高等数学第21,22,23,24讲

第21讲：一阶微分方程

一 常微分方程的概念与解的性质 1可分离变量的微分方程 2一阶齐次微分方程

3一阶线性微分方程、贝努里方程 1、（03，4分）已知x x y ln =

是)(x y x y y ϕ+='的解，则)(x

y

ϕ的表达式为 A 、22x y - B 、22

x

y C 、22y x - D 、22y x

2、（10，4分）设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的一个解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则

A 、21,21==μλ

B 、 21

,21-=-=μλ C 、 31,32==μλ D 、 3

2

,31==μλ

二、一阶线性微分方程

2、（01，3分）)0,2

1(且满足关系式11arcsin 2

=-+

'x

y x y 的曲线方程是（ ）

3、（04，4分）⎪⎩

⎪

⎨⎧==-+=560

2)(13x y xdy dx x y

4（05，4分）⎪⎩

⎪

⎨⎧-==+'91)1(ln 2y x

x y y x

5（08，4分）求0)(2

=-+-xdy dx e

x y x

的通解

6、（11，4分）⎩

⎨⎧==+'-0)0(cos y x

e y y x

7（95，8分）设x

e y =是x y x p y x =+')(的一个解，求满足02

ln ==x y

的特解

8、（12，4分）求⎩

⎨⎧==-+1)1(0

)3(2y dy y x ydx 的解

三、齐次微分方程

9、（99，7分）求⎪⎩

⎪⎨⎧=>=-++=0)

0(0)(122x y x xdy dx y x y 的解

四、由自由变量改变量与因变量改变量之间的关系给的一阶方程 10、（98，3分）已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量α++=

∆2

1x y

y

，且当0→∆x 时，α是x ∆的高阶无穷小，π=)0(y ，则=)1(y （ ）

A 、π2

B 、π

C 、4π

e D 、4π

πe

第22讲：高阶微分方程

一、二阶微分方程的可降阶形式

1、（02，3分）求⎪⎩

⎪

⎨

⎧=

'=='+''2

1)0(,1)0(0)(2y y y y y

2、（07，10分）求⎩⎨⎧='='

='++''1)

1()1(])([2y y y y x y

二、二阶线性微分方程

I 、二阶线性微分方程解的性质与通解的结构 3、（06，4分）函数x

x

e

c e c y 211-+=满足的一个微分方程是（ ）

A 、x xe y y y 32=-'-''

B 、x e y y y 32=-'-''

C 、 x xe y y y 32=-'+''

D 、x

e y y y 32=-'+'' 4、（97，5分）已知x

x

e xe y 21+=，x

x

e xe y -+=2，x x

x e e

xe y --+=23是某个二阶线

性微分方程的三个特解，求此微分方程

II 、求解二阶线性常系数齐次与非齐次微分方程 5、（04，4分）x e

y y 24=-''的通解为（ ）

6、（07，4分）x

e y y y 2234=+'-''的通解为（ ） III 、确定二阶线性常系数非齐次微分方程的特解的类型

7、（04，4分）x x y y sin 12

++=+''的特解可设为（ ） A 、)cos sin (2

*

x B x A x c bx ax y ++++= B 、 )cos sin (2

*

x B x A c bx ax x y ++++= C 、 x A c bx ax y sin 2

*

+++= D 、 x A c bx ax y cos 2

*

+++=

8、（11，4分）x x

e e y y λλλ-+=-''2

)0(>λ的特解形式为（ ）

A 、

)(x x e e a λλ-+ B 、 )(x x e e ax λλ-+

C 、 )(x x

be ae

x λλ-+ D 、 )(2x x be ae x λλ-+

VI 、二阶线性变系数方程 9、（98，5分）利用代换x

u y cos =将方程x

e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解

10、（05，12分）利用变量代换t x cos = 化简方程0)1(2

=+'-''-y y x y x ，并求出其满足10

==x y

，20='=x y 得特解

三、高于二阶的线性常系数齐次微分方程 11、（00，3）具有特解x

e y -=1，x xe y -=22，x

e y 33=的三阶线性常系数齐次微分方程

是（ ）

A 、0=+'-''-'''y y y y

B 、 0=-'-''+'''y y y y

C 、06116=-'+''-'''y y y y

D 、 022=+'-''-'''y y y y

12、（08，4分）在下列微分方程中以x c x c e c y x

2sin 2cos 321++=321,,(c c c 是任意常数）为通解的是（ ）

A 、044=-'-''+'''y y y y

B 、 044=+'+''+'''y y y y

C 、044=+'-''-'''y y y y

D 、 044=-'+''-'''y y y y 13（10，4分）三阶线性常系数齐次微分方程的通解为（ ） 四、求解含变限积分的方程

14、（00，8分）函数)(x f 在),[+∞a 可导，1)0(=f ，且满足等式

0)(11)()(0

=+-+'⎰x

dt t f x x f x f 求：（1）)(x f '

（2）、证明：当0≥x 时，成立不等式1)(≤≤-x f e x