高等数学第21,22,23,24讲

合集下载

11第3、4课时极限运算法则复习

为后续学习洛必达法则以及无穷解决问题的能力，要学5+2”专转本考试内容中在本课教学过程中着重针尤其是对两个重要极限和无穷大与无穷小问题进行分析，使得学生能够深刻体会和理解极限的本二、用两个重要公式例1．求xxx -→ππsin lim例2．求()x x xx x cos 1sin 1tan 1lim-+-+→解一：原式()()()()x x x x x x x sin 1tan 1cos 11sin 1tan lim+++-+-+=→()()21tan lim 21cos 1cos 1tan lim 2100==--=→→x x x x x x x x 解二：原式()()()()x x x x x x x x x x cos 1sin tan lim 21cos 11sin 11tan 1lim 00--=--+--+=→→21tan lim 210==→x x x 例3．求n n xx x 2cos 4cos 2cos lim ∞→例4．求下列极限（1）1021lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x （2）xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→（3）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11lim （4）11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x例5．求下列极限（1）()xx x cot tan 1lim +∞→ （2）141lim -→x x x（3）()xx x 2cot 0cos lim → （4）()()x x x 3csc 02cos lim →三、用迫敛定理求极限例1．求⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅∞→n n n 212654321lim解：令n n x n 212654321-⋅⋅=，1225432+⋅=n ny n 则n n y x <<0，于是12102+=<<n y x x n n n 由迫敛定理可知0lim 2=∞→n n x ，于是原极限为0。

高等数学第二章答案

高等数学第二章答案【篇一：高等数学第二章复习题及答案】>第二章一、填空题f(a?x)?f(a?x)?x?0xf(3?h)?f(3)?2、设f?(3)?2，则lim。

h?0______________2h1、设f(x)在x?a可导，则lim。

3、设f(x)?e，则limh?0?1xf(2?h)?f(2)?。

_____________hcosx?,f?(x0)?2,(0?x0?)，则f(x0)?。

_______________________1?sinx2dy?5、已知x2y?y2x?2?0，则当经x＝1、y＝1时，。

dx_______________4、已知f(x)?6、f(x)?xex，则f???(ln2)?_______________。

__________7、如果y?ax(a?0)是y?x2?1的切线，则a?。

8、若f(x)为奇函数，f?(x0)?1且，则f?(?x0)?9、f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)?10、y?ln(1?3?x)，则y??11、设f?(x0)??1，则limx?0______________________________________________________。

x。

?___________f(x0?2x)?f(x0?x)_________________________12、设x?y?tany，则dy?。

13、设y?y???(0)?。

_______________14、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点（1，1）处的切线方程是______________________。

1???xcos15、f(x)??x??0_______________________x?0x?0。

，其导数在x?0处连续，则?的取值范围是16、知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。

高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义

11
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2

=
2
, 3

=
3
.

(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2

=
11 1
素的代数余子式．
11
例如，三阶行列式 21
31

12
22
32
13
23 中元素 12 的余子式 =
33

= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12

⋱
⋮ ，则 = ⋮

(完整版)高等数学上册知识点

高等数学上册第一章函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N∈∃>∀⇔=∞→axNnNaxnnn,,,0lim2、函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→AxfxxxAxfxx)(,,0,0)(lim、、、左极限：右极限：)(lim)(xfxfxx-→-=)(lim)(xfxfxx+→+=)()()(lim+-→=⇔=xfxfAxfxx、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(nnzxynnn≥≤≤2）azynnnn==→∞→∞limlim axnn=∞→lim2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大lim=α∞=αlim量。

2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小kTh1 ;)(~ααββαo+=⇔Th2 （无穷小代αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~、、、、换）4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+a xx a ln ~)1(log +e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的)(0x f ')(x f y =())(,00x f x 斜率。

高等数学(解析几何)图形

P M
Sz
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y2 , z) 0.
x
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
图形
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
的截口椭圆任意接近，即： x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 z
a2 b2
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的若：F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
曲面S外的每一点都不满足方程
6. 一般柱面 F(y,
z)=0
(不含x)
z 准线

2004-2021年专升本高数(二)考试真题及答案

2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

第1题参考答案：A第2题参考答案：D第3题参考答案：D第4题第5题参考答案：C二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第6题参考答案：1第7题参考答案：0第8题参考答案：1第9题参考答案：2/x3第10题参考答案：-1第11题参考答案：0第12题参考答案：e-1第13题参考答案：1第14题参考答案：-sinx 第15题三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤.第16题第17题第18题第19题第20题第21题第22题第23题第24第25题第26题第27题第28题2005年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题参考答案：D第2题第3题参考答案：C 第4题参考答案：B 第5题参考答案：D 第6题参考答案：B 第7题第8题参考答案：A第9题参考答案：D第10题参考答案：B二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第11题参考答案：2第12题参考答案：e-3第13题参考答案：0第14题参考答案：4第15题参考答案：2第16题第17题参考答案：0第18题参考答案：1/2第19题参考答案：6第20题三、解答题：共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

第21题第22题第23题第24题第25题第26题第27题第28题2006年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题参考答案：D 第2题参考答案：B 第3题参考答案：D 第4题参考答案：A 第5题参考答案：C第6题参考答案：C 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：B 第10二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

2016年江苏省第十三届高等数学竞赛试题（本科一级）讲解

2016年江苏省第⼗三届⾼等数学竞赛试题（本科⼀级）讲解江西省南昌市2015-2016学年度第⼀学期期末试卷（江西师⼤附中使⽤）⾼三理科数学分析⼀、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考⽣熟悉的基础知识⼊⼿，多⾓度、多层次地考查了学⽣的数学理性思维能⼒及对数学本质的理解能⼒，⽴⾜基础，先易后难，难易适中，强调应⽤，不偏不怪，达到了“考基础、考能⼒、考素质”的⽬标。

试卷所涉及的知识内容都在考试⼤纲的范围内，⼏乎覆盖了⾼中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的⼤部分知识点均有涉及，其中应⽤题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学⽣感受到了数学的育才价值，所有这些题⽬的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题⽬难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较⼤，学⽣不仅要有较强的分析问题和解决问题的能⼒，以及扎实深厚的数学基本功，⽽且还要掌握必须的数学思想与⽅法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全⾯，着重数学⽅法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选⼀问题中，试卷均对⾼中数学中的重点内容进⾏了反复考查。

包括函数，三⾓函数，数列、⽴体⼏何、概率统计、解析⼏何、导数等⼏⼤版块问题。

这些问题都是以知识为载体，⽴意于能⼒，让数学思想⽅法和数学思维⽅式贯穿于整个试题的解答过程之中。

⼆、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满⾜AB AC →→=，则A BA C →→的最⼩值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查⽅向】本题主要考查了平⾯向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三⾓的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确⽤OA ，OB，OC 表⽰其它向量。

第21讲对数平均不等式及其应用导数专题提升讲义)

第14讲对数平均不等式及其应用整理：广西南宁覃荣一、对数平均不等式及其证明设0b a >>，则211ln ln 2b a a b a b b a a b-+<<<<<-+，其中ln ln b a b a --叫做对数平均数，2a b+叫做几何平均数，211a b+叫做调和平均数，ln ln 2b a a bb a -+<<-称之为：“对数平均不等式”．ln ln 2b a a bb a -+<<-．（1ln ln b ab a-<-．ln ln b ab a -<-得ln ln b a -<，即ln b a <．记t =12ln t t t <-(1)t >．令1()2ln f t t t t=-+(1)t >， 221()1f t t t'=--2221t t t -+-=22(1)0t t --=<，所以()f t 在(1,)+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1()2ln 0f t t t t=-+<恒成立，即lnb a < （2）再证ln ln 2b a a bb a -+<-．由ln ln 2b a a b b a -+<-得2()ln ln b a b a a b --<+，即2(1)ln 1bb a b a a-<+．令b t a =(1)t >，则有2(1)ln 1t t t -<+(1)t >，设2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >，22214(1)()0(1)t(1)t g t t t t -'=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞递增，而(1)0g =，因此当1t >时，2(1)()ln 01t g t t t -=->+恒成立，即ln ln 2b a a bb a -+<-．本证法，通过比值换元构造函数，再利用函数的单调性来证明不等式，这种把双变量变为单变量的方法是证明不等式的基本方法．几何意义：首先，我们先对对数平均不等式进行变形：2ln ln 1a b a b a b ab-<<+-，ln ln a b a b --表示经过曲线ln y x =上两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b 的直线斜率，2a b +表示曲线ln y x =在2a bx +=ab表示曲线ln y x =在x ab = 由此可知2ln ln a b a b a b ab-<<+-的几何意义是：曲线ln y x =上两点连线的斜率大于曲线ln y x =在两端点横坐标算术平均数处的切线的斜率，小于曲线ln y x =在两端点横坐标几何平均数处的切线的斜率．于是ln ln 2a b a bab a b -+<-的几何意义为：对于曲线ln y x =上任意两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b ()a b <，在区间(,)a b 上都存在唯一实数0x ，使得曲线ln y x =在0x x =处的斜率等于割线AB 02a bab x +<<，这里的0x 就是a ，b 的对数平均，(这个表述实际上就是高等数学里的拉格朗日中值定理)拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数()f x 满足下列条件：①()f x 在闭区间[,]a b 上连续；②()f x 在开区间(,)a b 上可导，则在 (,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．拉格朗日中值定理的几种常见表达形式：①()()()()f b f a f b a ξ'-=-，b a ξ<<；②()()[()]()f b f a f a b a b a θ'-=+--，01θ<<； ③()()()f a h f a f a h h θ'+-=+，01θ<<．对数平均不等式主要是用来处理一些与指数、对数有关的不等式问题．对数平均不等式解题范式：下面以“已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点为1x ，2x ，求证：12()02x x f +'< ”为例说明一下对数平均不等式解题范式．步骤1：构建等量关系式．因为1x ，2x 是函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点，所以12()()0f x f x ==，即22111222ln (2)ln (2)x ax a x x ax a x -+-=-+-．步骤2：对等量关系式进行处理．对题目给出的是含自然底数的指数形式，我们通常需要把指数分离出来，然后再对等式两边同时取对数，而像本例本身就是含有自然底数的对数形式，不需要再进行两边取对数，我们通常把对数ln x 分离出来即可：22121221ln ln (2)(2)x x ax ax a x a x -=-+---．步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解．变形可得：12121212ln ln ()()(2)()x x a x x x x a x x -=+----，转化出对数平均数（或它的倒数）：2121121ln ln ()2x x x x a x x a -=-++-．步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．本题目标：证1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，故工具的选择上应该是 ln ln 2b a a bb a -+<-，即211221121ln ln ()22x x x x x x a x x a -+=<-++-，再把12x x +当一个整体解出来代入目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，从而证明目标．当然，考虑到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+的结构形式，将目标变形为：12122()2a x x a x x ++->+，步骤3转化出对数平均不等式的倒数212112ln ln 2x x x x x x ->-+，即12122()2a x x a x x ++->+更加有利于后面的操作，只需将12122()2a x x a x x ++->+左边移到右边，即可得到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+．二、对数平均不等式在极值点偏移中的应用类型一：不含参数的极值点偏移问题【例1】（2010年高考天津理科第21题（3））已知函数()xf x xe-=()x R ∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．解析：由12()()f x f x =得1212x x x ex e --=，又12x x ≠，所以1x 和2x 同号，当0x <时，()(1)0xf x x xe -'=->，()f x 单调递增，若10x <，20x <，则由12()()f x f x =得12x x =，这与题设不符，所以10x >，20x >．将等式1212x x x e x e --=两边同时取以自然对数得1122ln ln x x x x -=-，即2121ln ln x x x x -=-，所以21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得12212112ln ln x x x x x x +->=-，即1212x x+>，所以122x x +>．下面证明121212ln ln 2x x x xx x -+<-．证明：（比值换元+构造函数）11122212122(1)2()ln1x x x x x x x x x x -->=++，构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，所以214()(1)g t t t '=-+22(1)0(1)t t t -=≥+，所以()g t 是增函数，又因为121x x >，所以12()(1)0x g g x >=，即1122122(1)ln1x x x x x x ->+，故121212ln ln 2x x x xx x -+<-成立，命题得证．【方法小结】利用对数平均不等式解题的一般步骤：步骤1：构建等量关系式；步骤2：对等量关系式进行处理；步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解；步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．在这特别强调一下：利用对数平均不等式证明的时候，必须要证明一下对数平均不等式．本文为了节约篇幅，今后都把证明对数平均不等式省略，特此说明．【变式训练1】已知1212ln ln x x x x =12()x x ≠，求证：212x x e >．解析：设1212ln ln x x a x x ==，则1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式相减得1212ln ln ()x x a x x -=-，即1212ln ln x x a x x -=-，不妨设12x x >，所以212x x e >两边取对数得12ln ln 2x x +>，由等比性质知结合1212ln ln x x a x x ==可得：1212ln ln x x a x x +=+，1212ln ln ()x x a x x +=+，故命题等价于证明12()2a x x +>成立，将1212ln ln x x a x x -=-代入12()2a x x +>得121212ln ln ()2x x x x x x -+>-，即121212ln ln 2x x x x x x -+<-，这就是对数平均不等式，显然成立．类型二：含参数的极值点偏移问题【例2】已知函数2()ln f x x x ax =-+．（1）当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 为递减函数，求a 的取值范围；（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：12()02x x f +'<．解析：（1）1a ≤（过程略）．（2）证明：由1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，所以21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得：22221211ln ()()0x x x a x x x --+-=，所以211221ln()x x a x x x x =++-，所以12()2x x f +'2112121221ln22()x x x x a x x x x x x =-++=+++-212121212()ln x x xx x x x x --+=-，要证12()02x x f +'<，只需证2121212()ln 0x x x x x x --<+即可．解法一（对数平均不等式）由2121212()ln 0x x x x x x --<+变形得211221ln ln 2x x x x x x -<+-．由对数平均不等式可知，上式显然成立．解法二（比值换元+构造函数）由2121212()ln 0x x xx x x --<+变形得2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，记211x t x =>，则有2(1)ln 1t t t ->+(1)t >，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+(1)t >， 22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++(1)t >，()h t 在(1,)+∞单调递增，∴2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，∴2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，∴12()02x x f +'<．【方法小结】本例跟例题1相比，要构建对数平均数（或它的倒数）的障碍就是参数m ，所以这种含参数的应该首先消去参数再按照常规的对数平均数解题范式进行解题．【变式训练】（2016年4月湖北七市教科研协作体高三文科第21题）已知函数1()ln f x m x x=--()x R ∈，若恰有两个零点1x ，2x 12()x x <，求证：122x x +>．解析： 1x ，2x 是()f x 的两个零点，∴ 11221ln 1ln m x x m x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得121211ln ln x x x x +=+，即212112ln ln x x x x x x -=-，所以2121121ln ln x x x x x x -=-，又由对数平均不等式得2121ln ln x x x x -->即121x x >，则121x x >，所以122x x +>>，命题得证．三、对数平均不等式在双变量中的应用【例1】（2015年合肥高三模拟最后一卷）已知函数()ln f x x kx =-()k R ∈．（1）若0k >，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的两个相异的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．解析：（1）()f x 的单调增区间为1(0,)k ；减区间为1(,)k+∞，过程略． (2)证明：因为1x ，2x 是函数()y f x =的两个相异的零点，必有0k >，不妨设210x x >>则有1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩，两式相减得：2121ln ln ()x x k x x -=-，可得 2121ln ln x x k x x -=-．要证212x x e >，即证：12ln ln 2x x +>，将1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩两式相加得1212ln ln ()x x k x x +=+，故只需证1212ln ln ()2x x k x x +=+>，即2121ln ln x x k x x -=-122x x >+，由对数平均不等式211221ln ln 2x x x xx x -+<-可知上式显然成立．【方法小结】用对数平均不等式解决双变量的不等式证明问题时，解题的模式还是用范式的步骤来解．这种问题往往需要对证明目标进行变形，然后将对数平均数对变形的结果进行整体代换即可．【变式训练2】（2015江南十校联考部分）已知函数()ln f x x ax =-．若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴，且11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明：211111k x x -<<-．证明：由题意知，1()f x a x '=-，1(1)01f a '=-=，即 1a =，所以()ln f x x x =-．直线AB 的斜率为2122112121(ln )(ln )y y x x x x k x x x x ----==--2121ln ln 1x x x x -=--．故要证211111k x x -<<-，即证21111k x x <+<，只需证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，由对数平均不等式知211221ln ln 2x x x x x x -<<+- 又12x x <，所以22212122x x x x x =<++，11x <=，故有212211ln ln 11x x x x x x -<<-，命题得证．四、对数平均不等式在证明数列不等式中的应用 1、应用ln ln b aa b b a-<<-(0)a >证明数列不等式．由对数平均不等式ln ln 2b a a b b a -+<<-(0)a b <<，可得ln ln 2b a b bb a -+<<-，即ln ln b a a b b a-<<-(0)a >．【例1】（2014年陕西卷理科第21题）设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x '=，0x ≥，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）导1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，n N +∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析：（1），（2）略；（3）证法一：（利用ln ln b a b b a -<-放缩证明）由题意，得()1xg x x=+，所以 12(1)(2)()231n g g g n n +++=++++111()231n n =-++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，因此，只需比较12231nn ++++和ln(1)n +的大小关系即可．现证12ln(1)231nn n +>++++．当0b a >>时，有ln ln b a b b a -<-，即1()ln ln b a b a b-<-，令a n =，1b n =+，则1ln(1)ln 1n n n <+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：1ln 2ln12<-， 1ln 3ln 23<-，1ln 4ln 34<-，，1ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上式子左右两边分别相加可得：111ln(1)231n n +++<++，故12ln(1)231nn n +>++++得证，从而命题得证．（证法二：由对数平均不等式的单变量形式证明）由题意，得()1xg x x=+，所以12(1)(2)()231ng g g n n +++=++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，由1(1)1ln 21()2g f n =>-=-进行猜想，有(1)(2)()()g g g n n f n +++>-，该不等式等价于12231nn ++++ln(1)n <+．由对平均不等式的单变量形式：当1x >-时，恒有ln 1x x x ≥+，可知当0x >时，恒有ln(1)1xx x +>+，令1x k =，有11ln(1)11k k k+>+，即1ln(1)ln 1k k k +->+，其中k N +∈，于是有111[ln(1)ln ]()1n nk k k k k ==+->+∑∑，即12ln(1)231nn n +>++++，猜想得证．【方法小结】本题作为压轴题，难度较大，题目采取多步设问，层层递进的方式出题，上一问的结论可用于下一问，其中第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，但是还是步骤繁琐，求解过程复杂．在这里，证法一利用对数平均不等式的变形ln ln b ab b a-<-，进一步变形为1()ln ln b a b a b-<-，再根据所要证明的式子的需要，对a ，b 进行赋值a n =，1b n =+ 从而使问题大大地简化，易于被学生接受．证法二则是利用对数平均不等式的单变量形式来证明，这需要学生掌握对数平均不等式的单变量常见的几种形式：①当01x <≤2(1)ln 1x x x -≤≤+；②当1x ≥时，恒有2(1)ln 1x x x -≤≤+事实上，对于这两个命题，当1x =时，是显然成立的．当1x ≠ln ln 2b a a bb a -+<<-，令1a =，b x =11ln 2x x x -+<，再注意到ln x 正，负两种情况，容易得到这两个命题．③当1x >-时，恒有ln 1x x x ≤≤+，现证这个结论如下：证明：当0x >时，(1)1(1)11ln(1)12x x x +-++<<<+-112xx =+<+，即11ln(1)1x x x <<++-⇔ln(1)1xx x x <+<+．当10x -<<时，(1)1(1)11ln(1)ln12x x x x +-+++<<<+-112x=+<，即11ln(1)x x x +<<+⇔11ln(1)x x x x <<++⇔ln(1)1xx x x <+<+，当且仅当0x =时等号成立．【变式训练1】（2012年天津卷理科第20题）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >．（1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；（3）证明：122ln(21)222121ni n i n =-+<-<-+∑ ()n N*∈．解析：(1)、（2）略；（3）证明：由(1)知，1a =，所以待证不等式等价于：2222ln(21)35721n n ++++<+-．当0a b <<时，ln ln b a b b a -<-，变形得1()ln ln b a b a b-<-，令21a n =-，21b n =+，则22ln(21)ln(21)2(1)121n n n n =<+--+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：2ln 3ln 23<-，2ln 5ln 35<-，2ln 7ln 57<-，，22(1)1n +-ln(21)n <+ln(21)n --，将以上式子左右两边分别相加得：2222ln(21)35721n n ++++<+-，即12ln(21)221ni n i =-+<-∑ ()n N *∈．2．应用211ln ln b ab aa b-<-+(0)b a >>证明数列不等式．[例2] （2013年大纲卷理科第22题）已知函数1()ln(1+)1x x f x x xλ(+)=-+．(1)若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；(2)设数列}{n a 的通项111=1+23n a n +++，证明：21ln 24n n a a n -+>． (1) 解析：由已知(0)0f =，2212()1x x f x x λλ(-)-'=(+)，(0)0f '=．若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，()0f x '>，所以()0f x >．若12λ≥，则当0x >时，()0f x '<，所以当0x >时，()0f x <．综上，λ的最小值是12．(2) 证法一：(利用211ln ln b ab a a b-<-+证明)：当0b a >>时，211ln ln b ab a a b-<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-，令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +- 111()21n n <++，所以，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，ln(2)ln(1)n n +-+ 111()212n n <+++，ln(3)ln(2)n n +-+111()223n n <+++，， ln 2ln(21)n n --111()2212n n<+-，将以上不等式左右两边分别相加得： 111111ln 2()2123214n n n n n n <+++++++++-11111122124n n n n n=+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证．证法二：(对数平均不等式的单变量形式证明)：由命题2知，当1x >时，有ln x <，令2x t =，可得12ln t t t <-(1)t >，再令1k t k +=，得112ln 1k k kk k k ++<-+ 111k k =++，即1111ln ()21k k k k +<++，分别令k n =，1n +，2n +，，21n -，得到n 个不等式，两边叠加，化简得111ln 2ln 21n n n n -<⋅++，两边叠加，化简可得ln 2ln n n -<1111212n n n ⋅++++1112122n n+++⋅-11111122124n n n n n =+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证．证法三：(利用第一问结果证明）令12λ=．由(1)知，当0x >时，()0f x <，即2ln(1)22x x x x (+)>++，取1x k =，则211>ln 21k k k k k ++(+)，于是212111[] 422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑212121n k n k k k -=+=(+)∑211ln n k nk k -=+>∑ln 2ln ln 2n n =-=，所以21ln 24n n a a n-+>．【方法小结】方法二利用对数平均不等式的单变量形式ln x <，先对x 赋值变形2x t =，再对t 进行赋值1k t k+=，构建对数不等式，最后对k 进行赋值，这个思路不宜想到，另外操作赋值过多，难度较大；方法三借助第一问12λ=，2ln(1+)22x x x x(+)<+(0)x ≥，加以赋值，并进行变形，令1x k=，121111ln(1)<()2121k k k k k k ++=+(+)+，即ln(1)ln k k +- 111()21k k <++从而达到放缩的目的；方法一利用对数平均不等式衍生211ln ln b ab a a b-<-+，再变形为111ln ln ()()2b a b a a b-<+-，再结合结论进行恰当赋值令a n =，1b n =+，相对其他两种方法而言，还是比较容易操作．【变式训练2】（2010年高考湖北省理科数学第题）已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线为1y x =-．（I ）用a 表示b ，c ；（II ）若()ln f x x ≥在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ (1)n ≥．解析：（I ）1b a =-，12c a =-；（II ）1[,)2+∞（端点效应+分类讨论）．（III ）证明：当0b a >>时，211ln ln b ab a a b -<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-，令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +-111()21n n <++，所以， ln(1)ln n n +-111()21n n <++，因此111ln 2ln1()212-<+，111ln 3ln 2()223-<+，，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，将以上不等式左右两边分别相加得： 11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++，即11ln(1)123n +<+++1112(1)2n n ++-+，可化得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++，命题得证．3ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式．【例3】设数列}{n a 的通项公式n a =n 项和为n S ，求证：ln(1)n S n <+．证明：当(0)b a >>ln ln b a b a ->-，即ln ln b a ->，令1b n =+，a n =，则ln(1)ln n n +->=n a >>，即ln(1)ln n a n n <+-，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得1ln 2ln1a <-，2ln 3ln 2a <-，3ln 4ln 3a <-，，ln(1)ln n a n n <+-，将以上不等式左右两边分别相加得：122n a a a a ++++(ln 2ln1)(ln3ln 2)(ln 4ln3)<-+-+-+(ln(1)ln )n n ++-，即ln(1)n S n <+．4．应用ln ln 2b a a bb a -+<-(0)b a >>证明数列不等式．[例4]设数列}{n a 的通项公式111123n a n=++++，证明：ln(21)n a n <+．证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a b b a -+<-，2()ln ln b a b a a b -->+，令21a n =-，21b n =+，则1ln(21)ln(21)n nn+-->，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得：ln3ln11->，1ln 5ln 32->，1ln 7ln 53->，，1ln(21)ln(21)n n n+-->，将以上不等式左右两边分别相加化简得：111123n++++ln(21)n <+，ln(21)n a n <+．【变式训练】（2102年高考湖北文科第题）设函数()(1)nf x ax x b =-+ (0)x >，n 为正整数，a ，b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的最大值（3）证明：1()f x ne<．解析：（1）1a =，0b =；（2）1(1)nn n n ++；（3）证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a bb a -+<-，令a n =，1b n =+，则(1)ln(1)ln n n n n +-+-(1)12n n n ++<<+，即(1)ln(1)ln n n n n +-+-1n <+，所以1ln(1)ln 1n n n +->+，即 11ln 1n n n +>+，该不等式两边同乘以1n +得11ln()1ln n n e n ++>=，即11()n n e n++<，所以11(1)n n n n ne +<+，由（2）知11()(1)n n n f x n ne+≤<+，命题得证． 5．应用ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式．【例5】（2014年福建预选赛）已知函数1()ln(1)311f x a x x x =+++-+．（1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈．解析：（1）a 的取值范围为[2,)-+∞．（2）证法一:(利用ln ln b a b a ->-证明）当(0)b a >>时，ln ln b ab a->-，变形得ln ln b a -<21a n =-，21b n =+，ln(21)ln(21)n n +--<，变形可得：2111[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<=<-，对该不等式的n 赋值1，2，3，，n 得：212(ln 3ln1)4411-<⨯-，212(ln 5ln 3)4421-<⨯-， 312(ln 7ln 5)4421-<⨯-，，211[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<⨯-，将以上不等式左右两边分别相加化简得：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯- 1ln(21)4n >+，n N +∈．证法二:(利用第一问进行赋值）由（1）知，当0x >时，有1312ln(1)1x x x +->++，令221x k =-()k N +∈，则有211211ln [ln(21)ln(21)]414214k k k k k k ++>=+--⨯--，对该不等式的k 赋值1，2，3，，n 得：221(ln 3ln1)4114>-⨯-，221(ln 5ln 3)4214>-⨯-，321(ln 7ln 5)4214>-⨯-，，2141n n +⨯- 1[ln(21)ln(21)]4n n >+--，将以上不等式左右两边分别相加化简得： 2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈．【方法小结】证法一本题根据目标1ln(21)4n +和左边式子的通项公式2141n n +⨯-，恰当选择不等式ln ln b a -<，然后再对变量进行赋值21a n =-，21b n =+；证法二利用第一问可得出的不等式1312ln(1)1x x x +->++进行对变量x 进行赋值令221x k =-，不等式放缩的目标和通项公式是不等式证明的导航灯，它指引着我们解题工具的选用，赋值的选择，这恰恰是这种问题证明的最难之所在，例3，例4操作的方法也基本上通过这样的路径来选择不等式证明的工具和对变量进行赋值．三、巩固练习1．（2016年全国课标卷I 理科第21题）已知函数错误!未找到引用源。

历年专升本高等数学试题

历年专升本⾼等数学试题2007年成⼈⾼考专升本数学模拟试题⼀⼀、选择题（5×10分=50分）1.∞→n lim (1+2n )-n=( ) A. 0 B e -2 C e 2 D 2e -22. 下列函数在（-∞，+∞）内单调递减的是（） A y=-x B y=x 2 C y=-x 2 D y=cosx3. 设y=x -12+5,设y ／=( )A -12 x -32B -12 x 12C -12 x -32 +5D -12 x -12+5 4. 曲线y=x 3-6x+2的拐点坐标（）A （0,4）B （0,2）C （0,3）D (0,-2) 5. ??cosx dx 等于( )A –sinx+cB sinxC cosx+cD –cosx6. ??01xe xdx 等于（）A 1B 2C 12 D -1 7. ??02（x 28. 设函数z=e x +y ,则dzdx =( ) A 12 e x +y (1 x dx+1 y dy)B 2e x +y (1 x dx+1ydy)C 12 e x+y (1x dx+1y dy) D -12 e x +y (1 x dx+1 y dy)9. 若cotx 是f(x)⼀个原函数，则f(x)等于（） A csc 2x B -csc 2x C sec 2x D -sec 2x10.对于任意两个事件A 和B ，下⾯结论正确的是（）A 若AB ≠?，则事件A 、B ⼀定独⽴ B 若AB ≠?，则A 、B 可能独⽴C 若AB ＝?，则A 、B ⼀定独⽴D 若AB ＝?，则A 、B ⼀定不独⽴⼆、填空题（4分×10=40分） 212. 0lim→x sin5x2x=13.设函数y=xlnx,求y //= 14.y=x 3拐点坐标是15.??xex 2dx =16.??01xe xdx =17. ??0 ∏4tan 2θd θ =18.设⼆元函数y=sin(x 2+y 2),则dydx= 19.已知z ＝arcsin(xy),dz= 20.曲线y=e -x 在点（0,1）处的切线斜率k=三、解答题（70分） 21.计算1lim -→x x 2-2x-322.设函数Z=e y(x2+y2) 求dz=（8分）23. ??xsin(x 2+1)dx （8分）24.1elnxx dx （8分） 25.（1（2）求x 的期望EX26.求函数f(x,y)=4(x-y)-x 2-y 2的极值（10分）27.（1）求直线y=2x y=x x=2 x=4所围成的平⾯图形D 绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的（22+1 所围成的平⾯图形的⾯积S 如图所⽰28.设Z ＝Z （x,y ）由下⾯⽅程所确定，试求dz yz 2-xz 3-1=0 （10分）2007年成⼈⾼考本科数学模拟试题参考答案⼀、选择题（5×10分=50分）1. B2. A3. A4. B5. A6. B7. A8. A9. B 10 B⼆、填空题（4分×10=40分）11. 7 12. 52 13. 1xln 3x (2-lnx) 14. (0,0) 15. 12 ex 216. 1 17. 1-∏4 18. 2xcos(x 2+y 2) 19. 11-x 2y 2(ydx+xdy) 20. -1 三、解答题（21、22、23、24、25每个题各8分；26、27、28各10分，共70分） 21. 1lim -→x x 2-2x-3x 2 -1 =1lim -→x （x-3）(x+1)(x-1)(x+1) =1lim -→x (x-3)(x-1) = lim -4-2 =222.dz=de y(x2+y2)=e y(x2+y2)d (yx2+y3)=e y(x2+y2)(x 2dy+2xydx+3y 2dy)= e y(x2+y2)[2xydx+(x 3+3y 2)dy] 23. ??sin(x 2+1)dx =12 ??sin(x 2+1)d(x 2+1) =- 12 cos(x 2+1)+C 24. ?1elnx x dx =12 lin 2x ??1e =1225.(1) 0.2+a+0.4=1 a=0.4(2) Ex=1×0.2+2×0.4+4×0.4=2.6 26.解: azax =4-2x=0 x=2az可解得 A=-2 B=0 C —2 B 2-AC=-4﹤0,A=-2﹤0 ∴f(2,-2)=8 为极⼤值27.（1）Vx=??24 π (2x)2dx -?24πx 2=π??243x 2dx =πx 324 =56π (2)S=??01(-x 2+1) dx+??12(-x 2+1)2dx =(-x 33 +x) ??01+(x 33 -x) ?12=228.F(x,y,z)=yz 2-xz 3-1 zF zX =-z 3, zF zy =z 2, zFzz =2yx-3xz 2 zz zX =-Fx Fz =z 22y-3xz zz zy =-Fy Fx =-z 2y-3xzdy2010年成考专升本⾼等数学试题⼀【模拟试题】⼀. 选择题：本⼤题共5个⼩题，每⼩题4分，共20分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

高等数学课件第4章一元函数微分学

要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，那么在区间 I内存在可导函数 F (x )，使 x I ，都有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？

高等数学试题(含答案)

《高等数学》试题库一、选择题（一）函数1、下列集合中（）是空集。

{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（）。

()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（）。

()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（）。

()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（）是奇函数。

x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.x x d -- 6、下列函数中，有界的是（）。

arctgx y a =. t g xy b =. xy c 1.= xy d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （）。

()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（）。

π4.a π2.b π.c 2.πd 9、下列函数不是复合函数的有（）。

xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i n lg .= x ey d s i n1.+=10、下列函数是初等函数的有（）。

11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++13、函数log (a yx =+ 是（）.（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 14、函数()yf x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（）. （A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =-15、函数1102x y-=-的反函数是（）.（A ）1xlg22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos yx x =+是周期函数，它的最小正周期是（）.（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、下列函数中，（）不是基本初等函数． A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y = 19、若函数f(e x)=x+1，则f(x)=( )A. e x+1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+120、若函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21ln x x y C.e x D.sinx 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（）是偶函数。

《高等数学(下册)》(阳平华)646-1教案第11章第21课极坐标系下二重积分的计算

通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
第二节课
【教师】讲解极点在区域 D 的内部时二次积分的计算，并通过例题介绍其应用
如图 11-21 所示，如果极点在区域 D 的内部，则 D 可以表示为
知识讲解（20 min）
0 2π ， 0 ( ) ，
其中 ( ) 是区域 D 边界曲线的极坐标方程．因此，极坐
时巩固练习，实现教学做一体化
0 r a ， 0 2π ，
于是
ex2 y2 dxdy
er2 rdrd
2π
d
a er2 rdr
0
0
D
D
2 0
π
1 2
er2
a 0
d
π(1
ea2
)．
4
21 极坐标系下二重积分的计算第
课
图 11-21
图 11-22
此题若采用直角坐标进行计算，则会遇到积分 ex2 dx ，它不
21 极坐标系下二重积分的计算第
课
课题课时
教学目标
教学重难点教学方法教学用具教学设计
教学过程
极坐标系下二重积分的计算
2 课时（90 min）
知识技能目标：
（1）掌握极点在区域 D 的边界时二次积分的计算方法；
（2）掌握极点在区域 D 的外部时二次积分的计算方法；
（3）掌握极点在区域 D 的内部时二次积分的计算方法
次积分的计算公式为
2
21 极坐标系下二重积分的计算第
课
f ( cos ， sin )dd
D
2 ( ) 1 ( )
f ( cos ， sin )d d ，
或简写成

高等数学高等数学高等数学21.ppt

解 y cos x sin( x )
2
y cos(x ) sin(x )
2
22
sin(x 2 ) 2
y
cos(x
2
2
)
sin(x
2
2
2
)
sin(x
3
2
)
y(n) sin(x n )
2
同理可得： (cos x)(n) cos(x n )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小结
求 n 阶导数时，求出1--3阶或4阶导数，不急于合并，分析结果的规律性，写出 n 阶导数.
d4y dx4
高阶导数的定义
函数 f ( x) 的 n1阶导数的导数称为函数 f ( x)的 n 阶导数记作： y(n) , f (n) ( x), d n y
dxn
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.
高阶导数记法说明
1、d 2 y
dx2
d dx
( dy ) dx
2、y, y, yy(4),, y(5) y(n)
高阶导数的定义
如果函数 f (x) 的导数 f (x) 在 x 点处可导，则称( f (x)) 为为函数 f (x) 在点处的二阶导数，记为: y , f ( x), d 2 y
dx2
二阶导数的导数称为三阶导数，记为:
y,
f ( x),
d3y dx3
三阶导数的导数称为四阶导数，记为: y(4) , f (4)( x),
高阶导数举例
例1. 设 y eax ，求 y(n) 解 y aeax
y a2eax y a3eax y(n) a neax
高阶导数举例
例2. 设 y ln(1 x) ，求 y(n)

大学高等数学各章节练习题

第一章极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定。

3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。

4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。

6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。

10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。

〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。

〔B 〕()f x 在0x =处连续。

〔C 〕0lim ()x f x →不存在。

〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔〕〔A 〕无穷间断点。

高等数学上23高阶导数省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

上页
返回
下页
结束
17/21
思索题
设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ，求 f (a) . f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
f ( x) 2g( x) 2( x a)g( x) 2( x a)g( x) 2( x a)2 g( x)
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin(bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
a 2 b2 e ax a 2 b2 sin(bx 2)
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin(bx n)
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
首页
上页
返回
下页
结束
3/21
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
二阶导数导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
首页
上页
返回
下页
结束
16/21
练习2: 设
y
x2
1 3x
2
, y(n)=?
提醒: 令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式 x 1 1 y 1 1
x 2 x 1

高等数学同济版习题及答案

第五章定积分习题及答案(简单层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x ，求()⎰-21dx x f 。