数学分析9.1定积分概念

第九章 不定积分 1 定积分概念
一、问题提出
1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形.
在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b ， 这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x i-1,x i ], i=1,2,…,n.
而直线x=x i , i=1,2,…,n-1又将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形. 在每个[x i-1,x i ]上任取一点ξi , 作以f(ξi )为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形. 当分割[a,b]的分点足够多，分割得足够细密时，可用这些小矩形的面积近似地替代相应小曲边梯形的面积. 于是，这n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值，即S ≈∑=n
1i f (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1).
当和式与某常数无限接近且与x i 和ξi 的选取无关时，则把此常数定义为曲边梯形的面积S.
2、变力所作的功：质点受变力F 的作用沿点a 移动到点b ，力与运动方向平行，则F=F(x), x ∈[a,b]为连续函数，此时在很小一段位移区间上F(x)可以近似看作一个常量，把[a,b]细分为n 个小区间[x i-1,x i ]，△x i =x i -x i-1, i=1,2,…,n. 在每个小区间上任取一点ξi ，就有
F(x)≈F(ξi ), x ∈[x i-1,x i ], i=1,2,…,n. 于是质点从x i-1位移到x i 时，力F 所
作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n
1
i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1).
对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W.
注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”.
二、定积分的定义
定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b ， 它们把[a,b]分成n 个小区间△i =[x i-1,x i ], i=1,2,…,n. 这些分点或这些闭子区间构成对[a,b]的一个分割，记为：T={x 0,x 1,…,x n }或{△0,△1,…,△n }. △i 的长度为△x i =x i -x i-1, 并记║T ║=n
i 1max ≤≤{△x i }，称为分割T 的模.
定义2：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割 T={△0,△1,…,△n }, 任取ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，并作和式∑=n
1i f (ξi )△x i ，称此
和式为函数f 在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼和.
定义3：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a,b]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ξi }, 只要║T ║<δ，就有|∑=n
1i f (ξi )△x i -J|<ε，则称
函数f 在区间[a,b]上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[a,b]上的定积分
或黎曼积分，记作：J=⎰b
a f (x)dx. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a 、
b 分别称为这个定积分的下限和上限.
注：1、可用极限符号表达定积分：J=∑=→n
1i 0
T f lim (ξi )△x i =⎰b
a f (x)dx. 2、连续函数可积：
1)连续曲线y=f(x)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为：S=⎰b
a f (x)dx. 2)连续变力F(x)作用下，质点从a 位移到
b 所作的功为：W=⎰b
a F (x)dx. 3、定积分的几何意义：对于[a,b]上的连续函数f ，当f(x)≥0时，定积分的几何意义是该曲边梯形的面积；当f(x)≤0时，定积分是x 轴下方的曲边梯形的面积，不妨称之为“负面积”，因此对一般非定号的f(x)而言，定积分J 的值是曲线y=f(x)在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。

4、定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f 和积分区间[a,b]有关，与积分变量所用的符号无关，即⎰b a f (x)dx=⎰b a f (t)dt=⎰b
a f (θ)d θ=…
例：求在区间[0,1]上，以抛物线y=x 2为曲边的曲边三角形的面积.
解：∵y=x 2
在区间[0,1]上连续，∴S=⎰1
02
x dx=∑=→n
1
i 2
i 0
T ξlim △x i . 取T={0,n 1,n 2
,…,
n 1-n ,1}，ξi =n
1
-i , i=1,2,…,n. 则║T ║=n 1，
S=n 1
n 1-i lim n
1
i 2
∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=→=∑=→n
1
i 23∞n )1-i (n 1lim =3∞n 6n
1)-1)n(2n -(n lim
→=31
.
习题
1、按定积分定义证明：⎰b
a k dx=k(b-a).
证：对任给的ε>0，对[a,b]的任一分割T ：a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b ， 属于T 的所有积分和：∑f (T)=∑=n
1i k (x i -x i-1)=k(b-a)，从而有
|∑f (T)-k(b-a)|=|k(b-a)-k(b-a)|=0<ε，按定积分定义知⎰b
a k dx=k(b-a).
2、通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{ξi }, 把定积分看作对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
(1)⎰1
03
x dx(提示：∑=n
1
i 3
i =4)1(n n 2
2+)；(2)⎰b a x e dx ；(3)⎰10x e dx ；
(4)⎰b
a
2
x dx
(0<a<b)(提示：取ξi =i 1-i x x ). 解：(1)∵y=x 3
在区间[0,1]上连续，∴S=⎰1
03
x dx =∑=→n
1
i 3
i 0
T ξlim △x i . 取T={0,n 1,n 2
,…,
n 1-n ,1}，ξi =n
1
-i , i=1,2,…,n. 则║T ║=n 1，
S=n 1
n 1-i lim n
1i 3
∞n ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑=→=∑=→n
1
i 3
4∞n )1-i (n 1lim =422∞n 4n n 1)-(n lim →=41
. (2)对[a,b]的任意一个分割T ，由微分学中值定理知： 在[x i-1,x i ]上存在ξi ’，使i
ξe '△x i =i
x e -1
-i x e ，从而有
i n
1
i ξx △e
i
∑='=)e (e 1-i i x n
1
i x -∑==e b -e a
. 对属于分割T 的所有积分和∑f (T)，都有
|∑f (T)-(e b -e a
)|=|i n 1i ξx △e i
∑=-i n 1i ξx △e i
∑='|=|i i i n
1
i ηx )△ξ-ξ(e i
'∑=|
≤i n
1
i ηx △T e i
∑==║T ║e b (b-a), 其中ηi 在ξi 与ξi ’之间.
故对任给的ε>0，取正数δ<
a)
-(b e ε
b
，对[a,b]上的任意分割T ， 当║T ║<δ时，便有|∑f (T)-(e b -e a )|< ε，∴⎰b
a x e dx=e
b -e a .
(3)利用(2)的结论：⎰b a x e dx=e b -e a . 当a=0,b=1时，S=⎰1
0x e dx=e 1-e 0=e-1. (4)对[a,b]上的任意一个分割T ：a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b ，
取ξi ’=i 1-i x x , i=1,2,…,n. 则∑='n
1i 2i
ξ1
△x i =∑=n
1i i 1-i 1-i i x x x -x =∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1i i 1-i x 1x 1=b 1a 1-. 从而对属于分割T 的所有积分和，都有：
|∑f (T)-(b 1a 1-)|=|∑=n 1i 2i ξ1△x i -∑='n 1i 2i
ξ1
△x i |=|∑='-n
1i 2i i i ηξξ△x i |
≤i n
1
i 2
i
x △T η1∑
=≤
T a 1
2
(b-a), 其中ηi 在ξi 与ξi ’之间. 故对任给的ε>0，取正数δ<a
-b εa 2
，对[a,b]上的任意分割T ，
当║T ║<δ时，便有|∑f (T)-(b
1a 1-)|< ε，∴⎰b
a x e dx=b
1a 1-.
⎰
b
a
2x
dx
(0<a<b)(提示：取ξi =i 1-i x x .。