般直接找某个固定点关于某直线的对称点，然后寻找三点共线时的动点；2.线段和基础上延续而来的三角形或四边形周长最小值问题，同样会出现固定的点，那么就会有固定的边长，所以只需要找到另外的边长之和最小，同样使用找对称点的方法；3.垂直于x轴的一条直线，被抛物线和直线截取的两端线段之间的关系，如最大差值，或者相等、2倍关系。
最大差值问题需要找到该垂线与抛物线和直线的两个交点的纵坐标，利用纵坐标表示的线段来进行线段差的计算，将会得到另一种二次函数，那么进行配方变顶点式，得到差值的最大值；而线段倍数关系则相对更简单，只需要表示出两线段的长度，利用倍数关系建立方程即可；（注意纵坐标的正负未知，所以表示出的线段加上绝对值符号，如此就能避免遗漏一些情况）4.动点和两固定点组成的三角形面积最大值问题，该问题一般会在一段局限的图像上找一点，和其他两个固定点组成三角形，求三角形面积最大，只需要对固定点所在的直线进行平移，使平移后的直线与抛物线只要一个交点，利用判别式=0求出平移距离，从而解出交点坐标；如果要求三角形面积，一般利用面积分割法进行计算，如果有一边在轴上就会更简单；5.四边形面积最大值问题：和三角形面积类似，一般会有三个已定的点，那么就有一个固定的三角形，所以只需要动点和其中相邻的两个定点组成的三角形面积最大即可，同样使用直线平移法求出点的坐标即可；而面积同样利用面积分割法求取；6.直角三角形的存在性：一个动点和两个定点的情况，可以直接利用勾股定理求出动点的坐标；如果是两个动点，一个定点，则可利用直线垂直法，注意利用三角函数去推；同时还要注意情况讨论，三个角可能有不同情况的直角；7.等腰三角形的存在性：和直角三角形类似，包含情况讨论，如果是两个定点和一个动点，那么利用线段长相等解得动点坐标即可；如果是两个动点和一个定点，利用底边中线和底边垂直的性质，使用直线垂直法解得；8.平行四边形存在性：平行四边形对边相等，这本就是一个有利条件，所以一般利用平行且相等的两个线段来寻找；如果是菱形，只需要在平行四边形基础上加上临边相等或者对角线垂直来求解；9.正方形的存在性：一般来说正方形就比较特殊了，所以相对的有利条件也比较多，所以求解会更容易些；10.整数坐标点的存在性：该问题并不是很常见，一般在较难的压轴题中才会出现，在一个范围内寻找符合条件的动点，但前提是坐标需要是整数，所以需要找到横纵坐标的范围，在范围内去求解；11.由动点形成的整数面积问题：例如一个动点和两个定点组成的三角形面积，要求面积为整数，需要先利用平移法找到最大面积的值，然后在范围内寻找面积取整时的动点位置或者个数有多少，需要注意的是只有最大面积时的动点是一个，若无限定条件，其他整数面积时的动点则会同时出现两个，所以同学们不要忽略了；12.全等、相似三角形问题：二次函数中的全等、相似问题有时候简单有时候较难，所以要看运气如何，如果给定了对应点则还好点，如果题中只是说让两个三角形全等或相似，并未给出△∽/≌△这种形式，那么就要考虑多种情况存在了，尤其是在相似问题中，情况讨论较多，所以寻找角是很重要的，但一般又不会出现度数，所以这个时候同学们千万不要忘记三角函数；13.特殊点的存在性：类似什么共谐点、好点，遇到这类问题，一般会直接让写出答案，所以同学们在草纸上可以利用各种技巧性方法进行计算，类似一些高中的可用知识“直线垂直”“点到直线的距离”“两直线的夹角”等，没事可以先看看这些知识点的用法，反正上了高中都要学，所以不如先提前看一下，在遇到直接写答案的题目时如果用上了绝对是优势；14.至于其他的，老师一下子也想不起来，常见的就是上面这十几个种类，如果大家需要分享其他类型可以在留言中给出，方便其他人能够看到。
一道《二次函数》压轴题的解法大全(图片版)(几乎涵盖所有常见代数和几何的常见思想方法)
一道《二次函数》压轴题的解法大全
（几乎涵盖代数和几何的所有常规思路）
分析：直角三角形的存在性问题一般分两类题型考察，单动点型（较简单），双动点型（难度较大）。
解决方案一般有3种，第一种：代数法盲解（分别表示出三边，根据勾股定理分类列方程求解）；第二种，几何画图求解（单动点构造“两线一圆”）即过2定点构造两条垂线和以2定点长度为直径构造圆，（双动点，抓定点定线与定角）。
第三种，数形结合求解。
本题虽然只有P点一个动点，看起来题目很简单，仔细一想就会发现P点的轨迹是圆，初中阶段学生未接触过圆方程，难以表示出P点坐标，进而写出三边长度来运用勾股定理列方程。
代数法盲解是否无法进行呢？我们在观察发现虽然我们不能用单个未知量表示P点坐标，但可将P点用2个未知量表述，列方程组求解。
因代数法盲解较复杂，本题仅提供其中一种分类解答：。
初三二次函数压轴题知识点 解题方法
初三二次函数压轴题知识点解题方法二次函数压轴题是初中数学中重要的一类问题，涉及到了二次函数的定义、性质、图像、判别式等知识点，同时也需要灵活运用代数运算和图像分析的方法进行解题。
本文将介绍二次函数压轴题的一般解题方法，并分析其中涉及的主要知识点。
一、压轴题的一般形式及定义二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
在这种形式下，一般有三种情况：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下；当二次函数的图像与x轴相切或者与x轴没有交点时，称为“压轴题”。
压轴题的定义是通过给定函数关系和一些额外条件，求出关于未知数的取值范围、特殊情况、极值点、最值等问题。
二、压轴题的解题方法解压轴题的方法主要有以下几种：1.代数方法：通过解方程组或者利用已知的条件，求出未知数的取值范围和特殊情况。
2.图像分析法：通过分析二次函数的图像性质，包括开口方向、对称轴、顶点、焦点等，得出未知数的取值范围和特殊情况。
3.判别式法：通过判别式的符号来确定二次函数与x轴的交点个数和位置，进而得出未知数的取值范围和特殊情况。
下面我们将结合具体例题，详细介绍这些解题方法。
例题1：求二次函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴相切的条件。
解法1：当二次函数的图像与x轴相切时，有且仅有一个交点。
设交点坐标为(x0,0)，代入方程得到0 = ax0^2 + bx0 + c。
根据判别式法，如果二次函数与x轴相切，判别式D = b^2 - 4ac = 0。
所以有b^2 - 4ac = 0，即b^2 = 4ac。
这就是二次函数图像与x 轴相切的条件。
解法2：当二次函数的图像与x轴相切时，说明二次函数的顶点坐标与x轴相交。
顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。
所以当x = -b/2a时，有f(x) = 0。
二次函数压轴题解题口诀
二次函数压轴题解题口诀第一步：观察观察题目给出的二次函数关系式，包括一般式和顶点式。
确定二次函数的参数a、b、c的取值范围。
1.若a>0，则二次函数开口向上，最低点为最小值；若a<0，则二次函数开口向下，最高点为最大值。
2.根据顶点式形式f(x)=a(x-h)²+k，h为顶点横坐标，k为顶点纵坐标。
3. 根据一般式形式f(x)=ax²+bx+c，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
第二步：画图根据观察结果，用适当的坐标系画出函数图像。
确定函数的顶点、对称轴、最值、切线等。
可以通过以下步骤进行画图：1.若已有顶点坐标，直接画出顶点。
2.若没有顶点坐标，可以用顶点坐标公式求得，即h=-b/2a，将h带入函数，求出k=f(h)。
3.根据顶点和对称性，确定对称轴。
对称轴方程为x=h。
4.将对称轴两边的点带入函数，得到其他点的坐标。
5.根据a的正负确定开口方向，画出函数图像。
6.根据图像确定函数的最值、相交点等。
第三步：转移对于部分二次函数题目，可能需要做坐标系的转移，以便于求解题目要求。
1.若需要移动坐标系，可通过平移或缩放来实现。
2.平移坐标系时，可以找到新坐标系原点与旧坐标系原点之间的关系，并移动坐标系。
3.缩放坐标系时，可以根据函数图像的特点来进行缩放。
第四步：求解根据题目要求，利用二次函数的相关特性进行求解。
常用的求解方法有以下几种：1.求零点：当函数值等于0时，求得函数的横坐标即为零点的横坐标。
2.求最值：如果二次函数开口向上，则最低点为最小值；如果二次函数开口向下，则最高点为最大值。
3.求交点：当两个函数相交时，求得两个函数对应的横坐标即为交点的横坐标。
通过以上四个步骤，可以有效地解决二次函数压轴题目。
在解题过程中，需要注重观察和画图，根据函数的特性来合理转移坐标系，最后通过计算求得答案。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
二次函数压轴题基本方法和结构
二次函数压轴基本结构和解题方法一、线1、线段与距离 （1）改“斜”归正已知：A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),直线AB ：y =kx +b ，AB ⊥BC 水平线段：AC =|x 1−x 2| 铅垂线段：AC =|y 1−y 2|斜线段： AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1|x 1−x 2|（2）点到直线距离公式：d =PH =|km +b −n|√k 2+1（3）于涵定理 一般位置：条件：直线AB 交抛物线（二次项系数为a ）于AB 两点，铅垂线PQ 交抛物线于P ，交直线AB 于P ，AE ⊥PQ ，BF ⊥PQ 结论：①PQ =|a|∙AE ∙BF ；S △PAB =12PQ ∙(AE +BF )=12|a |∙AE ∙BF ∙(AE +BF )=12|a (x A −x P )(x P −x B )(x A −x B )|特殊位置① 若AB 为水平直线： PQ =|a|∙AQ ∙BQ ② 若AB 为水平直线，且AP ⊥BP ： PQ =1|a|（PQ =|a|∙AQ ∙BQ ，且PQ 2=AQ ∙BQ ）③ 若AB 为水平直线，且P 为抛物线顶点（类似于圆中的垂径结构）AB =√4PQ|a|④ 若AB 为x 轴，且P 为抛物线顶点:AB =√∆|a|（4）焦点准线焦点准线的定义：将抛物线的顶点向上/下平移14|a|个单位，就得到焦点和准线的位置。
焦点：F(−b2a ,14a)；准线：直线y=−14a条件：点P是抛物线上任意一点，过P点的直线（非铅垂线）与抛物线有位移公共点（“切线”），与对称轴交于S，与过顶点的水平线交于A，PM⊥准线于M；PQ过焦点F，过P、Q 的切线交于T结论：①PF=PM,DE=DF②PF=FS③FA⊥PS,PA=SA④当直线PQ绕焦点F转动时候，T点在准线上移动（阿基米德三角形特殊情况）⑤TP⊥TQ,TM=TN⑥以MN为直径的圆切PQ于F，以PQ为直径的圆切MN于T准线2、平行“弦”条件：AB//CD//l P结论：x A+x B=x C+x D=2x P变式一：若CE和DF为铅垂线，则AE=BF变式二：若将抛物线向下平移交直线AB于E、F，则AE=BF变式三：将抛物线沿着PQ方向平移，若AB//PQ，则AB=EF，AE=BF3、线段相等和比值（1）左右对称（纵向角平分线）特殊情况：条件：P为抛物线（顶点为M）对称轴上一点，过P点的直线PA交抛物线于C，过C作水平直线BC交抛物线于B点，连接AB交对称轴于Q，连接PB交抛物线于D；结论：①k PA+k PB=0；②PM=QM一般情况：条件：过抛物线内一点T作铅垂、水平直线，交抛物线于M、B、C，在铅垂线上取一点P，连接PC交抛物线于A，连接AB交铅垂线于Q结论：TBTC =QMPM（2）上下对称条件：水平直线与抛物线交于P、Q两点，直线PA、PB分别交抛物线于A、B，且∠APQ=∠BPQ，连接AB,过Q点的直线作抛物线的切线。
最新中考数学总复习二次函数压轴题题型归纳与方法总结【提分秘籍】
压轴题解决策略：第一步：作出题中要求的图形；第二步：通过图形“性质”表示所求坐标：必须用“一个字母”表示；第三步：代入二次函数解析式字母，从而求坐标。
例题1.已知抛物线顶点)4,1(C ,过点)0,1(-A （1）.求抛物线解析式解：设抛物线解析式())0(2≠+-=a k h x a y ，则()()()()32,41,1,4)01(0,0,1414,1;4,12222++-=+--=∴-=∴+--=∴-+-=∴==∴x x y x y a a A x a y k h C 即过点又点的坐标(2)E 在x 轴上，F 在抛物线上，以点A 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求E 点坐标. 分两类解决：分析：①利用平行四边形所分两个三角形面积相等。
“对角线为同底高必定相等”，得全等三角形推F 点坐标。
利用得中点G 的坐标和E 点坐标来求F 的坐标：中点坐标公式；方法二：利用三角形全等直接表示F 点坐标. 解：()0,a E ，则()()()()()()3,1;3,13,1,3,1,3,1,0,123,1321+-∴-++-∴-a F a F a F a F a F A()()()()(),72;0,7272,33121323,131223,1+-∴±==+-+--++-=-∴E E a a a x x y a F 即，得代入将()()()()()011,33121323,12222，，舍负即，得代入再将E a a a x x y a F ∴±==++++-++-=+()0,b E 法一：如图右，由题知A(-1,0),D(0,3),G 为AD 、44F E 中点()3,1,23,214b F G --∴⎪⎭⎫⎝⎛-∴ 法二：如图右， 易证44AMF OD E ∆≅∆,()()b AE OM A b E --==∴-1,0,1,0,44()3,14b F --∴∴将此点代入322++-=x x y ，得 ()()()0,33)(13312142-∴-=-==+--+---E b b b b 或舍去，即∴综上，()()()()0,3,0,1,0,72;0,724231-+-E E E E(3)、M 在对称轴上，N 为平面内一点，以B 、D 、M 、N 为顶点的四边形为矩形，求M 的坐标. 解：方法一：利用“两直线垂直 121-=k k ” 如图右， 由题知D(0,3),B(3,0);设M(1,t),则 1.,11-=∴⊥BD DM k k BD DM ()4,1,4,10330.3101M t t ∴=-=----∴即 1.,22-=∴⊥BD BM k k BD BM 又()2,1,2,10330.0132-∴-=-=----∴M t t 即 方法二：利用“两直线垂直 121-=k k ”从而推出未知直线解析式，求直线与对称轴交点即可。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法(一)
初中二次函数压轴题题型归纳及方法(一)初中二次函数压轴题题型归纳及方法常见的二次函数问题类型•求函数的零点或交点•求函数的最大值或最小值以及取值范围•求函数的对称轴•求函数的图像与坐标系的交点•求函数在某个区间的单调性•求函数的定义域和值域解决问题的方法1.求函数的零点或交点•将二次函数以f(x)=ax2+bx+c的形式表示，并令f(x)=0解方程即得到零点•求交点则可通过两个二次函数相交时相等的条件ax12+bx1+ c=ax22+bx2+c来解出•可以利用公式x1,2=−b±√b2−4ac2a 直接求出，但需要注意判别式的正负情况2.求函数的最值以及取值范围•可以通过求导数来得到函数的极值点，然后通过比较找到最值•如果函数的开口方向向上，最小值为f(−b2a)，最大值不存在；开口方向向下，则最大值为f(−b2a)，最小值不存在•取值范围就是函数的最值所在的值域3.求函数的对称轴•二次函数的对称轴为x=−b2a4.求函数的图像与坐标系的交点•可以通过将函数与坐标系的x和y轴交点代入函数，从而求出函数与坐标系的交点5.求函数在某个区间的单调性•先求出函数的导数，然后通过分析导数在该区间的符号变化情况，判断函数的单调性6.求函数的定义域和值域•定义域为一般情况下的实数集R，但也需要注意不能出现分母为0的情况•值域需要通过函数的开口方向和最值来判断注意事项•求解零点和交点时需要注意判别式的正负情况•求解最值时需要先求导数，并注意二次函数开口的方向•求解定义域和值域时需要注意不能出现分母为0的情况•求解单调性需要注意导数的符号变化情况•在解题过程中，需要注意符号的代数运算，以及代入值时需要注意计算过程中的精度问题例题分析已知二次函数f(x)=ax2+bx+c关于x=3对称，且f(1)=2，f(5)=8。
求该二次函数的解析式。
由对称性可得：f(x)−f(3)=a(x−3)2将f(1)=2，f(5)=8代入得：2−f(3)=a(1−3)2=4a8−f(3)=a(5−3)2=4a解方程得：a=1,b=−6,c=17因此，该二次函数的解析式为f(x)=x2−6x+17。
怎样解二次函数的压轴题
怎样解二次函数的压轴题解二次函数的压轴题可以是一个相对简单的数学问题，但是需要一定的基本知识和技巧。
下面，本文将分为以下几个方面来探讨解二次函数的压轴题的方法和技巧。
一、梳理相关知识点解二次函数的压轴题需要掌握以下知识点：1.二次函数的标准式：f(x) = ax² + bx + c。
2.二次函数的图像特征：开口方向、顶点坐标、轴对称直线、零点等。
3.配方法、公式法和因式分解法。
4.顶点式：f(x) = a(x - h)² + k。
二、运用配方法如果二次函数的系数不是很好进行分解，那么就需要使用配方法了。
具体步骤如下：1.将二次函数变为标准式：f(x) = ax² + bx + c。
2.将二次项和常数项分别和一个常数项a相乘，即f(x) = a(ax² + bx +c/a)。
3.将中间项拆开，即f(x) = a(x + b/2a)² - b²/4a + c。
4.将-f(x) = -a(x + b/2a)² + b²/4a - c，即可得到顶点式，顶点坐标为(-b/2a, b²/4a - c)。
三、运用公式法当二次函数系数比较复杂，无法使用配方法进行分解时，可以考虑使用公式法。
具体步骤如下：1.将二次函数变为标准式：f(x) = ax² + bx + c。
2.将方程f(x) = 0变形为ax² + bx + c = 0。
3.求出二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
4.带入公式x = (-b±√Δ)/2a，求出函数的零点。
5.根据顶点公式f(h) = a(h - k)² + b，求出函数的顶点坐标。
四、运用因式分解法如果二次函数可以进行因式分解，那么就可以通过这种方法来求得函数的零点。
具体步骤如下：1.将二次函数变为标准式：f(x) = ax² + bx + c。
二次函数压轴题的常用解题思路
二次函数压轴题例题：如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．分析：（1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•x B=，即x B=﹣2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c ，1﹣c ），将点E 坐标代入直线CD 的解析式y =﹣x +c ，求出c =﹣2，进而得到抛物线的解析式为y =x 2﹣x ﹣2；（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x ＜0时，由0＜S ＜S △ACB ，易求0＜S ＜5；（Ⅱ）当0＜x ＜4时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交CB 于点F ．设点P 坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），则点F 坐标为（x ，x ﹣2），PF =PG ﹣GF =﹣x 2+2x ，S =PF •OB =﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S 最大值=4，即0＜S ≤4．则0＜S ＜5；②由0＜S ＜5，S 为整数，得出S =1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x ＜0时，根据△PBC 中BC 边上的高h 小于△ABC 中BC 边上的高AC =，得出满足条件的△PBC 共有4个；（Ⅱ）当0＜x ＜4时，由于S =﹣x 2+4x ，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC 共有7个；则满足条件的△PBC 共有4+7=11个．解答过程略。
初中数学二次函数(压轴题)的最佳的4种解法
初中数学二次函数（压轴题）的最佳的4种解法
在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。
ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。
1题目
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。
解答：
(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)Q(－1，2)；
下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．
解法1补形、割形法
几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。
方法一
如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．。
二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结 (含例解答案)
07 动点个数 问题背景 两个 特殊菱形两边上移动 一个
08 两个
09
特殊直角梯形三边 上移动
抛物线中特殊直角梯形底 边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函 数关系式
探究等腰三角形
考 点
①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式
①求直线解析式 ②四边形面积的表 示 ③动三角形面积函 数④矩形性质
2
（2）由（1）可计算得点 M (3 ， 1)，N (31) ，． 过点 N 作 NH AD ，垂足为 H ． 当运动到时刻 t 时， AD 2OD 8 2t ， NH 1 2t ． 根据中心对称的性质 OA OD ，OM ON ，所以四边形 MDNA 是平行四边形． 所以 S 2S△ ADN ． 所以，四边形 MDNA 的面积 S (8 2t )(1 2t ) 4t 14t 8 ．
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好 一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形 的性质、图形的特殊位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直 角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、
抛物线上动点
5、 （湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 y ax 2 bx 3 （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和 点 B (－3，0)，与 y 轴交于点 C． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时 E 点的坐标数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax²+bx+c=0 中 a,b,c 的符号， 或由二次函数 中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的 点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就 是所含字母 x 的二次函数；下面以 a＞0 时为例，揭示二次函数、二次三项式 和一元二次方程之间的内在联系：
中考二次函数压轴题解题技巧
中考二次函数压轴题解题技巧在解题过程中，我们需要借助函数解析式来表示动点坐标。
首先，我们可以设定动点P在某条直线上，其坐标为（t，f(t)）。
然后，我们可以通过计算两个线段的长度，利用代数式证明它们相等。
这种方法适用于各种类型的线段相等问题，如求证两个三角形的周长相等等。
2.求解“定三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于定三角形内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。
具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到定理的结论。
这种方法适用于各种类型的定三角形内点距离之和问题。
3.求解“定直线与定点之间的距离〞的问题：对于一个定点A和一条定直线L，我们可以利用点到直线的距离公式来求解它们之间的距离。
具体来说，我们可以设定一个动点P在直线L上，然后计算点P到点A的距离，即可得到定点与定直线之间的距离。
这种方法适用于各种类型的定直线与定点之间的距离问题。
4.求解“定点到定线段的最短距离〞的问题：对于一个定点A和一条定线段BC，我们可以利用点到线段的最短距离公式来求解它们之间的最短距离。
具体来说，我们可以设定一个动点P在线段BC上，然后计算点A到线段BP和线段CP的距离，取其中较小值即可得到定点到定线段的最短距离。
这种方法适用于各种类型的定点到定线段的最短距离问题。
5.求解“动三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于一个动三角形ABC内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。
具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到结论。
这种方法适用于各种类型的动三角形内点距离之和问题。
1.证明两线段相等的方法：首先确定两线段的距离类型（点点距离、点轴距离或点线距离），然后利用距离公式计算出两线段的长度，并进行化简，从而证明它们相等。
2.平行于y轴的动线段长度的最大值问题：对于平行于y轴的线段，可以利用端点的函数图象解析式，将两个端点的纵坐标表示为含有字母t的代数式。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初中二次函数压轴题主要包括以下几种类型：1. 求解二次方程，确定函数的零点2. 求解顶点坐标、对称轴及最值3. 判断函数的单调性和定义域、值域4. 与其他函数进行比较，确定大小关系5. 给定函数图像或部分信息，确定函数的表达式二、方法详解1. 求解二次方程，确定函数的零点求解二次方程可以使用因式分解法、配方法和公式法。
其中，因式分解法适用于形如x^2+bx+c=0的方程；配方法适用于形如ax^2+bx+c=0且a≠0的方程；公式法适用于所有形如ax^2+bx+c=0的方程。
求得二次方程的根后，即可得到函数的零点。
若根为实数，则该实数即为零点；若根为复数，则该函数无实零点。
2. 求解顶点坐标、对称轴及最值对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
对称轴为x=-b/2a，最值为f(-b/2a)。
若函数为y=a(x-h)^2+k的形式，则顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，最值为k。
3. 判断函数的单调性和定义域、值域对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
定义域为实数集R，值域取决于a的符号。
4. 与其他函数进行比较，确定大小关系与线性函数比较：当x趋近正无穷时，二次函数增长速度大于线性函数；当x趋近负无穷时，二次函数增长速度小于线性函数。
因此，在x 轴正半轴上，二次函数与线性函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。
与指数函数比较：当x趋近正无穷时，指数函数增长速度大于二次函数；当x趋近负无穷时，指数函数增长速度小于二次函数。
因此，在x 轴正半轴上，指数函数与二次函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。
二次函数压轴题解题思路
⼆二次函数压轴题解题思路路⼀一、基本知识1会求解析式2.会利利⽤用函数性质和图像3.相关知识：如⼀一次函数、反⽐比例例函数、点的坐标、⽅方程。
图形中的三⻆角形、四边形、圆及平⾏行行线、垂直。
⼀一些⽅方法：如相似、三⻆角函数、解⽅方程。
⼀一些转换：如轴对称、平移、旋转。
⼆二、典型例例题：（⼀一）、求解析式1.（2014•莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；2.（2012•莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位⻓长度，再向上平移2个单位⻓长度后，所得函数的表达式为（）A.y=﹣2（x+1）2+2B.y=﹣2（x+1）2﹣2C.y=﹣2（x﹣1）2+2D.y=﹣2（x﹣1）2﹣2（⼆二）、⼆二次函数的相关应⽤用第⼀一类：⾯面积问题例例题.（2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的⾯面积；2.（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．）（3）若△AOC沿CD⽅方向平移（点C在线段CD上，且不不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的⾯面积记为S，试求S的最⼤大值．3.（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的⼀一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什什么位置时，四边形CDBF的⾯面积最⼤大？求出四边形CDBF的最⼤大⾯面积及此时E点的坐标．第⼆二类：.构造问题（1）构造线段（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第⼆二象限部分上的⼀一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF⻓长度的最⼤大值，并求此时点D的坐标；（2）构造相似三⻆角形（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=．）（3）抛物线上是否存在⼀一点P，作PN垂直x 轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三⻆角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不不存在，请说明理理由．（3）构造平⾏行行四边形（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的⼀一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平⾏行行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不不存在，请说明理理由；（4）构造等腰三⻆角形（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的⼀一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE⾯面积的最⼤大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上⼀一点，且△OMD为等腰三⻆角形，求M点的坐标．练习：（2014遵义）如图，⼆二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0)与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位⻓长度的速度分别沿，边运动，其中⼀一点到达端点时，另⼀一点也随即停⽌止运动.（1）求该⼆二次函数的解析式及点的坐标.（2）当点运动到点时，点停⽌止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三⻆角形是等腰三⻆角形.若存在，请求出点的坐标，若不不存在，请说明理理由.（3）当，运动到秒时，△沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.（5）构造直⻆角三⻆角形22.（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有⼀一动点P，过点P作y轴的平⾏行行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最⼤大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直⻆角边的直⻆角三⻆角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不不存在，说明理理由．（6）构造⻆角相等（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满⾜足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不不能找到⼀一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不不能，请说明理理由．（7）构造梯形（2011莱芜）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上⼀一点，试求AM ＋OM 的最⼩小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不不存在，请说明理理由．练习：（2010临沂）如图：⼆二次函数y =﹣x 2+ax +b 的图象与x 轴交于A （-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上⽅方的抛物线上有⼀一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直⻆角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不不存在，说明理理由．（8）构造菱形（2013•枣庄）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，⼆二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下⽅方的抛物线上⼀一动点．（1）求这个⼆二次函数的表达式．（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不不存在，请说明理理由．（3）当点P 运动到什什么位置时，四边形ABPC 的⾯面积最⼤大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最⼤大⾯面积．（9）构造对称点AC B（2011莱芜）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上⼀一点，试求AM＋OM的最⼩小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不不存在，请说明理理由．（10）构造平⾏行行线（2013•威海海）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平⾏行行，并说明理理由．练习：（2014•⼭山东烟台）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理理由；（3）延⻓长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理理由．（11）构造垂直（2014宜宾市）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理理由；(3)过原点的任意直线(不不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理理由．（12）构造圆(2014年年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直⻆角坐标系内的⼀一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有⽆无数个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满⾜足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最⼤大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最⼤大的理理由；若没有，也请说明理理由．（13）轴对称（2012浙江丽⽔水）在直⻆角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第⼆二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正⽅方形；(2)如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不不可以，请说明理理由．（14）规律律（2014•江⻄西抚州，第23题，10分）如图，抛物线()位于轴上⽅方的图象记为1，它与轴交于1、两点，图象2与1关于原点对称，2与轴的另⼀一个交点为2，将1与2同时沿轴向右平移12的⻓长度即可得3与4；再将3与4同时沿轴向右平移12的⻓长度即可得5与6；……按这样的⽅方式⼀一直平移下去即可得到⼀一系列列图象1,2,……，n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时，①求图象1的顶点坐标；②点(2014,－3)不不在(填“在”或“不不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n的顶点n的横坐标为201，则图象n对应的解析式为，其⾃自变量量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上⼀一点Q的坐标为(12,0).试探究：当为何值时，以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.解析：(1)当时，①，∴F1的顶点是（-1,1)；②由①知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1，∴点H(2014,-3)不不在“波浪抛物线”上；由平移知：F2：F3：，…，∵F n的顶点横坐标是201，∴F n的解析式是：，此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0),∴200≤≤202.(2)如下图，取OQ的中点O′,连接T m T m+1,∵四边形OT m QT m+1是矩形，∴T m T m+1=OQ=12,且T m T m+1经过O′,∴OT m+1=6,∵F1：∴T m+1的纵坐标为，∴()2+12=62,∴=±,已知＜0，∴.∴当时，以以O、T m、T m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三⻆角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BC D+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a ﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDB F的⾯面积最⼤大=，∴E（2，1）．（2014•莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．（2）存在．设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代⼊入求得k=，∴直线OD解析式为y=x．设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），∴MN=|y M﹣y N|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平⾏行行四边形，则有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=．∴存在满⾜足条件的点M，点M的横坐标为：或或．（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．如解答图所示，设平移中的三⻆角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设⽔水平⽅方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代⼊入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．联⽴立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．∴S=S△O FQ﹣S△O E P=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最⼤大值为．∴S的最⼤大值为．（2013•莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．（2）将x=0代⼊入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最⼤大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三⻆角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三⻆角形相似，由题意可知，点P不不可能在第⼀一象限．①设点P在第⼆二象限时，∵点P不不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．⼜又﹣3＜m＜0，故此时满⾜足条件的点不不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满⾜足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（2012•莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，代⼊入C（O，3）后，得：a（0﹣2）2﹣1=3，a=1∴抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代⼊入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=﹣1∴直线BC：y=﹣x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直⻆角三⻆角形，且AD⊥CD；∴S△A C D=AD•CD=××2=2．（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代⼊入抛物线的解析式中，得：x2﹣4x+3=1，解得x=2±；当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．②∠EDF=90°；易易知，直线AD：y=x﹣1，联⽴立抛物线的解析式有：x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2011莱芜）解得：∴抛物线的函数表达式为。
二次函数压轴题的经典做法
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