在职研究生数值分析复习资料与答案
数值分析期末复习题答案
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
数值分析期末复习-福大研究生版
数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =n i y x P ii n ,,2,1,0)(Λ==4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（不用背公式） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17nj y x S j j ,,1,0,)(Λ==形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度 2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
研究生数值分析答案_2
● 当22()3x x ϕ+=时，'12()3x x ϕ=，因此'1(2) 1.3333ϕ=>1，，因此，该迭代格式不收敛。
● 当2()x ϕ='2()x ϕ=，因此'2(2)0.75ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
● 当32()3x x ϕ=-时，'322()x xϕ=，因此'3(2)0.5ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
● 当242()23x x x ϕ-=- 时，2'44224()1213x x x x x ϕ--=-+，因此'4(2)0ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
(2)、● 当22()3x x ϕ+=时，迭代法计算公式是20122.5,3k k x x x ++==，程序如下： >> fi=inline('(x.*x+2)/3');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1end运行结果如下：x0 =2.7500k =1x0 =3.1875k =2x0 =4.0534k =3x0 =6.1433k =x0 =13.2468k =5x0 =59.1589k =6x0 =1.1673e+003 k =7x0 =4.5416e+005 k =8x0 =6.8755e+010 k =9x0 =1.5757e+021 k =10x0 =8.2765e+041 k =11x0 =2.2834e+083 k =12x0 =1.7379e+166 k =13x0 =Infk =14x0 =Infk =15由以上计算结果看，序列是发散的，运行14次已经超出计算机的识别范围，当2()x ϕ迭代法计算公式是1k x +=程序运行结果如下：>> fi=inline('sqrt(3*x-2)');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1;endx0 =2.3452x0 =2.2440x0 =2.1753x0 =2.1274x0 =2.0934x0 =2.0689x0 =2.0510x0 =2.0379x0 =2.0282x0 =2.0211x0 =2.0157x0 =2.0118x0 =2.0088x0 =2.0066x0 =2.0049x0 =2.0037x0 =2.0028x0 =2.0021x0 =2.0016x0 =2.0012x0 =2.0009x0 =2.0007x0 =2.0005x0 =2.0004x0 =2.0003x0 =2.0002x0 =2.0002x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0000x0 =2.0000x0 =2.0000>>由以上计算结果看，序列收敛与2，所以x=2是f(x)= 232x x -+=0的根。
研究生数值分析练习题答案
允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分） 1. 若 2.71828x e ==，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0xx e在0.5x 附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<=，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k xe k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩D 0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-=则在数值计算过程中（ C ）。
数值分析参考答案(第二章)doc资料
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
数值分析参考答案(第二章)
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
哈工大研究生数值分析试题与答案
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题与答案---WORD 格式--可编辑--1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。
（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+2()328f x x x '=--()62f x x ''=-(3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代： 3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+ 2001023634x x x x ++==+ 2112123634x x x x ++==+ 2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ????的Jacobi 迭代法收敛。
解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+ 10210211203203130130J a B a a a -----?????? ? ? ?=--=-- ? ? ? ? ? ???????112a b g a b -???? ? ?= ? ? ? ?a谱半径：()1JBaρ=<时Jacobi迭代收敛故：a>3. 设（1）⽤Crout三⾓分解法求解⽅程组1232325xx?=??；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
数值分析复习题答案
数值分析复习题答案数值分析复习题答案数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科。
在实际问题中，我们经常需要通过数值计算方法来求解数学模型，这就需要我们掌握数值分析的基本概念和方法。
下面是一些数值分析复习题的答案，希望能对你的复习有所帮助。
一、差分法与数值微分1. 差分法是一种数值计算方法，通过计算函数在一点的导数来近似计算函数在该点的值。
常用的差分法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
2. 前向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h，其中h为步长。
3. 后向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h，其中h为步长。
4. 中心差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)，其中h为步长。
5. 数值微分是使用差分法来近似计算函数的导数。
通过选取合适的步长，可以使数值微分的误差最小化。
二、插值法与数值积分1. 插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2. 拉格朗日插值法通过构造一个多项式来逼近已知数据点，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
3. 牛顿插值法是利用差商的概念来构造一个多项式，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
4. 数值积分是一种通过数值计算来近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。
5. 梯形法则通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面积来近似计算积分。
6. 辛普森法则是在梯形法则的基础上进一步改进的方法，它使用抛物线来逼近函数的曲线，从而提高了积分的精度。
三、数值方程求解1. 数值方程求解是通过数值计算方法来求解非线性方程或线性方程组的方法。
2. 常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和高斯消元法。
3. 二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近方程的根的方法。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x =D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空 1. 设 2.3149541 (x)*=，取5位有效数字，则所得的近似值 .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X =，=∞||||X 。
4．求方程2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =，那么 1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是1______k y +≈。
研究生《数值分析》试卷(带答案)
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
在职研究生数值分析复习资料及答案.doc
在职研究生数值分析复习资料考试时间：120分钟一、单项选择题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( A )。
(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-ΛΛΛ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( A )。
A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/4 4. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( B )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( A )。
A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B. 在区间[a ，b]上连续的函数C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数D. 在每个子区间上可微的多项式二、填空题(每空2分，共20分)1. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是226104()25555P x x x =-++（题目有问题，或许应该是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是1,(0,1,2...)1kx k k k k x e x x k x -+-=-=+3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是k k X X →∞=()*lim 。
(完整)数值分析题库及答案,推荐文档
模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)y f (X y)5.解初始值问题的改进的Euler 方法是 ________ 阶方法;y(X o ) y o5x-| 3X 2 0.1x 3 36 .求解线性代数方程组2x , 6X 2 0.7X 3 2的高斯一塞德尔迭代公式为X 1 2X 2 3.5x 3 1若取 X (0) (1. 1.1).则 X ⑴ ______________7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 _______________ .&丨o (x). h(x).L . l n (X)是以整数点X o . X 1.L . X n .为节点的Lagrange 插值基函数，则nxj j (X k )= ----------------- .k 09.解方程组Ax b 的简单迭代格式X (k 1} Bx (k) g 收敛的充要条件是 ___________________ .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ___________________ ，其误差估计式为 _________________________ .二、综合题(每题10分，共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1) 15,p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57 , p(2) 72.112.构造代数精度最高的形式为 °xf(x)dx A )f (3)Af(1)的求积公式，并求出1 5 232.设A2 1 0 , x 41422，贝V A =——.，X 广 ----------- 3.已知y=f(x)的均差14flX 0.X 1.X 2]— , flX 1.X 2.X 3]3^5 , flX 2.X 3.X 4]39115，8Hx o .X 2.X 3]- 3,那么均差 f [X 4,X 2, X 3]=4.已知n=4时Newton — Cotes 求积公式的系数分别是：C 04)-,C i (4)9016C (4) .C 2 451有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)其代数精度.x k x k 13.用Newt on 法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求 --------------- ----- 10X k25.用矩阵的直接三角分解法解方程组1 02 0X15 0 1 0 1 X 2 3 1 2 4 3 X 317 . 0 1 03 X 476试用数值积分法建立求解初值问题y f (: x ,y)的如下数值求解公式y(0) y o1 32 1 ⑷10. -x x -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题y n 1y n 1hi (fn1 4fnf n 1)，其中f i f (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分) 设对任意的x ，函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0 —的任意，迭代格式X k 1 X k f (xj 均收敛于f (x) 0的根x *.M参考答案一、填空题91, 16 1. 5 ； 2. 8, 9 ; 3.； 4.1545才1)(3 3x 2k) 0.1x 3k))/5 6. x 2k1)(2 2x (k1) 0.7x 3k))/6 , x 3k1)(1 才1) 2x 2k ")*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. x k 1X kX k f(X k ) . 8 1 f (X k )'X j . 9.(B) 1.p(x) 1520( x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x 2 2x 3 x 4其他方法： 设 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72，求出 a 和 b.2•取f(x) 1,x ，令公式准确成立，得:5•解设1 02 0 11 020 1 0 1 l 21 1u22u 23 u 24 1 2 4 3l31 l321u33u340 1 0 3l 41l42 l 43 1u 44由矩阵乘法可求出U jj 和l ij1 1A 。
数值分析复习及习题选讲解答共60页文档
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
25、学习是劳动，是是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
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在职研究生数值分析复习资料考试时间：120分钟一、单项选择题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( A )。
(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-ΛΛΛ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( A )。
A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/4 4. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]的实根，下列描述正确的是：( B )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( A )。
A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B. 在区间[a ，b]上连续的函数C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数D. 在每个子区间上可微的多项式二、填空题(每空2分，共20分)1. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是226104()25555P x x x =-++（题目有问题，或许应该是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是1,(0,1,2...)1kx k k k k x e x x k x -+-=-=+3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是k k X X →∞=()*lim 。
4 .设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ， ‖A ‖∞＝___5____，‖A ‖1＝___5___，‖X ‖∞＝__ 3 _____。
5. 已知a =3.201，b =0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a ⨯b 有 2 位有效数字，a +b 有 1 位有效数字。
6. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 。
7. 求积公式)43(32)21(31)41(32)(10f f f dx x f +-≈⎰具有___3__ 次代数精度。
三、利用100，121，144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115的近似值。
要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。
四、已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式（)]()(2)([211b f x f a f hT n k k n ++=∑-=），计算积分⎰=10dx e I x ，并估计误差（),(),("12)(2b a f h a b f R n ∈--=ηη）。
五、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛；（3）取5=a ,T X )101,51,101()0(=，求出)2(X 。
六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1，只要求给出x=0.1至0.5处的y 值，保留小数点后四位）。
⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=1)0()10(2'y x y x y y ΛΛΛ 七. 用列主元高斯消元法解线性方程组。
(计算时小数点后保留5位)。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454321321321x x x x x x x x x 八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。
⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210321321321x x x x x x x x x 九、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算⎰20)(dx x f ，（2）估计截断误差的大小 十、设有线性方程组b Ax =，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=582,3015515103531b A（1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性 十一、用牛顿迭代法求方程0xx e--=的根。
（迭代三步即可）十二、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据，若用插值法计算，x约为多少时f(x)=0.5，要求计算结果保留小数点后4位。
参考答案三、解 利用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228 四、解720519.1)]1()(2)0([161718=++=∑=f x f f T k k71828.1)]1())75.0()5.0()25.0((2))875.0()625.0()375.0()125.0((4)0([2414=+++⨯++++⨯+=f f f f f f f f f S 750035942968.0)81(121|)("12||)(|1228=≤--=e f h a b f R η 54)4(44107272.4)41(28801|)(2880||)(|-⨯=≤--=e f h a b f R η五、解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++Λ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
（3）取5=a ，T X )101,51,101()0(=由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x 则 ）（2X =（25013， 258，25013）T六、解 改进的欧拉公式为),(1n n n n y x hf y y +=+)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y七、解（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-1124 12345321321321x x x x x x x x x L 21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=+-8.152.06.26.1 0.4 2.0123453232321x x x x x x x （-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453232321x x x x x x xL32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.212345332321x x x x x x回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x 八. 解答：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=++++++)210(51)215(101)23(101111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=++++++)4.02.02)1.02.05.1)1.02.03.0111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x0=(0,0,0)x1=(0.3,1.56,2.684)x2=(0.8804,1.9445,2.9539) x3=(0.9843,1.9923,2.9938) x4=(0.9978,1.9989,2.9991) x5=(0.9997,1.9999,2.9999) x6=(1.0000,2.0000,3.0000) x7=(1.0000,2.0000,3.0000)九、根据给定数据点的个数应该用复化simpson 公式计算由公式得⎰20)(dx x f ≈))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3f f f f f h++++ =476 ， 21=h )(2880),()4(414ηf h a b s f R --=h h MM 2,14402880021==-≤十、因为 13521352[,]31015831025153055055A b ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）A =LU=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001 (2) 方程组的解为;⎪⎩⎪⎨⎧-===121321x x x （3） 由于A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010531511105013001 所以矩阵A 是对称正定的十二、)1)(4(281)3)(1)(4(61)3)(1(84133)13)(43()0)(1)(4(2)30)(10)(40()3)(1)(4(0)31)(1)(41()3)(0)(4()1()34)(4)(14()3)(0)(1()(+++-++--+-=⨯++-+++⨯-++-+++⨯---+---++-⨯---+---+=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y l l(0.5)=2.91667。