江苏省泗洪中学—高一数学导学案：函数的模型及其应用2

合集下载

高中数学《函数的模型及应用》学案苏教版必修

山东省高密市第二中学高中数学《2.2.6 函数的模型及应用（1）》学案苏教版必修1【自学目标】1．能根据实际问题的情景建立函数模型，结合对函数性质的研究给出问题的解答；2．能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发引导学生数学地观察世界、感受世界；3．培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.【知识要点】解函数应用题常用函数与方程思想、转化与化归等思想方法，建立恰当的数学模型；能力方面要求注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力，在具体的解题过程中主要抓住以下步骤：第一步：阅读理解、认真审题；第二步：引进数学符号，建立数学模型；第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果；第四步：再转化成具体问题作出规范解答.【预习自测】例1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。

分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）、以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t 后的温度是T ，则()ht a a T T T T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-210，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期.现在一杯用88C 0热水冲的速溶咖啡，放在24C 0的房间里，如果咖啡降温到C 040需要min 20，那么降温到C 035时，需要多长时间？例3.在经济学中，函数()x f 的边际函数()x Mf 定义为()()()x f x f x Mf -+=1。

某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台()*N x ∈的收入函数为()2203000x x x R -=（单位：元），其成本函数()4000500+=x x C （单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数()x P 及边际利润函数()x MP ；（2）利润函数()x P 与边际利润函数()x MP 是否具有相同的最大值？例4．如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙o 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 与腰长x 之间的函数式，并写出它的定义域.CD B A【课内练习】1.某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T(t)=t 3-3t+60，时间单位是小时，温度单位是0C ，当t=0时表示中午12：00，其后t 值去为正，则上午8时的温度是（）A.80CB.1120CC.580CD.180C2.某商店卖A 、B 两种不同的价格的商品，由于A 连续两次提价20℅，同时B 连续两次降价20℅，结果都以每件23.04元售出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较，商店盈利的情况是（）A.多赚5.92元B.少赚5.92元C. 多赚28.92℅D.盈利相同3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差。

高中数学3.4.2函数模型及其应用(2)教案苏教版必修1

3.4.2 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t∈N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。

江苏省宿迁市泗洪中学高中数学 3.4导数的应用1教案苏教版选修1-1

导数在实际生活中的应用（一）班级_____________姓名_______________教学目标：1．通过对利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用。

2．通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题及数学建模能力的提高。

任务1：根据已学知识回答下列问题：（1）利用导数求函数最值的步骤是：。

（2）解应用题的步骤是：任务2：根据所完成的例题，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各之间的关系，列出实际问题的，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和，确定最值；(4)回到实际问题，。

练习：1.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)60的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做2.在边长为cm成一个无盖的方底铁皮箱。

箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？任务3：在解决实际问题过程中体会数学建模思想。

【典型例题】例1 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使的所用材料最省？注意：本题还有其他的解法吗？。

例2 94P 如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为ε，外电阻R 为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例3 强度分别为b a ,的两个光源B A ,，它们之间的距离为d 。

试问在连接这两个光源的线段AB 上何处照度最小？试就3,1,8===d b a 时回答上面问题（照度与光的强度成正比，与光远距离的平方成反比）。

《导数在实际生活中的应用》反馈练习1．把长为cm 60的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时面积最大？2．把长cm 100的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积和最小？3. 出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150cm 2，上、下边要留1.5cm 空白，左、右要留1cm 空白。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)(2)

函数模型及其应用教学三维目标、重点、难点、准备。

1．1教学三维目标（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。

（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。

（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。

1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。

1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。

1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。

1教学过程。

（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。

数学建模的形式是多样的。

解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。

函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。

现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。

一.由变量之间的依存关系建立函数关系；（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？（教师）：是的。

而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。

二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。

（学生）：它是不知道函数关系式的。

苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案函数模型及其应用(2)

第19课时函数模型及其应用(2)教学过程一、问题情境在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y可以用公式y=N(1+p)x表示.二、数学建构问题1某公司拟投资1000万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(参考数据:1.094≈1.4116, 1.095≈1.5386, 1.096≈1.6771)题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣.具体解答如下:本金1000万元,年利率为10%,按单利计算,5年后收回的本息和是1000×(1+10%×5)=1500(万元);本金1000万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回的本息和是1000×(1+9%)5=1538.6(万元).因此,按年利率为9%的每年复利一次计算要比按年利率为10%的单利计算更有利,5年后多得利息38.6万元.三、数学运用【例1】(教材P98例2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?(结果精确到0.1)(见学生用书课堂本P69) [处理建议]题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具体数据对号入座后,并不难得到答案.[规范板书]解由题意知40-24=(88-24)·,即=,解得h=10.故T-24=(88-24)·.当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·,即=,两边取对数,用计算器求得t≈25.4.因此,约需要25.4min,可降温到35℃.[题后反思]本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算.【例2】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010?(参考数据:lg3≈0.477, lg2≈0.301)(见学生用书课堂本P70) [处理建议]现有细胞100个,可以先逐个研究1h、2h、3h、4h后的细胞总数,找到规律后寻找出相应的函数关系式.[规范板书]解1h后,细胞总数为×100+×100×2=×100;2h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;3h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;4h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;可见,细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式为y=100×,x∈N*.由100×>1010,得>108,两边取以10为底的对数,得x lg>8,∴x>.∵=≈45.45,∴x>45.45.答:约经过46h,细胞总数将超过1010.[题后反思]本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式;解类似a x>b这类不等式,通常在不等式的两边同时取对数,然后利用对数函数的单调性求解.这种通过观察几个特殊值的特征,从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”,在数学中会经常用到.【例3】(教材P99例3)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(见学生用书课堂本P70)[处理建议]题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数MP(x);本题涉及两个函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意.[规范板书]解由题意知,x∈[1, 100],且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20+74125,当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是单调减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.[题后反思]本题中边际利润函数MP(x)在x=1时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的步骤进行,其中建立数学模型是关键.*【例4】某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).(例4)已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售q(百件)与销售价p(元/价)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其他费用为每月13200元.(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务?此时每件消费品的价格定为多少元?[规范板书]解(1)设该店的月利润为S元,有职工m名,则S=q(p-40)×100-600m-13200.又由图可知q=所以,S=由已知,当p=52时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200=0,解得m=50.即此时该店有50名职工.(2)若该店只安排40名职工,则月利润S=当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元;当58<p≤81时,求得p=61时,S取最大值6900元.综上,当p=55时,S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务,依题意有12n×7800-268000-200000≥0.解得n≥5.所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.[题后反思]①本题有效信息必须从图象上去读取,由于给出的图象是两段线段,故建立的函数关系式为分段函数,分段函数应特别注意函数关系与定义域间的对应;②对于分段函数的最值问题,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值.四、课堂练习1.复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+r)x,x∈N*.2.单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+rx),x∈N*.3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为14.(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771)(第4题)4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积为2500m2.(围墙厚度不计)五、课堂小结建立函数模型就是将实际应用问题转化成数学问题,是数学化解决实际应用问题的关键,一般通过对函数性质的研究来解决数学问题,从而达到解决实际应用问题的目的.。

2020年高中数学3.4.2函数模型及其应用2教案苏教版必修1

3.4.2函数模型及其应用(2)教学目标：1•能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，井求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用：2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提髙学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4,宽为3,如果长增加x,宽减少0.5x,所得新矩形的而积为S.(1) 将S表示成x的函数：(2) 求而积S的最大值，并求此时X的值.二、学生活动思考并完成上述问题.三、例题解析例1有一块半径为斤的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形個⑦的形状，它的下底初是00的直径, 上底切的端点在圆周上，写岀这个梯形周长y和腰长 "间的函数关系式，并求出它的定义域.例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系:每间客房泄价20 18 16 14 住房率 65% 75%85% 95% 要使每天收入最髙，每间客房泄价为多少元？例3今年5月，荔枝上市.由历年的市场行情得知, 从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线尿表示（市场售价的单位为元/ 500g ）・请写出市场售价S （r ）（元）与上市时间t （天）的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价.练Ah 1・直角梯形04恭中，AB// OC. AB=1, 0C=BC=2.直线2： x= t 截此梯形所得某种溶液，求容器内溶液的髙度Mem ）与注入溶液的时间r （s ）之间的函数关系式，并写岀函数的左义域.（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何立价? 5.根据市场调査，某商品在最近40天内的价格f(r)与时间r 满足：位于/左方图形的而积为S,则函数S=f （f ）的大致图象为（）2. 一个圆柱形容器的底部直径是dem,髙是力cm,现在以vcm3/s 的速度向容器内注入3.向髙为“的水瓶中注水，注满为止.如果注水量孑与水深力的函数关系的图象如图At) = - 2t + n(°4'<20,(N)，销售量g(f)与时间十满足：g(f)= _[f +兰3 3-/ + 41 (20WfW40jwN)(0WrW40, teN),求这种商品日销售金额的最大值.四、小结利用图、表建模：分段建模.五、作业课本PU0-10・。

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》

高一数学必修一教案《函数模型及其运用》【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习有帮助！【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。

在一个具体问题的解决进程中，学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。

;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。

由于建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。

在这个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程.(2)了解函数模型的广泛运用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发觉问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本进程,了解函数模型的广泛运用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本进程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究进程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本进程中让学生亲身体验函数运用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的运算速度④运算终止后不进行检验针对上述可能显现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用运算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应运算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应当是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行挑选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、运算机)。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(1)(2)

函数模型及其应用【复习目标】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．【重点难点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．【自主学习】一、课前预习：1.某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是C ,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是3.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是4.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算【共同探究】例1.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．例2.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．例3．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．【巩固练习】1.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是．2.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数时, 按（2）方法更省钱．3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入广告费,才能获得最大的广告效应．答案：1.8 C︒2.多赚28.92元3.150台4.神州行例1. (1)依题得，60122011033t tyt t≤≤=-+<≤⎧⎪⎨⎪⎩(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则441320132=⇒=+-t t ,因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有,4)4(320232320232=+--+-t t 解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时（t 3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，,4)9()4(320232320232=+--+--t t 解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．例2. 设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意，y=kx+b ，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W 节车厢，则W=2x y=2x （－2x+24）=－4x 2+48x=－4（x －6）2+144， ∴当x=6时，W max =144，此时，y=12，最多营运15840人．例 3. 解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=10000ab ［－kx 2+100(1－k)x+10000］. (1)取k=12，y=10000ab ［－12x 2+50x+10000］,∴x = 50，即商品价格上涨50%时， y 最大为98ab. (2)因为y=10000ab［－kx 2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=50(1)k k-，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x ＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以50(1)k k-＞0，解之0＜k ＜1．巩固练习： 1. 6002cm 2. 大于34 3. 2500。

苏教版高中数学必修一第二章函数模型及其应用教案

《函数模型及其应用》教案一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2009年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案

函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

2018版高中数学苏教版必修一学案：3.4.2+函数模型及其应用.doc

3. 4.2函数模型及其应用学习目标1•会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2•能建立函数模型解决实际问题(重、难点).課前預习自丰学习，积淀基础预习教材理完成王面问题1.常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax b 为常数，«#0)二次函数模型f(x)=ax1+bx-\-c(a9 b, c 为常数，Q HO)指数函数模型fix^=ba +C(Q,b, c 为常数，Q>0且a^l, bHO)对数函数模型fix) = ^logz>x b, c 为常数，Q HO, Z?>0)幕函数模型fix)=ax a+b(a, b, a 为常数，Q HO)71(x), x^Di 彳(x), X^D2分段函数模型fix) = </(x), x^D n2.解决实际问题的程序其中建立数学模型是关键.【预习评价】某次火车从北京西站开往石家庄，全程277km,火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶.试写出火车行驶的路程s(km)与匀速行驶的时间/(h)之间的函数关系式，并求出火车离开北京2 h内行驶的路程.解•.•火车匀速运动的时间为(277-13)-120=y(h),•••火车匀速行驶/h所行驶路程为120/,•••火车行驶的路程s与/的关系是s=13 + 120 /(0W/W%.•••2h内火车行驶路程5=13 + 120(2-|) = 233(km).|课堂互动题型剂析，互动探究题型一一次函数、二次函数模型【例1] 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量加(件)与售价x(元)满足一次函数：m=162 —3x,若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为________ 元.解析设每天获得的利润为y元，则v^(x-30)(162-3x) = -3(x-42)2+432,当x=42时，获得利润最大，应定价为42元.答案42规律方法一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位.利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【训练1]某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是____ 元.解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y=ax+b,将(1,800), (2,1 300)代入，得a=500, 6=300./.v=500x+300, x^O.当销售量为x=0时，j=300.答案300题型二分段函数模型【例2】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需其中；c 是仪器的月产量. 增加投入100元，已知总收益满足函数:f 1 ° 40Qx —0WxW400,7?(x)=1 2$0 000, x>400, ⑴将利润表示为月产量X 的函数/X ); (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000 + lOQx ,从而求%)=—300x-20 000, O0W4OO,.60 000-100%, x>400.(2)当 0WxW400 时，Xx) = -|(x-300)2+25 000,.•.当x=300时，有最大值25 000；当 x>400 时，/x)=60 000-100% 是减函数，/./(X )< 60 000 -100X400 <25 000.当x=300时，求%)的最大值为25 000.即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元.规律方法(1)分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的''不重不漏”.(2)解决分段函数问题需注意几个问题：①所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域；②求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值；③一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围.【训练2】国家规定个人稿费纳稅办法：不超过800元的不纳稅；超过800元不超过 4 000元的，扣除800元后按14%纳税;超过 4 000元的按全部稿费的11.2% 纳稅.某人出了一本书，共纳稅420元，则这个人的稿费为 __ 元. 解析设个人稿费为*元，纳税金额为y 元.由题意得k-a°=192,&/2 =42, fO, xC800,v=^ (x —800)14%, 800<xC4 000,将 y=420 分别代入可知 x=3 800.lll%x, x>4 000.答案3 800题型三指数函数模型【例3】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏时间的关系为指数型函数y=k-a(k^0).若牛奶放在0 °C 的冰箱中，保鲜时间约是 192 h,而在22 °C 的厨房中保鲜时间则约是42 h.⑴写出保鲜时间y (单位：h)关于储藏温度班单位：°C)的函数解析式；(2)如果把牛奶分别储藏在10 °C 和5 °C 的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？ (参考数据：^0.93)解⑴保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函数由题意可知•••所求函数解析式为y=192X 0.93：(2)令 /Of) = 192 X 0.93', T 0 V Q = 0.93 V1,.*.»是单调减函数，又10>5, ••談10)<#5),•••把牛奶储藏在5 °C 的冰箱中，牛奶保鲜时间较长.规律方法指数型函数模型：.”=加x+b(a>0且aHl,肌工0),在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.【训练3】已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%； 1970 年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.已知马尔萨斯人口模型为 Poe",其中为表示/=0时的人口数，尸表示人口的年增长率.(1) 用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？(2) 实际上，1850年以前世界人口就超过了 10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解(1)若按1650年世界人口 5亿，年增长率为0.3%估计，有j=5e°-003r ,当j =10时,解得©231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.解得若按1970年世界人口36亿年增长率2.1%估计，有y=36 e0021t,当y=72时，解得t"33,所以2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.题型四对数函数模型【例4】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数0 = 51og2器，单位是m/s,其中0表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0,代入题目所给公式可得0 = 51og2斋.解得2=10,即燕子静止时的耗氧量为10个单位.(2)将耗氧量2=80代入公式得：80v=51og2j^=51og28 = 15(m/s),即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15m/s.规律方法对数型函数模型：.”=加100必+<?(肌工0, a>0且aHl),对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.【训练4】我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度/用瓦/米'(W/n?)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平厶表示，满足以下公式：Li = 10-lg^(单位为分贝，L&0,其中/O=1X1O-12 W/m2,这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：⑴树叶沙沙声的强度是1X10T0 W/m2,耳语的强度是1X10T0 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1 X10-8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)在某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下（不包括50分贝），试求声音强度/的范围是多少？解⑴树叶沙沙声的强度是厶=1 X 10 12 W/m2,•*•^=1, .*.L/i = 101g 1=0（分贝），即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是厶=1 X 10「1° W/m2, 则^=102, /.ZZ2=101gl02 = 20（分贝），即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是厶=1 X KT* W/m2, 则^=104, .■.ZZ3=101g 104 = 40（分贝），即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.（2）由题意知：OW01W5O,即0WIOlg 彳<50,.•.lCy<105,即10-12C/<10-7.•••新建的安静小区的声音强度/大于或等于10T2 w/n?,同时应小于IO-7 W/m2.I课堂反馈自主反馈，检测成效课堂达标1.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_______ m2.解析设矩形的一边长为x m,12 —2x则与这条边垂直的边长为一2~ m,12—2%所以矩形面积S=x-—2—=-x2+6x（0<xW6）,当x = 3 m 时，5 ** = 9 m2.答案92.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y=A其中幺为常数，/表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则幺= _______ ,经过5小时，1个病毒能繁殖为_______ 个.解析7 6 0001 000( —)3000p 1 ()()7 °1000(而)=4.9.㊁/ +11, 、一/+41, 0W/V20, 20W/W40解析当1=0.5时，y=2, .-.2=e-\ :.k=2ln2, /.j=e2rln2,当t=5时，j=e101n2=210=l 024. 答案21n 2 1 024h7 3 0003.已知气压p(百帕)与海拔高度/z(米)满足关系式P=1 ooo(Too),贝ij海拔6 000米高处的气压为_______ .答案4.9(百帕)4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片 (如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x, v分别为 ________ 解析由三角形相似得詈三|=盒得x=j(24~y), S=xv= —12)2+180,.•.当y=12时，S有最大值，此时x=15.答案15,125.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格人/)与时间/满足关系人/)=1 43(/WN),销售量g(/)与时间/满足关系g(/) = —§/+才(0W/W40, /WN).求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值.解据题意，商品的价格随时间/变化，且在不同的区间0W/V20与20W/W40 上，价格随时间/的变化的关系式也不同，故应分类讨论.设日销售额为F(/). (1)当0W/V20, /WN 时，F⑴=& +11)(—*/+¥)=—*('—乎尸 +*(号'+946),故当/=10 或11 时，F(/)max= 176.⑵当20W/W40且/UN时，F(/) = ( ~t+41)(—*/+y)=|(r-42)2-|,故当/=20 时，F(/)max=161.综合(1), (2)知当/=10或11时，日销售额最大，最大值为176.课堂小结1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.|收集数据||角散点图］X I选择函数模型I更I :J I求解函数模型］-- <^>［符合实际I用函数模型淙释实际问題I。

江苏省泗洪中学—高一数学导学案：函数的表示方法

2.1.2 函数的表示方法（第二课时）学习目标：1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；一预习案1、分段函数的定义2、分段函数定义域，值域；3、分段函数图象二课堂案例1：（课本34例2）画出函数xxf=)(的图像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值例2：已知32)(2--=xxxf，分别画出函数)()(xfyxfy==和的图像。

小结画图步骤：变式训练1.画出函数3+=xy的图象，并写出函数的值域.2．画出函数21++-=xxy的图象，并写出函数的值域.3．画出函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+=1,211,1,5)(2xxxxxxxf（1）求[];)3(),3(--fff（2）画出的图像；)(xfy=（3）若的值求aaf,21)(=.例2：某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费。

试写出收费额关于路程的函数解析式，并画出函数图象。

三巩固案1．函数()f x 在闭区间[1,2]-2、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________3、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>)0(0)0(1)0(2x x x x 求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.四拓展案1. 当m 为何值时，方程0542=-+-m x x ，有四个不同的实数根？ 2. 方程,,342R a a x x ∈=+-有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围。

归纳总结学习反思1。

高中数学函数模型及其应用教案1(2)苏教版必修1

函数模型及其应用(2)教学目标：了解数学建模；掌握根据已知条件建立函数关系式；培养学生分析问题、解决问题的能力；培养学生应用数学的意识。

教学重点：根据已知条件建立函数关系式。

教学难点：数学建模意识。

教学过程：一、创设情景，引入新课问题1、某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。

如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）问题2、王老师今天从二中到金中上课，来的时候坐了出租车。

我们知道金湖出租车的价格，凡上车起步价为2元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.5元/km收费。

问：（1）二中到金中的路程是4公里，问王老师今天坐车用了多少钱？（2）二中到金中的路程是x公里，问王老师今天坐车将用多少钱？二、合作探究求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：三、例题讲解例1.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系。

如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为（ C ）A. 820 元B. 840元C. 860元D. 880元例2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的表所示：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/480 440 400 360 320 280 240桶请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加x 元后，日均经营利润为y 元，则有日均销售量为（桶）所以，当时，y 有最大值所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

例3：如图，有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是⊙Ｏ的直径，上底ＣＤ的端点在圆周上。

高一数学《函数模型及其应用》教案-教育文档

高一数学《函数模型及其应用》教案
函数模型及其应用(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解解实际应用题的一般步骤;
2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;
3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.
2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括
建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键.
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义
域 .
【精典范例】
例1.写出等腰三角形顶角 (单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本 (万元)、销售收入 (万元)以及利润 (万元)关于总产量 (台)的函数关系
式.
分析：销售利润销售收入成本 ,其中成本 (固定成本可变成本).
【解】总成本与总产量的关系为
单位成本与总产量的关系为
销售收入与总产量的关系为
利润与总产量的关系为。

高中数学函数模型及其应用-第2课时苏教版必修一

函数模型及其应用第2课时【教学目标】1．知识目标①通过在社会生活、生产中的例子，使学生体会函数模型的广泛应用；②让学生学会对数据进行分析、处理，建立模拟函数的方法和步骤；③让学生理解对建立的函数模型的优劣进行评价的必要。

2．能力目标①渗透数形结合、化归等基本数学思想方法；培养数学的应用意识。

②培养学生运用数学知识分析实际问题，对实际问题进行数学建模的能力。

③通过数学建模过程的多样性、灵活性和多层次性激发不同水平的学生在不同层次上的创造性。

3．情感目标①让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，培养学生对数学良好的情感，激发学生学习数学的热情；②在小组活动中培养学生的合作精神与全面细致地考虑问题的科学态度。

教学重点数学建模的含义，步骤和实施与评价。

教学难点数据的函数模拟。

【学习指导】根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.【例题精析】例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =. 问：其中哪个模型能符合公司的要求？例3．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l 万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用一次函数、二次函数、函数c ab y x += (其中a ，b ，c 为常数)、函数b x a y +=(其中a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．【归纳总结】幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。

苏教版高中数学必修一《函数模型及其应用》教案2

函数模型及其应用【学习目标】使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题.逐步把数学知识应用到实际生产、生活中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力.【学习重难点】重点：建立实际问题的数学模型，数学模型的求解.难点：建立实际问题的数学模型.【学习过程】一、问题情境例1 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析设每天从报社买进x份（250≤x≤400）.数量（份）价格（元）金额（元）买进30 0.20 6x卖出20x＋10×250 0.30 6x＋750退回10（x－250）0.08 0.8x－200则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）.y在x ［250，400］上是一次函数∴x＝400元时，y取得最大值870元答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元.点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘.例2 在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台（*x N ∈）的收入函数为2()300020R x x x =-（单元：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数()P x 及边际函数()Mf x ；（2）利润函数()P x 及边际函数()Mf x 是否具有相同的最大值？解：由题意知，[1,100]x ∈，且*x N ∈.()22222(1)()()()300020(5004000)2025004000()(1)()20(1)2500(1)4000[2025004000]248040.125(2)P()=-2074125,62x 63P()741202P x R x C x x x x x x MP x P x P x x x x x x x x x =-=--+=-+-=+-=-+++---+-=-⎛⎫-+== ⎪⎝⎭当x 或时，的最大值为元.()=2480401()2440MP x x x MP x -=因为是减函数，所以当时，的最大值为（元）.因此，利润函数P()x 与边际函数()MP x 不具有相同的最大值.例3 某人从A 地到B 地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km 价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km 价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A 地到扫地选择哪一种方案比较合适.答案：当A 、B 距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案；当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以；当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案.（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．二、模型建立总结通过上述3个例子，我们可以看出，解决实际问题一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．三、巩固练习1、按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和.2、将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？注：学生课堂练习，教师给予巡视指导.四、作业布置P100第3、第4题。