华中科技大学数值分析2016年试卷

华中科技大学研究生课程考试试卷

课程名称： 课程类别

考核形式

学生类别______________考试日期______________学号__________________姓名__________________任课教师___________________

一、填空 (每题3分，共24分)

1．设0.0013a =， 3.1400b =， 1.001c =都是经过四舍五入得到的近似值，则它们分别有 ， ， 位有效数字。

2．设(0,1,2,3,4)i x i = 为互异节点，()i l x 为对应的4次Lagrange 插值基函数，则

4

40

(21)()i

i i i x

x l x =++=∑___________________，4

40

(21)(1)i i i i x x l =++=∑________。

3． 已知3()421f x x x =++, 则[]0,1,2,3f = ，[]0,1,2,3,5f = 。

4．当常数a = ，()1

2

3

1x ax dx -+⎰达到极小。

5. 三次Chebyshev 多项式3()T x 在[-1, 1]上3个不同实零点为1x = ，

2x = ，3x = ；()()()12311

max x x x x x x x -≤≤---= 。

6．已知一组数据()()() 01,12,25,y y y ===利用最小二乘法得到其拟合直线

y ax b =+，则a =_____ ，b =_____。

7. 当0A = ，1A = 时，求积公式

()()()1011

1

()1013

f x dx f A f A f -≈

-++⎰

的代数精度能达到最高，此时求积公式的代数精度为 。

8．已知矩阵1

222A ⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

，则A ∞= ，2A ，()2cond A = 。 二、(10分) 设函数()y f x =, 已知()()()0'01,14f f f ===， (1) 试求过这两点的二次Hermite 插值多项式()2H x ；

研究生 2016-6-1 数值分析

(2) 若还已知()215f =，求次数不超过三次的插值多项式()3H x 。

三、(10分) 求()()cos f x x π=在[0, 1]上的一次最佳平方逼近多项式()1P x ，并计算

平方误差。

四、(12分) 利用2次Legendre 正交多项式()()

2231/2P x x =-构造两点Gauss 型求

积公式111111

()()()f x dx A f x A f x ---≈+⎰

，

(1) 试确定求积公式中的Gauss 点()1,1k x k =-及求积系数()1,1k A k =-，并说明求积公式的代数精度是多少？ (2) 用所得求积公式计算

()1

3

21x

x dx -+⎰，并给出相应的截断误差。

五、(14分) 设()(),y x f x y '=，步长为h ，隐式公式

()()111,,n n n n n n y y h f x y f x y αβ+++⎡⎤=++⎣⎦具有二阶收敛，

(1) 试确定参数α和β的值；

(2) 若()(),f x y y x λ=，()01y =，求()y x 在节点=n x nh 处的数值解n y ； (3) 若()(),f x y y x λ=且0<λ，证明公式是无条件稳定的。

六、(12分)已知方程组 121120x a x a

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭，a R ∈

且a ≠， (1) 利用Gauss 消元法求方程组的解；

(2) 给出求解方程组的Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式，并说明两种迭代格式均收敛的a 的取值范围。

七、(12分)已知*

1x =为方程()32

5730f x x x x =-+-=的根，

(1) 试证牛顿迭代法在*

1x =附近是线性收敛的； (2) 写出处理重根*

1x =的牛顿迭代公式，并讨论其收敛阶。

八、(6分) 设求解方程组AX b =的迭代格式()

()1k k

X BX f +=+收敛，

证明：当01ω<<时，迭代格式()

()()11k k

X

I B X f ωωω+⎡⎤=-++⎣⎦

也收敛。