不等式知识点及题型总结

不等式

一、知识点：

1. 实数的性质：

0>-⇔>b a b a ；0<-⇔

2. 不等式的性质：

性 质

内 容

对称性 a b b a >⇔<，a b b a <⇔>． 传递性 a b >且b c a c >⇒>．

加法性质 a b a c b c >⇒+>+；a b >且c d a c b d >⇒+>+．

乘法性质 ,0a b c ac bc >>⇒>；0a b >>，且00c d ac bd >>⇒>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈⇒>；0,n n a b n N a b *>>∈⇒>．

倒数性质 11,0a b ab a b

>>⇒

<．

3. 常用基本不等式：

条 件

结 论 等号成立的条件

a R ∈

20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2

2

2a b ab +≥，2()2

a b ab +≤，

22

2()22a b a b ++≥ a b =

0,0>>b a

基本不等式： 2a b ab +≥

常见变式：

2≥+b a a b ； 21

≥+a

a a

b =

0,0>>b a

22112

2

2b a b a ab b a +≤

+≤≤+ a b =

4.利用重要不等式求最值的两个命题：

命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=

时，和a ＋b 有最小值2

.

命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2

s

时，积ab 有最大值42s .

注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积

为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.

5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有

结论：ax 2+bx+c>0⇔2

040

a a

b a

c >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2

+bx+c<0⇔2

040

a a

b a

c <⎧=⎨

-<⎩或检验 6. 绝对值不等式

（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}； ｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。 （2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-

7. 不等式证明方法：

基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法

特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

例：解下列不等式：

(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；

(3)

2210x x -+<；

(4)

2220x x -+<．

解：(1)方程2

7120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120

x x -+>的解集是{|

34}x x x <>或．

(2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2

230x x +-≤．

方程2

230x x +-=的解为123,1x x =-=．

根据

223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．

△ △>0 △=0 △<0

图象

ax 2+bx+c=0的解

x=x 1或x=x 2

x=x 1=x 2=-b/2a

无实数解

ax 2+bx+c>0解集 {x ︱xx 2} {x ︱x ≠x 1 } R

ax 2+bx+c<0解集 {x ︱x 1

(3)方程2

210x x -+=有两个相同的解121x x ==．

根据

221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为∅．

(4)因为0∆<，所以方程2

220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集

为∅．

练习1. （1）解不等式

073

<+-x x ；（若改为307

x x -≤+呢？） （2）解不等式

23

17

x x -<+；

解:(1)原不等式⎩

⎨⎧>-<+⎩⎨

⎧<->+⇔03,

0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<<

(该题后的答案:{|73}x x -<≤).

(2)

10

07

x x -<+即{|710}x x ∴-<<.

8、最值定理

设x 、y 都为正数，则有

⑴ 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵ 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值” 注意：一正、二定、三相等

几种常见解不等式的解法 重难点归纳

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题

(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法

(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法

(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法

(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论

典型题例示范讲解

例1：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(