射影几何入门(李建华著)思维导图
几何中的射影与相似比
射影变换与几何变换的关系
射影变换：通过投影产生的几何变换，不改变图形间的相对位置和大小关系
几何变换：图形在空间中的刚性变换，包括平移、旋转和缩放等
关系：射影变换是几何变换的一种特殊形式，是保持图形间相对关系不变的一种变换
Part Two
射影几何中的相似 比
相似比的定义
相似比是两个相似图形对应边的长度之比 相似比是两个相似图形对应角大小的比值 相似比是两个相似图形对应角平分线长度的比值 相似比是两个相似图形对应高线长度的比值
Part Four
射影几何中的交比
交比的定义
交比是射影几何中 的一个基本概念， 用于描述两条直线 上四个点的相对位 置关系。
交比的定义基于交 叉比的符号，表示 为四个点的顺序排 列。
交比的性质包括交 换律、结合律和分 配律等，这些性质 在射影几何中有着 广泛的应用。
交比的概念在射影 几何中非常重要， 是研究几何图形和 空间结构的基础。
相似比的应用
确定物体间的比 例关系，用于测 量和计算。
在建筑设计中的 应用，通过相似 比可以设计出符 合比例要求的建 筑。
在摄影中，利用 相似比可以调整 焦距和拍摄角度， 获得更好的拍摄 效果。
在物理学中，利 用相似比可以模 拟实验，研究物 理现象的规律。
Part Three
射影几何中的投影
投影的定义
透视的性质
透视变换：通过透视变换将三维物体投影到二维平面上 灭点：透视变换中，平行线在无穷远处汇聚到一点，称为灭点 透视比：物体在透视变换中的大小比例关系 透视失真：由于透视变换导致的物体形状失真现象
透视的应用
建筑学：用于设计和构图，使建筑物看起来更加立体和真实 绘画艺术：通过透视技巧，使画面呈现出深度和立体感，增强视觉效果 游戏开发：在3D游戏中，利用透视技术创建逼真的场景和角色，提高游戏体验 虚拟现实：通过模拟透视效果，增强虚拟环境的真实感，提高沉浸式体验
SS射影平面.ppt
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为
的连线,记做AB. AB BA.
若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合
称为平面.此平面称为P和l的连面,记作Pl或者lP.
四
即: 平面Pl lP PL | L在集合l上
条
公
I'.两个不同平面 , 恰好在一条直线上,此直线称为 理
二者的交线,记为 .
E.一条直线上至少有三个不同的点.
E'.一条直线上至少有三个不同的平面.
约定：大写的英文字母如A，B，C表示点.小写的英文
字母如a，b，c表示线.希腊字母如，， 表示平面.
定理1:射影空间中至少有一条直线,三个点和三个平面.
定理2:如果A, B,C不在同一条直线上,则它们是互不 同的,AB, BC,CA,并且都在平面A(BC)上,且A(BC) ( AB)C.
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来. 完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
注:对平面，性质I'是有例外的。
射影平面：设 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在 中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， 四
I'两个不同的线恰好在一个点上,
条
E每一条直线上至少有三个不同的点, 公
E '在每一个点上至少有三条直线.
几何图形初步(1)
锐角之间的大小关系
能度量两点间的距离
角相等的性质
6.理解角的概念，能比较 角的大小
本章课标要求
4~6学段
4.能用量角器量指定角的 度数，能画指定度数的角， 会用三角尺画30 °,45 °,60 °,90 °的角
5.能辨认从不同方向（前 面、侧面、上面）看到的 物体的形状图 6.通过观察、操作，认识 长方体、正方体、圆柱和 圆锥，认识长方体、正方 体和圆柱的展开图
这样的点有多少个？ 你能从运动的观点描述这些点吗？
教学建议
线:直线、射线、线段（关注抽象过程） 1、概念：注意与生活中概念之间的联系与差异 （直线、射线、上、距离） 2、数学语言与图形语言的互化---关注作图技能与语言表达 3、两个基本事实：两点确定一条直线（射线、线段）是确定 位置的---是作图的主要依据---直线的符号表达 两点之间线段最短是比较数量的大小---求最小值 4、补充延长线的概念(书后129页习题4.2第2题） 5、点与直线、射线、线段的位置关系 6、直线、射线、线段间的位置关系 7、尺规作图（补充等量代换）
。。。。。。。
平面上点的位置
平面直角坐标系---结合小学内容在方格纸上用数对表示位置 （限于正整数）
方位角---利用角度与距离
特殊位置 特殊性质
1、直线上点的位置---任意两个点表示直线
射线----起点的
线段----起点与终点位置特殊---对应表示
2、特殊性质
解线段的和、差，以及线 算，并会计算角
段中点的意义
的和、差
2.体会两点间所有连线中 线段最短，知道两点间的 距离
3.掌握基本事实：两点确 8.理解余角、补
定一条直线
角等概念探索并
4.掌握基本事实：两点之 掌握同角（等角）
21 射影直线和射影平面精品PPT课件
同一直线上点的集合
(1)' 线束 平面上过同一点的直线的集合
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
底
元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
线束中心
元素
2、二维基本形 (2) 点场
同一平面上点的集合
(2)' 线场 同一平面上直线的集合
π称为点场的底， 其上的点称为元素.
直线l与l分别交三直线于A, B,C与A, B,C，
并使 OA OB 且 OA OB ， 于是， ( ABC) AC OA ，
BC OB ( ABC) AC OA ，
BC OB 所以， ( ABC) 1， ( ABC) 1
即， ( ABC) ( ABC)
A
A a
O
CB l
C
B l
b c
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P,
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
添加无穷远直线后的平面称为仿射平面; 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面 称为射影平面（拓广平面）
SS射影平面
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为 的连线,记做AB.⇒ AB = BA. 若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合 称为平面.此平面称为P和l的连面, 记作Pl或者lP.
即 : 平面Pl = lP = U{ PL | L在集合l上}
四 条 公 理
I' .两个不同平面α , β 恰好在一条直线上,此直线称为 二者的交线,记为α β . ⇒ α β = β α
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 不能得出矛盾个的结论
独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来.
完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
线把中的直线称作‘点’ 面把中的平面叫作‘直线’
•
线把
•
面把
用不过O点的平面π 去截把
如பைடு நூலகம்我们不考虑把中和π 平行的直线和平面，那 么π 和线把中的‘点'截出真正的点，和面把中的 ‘直线’截出真正的直线.
把(平面)中的点和线有下面四条性质.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上, E每一条直线上至少有三个不同的点, E ' 在每一个点上至少有三条直线.
注:对平面，性质I是有例外的。
'
射影平面：设π 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在
π中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则π 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上,
射影几何入门
本书介绍了射影几何的基本概念，包括点、直线、平面等基本元素，以及射 影变换、对合等基本运算。这些基本概念是射影几何的基础，对于后续的学习和 理解至关重要。
本书详细阐述了射影几何的基本定理，包括帕斯卡定理、布列安桑定理等。 这些定理是射影几何的核心，它们揭示了射影几何中各种元素之间的关系和性质。 通过学习和理解这些定理，读者可以深入了解射影几何的原理和方法。
《射影几何入门》这本书的目录结构清晰、完整，由浅入深地引导读者逐步 进入射影几何的世界。通过本书的学习，读者不仅可以掌握射影几何的基本理论 知识和方法，还能提高数学思维和解决问题的能力。
作者简介
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这是《射影几何入门》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
感谢观看
本书还介绍了投影变换的概念和方法，包括中心投影、平行投影等。这些变 换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到 二维平面上，从而方便我们分析和研究。
本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这 些性质是射影几何中的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。
内容摘要
这些变换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到二维平面 上，从而方便我们分析和研究。 本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这些性质是射影几何中 的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。 《射影几何入门》这本书是一本很好的入门书籍，它可以帮助读者了解和掌握射影几何的基本原 理和方法。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影几何的基础知识，为进一步的学习和研究打 下坚实的基础。
《射影几何入门》是一本非常优秀的教材，它不仅介绍了射影几何的基础知 识，还提供了许多有趣的例子和难题。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影 几何的本质和应用，提高自己的数学素养和能力。
初中数学知识体系，7张图教你全局思考模式！
初中数学知识体系，7张图教你全局思考模式！用正确的思维模式去梳理解决问题好多同学一面对数学知识就头疼，不能全面清晰地去分析解决问题，那是因为你没有用正确的思维方法去分析解决这个问题。
初中数学的学习，最重要的就是建立自己的知识体系，学会全局思考的思维模式！下面这些数学知识点的思维导图，将初中重要的知识点都整理出来了，相信一定能帮助同学们们提升数学成绩！我们一起来看看吧！1、全等三角形思维导图经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
2、相似三角形思维导图三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形3、几何初步和三角形思维导图4、投影与视图思维导图5、圆思维导图在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
6、实数思维导图7、代数式思维导图这样用全局思维模式梳理出所学内容重点，然后逐一掌握学习，是不是看起来很容易，思路瞬间清晰起来！同学们在学习过程中一定要养成正确学习的好习惯，善于发现思考！下面这十条小建议希望能在你的学习过程中起到帮助。
【Tip】1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。
2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。
3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。
4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。
6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。
7、数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。
8、数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。
9、数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。
10.数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。
射影几何的故事PPT课件
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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
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这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
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如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
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地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
第三章一维射影几何学
k 3 k1 k 4 k 2 k 4 k1 k 3 k 2
O
tg Q 2 tg Q 2
A x
ab, cd
tg Q 3 tg Q 1 tg Q 4 tg Q 4 tg Q 1 tg Q 3
2
2
5 8
作业：
P5 4
1，4，5，6
§3.3线束的交比
设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐 标依次表示为 a , b , c a 1b , d a 2 b （a,b既代表直线，又代表它 们的坐标向量）
设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：
AC BD
交比可由简比求得
AD BD
ABC ABD
定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：
a , b , a 1b , a 2 b
则
AB CD
1 2
定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+ i q i 1, 2, 3, 4
s in a c s in
bd
例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。 证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.
a b , cd
sin a c sin sin a d
sin Q 3 sin Q 1 c o s Q 3 c o s Q1
sin Q 4 sin Q 2 cos Q 4 cos Q 2
射影几何入门
(一) 1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918. 空间中的所有点 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应基本形之间的关系 2523. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 4960. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 6379. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193. 退化情况 7294. 对偶律 72(六) 极点和极线 7595. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79 103. 射影相关的极点与极线80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82 (七) 圆锥曲线的度量性质83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83 109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84 111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85 113. 关于渐近线的定理 85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Steiner的作图方法101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107 (九) 对合的度量性质 109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109 143. 二重点的存在 110 144. 二重射线的存在 112 145. 通过圆来构筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118 155. 抛物线的情况 119 156. 抛物面反射镜 119 157. 准线．主轴．顶点 119158. 圆锥线的另一种定义120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121 (十) 综合射影几何的历史123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163. Desargues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳127169. Desargues时代的保守性127170. Desargues的写作风格128171. Desargues工作缺乏欣赏129172. Pascal与他的定理 129 173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130 175. De La Hire和他的工作131176. Descartes和他的影响132177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133 179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作 136 183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作137185. Von Staudt和他的工作138186. 近期的发展 139附录 140参考文献148索引 151第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。
射影几何
前面的中学几何路线图里，专门为仿射几何留了一个方框，但是没有用彩色填满，意思是说它相当有用，但不必知道太多.它的后方的方框，更是附带地画了两笔：射影几何，更是意味着略知一二即可.现在需要说明一下，为什么要写这一部分.它明显地属于“超纲”之列，所以不是为学生写的.学生不学，自然不会教，老师也就不必去管.问题就出在这里.过去我们习惯的做法是：上头想到按照某种“理念”，或者别的什么，规定了应该教什么，应该怎样教，应该怎样不让学生负担过重，高考成绩总要大家看得过去.就是有一点是不在考虑之列，那就是数学在怎样发展，社会对于学生，特别是对于中学生的数学水平，有什么新要求.中学的任务不仅是打开“大学之门”，而是打开“科学之门”.如果说打开“科学之门”是大学的任务，那么，中学的任务是什么呢？所以，必定引起一个怀疑：这样的说法对吗？正因为如此，我的出发点就是老师知道的必须要远远多于他实际上教给学生的.下面的一切是为了帮助老师知道一些──我认为──老师应该知道的.什么是仿射空间？什么是仿射几何？我们在前面已经指出，向量空间并不是研究几何学的合适的空间.因为其中只有向量而没有点.准确地说，只有一个特定的点：坐标原点，而所有向量都画成从这个特定的点出发的有向线段. 因为何谓有向线段并无定义，所以这里我们有点滥用词语：我们暂时规定有向线段就是具有大小，方向和起点的线段，这样来和没有起点的向量区别开来（这纯粹是我的主观的讲法，别人可能有更好的讲法）.究竟用哪个特定的点作为原点，在解决具体几何问题的实践中，这是充满玄机的事情，但是从几何学作为一门科学来说，又不应该赋予任何特殊的点以这样的特权.从物理学来看，何以要这样说就更加清楚了.例如我们研究质点的运动时，总要指定一个参考系.参考系由原点和一副框架──常用的框架是3个互相正交的单位长向量（或表示，或者用黑体字表示，本文也不求一致）──但是质点运动的规律应该与参考系的选择无关（这个说法不准确，我们也不多说了），所以不应该有哪个点有特权.下面回到正题，我们限于讨论通常的三维空间.仿射空间里包含了两类元素：点，就是通常的点，其集合记为（其实，在我们讨论的范围内就是（为什么要用另一个记号理由见下文）以及三维向量，它们构成通常的三维线性空间.这些向量我们记作或者黑体字母，本文不求统一，想来不会引起误会）.向量之间的关系前面讲线性空间是已经讲明白了，那么，点与点的关系，点与向量的关系是什么呢？它们可以通过平行移动（即平移）来建立“亲密”的关系.最早是欧拉研究了这种亲密关系的几何问题，所以欧拉称之为“亲密（affinis，德文，亲密）几何”后来就转化为affine几何，中文就译为仿射几何，而完全看不出欧拉的原意了.这种关系可以列成三点如下；1.对于任意点必可找到唯一的向量，使得在这个向量所表示的平移下，可以变成任意指定的点记作(1) 这样我们会得到一个有向线段：有起点，以及一个向量，从而有终点，我们记此有向线段为或2.零平移下有向线段的起点与终点重合：(2)3.若经过平移变成了再经平移变成则将经过平移变成就是说(3)图 30 仿射空间里的点与向量的关系以上三点是定义仿射空间的公理，正如前面定义线性空间是也是应用几条公理一样.公理是无需（也无法）证明的，但是公理需要说明，这样才能懂得它究竟想解决什么问题.所以我们来进一步说明这三条公理的直觉基础.先看第一条，前面在讲向量时，我们是从线段──它同时具有3个要素：起点，大小和方向.从其中抹去起点，就得到仅有大小和方向的向量.现在要反过来，把一个向量连接到点（起点）上就会先得到一个终点，从而也就得到一个有向线段（或记为）.第二点没有太多可说.至于第三点，这是一个极重要的定理，常称为沙尔定理.如果应用上面线段的记号，它可以写为所以第三点可以说是指出了向量间的加法对应于有向线段的“首尾相连”，而且仍用向量的加法记号“”来表示.这里有一点容易被忽略的地方：通常的教材里讲到向量加法的图形都用平行四边形法则来表示，但是平行四边形的两个相邻的边只是“同首而不同尾”，所以不能首尾相连.但是有向线段的关系式（）却是“首尾相连”的关系式，也就是我们通常说的三角形法则.可见从把一个向量连接到一个点以后，平行四边形法则，就应该代以三角形法则；从有向线段抹去起点后则相反，三角形法则就应该代以平行四边形法则.但是，在我们的教材中这两个概念总是混起来用的.这虽然不是什么了不起的事情，但是仍以弄清楚为好.上面我们引入了一个记号“”，使我们想到加法.但是在点与向量的关系上，它不是加法，因为只有同类的对象可以相加，而点和向量却是不同类的对象.在有向线段的情况下，则是首尾相连.总之，在目前它只是一个形式记号，但是我们马上会看见，这种形式上的类同，会给我们带来极大的方便.不过，不弄清楚可能会出麻烦.现在我们的问题是怎样把关于仿射空间的一套理论代数化，使得不但看得清，而且也算得明.向量用坐标来代数化，已经很明白了.表示一个点需要坐标，有了坐标才能计算.但是没有原点和一组坐标轴，就不能定义坐标.坐标轴的问题需要特别注意.因为我们要讨论平移，在我们现有的能力范围内，这个平移总是被分解在三个互相正交的坐标轴上.因此下面我们总是假设取一个任意点为原点，但总是取固定的三个互相正交的坐标轴.现在我们来讨论某一点的坐标表示：取一个任意点为原点，并且习惯地记它为，其坐标自然是，的坐标是于是，我们一方面有了一个点，而是的坐标；另一方面我们又有了一个向量这样就有了一个点和一个向量的对应关系，而且很显然，这种对应是一一对应.向量称为点的位置向量.有了位置向量的概念，上面的形式记号就几乎可以完全地变成了代数计算的对象.下面，我们既认为等代表点，也认为它们代表相应的位置向量；既是一个点的坐标，也是与此点相应的位置向量的分量.当然，这里有一个事先确定了的原点，因此，所有得到的结果都隐含了一个问题：它们究竟是一个几何对象的几何性质，还是仅仅反映了特定原点的选择，而不是这个几何对象的真正的内在的几何性质.这就是我们在第二部分里面引用过的斯科特关于笛卡儿的《几何学》一书的意义时讲到过的：必须要除去（由于坐标选择的）随意性而带来的（某坐标系的）称霸这句话的含义.例如在原点的第一种选择下设的坐标是，如果以为新的原点，则的坐标将是.所以通过位置向量而赋予一点的坐标不只反映了该点的位置，也反映了原点的位置.现在可以明白了，何以前面讲到点的集合时，说它几乎就是：中有一个特定的原点，它由于坐标选择的而称霸.而中则没有这种霸道的原点.这是一个非常本质的区别.于是，仿射空间由三个要素构成：1.点的集合；2.向量的集合；3.这些向量以平移的方式把点连接起来.但是，仿射空间基本仍然是作为点的集合出现的，所以，我们时常就用来记这个仿射空间；而说这三个要素给赋以仿射结构（仿射构造）.以平移方式把起点与终点连接起来的向量则不同.因为按照上面的，把改成原点，再适当改写，即得（4）因此的三个分量（或称坐标）就是的位置向量的分量（或称坐标）之差：（5）这里的符号意义自明.由此容易看到，如果换用另一个原点，则虽然两点的坐标会改变，它们的坐标差则不会改变.所以向量和点不同，它是与原点的选取方式无关的.这说明仿射空间中的两类对象，点与向量，确实是本质不同的.至今我们就可以把前面说到的仿射空间的基本性质完全变成代数的运算了.先看（1）式.把点看成其位置向量，把线性空间里的向量加法换成“首尾相连”.则（1）可以写成（）而且认为此式定义了点的减法.如果用点或者向量的坐标来表示，则是这个定义的本质是用位置向量来代替点，即使用（）式，而且上面说了，这样得到的结果与原点的选择无关，所以这个定义是合理的；减法这种说法只是一种用语上的方便，但是确实是很大的方便.因为自然会问，能不能仿此定义点的加法呢？不妨试一试.取一个原点，并用位置向量来代替点，用向量加法的平行四边形法则求出对角线，它是点的位置向量.那么，能不能用作为点之和呢？即定义？关键在于如果换一个原点，仍然能得到吗？不行，因为我们一方面有，另一方面，由首尾相连法则有（）这里多出了一个！可见点的加法是不能这样定义的.这样定义出来的东西没有几何意义！然而，有一个非常重要的几何问题又逼着我们这样来定义一个非常重要的几何实体，这就是有向线段的定比分点.设有一个有向线段（图31上把它画在一条有向直线上，并在上标明了其方向）.再取其上一点，则因与有相同或相反方向，所以一定存在一个实数使得.这个就称为分割的定比.如果与有相同方向则图 31定比分点而在方向相反时，则图25的三种情况分别是注意当与重合时，而当与重合时我们现在的任务是把用和表示出来.为此我们任意地选取原点，并且把各点用相应的位置向量标示出来.于是，如果换一个原点，本来也会得到上式，但是我们还是仿照前面说明点的“加法”与坐标原点选择有关的方法再来证明定比分点公式与原点选择无关.于是我们有比较第二项与最后一项，消去，即得（7）与（6）式比较，那里多了一个，使得结果与坐标有关.现在则因有两个系数，其和为1：所以不会多出不需要的.可见，系数和为1是一个重要的情况.既然所得的结果和点的减法相似，我们也就可以把（7）写成（8）并且称之为定比分点的公式，其意义自然应该从位置向量来理解.（8）式是一个非常重要的公式.前面我们讲到平面旋转时，曾经说旋转概念是数学里的一个交通枢纽.实际上，定比分点也与一个交通枢纽(可能不那么大)点系的平均位置相联系，可惜在目前的高中教材里，多数情况下只讲了（即中点）的情况.更使人感到遗憾的是只限于的情况，只限于内分点，即图31的第一种情况.而在另外两种情况，即外分点的情况都略去不提.总之，我们可以通过某个参数的符号来确定各种不同的情况.现在我们的教材似乎一概忽略的这个情况，这对于学生是很不利的：稍微花一点力气，今后就会得到很大的回报，这种事情何乐不为！有了中点公式以后，自然要讲到重心定理的证明.这就更加接近我们说的交通枢纽了.什么是重心？下面我们会看到，重心可以说是一些质点的“平均”位置，而“平均”可是一个非常重要的概念.现在的许多教材(特别是教辅材料)多是利用例如中位线以及相似三角形来证明重心定理的.有一些刊物上也讲到其向量证法，可惜很少有真正抓住“平均”这个本质的思想的.很可能这是因为在八年级就要讲重心的缘故.但是，无论如何，重心从几何角度来看是一个仿射性质，所以应该尽可能地使用仿射几何的概念与方法.但是，从历史来看，重心问题的研究始自阿基米德，他是把重心作为一些质点的“平均”位置来看的.大家知道，阿基米德的名言是：给我一个支点，我能把地球举起来.这是讲的杠杆原理，而重心问题用杠杆来说明最为简便.所谓杠杆原理，也可以解释为：杠杆的支点就是其两端两个重物的平均位置.抓住了支点，也就抓住了整个杠杆.三角形的重心的求法归功于阿基米德，我没有能够找到他的原来的解法.他的原著到1906年才被发现，是写在一本羊皮书上的，人称“阿基米德羊皮书”.我想到网上去浏览一下原书，可惜没有成功，只是知道了阿基米德在这里用的也是“平均”位置的概念.所以我也试着从力学角度来看一看重心是什么意义，以便弄清上面的（8）式在力学上说明什么.总之，下面的讨论都是从两个方面来进行的，即几何的讨论和力学的讨论并行，并且随时注意二者的比较和关联.于是先看一维的秤杆(即图31的直线的一段)，在秤钩上吊一个重量为的重物，设秤砣重量为，挂在点，如果记整个秤的支点为(就是说把秤在处吊起来，秤就可以平衡)，那么在什么位置？从杠杆的原理看来，应有但是如果把重物和秤砣的重量放大相同倍数，平衡状况不会改变，所以我们不妨用遍除上式双方，并记由此立即得到（9）这就是说，杠杆的支点其实是的“加权平均”，而重物的重量决定了分别所占的权重：（10）但是作为定比分点的公式(8)其实就是（9）式，所以也可以说，定比分点也是线段两端点的图 32三角形的重心(力学模型)一个“加权平均”：，其权重现在是线段长度(带符号)之比：（11）不过我们现在略去了箭头.现在来看三角形的重心问题.我们也是先从力学角度来审视它.看看它为什么也可以看作其顶点处的三个质点的加权平均位置.把这个三角形平放着`如图32所示.在三个角上各用一条细绳把一个重物挂在无摩擦的滑轮上，并且把这三条细绳结在一点处，然后放手，看点在何处平衡，那里就是这一个质点系统的重心.如果把这些重物的重量，同乘一个倍数，重心位置显然不会改变，所以我们用去乘这些重量，并且记(12) 则，就称为的重心坐标. 在几何学中，对于每一个点，除了其坐标以外，还引入质量，得出重心坐标，这是德国大数学家莫比乌斯(单侧曲面莫比乌斯带就是他首先发现的)的重大贡献，有重要的应用.中学几何教学里讲到的三角形的重心只讲上述三个重物重量相同，从而的特例.所以质量概念实际上没有出现.因此几何学里的重心称为形心更为恰当.我们就这个特例来讲如何把重心问题化为杠杆问题.先设有一杆秤在两点各挂一个重量为1/3的重物，那么只要提住秤杆的中点，就可以平衡地把它提起来，并且挂到另一杆秤上去(见图33). 在点还挂了一个同样重量1/3的重物. 现在问，图33 三角形的重心(几何证明)抓住上的哪一点就能把这两杆称平衡地举起来？注意这两杆称不要互相垂直，而要成图33那样的角度.这一点当然不会影响最后的平衡. 这两杆秤平衡了当然也就是把三角形平衡地举了起来.对于，其两端各有一个重物.在点，其重量是1/3，在点，说是第一杆秤，也就是重量为2/3的重物(秤杆本身的重量忽略不计，在杠杆问题里都是这样做的).按前面讲的杠杆的基本原理，这种重量之比与杠杆臂长之比相应，重量比为时，臂长之比.也就是说，定比分割之比总之，我们得知，重心位于中线距对边中点三分之一臂长处.现在我们来求重心的位置向量.从前面所讲过的知识，我们知道所得到的结果均与原点的选取无关.这样，我们首先有再用一次定比分割定理：(13) 这个式子对对称，说明不论从哪一个顶点开始，其中线的1/3处都是这个点，所以所有中线都经过重心这就是三角形的重心定理.以上，我们游走于杠杆和线段的定比分割之间，但是万变不离其宗的是加权平均的概念.可能有读者认为这只是这个定理的“力学说明”，算不得数学证明.就是说，我们还没有兑现自己的承诺：同时从几何和力学两方面来观察重心问题.好，我们就从这个“说明”的最后抄取几句，看它是不是对于重心问题的几何考察和数学证明：取图33上的三角形一边的中点由中点公式知道其坐标(亦即位置向量)为在这条中线上取距离为的分点.再由定比分点公式，并取即得的坐标为由于这个式子对对称，所以三条中线都经过点.所以三条中线共点.此点成为三角形的重心，他在中线距中点1/3处.证毕.这个证明一共五行，比起现有教材的证明自然简单多了，而且所用的方法和概念很纯粹，都来自仿射几何.但是它的好处主要还不在于此.现有教材的讲法，大概可以提供一种“题型”──三线共点. 三线共点在初等几何里可多了是：三垂线，三内角平分线都共点，可是它们与重心问题的三中线共点有什么内在联系？“题型”一说很有点害人，越来越多的人指出了这一点，就在于它妨碍学生们看出事物的内在联系，而只是看到外在特征，终于淹没在各种各样“题型”的海洋里.我们说平均位置概念是一个不大不小的交通枢纽，也就是说它便于和已经学过的以及没有学过的东西联系起来.所以下面我们试图来推广重心问题.说起来令人振奋，到最后反而真的看到了这些“心”的内在联系：从“五心（还要加上外心和旁心）不定”变成了“一心一意”.现在我们来看在三角形的三个顶点处各悬挂一个重物(重量分别是，如图32所示)，它们不一定重量相同.现在问它的重心(即图33上的和34上的怎样求.我们仿照前面的的特例，先考虑其一边两端各悬挂的情况.利用(9)式和(10)式，图34 一般情况下三角形的重心和切瓦定理知道这个边的重心的坐标(即位置向量)是(14) 不过这里要把分别换成.然后再看，其一端处挂有重量，而坐标(即位置向量)为；另一端D (坐标即位置向量为)挂有重量，再用一次(9)和(10)式，不过要把分别换成；分别换成.然后就可以得出重心的位置向量(15) 这个式子又是对对称的，说明不论从三角形的哪一个顶点开始都会得到同样的结果.于是我们看到在三个顶点出所挂的重物重量不一定相同的一般情况，重心仍然是顶点位置的加权平均位置.在三个重物重量相同的情况下，从几何视角看重心就给出了重心定理.那么，在现在的一般情况下，又会得出什么来呢？令人吃惊不已的是，这一次我们会得到著名的切瓦定理.切瓦（Giovanni Ceva，1647-1734）是意大利数学家，他的名字按意大利语的发音是切瓦，但是国内大多文献都误译为塞瓦，这是不对的.英国人和美国人如果多少知道一点其人，也都会读切瓦.许多网站上专门有说明.定理恰好回答的什么条件下图34的三条直线共点.切瓦定理过三角形的顶点的直线共点的充分必要条件是(16)在开始证明之前，我们先说一说证明的基本思想那就是模仿力学里的一般的重心定理（即各个重物的重量不一定相同的情况）.这样，就又遇到力学说明能否作为数学证明这个老问题.现在我们明确地宣布，我们不打算用力学说明来代替数学证明，但是要借用其方法.在力学说明中我们说要在三角形的每个顶点处挂一个重物，其重量分别是，然后对每个边应用一次杠杆原理，得到形如的重心.再在相对于这个边的定点处挂一个重物，再用一次杠杆原理求出重心(15)(见图32).现在我们这样来借用这个方法：求定比分点(例如图34里的边)，一开始是由在里所占有的比值：得到后来有把它化为这两个式子比较起来，前式几何含义十分清楚，但是计算起来有时不如后式方便，所以现在我们去求三个常数(不管它们是不是重物的重量)，把形如的分点公式换为形如的分点公式.这个思想其实一直贯串在以上的讨论里面.以前我们一再强调的“既要从几何视角考察问题，又要从力学视角考察问题”，在应用时就常表示为这两类公式换来换去.但是这样做就发生一个问题：这样一组数能够找得到吗？用数学的行话来说，就是它们确实存在吗？但不论如何，我们先把(16)式用定比分割的比值表示出来.前面我们已经由在里所占有的比值：得到了.而且还有从而仿照此式，做出另外两个比值，总结所有的公式就有(17) 而(16)式现在就成为(18)现在我们就开始来证明切瓦定理.充分性的证明.设(16)式(即(18)式)成立，我们想要证明共点.为此我们要对三个顶点分别赋以数(从力学角度来看就是分别挂上一个重物)，首先使边上的分点可以写为我们先让赋给点的取一个任意的固定值然后看如何取使得点可以用上式表示.从力学角度来看，过去是给出了秤杆两端重物的重量，再来求支点位置，现在则是在一端的点给定了重量，并且要求支点恰好是点，问在另一端的点应该赋给多大的重量.这是一个容易解决的问题.因为已经知道，所以而有对于点赋予了以后，又用同样的方法求出对于点所应赋予的最后，从点再一次回到点，就发现在那里需要赋给一个可能不同于原来已有的的这就是说原来给定的不一定能保证点是平衡点.但是我们已经假设了在这个条件下，恰好，也就是说我们又回到了从几何视角来看，只要(18)式成立，则同时具有于是在上可以找到一个分点(19) 从这个式子的对称性，就知道在上也能找到同一个点.所以这三条线共点.必要性的证明甚至更简单些.这是因为在证明充分性时，我们借鉴力学的方法把分点写成例如的形状，这样再借鉴力学的方法找一个形如(19)的公共点.现在，公共点已经确定存在，无需再去寻求，我们当然也就不必把分点写成另一个形式了.所以现在我们假设已经有了，从而有了和，并设它们交于点(见图34)，问题在于即令相应于的也经过点，怎么知道这个能够满足(18)式呢？在这里，我们暂时放弃硬性地证明，而是按(18)式量身定制一个，即要求它适合. (20) 从这个方程求一个当然容易不过.以这个为分点的比值作一个分点(从而也有了线段，则由充分性的证明(即由(20)式)知道共点(公共。
射影。仿射变换的基本知识
射影变换的基本知识定义设为平面上的四个共线点，称两个单比和的比为这四点的交比或复比，记作，其中和称为基础点对，和称为分点对。
定义如果四点的交比，则称点对和调和分离点对和，或称点对与点对调和共轭，这时也称为的第四调和点，交比值称为调和比。
定理：中心射影保持共线四点的交比不变证明：如图为射影中心直线上任意四点在中心射影下的像分别是直线上的设的垂直于的高长度为，的垂直于的长度为则于是同理于是故定义如果平面上的点变换使共线三点还变成共线三点，并且保持共线四点的交比不变，称此变换为平面上的射影变换。
因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。
射影变换的基本不变性质：定理：平面上全部射影变换的集合构成群证明：（1）设是平面上的两个射影变换，是共线四点据定义有且且所以仍是射影变换（2）设是平面的上射影变换且且所以是射影变换故平面上全部射影变换的集合构成群称之为射影变换群，仿射变换群、相似变换群、正交变换群都是它的子群。
§2.6 几个重要的变换群下面讨论正交变换（运动）、相似变换、仿射变换、射影变换，以及它们的基本性质。
这些变换群可以决定四种不同的几何学，即欧氏几何学、相似几何学、仿射几何学和射影几何学。
一、正交变换群定义：平面上保持两点间距离不变的点变换称为正交变换或运动。
即将平面上的点建立一一对应，且对于平面上任意两点，若其对应点分别为，则对应线段的长度。
正交变换具有的基本不变的性质（1）正交变换把直线变成直线，并且保持点和直线的结合关系和共线三点的介于关系。
证明：设是直线上有序的三点，它们共线的充要条件为如果正交变换把它们依次变为，则有于是因此在同一直线上。
就是说，共线点变成共线点，直线变成直线。
（2）正交变换把不共线的点变成不共线的点证明：设为不共线三点，则三点不共线充要条件为如果它们依次变为，则有于是因此不共线由（1）、（2）知，正交变换把相交直线变成相交直线，把角变成角。
射影几何学
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此和两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。
这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形叫做对偶图形。
在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。
这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。
在射影平面上，如果一个成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
计算机视觉中的多视图几何D射影几何和变换ppt课件
变换的层次 群 矩阵 失真 不变性质 射影 A t 接触表面 15dof v’ v 的相交和相切 仿射 A t 平面的平行 12dof 0’ 1 体积比，形心 相似 sR t 绝对二次曲线 7dof 0’ 1 欧式 R t 体积 6dof 0’ 1 A是3*3的可逆矩阵，R是3D旋转，t是平移
射影变换 在点变换X’=HX下，平面变换为π‘=H’‘‘π 平面上的点的参数表示 在平面π上的点X可以写成X=Mx 其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’ 且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’
平面、直线和二次曲面的表示和变换 直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量(π1,π2,π3,π4)’. 齐次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4. 得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0 或简记为π’X=0.表示点X在π上.
设A,B分别是原点和X-方向的理想点 L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1) =4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1 由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩阵L*可由L通过简单的重写规则得到： l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 对偶的原则是1234的集合
无穷远平面 (1)在平面射影几何中，辨认无穷远线就能测量平面的仿射性质，辨认其虚原点就能测量其度量性质： 两张平面相平行的充要条件是他们的交线在π∞上 如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在π∞上，则他们平行 (2)在射影变换H下，无穷远平面π∞是不动平面的充要条件是H是一个仿射变换（类似于P20无穷远线的推导） 在放射变换下平面π∞是整个集合不动，而不是点点不动 在某个具体的放射变换中，可能还存在除π∞外的某些平面保持不动，但仅有π∞在任何仿射变换下保持不变
射影何学初步
第五章射影⼏何学初步2016年1⽉11⽇射影几何•古⽼分⽀,可追溯到公元前–绘图、建筑学,透视法•⼗七世纪,被德扎格(Desarques)、帕斯卡(Pascal)等推⼴和发展•⼗九世纪,形成体系,成为⼏何的独⽴分⽀•在微分⼏何、代数⼏何等数学领域有着⼴泛的应⽤本章主要内容–从几何的角度观察和分析•射影平⾯与交⽐•射影坐标系、射影坐标变换与射影变换1中心投影•仿射⼏何学:从⼏何图形的度量性质中分划出仿射性质:平⾏、简单⽐•射影⼏何学:从⼏何图形的仿射性质中分划出射影性质:点的共线、线的共点例1.德扎格定理:如果两个三角形的对应顶点的连线交于⼀点,则它们对应边的交点共线.例2.帕普斯(Pappers)定理:设A,B,C,A′,B′,C′是两个共线点组,M是直线AB′,A′B的交点,N 是直线AC′,A′C的交点,P是直线BC′,B′C的交点,则M,N,P共线.两个例⼦的特点:•只涉及两条交点和连线;•度量⼯具,如距离、夹⾓⽤不上;•仿射⼯具,平⾏、简单⽐也⽤不上;•建⽴适当的仿射坐标架,⽤坐标法也⾮常复杂;•题⽬有不明确的地⽅:万⼀对应边没有交点呢?1定义1.设π和π′是两张相交的平面,取定不在π和π′上的⼀点O.规定⼀个对应τ如下:对π上的点M,把它对应到直线OM和π′的交点M′,我们把τ称为以O为中⼼的π到π′上的中⼼投影.•定义不全:过O平⾏于π′的平⾯与π的交线l0上的任意点没有像点;•不是满射:过O平⾏于π的平⾯与π′的交线l′0上的任意点没有原像.•保持共线点组的共线性•不保持简单⽐•不保持平⾏性2射影平面⽤中⼼投影证明德扎格定理的⽅法是不能⽤仿射理论来解释的,因为中⼼投影不是仿射变换.因为τ:π\l0→π′\l′0.因此要完善这种⽅法,改善中⼼投影,我们要将平⾯加以扩⼤.2.1中心直线把与扩大平面定义2.取定空间中的⼀点O,把空间中所有经过O点的直线构成的集合称为以O点为中⼼的中⼼直线把,简称“把O”,记作B(O).命题1.π到π′的中⼼投影τ可以分解为两个映射的复合:设i是π到B(O)的映射,j′是B(O)到π′的映射.于是τ=j′◦i.注意到i不是满射,j′不是定义在整个B(O)上.注意到B(O)中的直线完全由它们的⽅向决定,我们把直线的⽅向称为线向(区别于向量的⽅向,它可以⽤⼀个⾮零的向量来表⽰,但是相反⽅向的向量表⽰⽤⼀个线向).于是B(O)中的凡是线向平⾏于π的直线不在映射i的像集中.凡是线向平⾏于π′的直线不在映射j′的定义域中.定义3.把平面π(作为点集)扩⼤:所有平⾏于π的线向作为新元素添加进来,称这个扩⼤了的集合为π的扩⼤平面,并记作π+.•π+是⼀个特殊的集合,包含两种不同性质的元素–普通的点–平⾏于π的线向定义4.映射i可以扩⼤为:i+:π+→B(O),这是⼀个⼀⼀对应,称为射影映射(简称射影);在射影映射下,当点沿着平面π上的⼀条直线向着⽆穷远跑去时,它的射影像的极限就是此直线的线向的射影像,因此常常把直线的线向称为⽆穷远点.定义5.同样π′也可扩⼤为π′+,并规定B(O)中平⾏于π′的直线的像为它的线向,此时,映射j′可以扩⼤为:j′+:B(O)→π′+,这也是⼀个⼀⼀对应,称为截影.这样经过补充定义的中⼼投影τ+=j′+◦i+是⼀个⼀⼀对应.2.2扩大平面和中心直线把上的“线”结构定义6.在扩⼤平面上的“线”是π+上的下面两种⼦集:(1)π上的原来的直线添加上它的⽆穷远点成为π+的“线”(下称普通线);(2)π+的所以⽆穷远点构成的⼦集也看作π+的线,成为π+的⽆穷远线.定义7.经过O点,并且在⼀张平面上的直线的集合,称为中⼼直线束.π上的任何⼀条直线都决定了⼀个中⼼直线束,通过π上直线到过O平⾯的⼀⼀对应,我们知道将⽆穷远点集合定义为⼀条线的合理性–这是平⾏于π的中⼼直线束.定义8.在B(O)上,我们也规定“线”的结构:在统⼀中⼼直线束中的直线的集合成为B(O)中的⼀条“线”.于是B(O)中的“线”集合和经过O点的平⾯集合又⾃然⼀⼀对应关系,因此也可以把经过O点的平⾯束看成是B(O)的线.2.3点与线的关系在扩⼤平⾯上,线与点的关系有了变化:•“两点决定⼀条直线”仍然正确,但内涵更加丰富了;•“任何两条不同的线都相交于⼀点”;•线束也不再分中⼼线束和平⾏线束,后者也是经过⼀点;•点与线的关系变得对称了.–线可以看作是点的集合;–点与它决定的线束等同起来,线属于点;–点和线的从属关系变成是相互的,以后我们改称点和线的关联关系.在扩⼤平⾯上,平⾏失掉了意义,欧⽒⼏何与仿射⼏何的许多概念不再适⽤,如距离、夹⾓、简单⽐.它们既在中⼼投影下不再保持,也不能⾃然地引申到扩⼤平⾯上,线段的概念也失去意义.虽然我们也谈三⾓形,但是边、⾓、内部等概念失去了意义,只剩下三个不共线的点和三条不共点的线.射影⼏何学正是研究只与图形的点线关联关系相关的⼏何性质.2.4射影平面的定义定义9.⼀个具有线结构的集合(即规定了它的哪些⼦集称为线)称为⼀个射影平面,如果存在从它到⼀个中⼼直线把的保持线结构的⼀⼀对应关系.3交比43交比3.1普通几何中的交比定义10.设α1,α2,α3,α4是空间中4个共面的向量,但两两不共线.于是α3,α4对α1,α2有唯⼀的分解式.α3=s1α1+t1α2,α4=s2α1+t2α2,其中s1,t1,s2,t2都不等于零.把比值s2t1s1t2称为这4个向量的交比,记作(α1,α2;α3,α4)显然交⽐与4个向量的顺序有关,但是不同顺序的交⽐是互相决定的.它们具有如下规律.1.(α1,α2;α4,α3)=(α2,α1;α3,α4)=(α1,α2;α3,α4)−1;2.(α1,α3;α2,α4)+(α1,α2;α3,α4)=1;3.(α3,α4;α1,α2)=(α1,α2;α3,α4).命题2.设α1,α2,α3,α4是空间中两两不共线的4个共面的向量,k1,k2,k3,k4是任意的4个非零常数,则(k1α1,k2α2;k3α3,k4α4)=(α1,α2;α3,α4).定义11.设l1,l2,l3,l4是空间中4条平⾏于同⼀平面的直线,并且它们两两不平⾏,则规定它们的交比为(l1,l2,l3,l4)=(α1,α2;α3,α4),这里,αi是平⾏于l i的任意非零向量,i=1,2,3,4.定义12.设A1,A2,A3,A4是平面上共线的4个不同的点,规定它们的交比为(A1,A2,A3,A4)=(A1,A2,A3) (A1,A2,A4).点的交⽐与线的交⽐有密切的关系.命题3.设l1,l2,l3,l4是平面π上经过点P的4条不同直线,l是π上的不经过P,并且与l1,l2,l3,l4都相交的直线,记A1,A2,A3,A4依次是它与l1,l2,l3,l4的交点,则(l1,l2,l3,l4)=(A1,A2,A3,A4).反之,亦然.我们把上述命题称为点线交⽐的协调性.4射影坐标系5命题4.如果π1,π2,π3,π4是空间中的4张都经过l的不同平面,π和l平⾏,记l1,l2,l3,l4依次是π与π1,π2,π3,π4的交线,则(l1,l2,l3,l4)与π的选择⽆关.定义13.我们把上述平面π1,π2,π3,π4的交比定义为(π1,π2,π3,π4)=(l1,l2,l3,l4).于是⾯线交⽐也有协调性.3.2中心直线把和扩大平面上的交比•中⼼直线把上的交⽐•扩⼤平⾯上的交⽐–射影命题5.设A1,A2,A3,A4是扩⼤平面π+上的共“线”4点.O是空间中不在π上的点,则交比(OA1,OA2,OA3,OA4)和O的选择⽆关.定义14.设A1,A2,A3,A4是扩⼤平面π+上的共“线”4点.O是空间中不在π上的点,规定A1,A2,A3,A4的交比为(A1,A2,A3,A4)=(OA1,OA2,OA3,OA4).类似地,可以定义扩⼤平⾯上共点4线的交⽐.命题 6.设l1,l2,l3,l4是扩⼤平面π+上的共点4线.O是空间中不在π上的⼀点.则交比(Ol1,Ol2,Ol3,Ol4)和O点的选择⽆关.定义15.设l1,l2,l3,l4是扩⼤平面π+上的共点4线.O是空间中不在π上的⼀点.则规定(l1,l2,l3,l4)的交比为(l1,l2,l3,l4)=(Ol1,Ol2,Ol3,Ol4).3.3调和点列和调和线束定义16.如果共线的4点的交比为−1,称它们为调和点列;如果共点四线的交比为−1,就称它们为调和线束.4射影坐标系1.中⼼直线把与“三联⽐”的⼀⼀对应;2.[l1,l2,l3,l4]射影标架,l i称为基本点;3.当在B(O)中取定射影标架[l1,l2,l3,l4]后,所得到的射影坐标是两个⼀⼀对应:•B(O)中的点集合到全部三联⽐集合的⼀⼀对应;•B(O)中的线集合到全部三联⽐集合的⼀⼀对应.4.对偶原理与对偶命题;5.射影坐标变换与射影变换.。