麦克斯韦速率分布

速率分布函数为：
麦克斯韦速率分布概率密度
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
即分子处于速率 v 附近单位速
率区间内的概率
⑵ N个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在
v ~ v+dv间的平均分子数等于：
dN Nf (v)dv 4 N (
m
)
3 2

dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
则图中每一细长条面积均表示
ΔS ΔN N
单位时间内射出的分子束中。 分子速率介于相应速率区间的
概率∆N/N
v v Δv
v 当∆v→0 时，得到一条光滑曲
线，称分子束速率分布曲线
F(v) ~ v
F (v) dN Ndv
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv

vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
分子间的碰撞是处于平衡态的气体分子具有确定速率分布的原因。
3. 称概率密度取极大值时的速率为最概然速率vp，也称最可几速率
df (v) 0 dv v p

vp
2kT m

2RT Mm
vp
意义： 若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间，
则在最可几速率vp所在区间中分子数所占比率最大。
3. 称概率密度取极大值时的速率为最
分子速率分布 f (v)dv dN dv 不相等。
Ndv
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
1. 麦氏速率分布：
早在1859年，英国物理学家麦克斯韦由概率论、统计力学确定了气体按速率 分布的统计规律，即麦克斯韦速率分布，有3种表述方法：
⑴ 具有N个分子的气体处于平衡态(P,V,T)时，以容器为参考系的
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
即从速度选择器射出被探测器探得的分子数
N
(总分子数 )
N
则在总分子中分子速率介于
(v~vv的分子数 )
v ~ v+∆v 的分子的概率为：
Pv v v

N N
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：
F (v) dN N dv
相应地，分子速率介于v ~ v+dv的概率即为：
dPvvdv F(v)dv
dN dv N dv
在总分子中分子速率介于v ~ v+∆v
的分子的概率为：Pv v v
N
N
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：F (v) dN
N dv
分子速率介于v ~ v+dv的概率即为： dPvvdv F(v)dv
§2.3 麦克斯韦速率分布
平衡态时， t

1 m v2 2

3 kT 2
v2 3 kT



t,
v2 是只决定于温度的物理量
m
任意分子任意时刻的动能、速率各不相同，在很大范围内变动。
可见：由于分子间的频繁碰撞，任一分子在任一瞬时所具有 的速度是完全偶然的，但是由大量分子组成的整体（每个分子具 有某种速度这个偶然事件的集合）在一定温度下，就表现为其速 度或速率平方的平均值是确定的常数。
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
⑶ N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v ~ v+dv
间的分子占总分子数N的百分比（概率）
dN f (v)dv 4 (
m
3
)2
exp(
mv
2
)
v
2dv
N
2 kT
2kT
概率
2. 麦氏速率分布函数曲线：
⑴ v (0,) 但速率很大 或很小的分子数较少
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
这里仅介绍朗缪尔的实验
1. 分子束 又称分子射线。
A 平衡态 S
S1
S2
由于气体分子热运动，会有少部分气体分子从S 缝中逸出， 但因数量较少，并不影响A中气体分子所处的平衡态。
逸出气体分子带有容器中气体分子运动性质的信息。
测出逸出分子的速率分布，即可得到容器内气体分子随速 率的分布情况。但二者不相等。
这是一种统计规律性的反映。 根据平均值的意义，这种统计规律可以由气体分子按速率 的概率分布来描述， 即著名的麦克斯韦分布率。
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麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
·1873年，他的《电磁学通论》问世，
dS dN dv Ndv
dPvvdv
当∆v→0 时，得到一条
光滑曲线，称分子束速率分
布曲线 F (v) ~ v
v
v
v dv
其中在速率区间v ~ v+dv的细条面积，
4. 说明：
表示分子速率介于速率区间v ~ v+dv的概率
分子束速率分布F (v) ~ v 与真空加热炉中的金属蒸汽
0 f (v)dv 1 说明麦氏速率分布是规一化的
二、几点说明：
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
1. v (0,) ,实际上任何物体的运动速率都不会超出真空中的光速
麦氏分布中取0~∞可以简化计算。
2. 只有当定量气体处于平衡态时，分子才有按速率的确定分布。 因而麦氏分布适用于平衡态气体。