2020年10月山东省济南市历城二中2021届高三年级学情调研检测数学试题(解析版)
2020-2021学年山东省济南市高三二模考试(针对性训练)数学试题(理)及答案解析
高三针对性训练理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分，考试时间120 分钟。
考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第U卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A, B互斥，那么P A B P A P B ;如果事件A, B独立，那么P A P A gP B ;n kn次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率为C：p k 1 p k 0,1,2, ,n .第I卷（共50分）、选择题：本大题共10个小题.每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(C) 0,1(D), 12,(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限(3)若随机变量 X 服从正态分布N(1, 4)，设 P 0 X 3 m,P 1 X 2 n,则m, n 的大小关系为(A) m n (B) m n (C) m n(D)不确定(4)若直线x y m 0被圆x 1 2 y 2 5截得的弦长为2 J 3 ,则m 的值为(A)1(B)3(C)l 或一3(D)2(5)随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题.济南市创新性的采用 “公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心” ，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理.计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统(等距)抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号，23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是(A)9(B)12(C)15(D)17⑹命题p ：将函数y cosx sin x 的图象向右平移 匕 个单位可得到y - cos2x 的图象；命题⑴已知全集 U=R,集合A x x 22x 0 ,By y sin x,x R ，则图中阴影部分的集合为(A)1,2(B) 1,0 1,2ad bc ，复数z 满足:12 i ,则复数z 在复平面内对应的点位于第(D 题图表示42q ：对 m 0,双曲线2x 2 y 2 m 2的离心率为 J3 .则下列结论正确的是(A)p 是假命题 (B) p 是真命题(C) p q 是真命题(D) p q 是假命题(7)若实数变量x, y 满足约束条件x y x 2y 3,目标函数z ax y 1 a R .有如下使得z 取最大值的最优解有无数组；则下列组合中全部正确的为(A)①②(B)②③(C)①③(D)③④⑼函数f xax m 1 2x a 0在区间0,【上的图象如图所示,则m, n 的值可能是2结论：①可行域外轮廓为矩形；②可行域面积为3;③a 1时,z 的最小值为 1;④a 2时,uuu uuur(8)如图所示，两个非共线向量OA,OB 的夹角为，N 为uur OCuuu xOAuuu yOBx,y2R ,则x2•一 ■… y 的取小值为42(A)(B)255第(8)题图OB 中且点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点 C 在直线MN 上,(C) 4(D)第(9〉禽图(A)m 1,n 1 (B) m 1,n 2 (C) m 2,n 3 (D) m 3,n 1(10)执行如下框图所示算法，若实数a,b不相等，依次输入a b,a,b输出值依次记为fab,fa,fb，贝Ufab f a f b 的值为第。
山东省济南市2020届高三二模考试数学试题及其答案
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2020-2021学年山东省高考二模考试数学试题（文）及答案解析
2020-2021学年⼭东省⾼考⼆模考试数学试题（⽂）及答案解析⼭东省⾼三下学期⼆模考试⾼三数学（⽂科）试题第Ⅰ卷（共50分）⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设全集U R =，集合{}2|20M x x x =+->，11|()22x N x -?=≥，则()U M N =I e（） A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22.若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知平⾯向量a r 和b r 的夹⾓为60?，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r（）A ．20B ．12C ．D ．4.已知3cos 5α=，cos()10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5.设3log 6a =，4log 8b =，5log 10c =，则（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>6.某产品的⼴告费⽤x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归⽅程9.4y x a =+，据此模型预测，⼴告费⽤为6万元时的销售额为（）万元 A ．63.6B ．65.5C ．72D ．67.77.下列说法正确的是（）A ．命题“x R ?∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ?∈，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12//ll 的充要条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题8.已知双曲线22221x y a b-=（a >，0b >）的两条渐进线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若AOB S ?=e =（）A ．32B ．2C ．2 D9.已知某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．403B ．343C ．4210+D ．436 10.已知函数|ln |,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e <≤?=?-<f x b -=+（b R ∈）的四个实根从⼩到⼤依次为1x ，2x ，3x ，4x ，对于满⾜条件的任意⼀组实根，下列判断中⼀定成⽴的是（） A ．122x x += B ．2234(21)e x x e <<-C ．340(2)(2)1e x e x <--<D ．2121x x e <<第Ⅱ卷（共100分）⼆、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数221,1,()log (1),1,x x f x x x ?-≤=?->?则7(())3f f = ．12.在长为5的线段AB 上任取⼀点P ，以AP 为边长作等边三⾓形，3和3的概率为．13.设x，y满⾜约束条件360,20,0,0,x yx yx y--≤-+≥≥≥则22x y+的最⼤值为．14.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果是．15.若对任意的x D∈，均有()()()g x f x h x≤≤成⽴，则称函数()f x为函数()g x到函数()h x在区间D上的“任性函数”．已知函数()f x kx=，2()2g x x x=-，()(1)(ln1)h x x x=++，且()f x 是()g x到()h x在区间[]1,e上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共75分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）16.某⾷品⼚为了检查甲、⼄两条⾃动包装流⽔线的⽣产情况，随机在这两条流⽔线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（Ⅰ）求甲流⽔线样本合格的频率；（Ⅱ）从⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有⼀件合格的概率．17.已知函数()4sin cos()33f x x x π=++，0,6x π??∈. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知锐⾓ABC ?的两边长a ，b 分别为函数()f x 的最⼩值与最⼤值，且ABC ?的外接圆半径为32，求ABC ?的⾯积． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，13SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平⾯BDE ；（Ⅱ）求证：平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（a N +∈）．（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y +=与直线0x y b ++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的⼀个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平⾏线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求||||MN OQ 的取值范围． 21.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()f m f n a m n->-恒成⽴？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．⾼三数学（⽂科）试题答案⼀、选择题1-5:ACDCA 6-10:BDDBB⼆、填空题13 12.2513.52 14.8 15.[]2,2e - 三、解答题16.解：（Ⅰ）由表知甲流⽔线样本中合格品数为814830++=，故甲流⽔线样本中合格品的频率为300.7540=．（Ⅱ）⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404??=，不合格产品件数为0.015402??=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为{(,)a b Ω=，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，}(,)e f 共15个．⽤A 表⽰“２件产品恰好只有⼀件合格”这⼀基本事件，则{(,)A a e =，(,)a f ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，}(,)d f 共8个，故所求概率815P =． 17.解：（Ⅰ）1()4sin (cos )22f x x x x =?-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=+，∵06x π≤≤，∴22333ππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，∴函数()f x的值域为2??．（Ⅱ）依题意a =2b =，ABC ?的外接圆半径4r =，sin 2a A r ===，sin 232b B r ===，cos 3A =，1cos 3B =，sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，∴11sin 2223ABC S ab C ?==?=． 18.证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ，∵E 为SA 的中点，F 为AC 中点，∴//EF SC ，⼜EF ?⾯BDE ，SC ?⾯BDE ，∴//SC 平⾯BDE ．（Ⅱ）∵2SB =，3BC =，13SC =，∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥，⼜四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，⼜AB 、SB 在平⾯SAB 内且相交，∴BC ⊥平⾯SAB ，⼜BC ?平⾯ABCD ，∴平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.解：（Ⅰ）∵等⽐数列{}n a 满⾜163n n S a +=+（a N +∈），1n =时，169a a =+；2n ≥时，1166()3(3)23n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=?.∴13n n a -=，1n =时也成⽴，∴169a ?=+，解得3a =-，∴13n n a -=.（Ⅱ）122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++1222(1)(221)(1)n n n n n --++=+12211(1)(1)n n n -??=-+??+?? .当n 为奇数时，22222221111111()()11223(1)(1)n T n n n ??=+-++++=+??++??…；当n 为偶数时，n T =22222221111111()()11223(1)(1)n n n ??+-++-+=-??++??…. 综上，1211(1)(1)n n T n -=+-+． 20.解：（Ⅰ）由已知可得：圆⼼到直线0x y b ++=的距离为11=，所以b =，⼜椭圆C经过点，所以221413a b+=，得到a = 所以椭圆C 的标准⽅程为22132x y +=．（Ⅱ）设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，OQ 的⽅程为x my =，则MN 的⽅程为1x my =+.由22,1,32x my x y =+=??得222226,236,23m x m y m ?=??+??=?+?即22022026,236.23m x m y m ?=??+?=+所以0||||OQ y ==由221,1,32x my x y =++=??，得22(23)440m y my ++-=，所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，12||||MN y y =-====所以||||MNOQ====，因为2 11m+≥，所以21011m<≤+，即212231m<+≤+，即213221m≤<++，所以||23||MNOQ≤<，即||||MNOQ的取值范围为[,2) 3．21.解：（Ⅰ）当1 a=-时，21()2ln32f x x x x=+-，2232(1)(2)x x x xf x xx x x-+--=+-==．当01x<<或2x>时，'()0f x>，()f x单调递增；当12x<<时，'()f x<，()f x单调递减，所以1x=时，5()(1)2f x f==-极⼤值；2x=时，()(2)2ln24 f x f==-极⼩值．（Ⅱ）当0a<时，2'()(2)ax=-+-2(2)2x a x ax+--=(2)()x x ax-+=，①当2a->，即2a<-时，由'()0f x>可得02x<<或x a>-，此时()f x单调递增；由'()0 f x<可得2x a<<-，此时()f x单调递减；②当2a-=，即2a=-时，'()0f x≥在(0,)+∞上恒成⽴，此时()f x单调递增；③当2a-<，即20a-<<时，由'()0f x>可得0x ax>，此时()f x单调递增；由'()0f x<可得2a x-<<，此时()f x单调递减．综上：当2a <-时，()f x 增区间为(0,2)，(,)a -+∞，减区间为(2,)a -；当2a =-时，()f x 增区间为(0,)+∞，⽆减区间；当20a -<<时，()f x 增区间为(0,)a -，(2,)+∞，减区间为(,2)a -．（Ⅲ）假设存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴，不妨设0m n >>，则由()()1f m f n a m ->-恒成⽴可得：()()f m am f n an ->-恒成⽴，令()()g x f x ax =-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成⽴，即'()0f x a -≥恒成⽴，∴2(2)0ax a a x-+--≥，即2220x x a x --≥恒成⽴，⼜0x >，∴2220x x a --≥在0x >时恒成⽴，∴2min11(2)22a x x ??≤-=-??，∴当12a ≤-时，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴.。
山东省济南市历城第二中学2020届高三高考模拟考试(三)数学试卷(PDF版)
6!平面-!"$ 与'- 的交点是'- 的三等分点
7!平面-!"$ 将正方体分成两部分的体积比为!+!
!$!设/!#/$ 为双曲线)+,#$$*&*$$0!$,+"#*+"%的左*右焦点#过左焦点/! 且斜率为 槡;!+的直线: 与) 在第一象限相交于一点5#则下列说法正确的是
!#!已知平面向量与的夹角为.#0$槡.#*!%###0!#则#$*#0!!!!! !+!已知函数+$#%0#2<#*$,在点$!#+$!%%处的切线经过原点#函数2$#%0+#$#%的最小值为0#则
08$,0!!!!!
全国!""所名校最新高考模拟示范卷!第!$ 页共#页!$"%&'()数学五*
!>!$本小题满分!$分%
新高考#取消文理科#实行&.8.'#成绩由语文*数学*外语统一高考成绩和自主选考的.门普通高
中学业水平考试等级性考试科目成绩构成!为了解各年龄层对新高考的了解情况#随机调查+"人 $把年龄在)!+##+%称为中青年#年龄在)#+#;+%称为中老年%#并把调查结果制成下表+
年龄$岁% 频数
7!8+*+,
1!设函数+#0:B<#8++"若+#在"$上有且仅有+个零点则的取值范围为
5!!+$$!>"
-!!+$$!>"
6!!+$!$">
2020年山东省济南市高三第二次教学质量检测理科数学(PDF版)
5 3 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 19．（本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝ AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.
π
|PQ|
(2)若直线θ＝
4
(ρ∈R)与曲线
C1
交于
M，N
两点，与曲线
C2
交于
P，Q
两点，求 的值． |MN|
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1
(1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋
≥2y＋3；
x2－2xy＋y2
(2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
等于( )
3π
π
A.
B.
4
3
π C.
4
π D.
6
7.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A．[2，＋∞)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．(0,2]
2
ex
＋ln x
12.已知函数 f(x)＝ －k x
，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的
(精选3份合集)2020届山东省济南市历城区第二中学高考数学模拟试卷
2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下列关于物质用途的说法中，错误的是A．硫酸铁可用作净水剂B．碳酸钡可用作胃酸的中和剂C．碘酸钾可用作食盐的添加剂D．氢氧化铝可用作阻燃剂【答案】B【解析】【详解】A．硫酸铁中铁离子水解生成胶体，胶体具有吸附性而净水，故A不符合题意；B．碳酸钡可用作胃酸的中和剂会生成溶于水的钡盐，使人中毒，故B符合题意；C．碘酸钾能给人体补充碘元素，碘酸钾也比较稳定，所以碘酸钾可用作加碘食盐的添加剂，故C不符合题意；D．氢氧化铝分解吸收热量，且生成高熔点的氧化铝覆盖在表面，所以氢氧化铝常用作阻燃剂，故D不符合题意；故选：B。
【点睛】治疗胃酸过多常用氢氧化铝或小苏打，不能使用碳酸钠，因碳酸钠水解程度较大，碱性较强，但需注意，一般具有胃穿孔或胃溃疡疾病不能使用小苏打，以防加重溃疡症状。
2．第26届国际计量大会修订了阿伏加德罗常数的定义，并于2019年5月20日正式生效。
N A表示阿伏伽德罗常数的值，下列说法正确的是（）A．8.8g乙酸乙酯中所含共用电子对数为1.3N AB．常温常压下28gFe与足量浓硝酸混合，转移电子数为1.5N AC．标准状况下,2.24LCl2与CH4反应完全,形成C一Cl键的数目为0.1N AD．常温下pH=12的NaOH溶液中，由水电离出的氢离子的数目为10-12N A【答案】C【解析】【分析】【详解】A．8.8g乙酸乙酯的物质的量是0.1mol，其中所含共用电子对数为1.4N A，A错误；B．常温常压下Fe在浓硝酸中钝化，无法计算转移电子数，B错误；C．标准状况下,2.24LCl2（0.1mol）与CH4反应完全，根据原子守恒可知形成C－Cl键的数目为0.1N A，C 正确答案选C。
【点睛】选项B是解答的易错点，注意铁、铝与硝酸反应的原理，常温下铁、铝在浓硝酸中钝化，与稀硝酸反应生成NO，在加热的条件下与浓硝酸反应生成NO2。
山东省济南市历城第二中学2020届高三下学期高考模拟考试(二)数学试卷 PDF版含答案
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6!第三季度平均收入为+"""元 7!利润最高的月份是.月份和!"月份
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'(*)-#若正方体的六个面所在的平面与直线).#./ 相交
的平面个数分别记为 0#1#则下列结论正确的是
5,001
-,0018$
6,0$1
7,081$/
/!已知函数+$#%0#8,$##2$#%02<#*#,$*##若存在实数#"#使+$#"%*2$#"%0+成立#则
正数, 的取值范围为
.,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效在 草稿纸试卷上答题无效,
#,作图可先使用铅笔画出确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑, +,保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱,不准使用涂改液修正带刮纸刀,
一单项选择题本题共/小题每小题+分共#"分,在每小题给出的四个选项中只有一项是
5!#$0$&8!
-!&$0$#8!
6!#$0$&*!
7!&$0$#*!
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山东省济南市历城第二中学2021届高三数学10月学情检测试题2
山东省济南市历城第二中学2021届高三数学10月学情检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 B ．￢p ：∀x ∈R ，sin x ＞1C ．￢p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥1D ．￢p ：∃x 0∈R ，sin x 0＞12．若集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，{}3log 1B x x =≤，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |0＜x ≤2}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |x ≤﹣1或x ＞2}3．设f （x ）为奇函数且在（﹣∞，0）内是减函数，f （﹣2）＝0，且x •f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2）4．设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若sin （）＝﹣，α为第二象限角，则tan α＝（ ）A ．B ．C ．D ．6．设a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a7．函数y ＝log a （x +4）+2（a ＞0且a ≠1）的图象恒过点A ，且点A 在角θ的终边上，则cos2θ＝（ ） A ． 513- B ． C ．﹣ D ．8．已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =-+，将f （x ）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝9，则|x 1﹣x 2|的值可能为（ ） A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.下列四个命题中，是真命题的是（ ） A ．1,2x R x∀∈≠≥且x 0,x+B ．2,12x R x ∃∈+≤使得xC ．2220,0,2x y xyx y x y+>>≥+若则D ．2(1,2)x 40(,5]x mx m ∈++<-∞-当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是10．下列选项中，在（﹣∞，+∞）上单调递增的函数有（ ） A ．f （x ）＝x 4B ．f （x ）＝x ﹣sin xC ．f （x ）＝xe xD ．f （x ）＝e x﹣e ﹣x﹣2x11．定义在R 上函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），f （x +2）＝﹣f （x ）且f （x ）在 [﹣1，0]上是增函数，给出下列几个命题，其中正确命题的序号是（ ） A ． f （x ）是奇函数 B ． f （x ）的图象关于x ＝1对称； C. f （x ）在[1，2]上是增函数； D. f （x ）是周期函数 12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，＜φ＜π）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）的周期为πB ．函数y ＝f （x ﹣π）为奇函数C ．函数f （x ）在上单调递增D ．函数f （x ）的图象关于点上对称三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则+的最小值为_____________________ ．14．已知cos （﹣α）＝，则sin2α＝ _____________________．15．若f （x ）＝﹣（x ﹣2）2+blnx 在（0，+∞）上是减函数，则b 的取值范围是_________________．16．已知，则函数y ＝2f 2（x ）﹣3f （x ）+1的零点的个数为 __________个．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝3x+λ•3﹣x（λ∈R ）．（1）若f （x ）为奇函数，求λ的值和此时不等式f （x ）＞1的解集； （2）若不等式f （x ）≤6对x ∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．18.（12分）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()()()sin sin 3sin sin b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）已知2a =，3=c b ，求ABC 的面积.19．（12分）已知函数f （x ）＝+﹣lnx ﹣，其中a ∈R ，且曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y ＝x ．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间与极值．20．（12分）设函数f （x ）＝sin2x +cos （2x +）．（1）求函数的单调递增区间．（2）求在[0，]上，函数的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+10．（Ⅰ）若a＝1时，求函数y＝f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求h（x2）﹣x1的取值范围．参考答案1—8 D B D B A C B B9---12 BCD BD ABD ACD13. 25 14.15. （﹣∞，﹣1] 16. 517.解：（1）∵f （x ）＝3x+λ•3﹣x为奇函数，∴f （﹣x ）+f （x ）＝3﹣x+λ•3x +3x +λ•3﹣x ＝（3x +3﹣x ）+λ（3x +3﹣x ）＝（λ+1）（3x +3﹣x）＝0，∵3x +3﹣x ＞0，∴λ+1＝0，即λ＝﹣1． 此时f （x ）＝3x ﹣3﹣x， 由f （x ）＞1，得3x﹣3﹣x ＞1，即（3x ）2﹣3x﹣1＞0， 解得：（舍），或3x＞，即x ＞．∴不等式f （x ）＞1的解集为（）；（2）由f （x ）≤6得3x +λ3﹣x≤6，即3x+≤6，令t ＝3x∈[1，9]， 原不等式等价于t +≤6在t ∈[1，9]上恒成立，亦即λ≤6t ﹣t 2在t ∈[1，9]上恒成立， 令g （t ）＝6t ﹣t 2，t ∈[1，9]，当t ＝9时，g （t ）有最小值g （9）＝﹣27，λ≤﹣27. 18.解（1）因为()()()sin sin 3sin sin b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()()()3b a b a c b c -+=-，即2223b c a bc +-=，所以22233cos 222b c bc A bc bc a +===-，因为0A π<<， 所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =. 所以323c b ==，所以ABC 的面积111sin 2233222S bc A ==⨯⨯⨯=. 19.解：（Ⅰ）∵f （x ）＝+﹣lnx ﹣， ∴f ′（x ）＝﹣﹣，∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y ＝x ． ∴f ′（1）＝﹣a ﹣1＝﹣2， 解得：a ＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）＝+﹣lnx﹣，f′（x）＝﹣﹣＝（x＞0），令f′（x）＝0，解得x＝5，或x＝﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x＝5时，函数取极小值﹣ln5．20. 解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x cos﹣sin2x sin＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（2）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，即函数f（x）的值域为[﹣，1]21.解：（Ⅰ）：当a＝1时，f′（x）＝3x2﹣2x，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞，所以函数y＝f（x）的单调递增区间（﹣∞，0）和（，+∞），（Ⅱ）解法一：f′（x）＝3x2﹣2x＝3x（x﹣a）当a≤1，即a≤时，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，f（x）在[1，2]上为增函数，故f（x）min＝f（1）＝11﹣a，所以11﹣a＜0，a≥11，这与a≤矛盾．当1＜a＜2，即＜a＜3时，若1≤x＜a，则f′（x）＜0；若a＜x≤2，则f′（x）＞0，所以当x＝a时，f（x）取得最小值，因此f（a）＜0，即a3﹣a3+10＝﹣a3+10＜0，可得a＞3，这与＜a＜3矛盾．当a≥2，即a≥3时，f′（x）＜0在在[1，2]上恒成立，f（x）在[1，2]上为减函数，所以f（x）min＝f（2）＝18﹣4a，所以18﹣4a＜0，解得a＞，满足a≥3，综上所述，实数a的取值范围是（，+∞），解法二：因为区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，所以a＞＝x+设g（x）＝x+，g′（x）＝1﹣，因为1≤x≤2，所以g′（x）＜0所以g（x）在[1，2]上是减函数．所以g（x）min＝g（2）＝，所以a＞，实数a的取值范围是（，+∞），22解：（Ⅰ）根据题意，函数，则，函数有两个极值点等价于关于x的方程﹣x2+x+m＝0有两个不等的正实数根令f（x）＝﹣x2+x+m，因为f（x）的对称轴为，所以，，解得，所以，实数m的取值范围为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知x1，x2，且x1＜x2是﹣x2+x+m＝0的两个不等的正实数根，所以，x1+x2＝1，x1x2＝﹣m，故，其中，令g（x）＝lnx﹣x，，因为时，，所以g（x）＝lnx﹣x在上单调递增，所以，，即h（x2）﹣x1的取值范围是．。
山东省济南市历城第二中学2020届高三高考模拟考试(二)数学试卷(PDF版)
#,作图可先使用铅笔画出确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑, +,保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱,不准使用涂改液修正带刮纸刀,
一单项选择题本题共/小题每小题+分共#"分,在每小题给出的四个选项中只有一项是
'(*)-#若正方体的六个面所在的平面与直线).#./ 相交
的平面个数分别记为 0#1#则下列结论正确的是
5,001
-,0018$
6,0$1
7,081$/
/!已知函数+$#%0#8,$##2$#%02<#*#,$*##若存在实数#"#使+$#"%*2$#"%0+成立#则
正数, 的取值范围为
$$!$本小题满分!$分% 已知函数 +$#%002<$!8#%*##2$#%00#*:B<#! $!%若函数+$#%在$"#8=%上单调递减#且函数2$#%在$"#$%上单调递增#求实数0 的值, $$%求证+$!8:B<!%$!8:B<!!C$%$!8:B<$C!.%/$!8:B<$1*!!%C1%$D$$1/0 且11$%!
9!*!本题考 查 充 分 必 要 条 件!+ 当 函 数 *$2 $+$ 30+3!$ 为 幂 函 数 时$+$ 30+3!2!解 得+2$ 或
3
! $
1+2$是函数*$2$+$30+3!$为幂函数的充分不必要条件!
,!:!本题考查二项式定理!+$3,!50$#2$!50$#3,!50$# 的展开式中$0 的系数为 6$#0$3
山东济南市历城第二中学2020-2021学年高二10月月考数学试题+PDF版含答案
点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上（不含 端点），则直线 FD 的斜率的取值范围为（ ）
A． ,2
B． 4,
C． 2,
D． 1,
8．在正四面体 D ABC （所有棱长均相等的三棱锥）中，点 E 在棱 AB 上，满足 AE 2EB ，点 F 为
| BC | (1 0)2 (4 4)2 (2 2)2 1．所以 | AB |2 | BC |2| AC |2 ． ABC 的形状为直角三角形．
3．【答案】B【解析】因为 6OP OA 2OB 3OC ，所以 OP OA 2 OB OP 3 OC OP ，
即 AP 2PB 3PC ，根据共面向量基本定理，可得 AP ， PB ， PC 共面， P A B C 四点共面．
数学试题答案
1．【答案】A【解析】由题知直线
AB
的斜率
k
65 1 2
1
，故直线
AB
的倾斜角为
3π 4
．
2．【答案】B【解析】因为 ABC 的顶点分别为 A(1 ，2，1) ， B(1 ，4， 2) ， C(0 ，4， 2) ，
则 | AB | (11)2 (4 2)2 (2 1)2 5 ， | AC | (1 0)2 (2 4)2 (1 2)2 6 ，
6
3
如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥平面
ABCD，且 PA＝AB＝2，，PD 的中点为 F．
（1）在线段 AB 上是否存在一点 G，使得 AF // 平面 PCG？若存在，
指出 G 在 AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
（2）若_______，求二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值．
山东省济南市历城第二中学2021学年上学期高二年级10月月考数学试卷
山东省济南市历城第二中学2020-2021学年上学期高二年级10月月考数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的） l 在复平面内，复数2334iz i+=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A122ππ+ B144ππ+ C12ππ+ D142ππ+ 3 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则（ ）A //MN PDB //MN PAC //MN ADD 以上均有可能4 已知ABC △中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，则（ ）A 32AF AB BE =+ B 32AF AB BE =-+ C 32AF AB BE =-D 32AF AB BE =-- 5 在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足()()a b c a b c ab +++-=，则ABC △的最大角为（ ） A 30︒B 120︒C 90︒D 60︒6 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）7 在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足2cos b c A =，则ABC △的形状为（ ） A 直角三角形B 等边三角形C 等腰三角形D 锐角三角形8 掷一枚骰子试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A B （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为（ ）A13B12C23D56二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全都选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9 若复数21z i=+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A z 的虚部为-1B z =C 2z 为纯虚数D z 的共轭复数为1i --10 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（ ） A 至少有1件次品与至多有1件正品 B 至少有1件次品与都是正品 C 至少有1件次品与至少有1件正品D 恰有1件次品与恰有2件正品11 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多12 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 1，则（ ） A 正方体的外接球的表面积为12πB 正方体的内切球的体积为43π C 正方体的棱长为2D 线段MN 的最大值为三、填空题13 已知向量122a e e =-，122b e e =+，其中()11,0e =，()20,1e ，a 与b 的夹角为=______14 在ABC △中，若b =3c =，30B =︒，则a 等于______15 如图，在ABC △中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若311AP AB mAC =+，则实数m 的值为______16 在平行四边形ABCD 中，AB =3BC =，且cos 3A =，以BD 为折痕，将BDC △折起，使点C 到达点E 处，且满足AE AD =，则三棱锥E ABD -的外接球的表面积为______ 四、解答题（本题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知复数w 满足()432w w i -=-（i 为虚数单位），52z w w=+- （1）求z ；（2）若（1）中的z 是关于x 的方程20x px q -+=的一个根，求实数p ，q 的值及方程的另一个根18 在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222b c a bc +-=，计算ABC △的面积请①a =②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可19 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积V =，求A 到平面PBC 的距离 20 若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求： （1）甲中奖的概率()P A ； （2）甲、乙都中奖的概率()P B ；（3）只有乙中奖的概率()P C21 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，…，[)80,90，[]90,100（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率22 在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 为AD ，PC 的中点（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长； （3）在（2）的条件下，求二面角F BE A --的余弦值参考答案一、单项选择题： 1【答案】C 【解析】∵23(23)(34)61761734(34)(34)252525i i i i z i i i i +++-+====-+--+， ∴6172525i z =--，其在复平面内对应的点的坐标为617,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限故选：C 2【答案】A【解析】设圆柱底面积半径为r ，则高为2r π，全面积：侧面积()()22222:2r r r πππ⎡⎤=+⎣⎦，这个圆柱全面积与侧面积的比为122ππ+，故选A 3【答案】B【解析】∵//MN 平面PAD ，平面PAC 平面PAD PA =，MN ⊂平面PAC ，∴//MN PA 故选B4【答案】A【解析】依题意，11()22BE BA BC AB BF =+=-+，故32AF AB BF AB BE =+=+，故选A 5【答案】B【解析】根据方程可知：222()()2a b c a b c a ab b c ab +-++=++-=，故222a b c ab +-=-，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==-，又()0,C π∈，故23C π=故选：B6【答案】B 【解析】∵100409060103100x ++++==，∴()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦2222116082021013011021001005⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯==⎣⎦S ⇒=故选B 7【答案】C【解析】∵222cos 2b c a A bc+-=，∴2222cos b c a b c A b +-=⋅=，即2222b bc a =+-，整理得：()()0c a c a +-=，即a c =，则ABC △为等腰三角形故选：C 8【答案】C【解析】∵事件B 表示“小于5的点数出现”，∴B 的对立事件是“大于或等于5的点数出现”， ∴表示事件是出现点数为5和6∵事件A 表示“小于5的偶数点出现”， 它包含的事件是出现点数为2和4，∴21()63P A ==，42()63P B ==，∴()211()133P B P B =-=-=，∴112()()()333P A B P A P B =+=+=故选：C 二、多项选择题： 9【答案】ABC 【解析】因为22(1)2211(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为-1，正确；对于B ：模长z = 对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确； 对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误故选：ABC 10【答案】BD【解析】对于A ，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于B ，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；对于C ，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于D ，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件故选：BD 11【答案】ABC【解析】选项A ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6%和17%，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的()56%39.6%17%31.7%⨯+≈“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A 正确；选项B ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，其中从事技术岗位的人数占的比为39.6%，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.2%⨯≈“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20%，故选项B 正确；选项C ：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为56%17%9.5%⨯≈，大于“80前”的总人数所占比3%，故选项C 正确；选项D ：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.2%⨯≈，“80后”的总人数所占比为41%，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D 错误故选：ABC 12【答案】ABC【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，；内切球半径为棱长的一半，即2a∵M ，N 分别为外接球和内切球上的动点，∴min 11222a a a MN -===，解得：2a =，即正方体棱长为2，C 正确，∴正方体外接球表面积为2412ππ⨯=，A 正确；内切球体积为43π，B 正确；线段MN 最大值为122aa +=，D 错误故选：ABC 三、填空题：13【答案】2π 【解析】由题可知，()11,0e =，()20,1e =，则()()()1221,020,11,2a e e =-=-=-，()()()12221,00,12,1b e e =+=+=，得(21a =+=221b =+=所以1221cos ,05a b a b a b⨯+-⨯⋅===⋅，又因为两向量的夹角范围为[]0,π，所以a 与b 的夹角为2π故答案为：2π 14【答案】【解析】由正弦定理，可得sin sin b cB C =，所以sin sin 2c B C b ⋅===, 因为()0,180C ∈︒︒，所以60C =︒或120C =︒， 当60C =︒时，90A =︒，可得a ==当120C =︒时，30A =︒，此时a b ==a =a =15【答案】211【解析】解法1：因为13AN NC =，所以4AC AN =，又311AP AB mAC =+， 所以3411AP AB mAN =+，因为点P ，B ，N 三点共线，所以34111m +=，解得：211m = 解法2：因为AP AB BP =+，设BP BN λ=，所以AP AB BN λ=+， 因为13AN NC =，所以14AN AC =，又BN AN AB =-，所以14BN AC AB =-， 所以1(1)44AP AB AC AB AB AC λλλ⎛⎫=+-=-+⎪⎝⎭，又311AP AB mAC =+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：811211m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =故答案为：21116【答案】13π【解析】在ABD △中，AB =3BC =，且cos 3A =， 由余弦定理，得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，即：2223239BD =+-⨯=，解得：3BD =，在四面体ABED 中，3AE BD ==，3AD BE ==，AB ED == 三组对棱长相等，可将四面体ABED 放在长方体中，设长方体的相邻三棱长分别为x ，y ，z ，设外接球半径为R ， 则229x y +=，229y z +=，228z x +=，则22213x y z ++=，即2R =R =所以，四面体E ABD -外接球的表面积为：21344134R πππ=⨯=故答案为：13π四、解答题：17【解析】（1）∵(12)43w i i +=+，∴43(43)(12)212(12)(12)i i i w i i i i ++-===-++-， ∴55(2)132(2)(2)i z i i i i i +=+=+=+--+ （2）∵3z i =+是关于x 的方程20x px q -+=的一个根， ∵2(3)(3)0i p i q +-++=，(83)(6)0p q p i -++-=， ∵p ，q 为实数，∴83060p q p -+=⎧⎨-=⎩，解得6p =，10q =解方程26100x x -+=，得3x i =±∴实数6p =，10q =，方程的另一个根为3x i =-18【解析】因为222b c a bc +-=，所以222122b c a bc +-=，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=，若选择①a =2b =，由2222cos a b c bc A =+-，得2742c c =+-，即2230c c --=，解得3c =（负值舍去），所以11sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△若选择①a =sin 2sin C B =，由sin 2sin C B =以及正弦定理可得2c b =，由2222cos a b c bc A =+-得222742b b b =+-，得273b =，所以117sin 2223ABC S bc A b b ==⋅==△若选择②2b =，③sin 2sin C B =，由sin 2sin C B =以及正弦定理可得2c b =，所以4c =，所以11sin 24222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△19【解析】（1）设BD 交AC 于点O ，连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为PD 的中点，所以//EO PB ， 又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC（2）166V PA AB AD AB =⋅⋅=，由4V =，可得32AB = 作AH PB ⊥交PB 于H由题设易知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥， 故AH ⊥平面PBC ，又13PA AB AH PB ⋅==，所以A 到平面PBC 的距离为13法2：等体积法16V PA AB AD AB =⋅⋅=，由V =，可得32AB = 由题设易知BC ⊥平面PAB ，得BC PB ⊥， 假设A 到平面PBC 的距离为d ，又因为PB ==，所以1132A PBC V d -=⨯=，又因为11313224P ABC V -=⨯⨯=（或4P ABC P ABD V V --==），A PBC P ABC V V --=，所以13d =20【解析】（1）根据题意，甲中奖为事件A ，5张奖券中有2张是中奖的，则甲从中随机抽取1张，则其中奖的概率为()25P A =（2）记甲、乙都中奖为事件B ，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率为25， 若甲中奖，此时还有4张奖券，其中1张有奖，则乙中奖的概率为14， 则甲、乙都中奖的概率211()5410P B =⨯= （3）记只有乙中奖为事件C ，首先甲没有中奖，其概率为()231155P A -=-=， 此时还有4张奖券，其中2张有奖，则乙中奖的概率为2142=， 则只有乙中奖的概率为()3135210P C =⨯= 21【解析】（1）因为(0.0040.00180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，所以0.006a =（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+⨯=， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为（3）受访职工评分在[)50,60的有：500.006103⨯⨯=（人），即为1A ，2A ，3A ； 受访职工评分在[)40,50的有：500.004402⨯⨯=（人），即为1B ，2B 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，又因为所抽取2人的评分都在[)40,50的结果有1种，即{}12,B B ，故所求的概率为110p = 22（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ， ∵//BC AD ，12BC AD =，E 为AD 中点， ∴//AE BC ，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴O 为AC 中点，又F 为AD 中点，∴//OF PA ，∵OF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴//PA 平面BEF（2）由BCDE 为正方形可得EC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ， ∴PCE ∠为PC 与AB 所成角即45PCE ∠=︒， ∵PA PD =，E 为AD 中点，∴PE AD ⊥，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE EC ⊥，∴PE EC ==（3）取PD 中点M ，连ME ，MA ， ∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD面ABCD AD =，BE AD ⊥， ∴BE ⊥平面PAD ，∴MEA ∠为F BE A --的平面角，又∵EM =1AE =，2AM =，∴cos 3MEA ∠=-，所以二面角E AC B --的余弦值为3-。
山东济南市2020届高三二模数学试题卷理科 (解析版)
2020年济南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{y |y ＝e x ﹣1}，B ＝{x |y ＝ln （x +1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣1，0）2．设复数z 满足（2﹣i ）z ＝2+i ，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若双曲线C ：x 22−y 23m=λ的一条渐近线方程为2x +3y ＝0，则m ＝（ ）A ．32B ．23C ．827D ．2784．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ）A ．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B ．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C ．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D ．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降5．设x ，y 满足约束条件{y ≤x +1y ≥x2y ≤−x2，则z ＝x ﹣4y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．0D ．46．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c =3√3，B ＝30°，a ＞b ，则AC 边上的高线的长为（ ）A ．3√32B ．32C ．92D ．3√37．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，AE →=2EC →，AD 与BE 相交于G ，若AG →=x GD →，BG →=y GE →，则x +y ＝（ ）A ．4B ．143C ．92D ．1128．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点，有下列四个结论：①AP 与CM 是异面直线；②AP ，CM ，DD 1相交于一点；③MN ∥BD 1； ④MN ∥平面BB 1D 1D ．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③④D ．②③④9．已知M （1，0），N 是曲线y ＝e x 上一点，则|MN |的最小值为（ ）A．1 B．√2C．e D．√e4+1 10．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前50项，则图中的空白框应填入（）A．A＝B，B＝C B．B＝A，C＝B C．C＝A，B＝C D．A＝C，C＝B11．已知函数f(x)=√3sin2ωx2+12sinωx−√32(ω＞0)，若f（x）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（）A．(0，29]∪[89，+∞)B．(0，29]∪[23，89]C．(0，29]∪[89，1]D．(29，89]∪[1，+∞)12．点P（1，1）是抛物线C：y＝x2上一点，斜率为k的直线l交抛物线C于点A，B，且PA⊥PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则（）A．k＝k1+k2B．1k =1k1+1k2C．直线l过点（1，﹣2）D．直线l过点（﹣1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知函数f （x ）={3x ，x ≥2f(x+1)3，x ＜2，则f （log 32）的值为 ．14．设α为锐角，若cos(α+π8)=45，则cos2α＝ ．15．某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的村小（含A 小学）支教，每位教师只能支教一所村小学，且每所村小学都有老师支教．甲不去A 小学，则不同的安排方法数为 ．16．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为3√3π，则该圆锥外接球的表面积为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．在公比大于0的等比数列{a n }中，已知a 3a 5＝a 4，且a 2，3a 4，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知S n ＝a 1a 2…a n ，试问当n 为何值时，S n 取得最大值，并求S n 的最大值． 18．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为0.5，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测．每件产品的合格率为0.8，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收． （1）求某件产品能出厂的概率；（2）若该产品的生产成本为800元/件，出厂价格为1500元/件，每次检测费为100元/件，技术处理每次100元/件，回收获利100元/件．假如每件产品是否合格相互独立，记ξ为任意一件产品所获得的利润，求随机变量ξ的分布列与数学期望．19．在三棱锥D ﹣ABC 中，AB =BC =2√2，DA ＝DC ＝AC ＝4，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上．（1）若M 为BC 的中点，证明：BC ⊥DM ．（2）若DC与平面DAM所成角的正弦值为√34，求AM．20．已知椭圆x 2a +y2b=1(a＞b＞0)上的点P到左、右焦点F1，F2的距离之和为2√2，且离心率为√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求△AF2C面积的最大值．21．已知函数f(x)=e x+ax+(a+1)lnx−x−a．（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）若f（x）的最小值为e﹣1，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，极点为O，一条封闭的曲线C由四段曲线组成：ρ=4cosθ(θ∈[0，π4)∪[7π4，2π))，ρ=4sinθ(θ∈[π4，3π4))，ρ=−4cosθ(θ∈[3π4，5π4))，ρ=−4sinθ(θ∈[5π4，7π4))．（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；（2）若直线l：ρsin(θ+π4)=k与曲线C恰有3个公共点，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若存在α∈（0，π），使得关于x的方程f（x）＝m sinα恰有一个实数根，求m 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝e x﹣1}，B＝{x|y＝ln（x+1）}，则A∩B＝（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝（0，+∞），B＝（﹣1，+∞），∴A∩B＝（0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，指数函数的值域，对数函数的定义域，属于基础题．2．设复数z满足（2﹣i）z＝2+i，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由（2﹣i）z＝2+i，得z=2+i2−i =(2+i)(2+i)(2−i)(2+i)=3+4i5=35+45i，则z在复平面内所对应的点的坐标为（35，45），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若双曲线C：x 22−y23m=λ的一条渐近线方程为2x+3y＝0，则m＝（）A．32B．23C．827D．278【分析】由题意知m＞0，且双曲线是焦点在x轴上的双曲线，写出其渐近线方程，结合已知可得关于m的方程，则m值可求．解：由题意知双曲线的渐近线方程为y=±√3m2x(m＞0)，2x+3y＝0可化为y=−23x，则√3m2=23，解得m=827．故选：C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查运算求解能力，是中档题．4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（）A．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降【分析】根据扇形统计图和条形统计图即可判断出答案．解：到2019年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民的存款总额，选项C 说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的． 故选：C ．【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．5．设x ，y 满足约束条件{y ≤x +1y ≥x 2y ≤−x 2，则z ＝x ﹣4y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．0D ．4【分析】作出不等式组对应的平面区域，平移直线x ﹣4y ＝0，判断最优解，利用数形结合即可的得到结论．解：由题可知，再画出可行域如图，{y =x +1y =x 2解得A （﹣2，﹣1）， 当l ：x ﹣4y ＝0平移到过点（﹣2，﹣1）时，z 取得最大值， 最大值为：2． 故选：B ．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力．6．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c =3√3，B ＝30°，a ＞b ，则AC 边上的高线的长为（ ）A ．3√32B ．32C ．92D ．3√3【分析】由已知利用余弦定理可得a 2﹣9a +18＝0，结合a ＞b ，可求a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解AC 边上的高线的长． 解：因为b ＝3，c =3√3，B ＝30°，所以由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，可得9=a 2+27−2×a ×3√3×√32，整理可得a 2﹣9a +18＝0， 又a ＞b ， 所以a ＝6．因为S △ABC =12acsinB =9√32，所以AC 边上的高线的长为2S △ABCb=3√3．故选：D ．【点评】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，AE →=2EC →，AD 与BE 相交于G ，若AG →=x GD →，BG →=y GE →，则x +y ＝（ ）A．4 B．143C．92D．112【分析】先结合平面向量的线性运算和AG→=x GD→可得AG→=x2(1+x)AB→+3x4(1+x)AE→，再由三点共线的条件可知，x2(1+x)+3x4(1+x)=1，解之可得x的值，同理可求出y的值，进而得解．解：∵AG→=x GD→，∴AG→=x1+x AD→=x2(1+x)AB→+x2(1+x)AC→=x2(1+x)AB→+3x4(1+x)AE→．∵B，G，E三点共线，∴x2(1+x)+3x4(1+x)=1，解得x＝4，同理可得，y=32，∴x+y=112．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，熟练掌握三点共线的条件是解题的关键，考查学生的逻辑推理的能力和运算能力，属于基础题．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论：①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②④C．①③④D．②③④【分析】本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解．解：因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则①不正确，②正确．③令AC∩BD＝O，因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON=D1M=12CD，则MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，③不正确，④正确．综上所述，②④正确，故选：B．【点评】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，逻辑分析能力．9．已知M（1，0），N是曲线y＝e x上一点，则|MN|的最小值为（）A．1 B．√2C．e D．√e4+1【分析】y＝e x的导数为y'＝e x．设N（m，e m），可得过N的切线的斜率为e m．当MN垂直于切线时，|MN|取得最小值，可得e mm−1=−1e，解得m进而得出．解：y＝e x的导数为y'＝e x．设N（m，e m），可得过N的切线的斜率为e m．当MN垂直于切线时，|MN|取得最小值，可得e mm−1=−1e，则e2m+m＝1．因为f（x）＝e2x+x单调递增，且f（0）＝1，所以m＝0．所以|MN|的最小值为√12+12=√2．【点评】本题考查导数几何意义的应用、考查化归与转化思想、数形结合思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前50项，则图中的空白框应填入（）A．A＝B，B＝C B．B＝A，C＝B C．C＝A，B＝C D．A＝C，C＝B 【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得执行第1次，A＝1，B＝1，C＝2，i＝4，循环，因为第二次应该计算C＝1+2，i＝i+1＝5，循环，执行第3次，因为第三次应该计算C＝2+3，由此可得图中的空白框应填入A＝B，B＝C．【点评】本题考查数学文化在算法中的应用，考查赋值语句的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．11．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得f(x)=sin(ωx −π3)，由于f （x ）在(π2，3π2)上无零点，因此(3ωπ2−π3)−(ωπ2−π3)≤T 2=πω，且{kπ≤ωπ2−π3(k +1)π≥3ωπ2−π3，k ∈Z ，在ω＞0的限制条件下，解不等式即可得解． 解：f(x)=√32(1−cosωx)+12sinωx −√32=12sinωx −√32cosωx =sin(ωx −π3)，若π2＜x ＜3π2，则ωπ2−π3＜ωx −π3＜3ωπ2−π3，∵f （x ）在(π2，3π2)上无零点， ∴(3ωπ2−π3)−(ωπ2−π3)≤T 2=πω，则ω2≤1， ∵ω＞0，解得0＜ω≤1．又{kπ≤ωπ2−π3(k +1)π≥3ωπ2−π3，解得3ω2−43≤k ≤ω2−13，k ∈Z ， 当k ＝0时，23≤ω≤89；当k ＝﹣1时，0＜ω≤29．∴ω∈(0，29]∪[23，89]．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．点P （1，1）是抛物线C ：y ＝x 2上一点，斜率为k 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，且PA ⊥PB ，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则（ ） A ．k ＝k 1+k 2B ．1k =1k 1+1k 2C ．直线l 过点（1，﹣2）D ．直线l 过点（﹣1，2）【分析】设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，求出直线的斜率，推出k ＝k 1+k 2﹣2．得到直线l的方程为y −x 12=(x 1+x 2)(x −x 1)，利用PA ⊥PB ，得到直线系方程y ﹣2＝（x 1+x 2）（x +1），求出定点坐标． 解：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，则k 1=x 12−1x 1−1=x 1+1，k 2=x 22−1x 2−1=x 2+1，k =x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2，所以k ＝k 1+k 2﹣2．直线l 的方程为y −x 12=(x 1+x 2)(x −x 1)， 因为PA ⊥PB ，所以（x 1+1）（x 2+1）＝﹣1，即x 1+x 2+2＝﹣x 1x 2，代入方程得y ﹣2＝（x 1+x 2）（x +1）， 则直线l 过点（﹣1，2）． 故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查数形结合的思想及运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知函数f （x ）={3x ，x ≥2f(x+1)3，x ＜2，则f （log 32）的值为 2 ．【分析】由log 32＜1，得f(log 32)=13f(log 32+1)=19f(log 32+2)=3log 32+29．由此能求出结果．解：因为函数f （x ）={3x ，x ≥2f(x+1)3，x ＜2，log 32＜1，所以f(log 32)=13f(log 32+1)=19f(log 32+2)=3log 32+29=2×99=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．设α为锐角，若cos(α+π8)=45，则cos2α＝31√250． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π8)=35，进而根据二倍角公式即可求解．解：因为α为锐角，cos(α+π8)=45，所以sin(α+π8)=35，则cos(2α+π4)=2×(45)2−1=725，sin(2α+π4)=2425， 所以cos2α=cos(2α+π4−π4)=√22(725+2425)=31√250．故答案为：31√250． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的村小（含A 小学）支教，每位教师只能支教一所村小学，且每所村小学都有老师支教．甲不去A 小学，则不同的安排方法数为 100 ．【分析】以到A 学校人数1，2，3为标准分成3类，再由排列组合知识分别求出每一类的安排方法，相加即可．【解答】解．A 小学若安排3人，则有C 43A 22=8种，A 小学若安排2人，则有C 42C 32A 22=36种，A 小学安排1人，则有C 41(C 43+C 42C 22A 22)A 22=56种，故共有100种．故答案为：100．【点评】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想与逻辑推理能力，属于中档题．16．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为3√3π，则该圆锥外接球的表面积为27π2．【分析】如图，设∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝60°，则SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝BC ．设AB ＝x ，则底面圆的直径为2r =x sin60°=2x3，利用该圆锥的侧面积计算公式得出方程，解得x ，可得OS ，r ．设圆锥外接球的半径为R ，所以(√6−R)2+r 2=R 2，解得R ，即可得出外接球的表面积．解：如图，设∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝60°，则SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝BC ． 设AB ＝x ，则底面圆的直径为2r =x sin60°=2x 3，该圆锥的侧面积为12π•√3•x ＝3√3π，解得x ＝3，高OS =√32−(√3)2=√6． ∴r =3=√3． 设圆锥外接球的半径为R ，所以(√6−R)2+r 2=R 2，解得R =3√64，则外接球的表面积为4πR 2=27π2．故答案为：27π2．【点评】本题考查圆锥以及球的结构特征，考查空间想象能力及运算求解能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．在公比大于0的等比数列{a n}中，已知a3a5＝a4，且a2，3a4，a3成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知S n＝a1a2…a n，试问当n为何值时，S n取得最大值，并求S n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，（q＞0），运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，可得S n，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值和n的值．解：（1）设{a n}的公比为q，（q＞0），由a3a5＝a42＝a4，得a4＝1，即a1q3＝1，因为a2，3a4，a3成等差数列，所以a2+a3＝6a4，即a1q+a1q2＝6a1q3，即6q2﹣q﹣1＝0，解得q=12（−13舍去），a1＝8，所以a n＝8•（12）n﹣1＝24﹣n，n∈N*；（2）Sn =a1a2⋯a n=23+2+1+⋯+(4−n)=2(7−n)n2，由n（7﹣n）＝﹣（n−72）2+494，所以当n＝3或4时，S n取得最大值，（S n）max＝64．【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．18．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为0.5，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测．每件产品的合格率为0.8，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收．（1）求某件产品能出厂的概率；（2）若该产品的生产成本为800元/件，出厂价格为1500元/件，每次检测费为100元/件，技术处理每次100元/件，回收获利100元/件．假如每件产品是否合格相互独立，记ξ为任意一件产品所获得的利润，求随机变量ξ的分布列与数学期望．【分析】（1）设事件A为“某件产品第一次检验合格”，事件B为“某件产品第二次检验合格”，利用互斥事件的概率求解即可．（2）求出ξ的所有可能取值为﹣1000，400，600．求出概率，然后得到分布列，即可求解期望．解：（1）设事件A为“某件产品第一次检验合格”，事件B为“某件产品第二次检验合格”，则P（A）＝0.5，P（B）＝0.5×0.8＝0.4．所以某件产品能够出厂的概率P＝0.5+0.4＝0.9．（2）由已知，若该产品不合格，则ξ＝（800+100×2+100）+100＝﹣1000，该产品经过第二次检验才合格，则ξ＝﹣1500﹣（800+100×2+100）＝400，该产品第一次检验合格，则ξ＝1500﹣（800+100）＝600，所以ξ的所有可能取值为﹣1000，400，600．P（ξ＝﹣1000）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.8）＝0.1，P（ξ＝400）＝（1﹣0.5）×0.8＝0.4，P（ξ＝600）＝0.5．ξ的分布列为400600ξ﹣1000P0.10.40.5Eξ＝﹣1003×0.1+403×0.4+600×0.5＝360元．【点评】本题考查了互斥事件的概率计算公式，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=2√2，DA＝DC＝AC＝4，平面ADC⊥平面ABC，点M在棱BC上．（1）若M为BC的中点，证明：BC⊥DM．，求AM．（2）若DC与平面DAM所成角的正弦值为√34【分析】（1）取AC的中点O，连接OB，OD．说明OD⊥AC．证明OD⊥OB，证明AB⊥BC，推出DB＝DC，且M为BC的中点，即可证明BC⊥DM．（2）以O为坐标原点，OB→的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面DAM的法向量，结合直线与平面所成角，求出a，然后求解AM即可．【解答】（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OD ．因为DA ＝DC ，所以OD ⊥AC ． 又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且相交于AC ，所以OD ⊥平面ABC ，所以OD ⊥OB ．因为AB 2+BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，所以OB ＝OC ，所以△OBD ≌△OCD ，所以DB ＝DC ，且M 为BC 的中点，所以BC ⊥DM ．（2）解：如图．以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，由已知得A （0，﹣2，0），C （0，2，0），D(0，0，2√3)，AD →=(0，2，2√3)，DC →=(0，2，−2√3)，设M （a ，2﹣a ，0）（0≤a ≤2），则AM →=(a ，4−a ，0)．设平面DAM 的法向量为n →=(x ，y ，z)．由AD →⋅n →=0，AM →⋅n →=0，得{2y +2√3z =0ax +(4−a)y =0，可取n →=(√3(a −4)，√3a ，−a)，所以sinθ=|cos〈DC →，n →〉|=|2√3a+2√3a|4√3(a−4)+3a +a =√34，解得a ＝﹣4（舍去），a =43，所以AM =√(43)2+(83)2=4√53．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，平面法向量的求法，考查空间想象能力以及计算能力．如果是考试用题：建议评分：（1）第一问也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，证出得满分；（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标得（1分），计算出平面DAM的法向量得；（3）若用传统做法，作出二面角得，简单证明得，整个试题完全正确得满分．20．已知椭圆x 2a +y2b=1(a＞b＞0)上的点P到左、右焦点F1，F2的距离之和为2√2，且离心率为√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求△AF2C面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的定义以及离心率，转化求解椭圆的标准方程．（2）已知F2（1，0），直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合三角形的面积通过基本不等式转化求解即可．解：（1）|PF1|+|PF2|=2a=2√2，所以a=√2，e=ca=√22，所以c=√22×√2=1，所以b2＝a2﹣c2＝2﹣1＝1，椭圆的标准方程为x 22+y2=1．（2）由题可知直线l的斜率必存在，又F2（1，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x2，﹣y2）．联立直线与椭圆的方程，化简得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，所以x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2．S△AF2C =S△ABC−S△F2BC=12|2y2||(x1−x2)−(1−x2)|=|y2（x1﹣1）|=|k(x1−1)(x2−1)|=|k(x1x2−x1−x2+1)|=|k1+2k2|=|12k+1k|≤√24，当且仅当k=±√22时，取得最大值．所以△AF2C面积的最大值为√24．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试用题：建议：（1）第一问得出a=√2，b＝1各得，写出椭圆的标准方程得（1分）；（2）第二问未说明直线l的斜率存在扣（1分）；（3）若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分．21．已知函数f(x)=e x+ax+(a+1)lnx−x−a．（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）若f（x）的最小值为e﹣1，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系及函数的性质即可求解；（2）结合导数与单调性及最值的关系对a进行分类讨论可求．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=(x−1)e x−x2+(a+1)x−ax2=(x−1)e x−(x−1)(x−a)x2=(x−1)(ex−x+a)x2，令f′（x）＝0，解得x＝1或e x﹣x＝﹣a，令g（x）＝e x﹣x（x＞0），则g′（x）＝e x﹣1＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增．当a≥﹣1或a＝1﹣e时，f′（x）只有一个零点；当1﹣e＜a＜﹣1或a＜1﹣e时，f′（x）有两个零点．（2）当a≥﹣1时，e x﹣x+a＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则f（x）在x＝1处取得最小值且最小值为f（1）＝e﹣1+a﹣a＝e﹣1，符合题意．当a＜﹣1时，则y＝e x﹣x在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0使得e x0−x0+a=0．若a＜1﹣e，则x0＞1，f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，又f（1）＝e﹣1＞f（x0），故不符合题意．若a＝1﹣e，则x0＝1，所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝e﹣1，故不符合题意．若1﹣e＜a＜﹣1，则0＜x0＜1，f（x）在（0，x0）和（1，+∞）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，当x→0，f（x）→﹣∞时，与f（x）的最小值为e﹣1矛盾．综上，a的取值范围为[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数与函数的性质求解函数的零点个数，及由函数的最值与单调性关系求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，极点为O，一条封闭的曲线C由四段曲线组成：ρ=4cosθ(θ∈[0，π4)∪[7π4，2π))，ρ=4sinθ(θ∈[π4，3π4))，ρ=−4cosθ(θ∈[3π4，5π4))，ρ=−4sinθ(θ∈[5π4，7π4))． （1）求该封闭曲线所围成的图形面积；（2）若直线l ：ρsin(θ+π4)=k 与曲线C 恰有3个公共点，求k 的值．【分析】（1）首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出封闭图形的面积．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用求出k 的值．解：（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4（2≤x ≤4），x 2+（y ﹣2）2＝4（2≤y ≤4），（x +2）2+y 2＝4（﹣4≤x ≤﹣2），x 2+（y +2）2＝4（﹣4≤y ≤﹣2）．曲线C 由弧ABĈ，弧CDE ̂，弧EFG ̂，弧GHA ̂四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为2的圆上，则该封闭曲线所围成的图形面积S ＝4（2×2+2π）＝8π+16．（2）直线l 的直角坐标方程为√22x +√22y =k ，即x +y −√2k =0． 当直线l 经过点H ，A ，B 时，k =2√2．当直线l 经过点E ，F ，D 时，k =−2√2，故k 的值为±2√2． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，分割法的应用，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x |+|2x ﹣1|．（1）求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若存在α∈（0，π），使得关于x 的方程f （x ）＝m sin α恰有一个实数根，求m 的取值范围．【分析】（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合可得不等式f （x ）＜3的解集；（2）存在α∈（0，π），使得关于x 的方程f （x ）＝m sin α恰有一个实数根，即存在α∈（0，π），使得m sin α=12，即m =12sinα，由α的范围求得12sinα的范围得答案． 解：（1）f （x ）＝|x |+|2x ﹣1|={ −3x +1，x ＜0−x +1，0≤x ＜123x −1，x ≥12， 作出函数的图象如图：由3x ﹣1＝3，得x =43，由﹣3x +1＝3，得x =−23．∴不等式f （x ）＜3的解集为（−23，43）；（2）存在α∈（0，π），使得关于x 的方程f （x ）＝m sin α恰有一个实数根， 即存在α∈（0，π），使得m sin α=12，即m =12sinα， ∵12sinα∈(12，+∞)，∴m 的取值范围是（12，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．。
山东省济南市历城第二中学2021-2022届高三上学期高考模拟数学试题及参考答案
山东省济南市历城第二中学2021-2022届高三上学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}{}lg 1,2A x x B x x =<=<，则A B =（ ） A ．(,2)-∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(1,10)2．已知复数z 满足()1i i 3z +⋅+=．则z =（ ）A ．1B ．2CD 3．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为A ．2πBC ．23π D 4．函数()sin()f x A x B ωϕ=++（0>ω，π||2ϕ<）的图象如图所示，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 22y x =-B ．2cos31y x =-C ．πsin 215y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．π1sin 25y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，椭圆C M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P 、Q 两点，则MPQ 面积的最大值为（ ）A ．23bB ．22bC 2D ．26b6．已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且27cos sin 210αα+=，则2cos 1sin 2αα=+（ ）A ．1126B ．4936 C ．14D ．1367．若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B =D ．()17|11P B A =9．d 为点(1,0)P 到直线210x y -+=的距离，则d =．A B C D 二、多选题10．有一组样本数据12,,n x x x ⋅⋅⋅，另一组样本数据12,,n y y y ⋅⋅⋅，其中2(1,2,)i i y x c i n =-=⋅⋅⋅，c 为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据平均数相同B ．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等C ．两组样本数据方差相同D ．两组样本数据极差相同11．若α∈[0，2π]，sin 3αsin43α+cos 3αcos 43α=0，则α的值是（ ）A ．6πB ．4πC ．2π D ．32π 12．已知椭圆22142x y +=的左､右焦点为12,,F F 点P 在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于12PF F △的说法正确的有（ ） A．12PF F △的周长为4+B ．当1290PF F ︒∠=时，12PF F △的边12PF =C ．当1260F PF ︒∠=时，12PF F △D ．椭圆上有且仅有6个点P ，使得12PF F △为直角三角形 三、双空题13．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm . 四、填空题 14．函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.15．已知抛物线E ：24y x = 的焦点为F ，准线为l ，l 交x 轴于点T ，A 为E 上一点，1AA 垂直于l ，垂足为1A ，1A F 交y 轴于点S ，若ST AF ，则AF = __________．16．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________. 五、解答题17．已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥. （∈）求数列{}n a 的通项公式；（∈）若数列{}n b 满足：()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式.18．某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，规定每位参赛选手共需回答3道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A 类问题：方案二：第一次A 类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A 类问题，回答错误则下一次选B 类问题.A 类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为13，能正确回答B 类问题的概率为23，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）求小明采用方案一答题，得分不低于100分的概率： （2）试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由.19．已知函数()12sin cos sin 333x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，(1)求函数()f C 的最大值，并求出此时C 的值；(2)若8f C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2b ac =，求cos B 的值．20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21．已知抛物线()2:20C y px p =>过点(1M -，，直线l 经过抛物线的焦点F 与抛物线交于A B ，两点.（1）若直线l 的方程为2y x =-，求ABO 的面积；（2）若直线OAOB ，的斜率为12k k ，，且122k k +=，求直线l 的方程. 22．已知函数21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-．(1)求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； (2)当0a =时，求()f x 的单调区间；(3)当0a >时，()f x 在区间[,]2ππ有一个零点，求a 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】 【分析】求出集合A ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}{}lg 1010A x x x x =<=<<， 所以A B =(0,2). 故选：C. 2．D 【解析】 【分析】利用复数运算法则得到12z i =-，进而求出复数z 的模长. 【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，所以z = 故选：D 3．D 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.详解：由题意可得圆锥的高h =则圆锥的体积为：()211133V Sh π==⨯⨯ 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】 【分析】根据图象求得A ，B ，ω，ϕ，从而确定函数解析式，再通过诱导公式使解析式满足π||2ϕ<． 【详解】不妨先设0A >，由图象，得： 2012A -==，2012B +==，7ππ=420041T π=-， 所以2ππT ω==，解得2ω=，则()sin(2)1f x x ϕ=++， 代入7π(,0)20，得7π7π()sin(10)1020f ϕ=++=，即107πsin()1ϕ+=-，所以7π3π2π210k ϕ+=+，Z k ∈ 即4π2π5k ϕ=+，Z k ∈， 所以4π()sin(22π)15f x x k =+++，Z k ∈， 因为4π4π()sin(22π)1=sin(2)155f x x k x =+++++ ππsin(2π)1sin(2)155x x =-++=--+， 上式中π5ϕ=-满足π||2ϕ<，所以 π()sin(2)15f x x =--+．故选：D. 5．A 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出22212MP MQ b +=，再利用基本不等式可得出MPQ 面积的最大值. 【详解】因为c e a ==a =，所以，蒙日圆的方程为2223x y b +=， 由已知条件可得MP MQ ⊥，则PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，则222212MP MQ PQ b +==，所以，2221324MPQ MP MQ S MP MQ b +=⋅≤=△，当且仅当MP MQ ==时，等号成立. 故选：A. 6．B 【解析】 【分析】 由条件可得212tan 71tan 10αα+=+，结合条件求出1tan 7α=-，将所求化为2222cos 1cos sin 2sin cos 1tan 2tan ααααααα=++++，从而可得答案. 【详解】由27cos sin 210αα+=，即222cos 2sin cos 7cos sin 10ααααα+=+即212tan 71tan 10αα+=+，所以27tan 20tan 30αα--=，即()()7tan 1tan 30αα+-= 所以1tan 7α=-或tan 3α=，由,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1tan 7α=-22222cos cos 1149121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 361497ααααααααα====++++++-故选：B 7．D 【解析】 【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数（构造新函数）图象有两个交点，由导数确定函数的性质后可得． 【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=， 因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ， 则000ln a x b x x --=，01ln ab x x +=+，设()ln af x x x=+，函数定义域是(0,)+∞， 则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点， 221()a x a f x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意； 当0a >时，0x a <<时．()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，由题意知1ln 1b a +>+，即ln b a >． 故选：D ． 8．C 【解析】 【分析】依次判断每个选项得到答案. 【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确C. ()5756131011101122P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7211|1()112P BA P B A P A ⨯===，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 9．B 【解析】 【详解】d ==选B10．BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合平均数、方差、极差、“平均距离”的计算公式，一一判断即可. 【详解】 对于选项A ，1nii xx n==∑ ，112n ni ii i y xy cnn====-∑∑，故A 错；对于选项B ，11ni i x xd n=-=∑ ，112nniii i y y x x d nn==--==∑∑，故B 正确；对于选项C ，()2211ni i x x S n=-=∑，()()222112nni i i i y y x x S nn==--==∑∑，故C 正确；对于选项D ，()()max min max min max min 22y y x c x c x x -=---=-，故D 正确. 故选：BCD. 11．CD 【解析】 【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可． 【详解】解：因为α∈[0，2π]，sin 3αsin43α+cos 3αcos 43α=cos α＝0，则α12π=或32πα=，故选：CD ． 12．AD 【解析】利用椭圆的定义结合焦距即可判断选项A ；利用1290PF F ︒∠=时，1PF x ⊥轴，点P 横坐标为P 纵坐标，即可判断选项B ；利用焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可判断选项C ；分别讨论三个内角为直角的情况，即可判断选项D. 【详解】由椭圆的方程可得：2a =，b =c =对于选项A: 12PF F △的周长为1212224PF PF F F a c ++=+=+ A 正确；对于选项B ：当1290PF F ︒∠=时，1PF x ⊥轴，令x =1y =±，所以11PF =，故选项B 不正确；当1260F PF ︒∠=时，12PF F △的面积为2tan 302b ⨯=C 不正确；当点P 位于椭圆的上下顶点时，122PF PF a ===，而122F F c ==1290F PF ︒∠=，有2个直角三角形，当112PF F F ⊥时，1290PF F ︒∠=，此时点P 位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得212PF F F ⊥时，2190PF F ︒∠=，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D 正确， 故选：AD 【点睛】结论点睛：以焦点三角形的有关结论 （1）焦点三角形的周长为定值22a c +；（2）设焦点三角形中12F PF θ∠=，则焦点三角形面积为2tan2b θ⋅，（3）当点P 为短轴端点时，θ最大. 13． 5 ()41537202n n -+-【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )； 故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=， 设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑， 则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++， 两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.14．(2,4]- 【解析】 【分析】转化原函数为2()13a f x x a +=+-+，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解【详解】函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤ 15．4 【解析】 【详解】设()11A x y ，，()111A y ，-，()10F ， 112A F y K =-， 1A F l ：()112y y x =-- 故102y S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11121ST AF y y K K x ===-13x ∴=，则114AF x =+=故答案为：4点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，设出各点坐标，按照题意表示出直线斜率，从而解出A 点坐标，继而算出答案，本题的线段关系较多，不过计算较为简单，属于中档题 16．20 【解析】 【分析】利用导函数求函数的最值即得.【详解】 ∈f ′(x )＝3x 2－3，∈当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0. ∈f (x )在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增． ∈f (x )min ＝f （1）＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∈f (0)＝－a ，f （3）＝18－a ， ∈f (0)＜f （3）．∈f (x )max ＝f （3）＝18－a ＝m ， ∈m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 故答案为：20.17．（∈）2n a n =；（∈）221n n b =- 【解析】（∈）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出.（∈）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，与原式作差再由（∈）即可求解. 【详解】（∈）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=， 所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（∈）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n n b n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式， 故221n n b =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 18．（1）727；（2）小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题知得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，进而根据二项分布的概率公式求解即可；（2）分别求解两种方案得分的概率分布列，求得分的期望，期望高的更合理. 【详解】解：（1）小明采用方案一答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题， 所以其概率为2323121733327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下： 若采用方案一，则其得分X 的可能为取值为0,50,100,150，()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213211245033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()223126210033279P X C ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，()311150327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的概率分布列为所以X 的数学期望为()42120020050501001505099279E X ++=⨯+⨯+⨯==；若采用方案二，则其得分Y 的可能为取值为0,30,50,80,100,150， 所以()2112033327P Y ==⨯⨯=，()22221212430333333279P Y ==⨯⨯+⨯⨯==，()12125033327P Y ==⨯⨯=，()12222188033333327P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()112210033327P Y ==⨯⨯=， ()111115033327P Y ==⨯⨯=. 所以Y 的概率分布列为所以Y 的数学期望为()122821145030508010015053.7272727272727E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈， 因为()()E Y E X >，所以小明选择方案二参加比赛更加合理. 19．(1)()f C 38C π=；(2)cos B =. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()234x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围以及正弦函数的有界性可求得()f C 的最大值及其对应的C 的值； （2）由已知条件结合角C 的取值范围可求得2C π=，利用正弦定理可得出关于cos B 的等式，结合角B 为锐角可求得cos B 的值. (1)解：()22212sin cos sin 2sin cos 12sin sin cos 33333333x x x x x x x x f x ⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ 234x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0C π<<，则211+44312C πππ<<，当2+432C ππ=时，即当38C π=时，()f C 取得最大值(2)解：22838436C f C C ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 136C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则256366C πππ<+<，则2362C ππ+=，可得2C π=， 因为2b ac =，则2sin sin sin cos 2B A B B π⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，即21cos cos B B -=，所以，2cos cos 10B B +-=，因为B 为锐角，则0cos 1B <<，解得cos B =20．(1)证明见解析； 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥， 因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ． 因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥. （2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=，设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--．又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=，所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG 为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =． 由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==． 又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCDBOCV SO SOA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒， 记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒． 对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．∈使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα．∈ 将∈∈两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=，由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=，根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =， 结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD -【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.21．（1）2）240x y +-= 【解析】 【分析】（1）将点代入求出p 的值，再根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出三角形的面积， （2）设直线l 方程为(2)y k x =-，根据韦达定理和斜率公式，即可求出． 【详解】解：（1）将点(1,M -代入抛物线方程，可得4p =，则抛物线方程为28y x =.设()()1122,,A B x y x y ，，联立282y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得21240x x -+=.∈1212x x +=，则12416AB x x =++=. 又点O 到直线AB.∈1162OABS== （2）由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为()2y k x =-. ()()1122,,A B x y x y ，，联立()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，可得()22224840k x k x k -++=，显然0∆>，从而212122484k x x x x k ++==，.∈()()()12121212121212122222222k x k x k x x y y k k k k k k x x x x x x x x --+⎛⎫+=+=+=-+=- ⎪⋅⎝⎭，224842224k k k k k +=-=-=，∈2k =-.∈直线l 的方程为240x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式，属于中档题． 22．(1)1y =(2)单调递增区间为(,)2ππ--，(0,)2π，单调递减区间为(2π-，0)，(2π，)π．(3)(0,22]π【解析】 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数值，即切线斜率，求出(0)1f =，即可求出切线方程； （2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间； （3）转化为22sin 2cos x x xa x +=-，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.(1)()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+，所以()00k f ='=切，又(0)1f =，所以()f x 在(0，(0))f 处的切线方程：10y -=，即1y =． (2)当0a =时，()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，所以在(,)2ππ--，(0,)2π上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(2π-，0)，(2π，)π上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 单调递增区间为(,)2ππ--，(0,)2π，单调递减区间为(2π-，0)，(2π，)π．(3)当0a >时，令()0f x =，得21sin cos 02x x x ax ++=， 所以22sin 2cos x x xa x +=-，令22sin 2cos ()x x xg x x +=-，[2x π∈，]π，222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当[2x π∈，]π时，cos 0x <，220x -+<，即()0g x '>，所以()g x 在[2π，]π上单调递增，又24()24g ππππ==--，2222()g πππ-==-， 若()f x 在区间[,]2ππ有一个零点，则242a ππ-， 故a 的取值范围(0，22]π．。
2021年高三教学质量调研数学(理工类)试题(B)
2021年高三教学质量调研数学（理工类）试题（B ）济南 二中 陈学东济南教研室 常传洪本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.共150分.测试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1． 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、函数与导数、三角函数、数列内容.2． 此卷提供给高三第一轮复习的数学基础中等的（理工类）学生选择使用.3． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.4． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在测试卷上.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，其子集，则实数的值为Ａ．７或１ Ｂ．７或－１ Ｃ．－７或－１ Ｄ．－７或１２．函数A ．1B ．2C ．3D ．43.已知A ．B ．C ．D ．4. 如果命题“”是假命题，则下列说法中正确的是的是A ．、均为真命题B ．、中至少有一个真命题C ．、均为假命题D ．、中至少有一个假命题5.下列结论中不正确的是A ．若=32B ．若 则C ．若D ．若6.在，2sin sin cos sin sin cos cos cos =⋅++⋅+⋅B A B A B A B A ,则A ．等边三角形B ．等腰非等边的锐角三角形C ．非等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形高三数学（理工类B ）试题 第1页（共8页）7．为得到函数的图像，只需将函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8.若函数在上是增函数，则的图像是A．B．C．D．9.首项为的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是A．B．C．D．10.在等比数列,，则A．B．4 C． D.511.函数对任意实数均有,那么的大小关系是A．B．C． D.12.方程的实根个数是A．3 B．2 C．1 D．0高三数学（理工类B）试题第2页（共8页）高三教学质量调研数学（理工类）试题（B）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中；作图时,可用2B铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.⒔ 函数y=sin3xcon3x 的最小正周期是 .14. .15.已知等比数列的各项均为正数,若,前三项的和为21,则有 .16.,的对边分别为,如果,则该三角形的最大内角的余弦值= .三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.⒘（本小题满分12分） 已知集合{}{}{}15,27,A x x B x x C x x a =-≤<=<<=>.(1).求;(2)如果,求实数的取值范围.高三数学（理工类B ）试题 第3页（共8页）18. （本小题满分12分）已知点在角的终边上.求：（1）的值；（2）的值.高三数学（理工类B）试题第4页（共8页）已知是第二象限角.（1）分别求的值;（2）求角x的集合.高三数学（理工类B）试题第5页（共8页）已知函数.(1)证明: 函数是奇函数;(2)若,求的值;高三数学（理工类Ｂ）试题第6页（共8页）21.（本小题满分12分）已知等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项的和.高三数学（理工类Ｂ）试题第7页（共8页）22.(本小题满分14分)设函数（其中）—2）的图像在x=2处的切线与直线平行。
山东省济南市历城第二中学2021届高考数学下学期模拟考试试题(五)
山东省济南市历城第二中学2021届高考数学下学期模拟考试试题（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}{}31,1M x x N x x =-<<=≤，则阴影部分表示的集合是 A ．[]1,1-B ．(]3,1-C ．()(),31,-∞-⋃-+∞D ．()3,1--2．已知复数21aibi i-=-，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a bi += A ．12i -+B ．1C ．5D ．53．已知()3121mx x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为8，则实数m=A ．2B ．2-C ．3-D ．34．已知函数()()()log 21a f x x a a a =-->0≠，且，则“()()3f x +∞在，”上是单调函数”是“01a <<”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[)2,2x ∈-时，()143xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=A ．32B ．33log 22- C ．12- D ．32log 23+ 6．如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若,AB mAM AC nAN ==，则m n += A ．1B ．32C ．2D ．37．现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A ．1B ．2C ．3D ．228．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是 A ．3B ．32C ．33D ．34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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山东省济南市历城二中
2021届高三年级上学期10月学情调研检测
数学试题
(解析版)
2020年10月
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合{|{2023}A x y B ===-,,,,，M A B =，则M 的子集共有（ ）
A. 3个
B. 4个
C. 7个
D. 8个 【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知条件求出集合A B M 、、，再求M 的子集即可知子集个数.
【详解】因为{}{2{||230|3A x y x x x x x ===+-≥=≤-或}1x ≥ 且{}2,0,2,3B =-，所以{}2,3M A B ==
所以M 的子集共有224=个.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.
2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足23i 1z --=，则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的几何意义可得,复数z 在复平面内对应的点Z 在以（2,3）为圆心,1为半
径的圆上,根据图像即可得答案.
【详解】设复数=z a bi +,则23=2(3)z i a b i ---+-,所
以231z i --=,即22(2)(3)1a b -+-=,则复数z 在复平面内对应的点Z 在以（2,3）为圆心,1为半径的圆上, 所以z 在复平面内对应的点在第一象限. 故选A .
【点睛】本题考查复数的几何意义,需熟练掌握复数的加减及求模运算法则,属基础题.
3. 已知向量()2,2AB =,(),1AC t =,若2AB BC ⋅=,则t =（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知条件计算BC ,再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.
【详解】解：根据题意得：()()(),12,22,1BC AC AB t t =-=-=--,
所以()()22212422AB BC t t ⋅=-+⨯-=--=,解得4t =.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的减法坐标运算,数量积的坐标运算,考查运算能力,是基础题.
4. 已知函数()f x 对任意x y R ∈,,都有()()()f x y f x f y +=,且1(1)2f =,则01
()n i f i ==∑（ ） A. 112n - B. 122n - C. 21n - D. 121n +-
【答案】D
【解析】
【分析】。