九年级数学上册3.5相似三角形的应用教案1(新版)湘教版

3.5 相似三角形的应用

1.学会利用相似三角形解决高度（长度）测量问题.（重点，难点）

2.学会利用相似三角形解决河宽测量等问题.（重点，难点）

一、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.

你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？

二、合作探究

探究点一：运用相似三角形解决高度（长度）测量问题

【类型一】利用影长测量高度（长度）

如图所示，某同学身高（AB）是1.66m，测得他在地面上的影长（BC）为2.49m，如果这时操场上旗杆的影长为42.3m（BE），那么旗杆的高度（DE）是多少米？

解析：首先根据已知条件求△ABC∽△DEB.然后得出比例式，最后求出结果.

解：∵AC∥DB（平行光），∴∠ACB＝∠DBE，∵∠ABC＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DEB，∴有

AB

DE ＝

BC

BE

，DE＝

AB·BE

BC

＝28.2m，即旗杆高度是28.2m.

方法总结：同一时刻，同一地点对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等于它们的高度之比.

【类型二】利用标杆测量高度（长度）

如图所示，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿和树的顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时竹竿的底端与这一点相距6m，与树的底端相距15m，则树的高度为m.

解析：∵∠DOC＝∠BOA，∠BAO＝∠DCO＝90°，∴△OBA∽△ODC，∴

BA

CD

＝

OA

OC

＝

OA

OA＋AC

，又∵AO＝6m，BA＝2m，AC＝15m，∴DC＝

BA（OA＋AC）

OA

＝7m，故填7.

方法总结：本题把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形性质列出比例式求解即可.

【类型三】利用镜面反射测量高度（长度）

如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB 的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21m，当他与镜子的距离CE＝2.5m 时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为DC＝1.6m，求教学楼AB的高度.

解析：由题意知△BAE∽△DCE，所以EA

EC ＝

AB DC

，

即可求出结果.

解：∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∠BEA＝∠DEC（光

的反射定律），∴△BEA∽△DEC，∴EA

EC

＝

AB

DC

，∴AB

＝EA·DC

EC

，∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，EA＝21m，∴AB

＝13.44m，即教学楼AB的高度为13.44m.

方法总结：解决此类问题，应先把实际问题转化为数学问题，找到相似三角形，利用相似三角形的性质求解.

探究点二：运用相似三角形解决宽度测量问题

如图所示，为了估算河的宽度，在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE 的交点D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽为m.

解析：∵∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴

AB

EC

＝

BD

CD

，AB＝

BD·EC

CD

，又∵BD ＝180m，DC＝60m，EC＝50m，∴AB＝

BD·EC

CD

＝180m×50m

60m

＝150m，故填150.

方法总结：被测量对象无法接近，对其宽度的测量便采用此间接的方式完成，构造相似三角形就是一种行之有效的途径.

三、板书设计

相似三

角形的

应用⎩⎪

⎨

⎪⎧测量高度

（长度）问题

⎩⎪

⎨

⎪⎧

利用影长测量

利用标杆测量

利用镜面反射测量

测量河宽（宽度）问题

本次教学过程是对本章理论和概念性知识进行系统全面的回顾，教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是发现学生疏忽的知识点，及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础.