数学归纳法(公开课)
公开课教案教学设计课件数学归纳法
2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值()时命题成立；(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
2024年完整版《数学归纳法》课件
2024年完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的原理，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤及运用。
教学重点：理解数学归纳法的原理，能够运用数学归纳法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。
2. 例题讲解以教材中的一个例题为例，详细讲解数学归纳法的证明步骤。
a. 基础步骤：验证命题在第一个自然数上成立。
b. 归纳步骤：假设命题在第n个自然数上成立，证明命题在第n+1个自然数上也成立。
3. 随堂练习让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的数学问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 主要内容：a. 数学归纳法的原理b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明2^n > n (n为自然数)2. 答案：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/21. 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
2. 假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。
当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
所以，等式在n=k+1时也成立。
综上，等式对所有自然数n成立。
b. 证明2^n > n (n为自然数)1. 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
2. 假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
当n=k+1时，2^(k+1) = 2^k 2 > 2k > k+1。
数学归纳法(市公开课)
1 (1 2 1 2)Βιβλιοθήκη 2k 11
=右边，
错因:没有用到假设！
即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。
能力提升
问题： 讨论2n与n2的大小（n N * )
计算当n=1， 2， ,8时2n与n2的值，比较它们的大小
你能得到什么猜想？
理解新知 问题：
2
求证：当n 5时， 2 n (n N ). 5 2 2 5 , 命题成立。 证明： (1)当n 5时，
n 2 *
命题成立， 即 2 k . (2)假设n k (k N , k 5)时， 大于?
*
k
2
当n k 1时，
k 1
2 2 右边 （ k 1 ） , 2 k , 左边 2 2 2 k 2 2 2 2 2 2 2k (k 1) 2k (k 2k 1) k 2k 1 2 2 (k 1) 2 4 2 0
计算： 2 1 , 2 2 ,
1 2 2 2
2 3 ,
3 2
2 5 , 2 6 ,
5 2 6 2
2 7 ,
7 2
2 4 , 8 2 2 8
4 2
猜想：当n 5时， 2 n 恒成立？
n 2
用数学归纳法证明， 初始值从
5 取起.
注意：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
k
2
2k 2 (k 1)2 证明目标 k 1 2 2 (k 1) , 即 n k 1时, 命题成立。
2 n (n N ). 由(1)( 2)知, 当n 5时，
《数学归纳法》第2课时示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
你能说出数学归纳法的步骤有哪些？
如何用数学归纳法探求数列的通项公式？
如何用数学归纳法处理与正整数有关的不等式的证明问题？
1
目标检测
B
用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证（ ）
A．
C．
D．
B．
第一步应验证n＝2时是否成立，
故选B．
2
目标检测
证明：“对任意的正整数n成立”．
证明： （1）当n＝1时，左边＝13＝12＝右边，结论成立；
因此，若n＝k时命题成立，可推出n＝k＋1时命题成立．
3
目标检测
已知数列｛an｝中a1＝2，an＝ （n≥2）
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
3
目标检测
已知数列｛an｝中a1＝2，an＝ （n≥2）
对任意正整数n成立．
证明： （1）当n＝1时，左边＝右边，命题成立．
因此，若n＝k时命题成立，可推出n＝k＋1时命题成立．
综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立．
初步应用
例2 已知数列｛an｝满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1（n∈N*），试猜想数列｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1＋x，（1＋x）2，…，（1＋x） n－1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n＝2时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，不等式成立，
由x＞0，可得1＋x＞1，
数学归纳法 公开课一等奖课件
根据1和2,数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S 2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式, 并用 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
2.3
数学归纳法
学习归纳法是一种特殊 的证明方法, 主要用于研究 an ,已知 与正整数有关的数学问 题.例如, 对于数列 an n 1,2, , 通过对n 1,2,3,4前4 a1 1, an1 1 an 1 项的归纳 , 我们已经猜想出其通项 公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想 对前4项成立,而不敢肯 定对后续的项也成立 .这个猜想需要证明 . 自然地, 我们会想到从n 5开始一个个往下验证 . 一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可 以逐个验证, 但当n较大时, 验证起来会很麻烦 .特 别是证明n 取所有正整数都成立的 命题时, 逐一
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗? 你能类 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏 的条件 1.类比条件 2,可以考虑证明一个递推 关系 : 1 如果 n k时猜想成立 , 即ak ,那么当 n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果 ak ,那么 ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
即n k 1时猜想也成立 .
数学归纳法---公开课
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即:
12 22 k2 k2 k . 1 3 3 5 (2k 1)( 2k 1) 4k 2
则当n=k+1时,
12 22 k2 ( k 1) 2 1 3 3 5 ( 2k 1)( 2k 1) ( 2k 1)( 2k 3) k2 k ( k 1) 2 k (k 1)( 2k 3) 2( k 1) 2 4k 2 ( 2k 1)( 2k 3) 2( 2k 1)( 2k 3) ( k 1)( 2k 2 3k 2k 2) ( k 1)( 2k 1)( k 2) 2( 2k 1)( 2k 3) 2(2k 1)( 2k 3) k 2 3k 2 ( k 1) 2 (k 1) . 4k 6 4( k 1) 2
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系 数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.
解:令n=1,2,并整理得 {
,{ . 10 a 3b 2 b 4
3a b 1
a 1
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)( 2n 1) 4n 2
2
则n k 1时，结论也成立， 所以由上(1)(2)可知，对于正整数n都有aｎ= 1 (2n-1)(2n+1)
高三数学课题数学归纳法(公开课讲解)
课题：数学归纳法【三维目标】：一、知识与技能1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2．抽象思维和概括能力进一步得到提高．二、过程与方法通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。
三、情感，态度与价值观体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。
【教学重点与难点】：重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。
难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。
【课时安排】：2课时第一课时【教学思路】：（一）、创设情景，揭示课题问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝nn a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n 的结果吗？证明你的结论？________97531________7531_______531_______31=-+-+-=+-+-=-+-=+-生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想：()()()n n n n 1121531-=--++-+- （*） 怎样证明它呢？问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。
只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。
（二）、研探新知原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1） 第一块骨牌倒下；（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。
31【公开课教案】：《数学归纳法》
课题：数学归纳法人民教育第一版社整日制一般高级中学教科书数学选修2-2 第二章第三节【教材解析】1、教课内容：数学归纳法是人教社整日制一般高级中学教科书数学选修 2-2 第二章第 3 节的内容，依据课标要求，本书该节共 2 课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完整归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于对于正整数命题的直接证法。
教材经过解析生活实例中包含的思想过程揭露数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭露数学归纳法依照的两个条件及它们之间的关系。
【教课目的】1、知识与技术：（1）认识归纳法，理解数学归纳法的原理与本质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会证明简单的与正整数相关的命题。
2、过程与方法：努力创建讲堂欢乐的情境，使学生处于踊跃思虑，勇敢怀疑的氛围，提升学生学习兴趣和讲堂效率，让学生经历知识的建立过程，体会类比的数学思想。
3、感情、态度与价值观：经过本节课的教课，使学生意会数学思想和辩证唯心主义看法，激发学生学习热忱，提升学生数学学习的兴趣，培育学生勇敢猜想，当心求证的辩证思想素质，以及发现问题、提出问题的建议和数学沟通能力。
【教课要点】借助详细实例认识数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无穷多个值）相关的数学命题。
【教课难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想本质，详细表此刻不认识第二个步骤的作用，不易依据归纳假定作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现详细问题的递推关系。
【教课方法】运用类比启迪研究的数学方法进行教课；【教课手段】借助多媒体体现多米诺骨牌等生活素材协助讲堂教课；【教课程序】第一阶段：创建问题情境，启动学生思想情境 1、法国数学家费马察看到：22115,22117,22 31257,22 4165537归纳猜想：任何形如 2 2 n1（n∈N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法公开课课件
数学归纳法公开课课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过典型例题引导学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和应用方法。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳假设的运用。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤和证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：学生用书、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实际问题，如“如何计算1+2+3++100的结果”，引导学生思考，激发学生兴趣。
2. 知识讲解（1）讲解数学归纳法的定义和基本步骤。
（2）通过例题讲解，展示数学归纳法的证明过程。
3. 例题讲解选取一道典型例题，如“证明：对于任意正整数n，都有1+2+3++n=n(n+1)/2”。
（1）验证基础情况。
（2）归纳假设。
（3）归纳步骤。
4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的题目，巩固所学知识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 板书内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤（3）例题及证明过程七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)。
2. 答案：（1）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2（2）1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过讲解、例题和练习，让学生掌握了数学归纳法的基本知识和应用。
数学数学归纳法公开课教案初中
数学数学归纳法公开课教案初中数学归纳法公开课教案初中教学目标:1. 了解数学归纳法的概念及其基本原理。
2. 掌握使用数学归纳法解决数学问题的方法。
3. 能够运用数学归纳法证明数学命题。
教学准备:1. 教师准备好课件及相关教学素材。
2. 确保教师对数学归纳法的原理和应用有较深入的理解。
教学过程:一、导入 (5分钟)1. 教师利用一个简单的数学问题来引入数学归纳法的概念，如：证明 1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
2. 引导学生思考如何解决这个问题，提出使用数学归纳法的思路。
二、概念讲解 (10分钟)1. 教师简要介绍数学归纳法的基本概念和原理。
2. 强调归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3. 通过具体的例子解释这两个步骤的含义和作用。
三、示例分析 (15分钟)1. 教师给出一个具体的数学问题，如：证明对于任意正整数 n，2n^2 + 3n + 1 是偶数。
2. 分步解析，使用数学归纳法证明这个命题。
- 基础步骤：当 n = 1 时，可以验证命题成立。
- 归纳步骤：假设命题对于某个正整数 k 成立，即 2k^2 + 3k + 1 是偶数，那么证明对于 k+1 也成立。
a) 证明 2(k+1)^2 + 3(k+1) + 1 是偶数。
b) 将表达式展开并化简，证明左边可以被 2 整除。
c) 利用归纳假设，得出右边也是偶数，完成证明。
四、练习提高 (20分钟)1. 学生分组，每组完成一组相关的数学归纳法练习题。
2. 学生互相讨论解题思路和步骤，并在黑板上汇总每组的解题过程和答案。
3. 教师对每个题目的解答进行点评和讲解，解答出现错误的地方进行纠正。
五、归纳法的应用 (10分钟)1. 教师介绍归纳法在数学中的广泛应用，如等差数列的求和公式，斐波那契数列等。
2. 引导学生思考如何利用归纳法解决其他数学问题，如递推关系式等。
六、拓展延伸 (10分钟)1. 教师为学生提供一些拓展的数学问题，鼓励学生运用归纳法解决。
高二数学数学归纳法公开课教案 人教版 教案
高二数学数学归纳法公开课教案一教学目标1、知识和技能目标(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
(4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。
2、过程与方法目标通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观目标通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
二教学重点和难点教学重点（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。
教学难点：（1）使学生理解数学归纳法证题的有效性；（2）递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换。
三教学方法：引导发现法.讲练结合法.四教学手段：利用计算机多媒体课件、投影仪讲解教学。
五教学过程：（一）创设情景、探究原理、激起兴趣问题情境一：问题（1）大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？（课件演示）问题（2）：若a n=(n2- 5n+5)2,则a n=(n2-5n+5)2=1问题（3）：若－1＋3= 2－1＋3－5= －3－1＋3－5＋7= 4－1+3－5＋7－9=－5可猜想：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n吗问题情境二：投影：数学家费马运用不完全归纳得出费马猜想的事例。
小结归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法①完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）②不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）问题情境三：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？多米诺骨牌操作实验问题（4）如何保证任何条件下骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？①处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）②验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）。
数学归纳法公开课课件
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
课堂小结
1
右边＝
1 等式成立。
1 3 5 ........... (2k 1) [2(k 1) 1]
[1 2( k 1) 1]( k 1) 2 ( k 1) 2 即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
第二步证明
中没有用到假 设，这不是数 学归纳法证明。
数学归纳法
课题引入
观察数列 {an },已 知a1 1, an1 1 1 a2 , a3 , a 1 , 4 2 3 4
an , 1 an
1 猜想归纳通项公式 : an n
不完全归 纳法
回想等差数列通项公式的推导过程：
a2 a1 d
a2 a1 1d
a3 a2 d a4 a3 d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立
例2
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
用数学归纳法证明:当
n N
2
②设n=k时，有 1 3 5 ......... (2k 1) k 2 则，当n=k+1时
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问题情境二
很傻很天真
聪明 观察归纳猜想
一 二 三…
等差数列通项公式的推导过程
a1 (首项） a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d ...... an a1 (n 1)d 其中n N *
2 22 23
2k
1 2k 1
1
1
1
k
1
2 2
1 1
1 1 k1 2
即n=k+1时，命题成立 新疆 王新敞 奎屯
2
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
自我挑战
(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，就是
1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：
用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,
证明当n＝k＋1时结论也正确．
这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基 础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步， 是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已
两个步骤 一个结论 缺一不可
思维误区警示
求证： 1＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 22 23
＋1 2n
1 (1)n 2
证明：①当n=1时，左边＝ 1
2
,右边＝
1
1
1
2
1 2
，等式成立.
②假设n =k时，有
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
2 22 23
2k
1 (1)k 2
那么，当n=k+1时，有
1＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
如何证明猜想：an
1 n
an . 1 an
是正确的？
⑴ 当n=1时，验证猜想正确。
⑵如果 n=k（k 1，k Z）
时猜想成立，一定能推出
当n=k+1时猜想也成立。
根据⑴和⑵，可知不论有多 少个骨牌都能全部倒下。
根据 ⑴ 和 ⑵ ，可知对所有 的正整数n，猜想都成立。
问题：对于数列an
分析:
a1 1
ak =பைடு நூலகம்
1
k
递推依据
ak+1=
ak 1+ak
=
k
1+
1
k
即n=k+1时，命题成立
=1 k+1
写明结论
根据⑴⑵可知,对n∈N＊,等式成立. 才算完整
方法归纳：
数学归纳法：
验证n=n0时 命题成立。
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n )0 时命题成
立
n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对所有的正整数n ( n ≥ n 0 )都成立。
•••
逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理,
证明n取所有正整数都成立？
情境三（多米诺骨牌游戏）
如何通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立?
多米诺骨牌游戏原理
⑴第1块骨牌倒下。
⑵如果第k块（k 1，k Z）
倒下时，一定能导致第k+1块 也倒下。
数列an, 若a1 1, an1
知条件”的作用，在证n＝k＋1时一定要运用它，否则就不
是数学归纳法．
练习：P72
用数学归纳法证明:
1.
1+2+3+…+n
=
1 2
n(n+1)
3.首项是a1 ,公比是q的等比数列的 通项公式是 an=a1qn-1
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分 为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限 于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有 可靠性，数学归纳法属于完全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推 (递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递 推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类 比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
a2
1 2
,
若a1
a3
1 3
1,
an1 1
1 a4 = 4
a递nan推. 基础不可少， 归纳假设要用到，
猜想数列的通项公式为：an
1 n
结论写明莫忘掉。 (n N*)
递推基础
证明：(1)当n=1时，左边a1+1=
a2=
1
2
,右边=
1
2
,等式成立
(2)假设当n=k+1时，等式成立，即
那么n=k+1时， 1
12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＝1－21k，那么 n＝k＋1 时，
12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＋2k1＋1
＝1－21k＋2k1＋1＝1－22－k＋11 ＝1－2k1＋1.
即n=k+1时，命题成立
递推基础不可少，
根据①②可知,对n∈N＊,等式成立.归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
P76 习题2.1 第1题 P112 复习参考题二
A组 第3题
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
归纳法
归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法
①完全归纳法:考察全体对象,得到一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）
②不完全归纳法:考察部分对象,得到一般结论的推理方法 （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
设置问题，引导探究
问题：对于数列an , 若a1
1, an1
an 1 an
.
（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗？
解: a1 1
a2
1 2
a3
1 3
1 a4 = 4
猜想数列的通项公式为：an
1 n
(n N*)
验证:
1
a5 = 5
1 a6 = 6
1 a7 = 7
1 a8 = 8
1 a9 = 9