立体几何空间点线面关系题
第8章立体几何专题2 点线面的位置关系常考题型专题练习——【含答案】
旗开得胜点线面的位置关系【知识总结】1、平面的基本性质基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内基本事实2：经过不在同一条直线的三点，有且只有一个平面基本事实3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意事项：（1）公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内（2）公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法（3）公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线1旗开得胜 12、直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．【巩固练习】1、（1）下列说法错误的是（ ）A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（2）下列结论中不正确的是（ ）A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C.若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上D.任意两条直线不能确定一个平面【答案】（1）A（2）D【解析】A. 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线和直线外一点确定一个平面，B正确C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面两条相交直线确定一个平面，C正确D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合不共线的三点确定一个平面，D正确故答案选A．（2）由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.故选D.2、一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( )11A ．1或3B ．1或4C ．3或4D ．1、3或4【答案】D【解析】直线之外不共线的三点记为A ，B ，C ．当直线在A ，B ，C 所确定的平面内时，它们只能够只确定一个平面；当A ，B ，C 三点中有两点与直线共面时，能确定平面有3个；当A ，B ，C 三点中没有两点与直线共面时，这样可确定的平面最多就可以达到4个．故选:D ．3、已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 【答案】D【解析】∵a ∥α，∴a 与α没有公共点，∵b ⊂α，∴a 、b 没有公共点，∴a 、b 平行或异面．故答案为：D4、若直线a,b,c 满足a ∥b,a,c 异面,则b 与c （ ）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 【答案】C【解析】由于//a b ，,a c 异面，此时，b 和c 可能相交，也即共面，如图所示b 与c 相交；b 和c 也可能异面，如图所示'b 与c 异面.综上所述，b 与c 不可能是平行直线.故选C.。
立体几何点线面位置关系习题精选
同步练习第I 卷（选择题）1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）.A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥nB 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 、若n ∥,n α∥β,则α∥βD 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//bB ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα//C ．若α//a 且β//a ，则βα//D ．若αγ//且βγ//，则βα//7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒ B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥12.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥（C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ13.对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是 A.若,,mm αβ则αβ B. .若,,m m αβ则αβ⊥C.若,,m m αβ⊥⊥则αβ D. 若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥14.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α； B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥； C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ； D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．15.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα第II 卷（非选择题）二、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分）在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；BA17.（本题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：(1)PA ∥平面BDE ； (2)BD ⊥平面PAC ．18.（本小题8分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证:EF //平面PAD ; (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;(3) 求二面角B PD C --的正切值.PO ECDBACBAD1B1A1C19.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===. （1）求证：PA ABCD ⊥平面； （2）求证：//EF 平面PAD ; （3）求二面角A PB C --的余弦值.21.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ； (Ⅱ)求证：EF CD ⊥；(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC 的体积.BA22.(本小题满分10分)P-中，底面ABCD是矩形，如图，在四棱锥ABCDAP=，E，F分别是PB,PC的中点.PA⊥平面ABCD，AB(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；AE⊥.(Ⅱ)求证：PC评卷人得分三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）评卷人得分四、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）23.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题序号是______24.设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。
必修二 空间几何体和点线面之间的位置关系 解答题集锦
HG F E D BA C必修二 空间几何体和点线面之间的位置关系 解答题集锦1、已知,,,E F G H 为空间四边形A B C D 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//E H F G ．求证：//E H B D .2、正方体1111ABC D A B C D -中，M 是1A A 的中点．求证：平面M B D ⊥平面B D C3、如图：S 是平行四边形A B C D 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN ，求证：//M N 平面S B C4. 已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点 M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN ∥平面PAD ；5、在三棱锥S A B C -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SA C ⊥平面,ABC SA SC ==M 、N 分别为,AB SB 的中点。
（Ⅰ）证明：A C ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N -C M -B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面C M N 的距离。
6.已知p 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，，M,N 分别是AB,PC 的中点，（1.）求证，MN//平面PAD (2)若MN=BC=4,PA=4根号3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小 ．7如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC8、已知A B C ∆中90ACB ∠= ，SA ⊥面ABC ，A D SC ⊥，求证：AD ⊥面S B C ．(12分)9．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。
.10．如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥底面A B C D ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60A B C ∠=°，P A A B B C ==，E 是P C 的中点．（Ⅰ）求P B 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明A E ⊥平面PC D ； （Ⅲ）求二面角A P D C --的正弦值．11．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为 θ，猜想 θ 为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)ABCDPEPACSDCBA11．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB 和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.12、如图，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.（12）13、如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD 于F、G.求证：EH∥FG.（12）14.正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小15．（14分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比．16．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？（2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？17．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ． 求证：BC ⊥平面PAC ．18.如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证：PAC BC 平面⊥19.如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．20如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.AA 1BP21如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .22如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD .(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD .23（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．24．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1； （2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．25*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21．(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)26*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1 上取一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)27、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.28一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)29、已知正方体1111ABC D A B C D -，O 是底A B C D 对角线的交点. 求证：（１）O C 1∥面11A B D ；（2 ）1A C ⊥面11A B D ． (14分)30、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).A E A F A CA Dλλ==<<（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)31如下图，已知ABCD 是矩形，E 是以CD 为直径的半圆周上一点，且面CDE ⊥面ABCD.求证：CE ⊥平面ADE .32求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH . 求证：截面EFGH 是平行四边形．33已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； D 1ODBAC 1B 1A 1CFEDBAC33.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．34．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.35．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B—DEF的体积．36.在如图所示的几何体中，四边形A B C D为平行四边形，90A C B∠=︒，E A⊥平面A B C D，EF∥AB，F G∥B C，E G∥A C,2AB EF=.（Ⅰ)若M是线段A D的中点，求证：G M∥平面ABFE;ACDEF GM（Ⅱ）若2A C B C A E ==,求二面角A B F C --的大小． 3π37在如图所示的几何体中，四边形A B C D 是等腰梯形，AB∥C D ，60,D AB FC ∠=⊥平面,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==.（Ⅰ）求证：B D ⊥平面A E D ； （Ⅱ）求二面角F B D C --的余弦值.38如图，几何体E ABC D -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,C B C D E C B D =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BC D =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：D M ∥平面BEC .39如图，在五棱锥P —ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，AB//CD ，AC//ED ，AE//BC ，42,22,45===︒=∠AE BC AB ABC ，三角形PAB 是等腰三角形。
专题17 空间几何体与点线面的位置关系(解析版)
第17讲空间几何体与点线面的位置关系考点一 空间几何体（一）空间基本概念1.几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面．1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A ， B ， C ⋯来命名；2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母a ， b ， l ⋯或用直线上两个点AB ， PQ ⋯表示；一条直线把平面分成两个部分．3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母α ， β ， γ⋯来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ． 一个平面将空间分成两个部分．3.多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体．DCBA基本内容：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．4.截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的面．（二）棱柱、棱锥和棱台1.棱柱：1）棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．3）棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．4）特殊的四棱柱：2.棱锥：1）棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高．2）正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高． 3.棱台：1）棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高．2）棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体（三）圆柱、圆锥和圆台1.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．2.这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示．3.圆柱、圆锥、圆台的性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．（四）球与球面1.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．2.球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合．3.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．4.球的截面性质：球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有r=√R2−d2，其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．典例精讲1．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（）A．12 B．24 C．48 D．58【分析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2．【解答】解：当顶点为A时，三棱锥A﹣EHG，A﹣EFG，A﹣DCG，A﹣DHG，A﹣BCG，A﹣BFG，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个．故选：B．【点评】本题考查线面位置关系，属于中档题．2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1＝2，E，F分别在AB，BC上，则下列说法错误的是（）A．直线AD与A1C1所成的角为π4B．当E为中点时，平面A1D1E⊥平面B1C1EC．当E，F为中点时，EF⊥BD1D．当E，F为中点时，BD1⊥平面B1EF【分析】由题意画出图形，利用异面直线所成角、线面垂直的判定与性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：如图，∵A1C1∥AC，∴直线AD与A1C1所成的角为∠DAC，，故A正确；∵底面ABCD为正方形，∴∠DAC=π4当E为AB中点时，AE=B1E=√2，A1B1＝2，则A1E2+B1E2=A1B12，得到A1E⊥B1E，又A1D1⊥平面A1ABB1，则A1D1⊥B1E，可得B1E⊥平面A1D1E，而B1E⊂平面B1C1E，∴平面A1D1E⊥平面B1C1E，故B正确；当E，F为中点时，EF∥AC，∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AC，由底面ABCD为正方形，可得AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，故EF∥BD1，故C正确；若BD1⊥平面B1EF，则BD1⊥B1E，又B1E⊥A1D1，可得A1B⊥B1E，显然错误，故D错误．故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．3．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设PF＝λFC，则λ＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝2FC，可得λ＝2，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．5．若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为()A B C．2πD．2π【分析】根据题意，设正方体的棱长为a ，进而可得正方体的表面积S ，求出正方体的体对角线的长，分析可得球的半径，即可得球的表面积，据此计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设正方体的棱长为a ，则其表面积26S a =，，正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的半径r =，则球的表面积2243S r a ππ'==， 故正方体与这个球的表面积之比2S S π='； 故选：C ．【点评】本题考查正方体与球的关系，涉及球的表面积的计算，属于基础题．6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为( )ABCD【分析】连结1AD ，1D E ，由11//BC AD ，得1D AE ∠是异面直线AE 与1BC 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值．【解答】解：连结1AD ，1D E ，11//BC AD ，1D AE ∴∠是异面直线AE 与1BC 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，则1AD =1AE D E ==，2221111552cos 2AD AE D E D AE AD AE +-+-∴∠===⨯⨯BC．异面直线AE与1故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线间的位置关系、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．下列说法正确的是②④①用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；②圆台的任意两条母线延长后一定交于一点；③有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥；④若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥；⑤用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三角形面积的一半．【分析】用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，可判断①错误；由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，可判断②正确；依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，可判断③错误；若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过中线和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，可判断④正确；通过作图后计算可判断⑤错误．【解答】解：在①中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故①错误；在②中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故②正确；在③中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故③错误；在④中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过中线和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故④正确；在⑤中，如图△A'B'C'是边长为2的正三角形ABC的直观图，则A'B'＝2，C'D'为正三角形ABC的高CD的一半，即C'D'=12×√3=√32．则高C'E＝C'D'sin45°=√32×√22=√64，∴三角形△A'B'C'的面积为12×2×√64=√64．原三角形高CD=√22−1=√3，原三角形面积ABC为12×2×√3=√3．故⑤错误．∴说法正确的是②④．故答案为：②④．【点评】本题考查几何体的特征的判定，明确几何体的定义是解决问题的关键，属中档题．考点二 三视图与表面积体积的计算（一） 平行投影1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．2.平行投影： 1）概念：已知图形F ，直线l 与平面α相交，过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影（或象）；如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影．平面α叫做投射面，l 叫做投射线．2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质： ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3）正投影：概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影． FM F 'M ' l性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．（二）直观图与三视图1. 三视图：俯视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；主视图：一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；左视图：和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．三视图：将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．2.直观图：概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法：1）斜二测画法规则：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz= 90°，∠yOz=90°．（三维空间中）②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′ ， O′y′ ， O′z′，使∠x′O′y′= 45°或135°，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）③已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．（三）空间几何体的表面积1.直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积．S=cℎ，其中c为底面的周长，ℎ为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．S=12cℎ′=12naℎ′，其中a为底面边长，ℎ′为斜高；S=12cl=πrl，其中c为底面周长，r为圆锥的底面半径，l为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．S正棱台=12(c+c′)ℎ′=n2(a+a′)ℎ′，其中a,a′分别是正棱台上下底面的边长，ℎ′为斜高；S正棱台=12(c+c′)l=π(r+r′)l，其中r,r′分别是圆台上下底面的半径，l为母线长；4.球面面积：等于它的大圆面积的四倍．S球=4πR2，R为球的半径．（四）空间几何体的体积1.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V柱体=Sℎ，其中S为底面积，ℎ为高；2.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：V棱体=13Sℎ，其中S为底面积，ℎ为高；3.台体（棱台，圆台）的体积公式：V台体=13ℎ(S+√SS′+S′)，其中S′,S分别是台体上，下底面的面积，ℎ为台体的高；球的体积：V球=43πR3，R为球的半径．典例精讲1．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A．8−2π3B．4−π3C．8−π3D．4−2π3【分析】根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，利用正方体、圆锥体积公式即可计算．【解答】解：根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，如图，则该几何体的体积为V=2×2×2−2×13π×12×1=8−2π3．故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．属于中档题．2．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（）A．πR B．πR2C．πR3D．πR6【分析】设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC．根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC＝BC=√22R．由A、B两地经度差为90°，在Rt△ABC中算出AB=√AC2+BC2=R，从而得到∠AOB=π3，利用球面距离的公式加以计算，即可得到A、B 两地的球面距离．【解答】解：设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABCRt△ACO中，AC＝OA cos45°=√22R，同理BC=√22R，∵A、B两地经度差为90°，∴∠ACB＝90°，Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=R由此可得△AOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=π3∴A、B两地的球面距离是π3R．故选：C．【点评】本题求地球上北纬45度圈上两点的球面距离，着重考查了球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）A．2√2B．3 C．2√3D．√13【分析】根据三视图，还原出原图，根据勾股定理可得．【解答】解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的S﹣ABC，SD在俯视图中投成了一个点，故SD⊥平面ABCD（ABCD为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE⊥BC，根据题意，DE＝BE＝SD＝2，所以SB为最长的棱，因为BD⊂ABCD，∴SD⊥BD，∴BD2＝DE2+BE2＝8，∴SB=√BD2+SD2=√8+4=2√3．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，由三视图还原原图是解决问题的难点，属于中档题．4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器--商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个圆柱和长方体组成，如图所示：由图可知，该几何体的表面积为2(33)(5.4)42.2x x x π+++-=，解得4x =，故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=12×3×2×2＝6，四棱锥的体积V2=13×1×3×2＝2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V＝V1+2V2＝10立方丈＝10000立方尺．故选：A．【点评】本题考查几何体体积的计算，正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是关键．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为()A B ．32π C ．36π D ．48π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体:A BCD - 如图所示：设外接球的半径为r ，则：2222(2)444r =++，解得212r =， 所以：41248S ππ=⨯=． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，球的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O﹣ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为16π．【分析】设AB＝a，BC＝b，球的半径为r．连接AC1∩A1C＝O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=12AA1=1，三棱锥O﹣ABC的体积为1，即13×12ab=1，即12ab=3，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．【解答】解：如图，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，设AB＝a，BC＝b，球的半径为r．连接AC1∩A1C＝O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=12AA1=1，又因为三棱锥O﹣ABC的体积为1，即13×12ab=1，即12ab=3，所以r=√AD2+OD2=(√a2+b22)2+12≥√12ab+1=2，当且仅当a＝b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S＝4πr2＝16π．故填：16π．【点评】本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为5π3【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知：几何体是一个半圆柱，四分之一的球个半圆锥，组成，半径为1，高为2．几何体的体积为：12×12π⋅2+12×13×12π⋅2+14×43π×13=5π3．故答案为：5π3．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，组合体的体积的求法，考查计算能力．考点三 点线面的位置关系（一）点线面的位置关系1.用集合表示：1）点A 在直线l 上，记作：A ∈l ；点A 不在直线l 上，记作A ∉l ； 2）点A 在平面α内，记作：A ∈α；点A 不在平面α内，记作A ∉α； 3）直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l ⊂α；4）直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l ⊄α；5）直线l 和m 相交于点A ，记作l ∩m ={A}，简记为l ∩m =A ； 6）平面α与平面β相交于直线a ，记作α∩β=a ．（二）平面的三个公理及推论1.三个公理：1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：A ∈l,B ∈l,A ∈α,B ∈α⇒l ⊂α2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α,B ∈α,C ∈α．3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．Array图形语言表述：如右图：符号语言表述：A∈α∩β⇒α∩β=a,A∈a．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．2.三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3.共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．4.重要方法：1）证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线2）证明直线共面通常的方法：①先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）；②分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；③也可利用共面向量定理来证明．3）公理2是证明直线共点的依据，应该这样理解：①如果A、B是交点，那么AB是交线；②如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；。
立体几何高考专题之空间点线面的位置关系(原卷版含解析)
专题08 立体几何第二十讲空间点线面的位置关系2019年1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．7.(2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.8.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．9.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.12.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．15.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.16.（2019浙江8）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.2015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．22B ．32C ．52D ．722．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是4．（2017新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥5．（2016年全国I 卷）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22 C3 D ．136．（2016年浙江）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n三、解答题7．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．O MPCBA(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．8．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．ABCD M9（2018北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．PFEDCBA(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD ．10．（2018天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．M A BCD11．(2018江苏)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．D 11B 1A 1DCBA求证：(1)AB ∥平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．12．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．C 1B 1A 1CBA(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．13．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=． DCBA P(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若PCD ∆的面积为P ABCD -的体积。
空间立体几何点线面关系（课堂练习）
空间立体几何点线面关系一、选择题一、选择题1、以下命题（其中a ，b 表示直线，a 表示平面）表示平面）①若a ∥b ，b Ìa ，则a ∥a ②若a ∥a ，b ∥a ，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥a ，则a ∥a ④若a ∥a ，b Ìa ，则a ∥b 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是（ ））（A ）0个（B ）1个 （C ）2个（D ）3个2、已知a ∥a ，b ∥a ，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交交；⑤不垂直且不相交..其中可能成立的有（其中可能成立的有（ ）） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个3、如果平面a 外有两点A 、B ，它们到平面a 的距离都是a ，则直线AB 和平面a 的位置关系一定是定是 （ ））（A ）平行（B ）相交（C ）平行或相交）平行或相交 （D ）AB Ìa 4、已知m ，n 为异面直线，m ∥平面a ，n ∥平面b ，a ∩b =l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交中一条相交 5、已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题：给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是 A ．0 B 0 B．．1 C 1 C．．.2 D .2 D．．36、若a 、b 为空间两条不同的直线，a 、b 为空间两个不同的平面，则a a ^的一个充分条件是条件是A ．//a b 且a b ^B B．．a b Ì且a b ^C C．．a b ^且//b aD.a b ^且//a b7、设直线m n 、和平面a b 、，则下列命题中正确．．的是的是 A ．若//m n m n a b ÌÌ，，，则//a b B B．若．若//m n m n a b Ì^，，，则a b ^ C ．若m m n n a b ^^Ì，，，则//a b D D．若．若//m n m n a b ^^，，，则a b ^ 8、对于平面a 和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是下列命题中真命题是A ．若,,m m n a ^^则n a ∥B B．若．若m a a ∥,n ,n∥∥,则m ∥nC ．若,m n a a Ì∥,则m ∥nD D．若．若m 、n 与a 所成的角相等，则m ∥n9、若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线垂直的直线 （ ））A ．只有一条．只有一条B ．有无数条．有无数条C ．所有直线．所有直线D ．不存在．不存在 1010、经过平面、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有垂直的平面有（ ））A ．0个B ．1个C ．无数个．无数个D ．1个或无数个个或无数个1111、已知直线、已知直线a ，b 和平面a ，下列命题中正确的是（，下列命题中正确的是（ ）） A ．若b a b a //,,//则a a ÌB ．若b a b a //,//,//则a aC ．若a a //,,//a b b a 则ÌD ．若a a a //,//,//b b a b a 或则Ì1212、已知直线、已知直线m ⊥平面α，直线Ìn 平面β，下列说法正确的有，下列说法正确的有 （ ））①若①若n m ^则,//b a ②若b a ^，则m //n ③若③若m //n ，则b a ^④若b a //,则n m ^A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1313、已知平面、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么平行，那么（ ）A ．α∥βB ．α与β相交相交C ．α与β重合重合D ．α∥β或α与β相交相交1414、经过平面外两点与这个平面平行的平面、经过平面外两点与这个平面平行的平面、经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A ．只有一个．只有一个 B ．至少有一个．至少有一个 C C．可能没有．可能没有．可能没有D ．有无数个．有无数个1515、已知、已知,m n 是两条不同直线，,,a b g 是三个不同平面，下列命题中正确的是（是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ））A ．,,m n m n a a 若则‖‖‖B ．,,a g b g a b ^^若则‖C ．,,m m a b a b 若则‖‖‖D D．．,,m n m n a a ^^若则‖1616、设有直线、设有直线m 、n 和平面a 、b 。
立体几何-点线面的位置关系考试试题简单
姓名：__________ 日期：__________ 成绩：__________时间： 120分钟 满分： 150分 试卷类型： A 考试内容： 点线面的位置关系 . 一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，共50分) 1．下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 2．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题： ①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则α∥β B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若,,m n m αβ⊂⊂∥n ，则α∥βD ．若,m n 是异面直线，,,m n m αβ⊂⊂∥β，n ∥α，则α∥β4．设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平 面，则下列为假．命题的是（ ） A 、若,//m n αα⊥，则m n ⊥ B 、若//,//,,m m αββγαγ⊥⊥则 C 、若,,//m m αβαβ⊥⊥则 D 、若,,//αγβγαβ⊥⊥则 5．对于平面α与共面的直线m ，n ，下列命题为真命题的是（ ）A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m//nB ．若m//α，n//α，则m//nC ．若m n ⊥，m α⊥，则n //αD ．若m α⊂，n//α，则m//n 6．已知：b αβ= ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）A ．a b //B ．a b ⊥C ．a ，b 相交但不垂直D ．a ，b 异面7．若,,a b c 是空间三条不同的直线，,αβ是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若c α⊥，c β⊥，则//αβB ．若b α⊂，b β⊥，则αβ⊥C ．当,b a αα⊂⊄且c 是a 在α内的射影，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂且c α⊄时，若//c α，则//b c8．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥AB FED N CM9．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③10．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点M,N 分别在线段AB 1,BC 1上， 且AM=BN,给出以下结论:①AA 1⊥MN ； ②异面直线AB 1,BC 1所成的角为60° ③四面体B 1 D 1CA 的体积为31； ④A 1C ⊥AB 1,A 1C ⊥BC 1． 其中正确的结论的个数为（ ） A ．1 B.2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共5个小题，每个小题5分，共25分)11．如果三个平面把空间分成六个部分，那么这三个平面的位置关系是 ． 12．关于直线,m n 和平面,αβ，有如下四个命题: （1）若||,||,||m n αβαβ，则||m n ； （2）若||m n ，,n n αβ⊂⊥，则αβ⊥； （3）若,||m m n αβ= ，则||n β且||n β； （4）若,m n m αβ⊥= ，则n α⊥或n β⊥． 其中真命题的个数是 ．13．已知：l m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，给出下列五个命题：①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥； ⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //.其中正确命题的序号是 ． 14．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①//BM 平面DE ； ②//CN 平面AF ；③平面BDM //平面AFN ； ④平面BDE //平面NCF ．以上四个命题中，正确命题的序号是 ．F EDC BA P15．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则；②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则； ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则；④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则． 其中正确命题的序号为 ． 三、解答题(本大题共6个小题，共75分) 16．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点． （1）求证：//AP 平面MBD ； （2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分 别为PC 、BD 的中点.（1）求证：EF //平面PAD ；（2） 求证：平面PDC ⊥平面PAD ．P M B C DASDCBA如图，四边形A BCD 与A'ABB'都是边长为a 的正方形，点E 是A'A 的中点，AA 'ABCD ⊥平面 （1）求证：A 'C //BDE 平面；（2）求证：平面A 'AC BDE ⊥平面； （3）求体积ABCD A V -'与ABD E V -的比值．19．(本小题满分12分)已知ABC ∆中90ACB ∠= ，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥． 求证：AD ⊥面SBC .如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点． （1）求证：⊥AB 平面CDE ；（2）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF//平面CDE ．如图，在正四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，侧棱6=PA ,E 为BC 的中点，F 是侧棱PD 上的一动点。
专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案
专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1．A 【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图， 连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面的面积最大，又2======EF FG GH IH IJ JE ，所以该正六边形的面积为26=α，故选A ． 2．C 【解析】解法一 如图，补上一相同的长方体1111-CDEF C D E F ，连接1DE ，11B E ．易知11∥AD DE ，则11∠B DE 为异面直线1AD 与1DB 所成角．因为在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC ，1=AA所以12===DE ，1==DB11===B E ，在11∆B DE 中，由余弦定理，得22211cos 5∠==B DE ，即异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，故选C ． 解法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，1D ，1(1B ，所以1(1=-AD ，1(1,1=DB ，则由向量夹角公式，得1111112cos ,5||||2⋅<>===AD DB AD DB AD DB ， 即异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，故选C ． 3．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．4．D 【解析】由题意知四棱锥S ABCD -为正四棱锥，如图，连接BD ，记AC BD O =，连接SO ，则SO ⊥平面ABCD ，取AB 的中点M ，连接SM ，OM ，OE ，易得AB SM ⊥，则2SEO θ=∠，3SMO θ=∠，易知32θθ≥．因为OM ∥BC ，BC AB ⊥，SM AB ⊥，所以3θ也为OM 与平面SAB 所成的角，即BC 与平面SAB 所成的角，再根据最小角定理知，31θθ≤，所以231θθθ≤≤，故选D ．5．C 【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线1AB 与1BC 所成角为11B AD ∠211601B D===1AD=1AB ，∴22222211111111cos 25AB AD B D B AD AB AD +-∠===⨯⨯．选C ． 6．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， 图1图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B ，C，O ，∵AP PB =，2BQ CR QCRA ==，∴1(3Q ，2(3R -，则直线RP 的方程为2y x =-，直线PQ 的方程为y =，直线RQ 的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B7．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n A ． 8．B 【解析】由“m α⊥且l m ⊥”推出“l α⊂或l α∥”，但由“m α⊥且l α∥”可推出“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件，故选B ．9．B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===．在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．在ΔA DB '中，2222222112cos 22112A D DB A B t t A DB A D DB ''+-+--'∠==='⨯⨯⨯． 过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、．过N 作//NP MB ，使四边形BPNM 为平行四边形，则NP DC ⊥，连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ，cos DM θ，故2cos BPMN θ．显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-． 在ΔA NP '中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NPα''+-'=∠='⨯ 22222sin sin (4cos )2sin t θθθθ+--==222222222cos 2cos 2sin 2sin sin t t θθθθθ+--=+ 2221cos cos sin sin A DB θθθ'=∠+，所以2221cos cos cos cos cos sin sin A DB A DB A DB θαθθ'''-∠=∠+-∠ 2222221sin cos cos cos (1cos )0sin sin sin A DB A DB θθθθθθ-''=∠+=+∠≥， 所以cos cos A DB α'∠≥（当2πθ时取等号），因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ时，A CB π'∠<，排除D ； 当0α时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．10．D 【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．11．C 【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ．12．B 【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α⊂或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n 与α相交，D 错误．故选B ．13．D 【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan (0)PH PAH AH xθ=∠==>，故当1x =tan θ． 14．B 【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是1112AOA C OA π∠→→∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>，sin 12π= 所以sin α的取值范围是．15．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面可知D 正确．16．D 【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．17．B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则αβ．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α，l ∥β或l β⊂； 选项D ：若α⊥β, l ⊥α，l ∥β或l ⊥β．18．B 【解析】过点A 作AE BD ⊥，若存在某个位置，使得AC BD ⊥，则BD ⊥面ACE ，从而有BD CE ⊥，计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC CD ⊥时，因为BC CD ⊥，所以CD ⊥面ABC ，从而可得AB CD ⊥；若AD BC ⊥，因为BC CD ⊥，所以BC ⊥面ACD ，从而可得BC AC ⊥，而1AB BC =<=，所以这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B ．19．D 【解析】对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的某些直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其余选项易知均是正确的．20．D 【解析】D 两平行直线的平行投影不一定重合，故A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B 、C 均错误，故选D ．21．【解析】如图所示，设S 在底面的射影为S '，连接AS '，SS '．SAB ∆的面积为2211sin 2216SA SB ASB SA SA ⋅⋅⋅∠=⋅==，∴280SA =，SA =．∵SA 与底面所成的角为45，∴45SAS '∠=，cos 45452AS SA '=⋅==∴底面周长2l AS π'=⋅=，∴圆锥的侧面积为12⨯=． 22．②③④【解析】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ,ABCD 所在的平面为α．ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则l n ∥， 由m α⊥，有m l ⊥，从知m n ⊥结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．23．78【解析】如图连接ND ，取ND 的中点E ，连接,ME CE ，则//ME AN ． 则异面直线AN ，CM 所成的角为EMC ∠，由题意可知1CN，22AN ， ∴2ME ．又22CM ，22DN ，2NE ，∴3CE， 则2228237cos 282222CM EM CE CME CM EM +-+-∠===⨯⨯⨯． 24．25【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系， 设正方形边长为2．22cos ,55mm θ-=+令[]22()(0,2)525m f m m m -=∈+max 2()(0)5f m f ==，即max 2cos 5θ=． 25．②③【解析】如图BDEF 为底面圆的内接正方形，设1AC BC ==，则2AB AD AE AF FB FE ED BD ========，即侧面均为等边三角形，∵AC ⊥底面BDEF ，假设a FB ∥，由题意b BD ∥，当直线AB 与a 成60°角时，由图可知AB 与b 成60°角，所以①错，②正确；假设a EB ∥，可知③正确，④错．所以正确为②③．26．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形．又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此1AB ⊥1A B ．又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ，所以1AB ⊥BC ．又因为1A B BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．27．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =由2AB BC ==，120ABC ∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =11A B =，11AC得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D，故111sin 13C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 方法二 (1)如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由题意知各点坐标如下：(0,A ，(1,0,0)B，1(0,A ，1(1,0,2)B，1C ，因此1(1,AB=，11(1,2)A B =-，113)AC =-，由1110AB A B ⋅=得111AB A B ⊥． 由1110AB AC ⋅=得111AB AC ⊥． 所以1AB ⊥平面111A B C ．(2)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ．由(1)可知1AC =，(1,AB =，1(0,0,2)BB =，设平面1ABB 的法向量=()x,y,z n ．由100AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(=n． 所以111||sin |cos ,|13||||AC ACAC θ⋅=<>==⋅n n n ． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是13． 28．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =，又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因此CE ∥平面P AB ．（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ．因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ．由PAD ∆为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ，那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB 得14QH =，在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ ，所以sin QMH ∠=，所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8． 29．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD ．又AB AD ⊥，BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥．30．【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，因此30CBP ∠=︒（Ⅱ）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以AE GE AC GC =====取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．又1AM =，所以EM CM ===在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以EC =EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E，G，(C -，故(2,0,3)AE =-，(1,AG =，(2,0,3)CG =，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG的一个法向量(3,2)=m ．设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22220,230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG的一个法向量(3,2)n =-．所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅． 因此所求的角为60︒．31．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为AC =40AM =．所以30MN ==，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG ．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G ．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32．因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠． 答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)32．【解析】（Ⅰ）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．（Ⅱ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，||GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=，则2DF =，DG =，可得(1,4,0)A ，(3,4,0)B -，(3,0,0)E -，D ．由已知，AB EF ∥，所以AB ∥平面EFDC ．又平面ABCD 平面EFDC DC =，故AB CD ∥，CD EF ∥．由BE AF ∥，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角， 60CEF ∠=．从而可得(C -．所以EC =，(0,4,0)EB =，(3,AC =--，(4,0,0)AB =-． 设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩，即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,n =． 设m 是平面CD AB 的法向量，则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩， 同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19n m n m n m ⋅==- 故二面角C E-B -A 的余弦值为． 33．【解析】（I ）证明：∵54AE CF ==， ∴AE CF AD CD=，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE OH OD AO =⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，∴12129cos 52n n n n θ⋅==，∴sin θ． 34．【解析】（Ⅰ）由已知得232==AD AM ， 取BP 的中点T ，连接TN AT ,．由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //．因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥， 且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN ， )2,1,25(=AN ．设(,,)x y z =n 为平面PMN 的法向量，则00PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ， 可取(0,2,1)n =， 于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>== 35．【解析】（Ⅰ）设AC BE O =，连结OF ，EC ，由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==,因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF ．又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ．（Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥．因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥．又AP AC A =，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ．36．【解析】（Ⅰ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴DE ∥P A∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴P A ∥平面DEF（Ⅱ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC == ∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．37．【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则D 1),2E 1(0,)2AE =． 设(,0,0)(0)bm m ，则(c m (AC m =．设1(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量，则110,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10,2mx y z ⎧+=+=，可取1,n m =-． 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量， 由题设121cos ,2nn =12=，解得32m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12． 三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=． 38．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF//BC 且MF=12BC ．由已知有BC//AD ，BC=AD ．又由于E 为AD 中点， 因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF//AM ，又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF//平面PAB ．（Ⅱ）（i ）证明：连接PE ，BE ．因为PA=PD ，BA=BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角．在三角形PAD 中， 由2,AD PA PD ===PE=2．在三角形ABD 中，由BA BD ==，可解得BE=1．在三角形PEB 中，PE=2，BE=1，60PEB ∠=，由余弦定理，可解得90PBE ∠=，即BE ⊥PB ，又BC//AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ， 所以平面PBC ⊥平面ABCD ．（ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC ．所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由，∠ABP 为直角，而MB=12，可得，故，又BE=1，故在直角三角形EBF 中，sin BE EFB EF ∠==所以直线EF 与平面PBC 39．【解析】（Ⅰ）设点O 为AC ，BD 的交点，由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线．所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ．所以BD ⊥平面APC ．（Ⅱ）连结OG ．由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A在△ABC 中，AC所以OC ＝12AC在直角△OCD 中，OD 2．在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝3OD OG =．所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为3． （Ⅲ）连结OG ．因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG ．在直角△P AC 中，得PC所以GC ＝AC OC PC ⋅=从而PG ， 所以32PG GC =．40．【解析】（Ⅰ）由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ．由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC ，又PA∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO ．由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点，由G 为PA 中点，得QM//PC ．又O 为AB 中点，得OM//BC ．因为QM∩MO=M,QM ⊂平面QMO ．所以QG//平面PBC ．41．【解析】（Ⅰ）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC,又AD ⊂平面ABC ,所以1CC AD ⊥，又因为AD 1,,DE CC ⊥DE ⊂平面11BCC B ，1CC ,DE E ⋂=所以AD ⊥平面11BCC B ,又AD ⊂平面ADE,所以平面ADE ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）因为1111A B AC =，F 为11C B 的中点，所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111AB C ， 且1A F ⊂平面111A B C ，所以1CC 1.A F ⊥又因为1CC ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⋂111B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ，所以1//A F AD ．又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ，所以1//A F 平面ADE ．42．【解析】（Ⅰ）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥面ABCD（Ⅱ）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离1122h PH ==三棱锥E BCF -的体积1111113326212BCF V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯= （Ⅲ）取PA 的中点为G ，连接,DG EG ，PD AD DG PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB ，点,E G 是棱,PB PA 的中点11//,//////22EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒，得：EF ⊥平面PAB ．43．【证明】：（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．44．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥平面DEF ．（Ⅱ）,PG AD BG AD ⊥⊥，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角， 在2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=中 在3sin 602Rt ABG BG AB ∆⋅中,== 法二：（Ⅰ）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平面PBG ．延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂=所以PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设11(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22P m G n A n D n -则由于3(0,1,0),(,0,0),()222n m AD DE FE ===+-得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=AD ∴⊥平面DEF ．（Ⅱ）1(,,),()2PA n m PB n m =--=+- 取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-设平面PAD 的法向量2(,,)n a b c =由2230,0,0,0,222b b PA n ac PD n c ⋅=--=⋅=+-=得由取2n = 45．【解析】（Ⅰ）因为四边形ADEF 是正方形，所以FA //ED ．故CED ∠为异面直线CE与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ．故ED ⊥CD ．在Rt △CDE 中，CD =1，ED =CE故cos CED ∠=ED CE=3．所以异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为3． （Ⅱ）证明：过点B 作BG //CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=．由45BAD ∠=,可得BG ⊥AB ,从而CD ⊥AB ,又CD ⊥FA ,FA ⋂AB =A ,所以CD ⊥平面ABF ．(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG ，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF ,因为BC //AD ,所以BC //EF ．过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B -EF -A 的平面角．连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ,故AD ⊥GM ．从而BC ⊥GM ．由已知，可得GM =2．由NG //FA ,FA ⊥GM ,得NG ⊥GM ． 在Rt △NGM 中，tan GM 1NG 4GNM ∠==,所以二面角B -EF -A 的正切值为14． 46．【解析】 (Ⅰ)取A D '的中点G ，连结GF ，CE ，由条件易知FG CD ∥，12FG CD =．BE CD ∥，12BE CD =．所以FG BE ∥，FG BE =． 故四边形BEGF 为平行四边形，所以BF EG ∥因为EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE ，所以BF //平面'A DE （Ⅱ）在平行四边形ABCD 中，设BC a =，则2AB CD a ==， AD AE EB a ===，连CE ，因为0120ABC ∠=在△BCE 中，可得CE a ，在△ADE 中，可得DE =a ，在△CDE 中，因为222CD CE DE =+，所以CE DE ⊥， 在正三角形'A DE 中，M 为DE 中点，所以A M '⊥DE ． 由平面'A DE ⊥平面BCD ,可知A M '⊥平面BCD , A M '⊥CE ．取A E '的中点N ，连线NM 、NF ，所以NF ⊥DE ，NF ⊥A M '．因为DE 交A M '于M ，所以NF ⊥平面'A DE ，则∠FMN 为直线FM 与平面'A DE 所成角．在Rt △FMN 中，NF =2a , MN =12a ，FM =a ， 则cos FMN ∠=12． 所以直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12．。
空间点、直线、平面之间的位置关系典题及答案
1．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点E 为PC的中点，AC ∩BD ＝O ，求证EO ∥平面PAD ；(3)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S ▱ABCD ·PC ＝23. (2)证明：∵EO ∥PA ，EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD .∴EO ∥平面PAD .(3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ，证明如下：∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ，又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .2如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥F B ，∠BFC=90°，BF=FC ，H 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ；Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ；Ⅲ)求四面体B-DEF 的体积．(Ⅰ)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连结EC ，CH ，由于H 为BC 的中点，故，又，∴，∴四边形EFHC 为平行四边形， ∴EG ∥FH ，而EG 平面EDB ，∴FH ∥平面EDB 。
(Ⅱ)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ， 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ，又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB 。
专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案
专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1．C 【解析】如图，连接BE ，因为AB CD ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即EAB ∠．不妨设正方体的棱长为2，则1CE =，2BC =，由勾股定理得BE =AB ⊥平面11BCC B ，可得AB BE ⊥，所以tan BE EAB AB ∠==，故选C ． D 1C 1B 1A 1EDC B A2．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．3．A 【解析】由正方体的线线关系，易知B 、C 、D 中AB MQ ∥，所以AB ∥平面MNQ ， 只有A 不满足．选A ．4．C 【解析】如图，连结1A D ，易知1AD ⊥平面1A DE ，所以11AD A E ⊥，又11BC AD ∥，所以1BC ⊥平面1A DE ，故11A E BC ⊥，选C ．C 11A 1A5．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n A ． 6．C 【解析】选项A ，只有当m β∥或m β⊂时，m l ∥；选项B ，只有当m β⊥时m n ∥；选项C ，由于l β⊂，所以n l ⊥；选项D ，只有当m β∥或m β⊂时，m n ⊥，故选C ．7．B 【解析】由1284l r π=⨯=得圆锥底面的半径16163r π=≈，所以米堆的体积2111256320543499V r h π=⨯=⨯⨯=，所以堆放的米有320 1.62229÷≈斛． 8．C 【解析】三棱锥Δ13O ABC C OAB OAB V V S h --==⨯，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 时直角三角形，顶点C 到平面OAB 的最大距离是球的半径， 故Δ13O ABC C OAB OAB V V S h --==⨯=3113632R ⨯⨯=，其中R 为球O 的半径， 所以6R =，所以球O 的表面积24144S R ππ==．9．D 【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．10．B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===．在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．在ΔA DB '中，2222222112cos 22112A D DB A B t t A DB A D DB ''+-+--'∠==='⨯⨯⨯． 过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、．过N 作//NP MB ，使四边形BPNM 为平行四边形，则NP DC ⊥，连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==．显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-． 在ΔA NP '中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NPα''+-'=∠='⨯22222sin sin (4cos )2sin t θθθθ+--==222222222cos 2cos 2sin 2sin sin t t θθθθθ+--=+ 2221cos cos sin sin A DB θθθ'=∠+， 所以2221cos cos cos cos cos sin sin A DB A DB A DB θαθθ'''-∠=∠+-∠ 2222221sin cos cos cos (1cos )0sin sin sin A DB A DB θθθθθθ-''=∠+=+∠≥， 所以cos cos A DB α'∠≥（当2πθ=时取等号），因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ；当0α=时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．11．D 【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．12．C 【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ．13．B 【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α⊂或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n 与α相交，D 错误．故选B ．14．D 【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan (0)PH PAH AH xθ=∠==>，故当1x =tan θ． 15．B 【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是1112AOA C OA π∠→→∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>，sin 12π= 所以sin α的取值范围是 16．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面可知D 正确．17．D 【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．18．B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则αβ．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α，l ∥β或l β⊂；选项D ：若α⊥β, l ⊥α，l ∥β或l ⊥β．19．B 【解析】过点A 作AE BD ⊥，若存在某个位置，使得AC BD ⊥，则BD ⊥面ACE ，从而有BD CE ⊥，计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC CD ⊥时，因为BC CD ⊥，所以CD ⊥面ABC，从而可得AB CD ⊥；若AD BC ⊥，因为BC CD ⊥，所以BC ⊥面ACD ，从而可得BC AC ⊥，而1AB BC =<=，所以这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B ．20．D 【解析】对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的某些直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其余选项易知均是正确的．21．D 【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B 、C 均错误，故选D ．22．8π【解析】由题意画出图形，如图，OC B A S设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高，设圆锥的母线长为l ， 则由SA SB ⊥，SAB △的面积为8，得2182l =，得4l =，在Rt ASO ∆中， 由题意知30SAO ∠=，所以122SO l ==，2AO l ==．故该圆锥的体积22112833V AO SO πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 23．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且=OP 连结OB．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．H O MPC B A(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知122==OC AC，23==CM BC ，45∠=ACB ．所以=OM sin ⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．所以点C 到平面POM ． 24．【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ．又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．25．【解析】(1)∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥．∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥，∴PE BC ⊥．(2)∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ．∴AB PD ⊥．又PA PD ⊥，∵PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．(3)如图，取PC 中点G ，连接,FG GD ．GPF E DC BA ∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =． ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD ∥．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ．26．【解析】(1)由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以DMN ∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．N MABCD 在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ．在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN =在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MN DMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD (3)连接CM ．因为ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM =．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt CAD ∆中，4CD ==．在Rt CMD ∆中，sin 4CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD ． 27．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．D 1C 1B 1A 1DC B A(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形．又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此1AB ⊥1A B ．又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ，所以1AB ⊥BC ．又因为1A B BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．28．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C = 由2AB BC ==，120ABC ∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．D ABC A 1B 1C 1由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =11A B =，11AC得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D，故111sin 13C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 29．【解析】（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，所以BC ∥AD ，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD ．（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ．由12AB BC AD ==及BC ∥AD ， 90ABC ∠=得四边形ABCM 正方形，则CM AD ⊥．N M DC B AP因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD平面A B C D=AD ，所以PM AD ⊥，PM ⊥底面ABCD ．因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥．设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==．取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以2PN x =． 因为PCD ∆的面积为122x ⨯=2x =-（舍去），2x =．于是2AB BC ==，4AD =，PM =所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=． 30．【解析】（1）取AC 的中点O 连结DO ，BO .因为AD CD =，所以AC ⊥DO ．又由于ABC ∆是正三角形，所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .ABCDEO（2）连结EO ．由（1）及题设知90ADC ∠=，所以DO AO =． 在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=． 又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=.由题设知AEC ∆为直角三角形，所以12EO AC =． 又ABC ∆是正三角形，且AB BD =，所以12EO BD =．故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1．31．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD //BC ，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP =cos AD DAP AP ∠==． 所以，异面直线AP 与BC．（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PB C．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP∠为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF==在Rt△DPF中，可得sinPDDFPDF∠==．所以，直线AB与平面PBC．32．【解析】（Ⅰ）取11B D中点1O,连接1CO，11A O，O1AB CDEOMA1B1D1由于1111ABCD A B C D-为四棱柱,所以11AO OC∥，11A O OC=，因此四边形11AOCO为平行四边形,所以11AO O C∥,又1O C⊂面11B CD,1AO⊄平面11B CD,所以1A O∥平面11B CD,（Ⅱ）∵AC BD⊥．E，M分别为AD和OD的中点，∴EM BD⊥，又1A E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A E BD ⊥，∵11B D BD ∥，所以11EM B D ⊥，111A E B D ⊥， 又1A E ，EM ⊂平面1,A EM 1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD ．33．【解析】（Ⅰ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ，又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥．（Ⅱ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（Ⅰ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ． 所以平面BDE ⊥平面PAC ． （Ⅲ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥．因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC == 由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ． 所以三棱锥E BCD -的体积111363DBC V S DE BD DC DE ∆=⨯⨯=⋅⋅=． 34．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．D A因为E，F分别为PD，P A中点，所以EF∥AD且12EF AD=，又因为BC∥AD，12BC AD=，所以EF∥BC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面P AB．（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连结PN交EF于点Q，连结MQ．因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE．由PAD∆为等腰直角三角形得PN⊥AD．由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么，平面PBC⊥平面PBN．过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD=1．在PCD∆中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得14 QH=，在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ =，所以 s i n8Q M H ∠=，所以，直线CE 与平面PBC 35．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD AC ⊥．36．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为AC =40AM =．所以30MN ==，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)37．【解析】（Ⅰ）证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,= 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，FB AC ⊥．（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在CEF ∆中，G 是CE 的中点，所以EF GI //，又DB EF //，所以DB GI //；在CFB ∆中，H 是FB 的中点，所以BC HI //，又I HI GI = ，所以平面//GHI 平面ABC ，因为⊂GH 平面GHI ，所以//GH 平面ABC ．38．【解析】（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在BC D ∆中，因为G 是BC 的中点，所以DC OG //且121==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED ．（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED ．（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为65． 39．【解析】（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以EF PA ⊥，EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 40．【解析】（Ⅰ）由已知得，,AC BD AD CD ⊥=，又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD （Ⅱ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD由5,6==AB AC 得 4.===DO BO所以1, 3.'===OH D H DH于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH由（Ⅰ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S所以五棱锥D ABCEF '-体积169342=⨯⨯=V 41．【解析】（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21．取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥， 522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S . 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . 42．【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED ． 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ． （Ⅱ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°，可得AG GC =x ，GB GD ==2x．因为AE ⊥EC ，所以在Rt ∆AEC 中，可得EG x ．由BE ⊥平面ABCD ，知ΔEBG 为直角三角形，可得=2BE x ．由已知得，三棱锥E ACD -的体积31132243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==． 故2x =．从而可得=AE EC ED ==所以ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD故三棱锥E ACD -的侧面积为 43．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图（Ⅱ）作E M A B ⊥，垂足为M ，则14A M AE ==，112EB =，18EM AA ==．因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==，10AH =，6HB =．因为长方形被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97（79也正确）． 44．【解析】（Ⅰ）设ACBE O =，连结OF ，EC ，由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==,因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点， 因此在PAC ∆中，可得//AP OF .又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .（Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥. 又APAC A =，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ．45．【解析】（Ⅰ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴DE ∥P A ， ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴P A ∥平面DEF ， （Ⅱ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==， ∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==， ∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ， ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵ACEF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．46．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。
2024年高考数学一轮复习专题八立体几何2空间点线面的位置关系专题检测含解析新人教A版
空间点、线、面的位置关系专题检测1.(2024江西八校4月联考,5)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下面四个命题:①若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;③若m∥α,n⊂α,则m ∥n;④若α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,则m∥n.其中正确命题的序号是()A.①④B.①②C.②③④D.④答案D对于①,垂直于同一个平面的两个平面可能相交,也可能平行,所以命题①错误;对于②,在两个相互垂直的平面内的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,所以命题②错误;对于③,若m∥α,n⊂α,则直线m与n可能平行,也可能异面,所以③错误;对于④,由面面平行的性质定理可知命题④正确,故选D.方法总结对点、线、面的位置关系的推断,常采纳穷举法,即对各种位置关系都进行考虑,要充分利用几何模型的直观性.2.(2024广西桂林高三4月联考,6)已知平面α,β,γ两两垂直,直线a,b,c满意a⊂α,b ⊂β,c⊂γ,则直线a,b,c的位置关系不行能是()A.两两平行B.两两垂直C.两两相交D.两两异面答案A假设a,b,c三条直线两两平行,如图所示,设α∩β=l,∵a∥b,a⊄β,b⊂β,∴a∥β.又知a⊂α,α∩β=l,∴a∥l,又知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,∴l⊥γ,又知a∥b,a∥l,∴a⊥γ,又知c⊂γ,∴a⊥c,所以假设不成立.故三条直线a,b,c不行能两两平行,因此选A.3.(2024湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③B.②③C.②④D.②③④答案C由题意可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;题图④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH与MN异面.故选C.4.(2024北京西城二模,10)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有芳香、驱虫、开窍的功效,因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形态,形形色色,玲珑夺目.图1的▱ABCD由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得如图2所示的六面体形态的香囊,那么在图2这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关系为()图1图2A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直答案B将图1标上字母如图所示,图1沿虚线折起后如图2.图2由图可知,点D 、E 重合,点A 、C 重合,点B 、F 重合,△ABD 为等边三角形,所以棱AB 与CD 所在直线相交且夹角为60°.故选B .解后反思 本题考查折叠问题,主要弄清折叠前后点、线、角度的改变.5.(2017内蒙古包头十校联考)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段AD 1上运动,则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是( )A.0<θ<π2 B.0<θ≤π2 C.0≤θ≤π3 D.0<θ≤π3答案 D 如图,因为A 1B ∥CD 1,所以∠D 1CP (或其补角)即为异面直线CP 与BA 1所成的角,由题意知点P 不能与D 1重合,当点P 无限与D 1靠近时,∠D 1CP 无限接近于0,当点P 由点D 1向点A 移动时,∠D 1CP 变大,当点P 与点A 重合时,∠D 1CP 最大,为π3,故∠D 1CP 的取值范围是(0,π3],所以异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是(0,π3],选D.6.(2024福建四地七校10月联考,10)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P ,Q 分别是线段AD 1和B 1C 上的动点,且满意AP =B 1Q ,则下列命题错误的是 ( )A.存在P ,Q 在某一位置时,AB ∥PQB.△BPQ 的面积为定值C.当PA >0时,直线PB 1与AQ 是异面直线D.无论P ,Q 运动到任何位置,均有BC ⊥PQ答案 B 对于A,当P ,Q 分别为AD 1和B 1C 的中点时,AB ∥PQ ,故A 正确.对于B,当点P 在点A 处时,△BPQ 的面积为12;当点P 在AD 1的中点处时,△BPQ 的面积为√24,所以△BPQ 的面积不为定值,故B错误.对于C,当PA>0时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与已知AP和B1Q异面相冲突,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PQ,故D正确.综上,本题选B.7.(2017辽宁五市八校其次次联考)设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P()A.仅有一个B.有有限多个C.有无限多个D.不存在答案A与平面ABC,平面ABA1距离相等的点位于平面ABC1D1上;与平面ABC,平面ADA1距离相等的点位于平面AB1C1D上;与平面ABA1,平面ADA1距离相等的点位于平面ACC1A1上.据此可知,满意题意的点位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共点处,满意题意的点仅有一个,为正方体的中心.选A.8.(2024云南名校高三开学考试,12)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AD,AB,BB1的中点,那么正方体内过E,F,G的截面面积为()A.3√2B.3√3C.2√3D.2√2答案B如图所示,过点E,F,G的截面是一个边长为√2的正六边形,其面积为6×√34×(√2)2=3√3.故选B.9.(2024贵州遵义绥阳一模,11)如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A.√222B.√53C.1316D.√113答案 D 本题以圆锥为载体进行设题,考查异面直线所成角的定义及求法,正切函数,平行线分线段成比例,考查逻辑推理、数学运算的核心素养,考查学生的空间想象实力和分析问题、解决问题的实力.如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)即为异面直线SC 与OE 所成的角.∵SE =14SB ,∴SE =13BE ,又OB =3,∴OF =13OB =1.∵SO ⊥OC ,SO =OC =3,∴SC =3√2.∵SO ⊥OF ,∴SF =√SS 2+SS 2=√10.∵OC ⊥OF ,∴CF =√10.∴在等腰△SCF 中,tan ∠CSF =√(√10)2-(3√22)23√22=√113.故选D.方法总结 解决异面直线成角问题常用平移法,平移直线有三种方法:中位线、平行四边形、补体平移.本题可过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,并连接CF ,得出∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角,依据数量关系可得出tan ∠CSF 的值.10.(2024河北衡水三模,12)已知在高为2,底面边长为3的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,点E ,F ,G 分别是A 1C 1,A 1B 1,AB 上的点,且有C 1E =A 1F =BG =1,则过点E ,F ,G 的平面截正三棱柱所得的截面的面积为 ( )A.√154B.√152C.3√154D.5√154答案 D 如图所示,在平面ABB 1A 1内,连接GF 并延长与AA 1的延长线交于点P ,∵A 1F =BG =1,AB =3,∴AG =2,A 1F ∥AG 且A 1F =12AG ,∴A 1为AP 的中点.连接PE 并延长与AC 的延长线交于点H ,交线段CC 1于点N ,∵A 1E ∥AC ,A 1为AP 的中点,∴E 为PH 的中点,∵C 1E =1,A 1C 1=3,∴A 1E =2,AH =4,CH =1,∴N 为CC 1的中点,连接GH 交BC 于点M ,连接MN ,则EF ∥GH.由连线知平面GMNEF 为所求截面.∵∠EA 1F =60°,A 1E =2,A 1F =1,∴EF ⊥A 1B 1,∴GH ⊥AB ,又知EF ⊥A 1A ,A 1A ∩A 1B 1=A 1,∴EF ⊥平面ABB 1A 1.又∵∠ABC =60°,∴BM =2,则CM =1,在Rt △PEF 中,PF =√5,EF =√3,∴S △PEF =12×√3×√5=√152.在Rt △PGH 中,PG =2√5,GH =2√3,∴S △PGH=12×2√3×2√5=2√15.在△MNH 中,NH =NM =√2,MH =√3,∴S △MNH =12×√3×√52=√154,∴截面的面积S =S △PGH -S △PEF -S △MNH =2√15-√152-√154=5√154.故选D .11.(2016广西南宁二模,16)已知两条不同的直线m ,n 和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:①若m ∥α,n ∥β,且α∥β,则m ∥n ; ②若m ∥α,n ⊥β,且α⊥β,则m ∥n ; ③若m ⊥α,n ∥β,且α∥β,则m ⊥n ; ④若m ⊥α,n ⊥β,且α⊥β,则m ⊥n. 其中正确命题的个数为 . 答案 2解析 ①中m ,n 可能异面或相交,故不正确;②因为m ∥α,n ⊥β,且α⊥β成立时,m ,n 两直线的位置关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③因为m ⊥α,α∥β可得出m ⊥β,再由n ∥β可得出m ⊥n ,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线肯定垂直,正确.故③④正确.评析 本题考查了立体几何的几种基本关系,空间思维实力.12.(2017广西柳州模拟,15)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =2,BC =AA 1=2√2,AB =2√3,D 是线段AB 上一点,且AC 1∥平面CDB 1,则直线AC 1与CD 所成角的余弦值为 .答案 13解析 连接BC 1交B 1C 于点O ,则O 为BC 1的中点,连接OD.因为AC 1∥平面CDB 1,AC 1⊂平面AC 1B ,平面CDB 1∩平面AC 1B =OD ,所以AC 1∥OD ,则D 为AB 的中点,于是∠ODC 或其补角即为直线AC 1与CD 所成的角.由AC =2,BC =2√2,AB =2√3,得AB 2=AC 2+BC 2,则∠ACB =90°,所以DC =12AB =√3.由BC =AA 1=BB 1=2√2,得CB 1=4.则OC =12CB 1=2.由AC =2,CC 1=AA 1=2√2,得AC 1=2√3,所以DO =12AC 1=√3,所以cos ∠ODC =SS 2+SS 2-SS 22SS ·SS=2×√3×√3=13.13.(2024皖南八校联考,15)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于点B ,C ),点N 为线段CC 1的中点,若平面AMN 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形,则线段BM 长的取值范围为 . 答案 (0,12]解析 当点M 为线段BC 的中点时,由题意可知,截面为四边形AMND 1,从而当0<BM ≤12时,截面为四边形,当BM >12时,平面AMN 与平面A 1B 1C 1D 1也有交线,故截面为五边形,所以若平面AMN 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形,则线段BM 长的取值范围为(0,12].。
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析
空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理 1．平面基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.4．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 5．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 7．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 教材改编题1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A ．AB 与CD 是异面直线 B ．GH 与CD 相交C ．EF ∥CD D ．EF 与AB 异面 答案 ABC解析 把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G 与C 重合，点B 与F 重合，由图可知ABC 正确，EF 与AB 相交，故D 错． 2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β．且α∥β，则a 与b ( ) A ．共面 B ．平行 C ．是异面直线D ．可能平行，也可能是异面直线 答案 D解析 α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线．3．如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD ．(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD ．题型一 基本事实应用例1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，连接D 1F ，CE ．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1． 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 教师备选如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ．求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD ．∴EF ，BD 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设平面A 1ACC 1为α， 平面BDEF 为β． ∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈α．又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )答案ABC解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．题型二空间线面位置关系命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)下列推断中，错误的是( )A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案 C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案 C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．命题点2 异面直线所成角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP ．又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP ．连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt△C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6．方法二 如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6．(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A ．222B ．53C ．1316D ．113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE ．又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1．∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝32．∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10． ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10． ∴在等腰△SCF 中，tan∠CSF ＝102－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222322＝113． 教师备选1．(多选)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 答案 ABC2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22 答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝5． 所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练2 (1)如图所示，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 与MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案 ②④(2)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．图1 图2题型三 空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体中过M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形答案 C解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C 1M ，CD 相交于点P ，直线C 1N ，CB 相交于点Q ，连接PQ 交直线AD 于点E ，交直线AB 于点F ，则五边形C 1MEFN 为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为______． 答案π2解析 以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线是以C 1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC 1B 1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2．延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2． 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ． 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案 92解析 如图，过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ，过点M 作BD 的平行线，交C 1D 1于点N ，连接DN ，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，由图可知M ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 故BD ＝22，MN ＝2， 且BM ＝DN ＝5， ∴等腰梯形MNDB 的高为h ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫222＝322， ∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92． 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练3 (1)(多选)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A ．截面形状可能为正三角形 B ．截面形状可能为正方形 C ．截面形状可能为正六边形 D ．截面面积最大值为3 3 答案 ACD解析 易知A ，C 正确，B 不正确，下面说明D 正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝62， 所以S ＝2×12×(2＋22)×62＝33，故D 正确．(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A 1C 的棱长为1，点M 在棱A 1D 1上，A 1M ＝2MD 1，过M 的平面α与平面A 1BC 1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案 3 2解析 在平面A 1D 1DA 中寻找与平面A 1BC 1平行的直线时，只需要ME ∥BC 1，如图所示，因为A 1M ＝2MD 1，故该截面与正方体的交点位于靠近D 1，A ，C 的三等分点处，故可得截面为MIHGFE ，设正方体的棱长为3a ， 则ME ＝22a ，MI ＝2a ，IH ＝22a ，HG ＝2a ，FG ＝22a ，EF ＝2a ，所以截面MIHGFE 的周长为ME ＋EF ＋FG ＋GH ＋HI ＋IM ＝92a ， 又因为正方体A 1C 的棱长为1，即3a ＝1， 故截面多边形的周长为32．课时精练1．下列叙述错误的是( )A ．若P ∈α∩β，且α∩β＝l ，则P ∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案 C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( ) A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案 A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案 D解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ， 则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22 ＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋2a2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ， 又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．6．(多选)(2022·厦门模拟)下列说法不正确的是( )A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．图1 图27．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________． 答案105解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D 或其补角，∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5， 易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ， 因此cos∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105． 8．(2022·本溪模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 答案 ①②④解析 对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l 与平面内的任意直线垂直时，得到l ⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9．(2022·上海市静安区模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，CC 1的中点．(1)求异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．解 (1)如图，设BB 1的中点为H ，连接HF ，EH ，A 1H ，因为F 是CC 1的中点，所以A 1D 1∥CB ∥HF ，A 1D 1＝CB ＝HF ， 因此四边形A 1D 1FH 是平行四边形， 所以D 1F ∥A 1H ，D 1F ＝A 1H ，因此∠EA 1H 是异面直线A 1E 与D 1F 所成的角或其补角， 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是AB 的中点， 所以A 1E ＝A 1H ＝22＋12＝5，EH ＝12＋12＝2，由余弦定理可知，cos∠EA 1H ＝A 1E 2＋A 1H 2－EH 22A 1E ·A 1H ＝5＋5－22×5×5＝45，所以异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值为45．(2)因为A 1D 1∥HF ，HF ⊄平面A 1D 1E ，A 1D 1⊂平面A 1D 1E ， 所以HF ∥平面A 1D 1E ，因此点H ，F 到平面A 1D 1E 的距离相等， 即111111F A D E H A D E D A EH V V V －－－＝＝，11D A EH V －＝13D 1A 1·1A EH S △＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×2×1×2－12×1×1＝1，所以三棱锥A 1－D 1EF 的体积为1．10．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，M 为AB 上一点．(1)若D 1E 与CM 相交于点K ，求证D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点； (2)若AB ＝2，AA 1＝4，∠BAD ＝π3，求点D 1到平面FBD 的距离．(1)证明 ∵D 1E 与CM 相交于点K ， ∴K ∈D 1E ，K ∈CM ，而D 1E ⊂平面ADD 1A 1，CM ⊂平面ABCD ， 且平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， ∴K ∈AD ，∴D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点K ． (2)解 ∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2， ∴BC ＝CD ＝2，而四棱柱的侧棱AA 1⊥底面ABCD ， ∴CC 1⊥底面ABCD ，又∵F 是CC 1的中点，CC 1＝4，∴CF ＝2， ∴BF ＝DF ＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3，∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×222－1＝7．设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V －－＝， ∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217．即点D1到平面FBD的距离为421 7．11．(多选)(2022·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是( )A．GH与EF平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直答案BCD解析如图，还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正确．12．(多选)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D答案 BD解析 如图，连接MP ，AC ，因为MP ∥AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1＝DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则A 不正确，B 正确；令AC ∩BD ＝O ，连接OD 1，ON ．因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ， 则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，因为MN ⊄平面BB 1D 1D ，OD 1⊂平面BB 1D 1D ，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 正确．13．(2022·玉林模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则直线EF 与PQ 所成角的大小是________．答案 π3解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则F 是A 1C 1的中点，又E 为A 1B 的中点，所以EF ∥BC 1，连接DC 1，则Q 是DC 1的中点，又P 为A 1D 的中点，所以PQ ∥A 1C 1，于是∠A 1C 1B 是直线EF 与PQ 所成的角或其补角．易知△A 1C 1B 是正三角形，所以∠A 1C 1B ＝π3． 14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，过P ，Q ，A 作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案 25＋95＋2133 解析 如图所示，过Q 作QM ∥AP 交BC 于M ，由A 1P ＝CQ ＝2，tan∠APA 1＝2，则tan∠CMQ ＝2，CM ＝CQtan∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1， C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12， 则C 1N ＝43，D 1N ＝83， 因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5，MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋PA＝5＋5＋2133＋103＋2 5 ＝25＋95＋2133．15．(2022·大连模拟)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中错误的是( )A ．点B 到平面α的距离与点A 1到平面α的距离之比为1∶2B ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732C ．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形 答案 D解析 对于A ，因为平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等．由平面α过A 1A 的三等分点M 可知，点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍，因此，点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍．故选项A 正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N ．连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝2．连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN ．等腰梯形MEFN 的高h ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332．又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ V －－V M －PAE －V N －CFQ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256， 所以V 1＝1111ABCD A B C D V －－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1 图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明 因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解 因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ，EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736．。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
专题5 空间点、直线、平面的位置关系【高考文科数学】立体几何 含答案
第二讲空间点、直线、平面的位置关系1．点、线、面的位置关系(1)公理1 ∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2 ∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．(3)公理3 ∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(4)公理4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析B、C、D选项是公理．2． (2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．3． (2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.5． (2013·浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析 本题关键是理解B ＝f π(A )的含义． 若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P .则PQ 1≠PQ 2. 所以平面α与平面β垂直，故选A.题型一 空间点、线、面的位置关系例1 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．审题破题 可以画出四面体ABCD 的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系． 答案 ①④⑤解析 若AB 与CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对； 若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错； 只有当以AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；设垂足为O ，过O 作OE ⊥CD 于E ，连接AE ，则OE <AE .∴S △COD ＝12CD ·OE <S △ACD＝12CD ·AE . 同理可得S △ABD >S △BOD ，S △ABC >S △BOC ， ∴S △ACD ＋S △ABC ＋S △ABD >S △BCD .故④对．如图，点E 、F 、G 、H 、M 、N 为各边中点，这样可得到▱EFGH 和 ▱ENGM 它们的对角线EG 和FH 互相平分，EG 和MN 也互相平分． 因此，三条线段EG ，FH ，MN 交于一点，故⑤对．反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以．变式训练1 (1)给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题：①m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中假命题的序号是__________．答案④解析命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l、m分别作平面γ、δ交平面α于l′，n′，易知n⊥l′，n⊥m′且m′，n′相交，故n⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l，m可以平行、相交，也可以异面．(2)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．答案①③④解析可以利用模型进行判断．题型二平行关系与垂直关系例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F 分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．审题破题(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，∴EG ∥平面PMA ，GF ∥平面PMA . 又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交， ∴平面EFG ∥平面PMA .(2)证明 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . 又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(3)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2. ∵DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，∴DA 即为点P 到平面MAB 的距离，∴V P －MAB ∶V P －ABCD ＝13S △MAB ·DA ∶13S 正方形ABCD ·PD＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .变式训练2 (2013·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)平面PAD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE .∴ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD . 又∵BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD .(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，则PA ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD ， 又E 、F 分别为CD 、CP 的中点， ∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF . ∴平面BEF ⊥平面PCD . 题型三 空间线面关系的综合问题例3 如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE . 审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直．(2)这是一道探索性问题，先确定点N 的位置，再进行证明．要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN ∥平面DAE 成立． (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF ，∵BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．变式训练3 (2013·浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (1)证明 设点O 为AC 、BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ，且AC ∩PA ＝A . 所以BD ⊥平面APC .(2)解 连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ， 则DG 在平面APC 内的射影为OG ， 所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. 所以OC ＝12AC ＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.典例 (12分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求PA 的长．(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 规范解答(1)解 令PA ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)． 令f (x )＝16(4x －x 3)，[4分] 由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233(负值舍去)．[5分]当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． [7分]所以当x ＝233时，f (x )取得最大值．故当V A ′－PBCD 最大时，PA ＝233.[8分](2)证明 设F 为A ′B 的中点，如图所示，连接PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC . [10分]所以EF 綊PD .所以四边形EFPD 为平行四边形．所以DE ∥PF . 又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .[12分]评分细则 (1)从已知条件得到A ′P ⊥平面PBCD ，得2分；(2)f (x )的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分．阅卷老师提醒(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；③若a∥b，b∥M，则a∥M；④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①中a与b可以相交或平行或异面，故①错．③中a可能在平面M内，故③错，故选C.2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是( ) A．①③B．②③C．①④D．②④答案 C解析②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.3． (2012·四川)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N 是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案 C解析易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ON⊥AM.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的有________．答案②③解析正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题①不正确；若α⊥γ，在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m⊥γ，又β∥γ，故m⊥β，这样平面α过平面β的一条垂直，故α⊥β，命题②正确；过直线l作平面δ交平面α于直线n，根据线面平行的性质定理，l∥n，又l⊥β，故n⊥β，这样平面α就过平面β的一条垂线，故α⊥β，故命题③正确．专题限时规范训练一、选择题1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β答案 D解析选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．故选D.3．下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( ) A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A 1D ⊥面AD 1C 1B ，又C 1E ⊂面AD 1C 1B ，故A 1D ⊥C 1E .故选B.5． 如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EB 1F －HC 1G 所得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是()A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ， ∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ， ∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形， ∵BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1DCGH 为上下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确． 6． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G .现在沿AE 、EF 、FA把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P －AEF 中必有 ()A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变． ∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF . 7． 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 8． 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 ①②③不成立，故选A. 二、填空题9． 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案2解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.10．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P )，则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________．答案 23解析 折成的正四面体如图所示，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG＝3，GK ＝32，PK ＝ 12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝32＋⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23. 即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.11．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .12．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．答案 33解析 如图，作PM ⊥面ABC ，设PA ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ，PM ＝33a . 设球的半径为R ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫33a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＝R 2，将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.三、解答题13．(2013·江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由AS ＝AB ，AF ⊥SB 知F 为SB 的中点， 则EF ∥AB ，FG ∥BC ，又EF ∩FG ＝F ，因此平面EFG ∥平面ABC . (2)由平面SAB ⊥平面SBC ，且AF ⊥SB ， 知AF ⊥平面SBC ，则AF ⊥BC .又BC ⊥AB ，AF ∩AB ＝A ，则BC ⊥平面SAB ， 又SA ⊂平面SAB ，因此BC ⊥SA .14．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC .(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面AC 1；(2)若AB 1⊥A 1C ，求线段AC ⊥AA 1长度之比；(3)若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 由于ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以B 1C 1⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，所以B 1C 1⊥A 1C 1， 又CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1C 1⊥平面AC 1.由于B 1C 1⊂平面AB 1C 1，从而平面AB 1C 1⊥平面AC 1. (2)解 由(1)知，B 1C 1⊥A 1C .所以，若AB 1⊥A 1C ，则可得：A 1C ⊥平面AB 1C 1， 从而A 1C ⊥AC 1.由于ACC 1A 1是矩形，故AC 与AA 1长度之比为1∶1.(3)解点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1. 设F是BB1的中点，连接DF、EF、DE.则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1.。
高三数学点线面的位置关系试题答案及解析
高三数学点线面的位置关系试题答案及解析1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是直线BC1的动点，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变：其中正确的命题有____ ．（把所有正确命题的编号填在横线上）【答案】①③【解析】①,点到线的距离不变，点到面的距离不变，所以体积不变，②取特殊点，当点与重合时，线与面所成角的大小改变；③点变化，但二面角都是面与面所成的角，所以大小不变.故①③正确.【考点】1.几何体的体积；2.二面角的大小；3.线面角.2.如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A【解析】折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.3.直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】解：(1)证法一：连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.证法二：取A′B′中点P，连接MP，NP.而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)解法一：连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC. 又A′N＝B′C′＝1，故V－MNC＝V N－A′MC＝V N－A′BC＝V A′－NBC＝.A′解法二：V－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝V A′－NBC＝.A′4.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E、F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积()A．与点E、F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E、F、Q的位置都有关D．与点E、F、Q的位置均无关，是定值【答案】D【解析】因为V－EFQ＝V Q－A′EF＝×(×2×4)×4＝，故三棱锥A′－EFQ的体积与点E、F、A′Q的位置均无关，是定值．5.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】C【解析】画出正方体，如图所示，易知，①②错误，③④正确．故选C.6.已知直线a,b异面, ,给出以下命题：①一定存在平行于a的平面使;②一定存在平行于a的平面使∥;③一定存在平行于a的平面使;④一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.则其中论断正确的是( )A．①④B．②③C．①②③D．②③④【答案】D【解析】若直线不是异面垂直则不可能存在平行于a的平面使，所以①不正确；②③④正确；故选D.【考点】1.线面平行的位置关系.2.异面直线的概念.7.如图，ABCD是边长为2的正方形，,ED=1，//BD，且.（1）求证：BF//平面ACE；（2）求证：平面EAC平面BDEF;（3）求二面角B-AF-C的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）记与的交点为，连接，则可证，又面，面，故平面；（2）因⊥平面，得,又是正方形，所以，从而平面，又面,故平面平面；（3）过点作于点，连接，则可证为二面角的平面角．在中，可求得，又，故，∴，即二面角的大小为；证明：（1）记与的交点为，连接，则所以，又，所以所以四边形是平行四边形所以，又面，面，故平面；（2）因⊥平面，所以,又是正方形，所以，因为面，面，所以平面，又面,故平面平面；（3）过点作于点，连接，因为，面所以面，因为面,所以因为所以面所以又所以面所以，即得为二面角的平面角．在中，可求得，又，故，∴，即二面角的大小为；【考点】线面平行的判定；面面垂直的判定；二面角的求解.8.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，，四边形ACFE是矩形，且平面平面ABCD，点M在线段EF上.（1）求证：平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM//平面BDF？证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）当时，平面.【解析】（1）由已知可得四边形是等腰梯形，且，，得到.再根据平面平面，交线为，即得证.（2）在梯形中，设，连接，则，再根据，而，得到，确定得到四边形是平行四边形，从而，得证.（1）在梯形中，，，四边形是等腰梯形，且，，. 3分又平面平面，交线为，平面 . 6分（2）当时，平面， 7分在梯形中，设，连接，则，，而，， 9分，四边形是平行四边形，，又平面，平面平面. 12分【考点】立体几何平行关系、垂直关系.9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F 是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高.（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】(1)证明:因为PH为△PAD边上的高,所以PH⊥AD,又因为AB⊥平面PAD，平面PAD,所以AB⊥PH,又因为PH AD=H,所以PH⊥平面ABCD;(2)因为E是PB的中点，所以点E到平面BCF的距离等于点P到平面ABCD距离的一半,即=,又因为=,所以三棱锥E-BCF的体积为;(3)取PA的中点Q,连结EQ、DQ，则因为E是PB的中点，所以EQ∥AB且EQ=AB，又因为DF=AB且DF∥AB，所以EQ∥DF且EQ=DF，所以四边形EQDF是平行四边形，所以EF∥DQ，由(1)知AB⊥平面PAD，所以AB⊥DQ,又因为PD=AD，所以DQ⊥PA,因为PAAB=A,所以DQ⊥平面PAB,因为EF∥DQ，所以EF⊥平面PAB.【考点】本题考查空间线线、线面的平行与垂直的证明以及三棱锥体积的求解，考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析与解决问题的能力.10.下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】如下图所示，在正方体中，直线和与底面所成的角均为，但是直线和相交，A选项错误；取、、、的中点、、、，则、、三点到平面的距离相等，但是平面与平面相交，B选项错误；平面，平面，但是直线与平面和平面的交线平行，C选项正确；平面和平面都与平面都垂直，但是平面和平面相交，D选项不正确，故选C.【考点】空间中点、线、面的位置关系11.设平面、，直线、，，，则“，”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由平面与平面平行的判定定理可知，若直线、是平面内两条相交直线，且有“，”，则有“”，当“”，若，，则有“，”，因此“，”是“”的必要不充分条件.选B.【考点】1.平面与平面平行的判定定理与性质；2.充分必要条件12.设m,n是平面内的两条不同直线，l是平面外的一条直线，则且是的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据线面垂直的判定，即直线垂直于面，需要直线垂直于面内相交额两条直线，故且，根据线面垂直的性质，直线垂直面，则垂直于面内的所有直线，故且，所以且是的必要不充分条件，故选B【考点】线面垂直的判断线面垂直的性质13.已知不重合的直线m、l和平面，且，．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为，，所以，，又，所以，.①正确；因为，，所以或，又，所以或相交或互为异面直线. ②不正确；因为，，所以，又，所以，故③不正确，④正确.选.【考点】平行关系，垂直关系.14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.(1)求棱AA1与BC所成的角的大小；(2)在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为.【答案】（1）（2）P(1，3，2)【解析】(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，＝(0，2，2)，＝＝(2，－2，0)．cos〈，〉＝＝＝－，故AA1与棱BC所成的角是.(2)P为棱B1C1中点，设＝λ＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB的法向量为n1＝(x，y，z)，＝(2λ，4－2λ，2)，则故n1＝(1，0，－λ)，而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝，解得λ＝，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．15.如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．【答案】见解析【解析】∵O、M分别是AC、PA的中点，连结OM，则OM∥PC.∵OM∥平面PCD，PC平面PCD，∴OM∥平面PCD.同理，知ON∥CD.∵ON∥平面PCD，CD平面PCD，∴ON∥平面PCD.又OM∩ON于O，∴OM、ON确定一个平面OMN.由两个平面平行的判定定理知平面OMN与平面PCD平行，即过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．16.如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C的中点．求证：(1)直线FM∥平面A1EB；(2)平面A1FC⊥平面A1BC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)取A1B中点N，连结NE、NM，则MN∥=BC，EF∥=BC，所以MN∥=FE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN.又FM平面A1EB，EN∥平面A1EB，所以直线FM∥平面A1EB.(2)因为E、F分别为AB和AC的中点，所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C.同理，EN⊥A1B.由(1)知FM∥EN，所以FM⊥A1B.又A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC.因为FM平面A1FC，所以平面A1FC⊥平面A1BC17.由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为△ABC的外心，求证：OP⊥α.【答案】见解析【解析】学生错解：证明：因为O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.审题引导：要记OP⊥α，需记OP垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP垂直于△ABC的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC、OBC，不准找到证题途径．规范解答：证明：取BC的中点D，连结PD、OD，∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)又PD平面POD，OD平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)∵PO平面POD，∴BC⊥PO.同理AB⊥PO.(12分)又AB、BC是α内的两条相交直线，∴PO⊥α.(14分)错解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．18.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．(1)求证：MN∥平面AA1C1 C；(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：(1)连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2)由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BC平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.19.如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.现给出三个条件：①PB＝；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；【答案】见解析【解析】(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝.又∵PA＝AC，∴PA＝.∴在△PAB中，AB＝1，PA＝.又∵PB＝，∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.又∵PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC真包含于平面ABC，∴PA⊥平面ABC.(解法2)选取条件②，∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(解法3)选取条件③，若平面PAB⊥平面ABC，∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC真包含于平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.20.如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA.又QA⊥平面ABCD，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在CP中点R【解析】(1)证法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD,由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ，在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD,又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ.证法二：∵QA⊥平面ABCD，QA平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD,又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ.(2)存在CP中点R，使QR∥平面ABCD.证明如下：取CD中点T，连结QR、RT、AT，则RT∥DP，且RT＝DP，又AQ∥DP，且AQ＝DP，从而AQ∥RT，且AQ＝RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR，∵QR平面ABCD，AT平面ABCD，∴QR∥平面ABCD.21.从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确的结论有________个．【答案】4【解析】四边形ABCD适合(1)，四面体ACB1D1适合(2)，DB1C1D1适合(3)，DA1C1D1适合(4)，因此正确的结论有4个22.已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是( ) A．若∥，则∥B．若∥，则∥C．若，则D．若，则【答案】D【解析】由∥，∥，可得或∥，不正确；由∥，∥，可得∥或，相交或，互为异面直线，不正确；由∥，，可得∥或，相交，不正确；由∥，，可得，正确.选.【考点】平行关系，垂直关系.【考点】二项式定理23.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【答案】【解析】∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝AC＝×2＝.24.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．【答案】①③【解析】α∥β⇒直线l⊥平面β，由于直线m⊂平面β，∴l⊥m故①正确；由l∥m，直线l⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线m⊂平面β，∴α⊥β故③正确．25.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是() A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】选项A正确，因为SD垂直于底面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD；再由四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD；而BD与SD相交，所以，AC⊥平面SBD，AC⊥SB.选项B正确，因为AB∥CD，而CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，易知SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．26.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则所以不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C－PB－A的余弦值为.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；【答案】(1)证明见解析；(2)证明：见解析.【解析】(1)由直线与平面平行的判定定理即得.(2)注意到在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，四边形ADCE为矩形利用勾股定理计算三角形的边长，进一步得到再根据平面，即可得出平面.试题解析：(1)证明：，且平面，平面.∴∥平面. 5分(2)证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形∴，又，在，所以，则，∴ 9分又∵平面，，∴平面 12分【考点】直线与平面平行，勾股定理，垂直关系.28.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且∥平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（）A．点的轨迹是一条线段B．与不可能平行C．与是异面直线D．【答案】B【解析】由已知可取的中点,的中点,连结，易证平面∥平面，故可知点的轨迹是一条线段，与是异面直线，A、C对；当点与重合时与平行，B不对；在上取点F,连结，可证为与平面所成的角，当点F在MN的中点时最大，此时,则，D对，故选B.【考点】1.直线与平面平行的性质与判断；2.直线和平面的夹角；3.空间两直线的位置关系29.如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中真命题的序号为。
高中数学立体几何点线面位置关系精选题目(附答案)
2．下列说法正确的是()
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
A．36πB．64π
C．100πD．144π
解析：选A三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥ABCD的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R，则2R＝ ＝6，故R＝3，∴外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选A.
三、空间点、线、面位置关系的判断与证明
(3)(2017·山东高考)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
[解析]
(1)如图所示，该几何体的表面积S＝1×1＋ ×1×1×2＋2× ×(1＋2)×1＋ × × ＝5＋ ，故选A.
(2)①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；②错误，因为球的直径必过球心；③错误，必须是相邻的两个侧面．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S为________．
解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个长方体挖去一个圆柱得到的，所以S＝2×(4×1＋3×1＋4×3)＋2π－2π＝38.
答案：38
二、与球有关的问题
球的表面积与体积
(1)球的表面积公式S球＝4πR2.
(2)球的体积公式V球＝ πR3.
(2)旋转体的表面积：
①S圆柱＝2πrl＋2πr2；
②S圆锥＝πrl＋πr2；
高中数学必修2 立体图形 空间点、直线、平面之间的位置关系 常见例题考题及答案
空间点、直线、平面之间的位置关系一．相关知识点1．平面的基本性质(1)⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。
(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
(4)异面直线所成的角：①定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。
②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2。
3．直线与平面的位置关系一、细品教材1．(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是() A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线与a都相交D．α内存在唯一的直线与a平行2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线。
以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④二、基础自我检测1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面A．0个B．1个C．2个D．3个3.如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________。
4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：①MN≥1 2(AC＋BD)；②MN>12(AC＋BD)；③MN＝12(AC＋BD)；④MN<12(AC＋BD)。
专题08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系(解析版)
专题08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系答案部分2019年1.【解析】如图所示，联结BE ，BD .因为点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，所以BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，因为BM 是BDE △中DE 边上的中线，EN 是BDE △中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =，2235244BE a a a =+=， 所以62BM a =，223144EN a a a =+=， 所以BM EN ≠．故选B ．2.【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故41717CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为41717.3.【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除； 对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除． 故选B ．4.【解析】若②//m α，过m 作平面m βα'=，则//m m '，又③l α⊥，则l m '⊥，又m ，m '同在β内，所以①l m ⊥，即⇒②③①.5.【解析】证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .6.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=. F7.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，联结EM ，DM .因为AB DE ∥，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=︒得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM . 因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，1DE =，EM =3，故2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.8.【解析】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD ．又//AB CD ，所以AB ⊥AE ．又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PAAB A =，所以AE ⊥平面PAB ．又AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得CF ∥平面PAE ． 取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．因为G ，F 分别为PA ，PB 的中点，则FG ∥AB ，且FG =12AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．9.【解析】（Ⅰ）连接BD ，易知ACBD H =，BH DH =.又由BG PG =，故GH PD ∥，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（Ⅱ）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（Ⅲ）连接AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =又DN AN ⊥，故在Rt AND △中，sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC 10.【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .11.【解析】（I ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）. 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E 3EG 3. 由于O 为A 1G 的中点，故1152A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 12.【解析】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC⊥．又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA AC A=，所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．又//AB CD，所以AB⊥AE．又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA AB A=，所以AE⊥平面PAB．又AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．因为G，F分别为PA，PB的中点，则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12 AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG．因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE．13.【解析】过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，过点P作PD⊥AC交AC于点D，作PE⊥BC交BC于点E，联结OD，OC，OE，则,,AC POD BC POE ⊥⊥平面平面 所以,,AC OD BC OE ⊥⊥又90ACB ∠=︒, 故四边形ODCE 为矩形. 有所做辅助线可知3PD PE ==，所以()22231CD CE ==-=，所以矩形ODCE 为边长是1的正方形，则2OC =.在Rt PCO △中，2,2PC OC ==，所以2PO =.PO 即为点P 到平面ABC 的距离，即所求距离为2.14.【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故41717CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为41717.15.【解析】（Ⅰ）连接BD ，易知ACBD H =，BH DH =.又由BG PG =，故GH PD ∥，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（Ⅱ）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（Ⅲ）连接AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以3DN =又DN AN ⊥，故在Rt AND △中，3sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC 316.【解析】解法一：如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在线段AO 上，作DE AC ⊥于E ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥于F ， 过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则BPF α=∠，PBD β=∠，PED γ=∠， 则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PB αβ===<=，可得βα<； tan tan PD PDED BDγβ===，可得βγ<.解法二：由最小值定理可得βα<，记V AC B --的平面角为γ'(显然γγ'=)， 由最大角定理可得βγγ'<=；解法三特殊图形法：设三棱锥V ABC -为棱长为2的正四面体，P 为VA 的中点，易得132cos 63α==，可得33sin 6α=，623sin 33β==，6223sin 332γ==，故选B ．17.【解析】（I ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）.不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E EG .由于O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 2015-2018年1．C 【解析】如图，连接BE ，因为AB CD ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即EAB ∠．不妨设正方体的棱长为2，则1CE =，2BC =，由勾股定理得BE =AB ⊥平面11BCC B ，可得AB BE ⊥，所以tan 2BE EAB AB ∠==，故选C ． D 1C 1B 1A 1ED C BA2．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．3．A 【解析】由正方体的线线关系，易知B 、C 、D 中AB MQ ∥，所以AB ∥平面MNQ ， 只有A 不满足．选A ．4．C 【解析】如图，连结1A D ，易知1AD ⊥平面1A DE ，所以11AD A E ⊥，又11BC AD ∥，所以1BC ⊥平面1A DE ，故11A E BC ⊥，选C ．C 111A5．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1AB ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n A ． 6．C 【解析】选项A ，只有当m β∥或m β⊂时，m l ∥；选项B ，只有当m β⊥时m n ∥；选项C ，由于l β⊂，所以n l ⊥；选项D ，只有当m β∥或m β⊂时，m n ⊥，故选C ． 7．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且=OP 连结OB ．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．HO MPCBA(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知122==OC AC ，24233==CM BC ，45∠=ACB ． 所以253=OM ，sin 455⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ． 所以点C 到平面POM 的距离为455． 8．【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ．又BCCM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．9．【解析】(1)∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥． ∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥， ∴PE BC ⊥．(2)∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ． ∴AB PD ⊥．又PA PD ⊥，∵PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ． (3)如图，取PC 中点G ，连接,FG GD ．G PFED CBA∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =． ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD ．10．【解析】(1)由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以DMN ∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．NM A BCD在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ．在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD (3)连接CM ．因为ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM =．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt CAD ∆中，4CD =．在Rt CMD ∆中，sin 4CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD ． 11．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ． 因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ， 所以AB ∥平面11A B C ．D 1C 1B 1A 1DCBA(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形， 因此1AB ⊥1A B ．又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ， 所以1AB ⊥BC ．又因为1A BBC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． 因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．12．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C = 由2AB BC ==，120ABC ∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．DABCA 1B 1C 1由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =11A B =，11AC得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D，故111sin 13C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 13．【解析】（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，所以BC ∥AD ， 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD ． （2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ．由12AB BC AD ==及BC ∥AD ， 90ABC ∠=得四边形ABCM 正方形，则CM AD ⊥．NMDCBA P因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD平面ABCD =AD ，所以PM AD ⊥，PM ⊥底面ABCD ．因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥． 设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==．取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以2PN x =． 因为PCD ∆的面积为所以122x ⨯=解得2x =-（舍去），2x =．于是2AB BC ==，4AD =，PM = 所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=． 14．【解析】（1）取AC 的中点O 连结DO ，BO .因为AD CD =，所以AC ⊥DO ． 又由于ABC ∆是正三角形，所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .ABCDEO（2）连结EO ．由（1）及题设知90ADC ∠=，所以DO AO =． 在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=． 又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=.由题设知AEC ∆为直角三角形，所以12EO AC =． 又ABC ∆是正三角形，且AB BD =，所以12EO BD =．故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比 为1:1．15．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP ==故cos AD DAP AP ∠==． 所以，异面直线AP 与BC．（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2．又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得2225DF CD CF =+=在Rt △DPF 中，可得 5sin PD DFP DF ∠==． 所以，直线AB 与平面PBC 5． 16．【解析】（Ⅰ）取11B D 中点1O ,连接1CO ，11A O ，O 1ABCDE OM A 1B 1D 1由于1111ABCD A B C D -为四棱柱, 所以11AO OC ∥，11A O OC =， 因此四边形11AOCO 为平行四边形,所以11AO O C ∥,又1O C ⊂面11B CD ,1AO ⊄平面11B CD , 所以1A O ∥平面11B CD ,（Ⅱ）∵AC BD ⊥．E ，M 分别为AD 和OD 的中点， ∴EM BD ⊥，又1A E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A E BD ⊥，∵11B D BD ∥，所以11EM B D ⊥，111A E B D ⊥， 又1A E ，EM ⊂平面1,A EM 1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD ．17．【解析】（Ⅰ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥．（Ⅱ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（Ⅰ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ． 所以平面BDE ⊥平面PAC ．（Ⅲ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥．因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，2BD DC == 由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ．所以三棱锥E BCD -的体积111363DBC V S DE BD DC DE ∆=⨯⨯=⋅⋅=． 18．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．FH M NQ E D CB AP因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =， 又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因此CE ∥平面P AB ． （Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ． 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ．由PAD ∆为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以 AD ⊥平面PBN ，由BC ∥AD 得 BC ⊥平面PBN ，那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD =得CE =，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =得14QH =， 在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ =， 所以 2sin 8QMH ∠=， 所以，直线CE 与平面PBC 2 19．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB AD ⊥，BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥．20．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为107AC =40AM =． 所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ=， 从而11116sin PQ AP MAC==∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG .同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠ 42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠. 答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)。
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立体几何空间点线面关系题1 / 10立体几何空间点线面关系题1、（08天津）：设,a b 是两条直线，,a b 是两个平面，则a b ^的一个充分条件是（ ）。
A 、,//,a b a b a b ^^B 、,,//a b a b a b ^^C 、,,//a b a b a b 蘜D 、,//,a b a b a b 蘜2、（08安徽）已知,m n 是两条不同的直线，,,a b g 是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A 、//,//,m//n m n a a 若则B 、,//a g b g a b ^^若，则C 、//,//,//m m a b a b 若则D 、,,//m n m n a a ^^若则3、（08江西）设直线m 与平面a 相交但不垂直，则下列说法正确的是（ ）A 、在平面a 内有且只有一条直线与直线m 垂直B 、过直线m 有且只有一个平面与平面a 垂直C 、与直线m 垂直的直线不可能与平面a 平行D 、与直线m 平行的平面不可能与平面a 垂直4、（08湖南）已知直线m,n 和平面,a b 满足,,m n m a a b ^^^，则（ ）A 、n b ^B 、//n b b Ì或nC 、n a ^D 、//n a a Ì或n5、对于两条不相交的空间直线,a b ,必存在平面a ，使得（ ）A 、,a b a a 烫B 、,//a b a a ÌC 、,a b a a ^^D 、,a b a a 蘜6、平面//a b 的一个充分条件是（ ）A 、存在一条直线,//,//a a a a bB 、存在一条直线,,//a a a a b ÌC 、存在两条平行直线,,,,//,//a b a ba b a b b a 烫 D 、存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫7、（07浙江）：若P 是两条异面直线,l m 外任意一点，则（ ）立体几何空间点线面关系题2 / 10A 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都平行B 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都垂直C 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都相交D 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都异面8、（07福建）已知m,n 为两条不同的直线，,a b 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A 、,,m//,n////m n a a b b a b 烫?B 、//,,m//n m na b a b 烫? C 、,m n //m n a a ^^? D 、m//n,n ma a ^轣 9、若,m n 是两条不同的直线，,,ab g 是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A 、,,m m b a b a 蘜^若则B 、,//,//m n m n a g b g a b ??若，则C 、,//,m m b a a b ^^若则D 、,,a g a b b g ^^^若则10、（07江苏）已知两条不同的直线,m n ，两个不同的平面,a b ，给出下面四个命题（ ） ①//,n m n m a a ^轣 ②//,,m //m n n a b a b 烫?③//,//n //m n m a a Þ ④//,//,nm n m a b a b ^轣 其中正确的命题是（ ）A 、①③B 、②④C 、①④D 、②③11、（07天津）若l 为一条直线，,,a b g 是三个不重合的平面，给出下列3个命题，其中正确的是（ ）①,a g b g ab ^^轣 ②,//a g b g a b ^轣③//,l l a b a b ^轣 12、（07广东）已知, ,,l m n 是三条不同的直线，,a b 是不同的平面，下列命题正确的是A 、立体几何空间点线面关系题3 / 10//,,,//l n l n a b a b 烫若则 B 、,l l a b a b ^蘜若则C 、//l l m ^^若n,m n,则D 、//l l a b a b ^^若,,则13、（06广东）给出以下四个命题：① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直其中正确的是（ ）14、（06重庆）若P 是平面a 外一点，则下面正确的是（ ）A 、过点P 只能作一条直线与平面a 相交B 、过点P 可作无数条直线与平面a 垂直C 、过点P 只能作一条直线与平面a 垂直D 、过点P 只能作一条直线与平面a 平行15、（10山东）在空间中，下列命题正确的是（ ）A 、平行直线的平行投影重合B 、平行于同一条直线的两个平面平行C 、垂直于同一平面的两个平面平行D 、垂直于同一平面的两条直线平行16、（04全国）已知,a b 为不垂直的异面直线，a 是一个平面，则,a b 在a 上的射影可能是 ① 两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一直线 ④一条直线和直线外一点 其中正确的命题是： （ ）17、（06陕西）已知平面a 外不共线的三点A 、B 、C 到a 的距离都相等，则正确的结论是（ ）A 、平面ABC 必平行于aB 、平面ABC 必不垂直于aC 、平面ABC 必与a 相交D 、存在ABC 的一条中位线平行于a 或在a 内18、下列条件中，能使直线m α⊥的是（ ）。
A 、,,,m b m c b c αα⊥⊥⊥⊥B 、,//m b b α⊥C 、,m b A b α=⊥D 、//,m b b α⊥19、若直线l 和平面α内无数条直线垂直，则（ ）A 、//l αB 、l α⊥C 、直线l 在平面α内D 、不确定20、垂直于梯形两边所在的直线与梯形所在平面的位置关系是 。
立体几何空间点线面关系题4 / 1021、下列条件中，能使直线m α⊥的是（ ）。
A 、直线l 与平面α内的一条直线垂直B 、直线l 与平面α内的两条直线垂直C 、直线l 与平面α内一个三角形两边所在的直线垂直D 、直线l 与平面α内的无数条直线垂直22、若直线,a b a α⊥⊥，则有（ ）。
A 、b α⊥B 、b α⊂C 、b α⊥D 、//b b αα⊂或23、若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）。
A 、有且只有一个B 、可能存在也可能不存在C 、有无数多个D 、一定不存在24、下列命题正确的是（ ）。
A 、//,//a a a b αα⊂⇒B 、,//a b a b αα⊥⊥⇒C 、,//a a b b αα⊥⊥⇒D 、//,a a b b αα⊥⇒⊥25、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA 垂直底面ABCD ，该图中，互相垂直的面有 。
互相垂直的线有 。
立体几何空间点线面关系题5 / 10直线与平面平行，平面与平面平行的性质练习题1、若平面//平面，直线,a b αβ⊂⊂直线，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）。
A 、垂直B 、平行C 、异面D 、平行或异面2、已知直线a ，平面//平面，a α⊂，点B ，那么在平面内过点B 的所有直线中（ ）A 、不一定存在与直线a 平行的直线B 、只有两条与直线a 平行的直线C 、存在无数条与直线a 平行的直线D 、存在唯一一条与直线a 平行的直线3、若直线l //平面，m 为平面内任意一直线，则直线l 与m 的位置关系是（ ）。
A 、相交B 、平行C 、异面D 、平行或异面4、在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB α⊄平面，CD α⊂平面，则直线AB 与平面内的直线的位置关系只能是（ ）A 、平行B 、平行和相交C 、平行和异面D 、异面和相交5、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A 、５部分B 、６部分C 、７部分D 、８部分６、如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，E,F 分别是AB ，PC 的中点，如何过点P 做一个平面//面PAD 。
７、如图,过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一个平面交平面AA 1DD 1于EE 1，求证：EE 1//BB 1。
A B C D P F E A BC D A B C D E 1E立体几何空间点线面关系题6 / 10８、如图，EB//DC,P,Q 分别为AE,AB 的中点，求证：PQ//平面ACD 。
9、如图，在四棱锥O-ABCD 中， 底面ABCD 是菱形，M,N 分别为OA,BC 的中点，求证：直线MN//平面OCD 。
B E DC Q P O B C M DN立体几何空间点线面关系题7 / 10线面平行测试题1、已知M 是平面a 外一点，那么过点M 与平面a 平行的直线有（ ）。
Ａ、1条 B 、2条 C 、1条或2条 Ｄ、无数条2、设a,b 表示直线，a 表示平面，则（1）若//,a b b a a a Ì，则与的位置关系为 。
（2）若//,//a b a b a a ，则与的位置关系为 。
（3）若//,//a b b a a a ，则与的位置关系为 。
（4）若//,a b a b a a Ì，则与的位置关系为 。
3、若直线m,n 为异面直线，m//平面a ，n Ì平面b ，l a b ?，则直线l （ ）。
Ａ、与直线m,n 都相交 B 、与直线m,n 中至少一条相交C 、与直线m,n 都不相交 Ｄ、与直线m,n 中至多一条相交4、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F（1）求证：EF//平面AB1。
（2）求证：EF//平面BD1。
5、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别为B1B 和B1D1中点，(1)求证：EF//平面AD1。
立体几何空间点线面关系题8 / 106、已知平行四边形ABCD ，P 是平行四边形ABCD 外一点，M ，N 分别是PD,DB 的中点， 求证：MN//平面PBC 。
7、已知平行四边形ABCD ，P 是平行四边形ABCD 外一点，E ，F 分别是PB,PC 的中点， 求证：(1)EF//平面AC 。
(2)EF//平面PAD 。
8、已知四面体P-ABC ，M,N 分别为PB,BC 的中点，求证：MN//平面PAC 。
A B C D P M NBC D P F E P A B C N M立体几何空间点线面关系题9 / 10面面平行测试题1、已知直线l m a b ，，平面，,下列条件能得出平面a b //的是（ ）A 、,//,l l a a b b 烫，m 且m//B 、,//l l a b 烫，m 且mC 、////,////l l l P a a b b ?，m ，m 且mD 、////,//l l a b ，m 且m2、对于不重合的两个平面,a b ，给出下列条件：（1）存在平面g ，使得平面//,//g a g b（2）平面a 内有不共线的三点到平面b 的距离相等（3）存在异面直线l ，m ，使得////,////l l m m a b a b ，，。