齿轮渐开线方程
solidworks渐开线齿轮精确画法
渐开线齿轮画法Solid works从2010版开始，在方程式驱动的曲线中可以输入参数方程，2011版可以输入由方程驱动的3D曲线。
可以用渐开线的参数方程来画标准齿轮，以模数m＝2，齿数z＝30的直齿轮为例说明方程式驱动的曲线画渐开线齿轮的方法。
先确定画齿轮需要的四个圆的尺寸：分度圆直径D＝m*z＝60，基圆直径Db＝Dcos20°，齿根圆直径Df＝m(z-2.5)=55,齿顶圆直径Da=m(z+2)=64,基圆直径用方程式标注，注意角度方程单位的选择。
标注尺寸完毕后如下图：插入方程式驱动的曲线选择参数性，输入渐开线的参数方程：Xt=Rb*(tsint+cost)Yt=Rb*(sint-tcost) ，Rb为基圆半径。
输入方程时要把角度转为弧度。
预览到如上图的曲线。
确定后画一条中心线镜向，裁剪（在2010版中裁剪或镜向会使渐开线过定义，原因不明）成下面第二幅图的形状。
标注齿厚s的尺寸，s=p/2=πm/2=π.标注尺寸后，原有的对称关系有可能会错乱，需要重新标注几何关系，在基圆与齿根圆之间加圆弧与齿根圆相切半径（0.25m），如下图。
标注完几何关系后使中心线水平以完全定义草图。
拉伸时用轮廓选择拉伸两次成下图。
最后阵列得到齿轮模型。
以下为渐开线参数方程的推导：以θ（rad）为参数，AP＝l＝θr，P点的轨迹即为以E点为起点的渐开线。
OB＝OC+BC=rcosθ+θrsinθPB=AC-AD=rsinθ-θrcosθ得，P(-(rcos θ+θrsin θ),(rsin θ-θrcos θ))。
sgn(Px)=-1与渐开线的旋转方向有关。
cos tan *cos **sin *sin **cos b kk kk k b b b b r r a a a x r r rad y r r rad θθθθθθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩=+⎧⎨=-⎩。
齿轮渐开线方程图解
齿轮渐开线方程渐开线的形成原理：渐开线就像一个有破断点的圆形展开成一条直线的过程中，圆上的破断点运动的轨迹，如图所示，从破断点A展平到K点，运动轨迹AK就是渐开线的一段，继续展平可至B点或更远。
随着ω不断增大，渐开线曲率会越来越小，渐开线会越来越平直，如图所示。
渐开线方程的推理过程：如图所示，圆O为渐开线AB的基圆，半径为Rb,K为渐开线AB上的任一点；展平段KN为渐开线AB的发生线。
根据渐开线形成的原理可知，NO⊥NK，NK= N⌒A, ONK构成一个直角三角形。
以下过程将滚动角α（rad）作为已知变量进行推导：根据渐开线的形成原理可得N⌒A = NK，圆心角ω所对应的弧长：N⌒A =Rb*ω* PI /180, R=Rb/COS(α)。
先计算出OK与OX的夹角θ，根据渐开线函数公式θ=TAN(α)-α。
因为TAN(α)是N⌒A与Rb之比，相当于弧度值，所以此时α应换算为弧度值。
用PRO/E绘制方程曲线时，应将其转换为十进制角度。
即：θ=TAN(α)*180/PI-α，在PRO/E极坐标表示的方程中，θ用THETA表示。
A. 设α为压力角参数，将α用个人习惯的字母符号代替，如FAI。
设定一个参数值，如45°，即可写成：1. 压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0以上方程式是以压力角∠α作为变量参数。
若想使渐开线的长度控制在齿轮外径DW以内，就必须使渐开线K点与齿轮外径DW的边缘共线约束，可用∠α来控制。
因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于2*Rd=DB，渐开线K点与R的端点重合。
所以∠α应等于DB/DW的反余弦函数，即：∠α=ACOS(DB/DW)，此角就可使渐开线K点落在齿顶圆边缘的位置。
将其作为变量代入方程，即可写成：2. 齿顶圆压力角为参数控制的“极坐标”表示的渐开线方程A：以ACOS(DB/DW)作为已知变量进行推导，方程如下：FAI=T*ACOS(DB/DW)Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0如果方程式是以滚角∠ω作为变量参数。
渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模
渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模渐开线齿轮是一种常见的齿轮类型，它的齿廓曲线被认为是一种理想的齿形，具有很多优点，例如传动平稳、运转静音等。
本文将深入探讨渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及其精确建模，以及对这个主题的个人观点和理解。
一、渐开线齿轮的概述渐开线齿轮是一种特殊的齿轮类型，其齿廓曲线呈现出渐变的特点。
与其他常见的齿轮类型相比，渐开线齿轮的齿廓曲线更为平滑，具有更好的传动效果和较低的噪音水平。
由于这些优点，渐开线齿轮被广泛应用于各种传动装置中，例如汽车变速器、工业机械等。
二、渐开线齿轮的齿廓曲线方程渐开线齿轮的齿廓曲线可以通过数学方程进行描述。
这个方程通常被称为渐开线方程或渐开线函数，并且是通过数值计算或近似算法得出的。
其一般形式如下：x = r * (θ - sinθ)y = r * (1 - cosθ)其中，x和y分别表示渐开线上某一点的坐标，r为渐开线的参考半径，θ为该点的极角。
通过这个方程，我们可以轻松地计算出齿轮齿廓上任意一点的坐标。
三、渐开线齿轮的精确建模为了准确地建模渐开线齿轮，我们需要确定一些关键参数，例如模数、螺旋角等。
这些参数将直接影响到齿轮的尺寸和几何形状。
通过精确建模，我们可以在计算机辅助设计软件中生成渐开线齿轮的三维模型，方便后续的模拟、分析和优化。
在建模过程中，我们需要使用齿轮CAD软件或者编程语言，将渐开线方程转化为计算机可识别的形式。
通过使用合适的算法和数值计算方法，我们可以生成渐开线齿轮的完整齿廓曲线，并将其用于建模和仿真分析。
我们还可以通过调整参数的数值，使得齿轮满足特定的要求，例如减小运动噪音、提高传动效率等。
四、个人观点和理解对于我个人而言，渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模是一个非常有趣和具有挑战性的主题。
通过深入研究和探索，我意识到渐开线齿轮的齿廓曲线不仅仅是一种理论存在，更是一种实用的工程解决方案。
通过了解渐开线齿轮的齿廓曲线方程，我们可以更好地理解其性能和特点。
Creo3.0参数化绘制渐开线标准直齿圆柱齿轮
Creo3.0参数化绘制渐开线标准直齿圆柱齿轮用Creo3.0参数化绘制一个渐开线型标准直齿圆柱齿轮，用到的命令有拉伸，旋转，阵列等。
1.打开Creo3.0，设置工作目录，新建文件（输入文件名），选择mmns_part_solid模板，设置模型属性，更改密度设为7.85e-9，单位默认是t/mm^3。
2.选择工具/参数，添加参数，模数m=2，齿数z=20，压力角angl=20，齿宽b=50，无变位。
添加关系式：r=m*z*cos(angl)/2，r为渐开线基圆半径。
3.选择基准/曲线/来自方程的曲线，笛卡尔坐标系，打开曲线方程编辑器。
输入渐开线方程：theta=t*90y=r*cos(theta)+r*sin(theta)*theta*(pi/180)z=r*sin(theta)-r*cos(theta)*theta*(pi/180)x=0确定后，自动生成一条渐开线。
4.进入草绘，依次随机绘制3个同心圆，分别作为为齿顶圆，分度圆，齿根圆，确认退出。
5.在3D模式下，选取3个同心圆，添加关系式：d0=(z+2)*md1=z*md2=(z-2.5)*m自动生成由关系式控制的尺寸：44，40，35。
6.选择拉伸命令，绘制一个以齿顶圆为直径的圆柱体，再为圆柱体添加关系d3=b(齿宽)。
7.选择拉伸/去除材料，绘制一个齿槽。
再绘制轮槽截面时应注意，如图红色圈标记处，当齿数z<41.5时，齿根圆<基圆，此时渐开线到齿根圆可用相切直线替代；当齿数Z>41.5时，齿根圆>基圆，直接为渐开线。
8.完成一个齿槽后，再为齿槽添加关系式：d5=b，(槽宽半角)d6=90/z。
9.再将轮槽进行阵列，阵列个数随机输入。
再为阵列添加关系式p13=z，再生。
10.改变颜色外观。
11.打开参数编辑器，更改参数m=5，z=40，再生完成，此时齿轮形状已改变。
12.旋转/去除材料绘制轴孔。
13. 拉伸/去除材料绘制键槽，采用矩形花键连接，花键大径102，内径92，宽度14，槽数10，先绘制一组键槽。
渐开线方程式推导
齿轮基本参数和概念
齿轮基本参数概念和参数计算----------项子澄6-11于五征前言齿抡中主要数学基础是几何,三角和解析几何,还有一点微积分,所以无需高深的数学.只有研究螺旋伞齿时才需要.但它很繁琐,要对各参数的相互关系有很清晰的几何概念并非易事.有人一直从事齿变速箱设计数十年,他能按公式计算齿轮但他对齿轮的概念很不清晰.一旦遇到计算矛盾就难着手分析.这次讲课重在概念和实用及与概念有关的公式推导.我对所讲到的所有公式都进行过推导如有要深入研究可问我.再有欢迎课堂中提问希望变被动学习为主动一,渐开线形成原理(图一)如图一可看作一条绳子的端点绕圆r b展开,或一根竿子在圆r b上滚动其端点的轨迹.如A⌒K⌒E即为渐开线. r b圆(NO)即为基圆..图中α角为啮合角(压力角),φ为渐开线展开角, θ为渐开线函数角,.KN为K点的曲率半径ρ..以上几个参数非重要.请注意它们角度关系r b----------基圆α-----压力角φ-----渐开线展开角,θ-----渐开线函数角ρ(如图KN)----- K点的曲率半径=N⌒A二, 渐开线性质(图二)1,2,渐开线上任何一点的法线必切于基圆r b3,渐开线形状只取决于基圆r b的大小4,当基圆r b=∞时渐开线为直线∴可用齿条刀具加工齿轮5,ρ=kN-----是K点的曲率半径, ρ=kN-=N⌒A弧长6,一对渐开线齿啮合的充分和必要的条件是它们的基节相等.(见图三,以后节讲)7,所谓变位齿轮就是其齿形在渐开线上选用不同的区段.(见图三,在下一节讲)三, 渐开线方程因极坐标方便直观我们只讲极坐标方程.(如图二)以O为座标原点,由⊿ONK可得r k=OK= r b/Cosαk---------------(1) 式中r b = ON, r k =OKθk=tgαk-αk---------------(2) (从直观可见, 当用弧度表示θk和αk时即得此式(证明:θk=φK-αk∵长度NK= N⌒A弧长∴, N⌒A弧度= (N⌒A弧长/ r b-) = (NK/ r b)= tgαk)θk称为渐开线角θk=invαk= tgαk-αk-.这是个超越函数. inv是involute 的缩写invαk称为渐开线函数亦可得ρ= r b tgαk------------------(1)’三渐开线齿轮基本知识1分类斜齿轮(1)圆柱齿轮直齿轮蜗轮蜗杆直锥齿轮(2,)锥齿轮 格里森螺旋伞齿抡 奥林肯 双曲线齿轮克林根贝尔格2功能:两者都可为改变传动比, 传动力和换向3,左右旋向的确定.伸出双手,手心向上,齿轮的轴心线与手一致.观察旋线和那个大呣指一致,4,齿轮所涉及的内容齿形的设计计算强度计算齿轮精度及公差齿轮测量齿轮加工工艺材料选用和热处理5,为什么渐开线齿轮被广泛地被使用有保证稳定传动所必须的性能即当传入稳定的转速和扭矩时传出的转速和扭矩亦必须稳定的,这就要求作用在齿面上的法向力和变角速度相对于齿整体轮是不变的(见四(8)节).而渐开线齿形能做到这点 中心距变化后啮合仍符合啮合条件(见五节).制造简单可广泛使用变位齿轮大大改善性能(见五节)四,一对标准齿轮相啮合的啮合特性(见图三)1分度圆r 或d(直径)------齿轮在加工时与刀具作纯滚动的圆称为分度圆加工两O 1齿O 2齿标准齿轮时O 1齿O 2齿的r 1和r 2与刀具节线GPS 作纯滚动.此处刀具的齿厚=齿槽宽d=mZ-------------(3) (有了d后可定义m=d/Z称模数是表示齿大小有量刚的比值系数,Z为齿数)2,节点P, 即两齿轮作纯滚动的圆的切点.两齿啮合时,按齿数比例分割中心连线O1O2的点必为节点P.它的圆为节圆.单个齿不存在节点P标准齿轮啮合时,既然r1和r2都与刀具节线GPS作纯滚动∴r1和r2之间亦作纯滚动. ∴两O1齿O2齿标准齿轮的分度圆与节圆重合3,α1,α2-------分度圆压力角.即滚刀刀具压力角,或齿轮加工时与刀具作纯滚动的点上的压力角.或者说齿轮被加工时的节点上的压力角.. 分度圆压力角=刀具压力角一对标准齿啮合啮合时其节圆和分度圆重合α=.α’4,r e1和r e2--------齿顶半径5,r b1和r b2-------基圆半径由⊿PO1N1可得r b =r Cosα------------(4)6,PP’------周节p—在分度圆上相邻两齿廓的圆弧距离. p=mπ-----(5)∵在分度圆上齿轮的齿厚S=齿槽宽, ∴S= p/2= mπ/2--------------(6)(由圆周长L=πd p=L/Z可求得)7,EE’------基节p b----在基圆上相邻两齿廓的圆弧距离.p b= p Cosα------------(7)8,N1N2-----由图三知,两基圆相切的切点连线称为啮合线. 该对齿在啮合时一定在N1N2上接触啮合.∵(1)一对齿啮合时它们的法线方向是一致的,(2)根据渐开线的特性该点的法线必分别切于基圆r b1和r b2-(3)∴唯有此线即N1N2线能满足(1)(2)要求∴将N1N2线称为啮合线. 既然两齿始终沿N1N2线接触方向不变∴这两齿只能同步前进.在啮合啮合线上的啮合角即为节圆压力角.这是相对于成对啮合齿轮而言(而不是相对于某一牙齿的齿廓,一对齿轮的啮合角和此点的压力角的定义是不同的(,见图三’和图十一)9,既然两齿在N1N2线上作方相始终不变能稳定地传递扭矩和运动.在N1N2线走过的路程即为基圆滚过的路程亦就是O1和O2齿轮所滚过的基节是相等的. ∴两齿啮合的最基本的条件是两齿的基节必须相等另由图三’,当两齿啮合点不在节点P上,而是转到γ点接触时,作用力对整个齿轮而言相对于O1O2中心线的啮合角仍为α但对单齿形的压力角为αK10, AB--------啮合线的工作区(图三). A和B分别为O1和O2齿轮的外圆与啮合线的交点A和B(1)假如O1为主动齿轮,则啮合从A点开始到B点脱开. 外径越大啮合线的工作区越长(2).AB长与基节p b之比即为啮合重合系数ε(3)A点在基点N1之上则可正确啮合,否则会产生啮合干涉如这现象发生在加工,则产生根切..五, 变位或移距齿轮啮合时的重要关系式(见图四,图五和图六)(一),基本特征1,移距的加工特徴(见图四)红色的齿形和刀具是标准齿此时AA线既是刀具的分度线又是刀具的加工节线.与齿轮的分度圆r相切于AA线P点.刀具在AA线上的齿厚=齿槽即PG=GS(亦=齿轮的分度圆弧齿厚).绿色为加工正移距的齿形的刀具图.此时刀具的分度线从AA移到A’A’,移距量为ξm, 此时刀具在原AA上的齿槽变宽为P’’G’’而齿厚相应变窄G’’S’’,其变化值由⊿P P’P’’可知为ΔS=2ξm,tgα,----------------(8) (ξ为移距系数(或称变位系数,修正系数)它的标准符号用χ表示,但∵χ与x和乘号X很近∴我用ξ)注意: 此时加工的节线仍为AA,机床的挂轮没有变仅仅是将刀具外移∴齿轮的分度圆亦仍为r但此时刀具在绿线A”A”上的齿厚=齿槽,即P’G’=S’G’而刀具在家工节线上的齿厚P’’G’’增加了ΔS=2ξm,tgα亦就是齿轮在分度圆上的齿厚增加了2ξm,tgα.齿轮的外径亦由r e1变为r’e1就是说正移距齿具有(1) 渐开线齿形外移(2)齿厚变厚(3)齿顶高h a变高(以分度圆为界)2移距齿轮啮合时的特徴(见图五)(1) 如图五当(ξ1+ξ2)＞0时称为正移距角度变位齿轮付时,图红色圆为节圆,其半径=r’,青色圆为分度圆, 其半径=r* 图例为是ξ1和ξ2都为正时的状况图即r’＞r,即为正移距角度变位齿轮付此时α’ >α(**当r’＜r时为负移距角度变位齿轮付, 即(ξ1+ξ2) ＜0, 此时α’<α(略)正移距角度变位齿轮付的直接特徴α’ >αA’ >AS’ >S(2)如图六当(ξ1+ξ2) =0或ξ1 =(-ξ2 )≠0 此时r’＝r为零移距角度变位齿轮付即此时α’=α即节点的啮合角=分度圆压力角现分析(ξ1+ξ2) =0的几何关系:O1齿分析:这是标准齿轮啮合关系O1齿的相应齿条刀槽是Ggcp P槽(图六)如果将刀具向上移动ξm,距离来加工O1,齿,(见图六)就是将原加工标准齿的刀具节线APA向上移到A’A’,而其它加工的运动关系不变,即加工时的刀具节线和齿O1的加工节圆r1不变r1仍为分度圆,而刀具的分度线变为A”A’在其上的bp=pg而在刀具加工节线AA上GP＞PB则此时弧齿厚P⌒u由原bp增到GP.增量ΔS=GP-pg=2ξm,tgα,O2齿分析: O2为负移具,其刀具的分度线同样由AA移到A’A’而加工节线仍为AA线∴O2的分度圆仍为r2∵是反相移距, ∴可将p P eBb看作刀具齿槽来切O2齿,显然O2的分度弧圆齿厚S2=P B,其厚度少了ΔS=pb-PB = 2ξm,tgα,结论:由于O`1和O2移距大小相等方向相反它们分度圆上的齿厚变化亦是大小相等正负相反它们在分度圆上接触条件没有变只是将分度圆上的齿厚相互增减∴分度圆和节圆重合..(二), 移距齿轮啮合时的α’和α的关系式(见图五)由⊿N1O1P得Cosα’=r b/r’---------------(9)得r b=r’Cosα’------------(10)或r’= r b / Cosα’--------------(11)由青色的直角三角形⊿P0O1 N0中可得r b=r Cosα-----------(12)(10)=(12)得,Cosα’= r1 Cosα/ r’1-----(13)∵中心距A,A’与半径r,r’是成比例的∴(13) 式可改为Cosα’= A Cosα/ A’--------(14)即当知道A’便可知节圆压力角α’六,变位对齿形的影响(或称移距,修正)见图七由于使用标准齿齿轮时易造成根切,其齿厚及因渐开线靠近基圆的曲线段使其啮合性能不佳等原因在齿轮设计时多采用变位.1,齿厚变化(见图七)图中r为分度圆也就是加工时的节圆MM为刀具加工节线,此时刀具的刀刃ABCD范成出齿廓为标准齿(见白色线齿廓),齿轮上分度圆弧齿厚如分度圆上的S⌒S,=刀具在节线上的齿槽SS.即SS=S⌒S当刀具向外移动ξm(ξ为移具系数, m为模数),值即刀具原节线MM移倒M’M’.即刀具的位置改为A’B’C’D’请注意(1)此时分度圆和加工节线不变仍分别为r和MM, 只是刀具外移.(2)M’M’此时是刀具的分度线,在齿线上刀具的齿厚=刀具的齿的齿槽.(3)此时刀具在加工节线上的齿槽SS变为S’S’∴刀具移距后所对应的齿轮分度圆弧齿厚为S’⌒S’=S’S’令ΔS=S’S’-SS=2ξm tgα-------------(15)2,齿廓变化(见图七)如图齿廓由白色齿廓变为青色齿廓. 齿廓外移(或内移)则造成齿轮啮合一系列性能变化可供我们选择(以后讨论)3,分离系数的产生.(图八所示是一对都为正移距齿的啮合的关系图)当(ξ1+ξ2)≠0时就会有(ξ1+ξ2)m≠ΔA=A’-A的现象.令(ξ1+ξ2)-ΔA/m=λ叫作分离系数如图D-D线------是齿条刀刀具的刀刃(红线所示)M-M线-----同是O1齿轮和O2齿轮作标准齿加工时的刀具分度线.(但不是加工节线)即为(图八)中的MM在此线上刀具的齿厚=刀具的齿槽宽∵O1和O2两齿轮都作正移距加工M1M1线-----是O1齿轮的加工时的节线,圆r1即O1齿的分度圆M2M2线-----是O2齿轮的加工时的节线,圆r2即O2齿的分度圆法线N1P1∥N2P2是两加工节点的压力角即分度圆压力角线r01,r o2 为基圆半径E1点和E2点----是刀刃在D-D加工位置同时用左右刀刃分别在切削O1和O2的齿廓E1点和E2点标(其中假设E1和P1是重合的.)．由图,其总移距量和为(ξ1+ξ2)m,假定图中的中心距按O1O2= (r1+r2)+ (ξ1+ξ2)m, 令=A’’注意:如此时将刀刃D-D拿走则会发现O1和O2的齿廓并不接触.只有将中心距移近一点才能使O1和O2的齿廓作无齿隙啮合.这移近的距离称为分离值令=ΔA=λm λ称为分离系数∴结论:对于角变位齿轮付,两齿作无齿隙啮合时的中心距A’≠(r1+r2)+ (ξ1+ξ2)m,而是应为A’ =(r1+r2)+ (ξ1+ξ2)m-λm--------------(16)令(ξ1+ξ2)= ξ c 令(r1+r2)=A 代入(11)得A’=A+ξ c m-λm-----------------(17)λ值可推算得λ=((Z1+Z2)/2)((Cosα/ Cosα’)-1)-----------------(18)或可从手册中根据Z1和Z2查得相对分离系数σ0值σ0=λ/(Z1+Z2)-----------------(19)七,齿轮基本要素.(见图九)GB规定压力角为20°标准齿顶高系数为1其实质就是当齿数Z和模数m确定后为你划定了你所使用的渐开线的性质和使用此渐开线的区段.齿形移距是改变使用此渐开线的区段但不改变渐开线的性质.确定齿轮要素应按GB的规定,但测绘引进国外产品则按原机或原图基本要素: .(见图九)Z-----齿数r,或d---分度圆半径或直径,是与加工刀具作纯滚动的圆d=Z m--------------(20)m----是显示齿厚等齿轮尺寸大小的比例参数.它和齿形特征无关只和大小有机联系着m= d/Z------------------------(21)r’-----节圆半径,是一对齿啮合时作纯滚动的圆半径,单个齿不存在r’(见图五)r’= r b / Cosα’-------------------------------见前式(11)r b ---基圆半径- r b=r Cosα-----------------见前式(12)α-----刀具压力角,或称分度圆压力角.我国标准为20°α’----节圆压力角Cosα’=r b/r’--------------(不存单个齿在见图五)-见前式(9)h------齿全高= ha-+ hf- ------(22) GB规定ha-= m h-=2.25 mha----齿顶高(以分度圆为界)标准齿顶高ha-= m--------(23)h f----齿根高标准齿根高h f-=1.25--------------------24r a,- --d a,-----外径标准齿的外径d a,=d+2 ha------------------(25)r f- --d f,------根径标准齿的外径d f,=d+2 hf--------------------(26)p-----周节, 是在分度圆r上相邻齿廓的弧长p=πm-------见前(5)p b---基节是在基圆r b上相邻齿廓的弧长p b-= p Cosα---见前(7)标准齿分度圆弧齿厚S=πm-/2-------------------------------见前(6)移距后分度圆弧齿厚S=(6)式+(15)式=(πm-/2)+ 2ξm tgα---------(27)八, 齿轮齿厚测量计算齿厚测接触量参数有分度圆弦齿厚,S(如图九aq,或vb的弦长),固定弦齿厚,Sc(见图七AB)公法线长度W,量棒距M几种.∵当采用常规的齿轮卡尺来测量分度圆弦齿厚和固定弦齿厚时,其精度不高,在圆柱齿上少采用但近来开始应用光学仪器测量其精度较高但仍少用于生产线上.不过在直锥齿轮的齿厚测量中度圆弦齿厚和固定弦齿厚被广泛应用∴这里不讲了.此处只将公法线长度W,量棒距M的计公式. ∵W和M都是无基准测量(即以齿形本身为基准).很方便当精度亦很高∴被广泛应用1, 公法线长度测厚度(见图九),(1)如卡n个齿就有(n-1)个齿槽如图九卡2个齿有1个齿槽.2个齿,依此类推.(2) 公法线长度W=AB线,切于基圆. r b 切点在齿槽中心线(卡偶数齿)或齿厚中心线(卡奇数齿)(3) 弧齿厚S与公法线长度W的关系:所谓齿厚是指分度圆上的弧齿厚S,如图=a⌒q弧长.公法线长度AD实际上测的是n个基节齿厚+(n-1)个基节齿槽宽,即(n-1)个基节+1个基节齿厚. 公法线长度AD=基圆E⌒F弧长∴公法线长度AD与分度圆上的弧a⌒b弧长的关系即为基圆E⌒F弧长与分度圆上的弧a⌒b弧长的关系. 但它们不是简单地分度圆半径r与基圆半径r b的关系.根据公法线长度AD实际上测的是(n-1)个基节+1个基节齿厚由图九’(a)先看看可基节与周节的关系: 对比基节的夹角与周节的夹角,可见周节夹角在左侧少了个θ角则在右侧多了一个θ角∴它们的夹角都是(2π/Z) ∴基节与周节的关系亦就分度圆半径r与基圆半径r b的关系.再由图九’看看分度圆弧齿厚与基节厚的关系:由图可知基节的夹角比周节大2θ角∴它们不是简单的比例关系.当齿厚增加后,由图九’’可知由于移距后分度圆弧齿厚加厚,但绿色齿廓(移距后)和白色齿廓(移距前)其两厚度虽不同但其θ角是相同的∴新增加的分度圆弧齿厚ΔS与基节上增加的ΔS b之间的关系应是分度圆半径r与基圆半径r b的关系. 即ΔS b=ΔSCosα∵ΔS b=ΔW代入(15)式得ΔS b=ΔW=ΔSCosα=2ξm Sinα------------------------------(15)’这就是弧齿厚增量与公法线增量的关系式(4)W值只反映理论弧齿厚本身的厚度是不能反应当齿轮因变形产生椭圆或另件安装定位误差造成的径向跳动引起对某齿的分度圆直径变化所造成分度圆上的弧齿厚变化(可以九图为例)(5)能反应因加工分度误差造成的齿厚误差和机床主轴的定位误差所造成的齿厚误差(6)它能测量运动精度所要求的公法线长度变动量F W(7)W所测的厚度是所卡齿数的平均值不是某个单齿(8)公法线长度W的计算机公式由图九知公法线长度AD=E⌒H+H⌒F即一个基节t b-加一个基圆弧齿厚Sb,可以类推,如卡3个齿则公法线长度=二个基节t b-加一个基圆弧齿厚S b具体的公式推导省略有愿深入者可随时找我.标准齿的公法线长度W0公式W0=m Cosα(π(n-0.5)+Z invα)---------------------(28)式中n--------为所卡齿数,inv------是渐开线函数变位齿的公法线长度W公式∵由于变位造成的分度圆弧齿厚增量ΔS可由式(15)’ΔW=ΔSCosα=2ξm Sinα----------------------------(29)W= W0 +ΔW= W0 +2ξmSinα= m Cosα(π(n-0.5)+Z invα)+ 2ξmSinα---------------(30)对于斜齿轮只需将invα改为invαt即W= m Cosα(π(n-0.5)+Z invαt)+ 2ξmSinα----------(30)’αt为端面压力角tgαt=tgα/Cosβ式中β为螺旋角(8)所卡齿数n的计算. 当压力角α=20°时n≈0.1111Z+0.5---------------------------------------(31)2跨棒距M测量(见图十)(1)如图十跨棒距M就是量棒中心的尺寸OO’加量棒直经Dp 即M=OO’+dp------------------(32)(2)M的测量精度比公法线长度W高,亦是无基准测量(即以齿形本身为基准)∴检测方便(3)M是能用直接接触测量法测量内齿轮的唯一方法M能测量与基准无关的齿轮自身的椭圆度,不能反映几何偏心,加工偏心造成的齿形变化M所测出的齿厚是两个齿的平均齿厚值当压力角α=20°时,量棒直径大致为dp =1.476m---------------(33)(8) 计算无变位直齿标准齿轮M的步骤及其公式(a)先求出量棒中心点O’(或称量棒接触点)的压力角αM其公式为:invαM=invα±(dp/Zm Cosα) -/+(π/2Z)---------(34)斜齿: invαMt=invαt±(dp/Zm Cosα) -/+(π/2Z)-----(34)’注；在±和-/+中,分子用于外齿轮,分母用于内齿轮(b)求M值M= (Zm Cosα/Cos αM) ±dp (偶数齿)------------------(35)其中(Zm Cosα/ CosαM)即(32)式中的OO’斜齿: M= (Zm t Cosαt/Cos αMt) ±dp (偶数齿)------------------(35)’M= (Zm Cosα/ CosαM)( Cos(90°/Z))±dp (奇数齿)-------(36)斜齿: M=(Zm t Cosαt/CosαMt)( Cos(90°/Z))±dp (奇数齿)-------(36)(9) 计算变位非标准直齿轮M’的步骤及其公式(图十)(a)先求出量棒中心点O’的压力角αMinvαM=invα±(dp/Zm Cosα) -/+(π/2Z)+(2ξtgα/Z)-----(37)斜齿: invαMt=invαt±(dp/Zm Cosα) -/+(π/2Z)+(2ξtgα/Z)-(37)’(b) 求M’值: 同(35) (36)式至此我们可开始个种齿轮计算如何合理选取参数是一个综合性的问题等以后可作专题讲座.在我过去设计时都已编程20多程序. 现将常用几个程序给大家供参考只要将红色的参数输入即可得出结果数值.具体有:(计算程序中所使用的公式的符号是我自已常用得符号)1,成对齿轮验算2,单直齿求L(W)值,3单斜齿求L(W)值4,成对齿求L(W)值5,求M值(外斜齿)6求M值(内斜齿)7求任一点的弧齿厚。
渐开线标准齿轮机构的名称和基本参数
rf＝r + hf
ra＝r－ha
3) 为保证齿廓全部为渐开线，
ra>rb
其他尺寸与外齿轮相同。
齿槽 rb r ra rf
o
= 0.25(正常齿制)
=0.3 (短齿制）
h ―齿全高 h ha hf
da ―齿顶圆直径
da d 2ha (z 2ha*)m
O
df ―齿根圆直径 d f d 2hf (z 2ha* 2c*)m
由渐开线的性质可知：
沿渐开线齿廓法线测量的
齿距Pn等于基圆齿距Pb。
Pn
Pn Pb
Pb
O
p ―分度圆齿距
pm
B
pb ―基圆齿距
pb p cosa
Pb 与P的关系由以下 两式导出：
sp
pb
db d cosa
db d cosa
zz
pb p cosa
分度圆厚s与齿间e
s em/2
B―齿宽
标准齿轮参数: z, m, a, ha* , c* O
B
F
aK
K K1
VK F
aK1
VK1
rK
A
B1
aK aK1
rb
分度圆压力角 为标准值
α=20°（正常齿制） α=25°（短齿制）
O
rb
离基圆越远的部位压力角越大。齿顶圆 压力角最大，基圆压力角等于零。
模数 m 是决定齿轮尺寸的一个基本参数 压力角α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。
定义分度圆压力角为齿轮的压力角 渐开线标准齿轮的五大基本参数
渐s开i =线riφ齿轮的任意圆齿厚siD Sa Dφ=∠BOB－2 ∠BOC
渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模
渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模一、引言在机械设计领域中，渐开线齿轮被广泛应用于传动装置中。
它具有传动平稳、传动比准确、噪音小等优点，因此备受青睐。
为了更深入地了解渐开线齿轮，我们需要探索其完整齿廓曲线方程及精确建模。
二、了解渐开线齿轮1.渐开线齿轮的概念渐开线齿轮是一种特殊的齿轮，其齿廓曲线定义为齿廓曲线上任意一点到齿轮轴线的距离，均等于该点切线方向与齿轮轴线之间的夹角的正切值乘以该点到轴线的距离。
这种设计使得渐开线齿轮在传动过程中具有更加稳定的性能。
2.渐开线齿轮的应用渐开线齿轮被广泛应用于各种机械传动装置中，如汽车变速箱、工业机械设备等。
其传动平稳、传动比准确的特点，使其在高速、大扭矩传动系统中具有重要的地位。
对其完整齿廓曲线方程及精确建模的研究具有重要意义。
三、渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程1.齿廓曲线方程的推导渐开线齿轮的完整齿廓曲线是由渐开线和圆弧段组成的，因此其完整齿廓曲线方程可以分段推导。
在渐开线段上，齿廓曲线可以表示为直线段，而在圆弧段上，齿廓曲线可以表示为圆弧段。
将两者组合起来，即可得到渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程。
2.完整齿廓曲线方程的数学表达根据上述推导过程，我们可以得到渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程，该方程包含了渐开线段和圆弧段的数学表达式。
这个方程的推导过程相对复杂，但是对于深入理解渐开线齿轮的齿廓曲线具有重要意义。
四、渐开线齿轮的精确建模1.建立渐开线齿轮的三维模型在实际应用中，我们需要对渐开线齿轮进行精确建模。
建立渐开线齿轮的三维模型是一个复杂而重要的工作，需要结合完整齿廓曲线方程，使用CAD软件进行精确建模。
2.精确建模的意义精确建模能够帮助工程师更全面、准确地了解渐开线齿轮的结构和性能特点，有助于优化设计，提高传动效率和可靠性。
五、个人观点和理解对于渐开线齿轮的研究，我深刻地认识到它在机械设计中的重要性。
作为传动装置的核心部件，渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模对于提高机械传动系统的性能至关重要。
渐开线齿轮的画法
UG4.0中渐开线齿轮（花键）的画法利用UG中Curve模块和Expression模块直接绘制法：首先圆的渐开线公式为x=a(cost+t*sint)y=a(sint-t*cost)其中a为基圆半径，t为角度（弧度制）。
利用Expression将其转化为UG能识别的表达式形式。
这样就可以通过Curve中的Law Curve功能绘制渐开线。
例如：要绘制一个齿轮，参数如下分度圆直径=m*z=4×24=96齿顶圆直径=4×（24+2）=104齿根圆直径=4×（24-2.5）=86基圆直径=4×24×cos20=90.2分度圆齿槽角=360÷24÷2=7.5 方法：1、以齿顶圆直径绘制一圆，拉伸35厚。
2、建立表达式如下其中a为渐开线起始角度，b为终止角度，r为基圆半径，t为系统变量可取0——1不等。
u为弧度转换。
xt是变量x的函数表达式，yt是变量y的函数表达式。
3、插入曲线-规律曲线-【根据方程f(x):定义x、定义y；根据恒定值定义z，这里z坐标的变化规律为恒定值0（可根据情况任意确定）】，最后点确定。
生成渐开线如下图：4、插入曲线：分别以直径96（分度圆直径）、86（齿根圆直径）、105（比齿顶圆直径稍大）绘制圆。
再插入直线:以坐标原点和渐开线与分度圆的交点作直线。
最后通过<变换>将直线绕Z轴旋转复制-3.75度（齿槽角一半），将渐开线绕它镜像复制。
如图5、通过拉伸，选取刚绘制的齿槽截面，对实体进行裁剪，如图6、创建全部轮齿：插入/关联复制/实例/环形阵列，选取刚才建立的齿槽特征为对象，以15度为阵列角度，复制24个（包含原有的一个）。
如图，。
齿轮渐开线方程公式
齿轮渐开线方程
两个方程如下：
方程一
angle=t*45
x=r*cos(angle)+pi*r*angle*sin(angle)/180
y=r*sin(angle)-pi*r*angle*cos(angle)/180
z=0
方程二
afa=60*t
x=r*cos(afa)+pi*r*afa/180 * sin(afa)
y=r*sin(afa)-pi*r*afa/180 * cos(afa)
z=0
问：在两个方程中angle=t*45、afa=60*t是干什么用的，是不是调整“45、60”数值来调整渐开线的长度，但渐开线也就是齿轮形状是不变的，改变的只是渐开线的延伸长度：假如数值设置较小，可能出现渐开线无法与齿顶圆相交时改变数值后可以使其相交，但渐开线的形状不变。
答: t是proe中的系统变量表示从0到1的这么一个过程，t*45 意思就是说渐开线的展角为从0到45度，角度的大小只是决定了渐开线的长度，与其形状是没有关系的。
渐开线方程的推导
渐开线方程推导性质1：渐开线的形状仅取决于基圆；Propertyof the involute：推论1：齿轮的渐开线形状仅取决于m、z、a，即模数、齿数、压力角；性质2：基圆内无渐开线；性质3：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的长度，即KN AN；性质4：渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；Illumination：图1渐开线方程推导青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O点为坐标原点；图中，绿色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN为渐开线发生线，基圆半径为rb；蓝色曲线AKB――渐开线，A为始端，B为终端，K为渐开线上任一动点；蓝色直线OK――连接基圆圆心O与动点K的矢径，OK；蓝色直线KV――动点K的速度矢量KV，垂直于矢径OK；绿色直线 KN――动点 K 的法线，根据渐开线的性质 4，设法线与基圆相切于 N ，连接 NO ；法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向 KF ；紫色直线 NQ――切点 N 向 X 轴作垂线，垂足为 Q ； 紫色直线 KP――动点 K 向直线 NQ 作垂线，垂足为 P ； Definition ：KOA 称为展角，记为 κ；NOA 称为滚动角，记为 κ ；速度矢 KV 与力矢 KF 的夹角称为压力角，记为 κ ， 即图 1 中 VKN ；BecauseVKN OKN 90AndNOK OKN 90That isNOK VKN k滚动角＝展角+压力角；Evolution in polar coordinates ：在极坐标系中，渐开线方程可写为：r k OK br / cos(κ) k kkAN r b KN k r b k tan( κ)k即，r k br / cos(κ) κ τan( κ) kEvolution in Cartesian coordinates ：在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意：KNP 90 ONQ k）：x k OQ P Ky k NQ N P ON *cos( κ) N K *sin( κ) ON *cos( κ) A N *sin( κ) br *cos( κ) br * κ * sin( κ)即，x k br *cos(κ) βr * κ* sin( κ)ON *sin( κ) N K *cos( κ) ON *sin( κ) A N *cos( κ) br *sin( κ) br * κ * cos( κ)y k br *sin( κ) βr * κ* cos( κ)Supplement ：由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：κ τan( κ)kκ τan( κ)κ κ ktan( κ) κk即， 展角 滚动角滚动角；；＝ 压力角的正切－压力角； ＝ 压力角的正切；＝ 压力角+展角；压力角的正切 ＝ 压力角+展角；注 1：本文角度单位为弧度制；注 2：图 1 中的角 a ，b ，c 分别对应正文中的 κ, κ, κ ， 即压力角，展角，滚动角。
齿轮渐开线公式推导过程
2012-2-27最近我在研究渐开线齿轮的参数化建模问题。
经过一番搜索，在网上发现了一篇文章中关于用CATIA V5参数化建模的齿轮参数列表和计算公式。
序号参数类型或单位公式描述1 a 角度(deg) 标准值：20deg 压力角：（10deg≤a≤20deg）2 m 长度(mm) ——模数3 z 整数——齿数（5≤z≤200）4 p 长度(mm) m * π齿距5 ha 长度(mm) m 齿顶高=齿顶到分度圆的高度6 hf 长度(mm) if m > 1.25 ，hf = m * 1.25；else hf = m * 1.4齿根高=齿根到分度圆的深度7 rp 长度(mm) m * z / 2 分度圆半径8 ra 长度(mm) rp + ha 齿顶圆半径9 rf 长度(mm) rp - hf 齿根圆半径10 rb 长度(mm) rp * cos( a ) 基圆半径11 rr 长度(mm) m * 0.38 齿根圆角半径12 t 实数0≤t≤1渐开线变量13 xd 长度(mm) rb * ( cos(t * π) +sin(t *π) * t * π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标14 yd 长度(mm) rb * ( sin(t * π) -cos(t * π) * t *π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标15 b 角度(deg) ——斜齿轮的分度圆螺旋角16 L 长度(mm) ——齿轮的厚度此表来自网络，多谢网友分享。
（使用时个别地方还是要参考一下机械设计手册）我觉得，干咱们这一行的不仅要知其然，更要知其所以然。
下面我将渐开线的坐标公式做如下推导：渐开线的形成及其性质：如图1所示，当直线BK沿半径为br的圆周作纯滚动时，直线上任一点K的轨迹AK就是该圆的渐开线。
这个圆称为渐开线的基圆，半径b r 称为基圆半径，直线BK 称为渐开线的发生线，k θ=AOK ∠称为渐开线上点K 的展角。
由渐开线的形成过程，可得渐开线的性质如下：（1） 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过圆弧的长度，即KB AB =。
渐开线性质及渐开线齿轮特点ppt课件
位向周置在上n半作0－径 纯n为滚0沿动rb逆的转时基到针圆n－方圆n
时，其上任一点A的轨迹
AK为一渐开线。
（1）发生线在基 圆上作纯滚动，所以：
（2）当发生线在位置n－ n处时，N点是它的速度瞬心， 直线NK是渐开线上K点的法线， 且线段为其曲率半径，N点为 其曲率中心。又因发生线始终 与基圆相切，所以渐开线上任 意一点的法线必与基圆相切。
cos K
ON OK
rb rK
rK
rb
cos K
tan K
NK ON
AN rb
rb ( K K )
rb
K
K
由渐开线的极坐标参数方程式：
rK
rb
cos K
tan K
NK ON
AN rb
rb ( K K )
rb
K
K
可得：
rK
rb
cos K
K inv K tan K K
当两两齿渐廓开在线任齿意廓点EK1处和接E2， 触时，过K点作两齿廓的 公法线n－n与两轮连心线 交于C点。无论两齿廓在
6.1.1 渐开线的形成
6.1.2 渐开线的性质
6.1.3 渐开线方程
6.1.4 渐开线齿廓及啮合特点
图6-1 渐开线的形成
当一直线n－n在一
个圆周上作纯滚动时，
该直线上任一点K的轨
迹AK称为该圆的渐开线，
简称渐开线，这个圆称
பைடு நூலகம்
为基圆，而该直线称为
渐开线的发生线，角称
为渐开线AK段的展角。
如图6-1所示，发生线从
何处接触，过接触点所作
齿廓公法线均通过连心线 上固定点C，即点C为固
定节点。由此可见，渐开