河北省衡水市武邑县2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题

河北省衡水市武邑县2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个2．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．下列式子为最简二次根式的是（）A B C D4．若分式23xx-+的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．-35．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中能使△ABC≌△DEF的条件有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．下列计算正确的是( )A ．222352x y x y x y -⋅=B ．3223557x y x y xy ÷=C ．23354222x y x y x y -⋅=-D ．22(2)(2)4x y x y x y --+=-7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8．若23y x =，则x y x + 的值为( ) A ．53 B ．52 C ．35 D ．239．如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =2，AB =6，则△ABD 的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．1210．如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下列结论：①AP ⊥BC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP.正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．命题：“如果a = b ，那么a 2=b 2”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）12≈ ____________（精确到0.01）13．P （a ，-2）与Q （3，b ）关于y 轴对称，则a +b= ______14．已知实数a 、b 的结果为________15．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB ＝7，则△ABC 的周长为_____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，PQ=AB ，点P 和点Q 分别在AC 和AC 的垂线AD 上移动，则当AP=____________时，才能使△ABC 和△APQ 全等.三、解答题17．化简：2222-45)(23)a b ab a b ab +--（18．先化简，再求值（1）（a 2b ﹣2ab 2﹣b 3）÷b ﹣（a+b ）（a ﹣b ），其中a=，b=﹣1．（2）6x 2﹣（2x ﹣1）（3x ﹣2）+（x+2）（x ﹣2），其中x=3．19．如图，在ΔABC 中，∠C=∠ABC=2∠A, BD 是边AC 上的高，求∠DBC 的度数．20．近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)。

医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置。

21．已知a－b＝7，ab＝－10.求：(1)a2＋b2的值；(2)(a＋b)2＋2(a－b)2的值．22．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠P AC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．23．如图，△ABC 为等边三角形，D、E 分别是边AC、BC 上的点，且AD＝CE，AE 与BD 相交于点P.（1）求∠BPE 的度数；（2）若BF⊥AE 于点F，试判断BP 与PF 的数量关系并说明理由．24．如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC 且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP. （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可．【详解】（1）是轴对称图形；（2）不是轴对称图形；（3）是轴对称图形；（4）是轴对称图形；所以，是轴对称图形的共3个．故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题仔细观察图形是解题的关键．2．A【解析】试题解析：选项A是轴对称图形，选项B、C、D都不是轴对称图形，判断一个图形是不是轴对称图形，关键在于看是否存在一条直线，使得这个图形关于这条直线对称．故选A.考点：轴对称图形.3．C【解析】+；选项B，=；选项C，是最简二次根式；选项A，=a b．故选C.选项D，24．B【解析】分式的值为0，分子为0分母不为0，由此可得x-2=0且x+3≠0，解得x=2，故选B.5．C【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS 、SAS 、ASA 及AAS ，即可判定．【详解】①满足SSS ，能判定三角形全等；②满足SAS ，能判定三角形全等；③满足ASA ，能判定三角形全等；④的条件是两边及其一边的对角分别对应相等，不能判定三角形全等．∴能使ABC DEF △≌△全等的条件有3组．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握各种判定方法并注意“两边及其一边的对角分别对应相等”不能判定三角形全等．6．B【分析】根据单项式的乘除法、多项式乘以多项式法则逐一判断即可．【详解】A ．22423515x y x y x y -⋅=-，此选项计算错误；B ．3223557x y x y xy ÷=，此选项计算正确；C ．23354224x y x y x y -⋅=-，此选项计算错误；D ．222(2)(2)(2)44x y x y x y x xy y --+=-+=---，此选项计算错误．故选B ．【点睛】本题考查了单项式的乘除法、多项式乘以多项式，掌握运算法则是解答本题的关键． 7．C【详解】试题分析：多边形的外角和为360，内角和为外角和的2倍，则内角和为720，设多边形的边数为n ，则(2)180720n -⨯=，解得 6.n =故选C ．【点睛】考点：多边形的内角和与外角和．8．A【解析】 试题解析：2,3y x = 设3,2.x k y k ==325.33x y k k x k ++== 故选A.9．B【解析】试题解析：作DE ⊥AB 于E ，由基本作图可知,AP 平分∠CAB ,∵AP 平分∠CAB ,∠C =90∘，DE ⊥AB ，∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积162AB DE =⨯⨯=， 故选B.10．D【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP 平分∠BAC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL 证明Rt △APR ≌Rt △APS ，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ =∠P AQ ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC =2∠P AC =60°=∠BAC ，然后根据同位角相等两直线平行可得QP ∥AB ，从而判断出③正确，④由③易证△QPC 是等边三角形，得到PQ =PC ，等量代换得到BP =PQ ，用HL 证明Rt △BRP ≌Rt △QSP ，即可得到④正确．【详解】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上．∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；∵P A=P A，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠P AQ，∴∠PQC=2∠P AC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；由③得：△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．11．假【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2，故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．故答案为如果a2=b2，那么a=b；假．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．12.63【分析】根据计算器的使用方法，可得答案．【详解】，2015≈12.63，故答案为：12.63．【点睛】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．13．-5【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征得到a=-3，b=-2，再计算出a+b的值即可．【详解】解：根据题意得a=-3，b=-2，则a+b=-5．故填：-5．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，熟记关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数是本题的解题关键．14．0【分析】根据数轴所示，a＜0，b＞0，b-a＞0，依据开方运算的性质，即可求解．【详解】解：由图可知：a＜0，b＞0，b-a＞0，()0a b b a a b b a-+--=-+-+=故填：0【点睛】本题主要考查二次根式的性质和化简，实数与数轴，去绝对值号，关键在于求出b-a＞0，即|b-a|=b-a．15．17【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．【详解】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ADC 的周长为10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，∴△ABC 的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．故答案为17．16．5或10【分析】本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP =BC =5，可据此求出P 点的位置； ②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP =AC ，P 、C 重合．【详解】∵PQ =AB ，∴根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP =BC 时，△ABC ≌△QP A ，即AP =BC =5；②当P 运动到与C 点重合时，△QAP ≌△BCA ，即AP =AC =10．故答案为：5或10．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．17．226+8a b ab -.【分析】先去括号，然后合并同类项即可求解.【详解】解：2222-45)(23)a b ab a b ab +--（ =2222-452+3a b ab a b ab +-=226+8a b ab -【点睛】本题主要考查整式的加减，掌握去括号和合并同类项的方法是本题的解题关键.18．（1）1；（2）24．【详解】试题分析：（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．解：（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2=﹣2ab，当a=12，b=﹣1时，原式=﹣2×12×（﹣1）=1；（2）6x2﹣（2x﹣1）（3x﹣2）+（x+2）（x﹣2）=6x2﹣6x2+4x+3x﹣2+x2﹣4=x2+7x﹣6，当x=3时，原式=32+7×3﹣6=24．考点：整式的混合运算—化简求值．19．∠DBC=18º【分析】根据三角形内角和定理求出∠A和∠C，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，计算即可．【详解】∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠C＝∠ABC＝2∠A，∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，解得，∠A＝36°，则∠C＝72°，∵BD是边AC上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°−∠C＝18°【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．20．答案见解析.【分析】画出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．【详解】解：（1）画出角平分线；（2）作出垂直平分线．交点P即满足条件．【点睛】此题主要考查角平分线、垂直平分线的作法在实际中的应用．21．(1)29 ;(2)107【分析】（1）根据a﹣b=7，ab=﹣10，通过变形可以求得a2+b2的值；（2）根据a﹣b=7，ab=﹣10，可以求得）（a+b）2和（a﹣b）2的值，从而可以解答本题．【详解】（1）∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49．∵ab=﹣10，∴a2﹣2×（﹣10）+b2=49，∴a2+b2=29；（2）∵a﹣b=7，∴（a﹣b）2=49，∴a2﹣2ab+b2=49，∴a2+2ab+b2﹣4ab=49，∴（a+b）2﹣4ab=49，∴（a+b）2=49+4ab．∵ab=﹣10，∴（a+b）2=9，∴（a+b）2+2（a﹣b）2=9+2×49=9+98=107．【点睛】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用完全平方公式解答．22．（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数；（3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠P AC ＝∠P AD ，∴AB ＝AD∴∠ABD ＝∠D∵∠P AC ＝20°∴∠P AD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠P AD ＝60°（3）CE ＋AE ＝BE ．在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ．∵AD ＝AC ＝AB ， ∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°． ∴△AME 为等边三角形．∴AM=AE ，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中，AB AC BAM CAE AM AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△AEC .∴CE ＝BM .∴CE ＋AE ＝BE ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE 转化到BE 上，再证明CE ＝BM 即可得结论．23．（1）∠BPE=60°;（2）PF=12BP ． 【分析】(1)利用“SAS”易证△ABD ≌△CAE ， 所以∠CAE=∠ABD，即可得∠BPE=∠ABD+∠BAP=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°；（2）利用“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”即可得结论．【详解】∵△ABC 为等边三角形∴∠C=∠BAD=60°，AB=AC在△ABD 与△CAE 中AB AC BAD C AD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE∴∠CAE=∠ABD∵∠BPE=∠ABD+∠BAP∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°（2）∵BF ⊥AE ，∠BPE=60°∴∠PBF=30°∴PF=12BP 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质；在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．24．（1）AB=AP ，AB ⊥AP ；（2）BQ=AP ，BQ ⊥AP ；（3）成立，见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP ，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可； （2）求出CQ=CP ，根据SAS 证△BCQ ≌△ACP ，推出AP=BQ ，∠CBQ=∠PAC ，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可；（3）BO 与AP 所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．【详解】（1）AB=AP 且AB ⊥AP ，证明：∵AC ⊥BC 且AC=BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=()1180452ACB ︒︒-∠=, 又∵△ABC 与△EFP 全等，同理可证∠PEF=45°，∴∠BAP=45°+45°=90°，∴AB=AP 且AB ⊥AP ；（2）BQ 与AP 所满足的数量关系是AP=BQ ，位置关系是AP ⊥BQ ，证明：延长BQ 交AP 于G ，由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，∴∠PQC=45°=∠QPC ， ∴CQ=CP ，∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC ，∴在△BCQ 和△ACP 中BC AC BCQ ACP CQ CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCQ ≌△ACP （SAS ），∴AP=BQ ，∠CBQ=∠PAC ，∵∠ACB=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°，∵∠CQB=∠AQG ，∴∠AQG+∠PAC=90°，∴∠AGQ=180°-90°=90°，∴AP ⊥BQ ；（3）成立．证明：如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．∵AC ⊥BC ，∴∠CQP=∠CPQ ，CQ=CP ．在Rt △BCQ 和Rt △ACP 中，BC AC BCQ ACP CQ CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BCQ ≌Rt △ACP （SAS ）∴BQ=AP ；延长BQ 交AP 于点N ，∴∠PBN=∠CBQ ．∵Rt △BCQ ≌Rt △ACP ，∴∠BQC=∠APC ．在Rt △BCQ 中，∠BQC+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90°．∴BQ ⊥AP ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．。