高中数学必修一第三章知识点总结

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第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函))((D x x f y ∈=0)(=x f x 数的零点。

))((D x x f y ∈=2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数
)(x f y =0)(=x f 的图象与轴交点的横坐标。

)(x f y =x 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0)(=x f ⇔)(x f y =x ⇔有零点．
)(x f y =3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根；○10)(=x f （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起○2)(x f y =来，并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数仅有一个零点。

(0)y kx k =≠②反比例函数没有零点。

(0)k
y k x
=
≠③一次函数仅有一个零点。

(0)y kx b k =+≠④二次函数．
)0(2
≠++=a c bx ax y （1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有2
0(0)ax bx c a ++=≠x 两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有2
0(0)ax bx c a ++=≠x 一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，2
0(0)ax bx c a ++=≠x 二次函数无零点．
⑤指数函数没有零点。

(0,1)x
y a a a =>≠且⑥对数函数仅有一个零点1.
log (0,1)a y x a a =>≠且⑦幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。

y x α
=0n >0n ≤5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成
()f x ，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数）
，这另()0f x =12,y y 个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。

()f x 6、选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。

(),a b ()()0f a f b <7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:①在区间(),a b ()f x 上连续，且②在区间上单调。

()()0f a f b <(),a b 8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使的实数；
0)(=x f
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
)(x f x 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；)(x f 0x x =x 0x 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．)(x f 0x x =x 0x 9、二分法的定义
对于在区间，上连续不断，且满足的函数
[a ]b ()()0f a f b ⋅<，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，
)(x f y =)(x f 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：()f x （1）确定区间，，验证，给定精度；[a ]b ()()f a f b ⋅0<ε（2）求区间，的中点；(a )b 1x （3）计算：
1()f x ①若=，则就是函数的零点；
1()f x 01x ②若<，则令=（此时零点）；
()f a ⋅1()f x 0b 1x 01(,)x a x ∈③若<，则令=（此时零点）；
1()f x ⋅()f b 0a 1x 01(,)x x b ∈（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或
ε||a b ε-<a ）；否则重复步骤（2）~（4）．
b 11、二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零()f a ()f b 0<点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
13、函数的模型
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14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠二次函数模型：2
()(0);g x ax bx c a =++≠幂函数模型：12
()(0);
h x ax b a =+≠指数函数模型：（＞0，）
()x l x ab c =+0,a b ≠1b ≠利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型。