大学物理-静电场中的导体

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空气中的直流高压放电图片： 空气中的直流高压放电图片：
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闪电的图片： 闪电的图片：
云层和大地间的闪电
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雷击大桥
遭雷击后的草地
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Z形通道 形通道 被迫冲 向云层
俘获闪电： 激光束引起空气电离， 俘获闪电： 激光束引起空气电离，使闪电改道
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△§4.3
有导体存在时静电场的分析与计算
依据：静电平衡条件，电荷守恒， 高斯定理。 依据：静电平衡条件，电荷守恒， 高斯定理。 [ 例 2]已知： ]已知： 面电荷密度为σ0 的均匀带电大平板旁， 的均匀带电大平板旁，
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
( R1 ≤ r ≤ R2 )
q1 + Q E4 = 2 4πε0r
(r ≥ R3 )
23
电势分布 球体内
R1
(ϕ∞ = 0)
(r ≤ R1 )
R2
1
ϕr = ∫r E1dr + ∫R E2dr + ∫R E3dr + ∫R E4dr
2 3
R3
∞
ϕr = ∫r E2dr + ∫R E3dr + ∫R E4dr ( R1 ≤ r ≤ R2 )
① 在无限大导体平板的情况下 接地的无限大平板至少有一个表面电荷密度为零 接地的无限大平板至少有一个表面电荷密度为零. 无限大平板至少有一个表面电荷密度为零
② 在球状导体的情况下 *接地点的电势=无穷远处的电势=0， 接地点的电势=无穷远处的电势= ， 接地点的电势 与地相连的表面带电量发生变化，但一般 与地相连的表面带电量发生变化， 有电荷。 有电荷。
0
σ0
2
σ0
-σ 0
0
（A） ）
（B） ）
（C） ）
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有一块大金属平板，面积为S， 例3-1 有一块大金属平板，面积为 ，带 有总电量Q 今在其右侧d处平行地放置 有总电量 1，今在其右侧 处平行地放置 第二块大金属平板，此板带电Q 第二块大金属平板，此板带电 2。求静电 平衡时，金属板上的电荷分布、 平衡时，金属板上的电荷分布、周围空间 的电场分布及两板间的 Q2 1 电势差。 电势差。 （忽略边缘效应） 忽略边缘效应）
R1 R2 R3
0
∞
q1 1 1 q1 + Q + = − 4πε 0 R1 R 2 4πε 0 R 3
球体外、 球体外、球壳内表面内 ( R1 ≤ r ≤ R2 )
ϕr = ∫r E2dr + ∫R E3dr + ∫R E4dr 2
q1 1 1 q1 + Q − = r R + 4πε R 4πε 0 2 0 3
2 3
R2
R3
∞
ϕr = ∫r E3dr + ∫R E4dr
3
R3
∞
( R2 ≤ r ≤ R3 )
ϕr = ∫r E4dr
∞
(r ≥ R3 )
24
（2）如果球体和球 ） 壳均为导体， 壳均为导体， 再求电场分布 和电势分布。 和电势分布。 球体内
q3
q2 q1
B
R1 R2
(r ≤ R1 )
1
A
*因球体是导体， 因球体是导体， 因球体是导体 所以: E = 0 所以
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电荷分布 电荷分布
Q1 + Q2 σ1 = σ 4 = 2S Q1 − Q2 σ 2 = −σ3 = 2S
场强分布 场强分布
σ1 Q1 + Q2 E1 = = ε0 2ε0S
20
或
σ1 σ 2 σ3 σ 4 E1 = + + + 2ε0 2ε0 2ε0 2ε0
同理
σ2 Q1 − Q2 E2 = = ε0 2ε0S
R
o
R
q
7
§4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律
一.导体静电平衡时电荷分布在表面 导体静电平衡时电荷分布在表面 1.实心导体： 可不为 0，但 ρ 实心导体： 实心导体 σ
σ
内
必为 0。
ρ内=0
V S
理由： 理由： r Q E内 = 0 ， r r 1 ∴ ∫ E内 ⋅ ds = ∫ ρ内 dV = 0 ，
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
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例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
σ4 Q1 + Q2 E3 = = ε0 2ε0S
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q1 的带电球体A， 例4-1 一半径为 R1的带电球体 ，总电量 ，在它 外面有一个同心的带电球壳B，其内外半径分别为R 外面有一个同心的带电球壳 ，其内外半径分别为 总电量Q。 试求: 和R3 ，总电量 。 试求:
（1）此系统的电场 ） 分布及电势分布。 分布及电势分布。 （2）如果球体和球壳 ） 均为导体， 均为导体，再求电场 分布和电势分布
4
三、静电平衡条件
（1）导体内部任何一点的场强等于 0 。 ） （2）导体表面任何一点的场强都垂直表面 。 ）
例如： 例如：在均匀场放入一导体的情况
r E′
r E
E内 = 0
电荷不动 达静电平衡
5
表面出现感应电荷 电荷积累到一定程度 E′ = −E
E表 ⊥ 表面 等 势 面 q1 q2 等势体） 大 地（等势体） 无限远 等势区） （等势区）
2
△§4.1
导体的静电平衡条件
（electrostatic equilibrium of conductor） ） 导体 将实物按电特性划分： 将实物按电特性划分： 半导体 绝缘体 非导体带电体 ① 所带电荷在带电体上不能自由移动 ② 电荷体密度 ρ ≠ 0 导体带电体
− − −
+ + +
v E
① 所带电荷在带电体上可以自由移动 ② 电荷体密度 ρ = 0 ，电荷只能分布在表面 3 （ 静 电 平 衡 状 态 时）
一、静电感应(Electrostatic Induction) 静电感应
当导体受到外电场作用时， 当导体受到外电场作用时，不论导体原来 是否带电，导体中的运动电荷， 是否带电，导体中的运动电荷，在外电场力 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 引起导体上电荷重新分布的现象，称为静电 引起导体上电荷重新分布的现象， 感应现象。 感应现象。
B
32
q3
q2 q1
A
R1 R2 R3
电场分布
E1 = 0
E2 = 4πε0r q1
2
(r ≤ R1) (R1 ≤ r ≤ R2 )
(R2 ≤ r ≤ R3 )
'
E3 = 0
q1 + Q E4 = 2 4πε0r
(r ≥ R3 )
球壳电势= 球壳电势=0
Q = −q1
'
外壳接地时，外壳外表面不带电 外壳接地时，外壳外表面不带电 外表面 33
29
① 电荷守恒定律 导体内任意一点场强= ② 导体内任意一点场强=0
σ 2 = −σ3 = Q1
σ1 = σ4 = 0
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静电平衡条件
（1）导体内部任何一点的场强等于 0 。 ） （2）导体表面任何一点的场强都垂直表面 。 ）
导体上电荷分布
1. 导体内无净电荷，电荷体密度 ρ = 0 导体内无净电荷， 电荷只能分布在表面上。 电荷只能分布在表面上。 带电导体表面附近任一点的场强大小 大小与该点 2. 带电导体表面附近任一点的场强大小与该点 附近导体表面的电荷面密度成正比, 电荷面密度成正比 附近导体表面的电荷面密度成正比,即：
第四章 静电场中的导体
（Conductor in Electrostatic Field） ）
“电风”吹蜡烛 电风” 电风
1
本章目录
△§4.1
导体的静电平衡条件
§4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律
△§4.3
有导体存在时静电场的分析与计算
§4.4 静电场的唯一性定理、静电屏蔽、电像法 静电场的唯一性定理、静电屏蔽、 （书4.4、4.5节） 、 节
R3
E2 =
q1 + Q E4 = 2 4πε0r
E3 = 0
4πε0r
q1
2
( R1 ≤ r ≤ R2 )
( R2 ≤ r ≤ R3 )
(r ≥ R3 )
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电势分布 球体内
R1 r
(ϕ∞ = 0)
(r ≤ R1 )
0
R2 R3
ϕ1r = E1dr + ϕ ∫ ∫ E2dr + ∫ E3dr + ∫ E4dr
2 3
26
R2
R3
0
∞
球壳中
( R2 ≤ r ≤ R3 )
R3
ϕr = ∫ E3dr + ∫ E4dr = q1 + Q 3
∞ r R3
0
4πε 0 R3 q1 + Q = 4πε 0 r
球壳外
ϕ (r ≥ R3 ) ϕ4r = ∫r E4dr
∞
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导体接地
接地点的电势等于零。 接地点的电势等于零。
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
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解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
（4）如果内球接地 ） 内球带电量= 内球带电量=
q
, 1
E1 = 0
E2 =
q
4πε0r E3 = 0 , q1 + Q E4 = 2 4πε0r
且 q内表 =
∫S σ 内 d s = − q
σ内 ≠ 0
q E ≠0 内 q内表=-q
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔做高斯 面S ，则：
S
r r 1 ∫ E 导内 ⋅ d s = ( q + q内表 ) = 0
S
ε0
∴
q内表 = − q
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二. 表面场强与面电荷密度的关系
小扁柱体 表面为 S
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有一块大金属平板，面积为S， 例3-2 有一块大金属平板，面积为 ，带 有总电量Q 今在其右侧d处平行地放置 有总电量 1，今在其右侧 处平行地放置 第二块大金属平板，此板带电Q 第二块大金属平板，此板带电 2。如果把 第二块金属板右边接地，求静电平衡时， 第二块金属板右边接地，求静电平衡时， 金属板上的电荷分布 Q2 1
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
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半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
二、静电平衡(Electrostatic Equilibrium) 静电平衡
当外电场和导体上重新分布的电荷所产生的 电场对自由电荷的作用相互抵消， 电场对自由电荷的作用相互抵消，导体中宏观 的电荷运动停止，电荷又达到新的平衡分布， 的电荷运动停止，电荷又达到新的平衡分布， 这种状态称为静电平衡 静电平衡。 这种状态称为静电平衡。
σ0 σ1
E２
•
σ2
E１ E0
平行放置一大的不带电导体平板。 平行放置一大的不带电导体平板。 求：导体板两表面的面电荷密度。 导体板两表面的面电荷密度。
σ 1 = −σ 2 = −
σ0
2
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若上例中导体板接地， 下面结果哪个正确? 下面结果哪个正确 思考 若上例中导体板接地，
σ0
-σ 0 2 0
σ0
r en
r E表
σ
r r ∫ E ⋅ d s = E 表 ⋅ ∆S
S
∆S
导体
∴ E表
σ ∆S = (高 (高） ε 0 σ r σ r = ， 表 = en E ε0 ε0
思考
v E 表是小柱体内电荷的贡献还是导体表
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面全部电荷的贡献？ 面全部电荷的贡献？
三. 孤立导体表面电荷分布的特点 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大， 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大， 表面曲率大处面电荷密度也大 不存在单一函数关系。 但不存在单一函数关系。 尖端放电（ 尖端放电（point discharge）： ）： 带电的尖端电场强，使附近的空气电离， 带电的尖端电场强，使附近的空气电离， 因而产生放电。 因而产生放电。
S r ， ∫ σ 内 ⋅ ds = 0，若σ内 ≠ 0，则σ内必有正负
S内
E线从正电荷到负电荷 线从正电荷到负电荷
与导体静电平衡矛盾 只能 E内 = 0。 。
9
只能σ内 =0，且腔内无 线 ，且腔内无E线
பைடு நூலகம்
3.导体壳内有电荷：σ外可不为 ，但必有σ内 ≠ 0， 导体壳内有电荷： 可不为0， 导体壳内有电荷