数列最值问题

数列最值问题

数列的最值问题

教学目的

1、会通过研究数列}

{

a通项的规律，判断其

n

前n项和

S的最值情况；

n

2、会利用函数思想研究数列的最值问题；

3、会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；

4、体验数列问题和函数问题之间的相互联系和相互转化。

数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题大致有以下2种类型：

类型1

求数列}

a的前n项和n S的最值，主要是两种思

{

n

路：

（1）研究数列)(n f

的项的情况，判断n S的最

a

n

值；

（2）直接研究n

S 的通项公式，即利用类型2

的思路求n

S 的最值。

类型2

求数列}{n

a 的最值，主要有两种方法：

（1）利用差值比较法

若有

)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则

n

n a a >+1，则

121n n a a a a +<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅

，即数列}{n

a 是单调递增数列，所

以数列}{n

a 的最小项为)

1(1

f a =； 若有

)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则

n

n a a <+1，则

121n n a a a a +>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅

，即数列}{n

a 是单调递减数列，所

以数列}{n

a 的最大项为)

1(1

f a =.值；

（2）利用商值比较法

若有0

)(>=n f a

n

对于一切n ∈N*成立，且

1)()

1(1>+=+n f n f a a n n ，则n

n a a

>+1

，则1

2

1n n a a

a a +<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅

即数列

}

{n a 是单调递增数列，所以数列}{n

a 的最小项为

)

1(1f a =；

若有0

)(>=n f a

n

对于一切n ∈N*成立，且

1)()

1(1<+=+n f n f a a n n ，则n

n a a

<+1

，则1

21n n a

a a a +>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅

即数列

}

{n a 是单调递减数列，所以数列}{n

a 的最小项为

)

1(1f a =.

例1、在等差数列}{n

a 中，1

,101

-==d a

，n

S 为}{n

a 前n

项和，求n

S 的最大值。

解法1：研究数列n

a 的正数与负数项的情况

11

0≤⇒≥n a n ，又0

11

=a

，∴当n=10或n=11时，n

S 取

到最大值55。 解法2：

8

21)221(212

2+

--=n S n ，

∴当n=10或n=11时，n

S 取到最大值55。

练习：已知等差数列{}n

a （d<0）其前n 项和为n

S ，

若17

9

S S

=，问{}n S 中哪一项最大？

解：因为17

9

S S = 0

a a a

171110

=+++∴

又因为1413151216111710

a a a a a a a a +=+=+=+0

a a 1413=+∴，因为

d<0

所以数列{}n

a 单调递减，于是0

a ,0a

1413

<> 14

S ∴最

大

例2、已知函数x

x

x f 63)(2

+-= ，S n 是数列}{n

a 的前n

项和，点（n ，S n ）（n ∈N*）在曲线)(x f y =上. （Ⅰ）求数列}{n

a 的通项公式；

（Ⅱ）若1

)2

1(-=n n

b

，6

n n n

a b c

⋅=

，且T n 是数列}{n

c 的前n

项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.

解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x

x

x f 63)(2

+-=，所以n

n S

n

632+-=.

当n =1时，3

11

==S a . 当n >1时，1

--=n n n

S S a

,

69)]1(6)1(3[)63(22n•n n n n -=-+---+-=

所以n

a n

69-=.

（

Ⅱ

）

因

为

•••n n b a •••c •n b n n n n n n ,)21)(23(6)21)(69(61,1)21(1

-=-==-=- ①所以

,

)2

1)(23()21)(3()21)(1(2132•n T n n -++-+-+=

②

,)2

1

)(23()21)(3()21()1()21(211432•n T n n +-++-++-+= ③

②－③

得

132)2

1)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T

1

12)21)(23(2

11]

)21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .

整理得1

)2

1

)(12(-+=n n

n T

， ④

策略一 利用差值比较法

由④式得1

)2

1

)(32(11

-+=++n n n T

，所以