艺考生高考数学总复习讲义

2015艺考生高考数学总复习讲义

第一章、集合基本运算

一、基础知识：

1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；

2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

3.集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；

4.集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；

②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合

③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;

5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。

常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；

③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，

A C ⊆那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.

6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.

7.集合运算中常用结论:

注：本章节五个定义

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合

B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）,即若任意x∈A,有x∈B，则A⊆B(或A⊂B)。这时我们也说集合A是集合

B的子集（subset）。

如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A?B（或B?A），即:若存在x∈A,有x∉B，则A?B(或B?A)

说明：A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是互逆的。

空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}

{φ的区别；0与三者间的关系）

规定:空集∅是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有∅⊆A。(注意：B

A⊆，讨论时不要遗忘了φ

=

A的情况。)

2.真子集：

由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A⊆A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A⊆B，而且A≠B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集

合B的真子集（proper subset），记作A?≠B。（空集是任何非空集合的真子集）

(3)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C；对A?

≠B，B?

≠

C，同样有

A?

≠

C,即：包含关系具有“传递性”。

3并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即

这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即

A B

⋃= C

例．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。

4，交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B

的交集（intersection set），记作A∩B（读“A交B”）即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

例，已知集合A＝｛(x,y)|6

4=

+y

x｝,B={(x,y)|7

2

3=

+y

x},求A∩B。

5，补集的定义：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集

合A相对于全集U的补集（complementary set），记作：

U

C A，

读作：“A在U中的补集”，即

例．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； 三．考题精选

一、选择题 1、（2012福建文科卷2）已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ D ）

A.N ⊆M

B.M ∪N=M

C.M ∩N=N

D.M ∩N={2}

2、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}6,5,4{=B ，则结合)(C U B A =（ B ）

A ．}6,4,2{

B ．}2{

C ．}5{

D ．}6,5,4,3,1{

3、有下列结论：（ A ）

（1）空集没有子集；（2）空集是任何集合的真子集；

（3）任何一个集合必有两个或两个以上的子集；

（4）如果N M ⊆，则不属于集合M 的元素必不属于集合N 。

A 、 0个

B 、 1个

C 、2个

D 、 3个

4、设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x |x ∈Z ，且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( C )

(A)11 (B)1 (C)16 （D) 18

5、设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( B )

(A){a }=M (B)M ⊆{a } (C){a }∈M (D)M ⊇{a }

6、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ D ）.

A. 只有（1）和（4）

B. 只有（2）和（3）

C. 只有（2）

D. 以上四种说法都不对

7、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学）已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 （ C ）

(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9

8、{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（ B ）

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

U

C U A A