空间角与距离求法(高二)

空间角与点面距离求法

求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结.

1.空间角的求法

在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式

(1) b a

,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做

向量a 与向量b 的夹角，记作>

180,0>≤≤

(2) 空间两个非零向量b a ,的夹角公式:|

|||,cos b a b

a b a ⋅⋅>=< .

(3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,2

22222||z y x b ++= ,

212121z z y y x x b a ++=⋅

.

二、两条异面直线所成的角

(1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b '

所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）.

(2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ：

900≤<θ, 则cos 0≥θ .

(3) 求法:

▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．．

时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b

分别是异面直线a 和b 的方向向量,则

|

||||

||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a

⋅⋅=⋅⋅=><=θ . 说明: ① 其中=θ或-

180 ; ② 在计算b a

⋅时可用向量分解或坐标进行运算.

三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)

如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平

面内,那么就说直线和平面所成的角是

0的角.

(2) 范围: 直线m 是平面α的斜线，它们所成的角为θ：

900<<θ.

(3) 求法:

▲① 直接法: 根据定义作出(有时利用面面垂直的性质定理来作)直线m 与平面α所成的角;

常常通过解直角三角形来求角.

难点: 通常不容易作出直线m 与平面α

▲②

法向量法: 直线m 的方向向量为m ,平面α的法向量为n

,|

||||

||||||||,cos |sin n m n m n m n m n m

⋅⋅=⋅⋅=><=θ

说明: ① 建立适当的空间直角坐标系,利用坐标进行向量的有关运算;

② 求出平面α的法向量n

; ③ 注意公式中是θsin 而不是θcos . 四、二面角

(1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的

棱，这两个半平面叫做二面角的面.

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ,以点O 为 垂足,在半平面α和β内分别作垂直于．．．

棱l 的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角

二面角的大小可用它的平面角来度量.二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.

(2) 范围: 二面角βα--l 的大小为θ：

1800≤≤θ.

当二面角的两个面重合时,规定二面角的大小是

0;当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角的大小是

180.

(3) 求法:

(Ⅰ) 直接法:

① 定义法 :利用二面角的平面角定义,作出平面角;解三角形求角.

难点: 二面角的平面角的顶点位置的选择.

② 垂面法: 一个平面γ垂直于二面角βα--l 的棱l ,且与两个半平面的交线分别是射线

OA 、OB ，O 为垂足，则∠AOB 是二面角βα--l 的平面角.

难点: 棱l 的垂面γ位置的选择. ▲③ 三垂线定理法:

基本模式: 如图,在二面角βα--l 中,βα⊥∈AB A ,,垂足为B .

β

B

α

A

O

l m

作法: 过B (或A )作l BO ⊥(或l AO ⊥),垂足为O ,

连结AO (或BO ),则l AO ⊥(或l BO ⊥),AOB ∠是二面角βα--l 的平面角. （Ⅱ）向量法：

（1） 两种基本模式：

▲ 如图(1),l BD BD l AC AC l B l A ⊥⊂⊥⊂∈∈,,,,,βα,>=<,θ,|

|||,cos cos BD AC ⋅>=

<=θ.

如图(2),l OB OB l OA OA l O ⊥⊂⊥⊂∈,,,,βα,

则>=<,θ ,|

|||,cos cos OB OA ⋅>=<=θ.

▲（2） 法向量法：平面α和平面β的法向量分别是m

和n

，则

|

||||

||||||||,cos ||cos |n m n m n m n m n m

⋅⋅=⋅⋅=><=θ .

说明: ① 通常建立空间直角坐标系,利用坐标进行向量运算;

② 求出平面α的法向量m 和平面β的法向量n

; ③θ与>

,相等或互补; ④ 最后要说明θ是锐角还是钝角.

五、小结:

(1) 在求空间角时,注意应用向量a 和b 的夹角公式|

|||,cos b a b

a b a ⋅⋅>=<;

在计算b a

⋅时,要合理选择是用向量分解运算,还是坐标运算.

(2) 根据具体图形,利用右手法则,会合理建立空间直角坐标系. (3) 务必熟练求一个平面的法向量的过程和方法.. (4) 注意上述公式的条件、形式和适用范围.

(5) 特别要理解用平面的法向量求线面角的公式,才会灵活应用.

(6) 求空间的角,用向量法可以降低思维难度,避开添加各种辅助线的高度技巧和随机性,使之

定量化,增强可操作性,使得计算程序化、简单化. 如果不是特殊角就用反三角表示. (7) 利用平面的法向量求空间角的基本过程: ① 建立适当的空间坐标系;② 确定点的坐标或向量坐标;③ 进行坐标运算或向量运算;④ 将运算结果转译成几何结论.