基本不等式中档题训练(解析版)
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．53．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．275B ．245C ．5D ．65．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．27．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36B ．42C ．49D ．608．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD9．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________. 14．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.16．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．17．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．三、解答题21．（1）若0x >，0y >，1x y +=，求证：114x y+≥.（2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式()a bx y m x y+⋅+>（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.23．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 25．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围. 26．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小； （3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．C解析：C 【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z =-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，因此，解出A 点坐标，代入目标函数，即可得到最大值. 【详解】画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩的目标区域，如图所示:由2z x y =+,得2y x z =-+，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大， 联立20350x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ，所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C.方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 4．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．5．B【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．6．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.7．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以22949(3)(8)(4)(9)3737249b a b a a b a b a b a b++=++=+++=， 当且仅当65a =，45b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．8．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．10．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．D【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项解析：【分析】先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >，得411y x+=， 则()455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】将所求代数式变形为1121121a ba b b b+=+----，将所求代数式与()1b b+-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a ba b+--的最小值.【详解】已知正实数a、b满足21a b+=，则1211112112121a b b ba b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b bb bb b b b-⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b-=时，即当1b=时，等号成立，因此，11a ba b+--12.12.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
基本不等式专项训练
基本不等式专题训练一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为_________．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为_________．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为_________．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为_________．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是_________．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是_________．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是_________．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为_________．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有_________．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为_________．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是_________．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是_________．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为_________．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是_________．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是_________．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是_________．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为_________．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为_________．20．（2012•宁国市模拟）_________．基本不等式专题训练参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为﹣．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．再利用三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式即可得出．法2：由a+b+c≥a+b+a2+b2，通过配方变形为+即可得出．解答：解：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．则a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r2==，当且仅当取等号．∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：．（0≤r≤c≤1）．法2：∵实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，∴a+b+c≥a+b+a2+b2=+≥﹣，当a=b=，c=时取等号，∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、配方法，属于中档题．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．考点：基本不等式．专题：创新题型．分析：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．解答：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．点评：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．解答：解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞1，ab=2a+b，可得b≠2，，b＞2．代入（a+1）（b+2）=，变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞1，ab=2a+b，∴b≠2，∴，解得b＞2．∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2===2（b﹣2）++10+10=18，当且仅当b=4时取等号．因此（a+1）（b+2）的最小值是18．故答案为：18．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于中档题．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，可得z=x2﹣3xy+4y2．于是==，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．于是+﹣==，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．点评：熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是解题的关键．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有①③．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质逐一进行判定即可判断出答案．解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴a+b=2≥2，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故①正确；∵（+）2=a+b+2=2+2≤4，当且仅当a=b=1时取等号，∴+≤2，故②不正确；∵4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤a2+b2+2，当且仅当a=b=1时取等号，∴a2+b2≥2，故③正确，∴不等式恒成立的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．属于基础题．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和均值不等式即可得出．解答：解：∵a，b，c∈R+，且++=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）=9，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．∴a+2b+3c的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和均值不等式，属于基础题．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．解答：解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣•﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞b＞c＞0，∴2a2++﹣10ac+25c2==+（a﹣5c）2≥+0=4．当且仅当a=2b=5c=时取等号．因此2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用，可得，，即可得出．解答：解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得，，∴S=2﹣（4a2+b2）=，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出x+y的最小值．解答：解：∵x+y+z=4，∴x+y=4﹣z∵xy+yz+zx=5∴xy=5﹣yz﹣xz=5﹣z（x+y）=5﹣z（4﹣z）=z2﹣4z+5由韦达定理知：xy是一元二次方程t2﹣（4﹣z）t+（z2﹣4z+5）=0的两实根，则判别式△=（4﹣z）2﹣4（5﹣4z+z2）≥0，化简得：（z﹣2）（3z﹣2）≤0，又x，y，z为正实数∴0＜z≤，∴z的最大值是．x+y的最小值是4﹣=．故答案为：．点评：此题考查了最值问题．解此题的关键是得到关于z的一元二次方程，利用判别式求解．此题难度较大，解题时要注意细心．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是7．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：通过代换转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．解答：解：∵正实数a，b，c满足a+2b+c=1，令a+b=x＞0，b+c=y＞0，且x+y=1．∴+=，由x+y=1可得y=1﹣x．∴==f（x）．（0＜x＜1）∴f′（x）=﹣==，令f′（x）=0，解得x=．当时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得最小值，==4+3=7．∴+的最小值是7．故答案为：7．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值和转化的方法，属于难题．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．解答：解：由x，y满足2≤y≤4﹣x，x≥1，画出可行域如图所示．则A（2，2），B（1，3）．==，令k=，则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（﹣1，1）的斜率．而k PA=，，∴，令f（k）=k+，则≤0．∴函数f（k）单调递减，因此当k=时，f（k）取得最大值，．故答案为：．点评：本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与\基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0，从而有==，利用基本不等式可求解答：解：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0∴==当且仅当即a=b时取等号即最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件20．（2012•宁国市模拟）4．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意，由对数的性质可得，xy=10且x、y＞0，对于+，由基本不等式变形计算可得答案．解答：解：根据题意，lgx+lgy=1⇒lgxy=1，则xy=10且x、y＞0，对于+，由x、y＞0，，可得、＞0，则+≥2=2=4，即+的最小值为4，故答案为4．点评：本题考查基本不等式的运用，注意由对数的性质得到x、y均大于0，进而得到+符合基本不等式使用的条件．。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >， 则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。
中档题32基本不等式(含答案,直接打印)
解：实数 x、y 满足 ᦙ ，且log2ᦙ 䁪 log2 1，则 ᦙ 2，
则2
ᦙ
䁪
1
2
2 ᦙ
1 2，当且仅当2ᦙ 1，即 ᦙ 2，
1
时取等号，故2
ᦙ
䁪
1的最小值是
2，
ᦙ ᦙ2䁪
2
ᦙ
ᦙ 2䁪2ᦙ
ᦙ ᦙ
2䁪4
ᦙ
1 䁪ᦙ 4
2
1 ᦙ
4
1
4，当且仅当
ᦙ
ᦙ
4 ᦙ
，即 ᦙ
2
线 C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则 一1 的最小值为_____．
一2
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1.【答案】30
中档题 32 基本不等式答案和解析
解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和
6 ᦙ
当且仅当 ᦙ 3 时取等号．
6 䁪 4ᦙ 4 2
9 ᦙ
ᦙ 24
万元 ．
2.【答案】18
解：根据题意，正实数 x，y 满足 2ᦙ 䁪
2 时取等号
ᦙ
故ᦙ2䁪
2的最大值为14，
6.【答案】3
解：函数
ᦙ2 䁪 ᦙ24䁪1，即
ᦙ2 䁪 1
䁪
4 ᦙ2䁪1
1
2
ᦙ2 䁪 1
4 ᦙ2䁪1
14
当且仅当ᦙ2 䁪 1 2，即 ᦙ 1，上式取得等号，则函数的最小值为 3，
7.【答案】17
1 3，
解： h h
5，
h
5䁪 1
1，则 ᦙ
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．12．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（ ） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+4．设不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．15a <-或47a >B ．15a <-C ．47a >或01a <<D ．15a <-或1064a <<5．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤6．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >7．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >09．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( )A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ10．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 11．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b >B ．22a b >C ．1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 12．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接)17．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 18．若函数()()01af x ax a x =+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．19．若关于x 的不等式||(,)x a b a b R +<∈的解集为{|35}x x <<，则a b -=________. 20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．解不等式：122x x -+-≤． 22．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.23．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 24．求下列关于x 的不等式的解集 （1）|21|3x x +>-； （2）2|5|5x x -．25．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 26．（1）解不等式239x x -++≥； （2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.2．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论. 【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立,即2431a ->,解得15a <-或47a >,当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈, 则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈,所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t h t >+-=,即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-; 综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.5．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.6．D【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >， 对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．A解析：A结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案． 【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <， 又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ． 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．10．D解析：D 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对；【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.12．D解析：D 【解析】分析：对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,11110,b a a b ab a b--=<∴<，所以选项A 错误. 对于选项B,因为0a b >>，对数函数2log y x =是增函数，所以22log log a b ＞，所以选项B 错误.对于选项C,2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项C 错误.对于选项D, 因为0a b >>，指数函数1()2x y =是减函数，所以 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查不等式的性质和函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，一般利用作差法和作商法，本题利用的是作差法,注意函数的图像和性质的灵活运用.二、填空题13．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．14．【解析】试题分析：由题设知对于任意正实数xy 恒成立所以1+a+≥16由此能求出正实数a 的最小值【解答】解：∵不等式对任意正实数xy 恒成立∴对于任意正实数xy 恒成立∵∴1+a+≥16即又a ＞0从而故答解析：【解析】试题分析：由题设知()min 116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对于任意正实数x ，y 恒成立，所以，由此能求出正实数a 的最小值．【解答】解：∵不等式116a x y x y+≥+对任意正实数x ，y 恒成立， ∴()min116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ 对于任意正实数x ，y 恒成立 ∵()111a y ax x y a a x y x y ⎛⎫++=+++≥++ ⎪⎝⎭∴即)530≥ ，又a ＞0，min 3,9.a ≥=故答案为9点睛：：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.15．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲 解析：【解析】试题分析：由已知得，2(2)4(1)0a a ∆=--++≥，即11a a ++≤，所以2111,10a a a a +≤++≤-≤≤，故答案为[1,0]-.考点：不等式选讲.16．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为 解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c=++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.17．【分析】结合绝对值三角不等式得即求即可【详解】由绝对值三角不等式得即恒成立当时去绝对值得解得故；当时此时无解综上所述故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围绝对值三角不 解析：0a ≥【分析】结合绝对值三角不等式得|1|||1x x a a ++-≥+，即求11a a +≥-+即可 【详解】由绝对值三角不等式得()()|1|||11x x a x x a a ++-≥+--=+，即11a a +≥-+恒成立，当1a ≥-时，去绝对值得11a a +≥-+，解得0a ≥，故0a ≥；当1a <-时，11a a --≥-+，此时无解，综上所述，0a ≥ 故答案为：0a ≥ 【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：a b a b a b +≥±≥-，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的x .18．6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值解得的值再根据含绝对值三角不等式求函数的最小值【详解】当且仅当时即时取等号此时满足所以函数的最小值是6故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值解析：6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值，解得a 的值，再根据含绝对值三角不等式求函数()g x 的最小值.【详解】()11131f x a x a a x ⎛⎛⎫=-++≥= ⎪ -⎝⎭⎝， 当且仅当111x x -=-时，即2x =时取等号， 此时满足3155a a =⇒=，()()()51516g x x x x x =++-≥+--=，所以函数()g x 的最小值是6.故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值以及含绝对值不等式求最值，其中基本不等式求最值需注意一下几点：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质是解题关键 解析：5-【分析】利用绝对值的性质x a a x a <⇔-<<解不等式后与已知比较可求得,a b ．【详解】由||x a b +<得b x a b -<+<，即a b x a b --<<-+，所以35a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以5a b -=-． 故答案为：5-．【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．20．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题21．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】按1,2x x --的零点分区间，分类讨论转化为解一元一次不等式即可.【详解】当1x ≤时，122x x -+-<，解得1>2x ，所以112x <≤； 当12x <<时，122x x -+-<，即10-<，所以12x <<； 当2x ≥时，1+22x x --< ，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，原不等式的解集是15,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，分类讨论去绝对值是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.22．（1）(,6)(2,)-∞--+∞；（2）(1,4)-.【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1≥x 三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值max ()f x ，由题意得出2max 3()m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围.【详解】7,3()12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩. （1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-；当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<；当1≥x 时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1≥x .综上所述，不等式()1f x <的解集(,6)(2,)-∞--+∞.（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()(3)4f x f ≤-=；当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则(1)()(3)f f x f <<-，即8()4f x -<<；当1≥x 时，函数()7f x x =--单调递减，则()(1)8f x f ≤-=-.综上所述，函数()y f x =的最大值为max ()(3)4f x f =-=，由题知，2max 3()4m m f x -<=，解得14-<<m .因此，实数m 的取值范围是(1,4)-.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题. 23．答案见解析【分析】利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出． 【详解】 21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-． 综上所述，当0a =时，111a a =+-； 当1a <且0a ≠时，111a a >+-； 当1a >时，111a a<+-． 【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．24．（1）()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【分析】 （1）分30x -<和30x -，把绝对值的不等式转化为关于x 的不等式组求解； （2）把2|5|5x x -转化为关于x 的不等式组求解．【详解】解：（1）由|21|3x x +>-，得30x -<①，或30213x x x-⎧⎨+>-⎩②，或30213x x x -⎧⎨+<-+⎩③． 解①得3x >，解得②得233x <，解③得4x <-． |21|3x x ∴+>-的解集为()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭； （2）由2|5|5x x -，得225555x x x x ⎧--⎨-⎩①②， 解①5352x +②得552x -或552x +． 取交集，得2|5|5x x -的解集为，55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．25．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.26．（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析.【分析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证.【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-；当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立；当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥； 所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--， 因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+， 所以1ab a b +>+.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。
专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)
专题2.1 基本不等式的应用技巧 闯关技巧在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．一、加项变换例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 5解析 ∵x >a ，∴x －a >0，∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a＋a ≥2＋a ， 当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立，∴2＋a ≥7，即a ≥5.反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．二、平方后使用基本不等式例2 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________． 答案 923 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝⎛⎭⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝⎛⎭⎫922. 当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立． 故x 6＋2y 2的最大值为923. 三、展开后求最值例3 若a ，b 是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 C解析 ∵a ，b 是正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a≥5＋24a b ·b a＝5＋4＝9， 当且仅当b ＝2a 时取“＝”．四、常数代换法求最值例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94C ．2D ．3 答案 B解析 由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，即14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1·14[(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94， 当且仅当x ＝23，y ＝13时“＝”成立，故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．五、代换减元求最值例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12，解得y >3. 则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时取等号．反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．六、建立求解目标不等式求最值例6 已知a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值等于________． 答案 62－1解析 a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，即有(a ＋b )(a ＋2b ＋1)＝9，即(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝18，可得3a ＋4b ＋1＝(2a ＋2b )＋(a ＋2b ＋1)≥2(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝62，当且仅当2a ＋2b ＝a ＋2b ＋1时，上式取得等号，即有3a ＋4b 的最小值为62－1.例7 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．1≤a ＋b ≤4B ．a ＋b ≥2C ．1<a ＋b <4D ．a ＋b >4答案 A解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b＝5， ∴a ＋b ＋a ＋b ab＝5. ∵a >0，b >0，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴1ab ≥4(a ＋b )2， ∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4a ＋b， ∴a ＋b ＋4a ＋b≤5， 即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，∴(a ＋b －4)(a ＋b －1)≤0，即1≤a ＋b ≤4，当a ＝b ＝12时，左边等号成立， 当a ＝b ＝2时，右边等号成立，故选A.反思感悟 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值． 闯关训练一、单选题1．已知实数a ､b 满足1)28()(a b ++=，有结论：①存在0a >，0b >，使得ab 取到最大值；②存在0a <，0b <，使得a+b 取到最小值；正确的判断是（ ）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②不成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②成立【答案】C【分析】 由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．【详解】解：因为1)28()(a b ++=，所以(2)6ab a b =-+，①0a >，0b >，22224()()44a b a b +=+++-≥=，当且22b =时取等号，所以64ab -≥，解得2ab ≤，即ab 取到最大值2；①正确；②0a <，0b <，当20a +>时，881233322a b a a a a +=+-=++-≥=++，当且仅当822a a +=+时取等号，此时2a =不符合0a <，不满足题意；当20a +<时，888123(2)33222a b a a a a a a ⎡⎤+=+-=++-=--+--≤--⎢⎥+++⎣⎦当且仅当()822a a -+=-+时取等号，此时2a =- 此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C .【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．已知1,0x y ，且1211x y +=-，则21x y +-的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．7+【答案】A【分析】 利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)21x y x y ⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】1x >，10x ∴->，又0y >，且1211x y+=-，[]1222(1)21(1)25511y x x y x y x y x y ⎛⎫-∴+-=-++=++≥+ ⎪--⎝⎭9=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故21x y +-的最小值为9．故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．已知a ，b ∈R ，a +b ＝2.则221111a b +++的最大值为（ ）A ．1B ．65CD ．2 【答案】C【分析】 化简配方可得211a ++211b +＝242(1)(1)4ab ab ---+，令t ＝ab ﹣1＝a （2﹣a ）﹣1＝﹣（a ﹣1）2≤0，则242(1)(1)4ab ab ---+＝2424t t -+，令4﹣2t ＝s （s ≥4），即t ＝42s -，再由基本不等式计算可得最大值. 【详解】解：a ，b ∈R ，a +b ＝2. 则211a ++211b +＝2222221()a b a b ab +++++ ＝222()221()2()a b ab a b ab ab +-+++-+＝26252()ab ab ab --+＝242(1)(1)4ab ab ---+， 令t ＝ab ﹣1＝a （2﹣a ）﹣1＝﹣（a ﹣1）2≤0， 则242(1)(1)4ab ab ---+＝2424t t -+， 令4﹣2t ＝s （s ≥4），即t ＝42s -，可得2424t t -+＝2(4)44s s -+＝4328s s +-， 由s +32s， 当且仅当s ＝t ＝2﹣可得4328s s+-≤12， 则211a ++211b +故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题.4．已知正实数,a b 满足1a b +=，则222124a b a b +++的最小值为（ ） A ．10B ．11C ．13D ．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数,a b 满足1a b +=， 则2221241422a b a b a b a b+++=+++， ()142a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭4777411b a a b =++≥++=， 即：22212411a b a b+++≥， 当且仅当4b a a b =且1a b +=，即21,33b a ==时取等号， 所以222124a b a b+++的最小值为11. 故选：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力． 5．已知ab 14=，a ，b ∈（0，1），则1211a b +--的最小值为 A ．4B ．.6 C．3D．4【答案】D【分析】 根据14b a =代入1211a b +--，变形为2244414a a ++--，等价处理成()()()2444123444121a a a a ⎛⎫+-+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式求最值. 【详解】由题：ab 14=，a ，b ∈（0，1），14b a=， 12121111114112482a b a a a aa +=+=+---+----212141a a =++-- 2424441a a =++-- ()()()2444123411442a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭ ()(412442212323444123a a a a ⎛⎫--=++++≥++ ⎪--⎝⎭， 当且仅当()414444124a a a a --=--时，取得最小值，解得当a =4+故选：D【点睛】 此题考查利用基本不等式求最小值，关键在于根据题目所给条件准确变形，根据积为定值求最值，注意考虑等号成立的条件.6．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．[)3,+∞B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】A利用基本不等式求得a b +的最小值，把问题转化为()m f x ≥恒成立的类型，求解()f x 的最大值即可.【详解】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++， 当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=， 若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立，即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.二、填空题 7．设1x >-则231x x y x ++=+的最小值为________【答案】1##【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由1x >-，可得10x +>.可令()10t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =，1x =时，等号成立.故答案为：1．8．若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为______．【答案】2的最大值即可. 【详解】因,0x y >，则()x a x y a +≤+⇔，()222222x y x x y x yx y ++⋅+=≤==++，当且仅当2x y =时取“=”，则2a ≥， 所以实数a 的最小值为2.故答案为：2 9．,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为________． 【答案】12【分析】 先变形得22222222ab bc ab bc a b c a b b c ++=+++++,再利用重要不等式得到222a b ab +≥，222b c bc +≥,代入即可求解．【详解】22222222ab bc ab bc a b c a b b c ++=+++++, 222a b ab +≥，222b c bc +≥当且仅当a b c ==时取等号，所以222222212222ab bc ab bc ab bc a b c a b b c ab bc +++=≤=++++++ ∴2222ab bc a b c +++的最大值为12． 故答案为：12．10．已知1m ，0n >，且223m n m +=，则214m m n +-的最小值为_______． 【答案】94【分析】首先变量替换为223n m m =-，变形后得()22114123m m n m m +=+---，再利用换元，结合基本不等式求最值.【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n >，1m ，所以2230n m m =->，得13m <<， 所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----， 记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=， 所以12a b +=，且0,0a b >>， 所以()221215141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b +++=+=+=+=++---5944≥+，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立， 此时73m =，4977929n -==. 故答案为：9411．若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）①1ab ≤；≤③222a b +≥；④333a b +≥；⑤112a b+≥. 【答案】①③⑤【分析】根据基本不等式逐序号分析即可.【详解】 ①212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，取等号时1a b ==，故正确；②224a b =++=+，2≤，取等号时1a b ==，故错误；③()222242422a b a b ab ab +≥+-=-≥-=，取等号时1a b ==，故正确；④()()()()()23322232432432a b a b a b ab a b ab ab ⎡⎤+=++-=+-=-≥⨯-=⎣⎦，取等号时1a b ==，故错误； ⑤112221a b a b ab ab ++==≥=，取等号时1a b ==，故正确； 故答案为：①③⑤12．若,0x y >，24x y +=，则()()2112x y xy++的最小值为___________. 【答案】9【分析】将所求代数式展开，将24x y +=代入化简，由基本不等式求出xy 的最大值，即可求所求代数式的最小值. 【详解】 因为24x y +=， 所以()()()()21122122252104x y x y xy xy xy xy xy xy++++++===+，因为42x y =+≥≤=2xy ≤，当且仅当242x y x y +=⎧⎨=⎩即21x y =⎧⎨=⎩时等号成立，xy 取得最大值为2，所以()()211210104492x y xy xy ++=+≥+=，所以()()2112x y xy++的最小值为9，故答案为：9.13．若3a b +=，0b >，则13a a b+的最小值为__________． 【答案】59【分析】结合基本不等式的应用条件对a 进行讨论，利用基本不等式求最值，计算即可得结果． 【详解】 因为13a a b+有意义，所以0a ≠， 而3a b +=，0b >，因此3a <且0.a ≠ （1）当0<<3a 时，因此111173399999a a ab a b a a b a b a b a b ++=+=+=++≥+=， 当且仅当3b a =，即34a =，94b =时，等号成立， 所以13a a b +的最小值为79． （2）当0a <时，则0ab <，0b a<， 因此11133999a a a b a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=--=--=-+-- ⎪⎝⎭1599≥-+=，当且仅当3b a =-，即32a =-，92b =时，等号成立，所以13a a b +的最小值为59． 综上所述，13a a b +的最小值为59． 故答案为：59．14．正数,a b 满足912a b+=，若22a b x x +≥+对任意正数,a b 恒成立，则实数x 的取值范围是___________【答案】{}42x x -≤≤ 【分析】先利用基本不等式求解出a b +的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】因为()191191022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1110=106822a b ⎛+≥++= ⎝， 取等号时3912a ba b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即62a b =⎧⎨=⎩，所以228x x +≤，解得{}42x x -≤≤， 故答案为：{}42x x -≤≤.15．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则11a ab+的最小值是______．【答案】3+【分析】利用“1”的代换，转化为()211a b a b a ab a ab+++=+23b a a b =++，利用基本不等式求解. 【详解】()2221121a b a b b a b ab a ab a ab a ab+++++=+=++，2333b a a b =++≥=+2a =1b =时取等号．所以则11a ab+的最小值是3+故答案为：3+16．若正实数x 、y 满足2610x y x y +++=，则52y x-的最大值是______. 【答案】4 【分析】分析可得出254110x y x y x y -=+++-，利用基本不等式可得出25x y-的最小值，即可得出52y x -的最大值. 【详解】 由题意可得26100x y x y+++-=，所以，254110104x y x y x y -=+++-≥=-，所以，524y x -≤，当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，此时有524y x -=.因此，52y x-的最大值是4. 故答案为：4.17．已知0x >，0y >，22x y +=，则22524x y x yxy+++的最小值为___________.【答案】4 【分析】利用22x y +=代入，将式子进行齐次化处理，变为()22252x y x y xy+++，进一步使用均值不等式即可. 【详解】()222222222225252454544x y x y x y x y x y x y x xy y xy xy xy xy++++++++++++===2229294444x y x yxy y x+=+=++≥= 当且仅当222922x y x y ⎧=⎨+=⎩时，等号成立.所以22524x y x y xy+++的最小值为4.故答案为：4. 【点睛】易错点睛：值得注意的是，如果直接将式子拆分化简，变成两个式子分别求最值的话，会发现等号是取不到的，所以我们采用“齐次化”的方法，将()224x y +=代入处理.18．已知正实数,x y 满足()24,xy x y +=则2x y +的最小值为_______________.【答案】【分析】根据22340x y xy -=+，利用一元二次方程的解法结合0x >,0,y >得到2y x =-2x y +=. 【详解】因为正实数,x y 满足()24xy x y +=，所以22340x y xy -=+，解得2y x ==-±因为0x >，0,y >所以2y x =-所以2x y +=当且仅当12x y =-=，取等号，所以2x y +的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x ，将问题转化为2x y +=决.三、解答题19．有一种变压器铁芯的截面是如图所示的正十字形，为保证磁通量的稳定性，要求十字形铁芯的面积为2．为节约成本，需使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短．问当正十字形的长()CD 和宽()AB 为多少厘米时，正十字形外接圆周长最短，最短是多少厘米？【答案】，宽为3cm时，正十字形外接圆周长最短，最短是．【分析】设AB a，CD b=，由十字形铁芯的面积22ab a-=b半径的平方可表示为22222a bR⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入b化简可得22258116R aa⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用均值不等式可得minR【详解】设正十字形的宽AB a厘米，长CD b=厘米，且0,0a b>>，则由题意得：十字形铁芯的面积22ab a-=所以2ab=，正十字形外接圆周长最短，则圆半径最短，圆半径()22222221224142a bR a baa⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦2258116aa⎛⎫=+⎪⎝⎭20,0a a>>，228118aa∴+≥2225815181616R aa⨯⎛⎫∴=+⎪⎝⎭当且仅当2281aa=时即3cma=时，2minR，此时，32b =，min R =，正十字形外接圆周长最短为：22l R ππ==．答：，宽为3cm 时，． 20．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：()12212,,0nn n a a a a a a a n+++≤≥.小明由此得到启发，在求33x x -，[)0,x ∈+∞的最小值时，小明给出的解法是：3331132323322x x x x x x x -=++--≥-=--=-，当且仅当1x =时，取到最小值-2.（1）请你模仿小明的解法，研究44x x -，[)0,x ∈+∞上的最小值； （2）求出当0a >时，3x ax -，[)0,x ∈+∞的最小值.【答案】（1）-3；（2）【分析】（1）根据小明解法44411143x x x x -=+++--，利用均值不等式求解；（2）转化条件33x ax x ax -=，应用均值不等式求解.【详解】（1）由0x ≥，知44411143434433x x x x x x x -=+++--≥-=--=-， 当且仅当1x =时，取到最小值-3； （2）由0a >，0x ≥，知33x ax x ax ax -=ax ax =-=当且仅当3x =21．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为2m ，底面积为21000m 的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排4m 宽的休闲区，休闲区造价为200元2/m ，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为100元2/m .其他设施等支出大约为1万元，设游泳池的长为m x .（1）试将总造价y （元）表示为长度x 的函数； （2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【答案】（1）()100020001128000y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）当x =时，总造价最低，且最低总造价为()112800元. 【分析】（1）求出游泳池的宽，分别计算出铺游泳池的花费和休闲区的花费，即可得出总造价y （元）关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求得y 的最小值，利用等号成立可得出结论. 【详解】（1）因为游泳池的长为m x ，所以游泳池的宽为1000m x， 铺游泳池的花费为1000100010010002222400250x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 休闲区的花费为()1000100020088100016008x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯++-=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，总造价为100010001000400250160082000112800y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中0x >；（2）由基本不等式可得100020001128002000112800112800y x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭（元），当且仅当x =.因此，当x =时，总造价最低，且最低总造价为()112800元.22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+平方米. 【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）表示400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++，利用均值不等式，即得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得400y x=. 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以4009x x+，所以294000x x +-，解得2516x -. 又0x >，所以016x <. 所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++（平方米）当且仅当x =.所以整个绿化面积的最小值为(824+平方米.23．一个圆心为O 的半圆形如图所示，C 、D 在半圆弧AB 上，AC BD =，AD 与BC 交于点P ，且10AC BC +=.（1）设AC x =，CP y =，求y 关于x 的函数关系式； （2）求APC △面积的最大值：【答案】（1）501010xy x-=-()05x <<；（2）最大值为75-【分析】（1）在直角 APC △中222AP AC CP =+，得501010xy x-=-，再由边长大于零得定义域可得解析式；（2）250575APC S t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭△，由基本不等式求最值可得答案. 【详解】（1）因为10AC BC +=，所以10BC x =-，又CP y =，AC BD =，所以AC BD =，90ACP BDP ∠=∠=， 又APC BPD ∠=∠，所以CAP DBP ∠=∠ 所以ACP BDP ≅， 所以10PB PA x y ==--. 依题意可得CA CB ⊥，在直角 APC △中，222AP AC CP =+， 即222(10)x y x y --=+，整理可得501010xy x-=-，由010********x x x x ⎧⎪>⎪->⎨⎪-⎪>-⎩得05x <<， 所以501010xy x-=-()05x <<.（2）115010(255)221010APC x x x S xy x x x--==⋅=--△， 令10x t -=，则10x t =-，因为05x <<，所以510t <<，所以(10)(255)25025057575275APC t t S t t t---⎛⎫==-+--=- ⎪⎝⎭△当且仅当2505t t=，即t =10x =-. 故APC △面积的最大值为75-24．如图所示，某市现有自市中心O 通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线，要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ，且使A 、B 间的距离||AB 最小，请你确定A 、B 两点的最佳位置（不要求作近似计算）．【答案】A 、B 两点的最佳位置是离市中心O 均为处． 【分析】先以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立直角坐标系．设(,0)A a -、(,)B b b ，则可得直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式可得2222100(22)a b a b ab =++，进而求得ab 的范围，再根据两点间的距离求得10abAB =，进而可得||AB 的范围及最小值．当||AB 取最小值时可求得a ，b 的值，进而求出||OA 和||OB ，确定A ，B 的位置． 【详解】以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立如下图所示的直角坐标系设(,0)A a -、(,)B b b （其中0a >，0)b >，则AB 的方程为b ab y x a b a b=⋅+++， 即()0bx a b y ab -++=．2222100(22)100(22)a b a b ab a ab ∴=++200(1ab =．0ab >，200(21)ab ∴+．当且仅当“222a b =”时等号成立，而10ab AB ==， 20(21)AB ∴+．当222a b =，ab =||AB 取最小值，即a =b =此时OA a ==，OB =A ∴、B 两点的最佳位置是离市中心O 均为处．25．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为4000 m 2矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.（1）设占用空地的面积为S （单位：m 2）， 矩形休闲广场东西距离为x (单位：m ，0x >)，试用x 表示为S 的函数；（2）当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【答案】（1）()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为4880 m 2.【分析】（1）由广场面积可得矩形广场的南北距离为4000xm ，进而可求得结果；（2）根据基本不等式可求得结果.【详解】（1）因为广场面积须为40002m ，所以矩形广场的南北距离为4000xm ， 所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知1600040401040404040800=4840S x x =++≥++，当且仅当40x =时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为48802m .26．某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50/km h ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20/km h 时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30/km h 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入-成本） （2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）4750元；（2）游轮的航速应为40/km h ，最大利润是4800元．【分析】（1）设游船的速度为(/)v km h ，旅游公司单程获得的利润为y （元)，根据利润=收入-成本建立函数关系式，所以24000600015(050)y v v v=--<，代入30/v km h =即可求得； （2）利用基本不等式求出最大利润即可．【详解】解：（1）设游船的速度为(/)v km h ，旅游公司单程获得的利润为y （元)，因为游船的燃料费用为每小时2·k v 元，依题意2·2060k =，则320k =． 所以23100100240006000(?240?)600015(050)20y v v v v v v=-+=--<． 30/v km h =时，4750y =元；（2）2400060001560004800y v v =---=， 当且仅当2400015v v=，即40v =时，取等号． 所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40/km h ，最大利润是4800元．27．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为2(3)360x +L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)【答案】租车的总费用最少是280元，车速为70km/h ．【分析】设总费用为y 元，再根据题意求出y 与x 的关系式，再利用基本不等式求解即可【详解】解设总费用为y 元．由题意，得()2100100980076.47.23240100360x y x x x x x⎛⎫=⨯+⨯⨯+=+≤≤ ⎪⎝⎭．因为98002280y x x =+≥=． 当且仅当98002x x=，即x ＝70时取等号． 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70km/h ．28．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为2300m 的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下.根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区南北长x m .（1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为南北长x 的函数()f x ，并写出x 的取值范围；（2）应该如何设计该隔离病区的边长，才能使工作区域的总占地面积最大？（结果精确到0.1m ）【答案】(1) ()f x =30003808x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，7562x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；(2) 隔离病区的边长为19.4m 时，工作区域的总占地面积最大值.【分析】(1)根据长方形面积计算公式，求出各边边长，然后用总面积减去内部通过到面积和半污染缓冲区面积即可；(2)根据第一问表达式，结合基本不等式求最值即可.【详解】(1)南北长x ，则东西长300x ， 300300()300[32(6)32][(6)2822]f x x x x x ⎛⎫=-⨯+-⨯⨯--⨯+-⨯⨯ ⎪⎝⎭=30003808x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，7562x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ .(2)由(1)可得： 753000682x x x <<+≥， 当且仅当30008,x x x==.此时工作区域面积达到最大，故隔离病区的边长为19.4m 时，工作区域的总占地面积最大值.29．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有2200m 的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天24m 的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积22m ，每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水21m 的损失为250元.现在共派去x 名工人，抢修完成共用n 天. （1）写出n 关于x 的函数关系式；（2）要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修（总损失＝渗水损失＋政府支出）.【答案】（1）1002n x =-，3x ≥，x N +∈；（2）52名工人. 【分析】（1）根据已经渗水的面积和扩散的面积之和等于x 名维修工人抢修n 天所抢修的面积列方程即可；（2）设总损失为y ，则125502502y nx x nx =++⨯，将其整理为关于x 的函数，再利用基本不等式即可求最值.【详解】（1）由题意知：抢修n 天时，维修工人抢修的面积之和为2nx ，而渗水的面积为2004n + 所以有22004nx n =+，可得：1002n x =-，3x ≥，x N +∈. （2）设总损失为y ，则125502502y nx x nx =++⨯62550nx x =+100625502x x x =⋅+-()1250225001250505022x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 25005012502x x ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭250050212522x x ⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭()50125250250125267600⎛⎫≥=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当250022x x =--时，即52x =时，等号成立. 所以应派52名工人去抢修，总损失最小.30．设002a b a b >>+=，，.（1）证明：(1)(1)4a b ab++≥； （2）证明：332a b +≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）把(1)(1)a b ab++展开化简，利用基本不等式即可得证；（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.【详解】（1）证明：因为0a >，0b >，2a b +=.()()13111ab a b ab a a bb ab +++++==+. 且()214a b ab +≤=（当且仅当a b =时取等号）， 故331141ab +≥+=. 所以()()114a b ab++≥ （2）证明：()3322333a b a a b ab b +=+++()333a b ab a b =+++336a b ab =++()23333664a b a b a b +++⋅=++≤当且仅当1a b ==时取等号，又()3328a b +==，故332a b +≥.31．若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，（1）若231x +比3接近1，求x 的取值范围；（2）证明：“x 比y 接近m ”是“231x y m x y+-<--”的必要不充分条件； （3）证明：对于任意两个不相等的正数a 、b ，必有22a b ab +比33+a b接近2【答案】（1）x -<<（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）根据定义可得232x <，从而可求x 的取值范围.（2）通过反例可得“x 比y 接近m ”是“231x y m x y +-<--”不充分条件.利用不等式的性质可证明“x 比y 接近m ”是“231x y m x y+-<--”的必要条件，故可得所证结论. （3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.【详解】（1）因为231x +比3接近1，故231131x +-<-， 故232x <，故28x <，所以x -<（2）取1,2,02x y m =-==， 则1||2||2x m y m -=<=-，故x 比y 接近m . 但23120215922x y m x y +--++==->----， 故“x 比y 接近m ”推不出“231x y m x y +-<--”. 所以“x 比y 接近m ”是“231x y m x y +-<--”不充分条件. 若231x y m x y +-<--，则330x m x y-<-，故()()0x m x y --<， 所以00x m x y -<⎧⎨->⎩或00x m x y ->⎧⎨-<⎩， 若00x m x y -<⎧⎨->⎩，则y x <且x m <，故2x y m x m +<+<， 所以()()20x y m x y +--<， 故()()2220x m y m x y m x y ---=+--<，所以x m y m -<-，也就是“x 比y 接近m ”.若00x m x y ->⎧⎨-<⎩，则x y <且m x <，故2x y m x m +>+>， 所以()()20x y m x y +--<， 故()()2220x m y m x y m x y ---=+--<，所以x m y m -<-，故“x 比y 接近m ”是“31x y m x y+-<--”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a 、b ，要证22a b ab +比33+a b 接近2即证：223322-++<-a b ab a b ，即证：332ab a b a b -<+-+即证：22a b b aa b ++-<-，因为2222a b b a a b b a +++≥=+，因为a b ，故22a b a b b a +>+>220a b a b b a+-+-，所以22a b b aa b ++-<-成立，故22a b ab +比33+a b 接近2【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.32．若对任意的[]1,5x ∈，对任意的[)4,a ∈+∞，不等式2a x b x≤++恒成立，求-a b 的最大值.【答案】33【分析】设(),15a f x x b x x =++≤≤，对a 讨论，分45a ≤≤，525a <≤，25a >，判断()f x 的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设()a f x x b x=++，当45a ≤≤时，()()15f f ≤，可得()f x 的最小值为f b = ，最大值为55a b ++，由题意可得2b ≥，即为2b ≥-23a b a -≤+≤+ ；当525a <≤时，()()15f f >，可得()f x 的最小值为f b =，最大值为1a b ++，由题意可得2b ≥，即为2b ≥-22510233a b a -≤+≤+-=．5>即25a >时，()f x 在[]1,5递减，可得()f x 的最大值为()11f a b =++，最小值为55a b ++， 由题意可得525a b ++≥，即为35a b ≥--，则63355a a a b a -≤++=+， 由25a >，可得-a b 无最大值．综上可得-a b 的最大值为33．【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题。
可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)
可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解）柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当cd ab=取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则的最小值是（ ） A ．B ．4C ．D ．5 2．若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 4．已知正数,x y 满足811x y +=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．105．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．106．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是( )A ．B ．263C ．4D ．153 8．若直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（ ）A．9B ．8C ．3+D ．4+ 9．若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y+=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y+=______2x y +的最小值为 ______．参考答案1．C【解析】试题分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．解：∵a+b=2，∴=1 ∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立） 故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．2．A【解析】【分析】由直线过点()1,2，可得121a b+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,2， 所以121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b+=++=++≥+=， 当且仅当4b a a b =，即2,4a b ==时等号成立. 故选：A【点睛】本题主要考查了均值不等式的灵活运用，考查了运算推理能力，属于中档题.3．D【解析】试题分析：210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+，所以过定点()2,1--，代入直线得21m n +=()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n=时等号成立，取得最小值8考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值4．A【解析】【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值 【详解】 811x y+=()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y x x y=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18 故选A【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题 5．A【解析】【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解.【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A.【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．A【解析】【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值，即可得解. 【详解】解：0x 、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时， 等号成立，∴8m ≤，故选：A .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.7．D【解析】【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【详解】 解：圆222610x y x y ++-+=，22(1)(3)9x y ∴++-=圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称， ∴该直线经过圆心(1,3)-，把圆心(1,3)-代入直线30(0,0)ax by a b -+=>>，得：330a b --+=33a b ∴+=，0a >，0b >∴1311313311(3)101053333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当33b a a b=时取得最小值为153 故选：D ．【点睛】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用． 8．A 【解析】【分析】把(1,2)代入直线方程得,a b 满足的等量关系，用“1”的代换把2za b +凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，∴121a b+=，∴12222(2)()559a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时等号成立，∴2+a b 的最小值为9．故选：A ．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．9．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 10．8【解析】【分析】由直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=， 因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4a b b a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题11．9【解析】【分析】利用 “1”的代换，将x y +化为45x y y x++，进而利用基本不等式求最小值即可； 【详解】∵x ，y 是正数，且141x y+=∴()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =即2y x =（此时3x =，6y =）时取等号；故x y +的最小值为9.故答案为：9【点睛】本题考查了利用基本不等式中“1”的代换求最值，注意不等式中等号成立的条件，属于简单题；12．1，3+【解析】试题分析：由()222log log log x y x y +=+得且，所以，2x y +=(2x y +),当且仅当时取得等号考点：基本不等式。
专项训练：基本不等式
专项训练：基本不等式一、单选题1．若两个正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞1时，≥2C．当x≥2时，x+有最小值2D．当0＜x≤2时，x﹣有最大值3．（题文）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是A．9B．10C．11D．124．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为A．B．C．D．5．已知lg a＋lg b＝0，则lg(a＋b)的最小值为( )A．lg 2B．2 C．－lg 2D．26．若，，则的最小值为A．B．C．D．7．下列结论正确的是( )A．当，时，B．当时，的最小值为C．当时，D．当时，的最小值为8．下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．9．已知，，，则的取值范围是( )A．B．C．D．10．若，则的最小值为（）A．-1B．3C．-3D．1A ． 1B ．C ．D ．12．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．13则f(x)=A ． 最大值B ． 最小值C ． 最大值1D ． 最小值114．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ． y=x+B ． y=sinx+（0＜x ＜π）C ． y=e x +4e ﹣xD ． y=+15x 的值为（ ） A ． 1 D ． 2 16．若实数 ， 满足，则 的最小值为A ．B ．C ．D ．17．下列函数中， y 的最小值为4的是 （ ） A ．C ． 18．在平面直角坐标系中，已知第一象限的点(),a b 在直线2310x y +-=上，则 23a b +的最小值为（ ） A ． 24 B ． 25 C ． 26D ． 2719，则()f x 取最小值时对应的x 的值为（ ）A ． 1- D ． 1 20．已知实数 ， 满足 ，其中 ，则 的最小值为（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 1221．若a ＞b ＞1,P=,Q =(lg a +lg b ),R =lg(),则 A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q b a lg lg ⋅212b a +二、填空题22．已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为________．23．已知，则函数的最小值为______．24．若，则的最小值为__________．25________．26．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．27__________．专项训练：基本不等式参考答案1．A【解析】【分析】根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A 中不满足“正数”，C中“=”取不到．【详解】A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．3．D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B【解析】【分析】根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。
高二数学基本不等式试题
高二数学基本不等式试题1.下列结论中正确的是A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．当时，无最大值【答案】B【解析】使函数有意义，则，当且仅当，即取到等号；对于可能小于0，对于当且仅当，即时取等号，但的最大值为1，错；对于在上为增函数，因此有最大值.【考点】基本不等式的应用.2.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.3.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ( )A．1B．5C．D．【答案】D【解析】由题可知直线进过圆心，即有.为求，可以利用前面的条件换掉,得,但考虑到不好求值，另寻它法.即将“1”.“2”换成,则有,故选D.【考点】巧用“1”和基本不等式证明不等式.4.已知，且，则的最小值是_______.【答案】9【解析】∵a+b=ab，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.【考点】基本不等式求最值.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围【答案】【解析】由题，则，则恒成立即恒成立，则【考点】基本不等式，恒成立问题6.已知x，y，z均为正数．求证：．【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。
【解析】证明：∵x，y，z都是为正数，∴． 4分同理，可得，． 6分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 8分【考点】均值不等式点评：主要是考查了均值不等式的求证不等式的运用，属于中档题。
7.已知，，，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，，，所以，=，当且仅当且时，的最小值为。
【考点】均值定理的应用点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。
8.已知函数在时取得最小值,则__________.【答案】36【解析】根据题意，由于函数在时取得，即时取得最小值故可知36，故答案为36.【考点】函数的最值点评：主要是考查了函数的最值的求解，属于基础题。
高一数学具体的不等式试题答案及解析
高一数学具体的不等式试题答案及解析1.不等式的解集是A．B．C．D．【答案】D【解析】：因为方程的两个根为，所以不等式的解集是。
故选D。
【考点】一元二次不等式的解法．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和实数的性质是解题的关键．2.不等式的解集是【答案】【解析】等价于，所以，，故不等式的解集是。
【考点】简单分式不等式解法点评：简单题，分式不等式解法，主要是转化成整式不等式求解。
3.不等式≥0的解集 .【答案】R【解析】根据题意，不等式≥0等价于,那么根据绝对值的几何意义可知，任意实数的绝对值都大于等于零，故可知解集为R.【考点】一元二次不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的解法的运用，属于基础题。
4.函数在上满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D.【考点】不等式点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。
5.已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】解：由题意借助数轴，|x-3|-|x+2|∈[-5，5]，∵存在实数x使得不等式|x-3|-|x+2|≥|3a-1|成立，∴5≥|3a-1|，解得-5≤3a-1≤5，即-≤a≤2，故答案为[-，2]【考点】绝对值不等式点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|3a-1|≤5，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误6.若不等式kx2-2x+6k<0（k≠0）。
（1）若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k的值；（2）若不等式解集是R，求k的取值。
【答案】(1)；(2)【解析】解：∵不等式kx2-2x+6k＜0（k≠0），不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，∴根据二次函数与方程的关系，得：k＜0，且-3，-2为关于x的方程kx2-2x+6k=0的两个实数根，据韦达定理有-3+(-2)=，(2)根据题意，由于k=0,不符合题意舍去，当k不为零时，则根据开口向下，判别式小于零可知，4-24k<0,k<0得到取值范围是【考点】二次函数与不等式点评：本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题7.已知关于的不等式的解集是，则 .【答案】【解析】因为，关于的不等式的解集是，所以，a=。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1. [2014·兰州调研]设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.2.若方程有实根,则实数的取值范围是___________.[【答案】【解析】原方程可变为：，【考点】方程及重要不等式.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。
设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ．【答案】8【解析】由已知得，，当且仅当时等号成立,因此最大值为8．【考点】球的性质．6.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.7.若,其中为虚数单位,则_________.【答案】【解析】，所以.【考点】复数基本运算.8.已知函数在时取得最小值，则____________.【答案】【解析】由题意得时取得最小值，所以.【考点】重要不等式.9.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式10.设均为正实数，且，则的最小值为____________．【答案】16【解析】由，化为，整理为，∵均为正实数，∴，∴，解得，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为16，故答案为：16．【考点】基本不等式．11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A．a2+b2>2ab B．a+b≥2C．+>D．+≥2【答案】D【解析】对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.故选D.12.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为() A．B．C．+D．+2【答案】C【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1++≥+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选C.13.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.14.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2 B．>C．≥2D．a2＋b2>2ab【答案】C【解析】因为ab>0，所以>0，>0，即≥2 ＝2，所以选C.15.设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝2，则的最大值为() A．B．1C．D．2【答案】B【解析】由a x＝b y＝3得＝log3a，＝log3b，所以＝log3ab≤log3＝log3＝1.16.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．【答案】－2【解析】因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.17.已知函数f(x)＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4 ，当且仅当4x＝(x>0)即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.18.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．【答案】58【解析】由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．19.设，若，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．【答案】B【解析】由得，，∴,又，∴，即，当且仅当，即时取等号，所以. 故.【考点】基本不等式.20.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为【答案】2【解析】∵，∴当且仅当，即时，取得最小值8，故曲线方程为时，方程化为；当时，方程化为，当时，方程化为，当时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线与的图象，由图象可知，交点的个数为2.【考点】基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系.21.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，6分， 8分因为，所以，当且仅当，即时取等号 12分此时取得最大值，最大值为.答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.14分【考点】矩形的面积、基本不等式22.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，则或，则排除与；由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故错；由于，则，即，所以选.【考点】基本不等式.23.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.24.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先令，得，再分类去绝对值解不等式；（Ⅱ）设，去绝对值得，根据原不等式解集为空集得，从而求得.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式即为，若，则，，舍去；若，则，；若，则，．综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设，则，，，，即的取值范围为．（10分）【考点】含绝对值不等式的解法.25.已知，且满足，则的最小值为【答案】【解析】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为。
第14讲 基本不等式 (解析版)
【高中新知识预习篇】第14讲 基本不等式解析版一、基本知识及其典型例题知识点一 基本不等式1.基本不等式的概念：当a ，b > 0，ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤ a ＋b2. 3.基本不等式的常见推论 :(1) (重要不等式) ∀a ，b ∀R ，有a 2＋b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2) ab ≤ 2)2(b a +≤ a 2＋b 22 (R b a ∈、)；(3) b a ＋ab≥ 2 (a ，b 同号)；(4)a 2＋b 2＋c 2 ≥ ab ＋bc ＋ca (R c b a ∈、、). 4.利用基本不等式证明不等式(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项：∀多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；∀累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；∀对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.【例1】证明不等式: a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【证明】∀化简得：2)2(b a ab +≤.0)(,0224,422222222≥-≥+-++≤++≤b a b ab a b ab a ab b ab a ab 即，即即.时取等号当且仅)2(0)(2b a b a ab b a =+≤∴≥-当恒成立，恒成立， ∀)(22,2422)2(22222222222b a b ab a b a b ab a b a b a +≤+++≤+++≤+即化简得：.0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即即.2)2(222时等式成立恒成立，当且仅当同理，b a b a b a =+≤+综上， a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【变式1】已知x ，y 都是正数. 求证：(1)y x ＋xy ≥2； (2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3;（3）已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 【证明】 (1)∀x ，y 都是正数，∀x y > 0，yx > 0，∀y x ＋xy≥ 2y x ·x y ＝ 2， 即 y x ＋xy≥ 2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立.(2)∀x ，y 都是正数，∀x ＋y ≥ 2xy > 0， x 2＋y 2 ≥ 2x 2y 2 > 0，x 3＋y 3 ≥ 2x 3y 3 > 0.∀(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即 (x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立. (3)∀a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∀2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立..1.a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当…时，取等号”这句话的含义是：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【例2】(多选题)设a >0，b >0，下列不等式中恒成立的有（ ） A.a 2＋1>a B.4)1)(1(≥++bb a a C.4)11)((≥++ba b a D.a 2＋9>6a .【解析】由于a 2＋1－a ＝2)21(-a ＋34>0，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∀4)1)(1(≥++bb a a ，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab， 故4)11)((≥++ba b a ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立. 综上，恒成立的是ABC.【变式2】下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ）. A．x y +≥B ．21x x +>2C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 【答案】C【分析】取特殊值可得a,b,D 不恒成立，由211x +≥可得C 对应的不等式2111x ≤+恒成立，得解. 【解析】对于A ，当0x <时，根式无意义，故A 不恒成立； 对于B ，当1x =时，212x x +=，故B 不恒成立； 对于C ，211x +≥，所以2111x ≤+成立，故C 成立； 对于D ，当0x <时，12x x+<，故D 恒不成立， 即对任何实数x 都成立的一个式子是2111x ≤+ 【例3】已知，，若，证明：。
高一数学基本不等式试题答案及解析
高一数学基本不等式试题答案及解析1.若实数、分别满足，，则的值为 .【答案】.【解析】由题意实数、分别满足，知，、可以看成是一元二次方程的两个实数根，然后再根据韦达定理可得：，. 由这两个式子可知实数、均为负数，所以化简原式即可得到：.【考点】一元二次方程根与系数之间的关系.2.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得.【考点】基本不等式的应用.3.正数、满足，那么的最小值等于___________.【答案】.【解析】由基本不等式，可知，又∵，∴，又∵，，∴可解得，当且仅当时，“=”成立，∴的最小值为.【考点】基本不等式求最值.4.若，则函数有（）A．最小值1B．最大值1C．最大值D．最小值【答案】C【解析】因为，所以=，即最大值.故答案为：C.【考点】基本不等式.5.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数．根据基本不等式有,因为恒成立,所以,消掉,解得．所以．【考点】不等式恒成立;基本不等式．6.若正数,满足,则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由已知得，所以时等号成立）。
【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等7.已知正数满足，则的最小值为．【答案】【解析】.【考点】基本不等式.8.若正数x，y满足，则的最小值是_____．【答案】5【解析】把化简得：，∴.【考点】基本不等式.9.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1．【考点】基本不等式．10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。
基本不等式及其应用 习题及解析
基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。
35B。
105C。
140D。
2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。
2B。
4C。
8D。
163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。
$a=b$B。
$a=b=1$XXX 1$D。
$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。
0B。
$\frac{1}{4}$C。
$\frac{1}{2}$D。
15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。
3B。
4C。
5D。
66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。
$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。
$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。
4B。
6C。
8D。
98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。
2B。
3C。
4D。
59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。
$y=x^2+1$B。
$y=2-x^2$C。
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析
基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab−2a−b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy⋅2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a−2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m⋅2t+21−t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m−|2−x|，且f(x+2)>0的解集为(−1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x−1|−|x+a|(a∈N∗)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y −3=−(x −1)，化为：x +y =4． 设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ⋅4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号． 故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ， ∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ⋅32y x =10+8=18， 当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4； 相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ⋅y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得． 本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ⋅a b =32+√2， 当且仅当b 2a =a b 时，即a =2−√2，b =2√2−2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6−1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅6x 2+1−1=2√6−1，当且仅当x 2=√6+1时取等号， 故答案为：2√6−1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1【解析】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab−2a−b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|⋅2|a|b=a8|a|+1≥−18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=−23，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3−x⋅(2y)≥3−(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)−12≥0，即：(x+2y−2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ⋅2√1a ⋅1b=4． 故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a −2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ⋅14b =2√2a−2b =2√2−8=18 当且仅当a =−2b 即b =2，a =−4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ⋅14b ，结合已知即可求解． 本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2⋅b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号， 12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号， ∴ab+b a 2+b 2+1=ab+b a 2+b 22+b 22+12≤√2ab+√2b =√2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号， 故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22， 故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2⋅b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2⋅2t+21−t，即2⋅(2t)2−5⋅2t+2=0．亦即(2⋅2t−1)(2t−2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立．∵m⋅2t+21−t=m⋅2t+2⋅2−t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当12⋅2t=2⋅2−t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m⋅2t+21−t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立，求出m⋅2t+21−t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m−|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(−1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)，根据解集为(−1,1)可得m；(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a+12b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴−3≤a≤1，∵a∈N∗，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy⋅12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1x +2y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题。
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3， 当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立， 故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题． 【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（ ） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值． 【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（ ） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25， 当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n， 所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16， 当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为 ．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为 ．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10， 当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为 ．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号， 此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为 ．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)， 则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33， 当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号， 所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33． 故答案为：5−2√33． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为 ． 【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1， 令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为 ． 【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2， 当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0， 得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立， 则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9； 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题． 【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ， 所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增， 故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2， 故9﹣m ＝2n ， 所以m +2n ＝9， 所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性． 【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为 ，等号成立时m ，n 满足的等量关系是 ．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ． 故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题． 【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元 故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可． （2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250）， 当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528， 当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ）， 所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小， 最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。
人教版七年级数学第九章第1节《不等式》单元训练题 (4)(含答案解析)
第九章第1节《不等式》单元训练题 (4)一、单选题1．若x ＜y ，则下列式子不成立的是（ ）A ．x －1＜y －1B ．－2x ＜－2yC ．x ＋3＜y ＋3D ．2x ＜y 22．若a ＞b ，则下列各式中不成立的是（ ） A ．a ＋2＞b ＋2 B ．－12＋a ＜－12＋b C ．2a ＞2b D ．－12a ＜－12b 3．若x y >，则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．22x y >B ．22x y ->-C ．22x y >D ．22x y > 4．若a ＜b ，则下列变形正确的是( )A ．a －1>b －1B ．44a b >C ．－3a >－3bD ．11a b > 5．下列说法不一定成立的是（ ）A ．若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋cB ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则ac ＞ bcD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b6．若a b >，则下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．11a b ->-B ．33a b -<-C ．1212a b -<-D ．am bm >7．下列命题中是真命题的是（ ）A 3=±B ．若a b ≤，则3131a b +≤+C ．垂线最短D ．同旁内角相等，两直线平行8．对于实数,,a b c 中，给出下列命题：①若a b <，则a c b c -<-；②若ab c >，则c a b>；③若32a a ->，则0a <；④若a b >，则22ac bc >.其中真命题有( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 9．如图，平面直角坐标系中有P 、Q 两点，其坐标分别为P （4，a ）、Q （b ，6）．根据图中P 、Q 两点的位置，判断点（9﹣2b ，a ﹣6）落在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四10．若x ＜y ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．33x y -<-B ．55x y >-C ．22x y >D ．66x y ->- 11．根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）A ．由a b >，得2ac ＞2bcB ．由2ac ＞2bc ，得a b >C ．由122a >，得2a < D ．由2x+1＞x ，得x ＞1 12．若a >b ，则下列不等式中，一定正确的是（）A ．22a b >B ．-2a >-2bC ．a 2>b 2D ．||||a b >13．若m ＞ n ，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．m ＋3＞n ＋3B ．－2m ＞－2nC ．m －2＞n －2D ．33m n > 14．下列命题中是真命题的是A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B ．两个锐角的和是锐角C ．点(3，2)到x 轴的距离是2D ．若a ＞b ，则a -＞b -15．不论x 为何值，下列不等式恒成立的是（ ）A ．10000x +≥B ．10000x -≤C ．2(1000)20x -++≤D ．2(1000)22x -++≤ 16．如果a b >，那么下列不等式成立的是（ ）A ．-0a b <B ．-3-3a b <C ．--a b <D ．1133a b < 17．若a<b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a-5>b-5B ．-2a>-2bC ．2a-5>2b-5D ．-2a>-3b18．已知a ＞b ，则下列不等关系中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．a ＋c ＞b ＋cC ．a －1＞b ＋1D ．ac 2＞bc 219．若a b >，则下列式子中一定成立．．的是（ ） A ．33a b ->- B ．11a b -<- C ．22a b > D ．11a b>A ．a-1＞b-1B ．ac 2＞bc 2C ．-a ＜-bD ．3a ＞3b 21．若a b >，则（ ）A ．a b ->-B ．a b <-C ．22a b ->-D ．22a b -<-22．若x y >，则下列式子错误的是（ ）A ．11x y ->-B ．33x y ->-C ．11x y +>+D ．33x y > 23．已知a b <，下列不等式中，不成立的是（ ）A ．11+<+a bB ．a b ->-C ．22a b -<-D ．23a b <24．若0a b >>，则下列结论正确的是（ ）A ．22a b -<-B ．22a b ->-C ．1122a b <D >25．若a>b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b -<-B ．22a b ->-C ．1122a b > D ．22a b ->- 26．如果a ＜ b ，则下列式子错误的是（ ）A ．a +7＜ b +7B ．a ﹣5＜ b ﹣5C ．﹣3 a ＜﹣3 bD ．66a b < 27．若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ）A ．2﹣x ＞2﹣yB ．x ﹣3＞y ﹣3C ．x+3＞y+2D ．3x ＞3y二、填空题28．已知a +b =4，若﹣2≤b ≤﹣1，则a 的取值范围是____．29．若a b >，则21a +_______2b 1+（填“>”或“<”）．三、解答题30．阅读材料，解决问题：材料1：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、末三位、末四位即可，推广成一条结论：末n 位能被5n 整除的数，本身必能被5n 整除，反过来，末n 位不能被5n 整除的数，本身也不可能被5n 整除例如判断992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：2255=，50252÷=为整数，∴9922504÷=不为整数，∴992250不能被625整除．=，2250625 3.66255材料2：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，则原数能被11整除，反之则不能．（1）若62m这个三位数能被11整除，则m=_____；在该三位数末尾加上和为8的两个数字，让其成为一个五位数，该五位数仍能被11整除，求这个五位数；（2）若5abcde这个六位数，千位数字是个位数字的2倍，且这个数既能被125整除，又能被11整除，求这个数．【答案与解析】1．B【解析】各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果．A ．∵x<y ，∴x−1<y−1，成立；B ．∵x<y ，∴-2x ＞-2y ，，故不成立；C ．∵x<y ，∴x+3<y+3，成立；D ．∵x<y ，∴2x ＜y 2，成立； 故选:B ．本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．2．B【解析】根据不等式的性质逐个判断即可．解：A 、∵a ＞b ，∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；B 、∵a ＞b ，∴－12＋a ＞－12＋b ，故本选项符合题意； C 、∵a ＞b ，∴2a ＞2b ，故本选项不符合题意；D 、∵a ＞b ，－12a ＜－12b ，故本选项不符合题意； 故选：B ．本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．A【解析】根据不等式的性质即可求出答案．解：（A ）当x=1，y=-2时，x ＞y ，但x 2＜y 2，故A 不一定成立，符合题意 ；（B ）在不等式x ＞y 两边都减去2，不等号的方向不变，故B 成立，但不符合题意；（C ）在不等式x ＞y 两边都乘以2，不等号的方向不变，故C 成立，但不符合题意；（D ）在不等式x ＞y 两边都除以2，不等号的方向不变，故D 成立，但不符合题意；故选：A ．本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．4．C【解析】根据不等式的性质逐个判断即可．解：A 、∵a ＜b ，∴a−1＜b−1，故本选项不符合题意；B 、∵a ＜b ， ∴44a b <，故本选项不符合题意； C 、∵a ＜b ，∴−3a ＞−3b ，故本选项符合题意；D 、当0,0,a b a b <<<时，11a b >； 当0,0,a b a b <><时，11ab <； 当0,0,a b a b >><时，11a b>；故本选项不符合题意； 故选：C ． 本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．5．C【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．解：A 、∵a ＞b ，∴a+c ＞b+c ，A 成立；B 、∵a+c ＞b+c ，∴a ＞b ，B 成立；C 、∵a ＞b ，c ＞0，∴ac ＞ bc ，C 不一定成立；D 、∵ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b ，D 成立．故选：C ．本题考查了不等式的性质，牢记不等式的性质是解题的关键．6．D【解析】根据不等式的性质逐一判断即可.解：∵a b >，根据不等式的性质可得：∴11a b ->-，33a b -<-，1212a b -<-，而m 的符号未知，当m=0时，am bm ==0，故D 选项不一定成立，故选D.本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．7．B【解析】分别利用算术平方根，不等式的性质，垂线段公理以及平行线的性质分析得出即可判断．A 3=，此命题是假命题；B 、若a b ≤，则3131a b +≤+，此命题是真命题；C 、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为假命题；D 、同旁内角互补，两直线平行，此命题是假命题；故选：B ．本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握相关性质定理以及相关的概念是解题的关键．8．B【解析】利用不等式的基本性质，结合特殊值的方法对每个选项逐一验证选项，确定正确选项即可． 解：①若a b <，则a c b c -<-；故①正确．②若ab c >，当0b <时，则c a b<； 故②错误． ③若32a a ->，则0a <；故③正确．④若a b >，当c=0时22ac bc =；故④错误．故选：B本题主要考查命题的真假，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，排除错误选项，是此类问题常用的思维方法，属于中档题．9．D利用Q ，P 的位置可得a ＜6，b ＜4，进而得出9﹣2b ＞0，a ﹣6＜0，进一步即得答案．解：由题意可得：a ＜6，b ＜4，则9﹣2b ＞0，a ﹣6＜0，故点（9﹣2b ，a ﹣6）落在第四象限．故选：D ．本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标符号特点和简单的不等关系的判断，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．10．C【解析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 解：A ，不等式两边同时减3，不等式的方向不变，选项A 正确；B ，不等式两边同时乘-5，不等式的方向改变，选项B 正确；C ，x ＜y ，没有说明x ，y 的正负，所以22x y >不一定成立，选项C 错误；D ，不等式两边同时乘16-，不等式的方向改变，选项D 正确； 故选：C ．本题主要考查了不等式的性质，即不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；理解不等式的性质是解题的关键．11．B【解析】根据不等式的性质，可得答案．解；A 、a ＞b ，c=0时，ac 2=bc 2，故A 错误；B 、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B 正确；C 、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由122a >，得4a >，故C 错误； D 、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，由2x+1＞x ，得x ＞-1，故D 错误； 故选：B ．本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 12．A根据不等式的性质逐一分析即可．解：A ．∵a b >，∴22a b >，该选项正确； B ．∵a b >，∴22a b -<-，该选项错误；C ．2a 与2b 的大小关系与a 和b 的绝对值有关，已知a b >无法判断2a 与2b 的大小关系，该选项错误；D ．绝对值表示在数轴上该数对应的点到原点的距离，已知a b >无法判断a 与b 的大小关系，该选项错误；故选：A ．本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．13．B【解析】根据不等式的性质求解即可．解：A 、两边都加3，不等号的方向不变，故A 不符合题意；B 、两边都乘以-2，不等号的方向改变，故B 符合题意；C 、两边都减-2，不等号的方向不变，故C 不符合题意；D 、两边都除以3，不等号的方向不变，故D 不符合题意；故选：B ．本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．14．C【解析】根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解． A ，两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；B ，两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；C ，点(3，2)到x 轴的距离是2是真命题，故本选项正确；D ，若a >b ，则−a >−b 是假命题，正确结果应为−a <−b ，故本选项错误．本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．15．D【解析】利用不等式的性质解答本题解：A 、不等式两边同时减去1000，整理，得1000x ≥-，不符合题意；B 、不等式两边同时加1000，整理，得1000x ≤，不符合题意；C 、不等式变形为：()210002x +≤，根据平方本身非负，得()2010002x ≤+≤，当x=0时，此不等式不成立，不符合题意；D 、不等式两边同时减2，整理，得()210000x -+≤，两边同时乘以－1，得()210000x +≥，所以无论x 取何值，该不等式恒成立．故选：D本题考查不等式的性质，正确运用不等式的性质是解答本题的关键．16．C【解析】根据不等式的性质，逐项判断即可．解：∵a ＞b ，∴a−b ＞0，∴选项A 不符合题意；∵a ＞b ，∴a−3＞b−3，∴选项B 不符合题意；∵a ＞b ，∴−a ＜−b ，∴选项C 符合题意；∵a ＞b ， ∴1133a b >， ∴选项D 不符合题意；故选：C ．方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．17．B【解析】根据不等式的性质逐项判断即可得．A 、不等式的两边同减去5，不等号的方向不变，即55-<-a b ，此项一定不成立B 、不等式的两边同乘以2-，不等号的方向发生改变，即22a b ->-，此项一定成立C 、不等式的两边先同乘以2，不等号的方向不变，即22a b <；不等式的两边再同减去5，不等号的方向不变，即2525a b -<-，此项一定不成立D 、不等式的两边同乘以2-，不等号的方向发生改变，即22a b ->-，但2b -与3b -的大小关系不能确定，此项不一定成立故选：B ．本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．18．B【解析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断即可．解：A 、不等式两边都乘以c ，当c ＜0时，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意； B 、不等式两边都加上c ，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；C 、不等式的两边一边加1一边减1，不等号的方向不确定，原变形错误，故此选项不符合题意；D 、不等式的两边都乘以c 2，当c=0时，变为等式，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：B ．本题考查了不等式的基本性质．解题的关键宋掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．19．B【解析】不等式左右两边同乘以一个负数，不等式符号要变号；不等式左右两边同时加上或减去一个数，不等式符号不变号，根据以上两个定理，可以将A 、B 选项的正误进行判断，同时再通过举反例的方法，也可判断C 、D 选项的正误．解：A 选项：不等式两边同时乘以负数，不等式符号要变号，故-3a ＜-3b ，故该选项错误； B 选项：先将原式左右两边同乘以-1，不等式变号，得：-a ＜-b ，在上式中，左右两边同时加上1，不等式不变号，得：1-a ＜1-b ，故该选项正确；C 选项：举反例：若a=1，b=-3，满足a ＞b ，但是22a b <，故该选项错误；D 选项：举反例：若a=1，1b=2，满足a ＞b ，但是11a b <，故该选项错误， 故选：B ．本题主要考察了不等式的性质，不等式左右两边同乘以一个负数，不等式符号要变号；不等式左右两边同乘以一个正数，不等式符号不变号；不等式左右两边同时加上或减去一个数，不等式符号不变号，掌握以上性质，就能较快作出判断．20．B【解析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．进行判断即可．解：因为a ＞b ，所以a-1＞b-1．所以A 选项成立；因为a ＞b ，所以当c=0时，ac 2=bc 2．所以B 选项不一定成立；因为a ＞b ，所以-a ＜-b ．所以C 选项成立；因为a ＞b ， 所以33a b >， 所以D 选项成立；故选：B ．本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．21．D【解析】直接利用不等式的基本性质即：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断选项得出答案．解：A 、不等式的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变，故A 错误；B 、不等式的两边同时乘以﹣1，不等号的方向才改变，故B 错误；C 、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，故C 错误；D 、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，故D 正确．故选：D要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．22．B【解析】根据不等式的性质对各个选项逐一判断，选出错误一项即可．A 、x y >，根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，33x y ->-，正确，不符合题意；B 、x y >，根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故33x y -<-，错误，符合题意；C 、x y >，根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，11x y +>+，正确，不符合题意；D 、x y >，根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不改变，故33x y >，正确，不符合题意； 故选：B ．本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解决本题的关键，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．23．D【解析】根据不等式的性质逐一判断即可．解：A 、∵a b <，∴11+<+a b ，故A 选项正确；B 、∵a b <，∴a b ->-，故B 选项正确；C 、∵a b <，∴22a b -<-，故C 选项正确；D 、∵不等式两边同时乘以的不是同一个数，∴2a ，3b 无法比较大小，故D 选项错误．故选D ．本题考查了不等式的性质．不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号方向不发生改变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不发生改变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向发生改变．24．D【解析】利用不等式的基本性质逐一判断即可．解：A ．∵0a b >>，∴22a b ->-，本选项不符合题意；B ．∵0a b >>，∴22a b -<-，本选项不符合题意；C ．∵0a b >>，∴1122a b >，本选项不符合题意；D ．∵0a b >>，>故选：D ．此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．25．C【解析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．进行判断即可．解：∵a ＞b ，∴a−2＞b−2．所以A 选项不成立；∵a ＞b ，∴2−a ＜2−b ．所以B 选项不成立；∵a ＞b ，∴1122a b >．所以C 选项成立； ∵a ＞b ，∴−2a ＜−2b ．所以D 选项不成立；故选：C ．本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．26．C【解析】根据不等式的性质，逐项判断即可．解：∵a ＜b ，∴a+7＜b+7，故选项A 不符合题意；∵a ＜b ，∴a-5＜b-5，故选项B 不符合题意；∵a ＜b ，∴-3a ＞-3b ，故选项C 符合题意；∵a ＜b ，∴66a b <，故选项D 不符合题意． 故选：C ．此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．27．A【解析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．解：A 、不等式x ＞y 的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，得﹣x ＜﹣y ，不等式﹣x ＜﹣y 的两边都加上2，不等号的方向不变，得2﹣x ＜2﹣y ，原变形错误，故此选项符合题意；B 、不等式x ＞y 的两边都减去3，不等号的方向不变，得x ﹣3＞y ﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；C 、不等式x ＞y 的两边都加上2，不等号的方向不变，得x+2＞y+2，所以x+3＞y+2，原变形正确，故此选项不符合题意；D 、不等式x ＞y 的两边都除以3，不等号的方向不变，得3x ＞3y ，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：A ．本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．28．5≤a ≤6．【解析】根据已知条件可以求得b=4-a ，然后将b 的值代入不等式-2≤b≤-1，通过解该不等式即可求得a 的取值范围．解：由a +b =4得b =4﹣a ．∵﹣2≤b ≤﹣1，∴﹣2≤4﹣a ≤﹣1，∴5≤a ≤6．故答案为：5≤a ≤6．本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．29．>【解析】根据不等式的性质解答即可．解：∵a b >，∴2a>2b ，∴21a +>2b 1+．故答案为：>．本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．30．（1）8m =，68244；（2）该数为580250或500500或530750或550000【解析】（1）奇数位分别是6和2，偶数为是m ，根据题意可知6＋2−m 能被11整除，且m 为0至9的正整数，从而可求出m 的值；设该五位数为682(8)a a -，由题意可知16(8)82a a a --+=-能被11整除，从而求出a 的值即可；（2）根据题意可知：b ＝2e ，所以e 只能取0或1或2或3或4，由该数能被125整除可知cde 可以是250或500或750或000，然后由能被11整除可得5a c d e --+++能被11整除，再分情况求出a 、b 、c 、d 、e 的值即可．解：（1）奇数位分别是6和2，偶数为是m ，由材料可知：62m +-能被11整除，09m ≤≤，且m 是正整数，8m ∴=， 设该五位数为682(8)a a -，∴奇数位之和为：62816a a ++-=-，偶数位之和为：8a +，∴根据题意可知：16(8)82a a a --+=-能被11整除，08a ≤≤且a 为正整数，8828a ∴-≤-≤，820a ∴-=，4a ∴=，∴该数为68244；（2）由题意可知：2b e =，09b ≤≤且b 为整数04e ∴≤≤，0e ∴=或1或2或3或4，∴由材料一可知：三位数cde 能被125整除，125cde n ∴=，n 为正整数，17n ∴≤≤，0e =或1或2或3或4，2n ∴=或4或6，∴六位数5abcde 中的cde 可以是250或500或750或000，奇数位之和为：52e d ++，偶数位之和为：a c e ++，52()5e d a c e a c d e ∴++-++=--+++能被11整除，①当cde 是250时，2c ∴=，5d =，0e =，0b =，58a c d e a ∴--+++=-+，09a ≤≤，188a ∴-≤-+≤，80a ∴-+=，8a ∴=，∴该数为580250；②同理可得，当cde 是500时，该数为500500；③当cde 是750时，该数为530750；④当cde 是000时，该数为550000，综上所述，该数为580250或500500或530750或550000．本题涉及不等式的性质，整除的性质，分类讨论的思想，综合考查学生的推理计算能力以及阅读理解能力．。
高考数学专题03 不等式(解析版)
专题03 不等式一、单选题1．（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式10x x->成立的一个充分条件是（ ） A ．1x <- B ．1x >- C ．10x -<< D ．01x <<【答案】C 【分析】 首先解不等式10x x->得到1x >或10x -<<，再根据充分条件定理求解即可. 【详解】()()211001101x x x x x x x x-->⇒>⇒+->⇒>或10x -<<， 因为{}{|01x x x x ≠<<⊂或}10x -<<， 所以不等式10x x->成立的一个充分条件是01x <<. 故选：C2．（2022·江苏如皋·高三期末）已知a b ＝3－ln4，c ＝32，则下列选项正确的是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】C 【分析】由e 2.718,ln 20.69≈≈及不等式性质，进行计算即可得出结果. 【详解】 229e, 2.254a c ===，∴22a c >,即a c >， 2222(3ln 4) 1.62 2.6244b a =-==<，∴a b >，331e 1193ln 4 1.52ln 2ln ln 02216216b =--=-=>>，∴b c >，∴a b c >>，故选：C3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知11a b >+> 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b ab B ．11a b a b+>+ C ．1e 1ln bb a a+<- D ．ln ln a b b a +<+【答案】C 【分析】错误的三个选项ABD 可以借助特殊值法进行排除，C 可以利用求导得出证明. 【详解】取10,8a b ==，则b a b ，故A 选项错误；取3a =，13b =，11a b a b+=+，则B 选项错误； 取3a =，1b =，则ln 3a b ，2ln 1ln31ln 3b a e ，即ln ln a b b a +>+，故D 选项错误；关于C 选项，先证明一个不等式：e 1x x ≥+，令e 1x y x =--，e 1xy '=-， 于是0x >时0y '>，y 递增；0x <时0y '<，y 递减； 所以0x =时，y 有极小值，也是最小值0e 010--=， 于是e 10x y x =--≥，当且仅当0x =取得等号，由e 1x x ≥+，当1x >-时，同时取对数可得，ln(1)x x ≥+， 再用1x -替换x ，得到1ln x x -≥，当且仅当1x =取得等号， 由于11a b >+>，得到e 1bb ，ln 1a a <-，111ln e b a b a ，即1e 1ln bb a a+<-， C 选项正确. 故选：C.4．（2022·湖南郴州·高三期末）已知函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，则2m n +的最小值是（ ） A．6 B ．C ．8 D ．【答案】D 【分析】有()()f x f x =-可得m 、n 的关系，再用均值不等式即可. 【详解】因为函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，所以()()f x f x =-，xxxxm n m n --+=+，x xxxx xm n m n m n ++=因为0,0,1,1m n m n >>≠≠，所以1x x m n =，即1mn =，2m n +≥m n =. 故选:D.5．（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a ，b 满足28log 3log 6a =+，6810a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2a b >> D ．2b a >>【答案】C 【分析】根据对数和指数的单调性可判断2a >，2b >；在构造函数()6810x x xf x =+-，2x >，再根据换元法和不等式放缩，可证明当2x >时，()68100x x xf x =+-<，由此即可判断,a b 的大小.【详解】因为()28221log 3log 6log 3log 233a =+=+⨯2241414317log 3log 233333233=+>=⨯+=>，所以2a >； 由6810a a b +=且2a >，所以683664100a a +>+=，所以2b >，令()6810x x xf x =+-，2x >，令20t x =-> ，则2x t =+，则()6810x x x f x =+-，2x >等价于()36664810010t t tg t =⨯+⨯-⨯，0t >；又()366648100101008100100t t t t tg t =⨯+⨯-⨯<⨯-⨯<，所以当2x >时，()68100x x xf x =+-<，故681010a a b a +=<，所以2a b >>． 故选：C ．6．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x ，y 满足115x y x y+++=，则x y +的最小值与最大值的和为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】利用基本不等式进行变形得4x y xy x y+≥+，然后将115x y x y +++=进行代换得45x y x y++≤+，继而解不等式可得答案. 【详解】 因为0,0x y >>,所以x y +≥，即2()2x y xy +≤ ， 所以214()xy x y ≥+，即4x y xy x y+≥+， 又因为115x yx y x y x y xy++++=++=， 所以45x y x y++≤+，即2()5()40x y x y +-++≤ ， 解得14x y ≤+≤ ，故x y +的最小值与最大值的和为5， 故选：B7．（2022·山东青岛·高三期末）已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．a <c <b D ．c <a <b【答案】D 【分析】先通过简单的放缩比较c 和a 的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较b 和a 的大小，由此可得答案. 【详解】 293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a ∴<3132π2a π==⨯， 设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯= ()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点 ∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x x π> 10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a > ∴c a b <<故选：D.8．（2022·山东枣庄·高三期末）已知1x >，则11x x +-的最小值是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】D 【分析】 由于1x >，把11x x +-转化为11++11x x --，再利用基本不等式求出最小值即可得到答案. 【详解】1x >，故110,01x x ->>-，111121=31x x ∴-++≥=+-，当且仅当1121x x x -=⇒=-时，等号成立，故11x x +-的最小值是3. 故选：D.9．（2022·河北张家口·高三期末）已知102,105x y ==，则（ ） A ．1x y +< B ．14xy >C ．2212x y +> D ．25y x ->【答案】C 【分析】结合指数运算、基本不等式、对数运算、比较大小等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】因为10101010x y x y +⋅==，所以1x y +=，所以A 错误；又102,105x y ==，所以0,0x y >>，又,1x y x y ≠+=>，所以14xy <，所以B 错误； 因为222()12x y x y xy +==++，所以2212x y xy +=-，又14xy <，所以2212x y +>，故C 正确； 因为lg5,lg2y x ==，所以2552lg ,lg1025y x -==，故只要比较52和2510的大小即可，又55255312510010232⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52lg 25y x -=<，故D 错误.故选: C二、多选题10．（2022·江苏无锡·高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <【答案】ABD 【分析】先根据函数单调性，得到0b a <<，AC 选项用作差法比较大小；B 选项用基本不等式求取值范围；D 选项，先用作差法，再结合函数单调性比大小. 【详解】e e 1b a <<，则0b a <<，因为22()()0a b a b a b -=-+<，所以22a b <，A 选项正确；因为0b a <<，所以0,0b a a b >>，由基本不等式得：2a b b a +>=，B 选项正确； 2()0ab b b a b -=-<，2ab b ∴<，C 选项错误；2()0a ab a a b -=-<，2a ab ∴<，2lg lg a ab ∴<，D 选项正确，故选：ABD11．（2022·广东·铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2< C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 【答案】CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 即AB 错误，D 正确.对于C 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=，C 选项正确. 故选：CD12．（2022·广东汕尾·高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a b c c > B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b ab++>【答案】BD 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合题意，可判断A 、B 、C 的正误，根据基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】函数x y c =，因为01c <<，所以x y c =是减函数， 因为a >b ，所以a b c c <，故A 错．函数c y x =，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞是增函数， 因为a >b ，所以c c a b >，故B 正确．函数log c y x =，因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞是减函数， 因为a >b ，所以log log c c a b <，故C 错．11()1124a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，又a b >，所以11()4a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD13．（2022·湖南常德·高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥【答案】BD 【分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项分析即得. 【详解】∵0a >，0b >，111a b +=≥∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，故A 错误；由()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即2a b ==时取等号，故B 正确；因为228a b ≥=+，当且仅当2a b ==时取等号，故C 错误； 因为()2222log log log log 42a b ab +=≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故D 正确. 故选：BD.14．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>【答案】ACD 【分析】利用()()f a f b =，可得lg lg a b -=，从而得到1ab =，再对每一个选项进行分析即可. 【详解】因为()()f a f b =，且a b <，可得lg lg lg lg 0a b a b -=⇒+=，从而得到1ab =， 因为0a b <<，所以01a b <<<，所以2221111()244b b b b a -=-+=--+<，而12a b b b +=+>，（1b >，等号不成立）所以422a b >==+. 从而可知选项ACD 正确. 故选：ACD15．（2022·山东泰安·高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >【答案】BCD【分析】以求差法判断选项AB ；以均值定理判断选项C ；以绝对值的几何意义判断选项D. 【详解】 选项A ：()()11()a a b b a b a a b a a b a ---==---，由0a b <<，可知0a <，0b <，0a b -<，则()0ba b a <-，即11a b a<-.选项A 判断错误；选项B ：11b a a b ab --=，由0a b <<，可知0a <，0b <，0b a ->，则0b aab ->，即11a b>.选项B 判断正确；选项C ：当0a b <<时，2a b b a +>=.选项C 判断正确；选项D ：当0a b <<时，a b >.选项D 判断正确. 故选：BCD16．（2022·山东德州·高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ） A．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C D ．lg lg a b +的最小值为3lg 2【答案】ACD 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式判断AD C ，由对数的运算结合基本不等式判断B. 【详解】由2a b ab +=可得，211b a +=，212()3322a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭（当且仅当2b =等号），故A 正确；214(2)44248a b ab a b b a b a ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭（当且仅当24b a ==时，取等号），即lg lg lg lg83lg 2a b ab +=≥=，故D 正确；222a b ab +≥（当且仅当3b a ==时，取等号），8ab （当且仅当24b a ==时，取等号），即2216a b +>，故B 错误；2212112b a b =+++=≤1212a b ==时，取等号），故C 正确； 故选：ACD17．（2022·山东烟台·高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤ D ．若1a b +=，则114a b+≥【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐项判断. 【详解】A.若1ab =，则2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；B.若1ab =，则112a b +≥当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；C.若1a b +=，则()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b ==时，等号成立，故错误； D.若1a b +=，则2111421a b ab a b ab a b +==≥++⎛⎫⎪⎝⎭=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确； 故选：ABD18．（2022·山东济南·高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+ D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为4【答案】BC 【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于BC ，作差判断即可，对于D ，利用基本不等式判断 【详解】对于A ，因为0a b c >>>，所以11a b <，10c a<-，所以()()11a c a b c a >--，所以A 错误， 对于B ，因为0a b c >>>，所以()0,()0c a b a a c ->+>， 所以()()()0()()()b c b a b c b a c ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c a a c ++-++----===>++++，所以b b ca a c+<+，所以B 正确， 对于C ，因为0a b c >>>，所以0,0a c b c ->->，所以2()()()()()0ab c ac bc a b c c b c a c b c +-+=---=-->，所以2ab c ac bc +>+，所以C 正确，对于D ，因为0,0a b >>，所以()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，因为a b >，所以取不到等号，所以()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值不为4，所以D 错误，故选：BC三、填空题19．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则23x y xy++的最小值为__________．【答案】9+ 【分析】利用基本不等式来求得最小值. 【详解】 由题意可知，23x y xy ++＝233x y x y xy +++＝45x y xy +＝4y ＋5x ＝（4y ＋5x）（x ＋y ）＝4＋5＋4x y ＋5y x ≥9＋9+，当且仅当4x y ＝5yx，2x =时取等号， 此时54x y =-=，故23x y xy++的最小值为9+故答案为：9+20．（2022·广东罗湖·高三期末）已知存在实数(),0,1x y ∈，使得不等式21121y yt x x-+<+-成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(3,)+∞ 【分析】根据基本不等式求得111x x+-的最小值为4，将问题转化为只需存在实数(0,1)y ∈，使得224y y t -+>成立即可，即242y yt ->-，再根据二次函数和指数函数的性质可求得答案.【详解】解：∵11111(1)()224111x x x x x x x x x x -+=+-+=++≥+=---，当且仅当11x x x x -=-，即()01x =，时取等号， ∴111x x+-的最小值为4， ∴只需存在实数(0,1)y ∈，使得224yyt -+>成立即可，即242yyt ->-，又当01y <<时，20y y -<，所以20221y y -<=，∴2423y y -->，∴3t >，∴实数t 的取值范围为(3,)+∞， 故答案为：(3,)+∞.21．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6 【分析】利用已知化简可得24224222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式计算即可. 【详解】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号． 故答案为：6.22．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设0x >，0y >，且2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1x y +取最小值时，221x y +=______. 【答案】12 【分析】当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最小值，变形可得21416=x y x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由基本不等式和等号成立的条件可得答案． 【详解】解析：∵0x >，0y >，∴当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值，∵222112x x x y y y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴221216x y x y y x +=+，∴21416x y x y y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭16≥=， ∴14x y+≥，当且仅当416x y y x=，即2x y =时取等号， ∴当1x y +取最小值时，2x y =，221216x x y y++=， ∴2212216y x y y ⋅++=，∴22116412x y +=-=. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 23．（2022·山东日照·高三期末）已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______.【答案】7 【分析】 由54x >，得450x ->，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 【详解】 法一：54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--， 当且仅当14545x x -=-，即32x =时等号成立，故答案为：7. 法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =， 当5342x <<时'0y <函数单调递减， 当32x >时'0y >函数单调递增， 所以当32x =时函数取得最小值为：314732452⨯+=⨯-， 故答案为：7. 【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.24．（2022·河北深州市中学高三期末）已知正实数a ，b 满足321a b +=，则6a +1b 的最小值为______． 【答案】32 【分析】利用“1"的代换，将6a +1b 转化为6a +1b =(6a +1b )(3a +2b)，然后化简整理，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】由0a >，0b >且321a b +=，得 6a+1b =(6a +1b )(3a +2b)=18+12b a+3a b+2≥20+2√12b a⋅3a b=32，当且仅当12b a =3a b ，即2a b =时，取等号，此时{a =14b =18，则6a +1b 的最小值为32．故答案为：32.25．（2022·河北保定·高三期末）22244x x x+++的最小值为___________.【答案】9 【分析】由222224445x x x x x+++=++结合基本不等式得出答案.【详解】因为22222444559x x x x x +++=++≥=，当且仅当224x x =，即22x =时，等号成立，所以22244x x x+++的最小值为9. 故答案为：9。
高考数学母题题源系列专题14应用基本不等式求最值文(含解析)
应用基本不等式求最值【母题来源】2015湖南文7 【母题原题】7、若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C【考点定位】应用基本不等式求最值【试题解析】121212200,2ab a b ab ab a b a b a b ab+=∴=+≥⨯=∴≥QQ ，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22 C.【命题意图】本题考查基本不等式求最值的应用，属于中档题．【方法、技巧、规律】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．【探源、变式、扩展】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【变式】若,,0a b c >且()423,a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为 ． 【解析】2321.【无锡市市北高中2014届高三期初考试】若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___． 【答案】182.【2014届江苏苏州市高三调研】已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y 的最小值为 【答案】263-3.【2014届无锡模拟】若一元二次不等式220()ax x b a b ++>>的解集为1{}x x a≠-，则22a b a b +-的最小值是_______． 【答案】224.【2014届南通模拟】已知,a b r r是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b •=•=r r r r ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t++r r r的最小值是_______．【答案】B5.【2014届江苏省淮安市二模】在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc的最大值为 ． 【答案】23 【解析】由正余弦定理得：bc a c b bc ac b c a ac ab c b a ab 222222222222-+⋅+-+⋅=-+⋅ ，化简得.3222c b a =+因此2ab c ,2323322=≤+=ab ab b a ab 即最大值为23.6.【2014届江苏扬州中学高三周练】已知0x >，0y >，1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ．【答案】147.【2014·南京一模】已知函数f (x )＝log 2(x －2)．若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________． 【答案】7.8．【2013·南京三模】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】49.【启东市2014届高三上学期第一次测试】正实数21,x x 及)(x f 满足1414)(+-=x x x f ，且1)()(21=+x f x f ，则)(21x x f +的最小值等于 ． 【答案】4510. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 ． 【答案】32。
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【解析】
a 2019 b 2020 a b 2019 2020 4042
4042 4042 a 2019 b 2020 b 2020 a 2019 2 b 2020 a 2019
a 2019 b 2020
a 2019
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 2020
a 2019 b 2020
基本不等式中档题训练
1、已知正数 a,b 满足 1 1 1，则 9 4 的最小值是（ ）
ab
a 1 b 1
A、6
B、12
C、24
D、36
【解析】
因为 1 1 1，所以 a b ab ，故 9 4 9(b 1) 4(a 1) 4a 9b 13 4a 9b 13
ab
a 1 b 1 (a 1)(b 1) ab (a b) 1
4
4
即 (x y 5)2 64 ，解得 x y 5 8 ，即 x y 13 。
11、（2019 上饶期末）设 x>0，y>0，x+2y=4，则 (x 4)( y 2) 的最小值为_______ xy
【解析】
x 2y 4 ，x 2y 2 2xy ， 1 1 ， xy 2
1 1 1,b a 0 ，解得 a 1，同理 b 1，
ab
a 1
则14 1 a 1 b 1 a 1
4 a
1
1 a 1
4(a
1)
2
1 4(a 1) 4 a 1
a 1
14、（2020 江苏模拟）若 a,b 均为非负实数，且 a+b=1，则 1 4 的最小值为________ a 2b 2a b
a b 1
a b1 a
b 1
a
b 1 a b1 a a 2
1 [a (2 a)](3 1 ) 1 [4 3(2 a) a ] 1 [4 2 3(2 a) a ] 2 3
2
a 2a 2
a 2a 2
a 2a
8、（2020 滨海新区模拟）设 b>0， a b2 1，则 1 a2 的最小值为________ a 8b
B、6
C、8
D、 25 4
【解析】a b 1,0 ab 1 ，所以 (a 1 )(b 1) ab 1 a b
4
ab
ab b a
1 a2 b2
1 (a b)2 2ab
2
ab
ab
ab 2
ab ab
ab
ab
ab
因为函数 y x 2 在 (0, 2 ) 单调递减，所以当 ab 1 时，有最小值 25 ，选 D。
【解析】
因为 a b2
1，所以 a
1 b2
，所以 a2
(1 b2 )2 ，所以
1 a
1 1 b2
，则
1 a
a2 8b
1
1 b
2
(1 b2 )2 8b
2
1 1 b2
(1 b2 )2 8b
2
1 b2
，又 1 b2
1 b b
2
8b
8b 8
1 b
b
1
84
2
所以原式 2 1 1。 2
9、（2020 武侯区校级期中）已知正数 x,y 满足 x+y=2，若 a x2 y2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 x 1 y 2
x
4
4
6、（2019 越城区校级期末）已知 x,y 都是正实数，则 4x y 的最大值为（ ） 4x y x y
A、 3 2
【解析】
B、 4 3
C、 5 2
D、 5 4
4x y 4x(x y) y(4x y) 4x2 8xy y2 1
3xy
4x y x y (4x y)( x y) (4x y)( x y) 4x2 5xy y2
4x2 5xy y2
1 3 1
4x y 5 yx
2
3
1 1 4 ，选 B。
4x y 5
33
yx
7、（2020 鹿城区校级模拟）已知 a>0，b>-1，且 a+b=1，则 a2 3 b2 的最小值为_____________ a b1
【解析】
a2 3 b2 a2 3 b2 11
3
1 31 3 1
4
b ab c 2
ab c 2
ab
c2
c 3a2 a2 2ab b2 6 c 4a2 b2 2ab 6 c 2 4a2b2 2ab 6 6c 6
ab
c2
ab
c2
ab
c2
c2
6(c 2) 6 12 2 6(c 2) 6 12 24
c2
c2
4、已知 a+b=3，且 a,b>0，都有 4042 4042 x2 3x 恒成立，则 x 的取值范围是__________ a 2019 b 2020
【解析】
设 a 2b m,2a b n ,则 m n 3 ，原式变形为 1 4 1 (m n)( 1 4) 1 [5 n 4m]
mn 3
mn 3 m n
1 (5 2 n 4m ) 3
3
mn
15、（2020 河东区校级模拟）若 a>0，b>0，且 1 1 1，则 a 2b 的最小值为_______ 2a b b 1
所以 (x 4)( y 2) xy 2(x 2 y) 8 1 16 1 8 9
xy
xy
xy
3
12、（2020 浙江期中）已知 x>0，y>0，且 1 1 1 ，则 xy 的最小值为_______ x 1 2y 1 2
【解析】
因为 1 1 1 ，所以 x 2y 3 2xy ，所以 2xy 2 2xy 3，即 ( 2xy)2 2 2xy 3 0 x 1 2y 1 2
5( y 2) 5(x 1) 5
5
10、（2020 滨海新区模拟）若 x>4，y>1，且 xy 12 x 4y ，则 x+y 的最小值是_______
【解析】
因为 x>4，y>1，所以 x 4 0, y 1 0 ，所以
(x 4)( y 1) xy x 4 y 4 12 4 16 (x 4 y 1)2 (x y 5)2
(4a 9b) ( 1 1) 13 4a 9b 2 4a 9b 12 ，选 B。
ab
ba
ba
2、若 x,y 都是正数，且 1 1 1 ，则 2x y 的最小值为（ ） x 1 x 2y
A、2 【解析】
B、 2 3
C、 4 2 3
D、 1 3 2
由 1 1 1得 y x2 x 1 ，所以 2x y 2x x2 x 1 3x 1 1 3 1
__________
【解析】
因为 x y 2 ，所以 (x 1) ( y 2) 5 ，所以 x 1 y 2 1，则 55
x2 y2 (x 11)2 ( y 2 2)2 (x 1)2 2(x 1) 1 ( y 2)2 4( y 2) 4
x 1 y 2 x 1
y2
化为： ( 2xy 3)( 则 xy 的最小值为 9
2
2xy 1) 0 ，解得
2xy 3 ，即 xy 9 ，当且仅当 x=3， y 3 时取等号，
2
2
13、（2020 浙江学业考试）已知 a 0,b 0 ，且 1 1 1，则 1 4 的最小值为________
ab
a 1 b 1
【解析】
x 1 x 2y
2x
2x
2 2x 2
2
3、已知 a>0，b>0，c>2，且 a+b=1，求 3ac c 6 的最小值是____________ b ab c 2
【解析】
3ac c 6 c (3a 1 ) 6 c 3a2 1 6 c 3a2 (a b)2 6
b ab c 2
2 2 b 2020 a 2019 4 ，即有 4 x2 3x ，即 x2 3x 4 0 ，解得 4 x 1。 a 2019 b 2020
1
5、（2020 兴庆区校级期中）若 a,b 都是正数且 a+b=1，则 (a 1 )(b 1) 的最小值为（ ） ab
A、4
x 1
y2
x 1 2 1 y 2 4 4 1 4 1 ( x 1 y 2)( 1 4 ) 1
x 1
y 2 x 1 y 2
5 5 x 1 y 2
1 4(x 1) y 2 4 1 11 2 4(x 1) y 2 4 ，故 a 4
5 5( y 2) 5(x 1) 5
【解析】
a 2b (2a b) 3(b 1) 3 ( 2a b 3(b 1))( 1 1 ) 3
2
22
2 2a b b 1 2
1 2a b 3(b 1) 3 3 1 2 2a b 3(b 1) 1 3 2 2(b 1) 2(2a b) 2 2 2 2(b 1) 2(2a b) 2