人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结

第四章圆与方程4.1 圆得方程4.1、1 圆得标准方程1.以(3,－1)为圆心,4为半径得圆得方程为()A.(x＋3)2＋(y－1)2＝4B.(x－3)2＋(y＋1)2＝4C.(x－3)2＋(y＋1)2＝16D.(x＋3)2＋(y－1)2＝162.一圆得标准方程为x2＋(y＋1)2＝8,则此圆得圆心与半径分别为()A.(1,0),4B.(－1,0),2 2C.(0,1),4D.(0,－1),2 23.圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2得圆心为________,半径为________.4.若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上,则a得值就是________.5.以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切得圆得方程就是____________________.6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)得圆得方程为()A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝17.一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1),圆心在直线x－3y－10＝0上,求此圆得方程.8.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1得内部,则a得取值范围就是()A.|a|＜1B.a＜113C.|a|＜1 5D.|a|＜1139.圆(x－1)2＋y2＝25上得点到点A(5,5)得最大距离就是__________.10.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A,B两点,且弦AB得长为 2 3,求a得值.4、1、2 圆得一般方程1.圆x2＋y2－6x＝0得圆心坐标就是________.2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2,－4)为圆心,以4为半径得圆,则F＝________、3.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则k得取值范围就是()A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤14.已知圆得方程就是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0,则下列直线中通过圆心得就是()A.3x＋2y＋1＝0B.3x＋2y＝0C.3x－2y＝0D.3x－2y＋1＝05.圆x2＋y2－6x＋4y＝0得周长就是________.6.点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0得内部,则a得取值范围就是()A.－1<a <1B.0<a <1C.－1<a <15D.－15<a <17.求下列圆得圆心与半径. (1)x 2＋y 2－x ＝0;(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0); (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0、8.过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0得弦,其中弦长为整数得共有( ) A.16条 B.17条 C.32条 D.34条9.已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动,点P 为连接M (4,－3)与点A 得线段得中点,求P 得轨迹方程.10.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆. (1)求t 得取值范围; (2)求圆得圆心与半径;(3)求该圆得半径r 得最大值及此时圆得标准方程.4.2 直线、圆得位置关系 4.2、1 直线与圆得位置关系1.直线y ＝x ＋3与圆x 2＋y 2＝4得位置关系为( ) A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.下列说法中正确得就是( )A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切B.与半径垂直得直线与圆相切C.过半径外端得直线与圆相切D.过圆心且与切线垂直得直线过切点3.若直线x ＋y ＝2与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切,则m 得值为( )A 、12B 、22C 、 2 D.24.(2013年陕西)已知点M (a ,b )在圆O :x 2＋y 2＝1外,则直线ax ＋by ＝1与圆O 得位置关系就是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定5.经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5得切线,则切线方程为( ) A 、2x ＋y ＝5 B 、2x ＋y ＋5＝0 C.2x ＋y ＝5 D.2x ＋y ＋5＝06.(2013年浙江)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得得弦长等于________.7.已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得得弦长为8,求k 得值.8.由直线y ＝x ＋1上得一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线,则切线长得最小值为( ) A.1 B.2 2 C 、7 D.39.已知圆C :(x －2)2＋(y －3)2＝4,直线l :(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8、 (1)证明:无论m 为何值,直线l 与圆C 恒相交; (2)当直线l 被圆C 截得得弦长最短时,求m 得值.10.已知圆C:x2＋y2－8y＋12＝0,直线l∶ax＋y＋2a＝0、(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB＝2 2时,求直线l得方程.4、2、2 圆与圆得位置关系1.已知两圆得方程x2＋y2＝4与x2＋y2－6x＋8y＋16＝0,则此两圆得位置关系就是()A.外离B.外切C.相交D.内切2.圆x2＋y2＋2x＋1＝0与圆x2＋y2－y＋1＝0得公共弦所在直线方程为()A.x－2y＝0B.x＋2y＝0C.2x－y＝0D.2x＋y＝03.已知直线x＝a(a>0)与圆(x＋1)2＋y2＝9相切,那么a得值就是()A.2B.3C.4D.54.两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0得公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条5.已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,－1),两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上,则m＋c得值就是()A.－1B.2C.3D.06.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0得交点为AB,则线段AB得垂直平分线方程为()A.x＋y－1＝0B.2x－y＋1＝0C.x－2y＋1＝0D.x－y＋1＝07.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)得公共弦长为2 3,求实数a得值.8.两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25与(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切,则半径r＝____________、9.已知两圆C1:x2＋y2－10x－10y＝0与C2:x2＋y2＋6x－2y－40＝0,求:(1)它们得公共弦所在直线得方程;(2)公共弦长.10.已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0、(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切,求a得值.4、2、3 直线与圆得方程得应用1.方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示得圆()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x－y＝0对称D.关于直线x＋y＝0对称2.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切,则m为()A.0或2B.2C、 2 D.无解3.过原点得直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切,若切点在第三象限,则该直线方程为()A.y＝3xB.y＝－3xC.y＝3 3xD.y＝－3 3x4.若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离,则点P (a ,b )与圆得位置关系就是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能5.圆x 2＋y 2－4x －4y －1＝0上得动点P 到直线x ＋y ＝0得最小距离为( ) A.1 B.0C.2 2D.2 2－36.过点P (2,1)作圆C :x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a ＋1＝0得切线只有一条,则a 得取值就是( ) A.a ＝－3 B.a ＝3 C.a ＝2 D.a ＝－27.与圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0相切且在两坐标轴上得截距相等得直线有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条8.设圆x 2＋y 2－4x －5＝0得弦AB 得中点P (3,1),则直线AB 得方程为____________.9.若实数x ,y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3,那么yx得最大值为( )A 、12B 、33C 、32D 、 310.已知圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3).(1)若点P (a ,a ＋1)在圆上,求线段PQ 得长及直线PQ 得斜率; (2)若M 为圆C 上任一点,求|MQ |得最大值与最小值;(3)若实数m ,n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0,求k ＝n －3m ＋2得最大值与最小值.4、3 空间直角坐标系 4.3、1 空间直角坐标系1.点P (－1,0,1)位于( ) A.y 轴上 B.z 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内2.在空间直角坐标系中,点(－2,1,4)关于x 轴得对称点得坐标就是( ) A.(－2,1,－4) B.(－2,－1,－4) C.(2,－1,4) D.(2,1,－4)3.点P (－4,1,3)在平面yOz 上得投影坐标就是( ) A.(4,1,0) B.(0,1,3) C.(0,3,0) D.都不对4.在空间直角坐标系中,点P (1,2,3),过点P 作平面yOz 得垂线PQ 垂足为Q ,则Q 得坐标为( )A.(0,2,0)B.(0,2,3)C.(1,0,3)D.(1,2,0)5.点(2,－3,0)在空间直角坐标系中得位置就是在( ) A.y 轴上 B.xOy 平面上 C.xOz 平面上 D.第一象限内6.设x,y为任意实数,相应得点P(x,y,3)得集合就是()A.z轴上得两个点B.过z轴上得点(0,0,3),且与z轴垂直得直线C.过z轴上得点(0,0,3),且与z轴垂直得平面D.以上答案都有可能7.点A(1,－3,2)关于点(2,2,3)得对称点得坐标为()A.(3,－1,5)B.(3,7,4)C.(0,－8,1)D.(7,3,1)8.已知点A(3,y,4),B(x,4,2),线段AB得中点就是C(5,6,z),则x＝______,y＝______,z＝________、9.点P(2,3,5)到平面xOy得距离为________.10.如图K4-3-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,|PD|＝2b,取各侧棱得中点E,F,G,H,试建立适当得空间直角坐标系,写出点E,F,G,H得坐标.图K4-3-14.3、2 空间两点间得距离公式1.在空间直角坐标系中,点A(2,1,5)与点B(2,1,－1)之间得距离为()A、 6 B.6C、 3 D.22.坐标原点到下列各点得距离最大得就是()A.(1,1,1)B.(2,2,2)C.(2,－3,5)D.(3,3,4)3.已知A(1,1,1),B(－3,－3,－3),点P在x轴上,且|P A|＝|PB|,则点P得坐标为()A.(－3,0,0)B.(－3,0,1)C.(0,0,－3)D.(0,－3,0)4.设点B就是A(－3,2,5)关于xOy平面得对称点,则|AB|＝()A.10 B、10C.2 10D.405.已知空间坐标系中,A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB得中点为M,线段CM得长|CM|＝()A、534B、532C、532D、1326.方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36得几何意义就是____________________________.7.已知点A在y轴上,点B(0,1,2),且|AB|＝5,求点A得坐标.8.以A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7)为顶点得三角形就是________三角形.9.已知点A(x,5－x,2x－1),B(1,x＋2,2－x),当|AB|取最小值时,x得值为________.10.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)与B(1,0,－3),问:(1)在y轴上就是否存在点M,满足|MA|＝|MB|;(2)在y轴上就是否存在点M,使△MAB为等边三角形？若存在,试求出点M得坐标.第四章 圆与方程4.1 圆得方程4.1、1 圆得标准方程 1.C 2、D3.(－2,2) |m | 4、±5 5、(x ＋2)2＋(y －1)2＝26.A 解析:方法一(直接法):设圆心坐标为(0,b ),则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1,解得b ＝2,故圆得方程为x 2＋(y －2)2＝1、方法二(数形结合法):作图由点到圆心得距离为1,易知圆心为(0,2),故圆得方程为x 2＋(y －2)2＝1、7.解:方法一:设圆心P (a ,b ), 则⎩⎪⎨⎪⎧a －3b －10＝0(a －5)2＋b 2＝(a ＋2)2＋(b －1)2解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3、圆得半径r ＝(a －5)2＋b 2＝(1－5)2＋(－3)2＝5、 ∴圆得标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25、方法二:线段AB 得中点P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫5－220＋12,即P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3212、直线AB 得斜率k ＝1－0－2－5＝－17、∴弦AB 得垂直平分线得方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32, 即7x －y －10＝0、解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －10＝07x －y －10＝0得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－3、即圆心P (1,－3).圆得半径r ＝(1－5)2＋(－3)2＝5、∴圆得标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25、 8.D9、41＋510.解:∵弦AB 得长为2 3,则由垂径定理,圆心(1,2)到直线得距离等于1,∴|a －2＋3|a 2＋1＝1,∴a ＝0、4.1、2 圆得一般方程 1.(3,0) 2、4 3.B 4、A5.2 13π6.A7.解:(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14,圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120,半径r ＝12、 (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2,圆心(－a,0),半径r ＝|a |、(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2,圆心(0,－a ),半径r ＝1＋a 2、8.C 解析:圆得标准方程就是:(x ＋1)2＋(y －2)2＝132,圆心(－1,2),半径r ＝13、过点A (11,2)得最短得弦长为10,最长得弦长为26(分别只有一条),还有长度为11,12,…,25得各2条,所以共有长为整数得弦2＋2×15＝32(条).9.解:设点P 得坐标为(x ,y ),A 得坐标为(x 0,y 0).∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上,∴有2x 0－3y 0＋5＝0、又∵P 为MA 得中点,∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－3＋y 02、∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋3、代入直线得方程,得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0, 化简,得2x －3y －6＝0即为所求. 10.解:(1)由圆得一般方程,得[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0,解得－17<t <1、(2)圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－2(t ＋3)2－2(1－4t 2)2,即(t ＋3,4t 2－1),半径r ＝12[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)＝－7t 2＋6t ＋1、(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167, 所以当t ＝37时,r max ＝4 77,故圆得标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167、 4.2 直线、圆得位置关系 4.2、1 直线与圆得位置关系 1.D 2、D 3、D4.B 解析:点M (a ,b )在圆O :x 2＋y 2＝1外,有a 2＋b 2>1,圆心到直线ax ＋by ＝1得距离为d ＝1a 2＋b2<1＝r ,所以直线与圆O 相交.5.C 解析:因为点(2,1)在圆x 2＋y 2＝5上,所以切线方程为2x ＋y ＝5、6.4 5 解析:圆(x －3)2＋(y －4)2＝25,圆心(3,4)到直线2x －y ＋3＝0得距离为d ＝|6－4＋3|5＝5,弦长等于252－(5)2＝4 5、 7.解:设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得得弦长为AB ,其中点为C ,则△OCB 为直角三角形.因为圆得半径为|OB |＝5,半弦长为|AB |2＝|BC |＝4,所以圆心到直线kx －y ＋6＝0得距离为3、由点到直线得距离公式得6k 2＋1＝3、解得k ＝±3、 8.C9.(1)证明:由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8, 得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8,即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0、 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －7＝02x ＋y －8＝0解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝2、∴无论m 为何值,直线l 恒过定点(3,2).(2)解:过圆内得一点得所有弦中,最长得弦就是过该点得直径,最短得弦就是垂直于过该点得直径得那条弦,∵圆心(2,3),定点(3,2),直径得斜率为－1, ∴最短得弦得斜率为1,故最短弦得方程为x －y －1＝0、∴m ＝－1、10.解:将圆C 得方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方,得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4,则此圆得圆心为(0,4),半径为2、(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4＋2a |a 2＋1＝2、解得a ＝－34、故当a ＝－34时,直线l 与圆C 相切.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意与圆得性质,得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1CD 2＋DA 2＝AC 2＝22DA ＝12AB ＝2解得a ＝－7或a ＝－1、∴直线l 得方程就是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0、 4.2、2 圆与圆得位置关系 1.B 2、D 3、A4.C 解析:圆化为标准方程,得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4,(x ＋2)2＋(y －2)2＝9,∴圆心O 1(2,－1),r 1＝2,O 2(－2,2),r 2＝3、∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2,∴两圆外切.∴公切线有3条.5.D 6、A7.解:由已知两个圆得方程可得相交弦得直线方程为y ＝1a、利用圆心(0,0)到直线得距离d＝⎪⎪⎪⎪1a ,得⎪⎪⎪⎪1a ＝22－(3)2＝1,解得a ＝1或a ＝－1(舍). 8.5－2 29.解:(1)将两圆方程C 1:x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2:x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减,得2x ＋y －5＝0、∴公共弦所在直线得方程为2x ＋y －5＝0、(2)圆C 1:x 2＋y 2－10x －10y ＝0得标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50,圆心为(5,5),半径为5 2,圆心到直线2x ＋y －5＝0得距离为2 5,根据勾股定理与垂径定理,知公共弦长为2 30、 10.(1)证明:将圆得方程整理,得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0,此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0得交点得圆系,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝204x －2y －20＝0得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－2、故对任意实数a ,该圆恒过定点(4,－2). (2)解:圆得方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2、 ①若两圆外切,则2＋5(a －2)2＝5a 2,解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍);②若两圆内切,则|5(a －2)2－2|＝5a 2,解得a ＝1－55,或a ＝1＋55(舍).综上所述,a ＝1±55、4.2、3 直线与圆得方程得应用1.D 解析:该圆得圆心(－a ,a ),在直线x ＋y ＝0上,故关于直线x ＋y ＝0对称.2.B 解析:圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0得距离d ＝|m |2＝m ,m ＝2、3.C4.C 解析:由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离,则1a 2＋b2>1,即a 2＋b 2<1,∴P 在圆内. 5.C 6、A7.A 解析:过原点得直线也满足条件. 8.x ＋y －4＝09.D 解析:方法一:∵实数x ,y 满足(x －2)2＋y 2＝3, ∵记P (x ,y )就是圆(x －2)2＋y 2＝3上得点, yx就是直线OP 得斜率,记为k 、∴直线OP :y ＝kx ,代入圆得方程,消去y ,得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0、直线OP 与圆有公共点得充要条件就是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0,∴－3≤k ≤3、方法二:同方法一,直线OP 与圆有公共点得条件就是|k ·2－0|k 2＋1≤3,∴－3≤k ≤3、10.解:(1)∵点P (a ,a ＋1)在圆上,∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0、 解得a ＝4,∴P (4,5).∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210,k PQ ＝3－5－2－4＝13、(2)∵圆心坐标C 为(2,7),半径为2 2, ∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2、 ∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2, |MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2、(3)设点(－2,3)得直线l 得方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0,方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0, 即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆.易知直线l 与圆方程相切时,k 有最值, ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2、∴k ＝2±3、∴k ＝n －3m ＋2得最大值为2＋3,最小值为2－3、4.3 空间直角坐标系 4.3、1 空间直角坐标系1.C 解析:点P 得y 轴坐标为0,则点P 在平面xOz 上.2.B 解析:点P (a ,b ,c )关于x 轴得对称点为P ′(a ,－b ,－c ).3.B 4、B 5、B 6、C 7、B8.7 8 3 9、510.解:由图知,DA ⊥DC ,DC ⊥DP ,DP ⊥DA ,故以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.∵E ,F ,G ,H 分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面EFGH ∥底面ABCD ,从而这4个点得竖坐标都为P 得竖坐标得一半,也就就是b 、由H 为DP 得中点,得H (0,0,b ).E 在底面ABCD 上得投影为AD 得中点,∴E (a,0,b ).同理G (0,a ,b ).F 在坐标平面xOz 与yOz 上得投影分别为点E 与G ,故F 与E 得横坐标相同,都就是a ,点F 与G 得纵坐标也同为a ,又F 得竖坐标为b ,故F (a ,a ,b ).4.3、2 空间两点间得距离公式1.B 2、C 3、A 4、A 5、C6.以点(12,－3,5)为球心,半径长为6得球7.解:由题意设A (0,y,0),则(y －1)2＋4＝5,得y ＝0或y ＝2,故点A 得坐标为(0,0,0)或(0,2,0).8.直角 解析:因为|AB |2＝9,|BC |2＝9＋36＝45,|AC |2＝36,所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2,所以△ABC 为直角三角形.9、87解析:|AB | ＝(x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57, 故当x ＝87时,|AB |取得最小值. 10.解:(1)假设在y 轴上存在点M ,满足|MA |＝|MB |、设M (0,y,0),由|MA |＝|MB |,可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32、显然,此式对任意y ∈R 恒成立.∴y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |、(2)假设在y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形.由(1)可知,y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |,∴只要满足|MA |＝|AB |,就可以使得△MAB 就是等边三角形. ∵|MA |＝10＋y 2,|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20,∴10＋y 2＝20,解得y ＝±10、故y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形,点M 得坐标为(0,10,0)或(0,－10,0).。