黑龙江省哈尔滨三中高一数学上学期期中试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(国际部,含解析)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（国际部，含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{0,1,2}A =，2{|320}B x x x =-+≤，则A B =（ ）A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}【答案】D 【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ⋂=.故答案为：D点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式.2.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是( )A. 22y x =-B. 3y x=C. 1y =D.2(2)y x =-+【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性判断A 、D 不对，由反比例函数的单调性判断B 不对，根据复合函数和幂函数的单调性判断C 对。
【详解】对于A ，因为22y x =-在(],0-∞上为减函数，在(0,)+∞为增函数，所以A 不对；对于B ，因为3y x=在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞上也为减函数，所以B 不对；对于C ，因为y =(],2-∞上为减函数，所以1y =在(],2-∞为增函数，所以C 对；对于D ，因为2(2)y x =-+的对称轴是2x =-，所以(],2-∞-上为增函数，在(2,)-+∞为减函数，所以D 不对。
故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的判断，主要利用二次函数的单调性、反比例函数的单调性、以及复合函数和幂函数的单调性进行判断。
3.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【详解】，，或是，，根据集合元素的互异性，集合为，共含有3个元素，故选C.考点：元素与集合4.已知集合{}A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A. 03 B. 0或3C. 13D. 1或3【答案】B 【解析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.5.函数21()y x x x R =++∈的递减区间是( ) A. 1[,)2-+∞B. [1,)-+∞C. 1(,]2-∞-D.(,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴12x =-；然后根据二次函数开口向上，在对称轴左侧函数单调递减，据此可写出二次函数的单调递减区间。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2023-2024 学年高一上学期期 中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 A x x 1 ， B x 2 x 2 ，则 ðR A B （ ）
A． 2,1
(2)求不等式 f 4x 4 f 4 3 2x1 0 的解集．
20．2023 年 8 月，我国各地因暴雨导致洪涝灾害频发，河北省受灾尤其严重，为了支 援赈灾，哈三中文创公司进行赈灾义卖，右图为这次义卖的三中金属书签，单件成本为 8 元．经过市场调查，该书签的销量 n（件）与单件售价 x（元）之间满足：单件售价
f
x
x2
2
x
2x, 3,
x 1 ，则 f x 1 的解集为
x 1
．
16．已知定义在 0, 的不恒为 0 的函数 f x ，对于任意正实数 m, n 满足
f mn f m f n ，且 x 1时 f x 0 ，若正实数 a，b 满足 f a f 2 2b ，则
a2 2b2 的最小值为
A．若 a b 0 ，则 ac2 bc2 C．若 a b 1，则 ab 的最大值为 1
4
B．若 a b 0 ，则 a 1 b 1
b
a
D．若 2a b 1 ，则 a a b 最大值为 1
4
11．已知定义在 0, 上的函数 f x x2 2x 5 ，下列说法错误的是（ ）
21．已知函数 f x ax 2 x 1
(1)解关于 x 的不等式 f x 0 ．
(2)设函数 g x
f x ，若
x 1
f
x
0
的解集为
哈尔滨市第三中学数学高一上期中基础卷(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：11814]函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：11813]函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：11809]不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．(0分)[ID ：11801]设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 5．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件6．(0分)[ID ：11782]设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．137．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}8．(0分)[ID ：11793]设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a取值范围（ ） A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．(0分)[ID ：11739]函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．611．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．(0分)[ID ：11734]已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．613．(0分)[ID ：11823]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．014．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞15．(0分)[ID ：11768]已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>二、填空题16．(0分)[ID ：11927]如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.17．(0分)[ID ：11906]1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．18．(0分)[ID ：11900]若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．19．(0分)[ID ：11884]已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 20．(0分)[ID ：11873]函数y =√1−x 2+lg(2cosx −1)的定义域为______________． 21．(0分)[ID ：11853]若4log 3a =，则22a a -+= ．22．(0分)[ID ：11842]非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．23．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．24．(0分)[ID ：11905]已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12001]某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.27．(0分)[ID ：11992]已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B （1）求()f x 的解析式（2）若不等式11120x xm a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 28．(0分)[ID ：11981]已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域29．(0分)[ID ：11947]设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式12f （x 2）—f （x ）＞12f （3x ）．30．(0分)[ID ：11940]已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．C4．B5．B6．B7．D8．D9．C10．A11．C12．C13．B14．D15．B二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解( 2)求参数值：在定义域关于17．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数18．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根则解得故m的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数20．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx-1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ21．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算22．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题24．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.2．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去；当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算5．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.13．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.14．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.15．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于 解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．17．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.18．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.20．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：[−1,1]【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】由题意得：{1−x 2≥02cosx −1>0 ⇒{−1≤x ≤1cosx >12 cosx >12 ⇒x ∈(−π3+2kπ,π3+2kπ)，k ∈Z ∴函数定义域为：[−1,1] 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.21．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 433【解析】【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=222a-+== 考点：对数的计算22．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题24．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题26．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值． 【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k =由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元. 【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．27．（1）()=32xf x ⋅；（2）1112m ≤. 【解析】试题分析：（1）由题意得2,3a b ==，即可求解()f x 的解析式；（2）设11()()()x xg x a b =+，根据()y g x =在R 上为减函数，得到min 5()(1)6g x g ==，再由11()()120xxm a b++-≥在(],1x ∈-∞上恒成立，得5216m -≤，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析： （1）由题意得()x36a 2,b 3,f x 32a 24a b b ⋅=⎧⇒==∴=⋅⎨⋅=⎩（2）设()xxxx1111g x a b 23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()y g x =在R 上为减函数 ∴当x 1≤时()()min 5g x g 16==xx1112m 0a b ⎛⎫⎛⎫∴++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(]x ,1∞∈-上恒成立，即5112m 1m 612-≤⇒≤∴ m 的取值范围为：11m 12≤点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.28．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.29．（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5} 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f （0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f （x ）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等12f(x 2)−f(x)>12f(3x)的解集即可．试题解析：（1）令x =y =0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)， ∴f(0)=0 定义域关于原点对称y =−x ，得f(x)+f(−x)=f(0)=0， ∴f(−x)=f(x)∴f(x)是奇函数12f(x 2)−f(x)>12f(3x)，f (x 2)−f (3x )>2f （x ），即f （x 2）+f （−3x ）＞2f （x ），又由已知得：f(2x)=2f （x ）∴f (x 2−3x )>f (2x )，由函数f （x ）是增函数，不等式转化为x 2−3x >2x ．∴x 2−5x >0，∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法． 30．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是（ ） A ．1y x= B ．y x = C ．21y x =-+D ．243y x x =-+【答案】B【解析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数； 对于C 选项，函数21y x =-+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =-+在区间()1,2上为减函数.故选：B. 【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.2．若函数()f x 对定义域内任意两个自变量x 、y 都有()()()f x y f x f y +=，则()f x 可以是（ ）A ．()21f x x =+B ．()2f x x =C ．()1f x x=D ．()2xf x =【答案】D【解析】对各选项中的函数()y f x =验证是否满足()()()f x y f x f y +=，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，()21f x x =+，则()()21+=++f x y x y ，()()()()21214221=++=+++f x f y x y xy x y ，则()()()f x y f x f y +≠；对于B 选项，()2f x x =，则()()2222+=+=++f x y x y x xy y ，()()22=f x f y x y ，则()()()f x y f x f y +≠；对于C 选项，()1f x x=，()1+=+f x y x y ，()()1=f x f y xy ，则()()()f x y f x f y +≠；对于D 选项，()2++=x yf x y ，()()222+=⋅=xyx yf x f y ，则()()()f x y f x f y +=.因此，()2xf x =满足()()()f x y f x f y +=.故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式的运算，解题的关键就是对函数解析式逐一进行验证，考查计算能力，属于中等题.3．13=⎛⎫⎪⎝⎭a （ ）A ．1a -B ．12aC ．aD ．1918a【答案】B【解析】根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果. 【详解】7172132632213333⨯-=====⎛⎫ ⎪⎝⎭aaaaaaa .故选：B. 【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题. 4．已知()f x =()32-f x 的定义域为（ ）A ．15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]3,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】求出函数()y f x =的定义域为[]1,3-，然后解不等式1323-≤-≤x 可得出函数()32=-y f x 的定义域. 【详解】对于函数()f x =2230x x -++≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，所以，函数()y f x =的定义域为[]1,3-.对于函数()32=-y f x ，1323-≤-≤x ，解得1533≤≤x . 因此，函数()32=-y f x 的定义域为15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查具体函数以及复合函数定义域的求解，解题时要注意以下两个问题：定义域为自变量的取值范围、中间变量的取值范围一致，考查计算能力，属于中等题.5．若方程10m --=有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,3B ．()1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(]1,3-【答案】A【解析】由参变量分离法得出1+=m ，求出函数=y1m +的取值范围即为函数=y m 的取值范围.【详解】由10m --=得1+=m ，则1m +的取值范围即为函数=y .2044≤-≤x ，02∴≤≤，14∴≤≤，即函数=y []1,4.解不等式114≤+≤m ，解得03m ≤≤. 因此，实数m 的取值范围是[]0,3. 故选：A. 【点睛】本题考查方程有解的问题，利用参变量分离法将参数的取值范围转化为与函数值域相关的问题求解，考查化归与转化思想，属于中等题.6．设2log 3a =，3log 2b =，=c a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】比较a 、b 、c 与中间值1和2的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】函数2log y x =为增函数，则222log 2log 3log 4<<，即12a <<； 函数3log y x =为增函数，则33log 2log 31b =<=；函数y =2=>=c .因此，c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用中间值法结合指数函数、对数函数的单调性来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=ðU A B ，则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个【答案】C【解析】由题意知3、4B ∉，则集合A 的个数等于{}1,2,5,6非空子集的个数，然后利用公式计算出集合{}1,2,5,6非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】由题意知3、4B ∉，且集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅， 则AB 为集合{}1,2,5,6的非空子集，因此，满足条件的集合A 的个数为42115-=.故选：C. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.8．设函数()()221,14,1xx ax x f x a x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．413a ≤< B ．413a <≤C ．13a ≤<D ．413a ≤≤【答案】D【解析】根据题意得知221=-++y x ax 在(],1-∞上为增函数，且函数()4=-xy a 在()1,+∞上为增函数，以及212114-+⨯+≤-a a ，由此列不等式组可求出实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()221,14,1xx ax x f x a x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩在R 上为增函数， 则函数221=-++y x ax 在(],1-∞上为增函数，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线x a =，所以1a ≥；函数()4=-xy a 在()1,+∞上为增函数，则41a ->，得3a <. 且有212114-+⨯+≤-a a ，解得43a ≤. 综上所述，413a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的在实数集上的单调性，一般要确保分段函数每支都保持原函数的单调性，同时也要注意间断点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()20f =，若对任意1x 、()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．()(),22,-∞-+∞B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,02,-+∞D ．()()2,00,2-【答案】A【解析】分析出函数()y f x =在(),0-∞和()0,∞+上都是增函数，然后分0x >和0x <两种情况，利用函数()y f x =的单调性解不等式()0xf x >，即可得出该不等式的解集. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，则()20f -=，()00f =， 对任意1x 、()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，且在(),0-∞上也为增函数.当0x >时，由()0xf x >，可得()0f x >，即()()2f x f >，解得2x >; 当0x <时，由()0xf x >，可得()0f x <，即()()2<-f x f ，解得2x <-. 因此，不等式()0xf x >的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，将不等式转化为函数的两个函数值的大小关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10．()()248525125log 125log 25log 5log 2log 4log 8++⋅++=（ ） A ．0 B ．1C ．9D ．13【答案】D【解析】利用换底公式将底数和真数化简，合并同类项之后再相乘可得出结果. 【详解】由换底公式可得，原式()()23233223252255log 5log 5log 5log 2log 2log 2=++⋅++()222555251133log 5log 5log 5log 2log 2log 2log 53log 21333⎛⎫=++⋅++=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查对数的计算，考查换底公式的应用，解题的关键就是将底数和真数利用换底公式化小，考查计算能力，属于中等题.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（ ） A ．0 B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】利用题意可得出函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，关于点()2,0对称，并且周期为4，作出图象得知，函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，然后利用对称性得出两个函数交点横坐标之和. 【详解】()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数12y x =-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为4416⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查方程根之和问题，一般利用数形结合思想，转化为两函数交点横坐标之和的问题，借助函数图象的对称性来求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.12．已知函数()18,21221512,12182x x xf x ax a x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，若对于任意的实数1x 、2x 、[]32,18x ∈，均存在以()1f x 、()2f x 、()3f x 为三边边长的三角形，则a 的取值范围是（ ） A ．35412a -<< B ．53124a -<< C ．304a ≤<D ．304a -<≤ 【答案】B【解析】对实数a 分0a <、0a =、0a >三种情况讨论，求出函数()y f x =的最大值()max f x 和最小值()min f x ，由题意得出()()max min 2f x f x <，由此可求出实数a 的取值范围. 【详解】当212x ≤≤时，()1862x f x x =+≥=，当且仅当6x =时，等号成立，且()210f =，()15122f =，此时，()610f x ≤≤； ①若0a <时，函数()15122f x ax a =-+在区间(]12,18上单调递减，则()()15182f f x ≤<，即()1515622a f x +≤<，那么，当[]2,18x ∈时，()min 15min 6,62f x a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，()max 10f x =， 由题意可得()()maxmin 2f x f x <，则有10261510262a <⨯⎧⎪⎨⎛⎫<⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得512a >-，此时，5012a -<<； ②当0a =时，且当1218x <≤时，()152f x =，则()min 6f x =，()max 10f x =，()()max min 2f x f x <成立，此时0a =；③当0a >时，函数()15122f x ax a =-+在区间(]12,18上单调递增，则()()51812f x f <≤，即()1515622f x a <≤+，则()min 6f x =，()max 15max 10,62f x a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，由题意可得()()maxmin 2f x f x <，则有1062156622a <⨯⎧⎪⎨+<⨯⎪⎩，解得34a <，此时304a <<. 综上所述，53124a -<<. 故选：B. 【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题13．函数()3log 21y x =-的定义域是__________． 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】利用对数的真数大于零可得出函数()3log 21y x =-的定义域. 【详解】由题意可得210x ->，解得12x >. 因此，函数()3log 21y x =-的定义域是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，求解时要注意对底数和真数进行限制，列出不等式（组）求解即可，考查计算能力，属于基础题. 14．不等式127x x -++≥的解集为__________． 【答案】(][),43,-∞-+∞【解析】分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况去绝对值，解出不等式，即可得出该不等式的解集. 【详解】当2x -≤时，由127x x -++≥，得12217x x x ---=--≥，解得4x ≤-，此时4x ≤-；当21x -<<时，由127x x -++≥，得1237x x -++=≥不成立，此时，x ∈∅； 当1x ≥时，由127x x -++≥，得12217x x x -++=+≥，解得3x ≥，此时3x ≥.综上所述，不等式127x x -++≥的解集为(][),43,-∞-+∞.故答案为：(][),43,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般利用分类讨论去绝对值的方法求解，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.15．函数y =在[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()1,10,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】先由0,10a ax ≠-≥在[]0,2上恒成立，得出1,02a a ≤≠，然后分1a <-和10a -<<、102a <≤三种情况分类讨论，结合函数y =为减函数得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，0,a ≠不等式10ax -≥在[]0,2上恒成立，则100120a a -⨯≥⎧⎨-≥⎩，得12a ≤.当1a <-时，10a +<，则函数y =在[]0,2上是减函数，合乎题意；当10a -<<时，10a +>，则函数y =在[]0,2上是增函数，不合乎题意；当102a <≤时，10a +>，则函数y =在[]0,2上是减函数，合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是()1,10,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，解题时除了对参数的取值进行分类讨论外，还应注意函数在定义域上有意义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()()22224212ax a x f x x--+=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()1f x ≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】112⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【解析】由题意得出对于任意[)1,x ∈+∞，()2222421112ax a x x--+-≤≤，转化为不等式组()()22222342021420a x ax a x ax ⎧++-≥⎪⎨-+-≤⎪⎩对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，分析二次函数在区间[)1,+∞上的单调性，转化为关于函数最值的不等式来求解，从而可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意得出对于任意[)1,x ∈+∞，()2222421112ax a x x--+-≤≤，则不等式组()()22222342021420a x ax a x ax ⎧++-≥⎪⎨-+-≤⎪⎩对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.先考查二次不等式()2223420a x ax ++-≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.构造函数()()222342g x a x ax =++-，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线2223ax a =-+. 因为22230a a ++≥恒成立，所以22123aa -≤+，此时，函数()y g x =在区间[)1,+∞上单调递增，则()()2min 12410g x g a a ==++≥，解得1a ≤-或1a ≥- 下面来考查不等式()221420a x ax -+-≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，则2210a -≤.构造函数()()222142h x a x ax =-+-.①当2210a -=时，即当2a =±.若2a =，则()2h x =-，当1x ≥时，()2h x ≥，不合乎题意；若2a =-，则()20h x ≤-<，合乎题意；②当2210a -<时，即当a <<()y h x =的图象开口向下，对称轴为直线2212a x a =-.当22112a a ≤-时，即当1122a +-≤≤时，函数()y h x =在[)1,+∞上单调递减，则()()2max 12430h x h a a ==+-≤a ≤≤122a -<≤；当22112a a >-时，即当a <a >时，23280a ∆=-≤，解得1122a -≤≤12a <≤.由上可知，当12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2221430a x ax -+-≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.综上所述，当11,22a ⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x ≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立.因此，实数a 的取值范围是11,22⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次不等式在区间上恒成立问题，解题时要对二次函数的首项系数、对称轴与定义域的位置关系进行分类讨论，转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17．计算下列各式的结果：（1）11565531log 3log log 3215⎛⎫⎛⎫++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()())1121122329680.0124---⎛⎫++⨯--⎪⎝⎭.【答案】（1）1415-；（2）1415-. 【解析】（1）利用对数的运算律以及换底公式可计算出结果； （2）利用指数的运算律可计算出结果. 【详解】（1）原式1216552111111114log 3log 2log 115555621515⎛⎫=⨯+⨯=+⨯÷=-+=- ⎪⎝⎭； （2）原式)()()112212223232312102---⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⨯-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦)1211114121431061015=+⨯--=--=-. 【点睛】本题考查指数与对数的运算律的应用，同时考查了换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.18．已知方程2504x ax a -++=有两个不相等的实数根，设a 的取值集合为A ，设关于x 的不等式()()()()12350x x x x ----≥的解集为B ，求AB 及R B A ð．【答案】{5A B x x ⋂=>或}1x <-，(){5R A B x x ⋂==ð或11x -≤≤或}23x ≤≤.【解析】由>0∆可得出集合A ，解不等式()()()()12350x x x x ----≥可得出集合B ，然后利用交集与补集的定义可得出集合A B 及R B A ð．【详解】由于方程2504x ax a -++=有两个不相等的实数根，则25404a a ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭，即2450a a -->，解得1a <-或5a >，{1A a a ∴=<-或}5a >.解不等式()()()()12350x x x x ----≥，得1x ≤或23x ≤≤或5x ≥，{1B x x ∴=≤或23x ≤≤或}5x ≥，则{5A B x x ⋂=>或}1x <-， {}15R A x x =-≤≤ð，所以，(){5R A B x x ⋂==ð或11x -≤≤或}23x ≤≤.【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次方程根的个数的判断以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题. 19．已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点； （2）若()235f x a>+，求x 的取值范围． 【答案】（1）()7235x f x a+=+，定点()7,8-；（2）见解析. 【解析】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标； （2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数xy a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a+∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=， 因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数xy a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-； 当1a >时，函数xy a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且()21xf x x =+． （1）用函数的单调性定义证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 满足()()2240f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）)2.【解析】（1）任取1211x x -<<<，作差()()12f x f x -，因式分解并判断出()()12f x f x -的符号，利用单调性的定义可得出函数()y f x =在()1,1-上单调递增；（2）利用奇偶性的定义可证明出函数()y f x =是定义在()1,1-上的奇函数，由()()2240f a f a -+-<可得出()()242f a f a -<-，再利用函数()y f x =的单调性并结合函数()y f x =的定义域可解出该不等式. 【详解】（1）任取1211x x -<<<，则()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++，1211x x -<<<，120x x ∴-<，121x x <，则1210x x ->，2110x +>，2210x +>，()()120f x f x ∴-<，则()()12f x f x <，∴函数()21xf x x =+在()1,1-上为增函数； （2）函数()y f x =的定义域为()1,1-，关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，所以，函数()y f x =是奇函数， 由()()2240f a f a -+-<，得()()()2422f a f a f a -<--=-，由于函数()y f x =是定义在()1,1-上的增函数，所以2242121141a a a a ⎧-<-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得2a <<.因此，实数a的取值范围是)2.【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性，同时也考查了利用奇偶性和单调性解函数不等式，同时也不要忽略定义域对自变量的影响，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知()2f x x bx c =++，其对称轴为1x =，且()22f =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若对任意1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意[]0,2t ∈，()()229140f x t mx t +--+>恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）113,4⎛⎫--⎪⎝⎭. 【解析】（1）由二次函数()y f x =的对称轴可得出b 的值，再由()22f =可求出实数c 的值，从而可得出函数()y f x =的解析式；（2）由题意知，对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意[]0,2t ∈，不等式()22229160x m tm x t +---+>恒成立，可得出0t =和2t =均满足不等式，由此可得出不等式组()()22221602220x m x x m x ⎧+-+>⎪⎨-+->⎪⎩对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用参变量分离法得出1622222m x xm x x ⎧-<+⎪⎪⎨⎪+<-⎪⎩，分别求出函数16y x x =+、2y x x =-在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，可解出实数m 的取值范围. 【详解】（1）二次函数()2f x x bx c =++的对称轴为直线12bx =-=，得2b =-， 则()22f x x x c =-+，又()22f c ==，()222f x x x ∴=-+；（2）由题意知，不等式()22229160x m tm x t +---+>对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意[]0,2t ∈恒成立，构造函数()()2222916h t x m mt x t =+---+，由题意可得()()()()2202216022220h x m x h x m x ⎧=+-+>⎪⎨=-+->⎪⎩对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以1622222m x x m x x ⎧-<+⎪⎪⎨⎪+<-⎪⎩对任意的1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，对于函数16y x x =+，当1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得8y ≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以16y x x =+在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为8，228m ∴-<，得3m >-； 由于函数2y x x =-在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时，函数2y x x =-取得最小值72-，7222m ∴+<-，解得114m <-. 综上所述，实数m 的取值范围是113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次不等式的恒成立问题，涉及主元法，在解题时充分利用参变量分离法的思想进行求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．已知()42x xa f x +=为偶函数． （1）求实数a 的值，并写出()f x 在区间[)0,+∞上的增减性和值域（不需要证明）； （2）令()()()2g x f x tf x =+，其中0t >，若()g x 对任意1x 、[]20,1x ∈，总有()()214g x g x -≤，求t 的取值范围；（3）令()()()2h x f x f x =+，若()h x 对任意1x 、[]()2120,1x x x ∈≠，总有()()()()2121h x h x s f x f x -≤-，求实数s 的取值范围．【答案】（1）1a =，在[)0,+∞上是增函数，值域为[)2,+∞；（2）70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）[)6,+∞.【解析】（1）利用偶函数的定义()()f x f x -=，作差变形可求出1a =，结合函数()y f x =的解析式写出该函数在区间[)0,+∞上的单调性，并利用单调性得出函数()y f x =在该区间上的值域；（2）由题意得出()()max min 4g x g x -≤，且()()()4422xxxx g x t --=+++，换元5222,2x x m -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，构造函数()22h m m tm =+-，由0t >可得出二次函数()y h m =的对称轴02t m =-<，分析函数()y h m =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，求出函数()y h m =的最大值和最小值，结合不等式()()max min 4h m h m -≤求出实数t 的取值范围；（3）由()()()()2121h x h x s f x f x -≤-可得出112222221x x x x s --≥++++，求出不等式右边代数式的取值范围，可得出实数s 的取值范围. 【详解】（1）函数()42x xaf x +=为偶函数，则()()f x f x -=， 即()()1444144421222422xxx x x x x x x x x xxaa a a a af x f x --+++++⋅+--=-=-=⋅-()()()()()()1444411410222xxxx x xxxa a a a a +⋅-+⋅-----====，由题意知，对任意的x ∈R ，()()14102x a --=恒成立，则10a -=，1a \=，()41222x x x x f x -+∴==+，该函数在区间[)0,+∞上为增函数，且()()02f x f ≥=， 所以，函数()y f x =在区间[)0,+∞上的值域为[)2,+∞； （2）由题意知，()()max min 4g x g x -≤，且()()()4422xxxx g x t --=+++，设22x x m -=+，[]0,1x ∈，则52,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2442x x m -+=-，设函数()22h m m tm =+-，则()()m a xm i n4h m h m -≤，二次函数()y h m =的对称轴为直线2t m =-. 0t >，02t ∴-<，则函数()y h m =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()()min 222h m h t ==+，()max 5517224h m h t ⎛⎫==+⎪⎝⎭，()()()max min 517192242424h m h m t t t ⎛⎫∴-=+-+=+≤ ⎪⎝⎭，解得72t ≤，0t >，702t ∴<≤，因此，实数t 的取值范围是70,2⎛⎤⎥⎝⎦；（3）()()()2222222x x x x h x f x f x --=+=+++，()()()()2222111122222122222222x x x x x x x x h x h x ----∴-=+++-+++()()()22212121222222222222x x x x x x x x ----=-+-+-+-()()2121212122221122222222x x x x x x x x --=-+-+-+-()()1221212112222222222222222x x x x x x x x x x --+-=-++-+-()()()2112212112222222222122222x x x x x x x x x x +--+--=+-+-()()()()()21122112212112222221222122222x x x x x x x x x x x x x x ++--+--++=+-+-，()()()()1221212121211221112222222222222x x x x x x x x x x x x x x f x f x --+--=-+-=-+-=-+()()21121222212x x x x x x ++--=，由()()()()2121h x h x s f x f x -≤-， 可得()()()()()21122112221112222221222122222x x x x x x x x x x x x x x ++--+--++++--()()21121222212x x x x x x s++--≤，()()()2112212211121222211122112222122x x x x x x x x x x x x x x s +--++++⎛⎫∴≥+=+++=++++ ⎪⎝⎭，由于函数()22x xf x -=+在[]0,1上单调递增，且101x ≤≤，201x ≤≤，1152222x x -∴≤+≤，2252222x x-≤+≤，又12x x ≠，11225222216x x x x --∴<++++<，所以，6s ≥，因此，实数s 的取值范围是[)6,+∞. 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、指数型函数不等式的综合问题，将问题转化为二次函数问题是解题的关键，同时也考查了参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。
黑龙江省哈三中高一数学上学期期中试题
黑龙江省哈三中2014-2015学年高一数学上学期期中试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 设集合{}3,1,0,1,3A =--,集合{}2,1,0,1B =--，则A B ⋂=A ．{}3,1,3-B ． {}1C ． {}1,0,1-D ． {}1,0,3-2． 若函数()2log 2-=x x f ，则函数()f x 定义域为A ．()+∞,4B ．)[∞+,4C ． ()4,0D ． ](4,03． 下列各组中的两个函数是同一函数的是A ．21()()11x f x g x x x -==-+与 B ． )0()()0()(22≥=≥=x x x g r r r f ππ与C ．x a a x f log )(=)1,0(≠>a a 且与 =)(x g x a a log (1,0≠>a a 且)D ．()()f x x g t ==与4． 已知函数()])(()22,,21,,2,1x x f x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎡⎪⎣=⎨-∈-⎪⎩,则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-23f f A ．41 B ． 23 C ．1631- D ．23- 5． (){}**,5,,P x y x y x N y N =+=∈∈，则集合的非空子集的个数是A ．3B ．4C ．15D ．16 6． 设0.89a =，0.4527b =， 1.51()3c -=，则,,a b c 大小关系为 A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b >> D ．b c a >> 7． 若函数()246f x x x =++,则()x f 在)[0,3-上的值域为 A ．[]6,2 B ． )[6,2 C ．[]3,2 D ．[]6,38． 若不等式312≤-x 的解集恰为不等式012≥++bx ax 的解集,则=+b aA ．0B ． 2C ．2-D ．49. 计算：3321212121(log 3)(log 7)3log 3log 7++=A ．0B ．1C ．1-D ．210. 定义在R 的偶函数，当0≥x 时，()x x x f 22-=，则()3f x <的解集为A ．()3,3-B ．[]3,3-C ．()(),33,-∞-⋃+∞D ．](),33,-∞-⋃+∞⎡⎣ 11. 若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-+=1,1,2212x a a x ax x x f x 在()+∞,0上是增函数,则a 的范围是 A ．](2,1 B ． )[2,1 C ．[]2,1 D ．()+∞,112. 设f 为()()+∞→+∞,0,0的函数，对任意正实数x ，()()x f x f 55=，()32--=x x f ，51≤≤x ，则使得()()665f x f =的最小实数x 为A ．45 B. 65 C. 85 D. 165第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．{}022=--=x x x A ,{}01=-=ax x B ,若B B A =⋂,则=a .14． 已知32a =，95b =，则22327a b -=________________.15． 已知41122-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x f ,则函数()x f 的表达式为__________________. 16. 若函数)(x f , )(x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足xx g x f 10)()(=-，则)3(),2(),1(g f f 从小到大的顺序为_______________________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题10分） {}13<-=x x A ，103x B xx ⎧-⎫=>⎨⎬-⎩⎭，求,()R A B A C B ⋃⋂.18．（本大题12分）判断函数()212f x x x =- 在()0,+∞上的单调性，并加以证明.19．（本大题12分）解关于x 的不等式12ax ≤-,（其中a 为常数）并写出解集.20．（本大题12分）求下列函数的值域：(Ⅰ) 5734x y x +=+ （0x >）;(Ⅱ) 34y x =+21．（本大题12分）已知函数()(0,1)x x f x k a a a a -=⋅->≠为R 上的奇函数，且8(1)3f =.(Ⅰ)解不等式：2(2)(4)0f x x f x ++->;(Ⅱ)若当[1,1]x ∈-时，121x x b a +->恒成立，求b 的取值范围.22. （本大题12分） 已知函数b a x f x x +-=22)(.(Ⅰ) 当0,1==b a 时, 判断函数)(x f 的奇偶性, 并说明理由;(Ⅱ) 当4==b a 时, 若5)(=x f , 求x 的值;(Ⅲ) 若4-<b , 且b 为常数, 对于任意(]2,0∈x , 都有0)(log 2<x f 成立, 求a 的取值范围.哈三中2014—2015学年度上学期高一学年第一模块数学试卷答案1C 2B 3B 4A 5C 6C 7B 8A 9B 10A 11A 12B 13 10,1,2- 14．645 15。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10} 2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab210．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2 11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10}【分析】先求出A∪B，阴影区域表示的集合为∁U（A∪B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，∴A∪B＝{2，4，6}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：∁U（A∪B）＝{8，10}．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题P：∃n∈N，n3＜n为特称命题，则命题的否定为：∀n∈N，n3≥n．故选：D．3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】先利用幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，比较出a，c的大小关系，再利用指数函数y＝0.5x在R上单调递减，比较出a，b的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．解：∵幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且0.5＞0.3，∴0.50.2＞0.30.2，即a＞c，∵指数函数y＝0.5x在R上单调递减，且0.2＞0.1，∴0.50.2＜0.50.1，即a＜b，∴c＜a＜b，故选：C．4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]【分析】根据f（x）的定义域求出f（2x）的定义域即可．解：由题意得：0≤2x≤4，解得：0≤x≤2，故函数f（2x）的定义域是[0，2]，故选：D．5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t【分析】可看出A，B选项中的两个函数的定义域都不相同，不是同一个函数；选项C 的两函数的对应关系不同，不是同一个函数，从而只能选D．解：A．f（x）的定义域为R，g（t）的定义域为{t|t≠0}，定义域不同，不是同一个函数；B．f（x）的定义域为{x|x≤﹣2或x≥2}，g（t）的定义域为{t|t≥2}，定义域不同，不是同一个函数；C.，，对应关系不同，不是同一个函数；D．f（x）＝3x和g（t）＝3t的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选：D．6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]【分析】求解t＝x2+x+1的值域，结合反比例函数的性质可得函数y＝的值域；解：设t＝x2+x+1＝，即t∈[，+∞），函数y＝转化为y＝（），根据反比例函数的性质，可得0＜y．故选：C．7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%【分析】设降价百分率为x%，由题意知125（1﹣x%）3＝27，由此能够求出这种商品平均降价的百分率．解：设降价百分率为x%，∴125（1﹣x%）3＝27，即1﹣x%＝0.6解得x＝40．故选：A．8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]【分析】令t＝x2﹣2x，求出该二次函数的减区间，利用复合函数的单调性即可得到函数y＝的单调递增区间．解：令t＝x2﹣2x，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝1，则函数t＝x2﹣2x在（﹣∞，1]上是减函数，由外层函数y＝是减函数，由复合函数的单调性可得，函数y＝的单调递增区间是（﹣∞，1]．故选：B．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2【分析】由a＞b＞0，通过作差即可判断B，取特殊值即可判断ACD．解：A．取a＝﹣2，b＝1，可知＞不成立，因此A不正确；B．∵a＞b＞0，∴﹣＝＞0，∴＞，因此B正确；C．取a＝b＝1时，ab＝1，因此C不正确；D．取b＝0时，cb2＜ab2不正确，因此D不正确．故选：B．10．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2【分析】根据二次函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．解：由题意得：m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝恒成立，符合题意，m+1≠0时，f（x）的定义域是R，只需，解得：﹣1＜m≤2，综上：m∈[﹣1，2]，故选：C．11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）【分析】由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，即可判断．解：f（x）的图象关于原点对称，g（x）的图象关于y轴对称，由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，故g（x）＝f（﹣|x|），故选：C．12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]【分析】因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求方程解的问题，进而可以求解．解：f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，∴（）2﹣2m•3+m2﹣2＝﹣（3）2+2m•﹣m2+2，∴2m2﹣4＝﹣（3）2﹣（）2+2m（3+）＝﹣（3+）2+2+2m（3+），∴2m2﹣6＝﹣（3+）2+2m（3+），设t＝3+，则t≥2，∴2m2﹣6+t2﹣2mt＝0，即t2﹣2mt+2m2﹣6＝0在t∈[2，+∞）有解，令g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣6，t∈[2，+∞），其对称轴为x＝m，当m≥2时，则△＝4m2﹣4（2m2﹣6）≥0，解得2≤m≤，当m＜2时，f（2）＝4﹣4m+2m2﹣6≤0，解得1﹣≤m＜2，综上所述m的取值范围为[1﹣，6]，故选：A．二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝10．【分析】利用分段函数的性质求解．解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2×12+1＝3，f[f（1）]＝f（3）＝2×3+4＝10．故答案为：10．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝4a．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．解：原式＝﹣24÷（﹣6）＝＝4a．故答案为：4a．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为[1，+∞）．．【分析】由题意求出不等式﹣x2+4x﹣3≥0的解集，即可得出实数m的范围．解：∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0成立，可令﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，所以实数m的范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，由此分类讨论即可得出结果．解：作出函数f（x）的图象如图所示，由图可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，且当k＜﹣2时，方程f（t）＝k无实根，当k＝﹣2时，方程f（t）＝k有唯一实根，当﹣2＜k＜0时，方程f（t）＝k有2个实根，当k＝0或k≥1时，方程f（t）＝k有3个实根，当0＜k＜1时，方程f（t）＝k有4个实根，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，此时t∈（﹣2，+∞），故方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根等价于f（t）＝k的实根至少有3个，当k＝0时，f（t）＝k的三个根均大于﹣2，符合题意；当时，f（t）＝k的四个根均大于﹣2，f（|x|﹣2）＝k有8个不同的实数根，不合题意；当时，此时f（|x|﹣2）＝k有7个不同的实数根，不合题意；当时，f（t）＝k只有三个均大于﹣2的不同实根，符合题意．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别化简集合A，B，根据集合的补集和交集即可求出；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，可得B⫋A，即可得到，解得即可．解：（1）由＜0，解得﹣5＜x＜，故A＝（﹣5，），∴∁R A＝（﹣∞，﹣5]∪[，+∞）当a＝4时，x2﹣16x+48＜0，解得4＜x＜12，即B＝（4，12），∴（∁R A）∩B＝[，12），（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，可得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，解得a＜x＜3a，即B＝（a，3a），命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，∴B⫋A，∴，解得0＜a≤，故实数a的取值范围（0，]．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．【分析】（1）根据条件，可得a3+b3﹣a2b﹣ab2≥0，从而证明不等式成立；（2）根据条件，可得＝，然后利用基本不等式，即可求出的最小值．解：（1）证明：∵a＞0，b＞0．∴a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a2﹣b2）（a﹣b）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2．（2）∵a＞0，b＞0，a+b＝3，∴＝＝，当且仅当，即a＝1，b＝2时取等号，∴的最小值为3．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．【分析】（1）根据f（0）＝0，求出b的值，求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．解：（1）函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，则f（0）＝b+1＝0，解得：b＝﹣1，故f（x）＝；（2）任意x1，x2∈（﹣1，1），设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+1＞0，+1＞0，x2﹣x1＞0，且x1，x2∈（﹣1，1），x1x2﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（﹣1，1）上递增．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．【分析】（1）求出f（1）的值，根据函数的单调性求出f（x）的值域即可；（2）根据函数的解析式求出函数的单调性即可；（3）问题转化为（x+2）（ax﹣1）≥0，通过讨论a的范围，求出x的范围即可．解：（1）f（1）＝＝，f（x）＝＝1﹣，x→+∞时，f（x）→1，x→﹣∞时，f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1）；（2）f（x）在R单调递增；（3）由（1）f（1）＝，f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥即f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥f（1），即ax2+（2a﹣1）x﹣2≥0，即（x+2）（ax﹣1）≥0，①a＝0时，﹣（x+2）≥0，解得：x≤﹣2，②a＞0时，∵＞0＞﹣2，解得：x≥或x≤﹣2，③﹣＜x＜0时，＜﹣2，要使（x+2）（ax﹣1）≥0，解得：≤x≤﹣2，④a＝﹣时，（x+2）（ax﹣1）＝﹣（x+2）≤0，解得：x＝﹣2，⑤a＜﹣时，＞﹣2，解得：﹣2≤x≤．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．【分析】（Ⅰ）对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6，化简整理，再由投入资金都不低于25万元，解不等式求得定义域；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230，由配方和二次函数的值域求法，即可得到所求最大值．解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6＝﹣x+6+230，由，解得25≤x≤175，所以函数的定义域为[25，175]；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230＝﹣（t﹣6）2+248，因为x∈[25，175]，所以t∈[5，5]，当t∈[5，6]时函数单调递增，当t∈[6，5]时函数单调递减，所以当t＝6时，即x＝36时，y max＝248，答：当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大．最大总利润为248万元．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．【分析】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，要使存在一个最大的正数T（﹣1），在区间[0，T（﹣1）]上，﹣3≤f（x）≤2恒成立，T（a）只能是﹣x2+4x ＝2较小的根即可；（2）利用二次函数的性质求出函数的最大值，研究二次函数的最值与2的大小关系，分类讨论，可求T（a）的表达式；（3）由（2）中所得的表达式，求其最值即可．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，因为函数f（x）的最大值大于2，要使存在一个最大的正数T（﹣1），当0≤x≤T（﹣1）时，恒有﹣3≤f（x）≤2，所以T（﹣1）只能是﹣x2+4x＝2较小的根2﹣．（2）由a＜0，f（x）＝a（x+）2﹣，当﹣＞2，即﹣2＜a＜0时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝2的较小的根，即T（a）＝；当﹣≤2，即a≤﹣2时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝﹣3的较大的根，即T（a）＝；所以T（a）＝．（2）当﹣2＜a＜0时，T（a）＝＝＜1；当a≤﹣2时，T（a）＝＝≤；所以T（a）的最大值为．。
黑龙江哈三中―度高一数学上学期期中考试【会员独享】
黑龙江哈三中2011—2012学年度高一上学期期中考试（数学）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分,考试时间为120分钟．（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B ⋂=A ．{3}B ．{4,5}C ．{1245}，，，D ．{3,4,5}2. 下列四组函数中表示同一个函数的是A ．()f x x =与()g x =B ．0()f x x =与()1g x =C ．()f x x =与2()x g x x= D ．()f x =()g x =3. 已知函数()3log 03 0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则))91((f f 的值是A ．9B ．91C ．9-D ．19- 4. 函数222x xy -+=的单调递减区间为A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．[0,2]D ．[1,)-+∞5. 下列各式成立的是A ．1777()m n m n= B ．=C ．34()x y =+D =6. 下列各函数中，值域为()+∞,0的是A ．22x y-= B ．x y 21-= C ．12++=x x y D ．113+=x y7. 已知函数3()2f x ax bx =+-，若(2011)10f =，则(2011)f -的值为A ．10B ．10-C ．14-D ．无法确定 8. 若函数ax y =与xb y -=在),0(+∞上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(+∞上是A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增9. 若偶函数)(x f 在[0,)x ∈+∞上的表达式为)1()(x x x f -=，则(,0]x ∈-∞时，()f x =A ．(1)x x --B ．)1(x x -C ．(1)x x -+D ．(1)x x + 10. 若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是A ．3(0,]4B ．3[0,]4C ．3(,)4+∞ D ．3[0,)411. 若函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=f ，则0)()(<--xx f x f的解集为A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),2()0,2(+∞⋃-12. 当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间．函数的保值区间有],(m -∞、],[n m 、),[+∞n 三种形式．以下四个图中：虚线 为二次函数图像的对称轴，直线l 的方程为x y =，从图象可知，下列四个二次函数中有第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 已知：集合{023}M =，，，定义集合运算A ※A{|,,}x x a b a A b A =+∈∈，则M ※M = ．14. 关于x 的不等式0ax b ->的解集为()+∞,1，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为 ． 15. 某种细胞分裂时，由于在分裂过程中，有些细胞会自动消亡，分裂次数)(*N n n ∈与第n 次得到的细胞总数y 近似的满足关系n y 5.1=)(*N n ∈，则由1个细胞分裂达到 10个细胞所需的分裂次数至少是_____次．（lg30.4771,lg20.3010==）D AFC H16. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈，都有)3()()6(f x f x f +=+成立，当],3,0[,21∈x x 且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ，给出下列命题：①0)3(=f ； ②直线6-=x 是函数)(x f y =的图象的一条对称轴； ③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④方程0)(=x f 在]9,9[-上有四个实根． 其中正确的命题序号是___________．（把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知全集U R =，集合{}|15A x x =≤≤，{}2|10160B x x x =-+<， 求A B ⋃,（)U C A B ⋂． 18．（本小题满分12分）（I ） 计算：222(lg50)lg 2lg(50)lg 2+⨯+；（II ） 已知32121=+-xx ，求22122x x x x --+-+-的值．19.（本小题满分12分）已知函数)(122)(R x a x f x∈+-= （I ） 若函数为奇函数，求实数a 的值；（II ） 在（I ）的条件下，求函数)(x f 的值域.20．（本小题满分12分）如图，现有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知(2)AB a a =>，2BC =，且AE AH CF CG ===，设AE x =，绿地面积为y .（I ） 写出y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；（II ） 当AE 为何值时，绿地面积y 最大？ 21．（本小题满分12分）函数()x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意的0)(,>∈x f R x 有； ②对任意的,x y R ∈，都有()[()]yf xy f x =；③1)31(>f . （I ） 求(0)f 的值；（II ） 求证：()f x 是(,)-∞+∞上的单调递增函数； （III ） 解关于x 的不等式：(1)[(2)]1x f x a +->．22．（本小题满分12分）已知函数()223x xf x m =⋅+⋅，m R ∈．（I ） 当9m =-时，求满足(1)()f x f x +>的实数x 的范围； （II ） 若9()()2xf x ≤对任意的x R ∈恒成立，求实数m 的范围；（III ） 若存在m 使()xf x a ≤对任意的x R ∈恒成立，其中a 为大于1的正整数，求a 的最小值．参考答案一、选择题二、填空题13．{}0,2,3,4,5,6 14．{}|12x x x <->或 15．6 16．①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．{}|18A B x x ⋃=≤<, {}()|58U C A B x x ⋂=<< 18．（1）4； （2）9 19.（1）1a =； （2）(1,1)-20．（1）22(2)y x a x =-++ 02x <≤；（2）当26a <≤时，24a x +=时，2max (2)8a y +=；当6a >时，2x =时，max 24y a =-.21．（1）1；（2）略；（3）当12a =-时，(,1)(1,)-∞-⋃-+∞； 当12a >-时，(,1)(2,)a -∞-⋃+∞；当12a <-时， (,2)(1,)a -∞⋃-+∞.22．（1）2x >； （2）1m ≤-；（3）min 4a =.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学(国际部)试题
哈三中2019－2020学年度（国际部）上学期高一学年第一模块考试数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题（本题共有12小题，每小题5分， 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合{}0,1,2M =，{}2|320N x x x =-+≤，则M N = A . {}1 B . {}2 C . {}0,1 D . {}1,22.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是A ．22y x =-B ．3y x= C ．1y = D ．2(2)y x =-+ 3. 若集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{},,z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为A ．5B . 4C . 3D . 24 .知集合{A =，{}1,B m = ，AB A =， 则m = A . 0或3 B . 0或3C . 1或D .1或3 5.函数)(12R x x x y ∈++=的递减区间是A ．),21[+∞-B ．),1[+∞-C ．1(,]2-∞-D ．),(+∞-∞ 6.(){}64,=+=y x y x A ，(){}723,=+=y x y x B ，则=B AA.{}2或1==y x xB.{}2,1C. (){}2,1 D. ()2,1 7. 与函数122+=x y 不相同的函数是A.122++=x x yB. ()2212+=x yC.122+=x yD. ()()11122+++=x x x y8 .函数()xx x y -+=032的定义域是 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠<230x x x 且 B. {}0<x xC. {}0>x xD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠∈230x x R x 且9.下列说法中，正确的是A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．若奇函数)(x f y =在0=x 处有定义，则0)0(=fC ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x x f ∈=,0)(D ．图象过原点的增函数（或减函数）一定是奇函数10.函数中，既是奇函数又在定义域上为增函数的是A. ()13+=x x fB.()x x f 1=C. ()x x f 11-=D. ()3x x f =11.函数()842--=x x x f 的定义域为[0,]a ，值域为[12,8]--，则a 的取值范围是A. []4,0B. []6,4C. []6,2D. []4,212.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()02=f ，若对任意()+∞∈,0,21x x ，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f 恒成立，则不等式()0>x xf 的解集为A ．()()202+-∞，，B ．()()200,2-，C ．()()+∞-∞-,22,D ．()()2,02, -∞-第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题， 每小题5分）13.设函数)(x f 满足：对任意的1x ，2x R ∈都有[]0)()()(2121>-⋅-x f x f x x 则)()3(π--f f 与的大小关系是___________.14. 已知8)(35-++=cx bx ax x f ，且10)(=d f ，则()=f d -__________.15.不等式2223503134x x x x --≥-+的解集为________________．16.设定义在[],22-上的偶函数()f x 在区间[],20上单调递减，若(1)(1)f m f -<，则实数m 的取值范围是_______________.三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}63A x x x =><-或，{}3B x a x a =<<+，若AB A =，求实数a 的取值范围.18. 判断下列函数奇偶性： （1）()f x =+（2）()f x =19.已知函数222)(a ax x x f --=在区间]2,0[上的最大值为1-，求实数a 的值.20．用函数单调性定义证明,求证：函数11)(--=xx f 在区间(),0-∞上是单调增函数21.函数)(x f ，()1,1x ∈-为奇函数，且0)1()1(2<-+-a f a f . 若)(x f 是()1,1-上的减函数，求实数a 的取值范围.22.若函数cbx ax x f ++=1)(2是奇函数，(),,a b c N ∈ 且(1)2f =，(2)3f < （1）求实数a ,b ,c 的值；（2）判断函数()f x 在]1,[--∞上的增减性,并证明.一、1-5 DCCBC 6-10 DDABD 11-12AC二、13、f(-3)＞f(-) 14、-26 15、{x|x＞4或＜x≤或x≤-1} 16、2＜m≤3或-1≤m＜0三、17、∵A∪B＝A，∴B⊆A，且A＝{x|x＞6或x＜﹣3}，B＝{x|a＜x＜a+3}，∴a+3≤﹣3或a≥6，∴a≤﹣6或a≥6，∴a的取值范围为{a|a≤﹣6或a≥6}．18、（1）对于，有，解可得x＝1，即函数的定义域为{x|x＝1}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；（2）对于，有，解可得：﹣6＜x≤6且x≠0，即函数的定义域为{x|﹣6＜x≤6且x≠0}，其定义域不关于原点对称；为非奇非偶函数．19、f（x）的对称轴为x＝a，①a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，∴f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）＝4﹣4a﹣a2＝﹣1，解得a＝﹣5或1，∴a＝﹣5；②0＜a＜2时，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）＝﹣a2＝﹣1，或f（2）＝4﹣4a﹣a2＝﹣1，且0＜a＜2，∴解得a＝1，③a≥2时，f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）＝﹣a2＝﹣1，且a≥2，∴a∈∅，综上得，a＝﹣5或1．20、证明：任取x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2），由题设可得，x1﹣x2＜0，x1•x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．21、根据题意，函数f（x），x∈（﹣1，1）为奇函数，则f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0⇒f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）⇒f（1﹣a）＜f（a2﹣1），又由f（x）是（﹣1，1）上的减函数，则f（1﹣a）＜f（a2﹣1）⇒ ＜＜＜＜＞，解可得：0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）；故a的取值范围（0，1）．22、（1）根据题意，函数是奇函数，（a，b，c∈N）且f（1）＝2，则f（﹣1）＝﹣2，又由f（2）＜3，则有＜且a、b、c∈N，解可得a＝1，b＝1，c＝0；（2）由（1）可得：f（x）x，函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，设x1＜x2≤﹣1，f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2），又由x1＜x2≤﹣1，则（x1﹣x2）＜0且（x1x2﹣1）＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．。
哈三中高一上学期期中数学试题含答案
哈三中2013—2014学年度上学期 高一学年第一模块考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若{}{}|20,|30A x x B x x =+>=-<，则AB =A ．(2,)-+∞B ．(,3)-∞C ．(2,3)-D ．(2,3) 2. 设U =Z ，{}{}1,3,5,7,9,1,2,3,4,5A B ==，则图中阴影部分表示的集合是A ．{}2,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}7,9D ．{}1,3,5 3. 下列各组函数中表示同一函数的是A ．()f x x =与2()()g x x =B ．()f x x =与()(0)g x x x =>C ．0()f x x =与()1g x = D ．21()1x f x x -=-与()1(1)g x x x =+≠4. 化简2115113366221(3)()3a b a b a b -÷的结果为A ．9aB ．9a -C ．9bD ．9b - k%s5$u 5. 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞6. 对任意两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)a b c d ⊕=(,)a c b d ++.设,p q ∈R ，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(4,0)D ．(0,4)-7. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是8. 设3(log )2(0)xf x x =>，则(2)f 的值是A ．128B ．256C ．512D ．8 9. 已知函数()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x <时，函数的图象如右图所示，则不等式()0xf x <的解集是 A ．(2,1)(1,2)-- B ．(2,1)(0,1)(2,)--+∞C ．(,2)(1,0)(1,2)-∞-- D ．(,2)(1,0)(0,1)(2,)-∞--+∞ 10. 函数2222,[1,2]xx y x -+=∈-的值域是A ．RB ．[4,32]C ．[2,32]D ．[2,)+∞11. 若(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x -=，则有A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<12. 若定义在]2013,2013[-上的函数()f x 满足：对于任意的12,[2013,2013]x x ∈-，有1212()()()2012f x x f x f x +=+-，且0x >时，有()2012f x >，()f x 的最大、小值分别为M 、N ，则M +N 的值为A ．2011B ．2012C ．4022D ．4024第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 函数2()3x f x a-=-+恒过定点的坐标是．14. 2439(log 9log 3)(log 2log 8)++=．15. 函数2231()2x x y --=的单调递增区间是．16. 已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件：d d 0 t 0tOA ．d d 0 t 0tOB ．d d 0 t 0tOC ．d d 0 t 0tOD ．①对任意R x ∈，0)(<x f 或0)(<x g ；②存在()4,0-∞-∈x ,使()()0f x g x <，则m 的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题满分10分）已知}023|{2≥+-=x x x U ，}1|2||{>-=x x A ，}021|{≥--=x x x B ，求B A ，B A ，().U C A B k%s5$u18.（本大题满分12分）计算下列各式的值：(1) 12038110.25+lg162lg5+()2723----（） (2) 324lg 2lg 3+19．（本大题满分12分）某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投 资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1 万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大 收益, 其最大收益是多少万元?20．(本大题满分12分)已知函数()(0)x xe af x a a e =+>是定义在R 上的偶函数. (1)求a 的值；(2)判断并用单调性定义证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性； (3)求不等式2(2)(42)0f x x f x -+-->的解集．21．(本大题满分12分) k%s5$u已知定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数，且0≥x 时，12)(-=x x f.(1)当0x <时，求()f x 解析式；(2)当时)1](,1[->-∈m m x ，求()f x 取值的集合； (3)当],[b a x ∈时，函数的值域为]2,21[,求b a ,满足的条件.22．(本大题满分12分) k%s5$u设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间{}|()0I x f x =>.(1)当a 在()+∞,0变化时，求I 的长度的最大值 (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (2)给定一个正数k ,当a 在[]k k 21,+变化时，I 长度的最小值为265，求k 的值; (3)若)1(32)()1(f x f x f ≤++对任意x 恒成立，求a 的取值范围. k%s5$u哈三中2013－2014学年度高一学年第一学段考试数学试卷答案一 选择题1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.D 10.C 11.D 12.D 二 填空题 13.(2,2) 14.254 15.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 16.()4,2--三 解答题 17.解：{}|31A B x x x ⋂=><或,,{}|31A B x x x ⋃=>≤或{}()|21U C A B x x x ⋃=≥≤或18.解：（1）332， k%s5$u （2）1219.解：（1）18y x =,y =（2）稳健型16万,风险型4万.20.解：（1）1a =（2）增函数(3){}|40x x x ><或 21.解：（1）1(1)()2x f x --=；1111(2)10,2,1;01,,1;1,,2.22m m m m m ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-<≤<≤>⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3）20,2;2,0 2.a b a b -≤≤==-≤≤ 22.解： （1）12，k%s5$u 1(2)2k=5k =或(3)3322a ⎡-+∈⎢⎣⎦，。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x +sinxB. y =−lnxC. y =(12)xD. y =x +1x2. 若函数f(x)=3x +3−x 与g(x)=3x −3−x 的定义域为R ，则( )A. f(x)与g(x)均为偶函数B. f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C. f(x)与g(x)均为奇函数D. f(x)为奇函数，g(x)为偶函数3. 已知a 为正实数，则a −23=( )A. a 23 B. √a 3C. √a 3D. 1√a 234. 函数y =√x 2+4定义域为( )A. {x|x ≠0}B. {x|x >2或x <−2}C. RD. {x|x ≠±2}5. 已知函数f(x)=xe x ，若关于x 的方程[f(x)]2+mf(x)+m −1=0恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,2)∪(2,+∞)B. (1−1e ,+∞) C. (1−1e ,1)D. (1,e)6. 若log a 23<1，则实数a 的取值范围是( )．A. (0,23)B. (23,+∞) C. (23,1)D.7. 设U =R ，集合A ={y|0⩽y ⩽2}，B ={x|x1−x ⩾0}，则A ∩∁U B 等于 ( )A. (0,2)B. [0,2]C. (1,2]D. [1,2]8. 设函数f (x )={1−x 2(x ≤1)x −3(x >1)，则f[f(2)]的值为( )A. 1B. 3C. −3D. 09. 已知x >0时，f(x)=x −2016，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x <0时，f(x)的解析式是( )A. f(x)=x +2016B. f(x)=−x +2016C. f(x)=−x −2016D. f(x)=x −2016 10. 计算lg4+lg25=( )A. 2B. 3C. 4D. 1011. 已知函数f(x)对任意x ∈R ，f(2−x)+f(x)=4，若函数g(x)=f(x)−2x−1x−1的零点有三个，分别为x 1，x 2，x 3，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)x 1+x 2+x 3=( )A. −2B. 2C. −1D. 112. 已知函数f(x)={2x +1,x ≥0,3x 2,x <0,且f(x 0)=3，则实数x 0的值为( )A. −1B. 1C. −1或1D. −1或−13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. y =log 2(3x 2−2x −2)的定义域是________________． 14. 不等式2|x −3|+|x −4|<2解集为______ ． 15. 若函数y =ax+1x+2在(−∞,−2)是减函数，则实数a 的取值范围为__________．16. 已知不等式(a −1)x +a 2+1>0对任意a ∈[0,1]恒成立，则实数x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式的值(1)(−0.1)0+√23×223+(14)−12 (2)log 3√27+lg25+lg4．18. 已知不等式ax 2−5x +b >0的解是{x|−3<x <2}，设A ={x|bx 2−5x +a >0}，B ={x|3x+1≥5}． (1)求a ，b 的值； (2)求A ∩B 和A ∪∁U B ．19.已知函数f(x)=a x+1−3(a>0且a≠1)，若函数y=f(x)的图象过点(2,24)．(1)求a的值及函数y=f(x)的零点；(2)求f(x)≥6的解集．20.f(x)=x2+ax+b是定义在[−4,0)∪(0,b]上的奇函数x(1)求a，b的值；(2)用单调性定义证明：f(x)在(0,√b]上为减函数21.已知f(x)=kx+b，且f(1)=−1，f(2)=−3．(1)求f(x)的解析式;(2)求f(a−1)的值．22.已知函数f(x)=a−2x(a∈R)，且x∈R时，总有f(−x)=−f(x)成立．1+2x(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)求f(x)在[0,2]上的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，属于基础题． 通过对每个选项中函数单调性进行分析即可得出答案． 【解答】解：A.y′=1+cosx ≥0，所以y =x +sinx 在(0,+∞)上为增函数，A 正确； B .y′=−1x ，当x ∈(0,+∞)，y′<0，所以y =−lnx 在(0,+∞)上为减函数，B 错误； C .y =(12)x 在R 上为减函数，C 错误；D .y′=1−1x 2，当x ∈(0,1)时，y′<0，当x ∈(1,+∞)时，y′>0，所以y =x +1x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，D 错误. 故选A ．2.答案：B解析：f(−x)=3−x +3x =f(x)，f(x)为偶函数，g(−x)=3−x −3x =−g(x)，g(x)为奇函数．3.答案：D解析：解：已知a 为正实数，则a −23=√a 23，故选：D ．根据分数指数幂化为根式的规则即可得到． 本题考查了分数指数幂化为根式，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵x 2+4>0， ∴x ∈R ． 故选：C ．由二次根式的性质，从而求出函数的定义域问题．本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．5.答案：C解析：解：由题意f′(x)=1−x．e x<0，解得x>1；令f′(x)=1−xe x>0，解得x<1；令f′(x)=1−xe x=0，解得x=1．令f′(x)=1−xe x∴f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，．在x=1处取极大值1ef(x)大致图象如下：假设m=2，令t=f(x)．则t2+2t+1=0.解得t=−1，即f(x)=−1．根据f(x)图象，很明显此时只有一个解，故m=2不符合题意，由此排除B、D选项；假设m=3，则t2+3t+2=0，解得t1=−2，t2=−1．即f(x)=−2，或f(x)=−1．根据f(x)图象，很明显此时方程只有两个解，故m=3不符合题意，由此排除A选项．故选：C．本题先利用导数法对函数f(x)的单调性进行分析并画出f(x)大致图象，然后运用赋值法排除错误选项，最终得到正确选项．本题主要考查利用导数法对函数f(x)的单调性进行分析，并在选择题中运用赋值法．本题属较难题．解析：【分析】本题考查对数不等式的求解，属于基础题.对a 分类讨论，根据对数函数的单调性解不等式即可．【解答】解：当a >1时，log a 23<1=log a a ，解得a >23， 所以此时a 的取值范围为(1,+∞)；当0<a <1时，log a 23<1=log a a ，解得0<a <23， 所以此时a 的取值范围为(0,23)． 综上，实数a 的取值范围是．故选D ．7.答案：D解析： 【分析】本题考查了交、补集的混合运算，其中根据已知条件求出集合A ，B 是解答本题的关键，属基础题． 根据已知条件我们分别计算出集合B ，然后根据交集和补集运算的定义易得到A ∩(∁R B)的值． 【解答】解：∵B ={x|x1−x ⩾0}={x|0⩽x <1}， ∴∁U B ={x|x <0或x ⩾1}， 从而有A ∩∁U B ={x|1≤x ≤2}． 故选D ．8.答案：D解析： 【分析】本题考查了分段函数，属于基础题． 利用分段函数的函数值计算得结论. 【解答】解：因为函数f (x )={1−x 2(x ≤1)x −3(x >1), 所以f (2)=2−3=−1，因此f[f(2)]=f (−1)=1−(−1)2=0．9.答案：A解析：设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−x−2016，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)= x+2016．10.答案：A解析：【分析】本题考查了对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=lg4+lg25=lg100=2．故选A．11.答案：B解析：【分析】本题考查函数性质的研究，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用f(2−x)+f(x)=4得到f(x)关于点(1,2)对称，因为y=2x−1x−1=2+1x−1关于点(1,2)对称，所以利用对称性求得答案．【解答】解：因为f(2−x)+f(x)=4，所以f(x)−2=−[f(2−x)−2]，令ℎ(x)=f(x)−2，则ℎ(2−x)=f(2−x)−2，所以ℎ(x)=−ℎ(2−x)，所以ℎ(x)关于点(1,0)对称，所以f(x)关于点(1,2)对称，因为y=2x−1x−1=2+1x−1关于点(1,2)对称，所以f(x1)+f(x2)=4，x1+x2=2，因为函数g(x)=f(x)−2x−1x−1的零点有三个，所以x3=1,f(x3)=2所以f(x1)+f(x2)+f (x3)x1+x2+x3=4+22+1=2，故选B．解析： 【分析】本题主要考查分段函数相关知识，当x 0≥0，x 0<0时，分别讨论f(x 0)的表达式，结合题干条件，就能求出实数x 0的值． 【解答】解：由条件可知，当x 0≥0时，f(x 0)=2x 0+1=3，所以x 0=1;当x 0<0时，f(x 0)=3x 02=3，所以x 0=−1．所以实数x 0的值为−1或1．13.答案：(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)解析： 【分析】本题考查了函数的定义域，属于基础题．根据对数函数的性质得3x 2−2x −2>0，解出即可． 【解答】解：由题意，得3x 2−2x −2>0， 令3x 2−2x −2=0，得x 1=1−√73，x 2=1+√73， ∴3x 2−2x −2>0的解集为(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)．∴y =log 2(3x 2−2x −2)的定义域是(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)．故答案为(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)．14.答案：(83,4)解析：解：x ≤3时，−2x +6−x +4<2，∴x >83，∴83<x ≤3； 3<x <4时，2x −6−x +4<2，∴3<x <4； x ≥4时，2x −6+x −4<2，不成立， ∴不等式2|x −3|+|x −4|<2解集为(83,4) 故答案为：(83,4)．分类讨论，解具体的不等式，即可得出结论． 本题考查绝对值不等式的解法，正确分类讨论是关键．15.答案：a <12解析：将原函数化为y =a −2a−1x+2根据反比例函数所以2a −1<0,a,12 16.答案：(−∞,1)解析： 【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，属于中档题． 变更主元后利用二次函数性质进行分类讨论可得答案． 【解答】解：由已知变形得a 2+xa +1−x >0对任意a ∈[0,1]恒成立， 令g(a)=a 2+xa +1−x ，则{−x 2≤0g(0)>0或{0<−x 2<1Δ=x 2−4(1−x)<0或{−x2≥1g(1)>0, 综上，解得：x <1， 故x 的取值范围是(−∞,1)． 故答案为(−∞,1)．17.答案：解：(1)(−0.1)0+√23×223+(14)−12=1+213×223+(2−2)−12=1+2+2=5．(2)log 3√27+lg25+lg4 =12log 327+lg100 =32+2 =72．解析：(1)利用分数指数幂和根式的互化及运算法则求解． (2)利用对数的性质及运算法则求解．本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的运算法则的合理运用．18.答案：解：(1)根据题意知，x =−3，2是方程ax 2−5x +b =0的两实数根，∴由韦达定理得{5a =−3+2ba=−3×2，解得a=−5，b=30；(2)由上面，a=−5，b=30，∴A={x|30x2−5x−5>0}={x|x<−13或x>12}，且B={x|−1<x≤−25}；∴A∩B={x|−1<x≤−25}，∁U B={x|x≤−1或x>−25}；∴A∪(∁U B)={x|x<−13或x>−25}．解析：考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算，属于基础题．(1)据题意可知，−3，2是方程ax2−5x+b=0的两实数根，由韦达定理即可求出a=−5，b=30；(2)根据上面求得的a，b，得出A={x|30x2−5x−5>0}，通过解不等式得出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．19.答案：解：(1)因为函数f(x)=a x+1−3(a>0且a≠1)，图象过点(2,24)，所以24=a2+1−3，a3=27，a=3．函数f(x)=3x+1−3，令f(x)=0，得x+1=1，x=0，所以函数y=f(x)的零点是0．(2)由f(x)≥6得3x+1−3≥6，即3x+1≥32，所以x≥1，则f(x)≥6的解集为[1,+∞)．解析：本题考查了指数函数的性质，指数不等式的解法，函数的零点，属于中档题．(1)代值求出函数的表达式，再根据零点的定义即可求出，(2)解不等式即可求出．20.答案：解：(1)函数在定义域是奇函数，则定义域关于原点对称，则b=4，即f(x)=x2+ax+4x =x+a+4x为奇函数，则f(−x)=−f(x)，则−x+a−4x =−(x+a+4x)=−x−a−4x，则a=−a，得a=0，即a=0，b=4．(2)设0<x1<x2≤√b=2，则f(x1)−f(x2)=x1+4x1−x2−4x2=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)=(x1−x2)⋅x1x2−4x1x2，∵0<x 1<x 2≤2，∴0<x 1x 2<4，则x 1−x 2<0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−4x 1x 2>0，即f(x 1)>f(x 2)，则函数f(x)在(0,2]上是减函数．解析：(1)根据函数奇偶性的性质和定义建立方程关系进行求解即可．(2)根据函数单调性的定义，利用作差法进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键． 21.答案：解：(1)∵f(1)=−1，f(2)=−3，∴{−1=k +b,−3=2k +b,解得{k =−2,b =1,∴f(x)=−2x +1．(2)由(1)可得f(x)=−2x +1，所以f(a −1)=−2(a −1)+1=−2a +3，所以f(a −1)的值为−2a +3．解析：本题考查函数的解析式的求解，属于基础题．(1)由f(1)=−1，f(2)=−3，得到{−1=k +b,−3=2k +b,解得k 和b 的值，即可得到f(x)的解析式; (2)令x =a −1，代入计算，即可得到答案．22.答案：解：(1)∵f(−x)=−f(x)，∴a−2−x1+2−x=−a−2x 1+2x ， 即a⋅2x −11+2x =2x −a1+2x ，∴a =1，∴f(x)=1−2x1+2x ．(2)函数f(x)为R 上的减函数，∵f(x)的定义域为R ，∴任取x1,x2∈R，且x2>x1，∴f(x2)−f(x1)=1−2x21+2x2−1−2x11+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，∵x2>x1，∴2x2>2x1>0，∴f(x2)−f(x1)<0即f(x2)<f(x1)，∴函数f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[0,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(0)，即−35≤f(x)≤0，即函数的值域为[−35,0]．解析：本题考查了函数的奇偶性，单调性，最值．(1)根据奇偶性求a的值．(2)根据定义判定单调性即可．(3)由(2)知，函数f(x)在[0,2]上为减函数，求值域即可．。
2024学年哈尔滨市三中高一数学上学期期中考试卷附答案解析
哈三中2024－2025学年度上学期高一学年期中考试数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{M x y ==，(],2N =-∞，则M N = （ ）A. [)1,+∞B. []1,2 C. RD. ∅【答案】B 【解析】【分析】根据函数有意义求出集合A ，进而结合交集的定义求解即可.【详解】因为{{}1M x y x x ===≥，(],2N =-∞，所以[]1,2M N = .故选：B.2. 已知函数()1,13,1x x x f x x ⎧-≤=⎨>⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A. 0B. 1C. 3D. 9【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果．【详解】由题意，()3312f -=--=，则()()23239f f f -===⎡⎤⎣⎦.故选：D.3. 若函数()211f x x +=-，则()f x =（ ）A. 22x x +B. 21x -C 22x x- D. 21x +.【答案】C 【解析】【分析】借助配凑法即可解答．【详解】由()()()2211121f x x x x +=-=+-+，则()22f x x x =-.故选：C.4. 已知20.1a =，2log 2b =，0.12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c a b >> B. c b a >>C. b a c >> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】先化简0.01a =，1b =，结合指数函数的单调性比较1c >，进而比较大小即可.【详解】因为20.010.1a ==，2log 21b ==，0.10221c =>=所以c b a >>.故选：B.5. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.则当0x <时，()f x =（ ）A. ()1x x + B. ()1x x -C. ()1x x -+ D. ()1x x -【答案】A 【解析】【分析】结合奇函数的性质求解即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，当0x ≥时，()()1f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()()1f x x x f x -=-+=-，即()()1f x x x =+.故选：A.6. 函数()f x =的单调递增区间为（ ）A. ()0,2B. (),2-∞C. ()2,4D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】求出函数定义域，由复合函数的内函数的单调区间得到函数单调区间.【详解】函数定义域：240x x -+≥，∴04x ≤≤，∵函数24y x x =-+在区间()0,2上单调递增，()2,4上单调递减，∴函数()f x 在区间()0,2上单调递增，()2,4上单调递减.故选：A.7. 若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意不相等的两个实数1x ，2x 都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A [)4,8- B. [)4,8 C. ()4,8 D. ()1,8【答案】B 【解析】【分析】结合题设易得函数()f x 在R 上单调递增，进而由分段函数单调性的性，结合指数函数与一次函数单调性求解即可.【详解】因为对任意不相等的两个实数1x ，2x 都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a a aa ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围是[)4,8.故选：B..8. 关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根的一个充分不必要条件是（ ）A. 344a << B.354a <<C 364a << D. 2334a -<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数函数的性质，要使关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根，可得3215a a+>-，解出354a <<，再根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】当0x <时，314⎛⎫> ⎪⎝⎭x，要使关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根，则3215a a +>-，即4305a a->-，即()()4350a a --<，解得354a <<，所以关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根的一个充分不必要条件是344a <<.故选：A.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知0x >，0y >，且31x y +=，则下列选项正确的是（ ）A. y 的范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. xy 的最大值为112C. 13x y+的最小值为16D. 229x y +的最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，结合不等式的性质可判断A ；根据基本不等式可判断BCD.【详解】对于A ：由题知0,0x y >>，所以0130y x y >⎧⎨=->⎩，解得103y <<，即10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；.对于B ：31x y +=≥=，即112xy ≤，当且仅当3x y =，即11,26x y ==时等号成立，所以xy 的最大值为112，故B 正确；对于C ：()1313310310316x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，所以13x y+的最小值为16,故C 正确；对于D ：222293112224x y x y ++⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22192x y +≥，当且仅当132x y ==，即11,26x y ==时，时等号成立，∴229x y +有最小值12，故D 不正确.故选：ABC.10. 在同一平面直角坐标系中，函数21:aC y x-=，2:xC y a =（0a >且1a ≠）图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】AC 【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性分析判断即可.【详解】若01a <<，122a <-<，则21:aC y x-=在[)0,+∞上单调递增，且图象呈现下凸趋势，2:x C y a =是R 上的减函数，故A 正确，BD 错误；若3a =，21a -=-，则11:1xC y x-==在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，2:3x C y =是R 上的增函数，故C 正确.故选：AC.11. 下列命题中正确的是（ ）A. 函数()2xf x x =+，[]1,2x ∈的值域是[]3,6B. 函数()1421xx f x +=++的值域是[)1,+∞C. 函数()211f x x x =++的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦D. 函数()2125x f x x x +=++的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，结合指数函数和一次函数的性质求解判断即可；对于B ，令()20xt t =>，换元，利用二次函数的性质求解判断即可；对于C ，利用二次函数的性质求解判断即可；对于D ，结合基本不等式讨论求解判断即可.【详解】对于A ，因为函数2,x y y x ==在[]1,2上单调递增，所以函数()2xf x x =+在[]1,2上单调递增，且()()13,26f f ==，所以函数()2xf x x =+，[]1,2x ∈的值域是[]3,6，故A 正确；对于B ，令()20xt t =>，则()()1242121xx f x g t t t +=++==++，因为函数()g t 在()0,∞+上单调递增，且()01g =，所以函数()1421xx f x +=++的值域是()1,+∞，故B 错误；对于C ，因为221331244y x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，所以214013x x <≤++，则函数()211f x x x =++的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，对于函数()2125x f x x x +=++，当1x =-时，()0f x =；当1x ≠-时，()()221114251411x x f x x x x x x ++===+++++++，若1x >-，则4141x x ++≥=+，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，则()110,4411f x x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+++；若1x <-，则4141x x ++≤-=-+，当且仅当411x x +=+，即3x =-时等号成立，则()11,04411f x x x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭+++.综上所述，函数()2125x f x x x +=++的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12. 函数()21f x x =-在区间[]2,4上的最大值为________.【答案】2【解析】【分析】根据函数的单调性求解最值即可.【详解】因为函数()21f x x =-在区间[]2,4上单调递减，所以()()max 22221f x f ===-.故答案为：2.13. 已知函数()f x 的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为________.x012345…()f x 3612244896…【答案】()32xf x =⋅（答案可能不止一个）【解析】【分析】根据表中数据可得函数与指数函数相关，故可得一个可能的解析式.【详解】表中数据中函数值从左到右的规律为：右侧数据为相邻左侧数据的2倍，故可设()2xf x a =⨯，由()03f =可得3a =，故()32xf x =⋅，检验符合，另外，如果()()()()123(4)(5)312345x x x x x f x -----=-⨯⨯⨯⨯⨯()()()()()()()()()()()23(4)(5)13(4)(5)6121123421123x x x x x x x x x x --------+⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-()()()()()()()12(4)(5)12(3)(5)24483211243211x x x x x x x x x x --------+⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-()()12(3)(4)9612345x x x x x ----+⨯⨯⨯⨯⨯，检验后也符号要求.故答案为：()32xf x =⋅（答案可能不止一个）14. 设函数()()()4e 166xf x x x x =+--<<，则()f x 是________函数（从“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”中选一个恰当答案填入），关于x 的不等式()()()31213f x f f x ++-<-的解集为________.【答案】 ①. 奇函数. ②. 51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】根据奇函数的定义可判断函数为奇函数，再根据函数单调性定义可判断()f x 在()6,6-上为增函数，设()()()()31213s x f x f f x =++---，根据复合函数的单调性可得()s x 在()6,6-上为增函数，据此可求不等式的解.【详解】因为()()()4e 1xf x x x f x -=-+-=-且()6,6-关于原点对称，故()f x 为奇函数.当06x ≤<时，()5e xf x x x x =+-，设()()e 1xg x x =-，06x ≤<，任意1206x x ≤<<，则有120e 1e 1x x ≤-<-，故()()12120e 1e 1xxx x ≤-<-即()()12g x g x <，故()()e 1x g x x =-在[)0,6上为增函数，而5y x =在[)0,6上为增函数，故()5e xf x x x x =+-在[)0,6上为增函数，结合()f x 为奇函数，()00f =，故()5e xf x x x x =+-在()6,6-上为增函数，设()()()()31213s x f x f f x =++---，由复合函数的同增异减可得()s x 在()6,6-上为增函数，而()()()122003s f f f ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，故()()()31213f x f f x ++-<-即为()10()3s x s <=，故13x <，又63166136x x -<+<⎧⎨-<-<⎩，故5133x -<<故不等式的解集为51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：奇函数；51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知102m =，105n =，求下列各式的值：（1）210m n -；（2）m n +；（3）1125mn+.【答案】（1）225（2）1 （3）20【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法法则及幂的乘方求解即可；（2）根据同底数幂的乘法法则求解即可；（3）结合指数与对数相互转化可得lg 2m =，lg 5n =，再结合换底公式可得21log 10m =，51log 10n=，进而代值计算即可.【小问1详解】()2222101022105251010m m m n n n-====.【小问2详解】因为1010251010m n n m +=⋅=⨯=，所以1m n +=.【小问3详解】由102m =，105n =，则lg 2m =，lg 5n =，则21log 10m =，51log 10n=，所以52log 10log 01112510102025m n ==+++=16. 已知幂函数()()21af x a a x =+-在()0,∞+上单调递增.（1）求()f x 解析式；（2）若()()22g x x f x mx m =⋅-+在[]0,2上的最小值为2-，求m 的值.【答案】（1）()f x x = （2）1-或3【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得2110a a a ⎧+-=⎨>⎩，进而求解即可；（2）根据二次函数的性质讨论求解即可.【小问1详解】由题意得，2110a a a ⎧+-=⎨>⎩，解得1a =，则()f x x =.【小问2详解】的.由()()22222g x x f x mx m x mx m =⋅-+=-+，对称轴为x m =，当0m ≤时，()()min 02g x g m ==，则22m =-，即1m =-；当02m <<时，()()2min 2g x g m m m ==-+，则222m m -+=-，即1m =+1m =；当2m ≥时，()()min 242g x g m ==-，则422m -=-，即3m =.综上所述，1m =-或3.17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是1θ℃，室温是0θ℃，那么t min 后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式()()010e kt t θθθθ-=+-求得，其中k 是常数.为了求出这个k 的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从0t =开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：t min012345θ（℃）95.0089.1984.7581.1978.1975.00（1）请你仅利用表中的一组数据5t =，75.00θ=，求k 的值，并求出此时()t θ的解析式；（2）在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？（参考数据：ln 20.7≈，ln 5 1.6≈，ln 7 1.9≈，e 是自然对数的底数.）【答案】（1）350k ≈，()3502570et θ-=+ （2）王老师大约等待20min 【解析】【分析】（1）由题意得()575259525ek-=+-，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可；（2）令3502570e 45t -+=，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可.【小问1详解】由题意，得()575259525ek-=+-，即55e7k-=，即55ln ln 5ln 7 1.6 1.90.37k -==-≈-=-，解得350k ≈，此时()3502570e t t θ-=+.【小问2详解】令3502570e 45-+=，即3502e7-=，即32ln ln 2ln 70.7 1.9 1.2507t -==-≈-=-，解得20t ≈，所以王老师大约等待20min.18. 已知函数()e 1e 1x x a f x -=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）利用定义证明()y f x =在R 上单调递增；（3）若存在实数[]1,3x ∈，使得()()4320xxf k f ⋅-+>成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）证明见解析（3）1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求解即可；（2）利用函数的单调性定义证明即可；（3）结合函数()f x 的单调性和奇偶性转化题目问题为存在实数[]1,3x ∈，使得3142xx k >-成立，则min3142x x k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，进而令111282x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为函数()e 1e 1x x a f x -=+为奇函数，定义域为R ，所以()10011a f -==+，即1a =，此时()e 1e 1x x f x -=+，则()()e 11e e 11e x xx xf x f x -----===-++，满足题意，所以1a =.【小问2详解】证明：由（1）知，()e 1e 1221e 1e 1e 1x x x x xf x -+-===-+++，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()122112222211e 1e 1e 1e 1x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()()()121212122e 1e 12e e e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x +---==++++，因为12x x <，则12e e 0x x -<，()()12e 1e 10xx++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()y f x =在R 上单调递增.【小问3详解】由()()4320xxf k f ⋅-+>，即()()()4322xxxf k f f ⋅->-=-，因为函数()y f x =在R 上单调递增，所以432x x k ⋅->-，即3142xx k >-，由题意，存在实数[]1,3x ∈，使得3142xx k >-成立，则min3142x x k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令111282x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则()2min 3k t t >-当16t =时，()2min1312t t -=-，即112k >-，所以k 的取值范围为1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.19. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数c ，使得对任意[]1,x a b ∈，都有()1f x c =，且对任意2x D ∈，当[]2,x a b ∉时，()2f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“卷函数”.（1）判断函数()11g x x x =++-是否为R 上的“卷函数”？并说明理由：（2）设()g x 是（1）中的“卷函数”，若不等式()2344222xttttg ---≤+++-对t ∀∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若函数()h x mx =[)3,∞-+上的“卷函数”，求m n 的值.【答案】（1）函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”，理由见解析 （2）[]1,2 （3）4【解析】【分析】（1）写出函数()g x 的分段函数形式，再结合新定义判断即可；（2）令()222ttm m -=≥+，结合二次函数的性质及题意可得不等式()232x g -≤恒成立，进而结合函数()g x 的值域可得1231x -≤-≤，进而求解即可；（3）根据题意可得存在区间[][),3,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c +=恒成立，即()224x x n mx c ++=-，列出方程组即可求得m 、c 、n 的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m 、n的值，进而求解.【小问1详解】函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”，理由如下：对于函数()2,1112,112,1x x g x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪>⎩，当[]1,1x ∈-时，()2g x =，且当1x <-或1x >时，()2g x >恒成立，所以函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”.【小问2详解】由于222t t -≥=+，当且仅当22t t -=，即0t =时等号成立，令()222ttm m -=≥+，则2244t t m -+=-，所以2442224t t t t m m --+++-=+-，因为函数24y m m =+-在[)2,+∞上单调递增，所以当2m =时，()2min42m m +-=，由题意，不等式()2344222xttttg ---≤+++-对t ∀∈R 恒成立，即不等式()232xg -≤恒成立，由（1）知，当[]1,1x ∈-时，()2g x =，且当1x <-或1x >时，()2g x >恒成立，则1231x -≤-≤，解得12x ≤≤，即实数x 的取值范围为[]1,2.【小问3详解】因为函数()h x mx =+是区间[)3,∞-+上的“卷函数”，则存在区间[][),3,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c +=恒成立.所以()2222242x x n c mx m x mcx c ++=-=-+恒成立，即22124m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩，解得124m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或124m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当124m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时，()2,32222,2x h x x x x x x --≤≤-⎧==++=⎨+>-⎩，当[]3,2x ∈--时，()2h x =-，当()2,x ∈-+∞时，()2h x >-恒成立.此时，()h x 是区间[)3,∞-+上的“卷函数”.当124m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，()22,3222,2x x h x x x x x ---≤≤-⎧=-+=-++=⎨>-⎩.当[]3,2x ∈--时，()2h x >-，当()2,x ∈-+∞时，()2h x =，此时，()h x 不是区间[)3,∞-+上的“卷函数”.综上所述，1m =，4n =，所以4m n =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，集合B={3，4，5}，则（∁U A）∩B等于（）A. B. C. 3， D.2.函数f（x）=+的定义域为（）A. B. C. D.3.下列四个关系：①{a，b}⊆{b，a}；②{0}=∅；③∅∈{0}；④0∈{0}，其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）A. B. C. D.5.若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A B的子集个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 166.已知函数f（x）=，则f（lg3）+f（lg）的值等于（）A. 1B. 2C.D.7.若f（1-2x）=（x≠0），那么f（）=（）A. 1B. 3C. 15D. 308.已知，，，则x、y、z的大小关系为（）A. B. C. D.9.函数y=的图象大致是（）A. B. C. D.10.若函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A. B. C. D.11.若函数在（-∞，+∞）上单调，则a的取值范围为（）A. ，B. ，C. ，D.12.已知函数f（x）=，，＞，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3x42+的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的单调增区间为______．14.=______．15.设f在（1，4）单调递减，则a的取值范围是______．16.设函数（其中），若存在m、n，当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={-4，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}．（1）若1∈A，求集合B；（2）若9∈（A∩B），求a的值．18.已知集合，＜，U=R，其中m＞0．（1）当m=3时，求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知定义在R上的函数为奇函数．（1）求函数f（x）；（2）判断并证明函数f（x）的单调性．20.定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x）+f（y）=f（x+y），当x＞0时，f（x）＜0．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若对于任意的x∈[-1，1]，恒有f（m•6x+1）+f（3x+2x）≤0，求m的最小值．21.已知函数f（x）=x-1，g（x）=3x2-8x+6．（1）求函数的值域；（2）求函数值域．22.已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁U A={3，4，6}；∴（∁U A）∩B={3，4}．故选：B．进行交集、补集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，以及补集和交集的运算．2.【答案】A【解析】解：根据题意：，解得：-3＜x≤0∴定义域为（-3，0]故选：A．从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．3.【答案】B【解析】解：①{a，b}⊆{b，a}；集合本身是它自己的子集；∴①对；②{0}=∅；③∅∈{0}；∅是一个集合，没有任何元素，而{0}是一个集合，含有一个元素是0；∴②③不对；④0∈{0}，{0}是一个集合，含有一个元素是0；∴④对；故选：B．根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可．本题考查了元素与集合的关系，集合与集合的关系的定义应用．比较基础．4.【答案】D【解析】解：A 和B中y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故A和B都不成立；C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故C不成立；D中，0≤x≤2，1≤y≤2，符合题意，故选：D．仔细观察图形，正确选取中x的取值范围必须是[0，2]，y的取值范围必须是[1，2]，由此进行选取．本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细求解．5.【答案】D【解析】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则集合A B={1，2，3，4}，∴集合A B的子集个数为24=16．故选：D．由集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，知集合A B={1，2，3，4}，由此能求出集合A B的子集个数．本题考查并集的运算和求集合的子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．6.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（lg3）+f（lg）=+=+==1．故选：A．f（lg3）+f（lg）=+=，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：令1-2x=，则x=，∵f（1-2x）=（x≠0），∴f（）==15，故选：C令1-2x=，求出满足条件的x值，代入f（1-2x）=（x≠0），可得f（）的值．本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵x=lnπ＞lne=1，y=＜0，0＜z=＜e0=1，∴y＜z＜x．故选：B．利用指数函数与对数函数的运算性质分别比较x，y，z与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→-∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D，故选：C．根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，则该函数在[0，+∞）上为增函数，又由f（2）=0，则当x∈[0，2）时，f（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞0，又由函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，则有当x∈（-2，0]时，f（x）＜0，当x∈（-∞，-2）时，f（x）＞0，不等式xf（x）＜0等价为或，故不等式的解集为（-∞，-2）（0，2）；故选：D．根据题意，由偶函数的性质分析可得函数在[0，+∞）上为增函数，结合f（2）=0可得当x∈[0，2）时，f（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞0，又由函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，分析可得当x∈（-2，0]时，f（x）＜0，当x∈（-∞，-2）时，f（x）＞0，不等式xf（x）＜0等价为或，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性分析函数的符号．11.【答案】C【解析】解：根据题意，函数在（-∞，+∞）上单调，若f（x）为增函数，必有，解可得a≥4，若f（x）为减函数，必有，解可得-2≤a＜0，综合可得：-2≤a＜0或a≥4；即a的取值范围为[-2，0）[4，+∞）；故选：C．根据题意，分函数f（x）为增函数与减函数两种情况讨论：①若f（x）为增函数，必有，②若f（x）为减函数，必有，分别求出a 的取值范围，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：作出函数f（x）的图象，由图可知，x1+x2=-4，x3x4=1；当|log2x|=2时，x=4或x=，则1＜x4≤4，故x3x42+=x4-，其在1＜x4≤4上是增函数，故-4+1＜x4-≤-1+4；即-3＜x4-≤3；即x3x42+的取值范围是（-3，3]，故选：D．作出函数f（x）的图象，由图象可得x1+x2=-4，x3x4=1；1＜x4≤4；从而化简x3x42+，再利用函数的单调性求出它的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，结合对数函数的运算性质以及一元二次函数的对称性是解决本题的关键．13.【答案】（-∞，1]【解析】解：∵0＜-1＜1，函数的单调增区间，即t=x2-2x-3的减区间，而t=x2-2x-3的减区间为（-∞，1]，故答案为：（-∞，1]．根据复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，本题即求t=x2-2x-3的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，属于中档题．14.【答案】-98【解析】解：=-（33•22）=0.1-1-108=-98．故答案为：-98．直接利用有理指数幂的运算性质化简求值．本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．15.【答案】（0，1）（8，9）【解析】解：根据题意，对于f（x）=log a（x2-ax+20），设t=x2-ax+20，则y=log a t，t=x2-ax+20为二次函数，其对称轴为x=当0＜a＜1时，y=log a t为减函数，若在（1，4）单调递减，必有，解可得：0＜a＜1，此时a的取值范围为（0，1），当a＞1时，y=log a t为减函数，若在（1，4）单调递减，必有，解可得：8＜a＜9，综合可得：a的取值范围为（0，1）（8，9）；故答案为：（0，1）（8，9）．根据题意，设t=x2-ax+20，则y=log a t，结合复合函数的单调性的判断方法：分2种情况讨论：①0＜a＜1时，②a＞1时，分别求出a的取值范围，综合即可得答案．本题考查复合函数的单调性的判断，注意函数的定义域，属于基础题．16.【答案】（-2，）【解析】解：令g（x）=f（x）-3x=-x2-2x+a，结合题意g（x）有2个不相等的零点，故△=4+2a＞0，解得：-2＜a≤，故答案为：（-2，）．函数的定义域和值域满足正比例关系，只需f（x）和y=3x有2个交点即g（x）有2个不相等的零点，求出a的范围即可．本题考查了二次函数的性质，考查函数的定义域，值域问题，考查转化思想，是一道中档题．17.【答案】解：（1）1∈A时，令2a-1=1，得a=1，此时a2=1，不满足题意；令a2=1，解得a=±1，a=-1时，2a-1=-3，满足题意；此时a-5=-6，1-a=2，B={-6，2，9}；（2）∵9∈（A∩B），∴9∈B且9∈A，∴2a-1=9或a2=9，解得a=5或a=±3；检验知：a=5或a=-3．【解析】（1）1∈A时，令2a-1=1求得a的值，再令a2=1求得a的值，验证是否满足题意，从而求得集合B；（2）由9∈（A∩B）得9∈B且9∈A，由此求得a的值，再验证是否满足题意即可．本题考查了元素与集合的关系与应用问题，是基础题．18.【答案】解：（1）A={x|-1＜x≤5}；m=3时，B={x|-2＜x＜4}；∴∁U B={x|x≤-2，或x≥4}；∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；（2）∵m＞0；∴B=（1-m，1+m）；A∩B=A；∴A⊆B；∴ ；∴m＞4；∴实数m的取值范围为（4，+∞）．【解析】（1）可求出A={x|-1＜x≤5}，m=3时，求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据m＞0可得出B=（1-m，1+m），而由A∩B=A可得出A⊆B，从而得到，从而解出实数m的取值范围．考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，描述法的定义，交集和补集的运算，以及子集的定义．19.【答案】解：（1）根据题意，函数为定义在R上的奇函数，则f（0）==0，解可得m=1，当m=1时，f（x）=，为奇函数，符合题意；故f（x）=，（2）由（1）的结论，f（x）=，在R上为增函数；证明如下：f（x）==1-，设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=（1-）-（1-）=2×，又由x1＜x2，则-＜0，（+1）＞0，（+1）＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在R上为增函数．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，解可得m的值，验证即可得m的值，将m的值代入函数的解析式即可得答案；（2）根据题意，设x1＜x2，由作差法分析可得f（x1）-f（x2）＜0，结合函数单调性的定义证明即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的性质以及判断，注意先求出m的值，属于基础题．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，则f（x）是奇函数；（2）根据题意，设x1＞x2，则x1-x2＞0，则有f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2），又由当x＞0时，f（x）＜0，则函数f（x）在R上是减函数，则f（m•6x+1）+f（3x+2x）≤0⇒f（m•6x+1）≤-f（3x+2x）⇒f（m•6x+1）≤f[-（3x+2x）]⇒m•6x+1≥-（3x+2x）⇒m≥-（++），若对于任意的x∈[-1，1]，恒有f（m•6x+1）+f（3x+2x）≤0，则m≥-（++）对于任意的x∈[-1，1]均成立，设g（x）=-（++），分析易得g（x）在[-1，1]上为增函数，则g（x）max=g（1）=-1，若m≥-（++）对于任意的x∈[-1，1]均成立，则m≥-1，即m的最小值为-1．【解析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令x=y=0，再令y=-x，分别代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），化简可得结论；（2）设x1＞x2，则x1-x2＞0，利用作差法分析可得f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2），即可得函数f（x）在R上是减函数；据此分析可得f（m•6x+1）+f（3x+2x）≤0⇒m≥-（++），设g（x）=-（++），分析g（x）的单调性，求出其最大值，分析可得m的最小值，即可得答案．本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的判定以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．21.【答案】解：f（x）=x-1，g（x）=3x2-8x+6，（1）∴==，①x=1时，y=0；②x＞1时，y=，∵3（x-1）+-2-2＞0，∴＜∴③x＜1时，y==，∵2＞0，∴＜，综上可得，{y|}；（2）∵=，令t=x-1则x=t+1，（t≥0）①x=1时，y=0；②x＞1时，y====，∵，∴0＜y，∴③x＜1时，y=，同理可得，-＜，综上可得，{y|}．【解析】（1）由==，分类讨论，结合二次函数的性质即可求解；（2）由=，进行换元，结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查了函数值域的求解，解题的关键是二次函数的性质的灵活应用，属于中档试题．22.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞-4，则+4=＞0，即x＞0或x＜-，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜-}．（2）由f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0得log2（+a）-log2[（a-4）x+2a-5]=0．即log2（+a）=log2[（a-4）x+2a-5]，即+a=（a-4）x+2a-5＞0，①则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=，若x=-1是方程①的解，则+a=a-1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a-4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）-f（t+1）≤1，即log2（+a）-log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥-=设1-t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．【解析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
黑龙江省哈三中高一数学上学期期中试题新人教A版
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若{}{}|20,|30A x x B x x =+>=-<，则AB =A ．(2,)-+∞B ．(,3)-∞C ．(2,3)-D ．(2,3) 2. 设U =Z ，{}{}1,3,5,7,9,1,2,3,4,5A B ==，则图中阴影部分表示的集合是A ．{}2,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}7,9D ．{}1,3,5 3. 下列各组函数中表示同一函数的是A ．()f x x =与2()()g x x = B ．()f x x =与()(0)g x x x =>C ．0()f x x =与()1g x = D ．21()1x f x x -=-与()1(1)g x x x =+≠4. 化简2115113366221(3)()3a b a b a b -÷的结果为A ．9aB ．9a -C ．9bD ．9b - 5. 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞6. 对任意两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)a b c d ⊕=(,)a c b d ++.设,p q ∈R ，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(4,0)D ．(0,4)-7. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是d d 0 t 0tOd d 0t 0tOd d 0 t 0tOd d 0 t 0tO8. 设3(log )2(0)xf x x =>，则(2)f 的值是A ．128B ．256C ．512D ．8 9. 已知函数()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x <时，函数的图象如右图所示，则不等式()0xf x <的解集是 A ．(2,1)(1,2)-- B ．(2,1)(0,1)(2,)--+∞C ．(,2)(1,0)(1,2)-∞--D ．(,2)(1,0)(0,1)(2,)-∞--+∞ 10. 函数2222,[1,2]xx y x -+=∈-的值域是A ．RB ．[4,32]C ．[2,32]D ．[2,)+∞11. 若(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x -=，则有A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<12. 若定义在]2013,2013[-上的函数()f x 满足：对于任意的12,[2013,2013]x x ∈-，有1212()()()2012f x x f x f x +=+-，且0x >时，有()2012f x >，()f x 的最大、小值分别为M 、N ，则M +N 的值为A ．2011B ．2012C ．4022D ．4024第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 函数2()3x f x a-=-+恒过定点的坐标是 ．14. 2439(log 9log 3)(log 2log 8)++= ． 15. 函数2231()2xx y --=的单调递增区间是 ．16. 已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件： ①对任意R x ∈，0)(<x f 或0)(<x g ；②存在()4,0-∞-∈x ,使()()0f x g x <，则m 的取值范围是 ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题满分10分）已知}023|{2≥+-=x x x U ，}1|2||{>-=x x A ，}021|{≥--=x x x B ，求B A ，B A ，().U C A B18.（本大题满分12分）计算下列各式的值：(1) 12038110.25+lg162lg5+()2723----（）(2) 324lg lg 2lg 73-+19．（本大题满分12分）某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投 资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1 万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大 收益, 其最大收益是多少万元?20．(本大题满分12分)已知函数()(0)x xe af x a a e =+>是定义在R 上的偶函数. (1)求a 的值；(2)判断并用单调性定义证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性； (3)求不等式2(2)(42)0f x x f x -+-->的解集．21．(本大题满分12分)已知定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数，且0≥x 时，12)(-=x x f .(1)当0x <时，求()f x 解析式；(2)当时)1](,1[->-∈m m x ，求()f x 取值的集合；(3)当],[b a x ∈时，函数的值域为]2,21[,求b a ,满足的条件.22．(本大题满分12分)设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间{}|()0I x f x =>.(1)当a 在()+∞,0变化时，求I 的长度的最大值 (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (2)给定一个正数k ,当a 在[]k k 21,+变化时，I 长度的最小值为265，求k 的值; (3)若)1(32)()1(f x f x f ≤++对任意x 恒成立，求a 的取值范围.哈三中2013－2014学年度高一学年第一学段考试数学试卷答案一 选择题1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.D 10.C 11.D 12.D 二 填空题 13. (2,2) 14.254 15.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 16.()4,2--三 解答题 17.解：{}|31A B x x x ⋂=><或,,{}|31A B x x x ⋃=>≤或{}()|21U C A B x x x ⋃=≥≤或 18.解：（1）332， （2）1219.解：（1）18y x =,y =（2）稳健型16万,风险型4万.20.解：（1）1a =（2）增函数(3){}|40x x x ><或 21.解：（1）1(1)()2x f x --=；1111(2)10,2,1;01,,1;1,,2.22m m m m m ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-<≤<≤>⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3）20,2;2,0 2.a b a b -≤≤==-≤≤ 22.解： （1）12，1(2)2k=5k =或(3)a ∈⎣⎦，。
黑龙江省哈尔滨三中国际部高一(上)期中数学试卷
高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={0,1，2}，N={x|x2−3x+2≤0}，则M∩N=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}2.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是( )A. y=x2−2B. y=3xC. y=1−2−xD. y=−(x+2)23.若集合A={−1,1}，B={0,2}，则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 24.已知集合A={1,3，m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=( )A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或35.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是( )A. [12,+∞)B. [−1,+∞)C. (−∞,−12]D. (−∞,+∞)6.若A={(x,y)|4x+y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}，则A∩B=( )A. {2,1}B. {(2,1)}C. {1,2}D. {(1,2)}7.与函数y=2x2+1不相同的函数是( )A. y=|x2|+|x2+1|B. y=(2x2+1)2C. y=|2x2+1|D. y=(2x2+1)(x+1)x+18.函数y=(2x+3)0|x|−x的定义域是( )A. {x|{x<0且x≠−32}B. {x|x<0}C. {x|x>0}D. {x|{x≠0且x≠−32，x∈R}9.下列说法中，正确的是( )A. 偶函数的图象一定与y轴相交B. 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C. 既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0，x∈RD. 图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数10.下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )A. f(x)=3x+1B. f(x)=1xC. f(x)=1−1xD. f(x)=x311.函数f(x)=x2−4x−8的定义域为[0,a]，值域为[−12,−8]，则a的取值范围是( )A. [2,4]B. [4,6]C. [2,6]D. [0,4]12.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(2)=0，若对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则f(−3)与f(−π)的大小关系是______．14.已知f(x)=ax5+bx3+cx−8，且f(d)=10，则f(−d)=______．15.2x2−3x−53x2−13x+4≥0的解集为______．16.设定义在[−2,2]的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1−m)<f(1)，则实数m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x>6或x<−3}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．18.判断下列函数奇偶性：(1)f(x)=x−1+1−x(2)f(x)=36−x2|x+3|−319.已知函数f(x)=x2−2ax−a2在区间[0,2]上的最大值为−1，求实数a的值．20.用函数单调性定义证明，求证：函数f(x)=−1x−1在区间(−∞,0)上是单调增函数21.函数f(x)，x∈(−1,1)为奇函数，且f(1−a)+f(1−a2)<0.若f(x)是(−1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．22.若函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，(a,b，c∈N)且f(1)=2，f(2)<3．(1)求实数a，b，c的值；(2)判断函数f(x)在(−∞,−1]上的增减性，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．【解答】解：∵N={x|x2−3x+2≤0}={x|(x−1)(x−2)≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1,2}，故选D．2.【答案】C【解析】解：A中，y=x2−2在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B中，y=3x在(−∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是减函数，∴不满足条件；C中，y=1−2−x在定义域(−∞,2]是增函数，∴满足条件；D中，y=−(x+2)2在(−∞,−2)上是增函数，在[−2,+∞)上是减函数，∴不满足条件；故选：C．根据基本初等函数在定义域内的单调性情况，判定各选项中的函数是否满足条件即可．本题考查了基本初等函数在定义域内的单调性问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意，∵集合A={−1,1}，B={0,2}，−1+0=−1，1+0=1，−1+2=1，1+2=3∴{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={−1,1，3}∴集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3故选C．根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1,m}⊆{1,3，m}，∴m=3或m=m，解得m=0或m=1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)．综上所述，m=0或m=3．故选：B．由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．5.【答案】C【解析】解：∵y=x2+x+1的图象是对称轴为直线x=−12，抛物线开口向上的抛物线，∴函数y=x2+x+1的单调递减区间是(−∞,−12]，故选：C．将二次函数的解析式进行配方，得到函数的对称轴，结合函数图象的开口方向，利用函数单调性和对称轴之间的关系确定单调减区间．本题主要考查二次函数的图象和性质，利用函数单调性和对称轴之间的关系是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：A∩B中的元素即直线4x+y=6和直线3x+2y=7交点的坐标，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为(1,2)，故A∩B={(1,2)}，故选：D．根据题意，结合集合的意义，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为(1,2)，从而求得A∩B中的元素．本题考查两个集合的交集的定义，求两直线交点坐标，求出两直线交点坐标，是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=2x2+1的定义域为R，值域为[1,+∞)，选项A中的函数y=|x2|+|x2+1|=x2+x2+1=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项B中的函数即y=|2x2+1|=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项C中的函数y=|2x2+1|=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项D中的函数的定义域为{x|x≠−1}，故它和已知函数不是同一函数，故选：D．由题意利用函数的三要素作出判断．本题主要考查函数的三要素，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意得：2x+3≠0|x|−x>0，解得：x<0且x≠−32，故函数的定义域是{x|x<0且x≠−32}，故选：A．根据指数幂的意义，以及二次根式的性质求出x的范围即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质以及指数幂的意义，是一道基础题．9.【答案】B【解析】解：A.y=1x2是偶函数，但函数与y轴没有交点，故A错误，B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则由f(−x)=−f(x)得f(−0)=−f(0)，即f(0)=0，故B正确，C.若函数f(x)是奇函数则f(−x)=−f(x)，若函数f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，则−f(x)=f(x)，则f(x)=0，此时只要定义域关于原点对称即可，故C错误，D.函数的单调性和奇偶性没有关系，故过过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数，故D错误，故选：B．根据函数奇偶性的性质分别进行判断即可．本题主要考查与函数奇偶性有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性的定义和性质，难度不大．10.【答案】D【解析】解：y=3x+1不是奇函数，排除A；f(x)=1x在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，排除B；f(x)=1−1x不是奇函数，排除C；y=x3的图象关于原点对称，且在定义域上为增函数，故选：D．先利用奇函数的定义排除A、C，再利用单调性排除B，即可得正确选项．本题考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，排除法解选择题．11.【答案】A【解析】解：f(x)=x2−4x−8=(x−2)2−12，f(x)在(−∞,2)为减函数，在(2,+∞)为增函数，∴f(x)min=f(2)=−12，f(0)=−8，若x∈[0,a]，值域为[−12,−8]，则a≥2，f(a)≤f(0)，即a2−4a−8≤−8，解得0≤a≤4，所以2≤a≤4，故选：A．f(x)=x2−4x−8=(x−2)2−12，f(x)在(−∞,2)为减函数，在(2,+∞)为增函数，∴f(x)min=f(2)=−12，f(0)=−8，进而得出a在2的右边且f(a)≤f(0)，进而求解．考查二次函数的图象，对称轴，特定定义域的值域．12.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在(−∞,0)上是增函数，由f(2)=0得，f(−2)=0，∴由xf(x)>0得，x>0f(x)>f(2)或x<0f(x)<f(−2)，∴x>2或x<−2，∴不等式xf(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：C．根据条件即可得出f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，且f(2)=f(−2)=0，从而根据xf(x)>0可得出x>0f(x)>f(2)或x<0f(x)<f(−2)，根据f(x)的单调性即可解出该不等式组，从而得出原不等式的解集．本题考查了增函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，奇函数的定义，转化为不等式组求不等式解集的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．13.【答案】f(−3)>f(−π)【解析】解：∵函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，∴函数f(x)是增函数∵−3>−π∴f(−3)>f(−π)故答案为：f(−3)>f(−π)．先确定函数是增函数，再利用单调性的定义，即可得到结论．本题考查函数的单调性，考查单调性的运用，确定函数的单调性是关键．14.【答案】−26【解析】解：根据题意，f(x)=ax5+bx3+cx−8，则f(−x)=a(−x)5+b(−x)3+c(−x)−8=−(ax5+bx3+cx)−8，则f(−x)+f(x)=−16；则有f(d)+f(−d)=−16，若f(d)=10，则f(−d)=−26；故选：根据题意，由函数的解析式求出f(−x)的解析式，进而分析可得f(−x)+f(x)=−16，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】{x|x>4或13<x≤52或x≤−1}【解析】解：由2x2−3x−53x2−13x+4≥0可得，(2x−5)(x+1)(3x−1)(x−4)≥0，转化为(x+1)(3x−1)(2x−5)(x−4)≥0且(3x−1)(x−4)≠0，根据高次不等式的解法可得，x>4或13<x≤52或x≤−1，故答案为：{x|x>4或13<x≤52或x≤−1}．由2x2−3x−53x2−13x+4≥0可得，(x+1)(3x−1)(2x−5)(x−4)≥0且(3x−1)(x−4)≠0，结合高次不等式的解法可求．本题主要考查了分式及高次不等式的求解，属于基础试题．16.【答案】2<m≤3或−1≤m<0【解析】解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(−x)=f(|x|)，∵函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，∴f(1−m)=f(|1−m|)<f(1)，∴0≤|1−m|≤2|1−m|>1，解得2<m≤3或−1≤m<0，故答案为2<m≤3或−1≤m<0．根据函数f(x)是偶函数，得到f(x)=f(−x)=f(|x|)，根据函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，，把不等式f(1−m)<f(1)转化为自变量不等式，从而求得实数m的取值范围，在转化不等式时注意函数的定义域．此题是个中档题．考查函数的奇偶性和单调性的定义和函数图象的对称性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法．17.【答案】解：∵A∪B=A，∴B⊆A，且A={x|x>6或x<−3}，B={x|a<x<a+3}，∴a+3≤−3或a≥6，∴a≤−6或a≥6，∴a的取值范围为{a|a≤−6或a≥6}．【解析】根据A∪B=A可得出B⊆A，从而可得出a+3≤−3或a≥6，解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)对于f(x)=x−1+1−x，有x−1≥01−x≥0，解可得x=1，即函数的定义域为{x|x=1}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；(2)对于f(x)=36−x2|x+3|−3，有36−x2≥0|x+3|−3≠0，解可得：−6<x≤6且x≠0，即函数的定义域为{x|−6<x≤6且x≠0}，其定义域不关于原点对称；为非奇非偶函数．【解析】根据题意，先求出函数的定义域，结合奇偶性的性质分析可得结论．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．19.【答案】解：f(x)的对称轴为x=a，①a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=4−4a−a2=−1，解得a=−5或1，∴a=−5；②0<a<2时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a2=−1，或f(2)=4−4a−a2=−1，且0<a<2，∴解得a=1，③a≥2时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a2=−1，且a≥2，∴a∈⌀，综上得，a=−5或1．【解析】可求出f(x)的对称轴为x=a，从而可讨论a≤0，0<a<2，a≥2，然后在每种情况下，根据f(x)在[0,2]上的最大值为−1，即可求出a的值．本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的单调性，根据单调性求函数最值的方法，考查了推理和计算能力，属于基础题．20.【答案】证明：任取x1<x2<0，∵f(x1)−f(x2)=−1x1−1−(−1x2−1)=1x2−1x1=x1−x2x1x2，由题设可得，x1−x2<0，x1⋅x2>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=−1x−1在区间(−∞,0)上是单调增函数．【解析】由定义可知，任取x1<x2<0，代入解析式，作差变形推出可得f(x1)<f(x2)，从而得到函数f(x)在区间(−∞,0)上为增函数．本题考查了函数单调性的定义和证明，属于基础题．21.【答案】解：根据题意，函数f(x)，x∈(−1,1)为奇函数，则f(1−a)+f(1−a2)<0⇒f(1−a)<−f(1−a2)⇒f(1−a)<f(a2−1)，又由f(x)是(−1,1)上的减函数，则f(1−a)<f(a2−1)⇒−1<1−a<1−1<a2−1<11−a>a2−1，解可得：0<a<1，即a的取值范围为(0,1)；故a的取值范围(0,1)．【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f(1−a)+f(1−a2)<0⇒f(1−a)<−f(1−a2)⇒f(1−a)<f(a2−1)，结合函数的定义域以及单调性分析可得−1<1−a<1−1<a2−1<11−a>a2−1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的定义域，属于基础题．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，(a,b，c∈N)且f(1)=2，则f(−1)=−2，又由f(2)<3，则有a+1b+c=2a+1−b+c=−24a+12b+c<3且a、b、c∈N，解可得a=1，b=1，c=0；(2)由(1)可得：f(x)=x2+1x=x+1x，函数f(x)在(−∞,−1]上为增函数，设x1<x2≤−1，f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1x2−1)(x1−x2)x1x2，又由x1<x2≤−1，则(x1−x2)<0且(x1x2−1)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，故函数f(x)在(−∞,−1]上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(−1)=−2，进而可得a+1b+c=2a+1−b+c=−24a+12b+c<3，解可得a、b、c的值，即可得答案；(2)根据题意，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b、c的值，属于基础题．。
黑龙江省哈尔滨三中学年高一上学期期中考试数学试题
哈尔滨三中2015-2016 学年高一上学期期中考试数学考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150 分,考试时间为120 分钟．（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合 A ＝{1 ，2，3，4} ，B＝{2 ，4，5} ，则 A B＝2．函数的定义域是3．已知函数 f （x）满足，则4．已知，则下列关系式中正确的是5. 函数的单调递增区间为6. 设集合，则a的取值范围是7. 若函数的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是8. 下列函数是偶函数且值域为的是A ．①②B ．②③C．①④．③④9. 如图所示的韦恩图中， A ，B 是非空集合，定义集合 A ⊙B为阴影部分表示的集合．若，，则A⊙B＝10. 二次函数与指数函数的图象可以是11. 已知函数 f （x）是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为12. 设 f （x）是定义在的函数，对任意正实数x，，且，则使得的最小实数x为A ．172 B. 415 C. 557 D. 89第Ⅱ卷（非选择题, 共90 分）二、填空题(本大题共4 小题，每小题 5 分，共20 分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 化简：的结果是．14. 已知函数 f （x）为R上的奇函数，且x ≥0 时，，则当x ＜0时，f （x）＝＿＿＿＿．15. 若函数是上的减函数，则实数a的取值范围是．16. 下列四个说法：（1）y ＝x +1与是相同的函数；（2）若函数 f (x)的定义域为［－1,1－，则 f (x +1)的定义域为［0,2］；（3）函数 f (x)在[0,＋)时是增函数，在(－,0)时也是增函数，所以 f (x)是(－,+ )上的增函数；（4）函数在区间[3,+ )上单调递减.其中正确的说法是（填序号）．三、解答题(本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知集合（Ⅰ）求 A C ；（Ⅱ）求.18.（12 分）用单调性定义证明函数在区间上是减函数.19.（12 分）已知函数，求（Ⅰ）的值；（Ⅱ）若 f (a) ＞2,则a的取值范围.20．（12 分）要建造一个容量为1200m3，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造2 2价为95元/ m ，池底的造价为135元/m ，求当水池的长在什么范围时，才能使水池的总造价不超过61200 元（规定长大于等于宽）.21.（12分）设是方程x2 －2mx + 4m2 －4m+1＝0的两个不等实根，（Ⅰ）将表示为m的函数g(m)，并求其定义域；（Ⅱ）设，求 f (m)的值域.22．（12 分）已知函数，定义域为R ；函数，定义域为［－1,1］.（Ⅰ）判断函数 f (x)的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g(x) ＝t有解，求实数t的取值范围；(Ⅲ) 若不等式对一切恒成立，求m 的取值范围.一、选择题哈三中2015—2016 学年度上学期高一数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B AD D AD C C B二、填空题13. 4 a 14. x2 x15. 2,0 16. (4)17. A C, 2 0, , C R A B 2 ,1 318. 在1, 内任取x1 , x2 且x1 x2 ， f x1 f x2x2 x1，x1 1 x2 11 x1x2 ，x2 x10, x1 1 0, x2 1 0 ， f x1 f x2 0 ，f x1 f x2，证得 f x 在1, 上为单调递减函数1 19.（I）f 15 ，f f 1 f 3 5 f 2 2 2 8 4（II ）由已知可得不等式等价于a 0 0 a 1或或3a 5 2 a 5 2a 12a 8 2即 1 a 0 或0 a 1或1 a 3 ，即 1 a 320. 设池底的长为x 米，泳池的造价为y 元由题意可得y 135 (1200 6) 95 2 x 22001200 6 x 6 ，x 10 20又由y 61200 可得x 30 0 ，解得x10 x 20 ，x2 2 x x 222答：水池长在 10,10 20 米范围内，满足题意21. （ I ）对于 x22 m x 4m24m 10 ，0 得 m1,1 3g m 12x 1 22x 1x 2 4m28m 2 ，其定义域为1 ,13（ II ） f mm 24 m28m 31 834m m2令 t1 m1,3 则 f m1 3t28t则 f m 4的值域为- ,1 4 , 7322. （ I ） fx 在 R 上单调递增因为 fx2x2xf x 所以 f x 为奇函数（ II ）可知 t 的范围与 g x 的值域相同g x2 2x2令 t 2 x1,2 2， 则 g x t2t 的值域为 0，1（ III ）由 f g xf 3am m 210 得 f g xf 3am m21由（ I ）得 f g xf3am m21 ， g x3am m 1对一切 x 1,1 ，a2,2恒成立，则g xm a x3am m 21 m in ， 设 h a3am m 2 1 ，则 h a1 对一切a2,2 恒成立若 m0 则恒成立若 m0 则h 2 1得 mh 21, 6 6,综上所述 m , 6 6, 0x2。
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1 2-1 xy高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作哈三中2009-2010学年度上学期期中考试高一学年第一模块数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合{|1}A x x =>-，则以下关系中正确的是 （ ）A ．0A ÜB ．{0}A ∈C ．0A ∉D ．{0}A Ü2、已知11()1f x x =+，则()f x = （ ）A ．11x +B ．1x x +C ．1x x+D ．1x +3、已知{,(0)()0,(0)x x f x x π+>=…，则[(1)]f f -= （ ） A ．1π- B ．0C ．1D ．π4、函数(1)y x x x =-+的定义域是（ ）A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|1}{0}x x …D ．{|01}x x 剟5、下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）A ．21()1x f x x -=-与()1g x x =+ B ．2()(0)f r r r π=…与2()(0)g x x x π=…C ．()log (0x a f x a a =>,且1)a ≠与log ()(0,1)a x g x a a a =>≠且D ．2()||()()f x x g t t ==与6、设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R ，且为奇函数的所有α的值为（ ）A ．1,1,3-B ．1,1-C ．1,3-D ．1,3 7、下列函数中值域是(0,)+∞的是 （ ）A ．22log (23)y x x =--B ．22y x x =++C ．1||y x =D ．221x y =+8、已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠且的图象如右图所示，函数()y g x =是函数()y f x =的反函数，则函数()y g x =的解析式为 （ ） A ．()2x g x = B ．1()()2x g x = C ．12()log g x x = D ．2()log g x x = 9、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10%，设经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =得图象大致为 （ ）1y 1y 1 y 1 yA ．B ．C ．D ．10、已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为（ ）A ．1(,4)4B ．1(,)(4,)4-∞+∞C ．1(0,)(4,)4+∞D ．1(,)(0,4)4-∞11、设1(0,)2a ∈，则1212,log ,a a a a 之间的大小关系是 （ ）A ．1212log a a a a >>B ．1212log a a a a >>C ．1212log a a a a >>D ．1212log a a a a >>12、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对任意的非常实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是 （ ）A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64} 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13、已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,4,6}A =，则集合U A ð的所有子集共有 个.14、已知2()345,()(2)f x x x g x f x =-+=-，则(3)g = . 15、函数122()log (2)f x x x =--的单调递增区间为 .16、定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，2009()2009log x f x x =+，则方程()0f x =的实根个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（10分）已知集合2{|(1)(2)0},{|230},{|}A x x x B x x C y y x =-+>=-==…， 求①A C ；②()U A B ð18、（12分）计算或花间下列各式： （1）552log 10log 0.25+（2）521111336622(2)(6)(3)(0,0)a b a b a b a b -÷->>19、（12分）已知函数2()(0)1ax f x a x =>-. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 的单调性，并用函数的单调性定义给予证明.20、（12分）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）结合下图，求k 与a 的值；（2）写出服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？21、（12分）设函数124()lg ()3x xa f x a R ++=∈.（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 22、（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围；（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.t y (微克) 1()2t a y -=(1,4)M y kt =o高一数学参考答案一、选择题：（51260⨯=分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C B D C B D C C D二、填空题：（5420⨯=分）13、4；14、4；15、(,1)-∞-；16、 3 三、解答题：（17题10分；18~22题，每题12分，共70分）17、解：由集合2{|(1)(2)0},{|230},{|}A x x x B x x C y y x =-+>=-==…解得： {|21}(,2)(1,)A x x x =<->=-∞-+∞或，22{|}[,)33B x x ==+∞…，[0,)C =+∞（1）(,2)[0,)A C =-∞-+∞； （2）2[2,1]()[,1]3R R A A B =-⇒=痧18、解：（1）原式225555log 10log 0.25log (100.25)log 252=+=⨯==；（2）原式75516666(12)(3)4a b a b a -÷-=19、（1）函数2()1ax f x x =-（0a >）为奇函数； 证明：首先()f x 的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞关于原点对称，其次，又有22()()()11ax ax f x f x x x --==-=----，于是()f x 为奇函数； （2）函数2()1ax f x x =-（0a >）在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞；；三个区间上单调递减； 证明：设121x x <<-，则22212112121221222222212121[(1)(1)]()(1)()()11(1)(1)(1)(1)ax ax a x x x x a x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-==------ 又∵120x x -<，1210x x +>，2221(1)(1)0x x -->且0a >∴2121()()0()()f x f x f x f x -<⇒<， ∴()f x 在(,1)-∞-上为减函数；同理，()f x 在(1,1)-及(1,)+∞上均为减函数。
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哈尔滨三中2015-2016学年高一上学期期中考试
数学
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150 分,考试时间为120 分钟．
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷（选择题, 共60 分）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，5}，则A B＝
2．函数的定义域是
3．已知函数f （x）满足，则
4．已知，则下列关系式中正确的是
5. 函数的单调递增区间为
6. 设集合，则a的取值范围是
7．若函数的图像恒在x轴上方，则a的取值范
围是
8．下列函数是偶函数且值域为的是
A．①② B．②③C．①④ ．③④
9. 如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊙ B为阴影部分表示的集合．若
，，则A⊙B＝
10．二次函数与指数函数的图象可以是
11. 已知函数f （x）是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为
12．设f （x）是定义在的函数，对任意正实数x，，且
，则使得的最小实数x为
A．172 B. 415 C. 557 D. 89
第Ⅱ卷（非选择题, 共90 分）
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填在答题卡相应的位置
上)
13. 化简：的结果是．
14．已知函数f （x）为R上的奇函数，且x ≥ 0时，，则当x ＜ 0时，
f （x）＝＿＿＿＿．
15．若函数是上的减函数，则实数a的
取值范围是．
16．下列四个说法：
（1）y ＝x +1与是相同的函数；
（2）若函数f (x)的定义域为［－1,1－，则f (x +1)的定义域为［0,2］；
（3）函数f (x)在[0,＋∞)时是增函数，在(－∞,0)时也是增函数，所以f (x)是
(－∞,+∞)上的增函数；
（4）函数在区间[3,+ ∞)上单调递减.
其中正确的说法是（填序号）．
三、解答题(本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）已知集合
（Ⅰ）求A U C ；（Ⅱ）求 .
18.（12 分）用单调性定义证明函数在区间上是减函数.
19.（12 分）已知函数，求
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）若f (a) ＞ 2,则a的取值范围.
20．（12 分）要建造一个容量为1200m3，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造
价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，求当水池的长在什么范围时，才能
使水池的总造价不超过61200 元（规定长大于等于宽）.
21.（12分）设是方程x2 －2mx + 4m2 － 4m+1＝0的两个不等实根，
（Ⅰ）将表示为m的函数g(m)，并求其定义域；
（Ⅱ）设，求f (m)的值域.
22．（12 分）已知函数，定义域为R ；函数，定
义域为［－1,1］.
（Ⅰ）判断函数f (x)的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；
（Ⅱ）若方程g(x) ＝t有解，求实数t的取值范围；
(Ⅲ) 若不等式对一切恒成立，求m 的取值范围.
哈三中2015—2016学年度上学期
高一数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A B A
D C C D D A B
二、填空题
13. 4a 14. x x +-2
15. [) 16. (4) 17.()[)+∞-∞-=,02,Y Y C A ,()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⋂1,32B A C R
18.在()+∞,1内任取21,x x 且21x x <，()()()()
11211
221---=
-x x x x x f x f ，
211x x <<Θ，01,01,02112>->->-∴x x x x ，()()021>-∴x f x f ， ()()21x f x f >∴，证得()x f 在()+∞,1上为单调递减函数 19.（I ）51
1+=⎪⎭⎫
⎝⎛π
πf ，()[][]()48222531=+⨯-==+-=-f f f f （II ）由已知可得不等式等价于⎩⎨⎧>+≤2530a a 或⎩⎨⎧>+≤<2510a a 或⎩
⎨⎧>+->2821
a a
即01≤<-a 或10≤<a 或31<<a ，即31<<-a
20.设池底的长为x 米，泳池的造价为y 元
由题意可得()[]6612002295)61200(135⨯÷÷⨯+⨯+÷⨯=x x y ，2010≥x 又由61200≤y 可得0200
30≤+
-x
x ，解得2010≤≤x ， 答：水池长在[]
2010,10米范围内，满足题意
21.（I ）对于014422
2=+-+-m m mx x ，0>∆得⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈1,31m
()()28422212212
221-+-=-+=+=m m x x x x x x m g ，其定义域为⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,31
（II ）()2
2
23841
384m m m m m m f -+-=-+-=
令()3,11∈=m t 则()4
8312-+-=t t m f 则()m f 的值域为⎪
⎭⎫
⎢⎣⎡+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞,3471,-
22.（I ）()x f 在R 上单调递增 因为()()x f x f x x
-=-=--22
所以()x f 为奇函数
（II ）可知t 的范围与()x g 的值域相同
()()
2222x x x g -⋅=令⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=2,212x t ，则()t t x g 22+-=的值域为[]10，
（III ）由()()()
0132
≤--+m am f x g f 得()()()
132
---≤m am f x g f
由（I ）得()()()
132
++-≤m am f x g f ，()132
++-≤m am x g 对一切[]1,1-∈x ，[]2,2-∈a
恒成立，则()()()
min 2max 13++-≤m am x g ，设()132
++-=m am a h ，则()1≥a h 对一切
[]2,2-∈a 恒成立
若0=m 则恒成立 若0≠m 则()()⎩
⎨
⎧≥-≥121
2h h 得(][)+∞-∞-∈,66,Y m
综上所述(][){}0,66,Y Y +∞-∞-∈m。