人教B版高中数学必修一 2.函数的单调性PPT全文课件
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数学必修Ⅰ人教新课标B版2-1-3函数单调性课件(35张)
【解析】 (1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对 定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变 量.
(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”. (3)×.反例：f (x)＝－－12，，xx∈∈12，，23]，. 【答案】 (1)× (2)× (3)×
1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间 要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要 用“，”隔开，如本例(3).
[再练一题] 1.函数f (x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________. 【导学号： 60210039】 【解析】 因为函数f (x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f (x) 的单调减区间为(a，＋∞). 【答案】 (a，＋∞)
1.增函数与减函数的定义 x2，改设变函量数yΔ＝x＝f (xx2)－的x定1>义0 域，为则A，当区间ΔyM＝⊆f (Ax2，)－如f果(x1取)>区0 间时M，中就的称任函意数两y＝个f值(xx)1在， 区间M上是增函数，如图2-1-4(1)；当Δy＝f (x2)－f (x1)<0 时，就称函数y＝f (x)在
阶
阶
段
段
1
3
2.1.3 函数的单调性
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义.(重点) 2.掌握定义法判断函数单调性的步骤.(重点) 3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法).(难点)
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
《函数的单调性》课件新人教B版必修.ppt
举例：二次函数： y x2
在(-∞,0)上是__减__函数 在(0,+∞)上是_增___函数
y4
1
-2 -1 0 1 2 x
注意自变量x的任意性
例：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间 上， y=f(x)是增函数还是减函数。
(0,+∞) k>0
y=k/x
k<0
增函数
[−b/2a,+∞) a>0
y=ax2+bx+c
a<0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
增函数
课堂小结
1. 增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号 下结论
布置作业
正确答案：增区间为：[-2，1]，[3，5] 减区间为：[-5，-2]，[1，3]
增区间：[-2，1]，[3，5] 减区间：[-5，-2]，[1，3]
。
增区间：[-2，1]，[3，5]
减区间：[-5，-2]，[1，3]
增区间：[-2，0]，（0，1]，
[3，5]
。
减区间：[-5，-2]，[1，3]
所以函数f(x)=2x+1在（-， ）上是增函数
1x
例2
证明函数
f
(x)
1 x
在区间
（0,+∞）和（-∞，0)上分别是
减函数.
分析：利用定义进行证明，思 考书写步骤
结
证明：设x1, x2是（-，0）内的任意两个不相等的负实数，
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的单调性【精品课件】
x
则称 y f (x) 在 I 上是增函数(也称在 I 上单调递增)，
(1) y
如图（1）所示；
f (x1)
(2)
如果对任意 x1, x2 I ，当 x1
x2 时，都有
f (x1)
f ( x ) ， f (x2) 2
O
x1
x2
x
则称 y f (x) 在 I 上是减函数(也称在 I 上单调递减)，
（1）当 a
0 时，
f
x
在
,
b 2a
上单调递_____，在
b 2a
,
上单调递
_____，函数没有最_____值，但有最____值________________；
（2）当 a
0 时，
f
x
在
,
b 2a
上单调递_____，在
b 2a
,
上单调递
_____，函数没有最_____值，但有最____值_________________.
f
x2
x2
f x1
x1
,
则：
（1） y f x 在 I 上是增函数的充要条件是 y 0 在 I 上恒成立；
x
（2） y f x 在 I 上是减函数的充要条件是 y 0 在 I 上恒成立.
x
定义：
一般地，当 x1 x2 时，称
f f x2 f x1
x
x2 x1
为函数 y f (x) 在区间x1, x2 x1 x2时或x2, x1 x2 x1时 上的平均变化率.
x
想一想：能否说 f x 2 在定义域内是增函数？为什么？
x
新知提炼：
(1)单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的 定义域。因此，单调性是函数的局部性质.
人教B版函数的单调性全文课件PPT1
值随着 _增___大____ ．
2．f (x) = -x+1
① 从左至右图象上升还是下降 _下__降___? ②在区间（__-_∞_，__+__∞_）___ 上，随着x的增大，f (x)的值 随着 __减__小____ ．
3．f (x) = x2
①在区间 __(_-_∞_,_0_]_____ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _减___小____ ． ② 在区间 _（__0_，__+__∞_）___ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _增__大_____ ．
人教B版函数的单调性全文课件PPT1【 PPT教 研课件 】
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（3）判断函数
f (x)x2 2x 的单调性。
y
解：根据图像可知， f (x)在(, 1]单调递减
f(x)x22x
在 [1, )上 单 调 递 增 。 1
o
2x
归纳： 函数 yax2bxc(a0)的单调性
例2. 指出下列函数的单调区间：
y
2
(1)y7x2 (2)y2x4
解：(1 )y 7 x 2 的 单 调 增 区 间 是 (,)
2 7
o
x
(2 )y 2 x 4 的 单 调 减 区 间 是 (,) y
4
归纳：函数 ykxb(k0)的单调性
o2
x
ykxb单调增区间 单调减区间
k>0 (,)
k<0
(,)
O
x
是 单 调 减 函 数 ?
解：y1x的单调减区间是(____,_0_)_, _(0_,____)
没有单调增区间
思考y 2：函x1 数的y单调增x1 区的间单是调区(间 是,0)什(,么0, ？ )
2．f (x) = -x+1
① 从左至右图象上升还是下降 _下__降___? ②在区间（__-_∞_，__+__∞_）___ 上，随着x的增大，f (x)的值 随着 __减__小____ ．
3．f (x) = x2
①在区间 __(_-_∞_,_0_]_____ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _减___小____ ． ② 在区间 _（__0_，__+__∞_）___ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _增__大_____ ．
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（3）判断函数
f (x)x2 2x 的单调性。
y
解：根据图像可知， f (x)在(, 1]单调递减
f(x)x22x
在 [1, )上 单 调 递 增 。 1
o
2x
归纳： 函数 yax2bxc(a0)的单调性
例2. 指出下列函数的单调区间：
y
2
(1)y7x2 (2)y2x4
解：(1 )y 7 x 2 的 单 调 增 区 间 是 (,)
2 7
o
x
(2 )y 2 x 4 的 单 调 减 区 间 是 (,) y
4
归纳：函数 ykxb(k0)的单调性
o2
x
ykxb单调增区间 单调减区间
k>0 (,)
k<0
(,)
O
x
是 单 调 减 函 数 ?
解：y1x的单调减区间是(____,_0_)_, _(0_,____)
没有单调增区间
思考y 2：函x1 数的y单调增x1 区的间单是调区(间 是,0)什(,么0, ？ )
人教B版高中数学必修一第二章2.1.3 函数的单调性(共23张PPT)
四、小结：
1、函数单调性的定义； 2、判定函数单调性： （1）方法：图象法，定义法； （2）定义法步骤：取值，作差变形， 定号，下结论。
五、作业：
(一)课本：p52习题2-1A 6 (二)预习并思考 用定义证明较复杂的函数单调性；
同学们再见！
Y=f(x)
-2
-5
-1
1
2
4
x
y
Y=f(x)
-2 -5 -1 1 2 4 x
解： y=f(x)的单调区间有[－5，－2），[ －2，1），[1，3），[3，5]。 其中在[－5，－2）,[1，3）上是减函数； 在[－2，1）， [3，5）上是增函数。
例2：（1）已知f(x)为R上的减函数，则满足 a f( - 2 )>f(1)的实数a的取值范围是什么？
y
y=f(x) f(x2) f(x1)
0
x1
x2
x
如果对于区间M内的任意 两个值，当△x=x2-x1>0时 ，都有△y=f(x2)-f(x1)<0,那 么就说 y f ( x) 在这个区间 M上是单调减函数；
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
0
x1
x2
x
2单调性和单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减 函数，则就说函数在这一区间具有单调性， 这一区间叫做函数的单调区间.
函数 图象
y=
k>0
k x
(k≠0)
y =kx+b (k≠0) y=ax2+bx+c
k<0
k>0
k<0
a<0
a>0
定义 域 值域
(-∞,0) ∪(0,+ ∞) (-∞,0) ∪(0,+ ∞)
人教B版高中数学必修一 《函数的单调性》函数的概念与性质PPT课件(第1课时单调性的定义与证明)
12
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0， ＋∞)上均为增函数，故选D.]
13
3．函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、
最大值分别是( )
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函 数．
27
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解] 先画出 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图像，如图．
28
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增 区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
19
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式 乘积的形式.
20
1．证明：函数y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1.
21
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x1＋x11－xx22＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数．
45
3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是： (1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出 最值； (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的 意义求出最值； 4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解 题意识．
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0， ＋∞)上均为增函数，故选D.]
13
3．函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、
最大值分别是( )
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函 数．
27
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解] 先画出 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图像，如图．
28
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增 区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
19
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式 乘积的形式.
20
1．证明：函数y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1.
21
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x1＋x11－xx22＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数．
45
3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是： (1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出 最值； (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的 意义求出最值； 4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解 题意识．
【新教材】新人教B版 高中数学必修一 函数的单调性 课件(51张)
确定函数单调性的 4 种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调 区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要 分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同 增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1，3]上是增函数 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2 解析：选 C.根据题图提供的信息可知选 C.
(教材习题改编)若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是
(教材习题改编)已知函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2，6]，则 f(x)的
最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数 f(x)＝x－2 1在[2，6]上为减函数，所以 f(x)max
＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.
答案：2
2 5
确定函数的单调性(区间) (高频考点) 函数单调性的判断、证明及单调区间的求法是每年高考的热 点，特别是导数的引入，使函数单调性成为每年必考内容．主 要命题角度有： (1)求函数的单调区间； (2)判断或证明函数的单调性．
所以 a＝1.
(2)f(x)＝x＋1x在区间(1，＋∞)上是增函数．
证明如下：设 1＜x1＜x2，
则
f(x1)
－
f(x2)
＝
x1
－
x2
＋
高中数学人教B版必修一课件2.1.3函数的单调性
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x1 )
O
x1
x2
x
函数f(x)在给定 区间上为增函数。
y
y f ( x)
f ( x1 )
在给定区间上任取 x1 , x 2 ,
x1 x 2
x
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x2 )
O
x1
x2
函数f (x)在给定 区间上为减函数。
•
•
函数单调性简单性质总结
①函数y=f(x) 在区间I上为增（减）函数，则 函数y=af(x)+b (a>0)在区间I上为增（减）函数 ②函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数， 则f(x)＋g(x)在I上为增（减）函数。
③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数， 则f(x)－g(x)在I上为增函数。
•
建立函数的目的是研究函数值与自变量的 关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经 常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变 化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际 问题.下面我们通过一组图像,开始研究函数在 这方面的一个主要性质——函数的单调性．
•
•
在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1, y1)，
④函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，且 f(x)>0,g(x)>0，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。
•
补充练习：
1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)满足
f(2+t)=f(2－t)，试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.
f(4)>f(1)>f(2)
•
f ( x1 )
O
x1
x2
x
函数f(x)在给定 区间上为增函数。
y
y f ( x)
f ( x1 )
在给定区间上任取 x1 , x 2 ,
x1 x 2
x
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x2 )
O
x1
x2
函数f (x)在给定 区间上为减函数。
•
•
函数单调性简单性质总结
①函数y=f(x) 在区间I上为增（减）函数，则 函数y=af(x)+b (a>0)在区间I上为增（减）函数 ②函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数， 则f(x)＋g(x)在I上为增（减）函数。
③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数， 则f(x)－g(x)在I上为增函数。
•
建立函数的目的是研究函数值与自变量的 关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经 常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变 化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际 问题.下面我们通过一组图像,开始研究函数在 这方面的一个主要性质——函数的单调性．
•
•
在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1, y1)，
④函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，且 f(x)>0,g(x)>0，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。
•
补充练习：
1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)满足
f(2+t)=f(2－t)，试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.
f(4)>f(1)>f(2)
•
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
高中数学人教B版必修一课件2.1.3a-b函数单调性
上的单调性;并证明区间( -，0 )上的单调性
例3.判断函数y=x2 2 x 2,在-1，8的单调性， 并证明
练习： 1.证明y= x在定义域上是增函数
2.证明y=x3在定义域上是增函数
3.证明a 0时,f ( x ) ax2 bx c在 b , )上是减函数 2a
y2
B
y1
A
y x1 x2 x
O x1
x2 x
一般地,设函数y=f ( x )的定义域A，区间M A.
取x1 , x2 M ,改变量x=x2 -x1 0 ,则
当y=f(x ) f(x )=y y 0时，
2
1
2
1
就称函数y=f(x)在区间M
上是_增__函__数__.
u=g(x)；那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函
数y=f(x)和u=g(x)的复合函数。
其中u是中间变量，自变量为x，因变量y。
复合函数与构造函数的单调性
①若f与g的单调性相同，则f[g(x)]为__增_函__数__； ②若f与g的单调性相反，则f[g(x)]为__减__函__数_；.
函数
当y=f(x ) f(x )=y y 0时，
2
就1 称函2 数y1=f(x)在区间M上是__减__函__数_.
其中M称为_单__调__区__间__, 若是增函数M称为＿单＿调＿递＿增＿区＿间＿＿ 若是减函数M称为＿单＿调＿递＿减＿区＿间＿＿
例1下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x) 的图像，根据图像说出y=f(x)的单调区间，以及 在每个单调区间上y=f(x)是增函数还是减函数？
y随自变量 y随自变量 y随自变量增大 增大而增大 增大而减小 先减小再增大
例3.判断函数y=x2 2 x 2,在-1，8的单调性， 并证明
练习： 1.证明y= x在定义域上是增函数
2.证明y=x3在定义域上是增函数
3.证明a 0时,f ( x ) ax2 bx c在 b , )上是减函数 2a
y2
B
y1
A
y x1 x2 x
O x1
x2 x
一般地,设函数y=f ( x )的定义域A，区间M A.
取x1 , x2 M ,改变量x=x2 -x1 0 ,则
当y=f(x ) f(x )=y y 0时，
2
1
2
1
就称函数y=f(x)在区间M
上是_增__函__数__.
u=g(x)；那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函
数y=f(x)和u=g(x)的复合函数。
其中u是中间变量，自变量为x，因变量y。
复合函数与构造函数的单调性
①若f与g的单调性相同，则f[g(x)]为__增_函__数__； ②若f与g的单调性相反，则f[g(x)]为__减__函__数_；.
函数
当y=f(x ) f(x )=y y 0时，
2
就1 称函2 数y1=f(x)在区间M上是__减__函__数_.
其中M称为_单__调__区__间__, 若是增函数M称为＿单＿调＿递＿增＿区＿间＿＿ 若是减函数M称为＿单＿调＿递＿减＿区＿间＿＿
例1下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x) 的图像，根据图像说出y=f(x)的单调区间，以及 在每个单调区间上y=f(x)是增函数还是减函数？
y随自变量 y随自变量 y随自变量增大 增大而增大 增大而减小 先减小再增大
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3函数的单调性》课件
关系来说明上升或降落趋势吗？
函数y=x2随自变量x的增大函数值y 是怎样变化的？ y
y x2
f (x)
xO
x
函数y=x2随自变量x的增大函数值y
是怎样变化的？ y
y x2
f (x)
xO
x
函数y=x2随自变量x的增大函数值y
是怎样变化的？ y
y x2
f (x)
xO
x
函数y=x2随自变量x的增大函数值y
上是增函数.
（×）
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
典例探究
题型一、用图像法找函数的单调区间
例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图 象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单 调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
[-5,-2) y [-2,1)
[1,3)
f(x)
图像在该区间内逐渐上升 图像在该区间内逐渐降落
当x的值增大时,函数值y也增大 当x的值增大时,函数值y却减小
函数为该区间上的增函数
函数为该区间上的减函数
探索发现
y
y x2
f (x2 )
f (x1)
O x1 x2
x
通过之前的视察与研究，你能总结出增函数与减函数的定义吗？ y y
f(x2)
f(x1) f(x1)
例2、证明函数 f (x) 2x 1在（- ， ）上是增函数 .
证明函数单调性的步骤有哪些?
主要步骤
1. 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2
2. 作差. y f (x2 ) f (x1)
3. 变形.（通分，因式分解和配方）
4. 定号.判断差f(x1)－f(x2)的正负
函数y=x2随自变量x的增大函数值y 是怎样变化的？ y
y x2
f (x)
xO
x
函数y=x2随自变量x的增大函数值y
是怎样变化的？ y
y x2
f (x)
xO
x
函数y=x2随自变量x的增大函数值y
是怎样变化的？ y
y x2
f (x)
xO
x
函数y=x2随自变量x的增大函数值y
上是增函数.
（×）
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
典例探究
题型一、用图像法找函数的单调区间
例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图 象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单 调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
[-5,-2) y [-2,1)
[1,3)
f(x)
图像在该区间内逐渐上升 图像在该区间内逐渐降落
当x的值增大时,函数值y也增大 当x的值增大时,函数值y却减小
函数为该区间上的增函数
函数为该区间上的减函数
探索发现
y
y x2
f (x2 )
f (x1)
O x1 x2
x
通过之前的视察与研究，你能总结出增函数与减函数的定义吗？ y y
f(x2)
f(x1) f(x1)
例2、证明函数 f (x) 2x 1在（- ， ）上是增函数 .
证明函数单调性的步骤有哪些?
主要步骤
1. 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2
2. 作差. y f (x2 ) f (x1)
3. 变形.（通分，因式分解和配方）
4. 定号.判断差f(x1)－f(x2)的正负
人教B版高中数学必修一PPT全文课件-2.函数的单调性
如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单 调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上 具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的。
人教B版高中数学必修一PPT全文课件- 2.函数 的单调 性【完 美课件 】
人教B版高中数学必修一PPT全文课件- 2.函数 的单调 性【完 美课件 】
x1－x2 x1＋ x2.
∵x1－x2＝－Δx<0， x1＋ x2>0，Δy<0. ∴f(x)＝－ x在[0，＋∞)上是减函数.
小结：
{ 1、单调函数
增函数 减函数
{ 单调区间
单调增区间 单调减区间
{ （重点 函数在某个区间上是增函数，这个区间叫做函数的单调增区间； 函数在某个区间上是减函数，这个区间叫做函数的单调减区间
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是 y
单调增函数；
函数单调性是针对某个区间而言的， 是一个局部性质;
o
y x2
x
人教B版高中数学必修一PPT全文课件- 2.函数 的单调 性【完 美课件 】
人教B版高中数学必修一PPT全文课件- 2.函数 的单调 性【完 美课件 】
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是 增函数；
N
M
I x1 x2
区间I内随着x的增大，y也增大
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 <)，
人教B版高中数学必修一PPT全文课件- 2.函数 的单调 性【完 美课件 】
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x1－x2 x1＋ x2.
∵x1－x2＝－Δx<0， x1＋ x2>0，Δy<0. ∴f(x)＝－ x在[0，＋∞)上是减函数.
小结：
{ 1、单调函数
增函数 减函数
{ 单调区间
单调增区间 单调减区间
{ （重点 函数在某个区间上是增函数，这个区间叫做函数的单调增区间； 函数在某个区间上是减函数，这个区间叫做函数的单调减区间
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是 y
单调增函数；
函数单调性是针对某个区间而言的， 是一个局部性质;
o
y x2
x
人教B版高中数学必修一PPT全文课件- 2.函数 的单调 性【完 美课件 】
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判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是 增函数；
N
M
I x1 x2
区间I内随着x的增大，y也增大
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 <)，
高中数学人教B版必修一2..函数的单调性精品课件
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 ＜ xx 2 x2x 10 时，都有 f (y x1 )＜f(fx (2 x)2 )，f(x 1 ) 0 那么就说 函数f(x)在区间M上是减函数.
如果函数y=f(x)在区间M上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性， 区间M叫做函数f(x)的单调区间.
•
例3、证明：函数f(x)= 上分别是减函数.
1 x
在区间(-∞,0)和(0,+∞)
例4.（1）已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区 间(-∞,4]上是减函数，求实数a的范围。
（2）已知函数g(x)在R上是单调减函数 且g(t)>g(1-2t)，求实数t的范围。
课堂小结
1. 增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：
yf(x2)f(x1)0那么就说函数f(x) 在区间M上是减函数.
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
高中数学人教B版必修一2.1.3.函数的 单调性 课件
高中数学人教B版必修一2.1.3.函数的 单调性 课件
反比例函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是__减__函数
y
1 -2 -1
f
(
x
)
1 x
O 1 2x
-1
问:能否说 y
1 x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
高中数学人教B版必修一2.1.3.函数的 单调性 课件
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函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数 在(0,+∞)上是__减__函数
如果函数y=f(x)在区间M上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性， 区间M叫做函数f(x)的单调区间.
•
例3、证明：函数f(x)= 上分别是减函数.
1 x
在区间(-∞,0)和(0,+∞)
例4.（1）已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区 间(-∞,4]上是减函数，求实数a的范围。
（2）已知函数g(x)在R上是单调减函数 且g(t)>g(1-2t)，求实数t的范围。
课堂小结
1. 增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：
yf(x2)f(x1)0那么就说函数f(x) 在区间M上是减函数.
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
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反比例函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是__减__函数
y
1 -2 -1
f
(
x
)
1 x
O 1 2x
-1
问:能否说 y
1 x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
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函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数 在(0,+∞)上是__减__函数
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？
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
人教B版高中数学必修一 2.函数的单调性PPT全文课件【完美课件 】
人教B版高中数学必修一 2.函数的单调性PPT全文课件【完美课件 】
y
图象在区间I逐渐上升
f(x2)
f(x1) O
N
M
I x1 x2
区间I内随着x的增大，y也增大
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函那么就说在f(x)这个区间上是单调
-2 -1
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a的单0调)性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a的单调0性)
成果交流
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c 单调增区间
单调减区间
a>0
b 2a
,
,
b 2a
a<0
ห้องสมุดไป่ตู้
,
b 2a
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 <)，
义 那么就说 f (x)在区间I上
是单调增函数I 称，为 f (x)的单调
（难点）
谢谢
7.证明函数 f(x)＝－ x在定义域上是减函数．
[证明] 易知 f(x)＝－ x的定义域为[0，＋∞)．
设 x1，x2 是[0，＋∞)内的任意两个实数，且 x1<x2，则
Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－ x2－(－ x1)＝ x1－ x2
＝
x1－ x2 x1＋
x1＋ x2
x2＝
● 1 小的性质，我们称单调性。
●
x
-4 -3 -2 -1 o
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y
10
8
6
4
2
I
O -2
2
4
6
81 0
1 2
1 4
16 1 8
20 2 2
24 x
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y
f(x2) f(x1)
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判断1：函数 f (x)= x2 在, 是 y
单调增函数；
函数单调性是针对某个区间而言的， 是一个局部性质;
o
y x2
x
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1、粗描函数y=x2在[0，+∞）的图象，观察 当x的值由0逐渐增大时，函数y的变化情况。
x01234…
y 0 1 4 9 16 …
y
16
●
观察得出：函数y=x2
图象在[0，+∞）上
9
●
，随着x值的逐渐增
4
●
大y值也逐渐增大,
人教B版高中数学必修一 2.函数的单调性PPT全文课件【完美课件 】
数，I称为f(x)的单调 区增间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
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单调区间
人教B版高中数学必修一 2.函数的单调性PPT全文课件【完美课件 】
如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单 调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上 具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的。
1● ●
图像上升。
o 1234 x
2、粗描函数y=x2在（-∞，0]的图象，观察当 x的值由-∞逐渐增大时，函数y的变化情况。
x … -4 -3 -2 -1 0
y … 16 9 4 1 0
y
●
16 观察得出：函数y=x2
图象在（-∞，0]上，随
●
9
着x值的逐渐增大y值逐
渐减小，图像下降。
●
4
函数在某个区间上增大或减
x1－x2 x1＋ x2.
∵x1－x2＝－Δx<0， x1＋ x2>0，Δy<0. ∴f(x)＝－ x在[0，＋∞)上是减函数.
小结：
{ 1、单调函数
增函数 减函数
{ 单调区间
单调增区间 单调减区间
{ （重点 函数在某个区间上是增函数，这个区间叫做函数的单调增区间； 函数在某个区间上是减函数，这个区间叫做函数的单调减区间
例1.判断函数 y 1x在(0，＋∞)单调 区间上的单调性，并给出证明。
y
y1 x
x
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用定义证明单调性
主要步 骤 1. 取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差：f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
x
y k (k 0) 的单调区间 x
yk x
k 0
k 0
单调增区间
单调减区间 (, 0) ， (0, )
(, 0) ， (0, )
例3.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y x2 2. y x2 +2的单调增区间是__(____,_0; ]
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0__,___. )
4．若函数xf1与(xx)2是的R大上小的关减系函是数_，__且__f_(_x_1．)<f(x2)，则
[答案] x1>x2
[解析] 根据减函数的定义可知，x1>x2.
5．证明函数 f(x)＝1＋x x在(－1，＋∞)上是增函数．
[证明] 设 x1、x2∈(－1，＋∞)，且 x1<x2， ∴Δx＝x1－x2<0， ∴Δy＝f(x1)－f(x2)＝1＋x1x1－1＋x2x2 ＝1＋xx11－·1x2＋x2.
例2. 指出下列函数的单调区间：y 1
x
y
y1 x
解：y 1 的单调减区间是_(_____,_0__)_, __(_0, )
x
O
x
没有单调增区间
思考1：
能不能说y
1 x
在定义域(,
0)
(0, )上
是单调减函数?
思考2：函数
y
1
的单调区间是什么？
x
y
1
的单调增区间是
x
(,0),(0,)
归纳： y k (k在 0) 和, 0 上的单0调,性？
＝2在[－2,4]上不具有单调性．
x23，．且对x于1<函x2，数使y＝f(fx(1x))<，f(在x2给)成定立区，间则内y有＝两f(个x)值( x1，)
A．一定是增函数
B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
[答案] D
[解析] 由函数单调性的定义可知，判断单调性时不 能用特殊值代替任意值，故选D.
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是
()
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝x1
D．y＝－x2＋4
[答案] A
2．函数f(x)＝2在[－2,4]上的单调性为( )
A．减函数 B．增函数 C．先减后增 D．不具备单调性
[答案] D [解析] 当x∈[－2,4]时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)
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判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数
； 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函 数 f (x)在R上是增函数；
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b 2a
,
返回
成果运用
若二次函数
。
f (x) x2 在区ax间 4 上单调递增，,1求a的取值范围
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 的对a称x 轴为4
,
由图象可知只要
x ， 即a 1 a 即可. 2
2
xa 2
判断函数f（x）=2x+1在R上的 单调性 ，并给出证明。
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是 增函数；
x 1, x 2 取值的任意性
y
f(2)
f(1) O 1 2x
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2.1.3 函数的单调性
知识目标：
理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；能够根 据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
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y
图象在区间I逐渐上升
f(x2)
f(x1) O
N
M
I x1 x2
区间I内随着x的增大，y也增大
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函那么就说在f(x)这个区间上是单调
-2 -1
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a的单0调)性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a的单调0性)
成果交流
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c 单调增区间
单调减区间
a>0
b 2a
,
,
b 2a
a<0
ห้องสมุดไป่ตู้
,
b 2a
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 <)，
义 那么就说 f (x)在区间I上
是单调增函数I 称，为 f (x)的单调
（难点）
谢谢
7.证明函数 f(x)＝－ x在定义域上是减函数．
[证明] 易知 f(x)＝－ x的定义域为[0，＋∞)．
设 x1，x2 是[0，＋∞)内的任意两个实数，且 x1<x2，则
Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－ x2－(－ x1)＝ x1－ x2
＝
x1－ x2 x1＋
x1＋ x2
x2＝
● 1 小的性质，我们称单调性。
●
x
-4 -3 -2 -1 o
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y
10
8
6
4
2
I
O -2
2
4
6
81 0
1 2
1 4
16 1 8
20 2 2
24 x
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y
f(x2) f(x1)
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判断1：函数 f (x)= x2 在, 是 y
单调增函数；
函数单调性是针对某个区间而言的， 是一个局部性质;
o
y x2
x
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1、粗描函数y=x2在[0，+∞）的图象，观察 当x的值由0逐渐增大时，函数y的变化情况。
x01234…
y 0 1 4 9 16 …
y
16
●
观察得出：函数y=x2
图象在[0，+∞）上
9
●
，随着x值的逐渐增
4
●
大y值也逐渐增大,
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数，I称为f(x)的单调 区增间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
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单调区间
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如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单 调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上 具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的。
1● ●
图像上升。
o 1234 x
2、粗描函数y=x2在（-∞，0]的图象，观察当 x的值由-∞逐渐增大时，函数y的变化情况。
x … -4 -3 -2 -1 0
y … 16 9 4 1 0
y
●
16 观察得出：函数y=x2
图象在（-∞，0]上，随
●
9
着x值的逐渐增大y值逐
渐减小，图像下降。
●
4
函数在某个区间上增大或减
x1－x2 x1＋ x2.
∵x1－x2＝－Δx<0， x1＋ x2>0，Δy<0. ∴f(x)＝－ x在[0，＋∞)上是减函数.
小结：
{ 1、单调函数
增函数 减函数
{ 单调区间
单调增区间 单调减区间
{ （重点 函数在某个区间上是增函数，这个区间叫做函数的单调增区间； 函数在某个区间上是减函数，这个区间叫做函数的单调减区间
例1.判断函数 y 1x在(0，＋∞)单调 区间上的单调性，并给出证明。
y
y1 x
x
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用定义证明单调性
主要步 骤 1. 取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差：f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
x
y k (k 0) 的单调区间 x
yk x
k 0
k 0
单调增区间
单调减区间 (, 0) ， (0, )
(, 0) ， (0, )
例3.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y x2 2. y x2 +2的单调增区间是__(____,_0; ]
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0__,___. )
4．若函数xf1与(xx)2是的R大上小的关减系函是数_，__且__f_(_x_1．)<f(x2)，则
[答案] x1>x2
[解析] 根据减函数的定义可知，x1>x2.
5．证明函数 f(x)＝1＋x x在(－1，＋∞)上是增函数．
[证明] 设 x1、x2∈(－1，＋∞)，且 x1<x2， ∴Δx＝x1－x2<0， ∴Δy＝f(x1)－f(x2)＝1＋x1x1－1＋x2x2 ＝1＋xx11－·1x2＋x2.
例2. 指出下列函数的单调区间：y 1
x
y
y1 x
解：y 1 的单调减区间是_(_____,_0__)_, __(_0, )
x
O
x
没有单调增区间
思考1：
能不能说y
1 x
在定义域(,
0)
(0, )上
是单调减函数?
思考2：函数
y
1
的单调区间是什么？
x
y
1
的单调增区间是
x
(,0),(0,)
归纳： y k (k在 0) 和, 0 上的单0调,性？
＝2在[－2,4]上不具有单调性．
x23，．且对x于1<函x2，数使y＝f(fx(1x))<，f(在x2给)成定立区，间则内y有＝两f(个x)值( x1，)
A．一定是增函数
B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
[答案] D
[解析] 由函数单调性的定义可知，判断单调性时不 能用特殊值代替任意值，故选D.
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是
()
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝x1
D．y＝－x2＋4
[答案] A
2．函数f(x)＝2在[－2,4]上的单调性为( )
A．减函数 B．增函数 C．先减后增 D．不具备单调性
[答案] D [解析] 当x∈[－2,4]时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)
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判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数
； 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函 数 f (x)在R上是增函数；
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b 2a
,
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成果运用
若二次函数
。
f (x) x2 在区ax间 4 上单调递增，,1求a的取值范围
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 的对a称x 轴为4
,
由图象可知只要
x ， 即a 1 a 即可. 2
2
xa 2
判断函数f（x）=2x+1在R上的 单调性 ，并给出证明。
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是 增函数；
x 1, x 2 取值的任意性
y
f(2)
f(1) O 1 2x
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2.1.3 函数的单调性
知识目标：
理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；能够根 据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。