第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量法

第三章 有限元法基础

通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。 §3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念

（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。 （2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯

∇μ

1

J LA =⇒

（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL

3.1.2 泛函 1、泛函的概念

泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如

()()[]x y I x I =

也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。

例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。

曲线长度 ()[]⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=2

1

2

1x x dx dx dy x y I

曲线所围面积 ()[]()⎰=2

1

x x dx x y x y I

不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积

()[]x y I 构成了函数空间H 。

2、泛函连续

若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。 3、线性泛函

若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。 4、函数的变分y δ

泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ

对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为

()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32

式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分

()[]y x y L I δδ,=

()[]y x y o δ,是误差项。

y δ与dy 的区别：

当自变量x 的增量1x x x -=∆充分小时，可用dx 来表示，dx 称为x 的微分。相应地，函数y 的增量

()()()()x o x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆

当x ∆充分小时，可用dy 来表示，dy 称为y 的微分，dy 是x 的变化引起的微分，

是函数增量 y ∆的线性主要部分()x x A ∆，即可记为

()()dx x y dx x A dy '==

在泛函中，当宗量()x y 的增量足够小，即有变分y δ时，泛函的增量

()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32

其中，()[]y ,x y L δ对y δ而言为线性，称为一阶变分I δ。

图3-2 函数的增量 图3-3 泛函的增量

6、泛函的极值

设()x y y *=时泛函取得极值，那么，泛函在极值函数()x y y *=上的变分等于0，即

0=I δ

当泛函是多元函数的泛函()[]n x ,,x ,x y I 21，泛函在()n x ,,x ,x y 21*上有极值时，变分0=I δ。因此，泛函取得极值的必要条件是使变分0=I δ。 3.1.3 算子（微分、积分、矩阵方程）方程的变分原理

各种类型电磁场的微分方程都可对应于D 空间中的算子方程

f Lu =

它可以转化为与之等价的变分问题，即泛函求极值问题。

定理：若L 为正算子，而f Lu =在D 上有解，则此解必然使泛函

()f ,u ,Lu u I -=

2

1

取极小值。反之，在D 上使泛函I 取得极小值的函数，必是方程f Lu =的解。

（证明略，参见颜威利《电气工程电磁场数值分析》P24-25.

也就是说，当L 为正算子时，求解算子方程f Lu =的问题与求泛函的极小值问题等价，即与泛函的变分问题等价。 3.1.4 算子方程的泛函公式 1、静态场

对于静电场和恒定磁场，泛函I 有明确的物理意义，它代表场域中的总位能，即当总位能最小时，场是稳定的（汤姆逊定理），因此，对应于无界空间中的算子方程

f Lu =

的泛函形式应该为 (

)f ,u u ,Lu u I -=2

1

（1） 泊松方程的变分公式

泊松方程 f -=∇⋅∇ϕε 为了得到正算子L ，改写上式 f =∇⋅∇-ϕε 对应的算子方程 f L =ϕ 式中，∇⋅-∇=εL ，若材料为均匀，ε为常数。

边界条件： 01

ϕϕ=Γ

q n

=∂∂Γ2

ϕβ

13

q n =⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂Γγϕϕβ 相应的泛函为

(

)f f L I ,,21

,,21ϕϕϕεϕϕϕϕ-∇⋅∇-=-=

有内积的定义（在单元中可以认为ε是常数）

()Ω-Ω∇-

=⎰⎰ΩΩ

d f d I ϕϕεϕϕ221

根据格林定理