整式的乘法(2)
七年级下 整式的乘法(二)
第七讲 整式的乘法（二）一、多项式×多项式【例1】计算：()1(1)(0.6)x x --；()2(2)()x y x y +-； ()3(2)(3)(1)(2)x y x y ++-+-．【变式】计算：()21(23)x -+； ()22(231)(2)(1)(2)a a a a a --+-++．【例2】若2(5)(20)x x x mx n -+=++求m 和n 的值．【变式】若2(2)(34)812x a x x x b -+=-+，则a =____,b =____．【例3】若215(3)()x nx x x m +-=+-，,m n 求的值．【变式】已知22()()2mx y x y x nxy y +-=+-，求,m n 的值．【例4】李先生设计了一幅长方形壁画，已知其长为2xcm ，宽比长少4cm ，若将壁画长和宽都增加3cm，求面积增加了多少？【变式】已知一个梯形，上底长为a，下底长为b，高为h，若上底减少为原来的一半，下底增加为原来的两倍，高增加为3倍，则梯形面积会增加多少？【例5】先化简，再求值：2(32)(51)(65)(35),a a a a-+++-+其中17a=．【变式】化简求值：(72)(321)(43)(96)x y x y x y x y----++，其中2,1x y==-．二、整式的乘法之提高篇【例6】若2(321)()x x x b -++中不含2x 项，求b 的值．【变式】1、若22()(57)x ax b x x ++-+的展开式中不含3x 和2x 项，求,a b 的值．2、在()()b x ax b ax x -++-22的展开式中，x 2的系数是1，x 的系数是9，求整数a 、b 的值．【例7】计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++413121514131211514131214131211．【变式】求()()()()n n n n a a a a a a a a a a a a +⋯+++⋯++-+⋯+++⋯++--2113232121的值，其中103122==n a a ，．【课后练习】1、三个连续奇数，若中间一个为n ，则它们的积为（ ）A .36n n -B .34n n -C .34n n -D .3n n -2、已知,4,a b m ab +==化简(2)(2)a b --的结果是_______．3、若2()()x a x b x kx ab ++=-+，则k 的值为________．4、若2||6(2)(3)x x x x +-=+-成立，则x 为________．5、若215x x ++=，则(7)(8)x x -+的值为_______．6、设210m m +-=，则3222007___m m ++=．7、已知22(8)(3)x px x x q ++-+的展开式中不含2x ，3x 项，求p 、q 值．8、解方程：(3)(25)(21)(8)41x x x x +--+-=．9、计算：①(4)(4)x x +-；②2(1)(1)x x x -++．10、若当2a b a b b ≥⊕=时，；当a b <，a b a ⊕=，当2x =时，(1)(3)x x x ⊕⋅-⊕的值为________．11、运用你所发现的规律：(1)(1)x x -+=__________; 2(1)(1)x xx -++=__________; 32(1)(1)x x x x -+++=__________;432(1)(1)x x x x x -++++=_______;……………………………………12(1)(1)n n x x x x x --++++= __________;你能总结出什么规律吗？。
整式的乘法(二)八年级数学上(人教版)学习教案
运算顺序 23 x3 5xy2
40x4 y2
数式通性
（5）提高运算正确率. 注意结果的运算符号； 注意幂的运算性质的正确应用； 注意运算顺序 ......
课后作业
1.计算
（1） 3x2 5x3
（3） 3x2 4x2
（2） 4y 2xy2
（4） 2a3 3a2
8x4 y2
（2） 5a2b 3a
53a2 ab
15a3b
练习 下面的计算对不对？如果不对，请改正 (1)3a3 2a2 6a6 × 3a3 2a2 6a32 6a5
(2)2x2 3x2 6x4 √
(3)3x2 4x2 12x2 × 3x2 4x2 12x22 12x4 (4)5y3 3y5 15y15 × 5y3 3y5 15y35 15y8
2
10a4b5c
先定符号
练习
解： (1) a2 2 3ab2 3 a4 27a3b6
27 a4a3 b6
27a7b6
幂的运算性质
23xy x2z6xy2z
18x x2 xy y2 z z
18x4 y3z2
先定符号
拓展提升：已知 1 (x2 y3)m与 2xyn1 2 的积是 8
先乘方 单项式的乘法运算
例 计算
解：(1)2mn3 mn2 3
8m3n3 m3 n2 3
8m3n3 m3n6
8 m3m3 n3n6
8m6n9
幂的运算性质
单项式乘单项式法 则同样适用
(2)5a2b3 4b2c 1 a2 2
5
4
1
a2a2
b3b2 c
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘.
计算：
整式的乘法 (2)
(2)①、②、③三个小长方形的 面积分别是__m__a_、__m_b__、__m_c．
(3)由(1)、(2)得出等式 _m_(__a_+_b__+_c_)__=_m_a__+_m_b__+_m_c_．
(-2a)•(2a2-3a+1)
=(-2a)•2a2+(-2a)•(-3a)+(-2a)•1
（乘法分配律）
m=1
解得： n=2
∴m、n得值分别是m=1,n=2.
精心选一选：
1、下列计算中，正确的是（ B）
A、2a3·3a2=6a6
B、4x3·2x5=8x8
C、2X·2X5=4X5
D、5X3·4X4=9X7
2、下列运算正确的是（ D ）
A、X2·X3=X6
B、X2+X2=2X4
C、(-2X)2=-4X2 D、(-2X2)(-3X3)=6x5
若n为正整数，且x3n=2,求 2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。
解： 2x2n ·x4n+x4n ·x5n =2x6n+x9n =2(x3n)2+(x3n)3 =2×22+23 =8+8 =16
∴原式的值等于16。
我 努 力 我 1、理解掌握了单项
式乘法法则；
收 2、会利用法则进行单 获 项式的乘法运算 。
以下有四种不同形状的长方形 卡片，请你选取其中的两张， 用它们拼成更大的长方形，尽 可能采用多种拼法。
n （1）
m
n（3）
b
a （2）
m
a（4）
b
n
a m
m (a+n )= ma+mn
整式的乘法(2)(原卷版)
第二课时——整式的乘法（2）知识点一：单项式乘单项式：1. 运算法则：系数 ，同底数幂分别 。
对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它 的 作为积的一个因式。
2. 说明：22223a b a ⋅-＝()()22223b a a ⋅⋅⋅⨯-＝246b a -【类型一：单项式乘单项式的计算】1．计算（1）2x 2•（﹣x y ）； （2）（﹣2a 2b ）•41a b c ；（3）（﹣2xy 2）•（3x 2y ）2； （4）（﹣2a 2c ）2•（﹣3ab 2）：2．计算：（1）（﹣32a 2b ）3•（31ab 2）2•43a 3b 2； （2）3a 2•a 4+（﹣2a 2）3；（3）（2a 2b ）3•b 2﹣7（ab 2）2•a 4b ； （4）a 2b 4•（﹣21ab ）2+41a •（﹣2ab 2）3．知识点一：单项式乘多项式：1. 运算法则：单项式与多项式相乘，则用单项式去乘多项式的 。
再把所得的积 。
2. 说明：()()()()32223225232532ab a ab a ab ab a -⋅-+⋅-=-⋅-3323106b a b a +-= 特别提示：最后能合并同类项的一定要合并同类项。
【类型一：单项式乘多项式的计算】3．计算：（1）（﹣2xy ）（3x 2﹣2xy ﹣4y 2）； （2）（﹣21m 2n ﹣31m n +1）•（﹣6m 3n ）；（3）（﹣3x 2y ）2•（﹣4xy 2﹣5y 3﹣6x +1）； （4）﹣3a （2a ﹣5）﹣2a （1﹣3a ）．4．已知A ＝﹣2x 2，B ＝x 2﹣3x ﹣1，C ＝﹣x +1，求：（1）A •B +A •C ； （2）A •（B ﹣C ）； （3）A •C ﹣B ．5．阅读：已知x 2y ＝3，求2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）的值．分析：考虑到x ，y 的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x 2y ＝3整体代入．解：2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）＝2x 6y 3﹣6x 4y 2﹣8x 2y＝2（x 2y ）3﹣6（x 2y ）2﹣8x 2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．你能用上述方法解决以下问题吗？试一试!（1）已知ab ＝3，求（2a 3b 2﹣3a 2b +4a ）•（﹣2b ）的值；（2）已知a 2+a ﹣1＝0，求代数式a 3+2a 2+2018的值．知识点一：多项式乘多项式：1. 运算法则：用一个多项式的 乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 。
《整式的乘法(2)》参考教案
整式的乘法二●教学目标一教学知识点1经历探索单项式与多项式乘法的运算法则的过程，会进行简单的单项式与多项式的乘法运算2理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用二能力训练要求1发展有条理思考和语言表达能力2培养学生转化的数学思想三情感与价值观要求在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和勇气●教学重点单项式与多项式相乘的乘法法则及应用●教学难点灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则●教学方法引导探索法●教具准备投影片三张第一张：议一议，记作§第二张：例题，记作§第三张：练习，记作§教学过程Ⅰ提出问题，引入新课［师］整式包括什么［生］单项式和多项式［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘［师］很好！我们这节课就接着来学习整式的乘法——单项式与多项式相乘Ⅱ利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则出示投影片§——议一议为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－2：1宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了81米的空白，这幅画的画面面积是多少一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为；另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为这两个结果表示同一画面的面积，所以 2如何进行单项式与多项式相乘的运算［师］从“议一议”可知求出宁宁画的画面面积有两种方法一种是直接用画面的长和宽来求；一种是间接地把画面的面积转化为纸的面积减去空白处的面积下面我们就用这两种方法分别求出画面的面积［生］根据题意可知画面的长为m －81－81即m －41米，宽为米，所以画面的面积为m －41米2［生］纸的面积为·m=m 2米2，空白处的面积为2·81=412米2，所以画面的面积为m 2－412米2［师］m －41与m 2－412都表示画面的面积，它们是什么关系呢［生］它们应相等，即m －41=m 2－412［师］观察上面的相等关系，等式左边是单项式与多项式m －41相乘，而右边就是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幂的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗［生］乘法分配律abc=abm －41就需用去乘括号里的两项即m 和－41,再把它们的积相加，即m －41=·m ·－41=m 2－412［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗3y 2y －2yy 2,并说明每一步的理由［生］3y 2y －2yy 2=3y ·2y3y ·－2y3y ·y 2——乘法分配律 =33y 2－62y 23y 3——单项式乘法的运算法则［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等我们通过画面面积的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用Ⅲ练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化出示投影片§例1］计算： 12ab5ab 23a 2b;232ab 2－2ab ·21ab; 3－6－3y; 4－2a 221abb 2解：12ab5ab 23a 2b=2ab ·5ab 22ab ·3a 2b ——乘法分配律 =10a 2b 36a 3b 2——单项式与单项式相乘232ab 2－2ab ·21ab =32ab 2·21ab －2ab ·21ab ——乘法分配律 =31a 2b 3－a 2b 2——单项式与单项式相乘 3－6－3y=－6·－6·－3y ——乘法分配律 =－6218y ——单项式与单项式相乘 4－2a 221abb 2=－2a 2·21ab －2a 2·b 2——乘法分配律=－a 3b －2a 2b 2——单项式与单项式相乘［师］通过上面的例题，我们已明白每一步的算理单项式与多项式相乘根据前面的练习，你认为需注意些什么［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点： 1积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同 2运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式［例2］计算：6mn 22－31mn 4－21mn 32分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项解：原式=6mn 2×26mn 2·－31mn 441m 2n 6=12mn 2－2m 2n 641m 2n 6=12mn 2－47m 2n 6［例3］已知ab 2=－6,求－aba 2b 5－ab 3－b 的值分析：求－aba 2b 5－ab 3－b 的值，根据题的已知条件需将ab 2的值整体代入因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法解：－aba 2b 5－ab 3－b=－ab ·a 2b 5－ab －ab 3－ab －b =－a 3b 6a 2b 4ab 2=－ab23ab22ab2当ab2=－6时原式=－ab23ab22ab2=［－－6］3－62－6=21636－6=246Ⅳ课时小结［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会你能告诉大家吗［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幂乘法的运算，……［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正，异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手Ⅴ课后作业1课本习题第1、2题2回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用Ⅵ活动与探究已知A=1×9,B=2×8试比较A、B的大小［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便［结果］设a=1,a1=2;b=8,b1=9,则A=ab1=aba;B=a1b=abb而根据假设可知a>b,所以A>B●板书设计§整式的乘法二——单项式与多项式的乘法一、议一议1用不同的方法表示画面的面积 一方面，画面面积为m －41米2；一方面，画面面积为m 2－412米2所以m －41=m 2－4122用乘法分配律等说明上式成立 m －41=·m ·－41——乘法分配律=m 2－412——单项式与单项式相乘综上所述，可得单项式与多项式相乘转化乘法分配律−−−−−→−单项式与单项式相乘−→−再把积相加二、练一练例1由师生共同分析完成 例2由师生共同分析完成 例3由师生共同分析完成。
第07讲 整式的乘法(二)-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课(沪教版,上海专用)
第07讲 整式的乘法（二）1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数．同底数幂分别相乘的积作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．1. 化简x(2x －1)－x 2(2－x)的结果是( )A. －x 3－xB. x 3－xC. －x 2－1D. x 3－12. 化简a （b ﹣c ）﹣b （c ﹣a ）+c （a ﹣b ）的结果是（）的为A. 2ab +2bc +2acB. 2ab ﹣2bcC. 2abD. ﹣2bc3. 计算：()()2223469x y x xy y -++的正确结果是（ ）A. ()223x y - B. ()223x y + C. 33827x y - D. 33827x y +4. 若()()28x x m x -+-中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A. 8 B. 8- C. 0 D. 8或8-5. 计算：()221196432x y x xy y ⎛⎫++= ⎪-⎝⎭___________．6. 计算：()()()()2222a b a ab b a b a ab b -++-++=___________．7. 根据()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，直接计算下列题：（1）1149x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()82xy a xy a -+．8. 解方程()()()()322365115x x x x --=+-+．9. 解方程组：()()()()()()121211264x y x y x y y x ⎧-+=+-⎪⎨+-=-⎪⎩．10. 如果442215,3x y x y xy +=-=-，那么4422242323x y xy x y xy y --+++的值．11. 在长为32a +，宽为23b +的长方形铁片上，挖去长为1b +，宽为1a -的小长方形铁片，求剩余部分的面积．12. 画出长方形，用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果．（1）()a b c d ++；（2）()()a b c m n +++．13. 若()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与3x 项：（1）求p 、q 的值．（2）求代数式()()2122015201623p q pq p q --++的值．14. 如果()()2233y ay y y b ++-+的展开式中不含2y 和3y 项，求代数式：()()322122a a b a ab b ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭的值．（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）15. 下列计算正确的是（ ）A. a 3•a ＝a 3B. （a 2）3＝a 5C. 4a •（﹣3ab ）＝﹣12a 2bD. （﹣3a 2）3＝﹣9a 6（2022秋·上海·七年级专题练习）16. 若x 2＋px ＋q ＝（x ﹣3）（x ﹣5），则p ＋q 的值为（ ）A. 15B. 7C. ﹣7D. ﹣8（2022秋·上海·七年级专题练习）17. 下列运算正确的是（ ）A. 325426x x x ⋅= B. 236326x x x ⋅=C. ()()25293212x x x -⋅-=- D. ()312319()x x x x -⋅--=-（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）18. 四个学生一起做乘法()()3x x a +-，其中a 是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是（ ）A. 2215x x +-B. 2215x x --C. 2815x x ++D. 2815x x -+（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）19. 现有下列算式：（1）235a a a +=；（2）236236a a a ×=；（3）325()b b =；（4）3393)9b b =（；其中错误的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2022秋·上海奉贤·七年级统考期中）20. 如果计算()(2)x a x +-的结果是一个二项式，那么a 的值是（ ）A. 1B. 2或0C. 3D. 4（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）21. 若关于x 的多项式223x x -+与多项式22x x a +-的积中不含一次项，则常数a 的值为（ ）A. 3- B. 3C. 4D. 4-（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）22. 如果多项式1x -与多项式2x ax b +-相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么a ,b 的值分别是（ ）A. 1,1;B. 1,-1;C. -1,-1;D. -1,1;（2022秋·上海·七年级专题练习）23. 已知三角形的一边长为a 米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含a 的的代数式表示）．（2022秋·上海·七年级专题练习）24. 计算：()()13x x -+=________．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）25. 有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为()2a b +，宽为()a b +的矩形，则需要A 类卡片___________张，B 类卡片___________张，C 类卡片___________张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）26. 已知()()2222235x ax bx x x -++-+的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为______．（2022秋·上海·七年级专题练习）27. 已知关于x y 、的两个多项式22mx x y -+与2323x x y -++的差中不含2x 项，则代数式231m m ++的值为___________．（2022秋·上海·七年级专题练习）28. 如果x 2+mx +6＝（x ﹣2）（x ﹣n ），那么m +n 的值为_____．（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）29. 如果二次三项式26x px +-可以分解为()(2)x q x +-，则2()p q -=__________．（2022秋·上海·七年级专题练习）30. 如图，要设计一幅长为3xcm ，宽为2ycm 的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm ，竖彩条的宽度为bcm ，问空白区域的面积是_____．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）31. 图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形（长方形AEFD 和长方形EBCF ）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a 和2b （即DF ＝a ，BE ＝2b ），且b ＞a ＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD ）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a 至GH ．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b 时，恰好与GH 在同一直线上（即点G 、H 、P 在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD 的总面积；（用含a 、b 的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b 至PQ 时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a 、b 的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC 的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．（2022秋·上海·七年级专题练习）32. 多项式3228A x mx x =++-、3B x n =-，A 与B 的乘积中不含有3x 和x 项．（1）试确定m 和n 的值；（2）求3A ﹣2B ．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）33. 知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①m nm n a a a +⋅=，②()n m mn a a =，③()n n n ab a b =，④m n m n a a a -÷=，反过来，这4条运算法则可以写成：①m n m n a a a +=⋅，②()=n mn m a a ，③()n n n a b ab =，④m n m n a a a -=÷．问题解决：已知20222022110.753a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，且b 满足等式()212273b =，（1）求代数式a 、b 的值；（2）化简代数式()()22x y x xy y -++，并求当x a =，y b =时该代数式的值．34. 如图①，现有边长为b 和a b +的正方形纸片各一张，长和宽分别为b 、a 的长方形纸片一张，其中a b <．把纸片I 、III 按图②所示的方式放入纸片II 内，已知图②中阴影部分的面积满足128S S =，则a ，b 满足的关系式为（ ）A. 34b a =B. 23b a =C. 35b a =D. 2b a =35. 已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个A. 4B. 5C. 8D. 1036. 观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x --+=-；()324(1)11x x x x x -+++=-；……根据前面各式的规律可得到()12(1)1n n n x x x x x ---+++++= ________．37. 计算：()22221252a ab b a a b ab ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=_____________38. 试用整式的运算说明：当10y z +=时，我们计算xy xz ⨯可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算3139⨯时，可以口算3412⨯=，199⨯=，则最终结果为1209）39. 已知代数式()()2324ax x x b -+--化简后，不含有2x 项和常数项．（1）求a ，b 的值．（2）求()()()()22b a a b a b a a b ---+---+的值．第07讲 整式的乘法（二）1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数．同底数幂分别相乘的积作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【1题答案】【答案】B 【解析】【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】原式=2x 2−x−2x 2+x 3=x 3−x ，故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是单项式乘多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式乘多项式.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】原式先利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】解：a （b ﹣c ）﹣b （c ﹣a ）+c （a ﹣b ）＝ab ﹣ac ﹣bc +ab +ac ﹣bc＝2ab ﹣2bc ．故选：B ．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【3题答案】【答案】C【解析】【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后合并同类项即可求解．【详解】解：()()2223469x y x xy y -++32222381218121827x x y xy x y xy y =++---33827x y =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的运用，熟练掌握运算法则是解答的关键．【4题答案】【答案】B【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式把式子化简，然后根据题意，求出m ，即可．【详解】()()28x x m x -+-322888x x mx x x m=-+-+-()32988x x m x m =-++-，∴含x 的一次项为：()8m x +，∴当不含x 的一次项时，80m +=，∴8m =-．故选：B ．【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，计算时注意待定系数法的运用．【5题答案】【答案】3223553223x x y xy y +-+【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的运算，即可．【详解】()221196432x y x xy y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭32222349323232x x y xy x y xy y =-++-+3223553223x x y xy y =+-+故答案为：3223553223x x y xy y +-+．【点睛】本题考查了整式的乘法，解的关键是掌握多项式乘以多项式的运算．【6题答案】【答案】66a b -【解析】【分析】观察代数式特点，再进行分组相乘，最后利用平方差公式即可求解．【详解】原式()()()()2222a b a ab b a b a ab b ⎡⎤⎡⎤=+-+-++⎣⎦⎣⎦，()()322223322223a a b ab a b ab b a a b ab a b ab b =-++-+++---，()()3333a b a b =+-，()()2332a b =-，66a b =-．故答案为：66a b -【点睛】本题考查的是多项式乘法法则的运用，解题的关键熟练掌握运算法则，计算时注意正负号．【7题答案】【答案】（1）21313636x x -+ （2）222616x y axy a --【解析】【分析】根据题目给出一个新算法直接进行求值计算即可求解．【小问1详解】解：2211111131(4949363636x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+--+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】解：()()22222282(82)16616xy a xy a x y a a xy a x y axy a -+=+-+-=--．【点睛】本题考查了多项式的乘法，本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值．【8题答案】【答案】13x =-【解析】【分析】先把方程两边变形，然后再整理计算即可．【详解】()()()()322365115x x x x --=+-+226946665515x x x x x x --+=-+-+226946656515x x x x x x ---+-=--+124x -=13x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【9题答案】【答案】11x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】先对方程组进行化简整理，然后用加减消元即可求解．【详解】由()()()()()()121211264x y x y x y y x ⎧-+=+-⎪⎨+-=-⎪⎩整理得：2212222264xy x y xy x y x xy xy y +--=-+-⎧⎨+-=-⎩；34102460x y x y -+=⎧⎨+-=⎩①②；+①②得：550x -=，解得：1x =，把1x =代入①得：1y =，∴方程组的解是：11x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查整式的乘法在求方程组的解中的运用和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整式的乘法运算和二元一次方程组的解法．【10题答案】【答案】12【解析】【分析】先进行整式加减运算，然后分组，最后整体代入求值即可．【详解】()()442224442244222323x y xy x y xy y x y xy x y x y x y xy --+++=+-+=++-，，，∵442215,3x y x y xy +=-=-，∴原式()15312+-=-．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，在计算时注意整体代入思想的运用．【11题答案】【答案】5857ab a b +++【解析】【分析】设大长方形的面积为1S ，小长方形的面积为2S ，剩余部分的面积为S ，根据大长方形的面积减去小长方形的面积即可求解．【详解】解：设大长方形的面积为1S ，小长方形的面积为2S ，剩余部分的面积为S ，则12S S S =-(32)(23)(1)(1)a b b a =++-+-69461ab a b ab b a =+++-+-+5857ab a b =+++【点睛】本题主要考查长方形面积公式，多项式的乘法运算的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）见解析；ab ac ad ++（2）见解析；am an bm bn cm cn+++++【解析】【分析】根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的乘法法则，进行求解作答即可．【小问1详解】解：如图（1），∴()a b c d ab ac ad ++=++；【小问2详解】解：如图2，∴()()a b c m n am an bm bn cm cn +++=+++++；【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式的乘法法则的面积验证．解题的关键在于熟练掌握割补法的简单运用以及整式的乘法法则．【13题答案】【答案】（1）13,3p q ==- （2）36【解析】【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x 项与3x 项，可知x 项与3x 项的系数均等于0，可得关于p q 、的方程组，解方程组即可；（2）由（1）中p q 、的值得1pq =-，将原式整理变形，再将p q pq 、、的值代入计算即可．【小问1详解】解：()()()224321113331333x px x x q x p x q p x qp x q ⎛⎫⎛⎫+--+=+-+--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵积中不含x 项与3x 项，3010p qp ∴-=+=，，133p q ∴==-，；【小问2详解】解：()()2122015201623p q pq p q --++()()()212015223p q pq pq q -=-++()22015121112333333-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-+-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 311363=-+36=．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，负整数指数幂、积的乘方，幂的乘方等知识，掌握相关运算法则是解题的关键，【14题答案】【答案】5832-【解析】【分析】直接利用多项式乘法运算法则化简进而得出2y 和3y 项的系数为零进而得出答案．【详解】解：()()2233y ay y y b ++-+=43232233393y y by ay ay aby y y b-++-++-+=()()()43233393y a y b a y ab y b+-+-++-+∵不含有2y 和3y 项，∴30a -=且330b a -+=，∴36a b ==，；当36a b ==，时，()()322122a a b a ab b ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭3(6)3(91818)=-⨯⨯-+5832=-．【点睛】本题考查了整式的乘法，本题一方面涉及幂的运算以及积的乘方，另一方面注意对乘积中不含2y 和3y 项的理解和应用．（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）【15题答案】【答案】C【解析】【分析】由同底数幂的乘法运算判断,A 由幂的乘方运算判断,B 由单项式乘以单项式判断,C 由积的乘方运算判断,D 从而可得答案.【详解】解：34,a a a = 故A 选项不符合题意；()632,a a = 故B 选项不符合题意；()24312,a ab a b -=- 故C 选项符合题意；()326327,a a -=- 故D 选项不符合题意；故选：.C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，单项式乘以单项式，掌握以上知识是解题的关键.（2022秋·上海·七年级专题练习）【16题答案】【答案】B【解析】【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则得出p ，q 的值，进而得出答案．【详解】解：∵x 2＋px ＋q ＝（x ﹣3）（x ﹣5），∴x 2＋px ＋q ＝x 2﹣8x ＋15，故p ＝﹣8，q ＝15，则p ＋q ＝﹣8＋15＝7故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确的计算是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）【17题答案】【答案】C【解析】【分析】根据单项式乘以单项式法则，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、325428x x x ⋅=，故本选项错误，不符合题意；B 、235326x x x ⋅=，故本选项错误，不符合题意；C 、()()()()252945323412x x x x x -⋅-=-⋅=-，故本选项正确，符合题意；D 、()()312329221()x x x x x x x -⋅--=-⋅⋅-=，故本选项错误，不符合题意；故选：C 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）【18题答案】【答案】B【解析】【分析】利用多项式与多项式相乘的法则求解即可．【详解】解：()()23)3(3x a x x a x a =+--+-，∵0a > ，∴315a -=-∴5a =∴3352a -=-=-∴()()25321x x x x a +-=--故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确的计算．（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）【19题答案】【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方、合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方运算法则进行计算，然后作出判断即可．【详解】解：（1）235a a a +=，此运算正确；（2）235236a a a =⋅，此运算错误；（3）326()b b =，此运算错误；（4）()339327b b =，此运算错误；综上分析可知，错误的有3个，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方、合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方运算法则．（2022秋·上海奉贤·七年级统考期中）【20题答案】【答案】B【解析】【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果是一个二项式，即可求出a 的值．【详解】解：2()(2)(2)2x a x x a x a +-=+-- 是一个二项式，20a ∴-=或20a -=，2a ∴=或0，故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式、二项式的定义，理解二项式的含义是解题的关键．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）【21题答案】【答案】A【解析】【分析】先把两多项式相乘，再令一次项的系数等于0即可得出a 的值．【详解】解：()()22232x x x x a -++-()()4221263x a x a x a=+--++-∵多项式与多项式的积中不含一次项则260a +=即3a =-故选A.【点睛】本题考查了多项式的系数，多项式的乘法，根据多项式的积中不含一次项列出关于x 的方程是解答此题的关键．（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）【22题答案】【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则，先将两个多项式相乘得出结果，再根据结果不含一次项和二次项，说明一次项系数和二次项系数为0，从而建立关于a 、b 的方程，即可求解.【详解】()()21+--x x ax b =322+---+x ax bx x ax b=()()321+--++x a x a b x b∵乘积不含一次项以及二次项∴10a -=，()=0-+a b 解得=1a ，1b =-故选B.【点睛】本题考查多项式乘法，除了掌握多项式乘法公式外，本题还需要掌握乘积不含一次项以及二次项即一次项系数和二次项系数为0.（2022秋·上海·七年级专题练习）【23题答案】【答案】22a a -【解析】【分析】先根据三角形的面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．【详解】解：∵三角形的一边长为a 米，这边上的高比这边少1米，∴此三角形的高为（a-1）米，∴根据三角形的面积公式得：21(1)22a a a a -⨯⨯-=（平方米）；故答案为：22a a -．【点睛】此题考查了单项式乘多项式以及三角形的面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）【24题答案】【答案】223x x +-【解析】【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可得到答案．【详解】()()13x x -+=233x x x +--=223x x +-，故答案为：223x x +-．【点睛】此题考查多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再将结果合并同类项，熟记乘法法则是解题的关键．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）【25题答案】【答案】2；1；3；见解析【解析】【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和，进行分析所需三类卡片的数量．【详解】解：长为()2a b +，宽为()a b +的矩形面积为：()()22223a b a b a ab b ++=++，A 图形面积为2a ，B 图形面积为2b ，C 图形面积为ab ，则可知需要A 类卡片2张，B 类卡片1张，C 类卡片3张．故答案为：2；1；3．【点睛】本题主要考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖，注意对此类问题的深入理解，是解题的关键．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）【26题答案】【答案】2-【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得220a -=，3320a b -++=，求解即可得,a b 的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．【详解】解：()()2222235x ax bx x x -++-+4324323222352352354610x x x ax ax ax bx bx bx x x =-+-+-+-++-+432(22)(332)(5534)(56)10a x ab x a b x b x =-+-+++--++-+根据题意，展开式中不含三次项和四次项，∴220a -=，3320a b -++=，解得 1a =，0b =，∴55345513044a b --+=-⨯-⨯+=，565066b -=⨯-=-，即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为6-，∴展开式中二次项和一次项的系数之和为4(6)2+-=-．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式运算、多项式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，正确展开原式是解题关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）【27题答案】【解析】【分析】要求231m m ++的值就必须知道m 的值，而m 的值通过两个多项式22mx x y -+与2323x x y -++作差合并后不含2x 的项意味着2x 系数为0而求得.【详解】222222(323)2323(3)42mx x y x x y mx x y x x ym x x y-+--++=-++--=+--∵不含2x 项∴30m +=∴3m =-代入231m m ++中，得2(3)3(3)11-+⨯-+=【点睛】本题主要考查合并同类项、去括号以及代数式求值，利用两个多项式的差不含2x 项得出2x 的系数为0是解题关键.（2022秋·上海·七年级专题练习）【28题答案】【答案】-2【解析】【分析】把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m 、n 的值，之后可计算m+n 的值．【详解】解：∵（x ﹣2）（x ﹣n ）＝x 2﹣（2+n ）x +2n ，∴m ＝﹣（2+n ），2n ＝6，∴n ＝3，m ＝﹣5，∴m +n ＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式()()()2x p q x pq x p x q +++=++即可求解.（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）【29题答案】【解析】【分析】根据多项式的乘法运算，把()(2)x q x +-展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可．【详解】()2()(2)=22x q x x q x q+-+-- 2,26q p q ∴-==1,3p q ∴==()22()134p q ∴-=-=故答案为：4.【点睛】此题考查多项式的乘法，解题关键在于展开式对应项的系数相等.（2022秋·上海·七年级专题练习）【30题答案】【答案】（6xy ﹣6xa ﹣4by+4ab ）cm 2【解析】【分析】可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则该长方形的面积就是空白区域的面积，这个大长方形长（3x ﹣2b ）cm ，宽为（2y ﹣2a ）cm ，根据矩形的面积公式求解即可．【详解】解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积．而这个大长方形长（3x ﹣2b ）cm ，宽为（2y ﹣2a ）cm ．所以空白区域的面积为（3x ﹣2b ）（2y ﹣2a ）cm 2．即（6xy ﹣6xa ﹣4by+4ab ）cm 2．故答案为：（6xy ﹣6xa ﹣4by+4ab ）cm 2．【点睛】本题考查了空白区域面积的问题，掌握平移的性质、矩形的面积公式是解题的关键．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）【31题答案】【答案】（1）22264a ab b ++；（2）262ab b -（3）遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积【解析】【分析】（1）根据题意求得长方形窗户的长为22FH EH a b +=+，高为2+a b ，即可求得面积；（2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可；（3）先求得下窗户的遮阳帘的长，进而求得遮阳帘遮住的面积，根据（1）的总面积减去遮阳帘遮住的面积即可得到窗户的透光的面积，进而根据整式的加减作出比较即可求解．【详解】（1） 长方形窗户的长为22FH EH a b +=+，高为2+a b ，∴长方形窗户ABCD 的总面积为：()()222a b a b ++222424a ab ab b =+++22264a ab b =++（2）上面窗户遮阳帘的面积为222a a a ⨯=下面窗户的遮阳帘的面积为()2226b b b b ⨯+=∴窗户透光的面积为22264a ab b ++-()2226a b +222226426a ab b a b =++--262ab b =-（3）22BC a b=+ 如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC 的中点处时，则下面遮阳帘的长为()112222BC a b a b =⨯+=+∴上面窗户遮阳帘的面积为222a a a ⨯=下面窗户的遮阳帘的面积为2()b a b ⨯+222ab b =+∴遮阳帘遮住的面积为22222a ab b ++窗户的透光的面积为()2222264222a ab b a ab b ++-++242ab b =+()22222242a ab b ab b ++-+ 222a ab=-2()a ab =- b ＞a ＞0a b ∴-<∴遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）【32题答案】【答案】（1）n ＝﹣12，m ＝﹣4（2）323231248A B x x -=--【解析】【分析】（1）先计算A 与B 的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有3x 和x 项可得，3x 和x 项的系数为0，列方程解方程即可得到答案；（2）把A 与B 分别代入进行计算即可．【小问1详解】解：()32283x mx x x n ++--（）()4323243233624283(3)(6)2248x mx x x nx mnx nx nx m n x mn x n x n =++----+=+-+-+--+∵3228A x mx x =++-、3B x n =-，A 与B 的乘积中不含有3x 和x 项，∴3m ﹣n ＝0，﹣2n ﹣24＝0，解得：n ＝﹣12，m ＝﹣4；【小问2详解】解：由（1）得：32323(28)2(3)A B x mx x x n -=++---()3232323428231231262462431248x x x x x x x x x x =-+--+=-+---=--（）【点睛】本题考查整式的混合运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是解题的关键．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）【33题答案】【答案】（1）1a =，2b =（2）33x y -，7-【解析】【分析】（1）逆用积的乘方法则即可求得a 的值，逆用幂的乘方法则可求得b 的值；（2）利用多项式乘多项式的法则化简，并把值代入即可求得代数式的值．【小问1详解】解：2022202220222022144310.750.7513334a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()212273b =得：212273b =，即()231233b =，所以61233b =，故得612b =，解得2b =；所以1a =，2b =；【小问2详解】解：()()22x y x xy y -++322223x x y xy x y xy y =++---33x y =-，当1x a ==，2y b ==时，原式33127=-=-．【点睛】本题考查了幂的运算法则的逆用，多项式的化简求值，熟练运用幂的运算法则，能正确进行多项式的乘法运算是关键．【34题答案】【答案】A【解析】【分析】用含a ，b 的代数式表示出S 1，S 2，即可得出答案．【详解】由题意可得：S 1=(a +b ) 2-b 2-a 2=2ab ，S 2=(b -a )a =ab -a 2，∵128S S =，∴2ab =8(ab -a 2)，∴2ab =8ab -8a 2∴b =4b -4a∴4a =3b ，故选：A ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，用含a ，b 的代数式表示出S 1，S 2是解题关键．【35题答案】【答案】B【解析】【分析】先根据整式的乘法可得,16m a b ab =+=-，再根据“,a b 为整数”进行分析即可得．【详解】2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ ，2216()x mx x a b x ab ∴+-=+++，,16m a b ab ∴=+=-，根据,a b 为整数，有以下10种情况：（1）当1,16a b ==-时，()11615m =+-=-；（2）当2,8a b ==-时，()286m =+-=-；（3）当4,4a b ==-时，()440m =+-=；（4）当8,2a b ==-时，()826m =+-=；（5）当16,1a b ==-时，()16115m =+-=；（6）当1,16a b =-=时，11615m =-+=；（7）当2,8a b =-=时，286m =-+=；（8）当4,4a b =-=时，440m =-+=；（9）当8,2a b =-=时，826m =-+=-；（10）当16,1a b =-=时，16115m =-+=-；综上，符合条件的m 的值为15,6,0,6,15--，共有5个，故选：B ．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．【36题答案】【答案】+1n x -1【解析】【分析】根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为（x-1），公式左边的第二项为x 的n 次幂开始降次排序，系数都为1，公式右边为+1n x -1即可．【详解】由题目中的规律可以得出，()12(1)1n n n x x x x x ---+++++= +1n x -1，故答案为：+1n x -1．【点睛】本题考查了整式乘除相关的规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键．【37题答案】【答案】32263a b a b -+【解析】【分析】先计算整式的乘法，再计算整式的加减法即可得．【详解】原式222332255a a b a a b b b ---+=，22363b a a b -+=，故答案为：32263a b a b -+．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．【38题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据10,10xy x y xz x z =+=+,转换成多项式乘以多项式计算说明即可．【详解】因为10,10xy x y xz x z =+=+，10y z +=，所以()()()()1010101010xy xz x y x z x y x y ⨯=++=++-=22100100101010x x xy xy y y +-++-=()()()1001101001x x y y x x yz ++-=++．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握两位数的表示法，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【39题答案】【答案】（1）0.5；12-（2）6-【解析】【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于a 、b 的方程，求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【小问1详解】解：()()2324ax x x b-+--2224612ax ax x x b=+----()()()2214612a x a x b =-+-+--，∵代数式()()2324ax x x b -+--化简后，不含有2x 项和常数项．，∴210a -=，120b --=，∴0.5a =，12b =-；【小问2详解】∵0.5a =，12b =-，∴()()()()22b a a b a b a a b ---+---+2222222a b a ab b a ab =-+++--ab =()1122=⨯-6=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．。
22整式的乘法2
整式的乘法（二）一、单乘单：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．运算法则的依据是乘法的交换律，分成三步计算：一是各个单项式的系数相乘，二是同底数幂相乘，三是单独的字母照抄．这部分的计算中往往会混合了积的乘方，要注意运算的顺序，有乘方的要先算乘方，后算乘法．二、单乘多：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．依据是乘法分配律，要注意有乘方运算时的运算顺序以及符号的确定，还要注意分配律的运用．三、多乘多：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．多项式乘多项式，注意带符号运算以及不要漏乘．混合运算是一个难点，在混合运算中注意括号运算，不要漏括号．四、例题解析例1、计算：①②(－2a2)·(3ab2－5ab3)③（2x＋5y）（3x－2y）④（3x＋1）（2x－3）－（6x－5）（x－4）解：．②原式=－2a2·3ab2＋（－2a2）·（－5ab3）=－6a3b2＋10a3b3．③原式=2x(3x－2y)＋5y(3x－2y)=6x2－4xy＋15xy－10y2=6x2＋11xy－10y2．④原式=6x2＋2x－9x－3－（6x2－24x－5x＋20）=22x－23．例2、求证：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．解：原式=25×32n＋1×2n－3n×2n＋2×3n＋2=25×32n＋1×2n－12×32n＋1×2n=13×32n＋1×2n而32n＋1×2n为正整数，故原式能被13整除．变式：已知3n＋11m能被10整除，试证：3n＋4＋11m＋2也能被10整除．证明：原式=81×3n＋121×11m=80×3n＋120×11m＋（3n＋11m）=10（8×3n＋12×11m）＋（3n＋11m）∵8×3n＋12×11m为正整数，3n＋11m能被10整除．∴原式能被10整除．例3、已知x2＋x－1=0，求x3－2x＋2008的值．解：∵x2＋x－1=0，∴x2=1－x∴原式=x·x2－2x＋2008=x（1－x）－2x＋2008=－x2－x＋2008=－（x2＋x）＋2008=－1＋2008=2007．例4、若（x2＋nx＋3）（x2－3x＋m）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．解：原式=x4＋（n－3）x3＋（3－3n＋m）x2＋（mn－9）x＋3m．由已知得：．例5、设M=（a4＋2a2＋1）（a4－2a2＋1），N=（a4＋a2＋1）（a4－a2＋1），其中a是不为0的有理数，试比较M与N的大小．解：设a4＋a2＋1=A，则M=（A＋a2）（A－3a2）=A2－2a2A－3a4，N=A（A－2a2）=A2－2a2A．∴M－N=A2－2a2A－3a4－A2＋2a2A=－3a4．而a≠0，∴M－N＜0，即M＜N．变式：计算：（a1＋a2＋…＋a n－1）（a2＋a3＋…＋a n－1＋a n）－（a2＋a3＋…＋a n－1）·（a1＋a2＋…＋a n）．解：设a2＋a3＋…＋a n－1=A，则原式=（a1＋A）（A＋a n）－A（A＋a1＋a n）=A2＋（a1＋a n）A＋a1a n－A2－（a1＋a n）A=a1a n．同步测试一、选择题1、下列算式中，正确的是（）A．3a2·2a3=6a6B．2x3·4x5=8x8C．3x·3x4=9x4D．5x7·5x7=10x142、若－x2y=2，则－xy（x5y2－x3y＋2x）的值为（）A．16 B．0C．8 D．123、边长为a的正方形，其边长减少了b后，所得到的正方形的面积比原来的正方形面积减少（）A．b2 B．2abC．b2＋2ab D．b（2a－b）二、填空题4、若3x m＋5y2与x3y n的和是单项式，则m=__________，n=__________．这两个单项式的积为__________．5、若ax2＋bx＋c=（2＋x）（3x－1），则a=__________，b=__________，c=__________．三、解答题6、先化简，再求值：x（x＋2）－（x＋1）（x－1），其中．7、解方程：（x＋3）（x－7）＋8=（x＋5）（x－1）．8、（1）（x＋2）（x2－5x＋7）；（2）（x＋2）（y－3）－（x－1）（y＋2）；（3）（a－b）（a2＋ab＋b2）＋（a＋b）（a2－ab＋b2）.9、一个长方形的长增加4cm，宽减小1cm，面积保持不变；长减小2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变，则这个长方形的面积等于多少？10、把（x2＋x－1）6展开后得：a12x12＋a11x11＋…＋a2x2＋a1x＋a0，求a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0的值．答案：1-3 BAD 4、－2，2，3x6y4 5、3，5，－2 6、解：原式=2x＋1，当时，． 7、x=－1 8、（1）x3－3x2－3x＋14；（2）－5x＋3y－4；（3）2a3.9、解：设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，面积为s cm2，则有xy=s，∵（x＋4）（y－1）=s，∴4y－x=4，又∵（x－2）（y＋1）=s，∴x－2y=2，∴y=3，x=8，∴s=xy=8×3=24（cm2）.10、解：设x=1，则有a12＋a11＋a10＋…＋a1＋a0=1 ①，x=－1，则有a12－a11＋a10－…－a1＋a0=1 ②，①＋②得2（a12＋a10＋…＋a0）=2，∴a12＋a10＋…＋a0=1．课外拓展例1、已知a1，a2，…a2004，a2005都是正数，设M=(a1＋a2＋…＋a2004)(a2＋a3＋…＋a2005)，N=(a1＋a2＋…＋a2005)(a2＋a3＋…＋a2004)，试比较M、N的大小解：设a1＋a2＋…＋a2004=x，则M=(a1＋x)(x＋a2005)=x2＋a1x＋a2005x＋a1a2005N=x(a1＋x＋a2005)=a1x＋x2＋xa2005∴M－N=a1a2005，∵a1，a2005均为正数∴M－N>0，即M>N.例2、你能口算下列各算式吗？51×59，72×78，84×86，95×95，147×143，191×199，如果不会，请先证明下列恒等式：(10x＋y)[(10x＋(10－y)]=100x(x＋1)＋y(10－y)再运用结论来计算上述各算式就轻而易举了.解：∵(10x＋y)[10x＋(10－y)]=100x2＋10x(10－y)＋10xy＋y(10－y)=100x2＋100x＋y(10－y)=100x(x＋1)＋y(10－y)∴51×59=100×5×(5＋1)＋1×9=300972×78=100×7×(7＋1)＋2×8=561684×86=100×8×(8＋1)＋4×6=722495×95=100×9×(9＋1)＋5×5=9025147×143=100×14×(14＋1)＋7×3=21021191×199=100×19×(19＋1)＋1×9=38009中考解析例、如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片______张．分析：因为正方形面积分别为a2和b2，而拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积3ab．解：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3张．点评：本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用面积之和等于总的面积进行比较．。
7、整式的乘法(二)
课程名称整式的乘法（二）上课时间年月日课次第次课辅导老师辅导方式一对一教学内容教学材料中心自编辅导资料学生教学设想教学目标教学重点教学难点教学方法教学过程设计一、知识回顾1、单项式和单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含字母的，则联通它的指数作为积的一个因式；2、单项式和多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；3、多项式和多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加；4、平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数平方差；5、完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，∴3+m=6，解得m=3．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算。
3、若(x﹣3)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的是；由此可得，(x-a)(x+a)= .【考点】多项式乘多项式，平方差公式．【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，则p=1，q=﹣12．【点评】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．4.先化简，再求值：2(x-3)(x+2)-(3+a)(3-a)，其中a=-2，x=1．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先根据多项式乘多项式的法则以及平方差公式计算，再去括号，然后合并，最后把a、x的值代入计算．【解答】解：原式=2(x2-x-6)-(9-a2) =x2-2x+a2﹣21，当a=-2，x=1时，原式=2×12-2×1+（-2）2-21=-17．于这两个数的平方和，加上（或减）这两个数积的2倍。
二、案例分析1、计算：（﹣3x 2y ）•（13 xy 2）= ．【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法． 【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质计算即可．【解答】解：（﹣3x 2y ）•（13 xy 2）=（﹣3）×13 ×x 2•x •y •y 2=﹣x 2+1•y 1+2=﹣x 3y 3．【点评】本题主要考查单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．2、如（x+m ）与（x+3）=x 2+6x+9，则m 的值为 ，(x+m)2= (用x ，m 表示)。
整式的乘法(二)
整式的乘法(二)一：教学目标掌握基础的整式乘法法则，学会用这些法则做题二：教学重难点单项式的乘法法则，单项式乘以多项式，多项式与多项式相乘的法则；理解运算法则及其探索过程。
三：新课引入问题1.（1）怎样计算)105)(103(25⨯⨯？计算过程中用到哪些运算律及运算性质（2）如果将上式中的数字改为字母，比如25bc ac ⋅，怎样计算这个式子？结论：问题2.三家连锁店以相同的价格m （单元：元/瓶）销售某种商品，他们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a,b,c 你能用不同的方法计算它们在这个月内的销这种商品的总收入吗？结论：问题3.如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a 米、宽m 米的长方形绿地，增长了b 米,加宽了n 米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？结论：四：知识呈现1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=⋅-xy z y x 3232 例.1、)3(52a b a --）（ 2、)5(223xy x -）（2、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：mn b n a n 图1 b a m a b m①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
]如：)(3)32(2y x y y x x +--例.1、)13()4(2+⋅-x x 2、ab ab ab 21)232(2⋅-3、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
《整式的乘法(2)参考课件2
第一章
整式的乘除
4 整式的乘法（第2课时）
前置诊断：
1. 计算：
1 2 (1)3a b 2abc abc 3 1 3 3 (2)( m n) (2m 2 n) 4 2
2
2.写一个多项式，并说明它的 次数和项数
创设情境：
才艺展示中，小颖也作了一幅画，
所用纸的大小如图所示，她在纸的左、
1 xm 的空白，这幅画的画 右两边各留了 —
面面积是多少？
—xm
8
1 8
—xm
1 8
x m
mx m
探究尝试：
问题1：ab· (abc+2x) 和c2· (m+n-p)等于什 么？你是怎样计算的？ 问题2： 如何进行单项式与多项式相乘 的运算？ 单项式与多项式相乘的法则：单项式与多 项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘 多项式的每一项，再把所得的积相加。
2
(2)b (b 3a a )
2 2
1 3 (3) x y ( xy 1) 2 2 2 (4)4(e f d ) ef d
3
1 2、计算：2a ( ab b 2 ) 5a(a 2b ab 2 ) 2 2 3 7 2 5 3、已知xy 3, 求 xy( x y 3x y y)的值
应用新知：
例2 计算：
(1)2ab(5ab 3a b)
2 2
2 2 1 (2)( ab 2ab) ab 3 2 2 2 (3)(5m n) (2n 3m n ) (4)2( x y z xy z ) xyz
14.1 整式的乘法
14.1 整式的乘法：1.整式的乘法（一）：同底数幂相乘：a m •a n =a m+n （m ，n 都是正整数） 幂的乘方：（a m ）n =a mn （m ，n 都是正整数） 积的乘法：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 2.整式的乘法（二）单项式与单项式相乘：把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘：先把一个多项式的每一项乘另一个多项式中的每一项， 再把所得的积相加。
3.整数的除法：同底数幂相除：a m ÷a n =a m —n （a ≠0，m ，n 都是在正整数，并且m ＞n ）a 0=1（a ≠0）单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
整式乘法（一）：一、同底数幂相乘：1、同底数幂相乘，底数 ，指数 ，用公式表示=nma a2、计算：=⨯461010 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-6231)31( =⋅⋅b b b 32 ⋅2y （—y5）—（—a ）2•a 6= y 2n •y n+1= —b 5•b= —23•（—2）4==-⋅-23)()(a b b a ()=-⋅-⋅-62)()(a a a3、若53=a ，63=b ，求ba +3= 4、下面计算正确的是（ ） A.4533=-a a B.nm nm+=⋅632 C.109222=⨯ D.10552a a a =⋅二、幂的乘法：1.()43a= （x4）3= （y 3）2+（y 2）3= =-∙-3223)()(a a)(234)2(=.（在括号内填数）（a m）2= （－a 2）3= [（－a ）2]5=n m a a ⋅3)(= []423)1(a ⋅-= 324)(a a ∙= ()()5243a a ⋅=2.在下列各式的括号中填入适当的代数式，使等式成立：⑴a 6=（ ）2；⑵2342225)()((_____))(a a a ⋅=⋅. 3.计算：23422225)()()()(2a a a a ⋅-⋅335210243254)()()()()(a a a a a a a -∙-∙--+∙---.三．积的乘方：1、积的幂，等于幂的积。
整式的乘法2(单乘多)
符号的处理
在运算过程中，要注意符 号的处理，特别是当单项 式或多项式中存在负号时， 要特别小心。
03
整式乘法的应用
整式乘法在数学中的应用
代数方程求解
整式乘法是解决代数方程的重要 工具，通过将方程的每一项进行 乘法运算，可以简化方程，提高
求解效率。
函数运算
在函数运算中，整式乘法可以用于 计算函数的导数、积分等，有助于 理解函数的性质和变化规律。
整式的乘法2(单乘多)
目录
• 整式乘法的基本概念 • 单项式与多项式的乘法 • 整式乘法的应用 • 整式乘法的练习题与解析
01
整式乘法的基本概念
整式的定义
01
整式是由常数、变量、加法、减 法、乘法和乘方等运算构成的代 数式。
02
整式可以看作是多项式的特殊情 况，其中项数为1。
Hale Waihona Puke 式的乘法规则整式的乘法基于乘法分配律，即 $(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn$。
在整式的乘法中，指数相加，即 $a^m times a^n = a^{m+n}$。
单项式与多项式相乘的步骤
将单项式与多项式的 每一项分别相乘，得 到新的项。
例如：$(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x 3$。
将相同变量和常数的 项合并，得到最终的 多项式。
通过练习这类题目，学生可以 掌握整式乘法的基本规则，为 后续更复杂的题目打下基础。
进阶练习题
详细描述 通过这类题目，学生可以进一步理解整式乘法的多项
式展开，提高解题能力和技巧。
整式的乘法(2)讲学稿
2010-2011学年七年级（下）数学讲学稿班级 姓名【课题】整式的乘法（二） 【课 型】 新课学习【主备人】：惠正锋 【审核人】： 惠正锋 【总分数】：7学习目标与要求：1、经历探索单项式与多项式乘法运算法则的过程，理解单项式乘以多项式的运算法则2、会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算，理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化的数学思想3、发展有条理思考的能力和语言表达能力 重点与难点：重点：单项式与多项式相乘的运算法则及应用 难点：灵活应用单项式与多项式乘法的法则 学习过程：复习巩固：计算：（单项式的乘法） (1) 2225()()32a bc abc x -⋅- (2) 222()()ab a b -⋅-(3) 54(410)(510)⨯⋅⨯ (4) 2352231()()()343a bc c abc -⋅-⋅探索发现：一、探索单项式与多项式乘法运算法则如图，宁宁在一张长为mx 米、宽为x 米的纸上画了一幅画，她在纸的左右两边各留了18x 米的空白，这幅画的画面面积是多少？ 分析：（提示：求画面的面积你有几种方法） 1、这幅画的长可以表示为______________，宽可以表示为______________，于是画面的面积可以表示为_______________ 2、用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为___________________ 两种方法求出的画面的面积应该相等，由此你能不能探索出单项式与多项式相乘的法则？_________________________________________________________________________ 例1 计算： (1) 222(53)ab ab a b +(2) 221(2)32ab ab ab -⋅巩固练习： 1、判断正误：（1）m(a+b+c+d)=ma+b+c+d ( )（2）12121)2(21232++=++a a a a a （ ）（3）(-2x)•（ax+b-3）=-2ax 2-2bx-6x ( )2、计算(1) 25(234)x x x -+ (2) 6(3)x x y --(3) 2212()2a ab b -+ (4) 2221(6)32x y xy xy -⋅(5) (6)例2计算：)(5)()2(2222ab b a a b ab a --+⋅-3、先化简,再求值： 2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-34、分别计算下面图中阴影部分的面积[]x y x xy xy +--)2(23)3(111-+--++n n n n a a a a5、下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第n个图形中共有多少枚棋子？学习小结：谈一谈本节课你的收获。
整式的乘法(二)整式的乘法知识点讲解
．
（ ２（ ２＋ ） （ ）２— ） ２ ．ｂ ３ ｂ ６ ｂ ３一３ ５ １： ｂ ９ 一 ） ９一 ６（
２ ｂ＋ ２ ．３ — ９ ２．２ ＋ ９ ｚ： １ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ８ ３— ４ｂ ２＋ ６ 一 ｂ
项 ． 非零 单 项 式 乘 不 含 同 类 项 的 多 项 式 ， 积 １ ｂ ， ： 乘 ８ ＋９ ＝５ ＋６ ・ ｂ ｂ ｂ
解 （ ） ｘ ・５ ＋３ 一１ ：２ ・ ｘ＝ ・ １ ２ ｙ （ ） ５ｙ ＋２
・１＝ ｌ ｘｙ ＋６ Ｏ ：￣
—
注意 （） １单项式与多项式相乘 ． 根据分
项式乘法 ， 即把“ 单项式 ×多项 式” 转化为“ 单项
配 律 ， 单 项 式 乘 多项 式 的 各 项 ， 其 转 化 为 单 ３ 一 用 将
ｊ
）． ［ ６ 。 ． （ （ ） ６～。 。 ：一 ）］
一
（ ６一口 ｓ ）：
数 ，还要 用 到 有 理 数 的乘 法 ，闪 此 应 先 确 定 符
ｊ
号 ， 计算 绝 对 值 的 积 ； 再
２ （ ｎ一６ ）
．
里 相 字 相 即 字母 变 指 数， 各 式 的 母 乘 要 ‘ 同 ｊ 因 ： 点 ① 是 单 式 ｆ 过 字 ， 结 中 Ｊ 拨 一 凡 在 项 里ｊ 的 母 在 果 也 ｆ 现 相加： ｔ
是单 项 式 ） ．
例 ２ 计算：１ ２ｙ （Ｘ２ ３ｙ ） （） ｘ ・５ｙ＋ ｘ 一１ ；
（ ）（ ２ ２ ０
，
—
２ ｃ ．一 ｎ ｚ ｂ ） （ ２ ６）：
‘ 三
一
ｃ ‘ 其
14.1.4整式的乘法(2)课件+-2024-2025学年人教版数学八年级上册
复习有关知识
计算：
（1）2x 3x2 y；
6x3y
（2）(-2a2 )(-
1 8
ab2 )； 14a3b2
（3）(-12) ( 1 + 1 - 1). -5
346
你在计算这3 个小题时，分别用到了学过的哪些知识、法则或运算律？
探索法则
问题 我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要 把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加 宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？
例1 计算：
（1）(-4x2)(3x+1)； -12x3-4x2
（2）( 2 3
ab2 -2ab)
1 2
ab. 13a2b3-3a2b2
巩固法则
练习2 计算下列各式：
（1）3（ a 5a-2b）；
15a； -6x2+18xy
（3）5x(2x2 -4x 3)； 10x3-20x2+15x
2
解：(1)原式=3x3-5x2+6x； (2) -29x3+12x2+7x.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为 应该注意哪些问题？ （3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？
布置作业
必做题：教材第105页第4、7题； 选做题：教材第106页第11题.
p
pa
pb
pc
a
b
c
探索法则
不同的表示方法：
（ p a+b+c）
pa+pb+pc
你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？
整式的乘法(二)
整式的乘法（二）整式的乘法（二）一、学习指导1.单项式与多项式相乘1）单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：m(a+b+c) =ma+mb+mc，实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。
也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。
（2）单项式与多项式相乘的积仍是一个多项式，而且积的项数和乘式中的多项式的项数相同，在运算过程中不要漏乘造成漏项。
（3）运算时要注意符号，因为多项式由若干个单项式组成，其中每一个单项式都包括前面的符号，因此要注意确定积中每一项的符号。
（4）最后结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。
例1. 计算(1) ab(- a2b+ b-3ab) (2) [6xy-3(xy- x2y)]·3xy解: (1) ab(- a2b+ b-3ab)分析：= ab(- a2b)+ ab( b)+ ab(-3ab)(1)利用法则转化成三组=- a3b2+ab2-2a2b2单项式乘法的代数和=- a3b2-2a2b2+ab2(2) 计算时注意确定符号(3)按字母a的降幂排列解：(2) [6xy-3(xy- x2y)]·3xy分析：(1)计算这种多层括号的题，一般从里往外去括号。
=[6xy-3xy+ x2y]·3xy 去括号时注意括号前面是“-”号时，把“-”号和括号去掉时=[3xy+ x2y]·3xy括号内每一项都要变号=3xy(3xy)+3xy( x2y)=9x2y2+ x3y2(2)有同类项时注意要随时合并同类项。
例2．化简求值：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7) , 其中x=- .解：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7)分析：先将原式化成最简形式按某一字母降幂（或升幂）排列再求=9x4-2x3-2x2-3x3+21x值计算。
=9x4-5x3-2x2+21x∴当x=- 时,原式=9(- )4-5(- )3-2(- )2+21(- )=9×+ - -=1 -11=-9 .* 2．多项式与多项式相乘（1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。
整式的乘法(2)
创设情境，导入新知
问题1 有一个边长为a2 的正方体铁盒， 这个铁盒的容积是多少？
解：
（a ） a a a a 6
2 3
2
2
2
答：这个铁盒的容积是a6 ．
创设情境，导入新知
问题2 根据乘方的意义及同底数 幂的乘法填空: （1） 3 ）=3 （
2 3 2
3 3 =3
n 个m m m m
n个a m
a mn a
（ m ，n都是正整数）
细心观察，归纳总结
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用字母表示为：
（a ）=a
m n mn （m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，n 都是正整数）．
多重乘方可以重复运用上述法则：
a ） =a mnp （m,n,p是正整数）． （
3 （4） （x 4）=-x 43 =-x12.
动脑思考，变式训练
练习 计算下列各题：
3 3 2 （x3） x 6 ； （2）
10 9 （ ； （1） 10 ）
； （3） （x ） x
m 5
5m
3 （a 2） a 5； a11 （4）
（5） （x ） ；
12
, 则有m ____
9m
5.若x x
m
2m
6.若a
2n
3, 求a
m
2， 求x 的值
3n 4
的值
7.已知a 2, a 3, 求a
n
2 m 3n
的值
八年级
上册
14.1 整式的乘法
第2课时---幂的乘方
课件说明
• 本课是在学生已经学习了同底数 幂乘法的法则的基础上，进一步 研究幂的乘方的运算性质，它们 都是续学习整式乘法的基础．
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_月____日（星期）第___课时
题，多项式的每一项都包括它前面的符号)
注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒
学生注意．
计算：
例6 计算.
(1)2a2(3a2-5b)； (2)(-2a2)(3a b2-5a b3).
(分析)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应
用.
解：(1)2a2(3a2-5b)
=2a2·3a2-2a2·5b
=6a4-10a2b.
解法1：(2)(-2a2)(3a b2-5a b3)=(-2a2)·3a b2-(-2a2)·5a b3
=-6a3b2+10a3b3.
解法2：(2)(-2a2)(3a b2-5a b3)
=-(2a2·3a b2-2a2·5a b3)
=-(6a3b2-10a3b3)
=-6a3b2+10a3b3.
让学生类比
课堂练习下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地
方？
(1)3a(b-c+a)=3a b-c+a
(2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x
(3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m
点拨 (1)(2)不正确，(3)正确.(1)题错在没有将单项式分
别与多项式的每一项相乘.(2)题错在没有将-2x中的负号乘进
去.
认真做练习，
课堂小结小结通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
通过自己的努力，探索总结出了单项式与多项式相乘，
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．性质
活用．单项式与多项式相乘时，要注意两个问题：
(1)要用单项式与多项式的每一项相乘，避免漏乘；
(2)单项式带有负号时，如(2)小题，乘的时候容易弄错符
号，为了避免这一错误出现，可以用(2)小题的第二种解法，就
能有效地解决.
做好重要知识
点的梳理
本课作业教科书第104 页习题15.1 4
板书设计单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
教学反思
1、教学的成败得失：
2、学生的信息反馈：
3、今后的教学建议：在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以
多项式转化为单项式的乘法，将新知识转化为已经学过的知识．无论是单项式乘以单项式“转
化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生
都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的。