17三角形三条角平分线的性质定理
三角平分线模型定理
三角平分线模型定理1.引言1.1 概述三角平分线模型定理是三角形中一个重要的几何定理，它涉及到三角形的平分线以及与之相关的性质。
在我们的日常生活和实际应用中，三角形是非常常见的图形，所以了解和掌握三角形的性质和定理对我们的学习和应用都有重要的意义。
本文旨在介绍三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理。
首先，我们将给出三角平分线的定义。
三角形的平分线是指从三角形的一个顶点引出的直线，将对立边分成两个相等的线段。
这个定义非常直观和容易理解，同时也是我们后续讨论的基础。
接着，我们将探讨三角平分线的性质。
首先，三角形的三条平分线的交点被称为三角形的内心，该内心与三个顶点的连线的交点分别是三角形的三条边的中点。
这一性质的直观解释是，平分线将对立边分成相等的线段，所以三条平分线的交点就是三个中点的共同点。
除此之外，我们还将研究三角平分线模型定理。
该定理是一个重要的几何定理，它给出了三角形内心与三角形的三个顶点之间的距离关系。
根据三角平分线模型定理，内心到三角形每条边的距离等于该边上相邻两边的长度之差的一半。
这一定理的应用范围广泛，在许多几何问题的解决中都起到了关键的作用。
通过对三角形平分线的概念、性质和模型定理的深入了解，我们将能够更好地理解和运用三角形的相关知识。
本文将系统地介绍这些内容，帮助读者全面掌握三角平分线的概念和定理，并为读者进一步探索几何学和应用数学提供基础知识。
下面将详细讨论三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理，以便读者对这一主题有更清晰和全面的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
引言部分：引言部分将对本文的内容进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分：正文部分将包括两个小节，分别是“三角平分线的定义和性质”和“三角平分线的模型定理”。
1. 三角平分线的定义和性质：这一小节将详细介绍三角平分线的定义和相关的性质。
三角形外角平分线定理。
三角形外角平分线定理。
三角形外角平分线定理是指一个三角形的一个外角的平分线与剩下的两个内角的垂直平分线相交于三角形的对边上同一点。
这是一个非常基本而有用的几何定理，适用于很多数学问题，例如计算三角形面积、角度大小和三角形的相似关系等。
一个三角形由三个顶点和三条边组成。
正如我们所知道的，一个三角形的内角和为180度，因此每个角度的平均值为60度。
如果我们从三个顶点出发，画出这个三角形的三个外角，那么这三个外角加起来应该等于360度，即一个圆的角度。
因此，每个外角的平均值也应该为120度，大于三角形内角的平均值。
接下来我们考虑一个特定的外角O。
根据三角形内角和为180度的规则，我们可以将该外角O分解成两个内角AOC和BOC，其中AOC和BOC是外角O所对应的两个内角。
此外，由于AOC和BOC以及O恰好处于同一平面上，我们可以想象在平面图中分别画出AOC和BOC的垂直平分线L1和L2。
现在我们来考虑这个问题的关键所在：垂直平分线的性质。
由于垂直平分线的定义是将一个角度分成两个等于该角度一半的角度，因此在我们的情况下，垂直平分线L1将AOC分成了两个等于O的一半的角度，即AOP和POB。
同样地，垂直平分线L2将BOC分成了POB和POC两个等于O的一半的角度。
现在我们来思考一下这两个角度：AOP和POC。
由于它们的和正好等于O，也就是外角，因此它们是对应角。
这意味着它们在平面上非常相似，具有相同的大小和形状。
因此，如果我们连接三角形的对边AC和BC，并沿着这条直线延伸垂线AD和BE，那么我们应该能够发现AOP 和POC分别相交于AD和BE上的同一个点P。
这个点P是三角形外角平分线定理的关键。
也就是说，如果我们在三角形的一个外角上画一条平分线，在该线上找到点P，那么连接点P和这个外角所对应的两个顶点，就能够得到两个分别相等的角度。
这个定理是非常有用的，因为它使得我们能够更好地理解三角形的特性，并且可以用于推导更复杂的几何定理。
直角三角形、垂直平分线、角平分线
图1-16DC BA 一、直角三角形勾股定理及其逆定理（1）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）勾股定理的应用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明有关线段平方关系的问题。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（4）勾股定理的逆定理的应用：判断一个三角形是否为直角三形。
（5）勾股定理的各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有a 2=c 2-b 2，b2=c 2-a 2，c 2=a 2+b 2，c=，a=。
例1、已知：△ABC 中，∠A = 60°, AB = 9cm, AC = 6cm, 则BC = .互逆命题与互逆定理（1）互逆命题：将一个命题的条件与结论互换，就得到这个命题的逆命题。
相对于逆命题来说，原来的命题叫做原命题，原命题与逆命题是互逆关系，因而是相对的，我们将原命题与逆命题称为互逆命题。
原命题正确，逆命题不一定正确，如命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”是正确的，而它的逆命题“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”是错误的。
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，所以一对互逆命题的真假性不一定一致。
（2）互逆命题定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们就说这两个定理为互逆定理。
其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”是一对互逆定理。
例2、a.命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的逆命题是 ； b.命题“矩形是正方形”是一个 命题，它的逆命题是 ， 这是一个 命题.直角三角形全等的判定定理（HL ）（1）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（2）定理的应用：判定两个直角三角形全等。
角平分线的性质定理和判定（经典）
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。
高中数学角平分线定理
高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。
角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。
角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。
我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。
下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。
角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。
同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。
因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。
角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。
因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。
根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。
这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。
因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。
除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。
假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
角平分线和线段垂直平分线的性质
角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。
5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
三角形公式大全
三角形公式大全高中数学三角函数公式比较多,而高考中涉及三角函数的计算、化简、证明等问题又都是对公式的考查，三角函数万能公式是什么呢？本文是小编整理三角函数万能公式的资料，仅供参考。
三角函数万能公式万能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)三角函数公式大全三角函数常用公式:(^表示乘方，例如^2表示平方) 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数:正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数vercosθ =1-sinθ同角三角函数间的基本关系式:·平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系:sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα ·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式:sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式:sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2](2) [三角形公式大全]初三数学重要的公式知识点总结初三是非常关键的一年，这一年我们的数学学习将会进入总复习阶段，为了迎接中考，我们要掌握的数学公式有哪些呢下面是百分网小编为大家整理的初三数学知识要点归纳，希望对大家有用!初三数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9.同位角相等,两直线平行10.内错角相等,两直线平行11.同旁内角互补,两直线平行12.两直线平行,同位角相等13.两直线平行,内错角相等14.两直线平行,同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1 直角三角形的两个锐角互余19.推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等初三数学必背知识三角形的面积=底×高÷2。
三角形三个角平分线的交点的定理
题目：三角形三个角平分线的交点的定理在数学中，三角形是一个基础且重要的图形，而三角形内部的一些点和线也有着很多有趣的性质和定理。
其中，三角形的三个角平分线的交点的定理就是其中之一。
在本文中，我们将会深入探讨这个定理，并从不同的角度进行全面的评估和分析。
1. 定理概述我们来看看三角形三个角平分线的交点的定理是什么。
这个定理指出，三角形的三个内角平分线的交点构成一个等腰三角形，并且该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。
这个定理在三角形的平面几何中有着重要的地位，也是许多相关问题的重要基础。
2. 定理证明接下来，我们将着重从证明的角度来探讨这个定理。
我们可以利用角平分线的定义和性质，结合几何作图的方法，来逐步证明三个角平分线的交点构成一个等腰三角形。
我们可以借助三角形内接角和外接角的关系，来证明该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。
通过这样的证明过程，我们不仅能够理解定理的几何意义，同时也能够加深对相关几何知识的理解和掌握。
3. 定理应用定理的应用是评价其重要性的重要标准之一。
在实际的数学问题和解题过程中，三角形三个角平分线的交点的定理也经常被运用到各种证明和推论中。
在证明三角形内部一些角度的关系时，可以利用该定理来简化证明过程，减少求解步骤。
又在圆心几何中，该定理也是解决相关问题的常用工具之一。
我们可以说，定理的应用不仅体现了其在数学理论中的地位，同时也反映了其在实际问题中的实用性。
4. 个人观点我想共享一下我对这个定理的个人观点和理解。
在我看来，这个定理不仅是一个理论性的结果，更是一种几何思维的体现。
通过对这个定理的研究和应用，我们可以培养自己的几何直觉和推理能力，从而更好地理解和解决复杂的几何问题。
定理的证明过程也展现了数学推理和逻辑推演的魅力，使我们更加深入地理解数学的美丽和深刻。
总结回顾在本文中，我们全面探讨了三角形三个角平分线的交点的定理，从定理的概述、证明、应用，到个人观点和理解，多角度地展现了这个定理的重要性和价值。
2021.06.03---期末备考：三角形的高线、中线、角平分线、内外角和等应用剖析
专题一三角形的高、中线与角平分线剖析一、三角形的高1.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。
如图，线段AD是BC边上的高。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。
3.三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
如下图所示。
图1 图2 图34.三角形的三条高的特性二、三角形的中线1.三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=12 BC.3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
重心一定在三角形内。
三、三角形的角平分线1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2.表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=12∠BAC.3.三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
1．（2020·重庆南开中学期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AC 上，且:=1:3AE EC ，连接AD ，BE 交于点F ，若=40ABC S △，则=DCEF S 四边形（ ）.A ．14B ．15C ．18D ．202．（2020·重庆南开中学）如图，ABC ∆中，点D E F 、、分别在三边上，AD BE CF 、、交于一点,G E 是AC 的中点，2,6,4GDC GEC BD CD S S ∆∆===则ABC S ∆=（ ）A ．1785B ．1985C ．40D ．423．（2020·河南宛城期末）如图在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（ ）A ．BF CF =B ．12EAD B C ∠=∠-∠ C ．C BAD ∠=∠ D ．2ABC ABF S S =△△4．（2020·江苏海州期末）如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF=12EF，AD=13FD，BE=14DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（）A．24.5 B．26 C．29.5 D．305．（2020·陕西渭滨期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC 的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝12S△ABC.其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2019·广东深圳外国语学校期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为( )A．6 B．9 C．18 D．367．（2020·江苏江阴·河塘中学月考）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝4EC，CD与AE相交于点F．若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（）A．24 B．25 C．30 D．328．（2020·长春市第四十七中学）如图，△ABC中，点D是AC边上的中点，点E是AB 边上的中点，若S∆ABC=12 ，则图中阴影部分的面积是（）A．6 B．4 C．3 D．29．（2020·江西南昌月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB 比AC长3 cm，则△ACD的周长为（）A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm10．（2020·安徽安庆期中）如图，AE 是△ABC 的中线，D 是BE 上一点，若BE =5，DE =2，则CD 的长为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．411．（2019·湖北蔡甸）如图，若ABC ∆的三条角平分线AD 、BE 、CF 交于点G ，则与EGC ∠互余的角是( )A ．CGD ∠B ．FAG ∠C ．ECG ∠D ．FBG ∠12．（2019·四川宜宾期末）在直角三角形ABC 中，=90C ∠︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，AD 、BE 相交于点F ，过点D 作DG AB ∥，过点B作BG DG ⊥交DG 于点G .下列结论：①135AFB ∠=︒；②2BDG CBE ∠=∠；③BC 平分ABG ∠；④BEC FBG ∠=∠.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2020·广东龙岗·龙岭初级中学期中）如图△ABC中，分别延长边AB、BC、CA，使得BD=AB，CE=2BC，AF=3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为________.14．（2019·四川绵阳月考）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD ＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为_____．15．（2019·山东牡丹期末）如图ABC中，AD是BC边上的中线，BE是ABC中AD 边上的中线，若ABC的面积是24，6AE ，则点B到ED的距离是___．16．（2019·广东佛山）如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝12 BC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC＝_____．17．（2020·江西全国月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，当P点在线段AD上运动时，∠E与∠B，∠ACB的数量关系为________18．（2020·江苏姜堰期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于E，若∠C=80°，∠B=40°则∠DAE的度数为______．19．（2020·江苏张家港期末）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，C G＝2B G，求△FC G的面积．20．（2020·江苏姜堰期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度数；②若∠C-∠B=20°，则∠DAE= °．21．（2020·四川达川期末）如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．（1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm．（2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm2．（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程）22．（2019·昆明市官渡区第一中学月考）（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC 两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．①若∠A＝70°，求∠BDC的度数．②∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．(直接写出答案)（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．23．（2019·江苏宜兴期中）如图①，AD 平分BAC ∠，AE ⊥BC ，∠B =450,∠C =730．（1） 求DAE ∠的度数；（2） 如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠ 的度数；（3） 如图③，若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”，其它条件不变，DAE ∠的大小是否变化，并请说明理由．24．（2020·江苏泰州市凤凰初级中学月考）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD 的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：（1）MO=MB；（2）MN=CN﹣BM．专题二三角形内角和与外角和定理剖析【技巧解析】1.三角形内角和定理（1）三角形三个内角的和180°.（2）在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第3个角的度数；（3）已知三角形中三个内角关系，可利用三角形内角和等于180°，列方程求出各内角的度数.2.三角形外角性质（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形内角和的另一个推论：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形外角和定理（1）在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. （2）三角形外角和为360°.1．（2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学月考）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C =25°，则∠E等于（）A．60°B．25°C．35°D．45°2．（2020·浙江西湖期末）如图,直线l 1∥l 2,线段AB 交l 1,l 2于D ,B 两点,过点A 作AC ⊥AB ,交直线l 1于点C ,若∠1＝15︒,则∠2＝（ ）A ．95︒B ．105︒C ．115︒D ．125︒3．（2020·辽宁丹东期末）如图，//AB CD ，90ACB ︒∠=，CE AB ⊥，垂足为E ，图中与CAB ∠互余的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2020·全国）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°5．（2020·银川月考）如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．（2020·山东芝罘期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°7．（2020·枣庄市市中区实验中学月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )A．45°B．54°C．56°D．66°8．（2020·四川省营山中学校期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )A．40°B．60°C．80°D．140°9．（2020·江苏东台月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A= 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．30°10．（2020·南通市八一中学）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB 于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°11．（2019·四川江油期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．不能确定12．（2020·全国）如图，在ABC ∆中，A ABC CB =∠∠，BD 是ABC ∆内角ABC ∠的平分线，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，CD 是ABC ∆外角ACF ∠的平分线，以下结论不正确的是（ ）A ．//AD BCB ．2ACB ADB ∠=∠C ．90ADC ABD ∠=-∠ D ．BD 平分ADC ∠13．（2020·博兴县吕艺镇中学月考）如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，∠A =100°，则∠B G C =_________°．14．（2020·辽宁中山期末）如图，AE 平分,BAC BE AE ∠⊥于,//E ED AC ，,BAC a ∠=则BED ∠的度数为________________．(用含α的式子表示)15．（2020·福建新罗期末）一副三角尺如图摆放，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，90B EDF ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45F ∠=︒，若EF ∥BC ，则CED ∠等于_________度．16．（2020·江苏张家港期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在BC 上，将△DCE 沿DE 翻折，得到△DC ′E ，若AB ∥C ′E ，DC ′平分∠ADE ，则∠A 的度数为______°．17．（2019·温州外国语学校期中）如图1，已知长方形坻带ABCD ，//AD CD ，//AD BC ．将纸带沿EF 折叠后，点B 、C 分别落在H 、G 的位置．再沿GF 折叠成图2．点A 、D 分别落在Q 、H 的位置，已知24108QHG GFH ∠=∠-︒，则∠=EFC _______．18．（2020·哈尔滨市第四十七中学期中）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，Δ4BCE S =，则CE =__________．19．（2020·江苏工业园区期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，F G⊥AE，垂足为H，F G与AB相交于点G．（1）求∠A G F的度数；（2）求∠DAE的度数．20．（2020·福建惠安期末）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF 所在的直线交于点D．（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．21．（2020·江苏邳州期中）如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝°（直接用m、n表示）．22．（2020·湖北武汉期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝∠DAE，∠A G C＝2∠CAE．求∠CAE的度数；（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠A G C＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数．23．（2019·洛阳市第五十四中学月考）如图，在ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ．（1）若60ABC ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数． （2）若70C ∠=︒，求∠BOE 的度数．（3）若ABC α∠=，()C βαβ∠=<，则DAE =∠______用含α、β的式子表示)24．（2020·北京朝阳期末）线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接P A，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．（1）若点P在线段AD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AM与DN的位置关系，并证明；（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．专题三 角平分线的性质与判定强化1.角的平分线的性质（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. （2）用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF .2.角的平分线的判定（1）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.（2）用符号语言表示角的平分线的判定若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB3.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E . （2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C . （3）画射线OC . 射线OC 即为所求.124.三角形角平分线的性质（1）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.（2）三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.1．（2020·南通市通州区平潮初级中学期中）如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，AD 平分∠BAC ，BA ：CA =2：3，AD 与BE 相交于点O ，若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1，则△ABC 的面积是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．111P 234,,PPP2．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考）如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD=ED②∠A=∠BED③∠C=∠B④AC=EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（）.A．①③B．②④C．①④D．②③3．（2020·吉林长春外国语学校月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC 的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（）A．13 B．14 C．15 D．214．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）如图所示，12∠=∠，34∠=∠，则下列结论正确的有（ ）①AD 平分BAF ∠；②AF 平分BAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分DAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2020·辽宁北镇期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD ＝，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．46．（2020·陕西商州·期末）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，F G平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠A G F的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°7．（2020·辽宁凌海期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N 中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点8．（2020·云南昭通期末）如图，OP 平分AOB ∠，PD OA ⊥于点D ，点E 是射线OB 上的一个动点，若3PD =，则PE 的最小值（ ）A ．等于3B ．大于3C ．小于3D ．无法确定9．（2019·贵州遵义）如图，已知AEF DFE EH FH ∠=∠⊥,于点H ，EG 平分AEF ∠，平移EH 恰好到GF ，连接EG ，则下列结论：①//AB CD ；②EG HF =；③EH 平分BEF FH ∠，平分EFD ∠；④90GFH ∠=︒．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2020·贵州赫章期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于12P Q的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（）A．2 B．2.4 C．3 D．411．（2020·湖北襄城期末）若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线()A．互相垂直B．互相平行C．相交或平行D．不相等12．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2019·广西玉林期末）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABOBCOCAOSSS=_____．14．（2020·山东牡丹期末）如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，8BC cm =，则DE DB +=________．15．（2020·南京外国语学校期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．16．（2019·江苏高邮期中）如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC 于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于____．17．（2019·深圳实验学校中学部期中）如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，且CBD=50°，则∠DCB的度数是_______.18．（2020·宜春市第三中学期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．19．（2020·山东日照期末）如图，点D为线段BC上的一点，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CE G=180°．（1）AD与EF平行吗，请说明理由：（2）若点H在FE的延长线上，且∠ED H=∠C，∠F=∠H，那么AD平分∠BAC吗，请说明理由．20．（2020·山东期末）如图所示，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，E G平分∠BEF，F G平分∠DFE，(1)若∠AEF＝50°，求∠EF G的度数．(2)判断E G与F G的位置关系，并说明理由．21．（2019·广东郁南期末）如图，直线AB 、CD 与MN 相交于M 、N ，∠1=105°，∠2=75°，E 、F 、O 分别在AB 、CD 、MN 上，OE OF ⊥．（1）求证：//AB CD ； （2）求34∠+∠的度数；（3）若分别在OE 、CD 上取点G 、H ，使得FO 平分CFG ∠，OE 平分AEH ∠，求证：//FG EH ．22．（2020·广西覃塘期末）如图，D ，E ，G 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，12180∠+∠=︒，3B ∠=∠．（1）请说明//DE BC 的理由；（2）若DE 平分ADC ∠，22B ∠=∠，判断CD 与EG 的位置关系，并说明理由．AB CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，23．（2019·广东中山期末）如图，已知//点P是射线EB上一点(与点E不重合)．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作N H⊥FM于点H．（1）若∠BEF=64°，求∠FN H的度数；（2）猜想∠BEF和∠FN H之间有怎样的数量关系，并加以证明．。
角平分线的性质1PPT演示课件
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
角平分线定理与中线长定理(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)
角平分线定理与中线定理【知识点讲解】1、中线长定理ABC 中, AD 是边BC 上的中线，则222212()AD BD AB AC +=+.2（AD 2+BD 2）=AB 2+AC 2 2、中线的向量计算 AD→ =12AB→ +12AC→再由两边平法可得：AD 2=14(AB 2+AC 2+AB ∙AC cos ∠BAC ) 通过此公式的计算亦可得到中线长 3、内角平分线定理AD 为△AB C 中∠BAC 的平分线，则. 4、角平分线长的计算由等面积法可知：S △ABC=S △ABD+S △ACD （设角ABD=角ACD=θ） 即：12AB ∙AC sin 2θ=12AB ∙AD sin θ+12AD ∙AC sin θ 5、解题导语利用中线长、角平分线长有时是解三角形题目的突破口，但由于高中课程中涉及少，而容易造成遗漏。
通过本课时学习，要掌握中线、角平分线的灵活运用。
【例题详析】【例1】在ABC 中，已知466AB B AC 边上的中线5BD =sin A 的值． 70【详解】设E 为BC 的中点，连接DE ，则//DE AB ，且126cos 2DE AB BED B ==∠=-． 设BE x =，在BDE 中利用余弦定理，得2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅⋅∠，DCBDAC AB =即28266523x =++． 解方程，得71,3x x ==-（舍去）．2BC ∴=．222282212cos ,3AC AB BC AB BC B AC ∴=+-⋅⋅=∴= 又30sin B =，由sin sin BC AC A B =．解方程得70sin A =【跟踪训练1】在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且10cos B =， 1cos 4ADC ∠=-，则AC 边长为A ．4B ．16C 10D 6【答案】A 【详解】1054115cos sin cos sin 884B B ADC ADB =∴=∠=-∴∠=，()15101366sin sin 4BAD D B ⎛∴∠=-=-= ⎝⎭由22sin sin BD ADBD CD A B =∴=∴= ADC ∆中，由余弦定理的4x =【例2】在ABC 中，120B =︒，2AB =A 的角平分线3AD =，则AC =（ ） A 6 B 2C 6D 2【答案】A 【详解】 解：如图， 由正弦定理sin sin AB AD ADB B=∠可得，sin sin AB BADB AD ∠=，∵120B =︒，2AB =3AD = ∵2sin ADB ∠=，得45ADB ∠=︒， ∵135ADC ∠=︒，1801204515BAD ∠=︒-︒-︒=︒， ∵30BAC ∠=︒，∵30C =︒， ∵由正弦定理sin sin AC AB B C =得，sin 6sin AB BAC C==【跟踪训练2】已知AD 是ABC ∆的角平分线，且2,3,60AC AB A ︒===，求AD 的长. 63【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理得22212cos 491272BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯=， 7BC ∴=22227cos 2237AB BC AC B AB BC +-∴===⋅⨯⨯.由角平分线的性质可得23CD AC BD AB ==， 3375BD BC ∴==， 2226337271082cos 9232525AD AB BD AB BD B ∴=+-⋅⋅=+-⨯=， 63AD ∴=（负值舍去）.【对点训练】一、填空题1．在ABC ∆中，已知7CB =，8AC =，9AB =，则AC 边上的中线长为________． 【答案】7 【详解】由条件知：2222229872cos 22983AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯, 设中线长为x ,由余弦定理知：2222cos 22AC AC x AB AB A ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭22249249493=+-⨯⨯⨯= 所以7x =.所以AC 边上的中线长为7. 故答案为:7.2．已知在ABC 中，π2,1,,3AB AC A A ∠===的角平分线交线段BC 于M ，则AM =___________. 23233【详解】由余弦定理得22π2cos 33BC AB AC AB AC =+-⋅⋅⋅= 所以222AC BC AB +=，所以π2ACB ∠=， 由于1π26MAC CAB ∠=∠=， 在直角三角形AMC 中，π23cos63AC AM AM =⇒==. 3．在ABC 中，4AB =，3AC =，5BC =，则A ∠的角平分线AD 的长为______． 122【详解】因为4,3,5AB AC BC ===,且222AB AC BC +=, 所以90BAC ︒∠=,由已知得45AB cosB BC ==, 因为AD 是A ∠的平分线,所以AB ACBD DC=, 即43BD DC=,所以435BD BD =-,解得207BD =, 在ABD △中，由余弦定理得2224002042882cos 1624497549AD AB BD AB BD B =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯= 所以122AD =4．在ABC ∆中,2,2,3A AB B π= 的角平分线3BD =则BC 的长为 ． 6 【详解】设,在中运用余弦定理得,解之得,再运用正弦定理得,即,所以,即,由此可推得,则有.在中运用余弦定理得.5．在Rt ABC 中，90,6,C b A ∠=︒=∠的角平分线长为43=a ________． 【答案】63【详解】如图所示：因为90,6,C b AC AD ∠=︒===3 所以3cos 43AC CAD AD ∠== 则30CAD ∠=， 所以260A CAD ∠=∠=， 因为tan 3a A b∠== 所以63a =6．ABC ∆ 中,45,BAC AD BC ∠=⊥ 于,2,3D BD DC ==,则AC 边上中线BE 的长等于 ． 85【详解】如图,由题意设,则,即.在中,由余弦定理得,将代入并化简可得,解之得,所以,再在中运用余弦定理可得,所以.7．在ABC 中，已知4AB =，7AC =，9BC =，则BC 边上的中线长为___________. 【答案】72【详解】在ABC 中，设BD 的中点为D ，则AD 为BC 边上的中线长ABC 中，由余弦定理得：2222cos 23AB BC AC B AB BC +-==⋅∵ABD △中，由余弦定理得：222492cos 4AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅= ∵72AD =.8．在ABC 中，9AB =，6BC =，7CA =，则BC 边上中线长度为______. 【答案】214 【详解】在ABC 中，设BD 的中点为D ，则AD 为BC 边上的中线，3BD =，ABC 中，由余弦定理得：22222296717cos 229627+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ，∵ABD △中，由余弦定理得：22222172cos 932935627=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=AD AB BD AB BD B ， ∵214AD =9．ABC ∆ 中,BC 边上的中线等于13BC ,且3,2AB AC ==,则BC =________． 【答案】32【详解】设BC 中点为D ，6BC x =，因为BC 边上的中线等于13BC ，所以2,3AD x BD CD x ===，由余弦定理知及诱导公式得，()()()()222222322323cos cos 0232232x x x x ADC ADB x xx x+-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得2x =632BC x ==3210．在ABC 中，6,7,8a b c ===，AB 边上的中线长为____________. 106【详解】如图取AB 中点M ，连接CM ，且142AM AB ， 由余弦定理得22264493611cos 211216c b a A bc +-+-===， 222112cos 491627416CM AC AM AC AC A 532， 所以1062CM. 106.11．ABC 中，2AB =，6AC =7cos 8B =，则BC 边上的中线AD 长_______.【答案】1 【详解】设()20BC x x =>，2AB c ==，6AC b ==由余弦定理得：()()222222446427cos 22888c x b x x B c x x x +-+--====⨯， 所以2x =，或14x =-（舍去）， 在ABD △中，122BD BC x ===，由余弦定理得：22272cos 44818AD c x cx B =+-=+-⨯=， 所以1AD =. 故答案为：1.12．在ABC ∆中，若()2,3A ，()2,0B -，()2,0C ，则BAC ∠的角平分线所在直线l 的方程是________ 【答案】210x y --=【详解】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，设(),0D m 由角平分线性质定理可得：AB ACBD CD= 又1695AB =+=，3AC =，2BD m =+，2CD m =-5322m m ∴=+-，解得：12m =，即1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭∴直线l 方程为：10213022x y --=--，整理为：210x y --= 13．在ABC ∆中，已知7,5AB AC ==，角平分线AD 与中线BM 交于点P .则APPD=______. 【答案】127【详解】如图4，作AN BM ，与CB 的延长线交于点N .则,AP NBNB BC PD BD==，即 1AP BC BD DC DCPD BD BD BD+===+. 又AD 为BAC ∠的平分线，故57DC AC BD AB ==. 因此，512177AP PD =+=. 14．已知(4,1)A ，(7,5)B ，(4,7)C -，则ABC 角平分线AD 的长为________． 1023【详解】解：由题可知，(4,1)A ，(7,5)B ，(4,7)C -， 则()()2247155AB =-+-，()()22441710AC =++-=， ()()22745755BC =++-=即在ABC 中，5,10,55AB AC BC ===由于222AB AC BC +=，所以ABC 是直角三角形， 90BAC ∠=， 在Rt ABC 中，5cos 55AB B BC ∠===， 25sin 55AC B BC ∠===， 由于AD 是90BAC ∠=的角平分线， 所以45BAD CAD ∠=∠=，在ABD △中，()2525232sin sin 45ADB B ∠=+∠==， 在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AB ADADB B=∠∠，31025=1023AD =102315．已知AD 为∵ABC 的角平分线，2,3,60AC AB A ==∠=︒，则AD =______. 63635【详解】在∵ABC 中，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即7BC = 由正弦定理得：sin 321sin AB A C BC ⨯==AD 为∵ABC 的角平分线知：27CD =, 在∵ACD 中，由正弦定理得sin sin 30AD CDC =， 所以sin 27321632sin 30CD C AD ⋅===16．在ABC ∆中，0120B =，2AB =A 的角平分线3AD =AC =________. 6【详解】由正弦定理可得sin sin AD AB B ADB =∠，所以sin 2sin1202sin 3AB B ADB AD ⨯∠==．在ADB ∆中45ADB ∠=︒，所以1801204515BAD ∠=︒-︒-︒=︒，所以在ABC ∆中30A =︒．又因为120B =︒，所以30A C ==︒．所以2AB BC ==所以2222cos AC AB BC AC BC B =+-⋅⋅＝12222262⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以6AC =17．在ABC 中，B 120=，AB 2=AC 6A 的角平分线AD ，则AD =______． 3【详解】ABC ∆中，120B =，2AB =6AC =∴由正弦定理可得：32sin 12sin 26AB BC AC⋅===30C ∴=，18030A B C =--=AD 为A 的角平分线15BAD ∴∠=，18045ADB B BAD ∠=-∠-∠=∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：32sin 23sin 2AB B AD ADB⋅==∠18．已知∵ABC ，3AB =3AC =AD 是BC 边上的中线，且30BAD ∠=︒，则AD 的长为__________． 【答案】3 【详解】取AB 中点E ，因为D 为BC 中点，所以11DE 3,2322AC AE AB ==== 由余弦定理得22202cos30DE AE AD AE AD =+-⋅⋅， 即222331223690,(3)0, 3.AD AD AD AD AD AD =+-⨯-+=-== 19．在ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，则中线AD 的取值范围是______． 【答案】)2,3⎡⎣【详解】由正弦定理得36b c a +==，则点A 是以B ，C 为焦点的椭圆上的一点，不妨以B ，C 所在直线为x 轴，点D 为原点建立平面直角坐标系，则椭圆方程为22198xy ，由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点距离最大为长轴的一半，最小为短轴的一半， 则可知中线AD 长的取值范围为)22,3⎡⎣．20．在∵ABC 中，已知78,cos 8BC C ==，AB 边上的中线34CD =sin B 的值为_______． 10【详解】如图，D 为AB 中点，设BC a =，AC b =，=AB c ，CD m =，根据余弦定理2222cos c m b CDA mc⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠=， 2222cos c m a CDB mc⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠=， 又cos cos 0CDA CDB ∠+∠= ，所以222222c m a b =+- ①，根据题意，34,8m a == ，222cos 728a b c C ab +-== ②，所以联立①②解得4b = ，6c =， 由7cos 8C = 得15sin C =， 又根据正弦定理：sin sin B Cb c= ， 所以sin 10B =． 21．已知ABC ∆中，2,1,AC BC ==且AB 边上中线2CD =AB =___________． 2 【详解】()()2211,24CD CA CB CD CA CB =+∴=+()22124CA CBCA CB =++⋅，()124124CA CB =++⋅，可得32CA CB ⋅=，()22AB CB CA =-223241222CA CB CA CB =+-⋅=+-⨯=，2AB =AB 2，2.二、双空题22．在ABC 中，6A π=，A 的角平分线BD 交BC 于点D ，若2AB =6AC =则，BC =_______，AD =_______．【答案】 2 3【详解】在ABC 中，由余弦定理，22232cos 262262BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=， 所以2BC =所以ABC 为等腰三角形，120B ︒∠=，30A C ︒==， 在ADC 中，15135ADC B ︒︒∠=∠+=， 由正弦定理，sin sin AD ACC ADC=∠， 即6sin 30AD ︒=，解得3AD = 2323．已知AD 是ABC 的角平分线，3cos 4BAC ∠=，5AB =，2AC =，则BC =_________，AD =________. 【答案】 14 5145147【详解】解：因为22232cos 254252144BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以14BC =因为AD 是ABC 的角平分线，所以BAD CAD ∠=∠，则23cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，则0,2BAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2sin sin BAD CAD ∠=∠=所以7sin BAC ∠=， 又ABCABDACDSSS=+，即1712125252222AD AD ⨯⨯=⨯⨯ 解得514AD =1451424．已知ABC 中，2545,10,cos B AC C ︒===则BC =______．若AB 的中点为D ，则中线CD = ______．【答案】 32 13【详解】 因为25cos C =所以25sin 1cos C C =-=， 所以()310sin sin sin cos cos sin A B C B C B C ===++ 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC ACA B=， 所以sin 32sin =⋅=ACBC A B由余弦定理得：222co 2s =+-⋅⋅AB A B A CB C C C C25101810324=+-= 所以2AB =， 所以1BD =.在DBC △中，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅⋅2118213213=+-⨯⨯=， 所以13CD =故答案为：①321325．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________. 【答案】 2 113【详解】1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：21sin 22sin 5AB ABCADB AD⋅∠∠===. 2sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠， 可得：2225121BD BD =+-⨯⨯22240BD BD -=， ∴解得：42BD =32-282BC BD ∴==∴由余弦定理可得：222cos AC AB BC AB BC ABC +-⋅⋅∠2112821821132=+-⨯⨯⨯= 故答案为：210113。
角平分线的三个定理
角平分线的三个定理
第一性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
第一性质定理逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
定理：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边，对应成比例。
角平分线就是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
性质：
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）
2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1。
三角形中的角平分线问题解法
三角形中的角平分线问题解法三角形是几何学中的重要概念，其中角平分线问题是解题中经常遇到的一类问题。
本文将介绍三角形中的角平分线问题以及其解法。
一、问题描述在三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线经过三角形内部的一点，称为角平分线的内心。
现在，我们来解决如下问题：如何找到三角形的角平分线及其内心。
二、解法一：角平分线的性质在解决问题之前，我们先来了解一下角平分线的性质。
在任意三角形ABC中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么AD与BC的交点E 将BC平分成两个相等的线段。
同时，BD/DC=AB/AC（即角平分线将对边按比例分割）。
基于上述性质，我们可以用以下步骤得到角平分线及其内心：1.画出三角形ABC。
2.画出角BAC的角平分线AD。
3.延长AD与BC交于点E，连接AE。
4.利用角平分线的性质，得到BD/DC=AB/AC。
5.将角平分线按比例分割BC，即可得到角平分线的内心。
三、解法二：角平分线的几何构造上述解法通过角平分线的性质找到了角平分线及内心，但有时候，我们可能需要通过几何构造来找到角平分线。
我们来介绍解法二。
1.画出三角形ABC。
2.以点A为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点D。
3.以点B为圆心，以BA为半径画弧，交AC于点E。
4.连接DE。
5.延长DE至AB（交于F），连接FC。
6.连接AF，交BC于点G。
7.则CG即为角BAC的角平分线，点G即为角平分线的内心。
四、解法三：角平分线的角度计算除了通过角平分线的性质和几何构造找到角平分线，我们还可以通过角度计算的方式来解决问题。
下面是解法三：1.已知三角形ABC的三边长a、b、c。
2.根据余弦定理计算∠BAC的角度A：cos(A) = (b²+c²-a²)/(2bc)。
3.计算出∠BAC的角度A后，将其除以2即可得到角平分线的角度。
通过上述解法，我们可以找到三角形中的角平分线及其内心，解决相关问题。
人教版初二数学上册：角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ）， ∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论. 【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ． 在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DPF ≌△EPF ， ∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
数学角平分线的性质定理及其逆定理
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且DE=DF,求DE的长。
D O
′
求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P 的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.
E B
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, 且PD=PE O ∴点P在∠AOB的平分线上
A
C C′
B
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
O B
A
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为
半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C 3.作射线OC.
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
做一做
1
三角形内角的角平 分线
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
三角形三边平分线的交点定理
三角形三边平分线的交点定理1. 介绍三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，称为三边。
在三角形中，我们可以找到一些特殊的线段，如高线、中线、角平分线等。
本文将重点介绍三角形的一个重要定理——三角形三边平分线的交点定理。
2. 三角形三边平分线在三角形ABC中，我们可以通过任意一点P将三角形的三边分成两个部分，即AP、BP和CP。
如果这三条线段满足以下条件，则称P为三角形ABC的三边平分线的交点： - AP/AB = BP/BC = CP/CA3. 三角形三边平分线的交点定理三角形三边平分线的交点定理指出：三角形的三边平分线的交点是三角形的内心。
3.1 内心的定义三角形的内心是指三角形内部到三边距离之和最小的点。
在三角形ABC中，设内心为I，则IA、IB和IC分别是三角形ABC的三边平分线。
3.2 证明为了证明三角形的三边平分线的交点是三角形的内心，我们需要使用一些几何知识和性质。
3.2.1 角平分线的性质在三角形ABC中，角BAC的平分线交BC于点D，则有AD/DC = AB/BC = AC/BC。
3.2.2 三角形内角和对于任意三角形ABC，有角A + 角B + 角C = 180°。
3.2.3 角平分线的性质的推论根据角平分线的性质，我们可以得出以下推论： - AD/DC = AB/BC = AC/BC -BD/DA = BC/AC = BA/AC - CD/DB = CA/AB = CB/AB3.2.4 证明过程在三角形ABC中，设内心为I。
根据角平分线的性质，我们可以得出以下等式： - AI/IB = AC/BC - BI/IC = BA/AC - CI/IA = CB/AB根据三角形内角和的性质，我们知道角A + 角B + 角C = 180°。
由于角A/2 +角B/2 + 角C/2 = 90°，所以角A/2、角B/2和角C/2是一个锐角三角形的三个内角。
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课题：三角形三条角平分线的性质定理
课型：新授课时间：9. 第17课时主备课：姜转枝审核人：姜转枝学习目标
1.能够证明三角形三个角的平分线交于一点
2.综合运用角平分线定理解决问题
学习内容
课本37至39页内容
学法指导：自主学习，合作交流。
学习过程：自学课本37——39页，回答下列问题。
1.三角形的三条角平分线相交于，并且这一点到三条边的距离。
这一点叫做三角形的。
知识运用
二．2．在R t△ABC中，∠C=900，∠ABC的平分线AD交BC于点D，CD=2,则点D 到AB的距离是。
3.如图，∠C=900，∠B=300,AD是R t△ABC的角平分线，求证：BD=2CD
5、已知如图所示，P是∠AOB平分线上一点，P C⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是才，
D.求证：⑴OC=OD ⑵OP是CD的垂直平分线
C、
能力提升
6、已知R t△ABC的直角边长分别是3,4。
则它的内心到各边的距离均为
7、已知等腰R t△ABC的斜边为c，则它的内心到各边的距离之和为。
8、已知△ABC中，∠C=900，角平分线AD分对边BD:CD=3:2,,且BC=20cm,则点
D到AB的距离是cm
9、如图所示，直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有处。
10、如图所示，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE,AD=AC,求证，DC∥AE
11、如图已知在△ABC中，∠C=900，点D是斜边AB的中点，AB=2BC,DE⊥AB
交AC于E,求证：BE平分∠ABC。
总结与反思：。