奥数讲义数论专题：6 进位制
小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇
今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。
【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。
【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。
【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。
【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？进制与位值原理逢n 进1借1当n位值原理十进制除n 取余法【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。
将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。
求原来的两位数。
【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是。
【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。
〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。
小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇
今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。
【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。
【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。
【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。
【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。
将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。
求原的两位数。
【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是 。
进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理 十进制 除n 取余法【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。
〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
五年级奥数春季实验班第4讲 数论基础之进位制
盘。
解：(11111)10=(10101101100111)2，
相当于在右盘上已经有了 1 克、2 克、4 克、32 克、64 克、256 克、512 克、2048 克、8192 克的重量；
从低位看起，把 1 克、2 克的砝码放在左盘，把 4 克、8 克的砝码放在右盘，把 16 克的砝码放在左盘；
第四讲 数论基础之进位制
模块 1、十进制和 k 进制的相互转化以及 k 进制下的直接运算
例 1．（1）在二进制下进行加法：(101010)2+(1010010)2=(
)2；
（2）在七进制下进行加法：(1203)7+(64251)7=(
)7；
（3）在九进制下进行加法：(178)9+(8803)9=(
)9；
例 3．在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为
。
解：( abc )6=(a×62+b×6+c)10， ( cba )9=(c×92+b×9+a)10，
所以 36a+6b+c=81c+9b+a，得 35a−3b−80c=0，其中 a、c≠0，a、b、c 都是小于 6 的自然数。 其中 35a 与 80c 都是 5 的倍数，所以 3b 也是 5 的倍数，若 b=0，则有 7a=16c，矛盾； 所以 b=5，得 7a=3+16c，得 c=2，a=5， 所以在六进制中是 552，在九进制中是 255，在十进制中是 5×62+5×6+2=212。
解：（1）(101010)2+(1010010)2=( 1111100 )2；
101010 1010010
小升初奥数数论进位制知识点
小升初奥数数论进位制知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。
数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。
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【篇一】一、什么是进位制？例：(1)平时的计算，是满十进一的，我们称十进制(2)计算机里面，是满二进一的，我们称二进制(3)一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。
我们称是十二进制(4)一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。
即满二十四进一。
称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，可以使用不同的进位制。
定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
即“满几进一”就是几进制。
几进制的基数就是几。
二、进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。
例：十进制：基数为10;表示十进制是使用0.1.2.…9。
十个数字。
二进制：基数为2;表示二进制是使用0和1。
两个数字七进制：基数为7;表示七进制是使用0.1.2.…6。
七个数字。
基数都是大于1的整数。
不同的进位制的基数是不同的。
注意：在计数时的数字必须小于基数。
【篇二】二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
小学六年级奥数 第十三章 进位制
第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。
类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。
例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。
例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。
例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。
小学奥数数论专题数位与进制-word
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。2． 与 的差被9除，商等于______与______的差；
2019年小学奥数数论专题——数位与进制
要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。1．某三位数 和它的反序数 的差被99除，商等于______与______的差；
五年级奥数第50讲 进位制与位值原理-
【例5】 (★★★★) 在6进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求 这个三位数在十进制中为多少？
1
二、位值原理
【例6】 (★★★) 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新 的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原 数大8802 。求原来的四位数。
例3答案：① (11100)2 ② (11000000）2 ③ (500)10 例4答案：248
④ (13121)8
例5答案：22
）2
一、进位制 2．咱要了解的进位制： ⑴本质：n进制就是逢n进一 ⑵n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示 3．会变身的进位制：n进制和十进制的相互转化
【例3】 (★★★) ① (101)2(1011)2 (11011)2 ( ）2 ② (11000111）2 (10101）2 (11）2 ( ）2 ③ (3021)4 (605)7 ( )10 ④ (63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ( )2
进位制与位值原理
一、进位制 1．缤纷多彩的进位制：
六十 进制 二十 进制
二进 制 … … 十六 进制
五进 制 十二 进制
【例1】 (★★★) 把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16。
【例2】 (★★★) ⑴把85化成二进制数。 ⑵ (567)10 ( ）8 ( ）5 (
【例7】 (★★★) 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数， 如果这6个三位数的和是1554 ，那么这3个数字分 别是＿。
四年级奥数.数论.进位制(ABC级).学生版
一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:知识框架进位制【例 1】把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
六年级奥数-数论专题
数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88(2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10(2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
小学六年级奥数系列讲座：进位制问题(含答案解析)
进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k 进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a =16，c =7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b =5，则35a =3×5+80c ；则7a =3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0 所以c =2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c =2．于是，35a =15+80×2；a =5．于是(abc )6 =(552)6=5×62+5×6+2=212． 所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，且x y z ++=1+9+8+7，试确定出所有可能的x 、y 、z 及b ．【分析与解】 我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(2b -1)x +(b -1)y =1987-25． 则(b -1)(b +1)x +(b -1)y =1962， 即(b -1)[(b +1)x +y ]=1962． 所以，1962是(b -1)的倍数． 1962=2×9×109：当b -1=9时，b =10，显然不满足；当b -1=18时，b =19，则（b -1)[(b +1)x +y ]=18×(20x +y )=1962；则20x +y =109，所以，545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则 显然，当b =109不满足，b =2×109不满足，当b =9×109也不满足． 于是为(59B)19=(1987)10，B 代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A 、B 、C 、D 的和为多少? 【分析与解】于是，我们知道n =4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况． 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则，10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ =45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数． 【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以，2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8． 所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8；我们知道(4cd )9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef )8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab )10 在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制111010001000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1) =11+10+9+8+7+5+3=53天．。
春季五年制小学奥数四年级认识进制
学习目标：掌握进位制的概念及相关计算，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题。
任务分解：1．了解进制的概念。
2．掌握不同进制之间互相转化的方法。
3．进制的计算。
十进制十进制是日常生活和工作中最常用的进位计数制。
在十进制数中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，所以计数的基数是10。
超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”，故称十进制。
例如：()22101011123.4511021031451010⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 式子中使用的下脚注10表示括号里的数是十进制数，有时用D 代替下脚注10。
二进制二进制是计算技术中广泛采用的一种进位计数制。
在二进制数中，每一位有0、1两个数码，所以计数的基数是2。
超过3的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢二进一 ”，故称二进制。
如(101)2式子中使用的下脚注2表示括号里的数是二进制数，有时用B 代替下脚注2。
认识进制例如：()()222101011101.0112021101 5.2522⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 八进制在八进制数中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，所以计数的基数是8。
超过7的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢八进一”，故称八进制。
例如：式子中使用的下脚注8表示括号里的数是八进制数，有时用O 代替下脚注8。
()()228101011123.451828314583.57812588⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 十六进制在十六进制数中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A (表示10)、B (表示11)、C (表示12)、D (表示13)、E (表示14)、F (表示15)十六个数码，所以计数的基数是16。
超过15的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十六进一”，故称十六进制。
6年级奥数数论综合问题(1)例题解析
【内容概述】进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．【例题】1．用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)5，(aab)5是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少?[分析与解]注意(adc)5+(1)5＝(aab)5，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b＝0，而c＝(10)5－(1)5＝(4)5，则c＝4．而(ade)5+(1)5＝(adc)5，所以e+1＝c，则e＝3．又d+1＝a，所以d＝1，a＝2．那么，(cde)5为(413)5＝4×52+1×5+3＝108．即(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是108．批注：二进制中是逢二进一，五进制中是逢五进一。
2．算式1534×25＝43214是几进位制数的乘法?[分析与解]注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5＝20，但是现在为4，说明进走20－4＝16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534×25＝38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．3．设l，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中取出若干个数，每个数至多取一次，然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的和数．把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，l0，12，…，那么其中第39个数是多少?[分析与解]我们知道1，3，9，27，81，243都是3的若干次幂，写成3进制依次为：(1)3，(10)3，(100)3，(1000)3，(10000)3，(100000)3，则从中任意选取若干数，且不重复，那么它们的和在3进制中都只是由1和0组成．但是在3进制中，并不是所有的数字都是只由0，1组成，这就给计数造成了困难．而2进制中所有的数字都是只由1和0组成．于是，我们想到使用2进制，在2进制中第39个非零自然数，即39应记为：(100111)2．在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，有(100111)3＝1×35+1×32+1×3+1＝256．即其中第39个数是256．评注：这道题我们不厌其烦的详细说明这些，只是想帮助大家复习进位制中的n进制与十进制的互相转化．此63个数的范围在3进制中的范围是(1)3～(111111)3而且不会有进位产生，也就是都是由0和1这两个数字组成的，所以我们可以把其想象为二进制，中的第39个数是什么？4．求方程19[x]－96{x}＝0的解的个数．[分析与解]有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]＝96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．进一步计算有0，，，，，为原方程的解．批注;解决此类问题的方法就是要销去一个定义符号，然后用不等式的方法来解答。
奥数讲义数论专题：数字迷(含答案)
华杯赛数论专题：数字迷例1.如图是一个加法竖式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。
那么字母O代表的数字最大可能是多少？【答案】6【解答】要点：关注首位C＝1（百位肯定进位）关注十位G＝8（个位肯定进位）总结：解决数字谜问题最关键是要找好突破口，包括以下方面：1）首位数字；2）已知数字较多的数位；例2.在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？【答案】17208【解答】要点：（1）关注首位：C＝1（2）关注包含重复数字的千位：K＝9（3）关注包含重复数字的十位：N＝0（4）由于三位数I0A能被8整除，且I是偶数，所以A＝，G ＝。
总结：往往重复数字较多的数位也是突破口。
例3.如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位数BAD不是3的倍数，四位数GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？【答案】3810【解答】G为1；D为0；A＋A不能进位，所以O为偶数.A＋A＝OB＋B＝10＋OA＝2，O＝4，B＝7不合题意；A＝3，O＝6，B＝8符合题意；A＝4，O＝8，B＝9不合题意.A不能大于等于5.例4.如图，算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“玩中学”代表的三位数是.【答案】465【解答】从加法的十位运算可以看出“啊”＝0。
因为显然“玩”和“学”都不能是0，所以其中一定有一个是5。
如果“玩”＝5，根据千位特征可看出“快”＝4，并且百位相加有进位，因此“乐”≥5。
而“数学”与“玩”相乘大于450，说明“数”＝9。
注意到“学”与“数”相乘的个位数字还是“学”，那么“学”只能是0或5，必然与“啊”或“玩”相同，不符合条件。
因此“学”＝5。
因为只有95×9＝855的末两位数字都是5，所以“数”＝9。
又因为“数学”ד玩”＝“快乐啊”，即95ד玩”＝“快80”，因此“玩”＝4，进一步可得出整个算式就是95×49＝4655。
五年级奥数专题 位值原理与数的进制(学生版)
学科培优数学“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的两大基本问题,也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习,要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式,掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识梳理一、位值原理位值原理的定义：同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。
也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。
在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制,八进制,十六进制等。
二进制：在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。
因此,二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二=1进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一,借一当n”,n进制的四则混合运算和十进制一样,先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的。
例题精讲【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除,商等于与的差；ab与ba 的差被9除,商等于与的差；ab与ba的和被11除,商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ,那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三位数。
小学奥数知识点梳理1-数论Word编辑
数论：1、奇偶；2、整除；3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6、平方；7、进制；8、位值。
一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：（1）奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±奇数=奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。
二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7×11×13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321.判定N是否被11整除。
因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。
例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。
由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。
NOIP初赛篇——06数制转换
NOIP初赛篇——06数制转换进位计数制的基本概念将数字符号按顺序排列成数位，并遵照某种由低到⾼的进位⽅式计数表⽰数值的⽅法，称作为计数制。
⼗进制⼗进制计数制由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数字符号组成。
相同数字符号在不同的位数上表⽰不同的数值，每个数位计满⼗就向⾼位进⼀，即“逢⼗进⼀”。
⼋进制⼋进制计数制由0、1、2、3、4、5、6、7共8个数字符号组成。
相同数字符号在不同的数位上表⽰不同的数值，每个数位计满⼋位就像⾼位进⼀，即“逢⼋进⼀”。
⼆进制⼆进制计数制由0和1共两个数字符号组成。
相同数字符号在不同的数位上表⽰不同的数值，每个数位计满⼆就向⾼位进⼀，即“逢⼆进⼀”。
其他进制在⽇常⽣活和⼯作中还会使⽤其他进制数。
如：⼗⼆进制数、⼗六进制数、百进制数和千进制数等。
⽆论哪种进制数，表⽰的⽅法都是类似的。
如：⼗六进制数由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E和F共16个符号组成，“逢⼗六进⼀”。
不同的是，⽤A、B、C、D、E和F分别表⽰10、11、12、13、14和15六个数字符号。
基数与权某进制计数制允许选⽤的基本数字符号的个数称为计数。
⼀般⽽⾔，J进制数的计数为J，可供选⽤的基本数字符号有J个，分别是0到J-1，每个数位计满J就向⾼位进⼀，即“逢J进⼀”。
某进制计数制中各位数字符号所表⽰的数值表⽰该数字符号值乘以⼀个与数字符号所处位置有关的常数，该常数称为“位权”（简称“权”）。
位权的⼤⼩是以计数为底、数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。
⼗进制数允许使⽤是个基本数字符号，所以基数为10，每位数字符号代表的位数的⼤⼩是以10为底，数字符号所处位置的序号为指数的整数次幂。
⼗进制的百位、⼗位、个位和⼗分位的权分别为102,101,100,10-1。
故（555.5）10 可表⽰成（555.5）10=5 * 10^2+5 * 10^1+5 * 10^0+5 * 10-1。
小学奥数数论专题数位与进制
小学奥数数论专题数位与进制1.某三位数赢和它的反序数而的差被99除，商等于___________ 与_____ 的差；2.不与乔的差被9除，商等于_________ 与 _____ 的差；3.乔与丽的和被11除，商等于________ 与 _____ 的和。
4.（美国小学数学奥林匹克）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交流，失掉一个新的两位数.假设原来的两位数和交流后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？5.将一个四位数的数字顺序颠倒过去，失掉一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数）, 新数比原数大8802.求原来的四位数.6.假设一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为 ''巧数"。
例如，99就是一个巧数，由于9X9+（9 + 9）=99。
可以证明，一切的巧数都是两位数。
请你写出一切的巧数。
7.有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，假设这6个三位数的和是1554, 那么这3个数字区分是多少？8.有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求一切这样的6 个三位数中最小的三位数.9.用1, 9, 7三张数字卡片可以组成假定干个不同的三位数，一切这些三位数的平均值是多少？10.从1〜9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
假定这六个三位数之和是3330,那么这六个三位数中最小的能够是几？最人的能够是几？11.a, b, c区分是0~9中不同的数码，用a, b, c共可组成六个三位数，假设其中五个三位数之和是2234,那么另一个三位数是几？12.在两位自然数的十位与个位中间拔出0〜9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间拔出某个数码后变成的三位数，恰恰是原来两位数的9倍。
求出一切这样的三位数。
13.—辆汽车进入高速公路时，入【I处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行•使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交流后的数。
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华杯赛数论专题|：6 进位制
我们平常熟悉的十进制：
（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2
其他进制转化为十进制：
（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e
例题：
例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？
【答案】24
【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。
又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。
所以A＋B最小值是9＋15＝24。
例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？
【答案】50、150，或者55，165
【解答】设A在十进制中表示是（），
由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，
可见m是5的倍数，因此m＝0或5。
相应的计算出R＝30或32。
所以A和B分别是50、150，或者55，165。
例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？
【答案】212
【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。
则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。
又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。
（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。
所以，a＝0。
但是a在首位，a又不能等于0。
所以，这样的数字不存在。
（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。
所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。
例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。
现有一个双子数
是1040。
（1）把1040写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和。
这样的写法唯一吗？
（2）比1040小的双子数共有多少个?
【答案】（1）＋，写法是唯一的。
（2） 49
【解答】
（1）1040＝1024＋16＝＋，写法是唯一的。
（2）若某个双子数可以表示成的样子（k＞m），
而且小于1040，则k＜10或者k＝10，m＜4。
当k＜10：则m也小于10，也就是k、m在0到9之间取值，
且不相同，利用排列组合，有=45种。
当k＝10：m＜4：m＝0、1、2或3，4种情况。
因此共有45＋4＝49个。
例5.一副双色牌中，红、黑两种颜色各有10张，分别写着1、2、4、8、16、……、512.小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和.
（1）若算出的和为183，那么小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）小梁有多少种抽取牌的方法，使得算出的和为23？
【答案】（1） 10 （2） 24
【解答】
（1）183＝27＋25＋24＋22＋21＋20，其中 26、22、21、20是恰有一个颜色选择，
25、24、23是两种颜色都可以选择的。
所以，最多可能抽取10张。
（2）23＝0＋23＝1＋22＝2＋21＝……＝23＋0。
所以，总共有24种。
例6.有些正整数可以表示成496的不同约数之和，例如36符合条件，因为36可以表示成1＋4＋31；而62本身就是496的约数，那么认为62也符合条件.
（1）请把104写成496的不同约数之和；
（2）不能写成496的不同约数之和的最小正整数是多少？
【答案】（1） 104＝62＋31＋8＋2＋1 （2） 993
【解答】（1） 496＝31×16，所以，104＝62＋31＋8＋2＋1
（2）496＝31×16，因此496的约数有1，2，4，8，16，1×31，2×31，
4×31，8×31，16×31。
其所有约数的和为：
1＋2＋4＋8＋16＋1×31＋2×31＋4×31＋8×31＋16×31＝31＋31×31＝992。
对于小于992的任何一个正整数，都可以表示成n＝31×k＋r，其中0≤k，r≤31，将k和r分别用二进制表示，可知31×k可以表示成1×31，2×31，4×31，8×31，16×31中若干个数之和，r可以表示成1，2，4，8，16中若干个数之和。
因此n＝31×k＋r一定可以表示成496的若干个互不相同的约数之和。
又993比496的所有约数之和还要大，因此它不能写成496的不同约数之和，
故所求最小正整数就是993。
例7.用a、b、c、d、e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果（ade）5、（adc）5、（aab）5是由小到大排列的连续正整数，那么（cde）5所表示的整数写成十进制的表示是多少？
【答案】108
【解答】通过分析，得到c＝4，d＝1，e＝3。
（413）5＝4×52＋1×5＋3＝108。
例8.三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的.那么符合这样要求的等差数列有多少个？
【答案】6
【解答】将6化成五进制数，就是11.因为这3个数的数字和是依次减少的，这就是说要找到1个五进制数，它加上1个11后有进位，再加1个11后还有进位.
，说明每一个两位数化成五进制数后最多只有3位.那么进位只可能在
个位和十位.
由此我们可以找到两种符合要求的数：a24、a43.在这两种数中，a都有3种选择0、1、2.所以一共有6个符合要求的等差数论。