随机过程第一次大作业(THU)
随机过程答案西交大
【第一章】 1.1 证明：∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈且∴1F 是事件域。
∵222,,,,c A A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω-∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,c c AA A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈∴2F 是事件域。
且12F F ∈。
∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈∴3F 是事件域。
且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。
1.2一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为(),,,,,,,,16,6,6i j k i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤∴样本空间()61=,,n i j i k ji j k ==≥≥Ω事件(){},,|,,i j k A i j k ωω==，,,,,,6,16,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度()()(),,1P 677i j k A i j =--，,,,,,16,6,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤则(),,F P Ω为所求的概率空间。
1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ=（2）有概率测度的可列可加性可得 ()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑（3）∵,,A B F A B ∈⊂ ∴B A F -∈,()A B A -=Φ由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+- 即()()()P B A P B P A -=-有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有()()1P A P A =- （5）∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设()()()()()11211111m mm k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑成立，则()()()()()()()()()11111111111111211111+1m m m m k k m m k m k k k k k mm k iji j k k i j mi j k mm m m m k k m k i j i k i j mP A P A A P A P A P A A P A P A P A A P A A A P A A A P A A P A P A A P A A ++++====+=≤<≤≤<<≤++=+=≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑∑∑∑()()()()()()()()()()()()1121111121111212111111111n j k m i j k mm i j m i j k m m m i j m i j k m m m k i j i j k m k i j m i j k m A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A +≤<<≤++++≤<≤≤<<≤+++=≤<≤+≤<<≤+-+-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=-+-+-∑∑∑∑∑∑也成立由数学归纳法可知()()()()()11211111n nn k k i j i j k n k i j n i j k n k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()111122212123231231n nn n k k k k k k k k n n n k k k k k k nk k nk k P A P A A P A P A P A A P A P A P A P A A P A A P A P A P A P A =========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤≤∑1.4 （1）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21040114P AB P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P AB P A P B P AB P A P A B P A P A P A ≤-≤-≤≤-≤-=-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤-≤（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()if =1else if =P AB P BC P AB P BC P AB P AC P A B C P ABC P AB P BC P AC P A B C P ABC P BC P A B C P AB P BC P AB P BC --+=++-+=++-≤+≤---可由这个式子的轮换对称性证明这种情况（3）()()()()()()()()()()11111111111nnk k k k n n n nk k k k k k k k nk k nk k A A A AP A P A P A P A n P A P A n P A P A P A n ========⊂∴⊃⎛⎫≤≤=-=- ⎪⎝⎭-≤-∴≥--∑∑∑∑∑1.5()!!kn k k A n P X k n n k >==，∴()()()!11!k n F X P X x P X x n k =≤=->=-1.6由全概率公式()()()()()()()()()()()()100112211110101=1424P Y X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y e -≥=≥=+≥=+≥==+-=+-=-=-1.7 证明： 显然()()()()111111122,,,,,,0n n n n n F x x F x x F y x P x X y x X x X ∆=-=≤≤≤≤≥假设()()121111222,,,,,,,0i n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤≥成立 从而()()()()12+11111222111112221111122211122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0i i n i i i i i n n i i i i i n n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X P x X y x X y x X y y X x X P x X y x X y x X y x X x X +++++++++∆∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤≤≤≥（分布函数对于每一变元单调不减）也成立由数学归纳法可知()()121111222,,,,0n n n n n F x x P x X y x X y x X y ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≥1.8()()()()()()()()()()()''''''',,0','x y x y x x y x y x y x y x y x x y y h x y eeh x y eeeee e e e x x y y -+-+-+-+-+-+----∆=-∆∆=---=--≥≤≤所以h 是二元单调不减函数。
第一次作业
2
2
Y
Y
Y
2
Y
Y
Y
2
⎪ ⎩
Y
RY (m ) = RY (− m )
Y
Y
并根据这三个值与递推关系得 R y (m ) = 2)
a b2 。 1− a2
m
对 y (n ) − ay (n − 1) = bx(n ) 两边作 Fourier 变换，有 Y (Ω ) 1 − ae
(
− jΩ
证明： 对 y (t ) = x(t ) + x(t − T ) 两 边 作 Fourier 变 换 ， 可 得 Y (ω ) = X (ω ) + X (ω )e
− jωT
，则
H ( jω ) =
Y (ω ) 2 = 1 + e − jωT ， H ( jw) = 1 + e − jωT X (ω )
=
m = −∞ l = −∞ 3
∑
2
∞
∑ h(m )h(l )E{n(k1 − m)n(k 2 − l )}=
3
∞
m = −∞ l = −∞ 3
∑ ∑ h(m)h(l )R (k
n 3 m =0 m =0
∞
∞
1
− k2 − m +− k 2 − m + l ) ，即 R y (τ ) = σ n2 ∑∑δ (τ − m + l ) ，可得
=
m = −∞
∑ h(m)Rn (k1 , k 2 − m) = σ n2
2
∞
m = −∞
∑ h(m)δ (k
∞
1
− k2 + m)
= σ n (δ (k1 − k 2 ) + δ (k1 − k 2 + 1) + δ (k1 − k 2 + 2 ) + δ (k1 − k 2 + 3)) ,
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
随机过程第一章习题答案
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
哈尔滨工程大学研究生课程：随机过程大作业答案
1．答：(1)前50个数为:0.9862 0.8479 0.0301 0.1746 0.91000.8853 0.5268 0.9537 0.8352 0.67650.4048 0.8074 0.7144 0.9701 0.62320.6271 0.3935 0.6465 0.1350 0.51220.3855 0.9617 0.4467 0.2510 0.00350.8479 0.0301 0.1746 0.9100 0.22690.5268 0.9537 0.8352 0.6765 0.97850.8074 0.7144 0.9701 0.6232 0.86130.3935 0.6465 0.1350 0.5122 0.01440.9617 0.4467 0.2510 0.0035 0.4858(2) 分布检验:(3)均值检验:0.5042(4) 方差检验：0.0832(5) 计算相关函数分布：p =199 178 207 193 211 193 206 216 191 206本题运用MATLAB进行编程,程序如下：for n=1:2000xt(n)=unifrnd(0,1); %产生2000个（0，1）均匀分布白序列endsubplot(2,1,1);plot(xt),title('2000个(0,1)均匀分布的白噪声');for i=1:5for j=1:10sc(j,i)=xt((i-1)*5+j);end;end;disp([sc]) %打印前50个数mx=mean(xt) %求平均数并输出dx=cov(xt) %求方差并输出subplot(2,1,2);p=hist(xt,10) %将产生的2000个随机数分为10组p=p/100; t=0.025:.1:.975; %求概率密度bar (t,p,1);title('0-1均匀分布的白噪声直方图');xlabel('x');ylabel('f(x)');[bx,i] = xcov(xt,10); %τ取-10到10Bx=bx/2000; %求自相关函数Bx(τ)figuresubplot(2,1,1);plot(i,Bx),title('自相关函数Bx分布图');xlabel('τ');ylabel('Bx(τ)');[tx,i] = xcorr(xt,10); %τ取-10到10Tx=tx/2000;subplot(2,1,2);plot(i, Tx),title('自相关函数Γx分布图');xlabel('τ');ylabel('Γx(τ)');2.答：(1)前50个数为:-0.4326 1.1909 -0.1867 0.1139 0.2944-1.6656 1.1892 0.7258 1.0668 -1.33620.1253 -0.0376 -0.5883 0.0593 0.71430.2877 0.3273 2.1832 -0.0956 1.6236-1.1465 0.1746 -0.1364 -0.8323 -0.69181.1909 -0.1867 0.1139 0.2944 0.85801.1892 0.7258 1.0668 -1.3362 1.2540-0.0376 -0.5883 0.0593 0.7143 -1.59370.3273 2.1832 -0.0956 1.6236 -1.44100.1746 -0.1364 -0.8323 -0.6918 0.5711(2) 分布检验: 如下图所示。
随机过程作业题与参考答案(第一章)
随机过程作业题及参考答案（第一章）第一章随机过程基本概念P391. 设随机过程 X tX cos 0t ， t，其中0 是正常数，而X 是标准正态变量。
试求 X t的一维概率分布。
解：1当 cos0t0 ，0tk，即 t1 k 1（ kz ）时，22 X t 0，则 P X t1.2当 cos0t0，0tk，即 t1 k 1（ kz ）时，22X~N 0，1， E X0，D X 1.E X tE X cos 0t E X cos 0t 0 .D X tD X cos0tD X cos 20tcos 2 0t .X t ~ N 0，cos 20t .1x 2则 fx ；te 2cos 2 0t .2 cos 0t2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为cos ，出现正面X t，出现反面2t假定 “出现正面” 和“出现反面” 的概率各为11 。
试确定 X t 的一维分布函数F x ；22和 F x ；1 ，以及二维分布函数1 。
F x 1，x 2；，12随机过程作业题及参考答案（第一章）解：， x 0X10 11 1 12，； P Xxx 122p k1 1 2x1， 221X 112，x 11 1 ；1，1 x 2p kF x 1 P X 1 x222x2，1随机矢量X1，X 1的可能取值为0， 1 ，1，2.2而PX10，X 111，PX11，X1 2 1 .2222F x 1，x 2 1P X1 x 1，X 1 x 2；，1 22，x 1或10 x 21， 且或且 1 x 2 22 0 x 1 1 x 21 x 1x 12， 且1 1 x 23. 设随机过程X t ， t总共有三条样本曲线X t ，11 X t ，2sint， X t ，3 cost，且P 1PP 31t和相关函数 R X t 1，t 2。
2。
试求数学期望 EX3随机过程作业题及参考答案（第一章）解：EX t1 1sint1cost1 1 1 sint cost .333 3，E X t 1 X t 2R X t 1 t 21 1 1 1sint 1 sint 2 1 cost 1 cost 23 331 1 sint 1 sint2 cost 1 cost 2 31 1 cos t 1 t2 .34. 设随机过程X te Xt ，（ t 0），其中 X 是具有分布密度f x 的随机变量。
随机过程第一章习题解答
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjt k pp qe qe∞==-∑ 又20()kk k k q q E X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n x S t dt n tdt xx∞∞+===+==-∑∑⎰⎰ 202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b+==222()()()PD XE X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。
随机过程作业
0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章 平稳随机过程 第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是 随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设 随 机 过 程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其 中 , U 与 V 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,
清华大学随机过程作业1
清华大学电子工程系版权所有
参考文献
[1] 陆大纟金. 随机过程及其应用. 清华大学出版社, 1986. [2] 陆大纟金，张灏. 随机过程及其应用（第二版）. 清华大学出版社,
1 概率论与随机过程 (2) ，homework1_intro © 清华大学电子工程系 1. 袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币两面都有国徽） 。在袋中任取一只， 将 它掷 r 次。已知每次都得到国徽，问取得的硬币是正品的概率。 2. 考虑一个如下定义的离散时间随机过程 X (n) , n = 1, 2, · · · 。无限次抛掷一枚硬币，对 n = 1, 2, · · · ，如果第 n 次抛掷结果为正面，则 X (n) = (−1) ；如果第 n 次抛掷结果为 反面，则 X (n) = (−1)
n+1 n
。
(1) 试画出随机过程 {X (n)} 的典型样本轨道。 (2) 求随机过程 {X (n)} 的一维概率分布列。 (3) 对两时刻 n, n + k ，求 X (n) 和 X (n + k ) 的两维联合分布列，n = 1, 2, · · · , k = 1, 2, · · · 。 3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q ，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q ，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = i=1 ξi 。 (1) 求 {η (n)} 的均值函数。 (2) 求 {η (n)} 的自相关函数 Rηη (n1 , n2 )。 (3) 给定时刻 n1 , n2 ，求随机过程 {ξ (n)} 的二维概率密度函数及相关函数。 4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}，ξ (t) = η cos (t)，其中 η 为均匀 分布于 （0,1） 间的随机变量， 求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1 , t2 )， 自协方差函数 Cξ (t1 , t2 )。 5. ([1] 第一章习题 3) 设有一随机过程 ξ (t)，它的样本函数为周期性的锯齿波。图 1 画出了 两个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不
随机过程作业(全部)
作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。
2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。
3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。
2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。
如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
清华大学随机过程导论第一次作业
S X1
N 也为正整的随机变量， 其母函数为 N ( z ) ， N 与 X i X N 为随机变量的和，
e
相互独立。令 f S ( s) 表示 S 的拉普拉斯变换。 用 N ( z ) 和 f X ( s) 来表示 f S ( s) 。
e e
解：
f Se (s) E e sS EN [ E e sS N ]
P Y ( z) P Af ( z ) P Bf ( z) 1
6 5z 3 2 z
1
令
6 5z 3 2 z
A B 6 5z 3 2 z
待定系数法解得 A
5 2 ,B 3 3 5 2 PY ( z ) 18 9 5 2 1 z 1 z 6 3
Homeworks for Stochastic Processes in 2012
Homework 1 of Stochastic Processes Name:田元(TIAN YUAN) ID：2012210505
Department of Industrial Engineering Tsinghua University
k k
5 5 22 则 P{Y k} 18 6 9 3
利用 Z 变换表格 P7 的 T1.1 中的 Z-2 和 Z-4
5 5 n2 2 2 n2 ,n 2 P{ X n} P{Y 2 n} P{Y n 2} 18 93 6 0, n 2
因为：
E[ e sS N k ]
E e
k i 1
E[ e s ( x1 x2
随机过程大作业
一、背景例子顾客在超市排队付款，汽车排队过收费站，旅客在售票处排队购买火车票，病人排队候诊a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费；b. 减少收银台，顾客排队时间太长。
选择最优收银台数二、随机服务系统顾客→等待服务→接受服务→顾客离开三、常用排队论模型—M/M/s 模型s⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顾客到达规律(到达人数)M 服务时间(时间长短)M 组成部分收银台数排队规则(怎么排队)(1) 顾客到达规律： Possion 过程定义1 时间段t 内到达的顾客数()~()X t P t λ，即()(()),1,2,...!kt t P X t k e k k λλ-=== 定义2 时刻t 顾客数()X t 满足：{}()()()1P X t t X t t o t λ+∆-==∆+∆{}()()()2P X t t X t o t +∆-≥=∆{}()()()01P X t t X t t o t λ+∆-==-∆+∆顾客到达的时间间隔123,,,...,,...n X X X X 独立同指数分布()Exp λ，即1,0;()()0,0.i t X i e t F t P X t t λ-⎧->=≤=⎨≤⎩(2) 服务时间：指数分布服务时间~()i Z E μ1,0;()()0,0.i t Z i e t F t P Z t t μ-⎧->=≤=⎨≤⎩ ()1t e t o t μμμ--=+(3) 排队规则：先到先服务四、一般排队论模型（1）爱尔朗(Erlang)分布若12,,,k X X X 独立同分布于指数分布()(1,),0Exp k k μμμ=Γ>，则1(,)ki i V X k k μ==Γ∑称其为k 阶爱尔朗分布。
密度函数1()(),0(1)!k k t k k t p t e t k μμμ--=≥-1k =时爱尔朗分布即为指数分布，1(1,)()V X Exp μμ=Γ=顾客来到规律：顾客来到的时间间隔独立同分布于爱尔朗分布；顾客接受服务时间：假如顾客接受连续串联的个服务台的服务，各服务台的服务时间独立同分布于指数布，则顾客接受服务总时间服从爱尔朗分布。
随机过程第一次大作业(THU)
基于主成分分析的人脸识别目录基于主成分分析的人脸识别 (1)1 引言 (2)1.1 PCA简介 (2)一、主成分的一般定义 (3)二、主成分的性质 (3)三、主成分的数目的选取 (4)1.2 人脸识别概述 (4)2 基本理论及方法 (5)3 人脸识别的具体实现 (6)3.1 读入图像数据库 (6)3.2 计算特征空间 (7)3.3 人脸识别 (9)4 对实验算法的综合评价 (11)5 结论 (11)6、参考文献 (11)7、附录 (12)1、代码说明： (12)2、实验感想 (12)摘要：本文利用基于主成分分析(Principal ComponentAnalysis，PCA)进行人脸识别。
该过程主要分为三个阶段，第一个阶段利用训练样本集构建特征脸空间；第二个阶段是训练阶段，主要是将训练图像投影到特征脸子空间上；第三个阶段是识别阶段，将测试样本集投影到特征脸子空间，然后与投影后的训练图像相比较，距离最小的为识别结果。
本方法具有简单、快速和易行等特点,能从整体上反映人脸图像的灰度相关性具有一定的实用价值。
关键词：人脸识别；PCA；识别方式1 引言PCA 是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。
正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。
它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合，根据矩阵的行数与列数的区别于差异，PCA 又可以划分为D —PCA （Distributed PCA [1]和C —PCA （Collective PCA ）[2]。
1.1 PCA 简介PCA 方法，也被叫做特征脸方法(eigenfaces)，是一种基于整幅人脸图像的识别算法，被广泛用于降维，在人脸识别领域也表现突出。
一个N ×N 的二维脸部图片可以看成是N 的一个一维向量，一张112×92的图片可以看成是一个10，304维的向量，同时也可以看成是一个10，304维空间中一点。
随机过程作业一(201111768)
四、检验 （一）基本方法 样本均值 X 样本方差 S
1 n Xi n i 1
n 1 （ X i 2 nX 2 ) n 1 i 1
（二）MATLAB 仿真程序 disp('均匀分布'); [E,S]=GetExpectationAndVariance(Randnum_vector,length) U=(E-0.5)/(1/12) U1=sqrt(12*length)*(E-0.5) U2=sqrt(180*length)*(S^2-1/12) disp('正态分布'); [E,S]=GetExpectationAndVariance(Y_normal_vector,length) disp('rayleigh 分布'); [E,S]=GetExpectationAndVariance(Y_rayleigh_vector,length) （三）仿真结果 分布类型 均匀分布 瑞利分布 正态分布 理论期望 0.4900 1.2426 0 理论方差 0.0849 0.4356 1 样本均值 0.4953 1.2427 -0.0096 样本方差 0.0850 0.4319 1.0477
end bar(Randnum_ZhiFangTu_vector); xlabel('统计区间[0,1]'); ylabel('统计个数'); title('随机数序列统计直方图 '); Y_rayleigh_vector = zeros(1,length); Y_rayleigh_vector = sqrt(-2*log(1-Randnum_vector)); subplot(2,1,1); plot(Y_rayleigh_vector,':'); title('参数为 1 的瑞利分布 Rayleigh 随机数序列（5000 个数） '); xlabel('随机数序号'); ylabel('随机数值'); subplot(2,1,2); Y_rayleigh_zhifangtu_vector = zeros(1,50); j=1; for i=1:length j=Y_rayleigh_vector(i)/0.1; j = ceil(j); if j<=0 j=1; end if j>=50 j=50; end Y_rayleigh_zhifangtu_vector(j)=Y_rayleigh_zhifangtu_vector(j)+1;
随机过程题库-new-
#00001设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、方差均为1的随机变量，令ζ（t ）=ζ+ηt ，求ζ（t ）的均值、方差和相关函数。
*00001解：;0)()()]([)(1=+==ηξξμtE E t E ttsE E s t tsE E s t E s t R t D t D t D t D t x x +=+++==+=+=+==1)()()()()()]()([),(;1)()()()]([)(22222ηξμξξξηξηξξσ#00002设g(t)为下图所示的以周期为L 的矩形波，η的分布列为令ζ(t)=ηg(t)，t ∈R 1，求随机过程ζ(t)，t ∈R 1的均值、方差和相关函数。
*00002解：0]21)1(21)[()]([)]([)(1=⋅-+===t g t g E t E t ηξμ)()()()()()]()([),();()()()]([)]([)(22222s g t g E s g t g s g t g E s t R t g E t g t g D t D t x x ==⋅=⋅===ηηηηηξσ#00003设⎩⎨⎧-=内呼叫次数为奇数在内科叫次数为偶数在],0[,1],0[,1t t t ς且在时间(t 0,t 0+t)内发生k 次呼叫的概率与t 0无关并且为)(,!)()(1R t k t et P ktk ∈⋅=-λλ 其中λ>0，k=0，1，2，…。
求：（1）P{在（0,t ）呼叫次数为偶数}，（2）ξt 的均值函数;(3) ξt 的相关函数。
*00003解：（1）P{在[0，5]内发生偶数次“随机点”}t t t e t p t p t tλλλλλcosh 3}!4)(!2)(1{)()(4220--=+++=++=（2）显然tt t t t t t e e e t t e te t e E λλλλλλλλλλξ2)sinh (cosh sinh )1(cosh 1)(------=⋅=-=⋅-+⋅= （3）||22121),(t t X e t t R --=λ#00004证明贝努里试验构成一个齐次马氏链，并求齐次马氏链的一步转移概率矩阵。
概率与随机过程习
1
10
2
2
01
2
0,
0,
F
(
x1,
x2
;
1 2
,1)
1 2 1
, ,
2
1,
x1 0, x2 x1 0, x2 1
0 x1 1, x2 1
x1 1, 1 x2 2 x1 1, x2 2
例7 设随机过程X (t) eAt ,t 0,其中A是在区间(0, a)
E[( X X )( X X )] t2E[( X X )(Y Y )]
t1E[(Y Y )( X X )] t1t2E[(Y Y )(Y Y )]
CXX
t2CXY
t1CYX
t1t2CYY
2 1
(t1 t2 )1 2
t1t2
2 2
例4 设X (t)和Y (t){t (0, )}是两个相互独立的、分
解
Z (t) E[Z (t)] E[a(t) X (t) b(t)Y (t) c(t)]
a(t)E[ X (t)] b(t)E[Y (t)] c(t)
a(t)X (t) b(t)Y (t) c(t)
CZ (t1, t2 ) E[(Z (t1) Z (t1))(Z (t2 ) Z (t2 ))] E{[(a(t1)( X (t1) X (t1)) b(t1)(Y (t1) Y (t1))]
t1t2E( A2 ) t1E( AB) t2E(BA) E(B2 ) 2 (1 t1t2 )
例11 设随机过程X (t)与Y (t),t T不相关,试用它们的均 值函数和协方差函数来表示随机过程
Z (t) a(t)X (t) b(t)Y (t) c(t),t T 的均值函数和协方差函数.其中a(t),b(t), c(t)是普通函数.
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基于主成分分析的人脸识别目录基于主成分分析的人脸识别 (1)1 引言 (2)1.1 PCA简介 (2)一、主成分的一般定义 (3)二、主成分的性质 (3)三、主成分的数目的选取 (4)1.2 人脸识别概述 (4)2 基本理论及方法 (5)3 人脸识别的具体实现 (6)3.1 读入图像数据库 (6)3.2 计算特征空间 (7)3.3 人脸识别 (9)4 对实验算法的综合评价 (11)5 结论 (11)6、参考文献 (11)7、附录 (12)1、代码说明： (12)2、实验感想 (12)摘要：本文利用基于主成分分析(Principal ComponentAnalysis，PCA)进行人脸识别。
该过程主要分为三个阶段，第一个阶段利用训练样本集构建特征脸空间；第二个阶段是训练阶段，主要是将训练图像投影到特征脸子空间上；第三个阶段是识别阶段，将测试样本集投影到特征脸子空间，然后与投影后的训练图像相比较，距离最小的为识别结果。
本方法具有简单、快速和易行等特点,能从整体上反映人脸图像的灰度相关性具有一定的实用价值。
关键词：人脸识别；PCA；识别方式1 引言PCA 是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。
正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。
它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合，根据矩阵的行数与列数的区别于差异，PCA 又可以划分为D —PCA （Distributed PCA [1]和C —PCA （Collective PCA ）[2]。
1.1 PCA 简介PCA 方法，也被叫做特征脸方法(eigenfaces)，是一种基于整幅人脸图像的识别算法，被广泛用于降维，在人脸识别领域也表现突出。
一个N ×N 的二维脸部图片可以看成是N 的一个一维向量，一张112×92的图片可以看成是一个10，304维的向量，同时也可以看成是一个10，304维空间中一点。
图片映射到这个巨大的空间后，由于人脸的构造相对来说比较接近，因此，可以用一个相应的低维子空间来表示。
我们把这个子空间叫做“脸空间”。
PCA 的主要思想就是找到能够最好地说明图片在图片空间中的分布情况的那些向量。
这些向量能够定义“脸空间”，每个向量的长度为N ，描述一张N ×N 的图片，并且是原始脸部图片的一个线性组合。
对于一副M*N 的人脸图像，将其每列相连构成一个大小为D=M*N 维的列向量。
D 就是人脸图像的维数，也即是图像空间的维数。
设n 是训练样本的数目；X j 表示第j 幅人脸图像形成的人脸向量，则所需样本的协方差矩阵为：S r =1()()NT j i j x u x u =--∑ (1)其中u 为训练样本的平均图像向量： u =11nj j x n =∑(2) 令A=[x 1-u x 2-u ……x n -u],则有S r =AA T ,其维数为D*D 。
一、主成分的一般定义设有随机变量X1，X2，…，Xp，其样本均数记为，，…，，样本标准差记为S1，S2，…，Sp。
首先作标准化变换，我们有如下的定义：(1) 若C1=a11x1+a12x2+ … +a1pxp，…，且使 Var(C1)最大，则称C1为第一主成分；(2) 若C2=a21x1+a22x2+…+a2pxp，…，(a21，a22，…，a2p)垂直于(a11，a12，…，a1p)，且使Var(C2)最大，则称C2为第二主成分；(3) 类似地，可有第三、四、五…主成分，至多有p个。
二、主成分的性质主成分C1，C2，…，Cp具有如下几个性质：（1) 主成分间互不相关，即对任意i和j，Ci 和Cj的相关系数Corr(Ci，Cj)=0 i≠j(2) 组合系数(ai1，ai2，…，aip)构成的向量为单位向量，(3) 各主成分的方差是依次递减的，即Var(C1)≥Var(C2)≥…≥Var(Cp)(4) 总方差不增不减，即Var(C1)+Var(C2)+ … +Var(Cp)=Var(x1)+Var(x2)+ … +Var(xp) =p 这一性质说明，主成分是原变量的线性组合，是对原变量信息的一种改组，主成分不增加总信息量，也不减少总信息量。
(5) 主成分和原变量的相关系数 Corr(Ci，xj)=aij =aij(6) 令X1，X2，…，Xp的相关矩阵为R, (ai1，ai2，…，aip)则是相关矩阵R的第i个特征向量(eigenvector)。
而且，特征值 i就是第i主成分的方差，即Var(Ci)= λi其中 i为相关矩阵R的第i个特征值(eigenvalue)λ1≥λ2≥…≥λp≥0三、主成分的数目的选取前已指出，设有p个随机变量，便有p个主成分。
由于总方差不增不减，C1，C2等前几个综合变量的方差较大,而Cp，Cp-1等后几个综合变量的方差较小, 严格说来，只有前几个综合变量才称得上主(要)成份，后几个综合变量实为“次”(要)成份。
实践中总是保留前几个，忽略后几个。
保留多少个主成分取决于保留部分的累积方差在方差总和中所占百分比(即累计贡献率)，它标志着前几个主成分概括信息之多寡。
实践中，粗略规定一个百分比便可决定保留几个主成分；如果多留一个主成分，累积方差增加无几，便不再多留。
1.2人脸识别概述人脸识别的研究起源比较早，Galton 在1888年和1910年就已在Nature 杂志发表两篇关于如何使用人脸进行身份识别的论文。
在他的文章，他使用一组数字表示相异的人脸侧面特征，同时还对人类本身的人脸识别能进行了研究分析。
自动人脸的研究历史相对比较短，到现在不过五十多年的时间。
不过1990年以来，才得到了长足的进步。
现在，已变成计算机视觉领域的一个焦点，很多著名的大学和IT公司都有研究组在从事这发面的研究。
对于人脸识别的研究历史可分为三个阶段：第一阶段（1964-1990）这个阶段主要采取的技术是基于人脸几何结构的。
研究的重点主要在剪影上。
研究人员做了大量关于如何提取面部剪影曲线的结构特征的研究。
这个阶段属于人脸识别的初级阶段，突出的研究成果不多，也没有获得的实际应用。
第二阶段（1991-1997）这个阶段虽然时间相对较短，但是硕果累累，出现了若干具有代表性的算法和几个商业化的人脸识别系统，如Identix（原为Visionics）公司的FaceIt系统。
这个时期最具盛名的人脸识别方法是MIT媒体实验室的Turk和Pentland 提出的的“特征脸”方法。
后来很多人脸识别技术都与特征脸有关，现在特征脸已与归一化的协相关量方法一起成为了人脸识别性能测试的基准算法。
[3]2 基本理论及方法设人脸图像(,)I x y 为二维m n ⨯灰度图像，用N m n =⨯维列向量X 表示。
人脸图像训练集为{|1,,}i X i M = ，其中M 为训练集中图像总数。
根据训练集构造N N ⨯总体散布矩阵t S ：1()()MT t i i i S X X μμ==--∑其中μ为所有训练样本的平均向量11M i i XM μ==∑对于m n ⨯人脸图像,总体散布矩阵t S 的大小为N N ⨯,对它求解特征值和特征向量是很困难的,由奇异值定理，一种取而代之的方法是解M M ⨯个较小的矩阵。
首先计算M M ⨯矩阵L 的特征向量(1,,)l v l M = ：T L A A =1[,,]M A X X μμ=--矩阵t S 的特征向量(1,,)l l M μ= 由差值图像1(1,,)X l M μ-= 与(1,,)l v l M = 线性组合得到111[,,][,,][,,]M M M U X X v v AV μμμμ==--=取L 的前d 个最大特征值的特征向量计算特征脸，d 由门限值λθ确定：11min /d M i j i j J d λλλθ==⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∑∑其大致的实现框图为：以上图表包括具体的识别过程，即是对图片属于谁进行判断，因为本次实验要求只是对图片是不是人脸进行判断，而且本次实验所给训练图片太少。
故不需要实现这一功能。
3 人脸识别的具体实现3.1 读入图像数据库一、读入所给的训练图像与待测图像为了实验方便，本次实验对图像进行从新编号，其中1-35号为训练图片，36-37为待测图片，因为图片本身即为灰度图像，故不用进行转换。
具体的读入为：a=imread (strcat (num2str (i),'.jpg'));(i为1-37之间的数字)imshow(a);二、把二维图像转换为一维图像一个大小为m*n的二维人脸图像可以看成长度为mn的人脸图像列向量。
为了将二维人脸图像变为以为列向量，我们采取的措施为：首先计算出人脸图像的大小，然后将人脸图像经行转置，最后按列依次取出取出所有灰度值形成大小为MN的一维向量，其实整个阶段的效果相当于将图像的灰度值按行取出依次连接成一维图像向量。
其具体的实现代码为：for i=1:35a=imread (strcat (num2str (i),'.jpg')); %读入35张图片作为训练图片，并且把像素存入allsamples中b=double (a (1:108*75));allsamples= [allsamples; b];end3.2 计算特征空间一、对所有训练图片进行归一化在把二维矩阵（图像）转换为一维列矩阵（图像）后，生成一个35*8100的矩阵。
对每一行进行平均化，再用原图减去平均值，即得到归一化的图像。
以下为归一化前后的图像对比：可以看出来，归一化之后，图片发生了比较大的变化。
二、对计算特征空间人脸训练图像的方差矩阵为T C=AA ，其中人脸训练样本为1[,...,]P A =ΦΦ，维度为M N P ⨯⨯，则协方差矩阵C 的维度为2MN （）。
本次实验因为所给图片尺寸较小，而且涉及训练样本较少，可以直接调用matlab 中的eig 函数求取特征值与特征向量。
当然，若所给数据库比较大，可以采用SVD 分解等等方式以减少运算复杂度，提高实验效率。
计算出特征值矩阵，设置阈值，算出前N 个特征值，并且取出相应的特征向量，进行提取出来。
一般是通过计算阈值进一步降低维数，这种方法的具体做法是把特征向量和特征值从大到小排列，选取特征值占总特征值之和的比值大于一定值所对应的特征向量。
阈值θ一般是取0.9。
计算公式是11/p Mi i j j θλλ===∑∑。
在本次实验中，因为本身的图片就比较小，所以取0.91，发现最终符合要求的特征值有20组。
（有15组已经不符合要求）画出特征脸的具体实现为：r=[];b=[];for m=1:20r=resamples(m,:);b=reshape(r,108,75);subplot(4,5,m);imshow(b);end最终在特征脸如下：3.3 人脸识别人脸识别过程分为训练和测试两个阶段。