上海初二下学期数学函数压轴题
2020-2021学年下学期沪教版八年级数学压轴题集第十一讲动点求函数解析式
第十一讲动点求函数解析式【要点导航】函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想.由于某--个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系.这种变化关系就是动点问题中的函数关系.这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系,并根据实际情况确定自变量的取值范围.【典型例题】【例1】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，在射线AC、CB上分别有两个动点M、N，且AM= BN，联结MN交AB于点P。
(1)如图1所示，当点M在边AC(与点A、C不重合)上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。
(2)当点M在射线AC上，若设AM=x，BP=y，求y与x的函数关系式及定义域。
(3)过点M作直线AB的垂线，垂足为Q，随着点M、N的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定.请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由。
图1利用线段和差建立函数关系式.【例2】如图2所示, 在长方形ABCD中，AB= 8，AD= 6，点P、Q分别是AB边和CD 边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP= CQ，设AP= x，BE= y.(1)线段PQ的垂直平分线与BC边相交，设交点为点E，求y与x的函数关系式及x取值范围.(2)在(1)的条件下，是否存在x使△PQE为直角三角形? 若存在，请求出x的值；若不存在,请说明理由.图2方法点晴应用勾股定理建立函数解析式.1. (★★)如图3所示，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC交BC边于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点为E、F 两点，延长EB、FC相交于点G ，证明四边形AEGF是正方形。
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题四(教师版)
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题四例2020年上海市青浦区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x－4分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点C(－1, 0)．点D在第四象限，BD⊥BA．（1）求直线BC的解析式；（2）当S△ABD＝4S△BOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点E在x轴上，点F在直线BC上．如果以C、D、F、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段OE的长．图1动感体验打开几何画板文件名“20青浦24”，可以体验到，以C、D、F、E为顶点的平行四边形存在三种情况．满分解答（1）由y＝x－4，得A(4, 0)，B(0,－4)．设直线BC的解析式为y＝kx－4（k≠0）．代入点C(－1, 0)，得－k－4＝0．解得k＝－4．所以直线BC的解析式为y＝－4x－4．（2）如图2，在Rt△AOB中，AO＝BO＝4，所以AB＝42ABO＝45°．作DH⊥y轴于点H．因为BD⊥BA，所以△BDH为等腰直角三角形．又因为S△ABD＝4S△BOC，所以11422⋅=⨯⋅AB BD OB OC．所以114244122⨯=⨯⨯⨯BD．解得BD＝2在等腰直角三角形△BDH中，BH＝DH 2＝2．所以D(2,－6)．图2（3）线段OE的长为12或52．思路如下：以CE为分类标准，分两种情况讨论．①如图3，当CE为平行四边形的边时，DF//CE//x轴．所以y F＝y D＝－6．将y＝－6代入y＝－4x－4，得x＝12．所以F(12,－6)．所以CE＝DF＝2－12＝32．当点E在点C右侧时，OE＝CE－OC＝12．当点E在点C左侧时，OE＝CE＋OC＝52．②如图4，当CE为平行四边形的对角线时，D、F两点在x轴的两侧，到x轴的距离相等．所以y F＝－y D＝6．将y＝6代入y＝－4x－4，得x＝52-．所以F(52-,－6)．作DM⊥x轴于M，作FN⊥x轴于N．由ME＝CN，得2－x E＝(－1)－5 ()2 -．解得x E＝12．所以OE＝12．图3 图4例2020年上海市青浦区初二下学期期末第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝23，BD⊥DC．M、N分别是AD、CD的中点，联结MN交BD于点Q，点P在线段BQ上．（1）求∠C的度数；（2）求线段DQ的长；（3）联结PM、PN．设PB＝x，△PMN的面积为y，求y关于x的函数关系式．图1动感体验打开几何画板文件名“20青浦25”，可以体验到，图中的直角三角形都是含有30°角的直角三角形．拖动点P在BD上运动，可以体验到，△PMN的面积可以表示为两个同底三角形的面积之和，这两个同底三角形的高都是定值．满分解答（1）如图2，因为AD＝AB，所以∠1＝∠2．因为AD∥BC，所以∠2＝∠3．所以∠1＝∠2＝∠3．设∠1＝∠2＝∠3＝α．因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠C＝∠ABC＝2α．在Rt△DBC中，3α＝90°．解得α＝30°．所以∠C＝2α＝60°．（2）如图3，因为M、N分别是AD、CD的中点，AD＝AB＝DC＝23，所以DM＝DN＝3．因为∠MDN＝30°＋90°＝120°，所以∠DMN＝∠DNM＝30°．在Rt△QDN中，DN＝3，设DQ＝m，那么QN＝2m．由勾股定理，得DN2＋DQ2＝QN2．所以3＋m2＝(2m)2．解得m＝±1（舍去负值）．所以DQ＝1．（3）如图2，在Rt△BCD中，∠3＝30°，DC＝23，所以BC＝43，BD＝6．如图4，作MH⊥BD于H．在Rt△MHD中，∠MDH＝30°，DM＝3，所以MH＝12DM＝3．当点P在线段BQ上时，PQ＝BD－PB－DQ＝6－x－1＝5－x．所以y＝S△PMN＝S△MPQ＋S△NPQ＝1()2PQ MH DN⋅+＝13(5)(3)2x-⨯+＝33(5)-x．图2 图3 图4例2020年上海市世外初二下学期期末第24题如图1，平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(－1, 0)、B(0,－2)，顶点C、D 在反比例函数第一象限的图像上，边AD与y轴交于点E．（1）过点D作y轴的平行线交BC于点F，过点C作CH⊥DF，垂足为H，若点D的坐标为(a, b)，求点C点坐标（用a、b表示）．（2）若四边形BCDE的面积是△ABE的面积的5倍，求反比例函数的解析式．图1动感体验打开几何画板文件名“20世外24”，可以体验到，△AEB与△CDF全等，平行四边形BEDF 与△ABE有公共的底边BE，所以面积比可以转化为高之比．满分解答（1）如图2，因为DC//AB，DC＝AB，所以点D按照由A到B的方向平移，就可以得到点C．因为点A(－1, 0)向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点B(0,－2)，所以点D(a, b)平移后得到点C的坐标为(a＋1, b－2)．（2）如图2，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，AD＝BC，AD//BC．又因为DF//EB，所以四边形BEDF是平行四边形．所以EB＝DF，ED＝BF．所以AE＝CF．所以△AEB≌△CFD（SSS）．所以S△AEB＝S△CFD．若S四边形BCDE＝5S△ABE，那么S平行四边形BEDF＝4S△ABE．所以1=42⋅⨯⋅DBE x BE OA．所以x D＝2OA＝2，即a＝2．所以D(2, b)，C(3, b－2)．设反比例函数的解析式为=kyx（k≠0）．将点D(2, b)、C(3, b－2)代入，得23(2)=⎧⎨-=⎩b kb k，．解得612=⎧⎨=⎩bk，．所以反比例函数的解析式为12=yx．图2例2020年上海市世外初二下学期期末第25题如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5．点P是边AD上一点，联结CP，将四边形ABCP沿CP所在直线翻折，落在四边形EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．（1）当AP＝2时，求PG的值；（2）如果AP＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结BP并延长与线段CF交于点M，当△PGM是以MG为腰的等腰三角形，求AP的长．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20世外25”，拖动点P在AD上运动，可以体验到，△GPC保持等腰三角形的形状不变，当△PGM是等腰三角形时，△BCM也是等腰三角形．观察函数图像，可以体验到，y随x的增大而增大．满分解答（1）如图2，因为AD//BC，所以∠1＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3．所以GP＝GC．在Rt△DCG中，DC＝2，设GC＝GP＝m，那么GD＝AD－AP－PG＝5－2－m＝3－m．由勾股定理，得DC2＋GD2＝GC2．所以22＋(3－m)2＝m2．解得m＝136．所以PG＝136．（2）如图2，在Rt△DCG中，DC＝2，PG＝CG＝5－y，所以GD＝AD－AP－GP＝5－x－(5－y)＝y－x．由勾股定理，得DC2＋GD2＝GC2．所以22＋(y－x)2＝(5－y)2．整理，得y＝221 210--xx．定义域是0＜x≤3．当x＝3时，G、D两点重合．（3）分两种情况讨论以MG为腰的等腰三角形PGM．①如图3，当MG＝MP时，梯形PBCG是等腰梯形，此时AP＝GD．所以x＝y－x，即2x＝y．所以2212210xxx-=-．解得11037+=x（舍），21037-=x．所以1037-=AP．②如图4，当GM＝GP时，CM＝CB＝5，此时F、M两点重合．又因为CP平分∠BCF，根据等腰三角形的“三线合一”，可知CP⊥BF．于是可证PG是Rt△MPC斜边上的中线．所以GM＝12MC＝52．即y＝221210--xx＝52．解得x1＝4（舍），x2＝1．所以AP＝1．图2 图3 图4例2020年上海市松江区初二下学期期末第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BC＝2AD，点E是BC边的中点，AE、BD相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）设边CD的中点为G，联结EG，求证：四边形FEGD是矩形．图1动感体验打开几何画板文件名“20松江25”，拖动点A运动，可以体验到，四边形AECD始终是平行四边形，四边形ABED始终是菱形，四边形FEGD始终是矩形．满分解答（1）如图2，因为点E是BC边中点，所以BC＝2EC＝2BE．因为BC＝2AD，所以AD＝EC＝BE．又因为AD∥BC，所以四边形ABED和四边形AECD是都平行四边形．（2）如图2，因为AD＝AB，所以平行四边形ABED是菱形．所以BD⊥AE，BD＝2DF．如图3，因为EG是△BCD的中位线，所以EG//BD，BD＝2EG．所以EG＝DF，四边形FEGD是平行四边形．已知BD⊥AE，所以平行四边形FEGD是矩形．图2 图3例2020年上海市松江区初二下学期期末第26题如图1，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E为线段AC上一点（点E不与A、C重合），联结DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）求证：DE＝EF；（2）联结CG、EG，设AE＝x，△ECG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）设EG、CD相交于点H，如果△EDH是等腰三角形，求线段AE的长．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20松江26”，拖动点E在AC上运动，观察左图，可以体验到，四边形DEFG和四边形MNPQ都是正方形，图中的四个直角三角形全等．观察右图，可以体验到，△ECG是直角三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点E在AC上运动，可以体验到，△EDH的每个顶点各有一次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）如图2，构造矩形DEFG的外接矩形MNPQ，MN⊥AD．所以四边形MNCD和四边形PQDC是矩形．因为∠3和∠1都与∠2互余，根据同角的余角相等，得∠3＝∠1．又因为MD＝NC＝NE，所以△DME≌△ENF（AAS）．所以DE＝EF．图2 图3（2）如图2，因为AD＝MQ，所以AM＝DQ＝CP．又因为PG＝ME，AM＝ME，等量代换，得CP＝PG．所以△CPG是等腰直角三角形，CG＝AE．所以∠ECG＝90°．在正方形ABCD中，AB＝2，所以AC＝22已知AE＝x，所以EC＝AC－AE＝22x，CG＝AE＝x．如图3，y＝S△ECG＝12⋅EC CG＝1(22)2⋅x x2122-x x．定义域是0＜x＜22（3）在正方形DEFG中，∠DEH＝45°，分三种情况讨论等腰三角形EDH．①如图4，当DE＝DH时，点A与点E重合，舍去．②如图5，当HD＝HE时，△DEH是等腰直角三角形，点E是AC的中点．所以AE＝12AC＝2．③如图6，当ED＝EH时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°．在△CDE中，∠DCE＝45°，∠EDC＝67.5°，所以∠CED＝67.5°．所以CE＝CD＝2．所以AE＝AC－CE＝222-．图4 图5 图6 例2020年上海市杨浦区初二下学期期末第25题如图1，已知在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数kyx=（k≠0）在第一象限内的图像交于点A(m, 2)，将直线y＝2x平移后与kyx=在第一象限内的图像交于点B，且△AOB的面积为2．（1）求k的值；（2）求平移后的直线表达式．图1动感体验打开几何画板文件名“20杨浦25”，拖动点B在反比例函数的图像上运动，观察左图，可以体验到，△AOP与△AOB是同底等高的两个三角形．观察右图，可以体验到，△AOB的面积与梯形AHGB的面积相等．满分解答（1）将A(m, 2)代入y＝2x，得2m＝2．解得m＝1．所以A(1, 2)．将A(1, 2)代入kyx=，得k＝2．（2）如图2，设平移后的直线与y轴交于点P，联结AP．因为△AOP与△AOB是同底等高的两个三角形，所以S△AOP＝S△AOB＝2．所以122⋅=AOP x．已知A(1, 2)，所以OP＝4．①如图2，当点P在x轴上方时，P(0, 4)．所以平移后的直线表达式为y＝2x＋4．②如图3，当点P在x轴下方时，P(0,－4)．所以平移后的直线表达式为y＝2x－4．图2 图3 考点延伸第（2）题△AOB的面积，还可以这样转化：如图4，如图5，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H．因为A、B两点在反比例函数2yx上，所以S△BOH＝S△AOG．所以S△AOB＝S△BOH＋S梯形AGHB－S△AOG＝S梯形AGHB＝2．图4 图5例2020年上海市杨浦区初二下学期期末第26题已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC//DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝23，当△AED是直角三角形时，求BC的长．图1 图2 备用图动感体验打开几何画板文件名“20杨浦26”，拖动点E运动，观察左图，可以体验到，△ABC、△AEC与△CDA保持全等，ED与AC平行．观察右图，可以体验到，直角三角形AED存在两种情况．满分解答（1）如图3，因为△ABC≌△AEC，△ABC≌△CDA，所以△AEC≌△CDA．根据全等三角形对应边上的高相等，可知E、D两点到AC边的距离相等．所以AC//DE．（2）如图4，因为AD//BC，所以∠1＝∠2．又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3．所以OA＝OC．在Rt△ODC中，DC＝3，设OA＝OC＝x，那么OD＝BC－OA＝6－x．由勾股定理，得DC2＋OD2＝OC2．所以3＋(6－x)2＝x2．解得x＝36．所以OA＝OC＝36．所以S△OAC＝113692322⋅=⨯⨯=OA DC．图3 图4（3）分两种情况讨论直角三角形AED．①如图5，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于点G．因为AD//BC，所以∠EGC＝∠EAD＝90°．在Rt△AGB中，∠B＝30°，AB＝3，所以AG3在Rt△EGC中，∠AEC＝30°，EG＝AE＋AG＝23333设GC＝m，那么EC＝2m．由勾股定理，得EG2＋GC2＝EC2．所以27＋m2＝(2m)2．解得m＝±3（舍去负值）．所以BC＝EC＝2m＝6．②如图6，当∠AED＝90°时，由ED//AC，得∠BAC＝∠AED＝90°．在Rt△BAC中，∠B＝30°，AB＝23AC＝n，那么BC＝2n．由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2．所以12＋n2＝(2n)2．解得m＝±2（舍去负值）．所以BC＝2n＝4．图5 图6第（3）题如果没有题干“AD与CE交于点O”的条件限制，还存在如图7、图8两种情况．如图7，四边形ACED是矩形，在Rt△ABC中，AB＝23，AC＝3，BC＝3．如图8，在Rt△ADE中，AE＝23，AD＝2．所以BC＝2．图7 图8例2020年上海市长宁区初二下学期期末第24题如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF//BC交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．图1动感体验打开几何画板文件名“20长宁24”，拖动点D在BC上运动，可以体验到，△AEB与△ADC始终保持全等，四边形BEFC为平行四边形．满分解答如图2，因为△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB＝AC，AE＝AD，∠EAD＝∠BAC＝∠C＝∠ABC＝60°．所以∠EAD－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，即∠1＝∠2．所以△AEB≌△ADC（SAS）．所以∠ABE＝∠C＝60°．所以∠EBC＋∠C＝120°＋60°＝180°．所以EB//FC．又因为EF//BC，所以四边形BEFC为平行四边形．图2例2020年上海市长宁区初二下学期期末第25题如图1，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）联结DG，求证：DG⊥EF；（3）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域．图1动感体验打开几何画板文件名“20长宁25”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，△EAD与△FCD 始终保持全等，△EGH与△FGC始终保持全等．观察函数图像可以体验到，y随x的增大而增大．满分解答（1）如图2，由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，得△EAD≌△FCD．所以DE＝DF．图2 图3（2）如图3，作EH⊥AB交AC于点H，得等腰三角形AEH．所以EH＝AE＝CF．因为BC⊥AB，所以EH//BC．所以∠HEG＝∠CFG．又因为∠EGH＝∠FGC，所以△EGH≌△FGC．所以HG＝CG，EG＝FG．在△DEF中，DE＝DF，EG＝FG，由等腰三角形的“三线合一”，得DG⊥EF．（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，所以AC2在Rt△AEH中，AE＝HE＝x，所以AH2x．所以HG＝CG＝12CH22-x所以y＝AG＝AC－CG222-x22+x定义域是0＜x＜1．。
(完整)上海八年级数学压轴题.doc
1．已知：如图，在△ABC 中， AD 、 BE 是高， F 是 AB 的中点， FG DE ，点 G 是垂足．求证：点G 是 DE 的中点．2 OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4 0 B坐标为（2，23 ），．如图，在△，），点AB轴，点A为垂足，OH BC ，点 H 为垂足．动点 P、 Q分别从点O 、A 同时y出发，点 P 沿线段 OH 向点 H 运动，点Q沿线段 AO 向点 O 运动，速度都是每秒 1 个单位长度．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）求证：OB CB；（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；（3）当PQ OB （垂足为点M ）时，求五边形ABHPQ 的面积的值.yA BQ M HPOC x3.如图，在△ ABC中， AB=AC，点 P是 BC边上的一点， PD⊥AB 于 D，PE⊥ AC于 E，CM⊥AB于M，试探究线段 PD、PE、 CM的数量关系，并说明理由。
AMEDB P C4. 如图， Rt △ ABC中， AB=AC， A 90 ，O为BC中点。
（1）写出点 O到△ ABC三个顶点的距离之间的关系；（2）如果点 M、N分别在边 AB、AC上移动，且保持 AN=BM。
请判断△ OMN的形状，并证明你的结论。
CONA M B5．如图，点 A 的坐标为（3,0 ），点 C 的坐标为（ 0,4 ）， OABC 为矩形，反比例函数k yx的图像过 AB 的中点 D，且和 BC 相交于点 E， F 为第一象限的点， AF=12, CF =13.k和直线 OE 的函数解析式；（1）求反比例函数yx（2）求四边形 OAFC 的面积．yFC BEDOA x_6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（ 3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为 6 时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．7．已知：如图，在⊿ ABC 中，∠ C= 90°，∠ B= 30°， AC=6，点 D 在边 BC 上， AD 平分∠CAB ， E 为 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合）， EF ⊥ AB，垂足为 F ．（1）求证： AD=DB ；（2）设 CE=x ，BF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式；（3）当∠ DEF =90°时，求 BF 的长 .AFEC D B第 26题图答案1． 明：EF 、 DF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分A∵ AD 是高，∴ ADBC ，E FG∴ ADB 90o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又∵ F 是 AB 的中点，BDC∴ DF1AB (直角三角形斜 上的中 等于斜 的一半)．⋯⋯ 2 分2同理可得： EF1AB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分2∴ EF DF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 又∵ FG DE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 ∴ DGEG ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分即：点 G 是 DE 的中点．2． 解：（ 1）∵ OB222 324 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22CB 2 42 3 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 ∴ OB CB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分（2）易 ：△ OBC 等 三角形．y∵ OHBC ，AB∴ BOHHOC 30o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ AOB 30 o ．Q H点 P 作 PEOA 垂足 点 E ．EP在 Rt △ PEO 中， EPO 30o, PO t ，OCx∴ EO1PO t，由勾股定理得： PE3t ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分2 22又∵ OQ AO AQ 2 3 t ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 ∴ S1OQgPE 1 2 3 t g 3 t 6t 3t 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分22 2 4即： S3t 23t （ 0t2 3 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分42【 明】最后1 分 定 域分数．（3）易 Rt △ OAB ≌Rt △ OHB ≌ Rt △ OHC ，∴ S四边形OABH S VOAB S VOHB S VOHB S VOHC S V OBC 3OC 2 4 3 ．1分4易△ OPQ 等三角形，∴OQ OP ，即： 2 3 t t ，解得t 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴SVOPQ 3 OP 2 3 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分4 4 ∴S五边形ABHPQ S四边形 OABHSV OPQ4 33 3133 ．⋯⋯⋯⋯⋯1分4 43.解： PD+PE=CM ，明：接 AP ，∵ AB=AC ，∴ S△ABC=S △ABP+S △ACP= AB× PD+ AC× PE=× AB×（PD+PE），∵ S△ABC= AB× CM，∴ PD+PE=CM。
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题一(解析版)
例2020年上海市宝山区初二下学期期末第24题如图1，反比例函数4yx=的图像与过原点的直线y＝kx（k≠0）相交于点A、B，点A的横坐标是－4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．（1）求k的值和点B的坐标；（2）若点P的坐标是(1, 4)，且以点P、A、B、C为顶点的四边形为矩形时，写出点C 的坐标以及此时的矩形面积；（3）设点Q是动点P关于x轴的对称点，直线P A、PB与x轴分别交于点M、N，试用数学方法判断四边形PMQN是怎样的特殊四边形．图1动感体验打开几何画板文件名“20宝山24”，拖动点P在双曲线上运动，可以体验到，当点P的坐标为(1, 4)时，以A、P、B、Q为顶点的矩形只存在一种情况．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P在双曲线上运动，可以体验到，四边形PMQN始终保持菱形的形状．满分解答（1）将x＝－4代入4yx=，得y＝－1．所以A(－4,－1)．将A(－4,－1)代入y＝kx，得－1＝－4k．解得k＝14．因为点B与点A关于原点对称，所以B(4, 1)．（2）如图2，已知A(－4,－1)、B(4, 1)、P(1, 4)，所以AP2＝52＋52＝50，BP2＝32＋32＝18，AB2＝82＋22＝68．所以AP2＋BP2＝AB2．所以△ABP是直角三角形，∠APB＝90°．因此以点P、A、B、C为顶点的矩形，只存在一种情况，点C与点P关于原点对称，所以C(－1,－4)．所以S矩形P ACB＝AP∙PB＝5232＝30．图2（3）如图3，设P(m,4m)，那么Q(m,4-m)．设MN与PQ交于点G．由P(m,4m)、A(－4,－1)，得直线AP的解析式为141=+-y xm m．所以M(m－4, 0)．由P(m,4m)、B(4, 1)，得直线AP的解析式为141=-++y xm m．所以N(m＋4, 0)．所以MG＝NG＝4．所以PQ垂直平分MN．又因为P、Q两点关于x轴对称，所以MN垂直平分PQ．所以四边形PMQN是菱形．图3例2020年上海市宝山区初二下学期期末第25题如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，如果AD＝4，BC＝10，点E在线段AB上，将△BCE沿CE翻折，线段CB恰好和线段CD重合．（1）求梯形ABCD的高以及点E与点B之间的距离；（2）如图2，EF⊥CE交CD的延长线于点F，过点F作FG⊥BA于点G，求梯形ADFG 的中位线的长度；（3）动点M在线段CE上，当△DEM为等腰三角形时，求线段CM的长．图1 图2动感体验打开几何画板文件名“20宝山25”，可以体验到，△BCE与△DCE全等，△GEF与△DEF 全等．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在EC上运动，可以体验到，△DEM 的三个顶点各有一次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）如图3，过点D作DH⊥BC于H．在Rt△DHC中，DC＝BC＝10，CH＝BC－AD＝10－4＝6，所以DH＝8．如图4，在Rt△AED中，AD＝4，设AE＝x，那么ED＝EB＝AB－AE＝8－x．由勾股定理，得AE2＋AD2＝ED2．所以x2＋42＝(8－x)2．解得x＝3．所以EB＝8－x＝5．图3 图4（2）如图5，因为EF⊥CE，所以∠2＋∠3＝90°．所以∠1＋∠4＝90°．又因为∠1＝∠2，根据等角的余角相等，得∠3＝∠4．又因为∠FGE＝∠FDE＝90°，EF＝EF，所以△GEF≌△DEF．所以EG＝ED＝5．所以GA＝GE－AE＝5－3＝2．如图6，过点F作FN⊥BC于N．在Rt△FNC中，FN＝GA＋AB＝2＋8＝10，设FD＝FG＝m，那么FC＝FD＋DC＝m＋10，NC＝BC－FG＝10－m．由勾股定理，得FN2＋NC2＝FC2．所以102＋(10－m)2＝(10＋m)2．解得m＝52．所以梯形ADFG的中位线＝1()2FG AD+＝15(4)22⨯+＝134．图5 图6（3）如图7，在Rt△BCE中，BE＝5，BC＝10，所以CE＝55．分三种情况讨论等腰三角形DEM．①如图7，当EM＝ED＝5时，CM＝CE－EM＝555．②如图8，当MD＝ME时，可证得DM是Rt△DEC斜边上的中线．所以CM＝EM＝12CE＝55．③如图9，当DE＝DM时，可证得DN//AN，CM是Rt△MNC的斜边．在Rt△MNC中，MN＝DN－DM＝8－5＝3，NC＝BC－AD＝10－4＝6，所以CM＝35．图7 图8 图9上面第②、③两种情况的解题过程如下：如图8，当MD＝ME时，∠MDE＝∠MED．根据等角的余角相等，得∠MDC＝∠MCD．所以DM＝CM．所以CM＝EM＝12CE55．如图9，当DE＝DM时，∠2＝∠5．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠5．所以DM//AB．所以∠MNC＝∠B＝90°．在Rt△MNC中，MN＝DN－DM＝8－5＝3，NC＝BC－AD＝10－4＝6，所以CM＝35例2020年上海市崇明区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(2, 0)、B(0, 4)，点C为线段AB的中点，点D为x轴上的动点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）当直线CD与直线AB互相垂直时，求点D的坐标；（3）以A、C、D三点为顶点的三角形能否成为等腰三角形？若能，请直接写出D点的坐标；若不能，请说明理由．图1动感体验打开几何画板文件名“20崇明24”，拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△ACD的顶点C、D各有一次机会落在对边的垂直平分线上，顶点A有两次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋4（k≠0）．将A(2, 0)代入，得2k＋4＝0．解得k＝－2．所以直线AB的函数表达式为y＝－2x＋4．（2）如图2，因为CD垂直平分AB，所以DA＝DB．设点D(x, 0)，根据DA2＝DB2列方程，得(x－2)2＝x2＋42．解得x＝－3．所以D(－3, 0)．（3）如图3，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，所以AB＝25．图2因为点C为线段AB的中点，所以AC＝5，C(1, 2)．分三种情况讨论等腰三角形ACD．①如图3，当AD＝AC＝5时，点D坐标为(2＋5, 0)或(2－5, 0)．②如图4，当DA＝DC时，根据DA2＝DC2列方程，得(x－2)2＝(x－1)2＋22．解得x＝12-，所以D(12-, 0)．③如图5，当CA＝CD时，点C在AD的垂直平分线上，所以D(0, 0)，此时点D与点O重合．图3 图4 图5例2020年上海崇明区初二下学期期末第25题如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为边AD上一动点，把△ABP沿BP翻折后得到△EBP．（1）当点E恰好落在矩形对角线BD上时，求线段AP的长；（2）当直线PE与边BC相交于点F时，△FBP是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论；（3）当直线PE与边BC相交于点F，且点E在线段PF上时，设AP＝x，BF＝y，求y 关于x的函数解析式，并写出函数定义域．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20崇明25”，拖动点P在AD上运动，观察左图，可以体验到，当点E落在矩形对角线BD上时，△DPE是直角三角形．观察中间图，可以体验到，△FBP 始终保持等腰三角形的形状不变．观察右图，可以体验到，当点E、F两点重合时，四边形ABFP是正方形．满分解答（1）如图2，在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，所以BD＝10．在Rt△DPE中，DE＝BD－BE＝10－6＝4，设AP＝EP＝x，那么PD＝8－x．由勾股定理，得EP2＋DE2＝PD2．所以x2＋42＝(8－x)2．解得x＝3．所以AP＝3．（2）△FBP一定是等腰三角形．理由如下：如图3，因为AD//BC，所以∠1＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3．所以PF＝BF，△FBP是等腰三角形．（3）如图4，在Rt△BEF中，BE＝AE＝6，BF＝y，EF＝PF－PE＝y－x，由勾股定理，得BE2＋EF2＝BF2．所以62＋(y－x)2＝y2．整理，得y＝2362+xx．定义域是827-≤x≤6．当F、C两点重合，y＝8，解得x＝827-；当E、F两点重合时，x＝6．图2 图3 图4例2020年上海市奉贤区初二下学期期末第25题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－3x＋15交x轴于点A，交y轴于点B，点C在直线AB上，点D与点C关于原点对称，联结AD，过点C作CE∥AD交x轴于点E．（1）求点A、B坐标；（2）当点C的横坐标为2时，求点E坐标；（3）过点B作BF∥AD交直线DE于点F，如果四边形ABFD是矩形，求点C的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20奉贤25”，拖动点C在直线AB上运动，可以体验到，四边形ACED和四边形ABFD始终保持平行四边形的形状不变，矩形ABFD只存在一种情况，此时△ACD是直角三角形．满分解答（1）由y＝－3x＋15，当x＝0时，y＝15；当y＝0时，x＝5．所以A(5, 0)，B(0, 15)．（2）如图2，因为点D与点C关于原点对称，所以OC＝OD．因为CE∥AD，所以∠OCE＝∠ODA．又因为∠COE＝∠DOA，所以△COE≌△DOA．所以OE＝OA＝5．所以E(－5, 0)．也就是说，不论点C在直线AB上什么位置，点E 的位置都是确定的．（3）如图2，因为OC＝OD，OE＝OA，所以四边形ACED是平行四边形．所以AC//ED．如图3，又因为BF∥AD，所以四边形ABFD是平行四边形．如果四边形ABFD是矩形，那么∠CAD＝90°．所以AO是Rt△ACD斜边上的中线，所以OA＝OC＝OD＝5．设C(m,－3m＋15)，那么OC2＝m2＋(－3m＋15)2＝52．整理，得m2－9m＋20＝0．解得m1＝4，或m2＝5（此时点C与点A重合，舍去）．所以点C的坐标为(4, 3)．图2 图3例2020年上海市奉贤区初二下学期期末第26题如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝4，DC＝5，过点C作CE∥BD 交AD延长线于点E，联结BE交CD于点F．（1）当AB＝AD时，求BC的长；（2）设BC＝x，四边形BCED的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△BDF为直角三角形时，求BC的长．图1动感体验打开几何画板文件名“20奉贤26”，拖动点C运动，可以体验到，点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为5的圆，四边形BCED始终保持平行四边形的形状不变．点击按钮“∠DFB＝90°”，可以体验到，四边形BCED是菱形．点击按钮“∠BDF＝90°”，可以体验到，△BDC 是直角三角形．满分解答（1）如图2，作DH⊥BC于H，得到矩形ABHC和直角三角形DHC．在Rt△DHC中，DH＝AB＝AD＝4，DC＝5，所以HC＝3．所以BC＝BH＋HC＝AD＋HC＝4＋3＝7．（2）如图2，在Rt△DHC中，DC＝5，HC＝BC－BH＝x－4．由勾股定理，得DH2＝DC2－HC2＝52－(x－4)2．整理，得DH＝289-++x x．如图3，因为AE∥BC，CE∥BD，所以四边形BCED是平行四边形．所以y＝S四边形BCED＝BC∙DH＝289-++x x x．定义域是0＜x＜9．当点C落在AD的延长线上时，A、B两点重合，此时x＝BC＝AD＋DC＝4＋5＝9．图2 图3（3）分两种情况讨论直角三角形BDF．①如图4，当∠BFD＝90°时，BE垂直DC．所以四边形BCED是菱形．所以BD＝BC＝x．在Rt△DBH中，DH2＝DB2－BH2＝x2－42．在Rt△DCH中，DH2＝DC2－CH2＝52－(x－4)2．所以x2－42＝52－(x－4)2．整理，得2x2－8x－25＝0．解得1466+=x，或2466-=x（舍去）．所以BC 466+．②如图5，当∠BDC＝90°时，△BDC也是直角三角形．在Rt△DBH中，DB2＝DH2＋BH2＝52－(x－4)2＋42．在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC2＝DB2＋DC2．所以x2＝52－(x－4)2＋42＋52．整理，得x2－4x－25＝0．解得1229 =+x，或2229 =-x（舍去）．所以BC＝229+．图4 图5例2020年上海市虹口区初二下学期期末第24题如图1，一次函数y＝2x＋4的图像与x、y轴分别相交于点A、B，以AB为边作正方形ABCD，点C、D在直线AB的下方．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）设直线CD与x轴交于点E，点F为直角坐标平面xOy内一点，当四边形AECF 为等腰梯形时，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20虹口24”，可以体验到，四个直角三角形都全等，正方形ABCD 的外接矩形MNPQ也是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形存在三种情况．满分解答（1）由y＝2x＋4，得A(－2, 0)，B(0, 4)．如图2，构造正方形ABCD的外接正方形MNPQ．因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3．又因为∠M＝∠N＝90°，AB＝BC，所以△ABM≌△BCN．所以CN＝BM＝OA＝2，BN＝AM＝OB＝4．所以C(4, 2)．（2）因为CD//AB，设直线CD的表达式为y＝2x＋b．代入点C(4, 2)，得8＋b＝2．解得b＝－6．图2所以直线CD的表达式为y＝2x－6．（3）由y＝2x－6，得E(3, 0)．分两种情况讨论四边形AECF为等腰梯形．①如图3，当FC//AE时，设等腰梯形的对称轴与x轴交于点H，与FC交于点G．由A(－2, 0)、E(3, 0)，得对称轴GH为直线x＝12．所以点C(4, 2)关于直线x＝12的对称点F的坐标为(－3, 2)．②如图4，当AF//CE时，点F在直线AB上．设F(m, 2m＋4 )．根据FC2＝AE2列方程，得(m－4)2＋(2m＋4－2)2＝52．解得m1＝1，或m2＝－1（此时四边形AECF为平行四边形，舍去）．所以F(1, 6)．图3 图4 图5拓展延伸第（3）题，问题若改为以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形，则还有一种情况．如图5，EF//AC．由A(－2, 0)、C(4, 2)，得直线AC的表达式为1233=+y x．设直线EF的解析式为13=+y x b，代入E(3, 0)，得1＋b＝0．解得b＝－1．所以直线EF的解析式为113=-y x．设F(n,113-n)．根据AF2＝CE2列方程，得(n＋2)2＋(113-n)2＝12＋22．整理，得2101093+=n n．解得n1＝0，或n2＝－3（此时四边形AECF为平行四边形，舍去）．所以F(0,－1)．例2020年上海市虹口区初二下学期期末第25题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，点D是射线CB上一点（点D与点C不重合），以AD为边作等边△ADE，且点E与点C在直线AD的异侧，过点E作EF⊥AB于点F．（1）求证：△ACD≌△AFE；（2）联结BE，设CD＝x，BE＝y，当点D在线段CB上时，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△ADB为等腰三角形时，求△ADB的面积．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20虹口25”，拖动点D在CB上运动，可以体验到，△ACD与△AFE 始终保持全等．点击屏幕左下方按钮“第（3）题”，拖动点D在射线CB上运动，可以体验到，△ADB是等腰三角形存在两种情况．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，所以AC＝2，∠BAC＝60°．因为△ADE是等边三角形，所以AD＝AE，∠DAE＝60°．所以∠BAC＝∠DAE．所以∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠1＝∠2．又因为EF⊥AB，所以∠AFE＝∠C＝90°．所以△ACD≌△AFE（AAS）．图2（2）如图2，由△ACD≌△AFE，得AF＝AC＝2，FE＝CD＝x．所以FB＝AB－AF＝4－2＝2．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2＝FE2＋FB2．所以y2＝x2＋22．整理，得24y x．=+定义域是0＜x≤23．（3）分两种情况讨论等腰三角形ADB．①如图3，当点D在线段CB上时，∠ADB是钝角，只存在DA＝DB的情况，所以∠3＝∠B＝30°．因此∠1＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2，设CD＝m，那么AD＝2m．由勾股定理，得m2＋22＝(2m)2．解得m＝23±（舍去负值）．所以BD＝CB－CD＝2323-＝43．此时S△ADB＝12⋅BD AC＝43．②如图4，当点D在线段CB的延长线上时，∠ABD是钝角，只存在BA＝BD＝4的情况．此时S△ADB＝12⋅BD AC＝4．图3 图4。
上海初二下学期数学函数压轴题
1在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1） 由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2） 联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．CBP（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）D ABB3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF 的长．4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5．（1）求点C 的坐标；为常数，且（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、bk <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．AB CDOEF（第3题图）（第4题图）A BFDEG第6题图7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题三(教师版)
如图1，正方形ABCD 的边长为1，点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、CD 上（点E 、F 、G 与顶点不重合），FG ⊥BE ，垂足为H ．（1）求证：FG ＝BE ；（2）联结FE 、EG 、GB ，设AE ＝x ，S 四边形BFEG ＝y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．图1动感体验打开几何画板文件名“20静安25”，拖动点E 在AD 上运动，观察函数图像，可以体验到，y 随x 的增大而增大．拖动点E 在AD 上运动，拖动点F 在AB 上运动，可以体验到，△ABE 与△MFG 始终保持全等．满分解答（1）如图2，作FM ⊥CD 于M ，得矩形AFMD ．所以FM ＝AD ＝AB ．因为FG ⊥BE ，所以∠1＋∠BFH ＝90°．又因为∠2＋∠BFH ＝90°，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2．所以△ABE ≌△MFG ．所以FG ＝BE ．（2）如图2，在Rt △ABE 中，AE ＝x ，AB ＝1，所以222=+BE AE AB ＝21+x ．如图3，y ＝S 四边形BFEG ＝12⋅BE FG ＝212BE ＝212+x ． 定义域是0＜x ＜1．图2 图3如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 、y 轴分别交于点A 、B ，此直线向下平移后与y 轴相交于点C 、与x 轴相交于点D ，四边形ABCD 的面积为18．（1）求直线CD 的表达式；（2）如果点E 在直线CD 上，四边形ABED 是等腰梯形，求点E 的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20静安26”， 可以体验到，四边形ABED 有一组对边平行，当另一组对边EB 与DA 相等时，四边形ABED 是等腰梯形或平行四边形．满分解答（1）如图2，由483y x =-+，得A (6, 0)，B (0, 8)． 所以S △OAB ＝12⋅OA OB ＝1682⨯⨯＝24． 设直线CD 的表达式为43=-+y x b ，则C (0, b )，D (34b , 0)． 因为S 四边形ABCD ＝18，所以S △COD ＝24－18＝6．所以13624⨯⨯=b b ．解得b ＝±4（舍去负值）． 所以直线CD 的表达式为443=-+y x ． （2）【方法一】如图3，已知A (6, 0)，B (0, 8)，D (3, 0)，设E (x ,443-+x )． 因为ED //AB ，所以四边形ABED 是梯形．若四边形ABED 是等腰梯形，那么EB ＝DA ．根据EB 2＝DA 2列方程，得2224(48)(63)3+-+-=-x x ． 整理，得22596630++=x x ．解得x1＝2125-，x2＝－3（此时四边形ABED是平行四边形，舍去）．所以E(2125-,12825)．【方法二】如图4，在x轴上取点M，使MA＝MB，那么MB与CD的交点就是点E．设M(x, 0)．根据MA2＝MB2列方程，得x2＋82＝(6－x)2．解得x＝73-．所以M(73-, 0)．由B(0, 8)、M(73-, 0)，得直线BM的解析式为y＝2487+x．联立2487443⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y xy x，．解得212512825⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy，．所以E(2125-,12825)．【方法三】如图3，已知A(6, 0)，B(0, 8)，D(3, 0)，设E(x,443-+x)．因为等腰梯形的对角线相等，根据CA2＝DB2列方程．【方法四】设AB的中点为M(3, 4)，根据MD2＝MC2列方程．图2 图3 图4 例2020年上海市闵行区初二下学期期末第25题如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12BC，点E为BC中点，联结ED，BD．（1）求证：四边形ABED是平行四边形；（2）如果∠ADB＋∠DCB＝90°，求证：四边形ABED是菱形．图1打开几何画板文件名“20闵行25”，拖动点D在平面上运动，可以体验到，四边形ABED 始终保持平行四边形的形状不变，当点D落在半圆上时，四边形ABED是菱形．满分解答（1）如图2，因为点E为BC中点，所以BE＝EC＝12 BC．已知AD＝12BC，等量代换，得AD＝BE．又因为AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形．（2）如图3，因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC．已知∠ADB＋∠DCB＝90°，等量代换，得∠DBC＋∠DCB＝90°．所以∠BDC＝90°，△BCD是直角三角形．又因为DE是斜边BC的中线，所以DE＝BE．所以四边形ABED是菱形．图2 图3例2020年上海市闵行区初二下学期期末第26题如图1，在正方形ABCD中，AB＝4．点M是边AB上的任意一点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝90°．联结MN，与正方形ABCD的对角线AC交于点E．设AM＝x，AE＝y．（1）求证：DM＝DN；（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结BE，当△MBE是以BM为腰的等腰三角形时，求AM的长．图1打开几何画板文件名“20闵行26”，拖动点M在AB上运动，可以体验到，△MAD与△NCD 始终保持全等，△MEF与△NEC始终保持全等．观察函数图像可以体验到，y随x的增大而增大．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，拖动点M在AB上运动，可以体验到，△MBE 始终保持等腰三角形的形状不变，当点M落在圆上时，△MBE是等边三角形．满分解答（1）如图2，由∠ADC＝∠MDN＝90°，得∠ADM＝∠CDN．又因为∠DAM＝∠DCN＝90°，DA＝DC，所以△DAM≌△DCN．所以DM＝DN．（2）如图3，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，所以AC＝42．作MF⊥AB，交AC于点F，得等腰直角三角形AMF．所以FM＝AM＝CN＝x．所以AF＝2x．由MF//BC，得∠FME＝∠CNE．又因为∠MEF＝∠NEC，所以△MEF≌△NEC．所以FE＝CE＝12CF＝422-x．所以y＝AE＝AC－CE＝422422--x＝4222+x．定义域是0＜x≤4．图2 图3（3）如图3，因为△MEF≌△NEC，所以ME＝NE．所以BE是Rt△MBN斜边上的中线．所以BE＝ME，△MBE是等腰三角形（如图4所示）．如图5，若△MBE是以BM为腰的等腰三角形，那么BM＝BE＝ME．所以△MBE是等边三角形．在Rt△BMN中，BM＝4－x，BN＝4＋x，∠BMN＝60°，所以MN＝2BM＝8－2x．由勾股定理，得BM2＋BN2＝MN2．所以(4－x)2＋(4＋x)2＝(8－2x)2．整理，得x2－16x＋16＝0．解得x1＝843-，或x2＝843+（舍）．所以AM＝843-．图4 图5例2020年上海市浦东区初二下学期期末第26题如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；（2）若EF＝1，求四边形EBCF的面积．图1动感体验打开几何画板文件名“20浦东26”，可以体验到，△EFB与△CGF是等底等高的两个三角形，四边形EBCF的面积可以转化为△BFG的面积．满分解答（1）如图2，因为EF是△ABC的中位线，所以EF//BC，．所以四边形EBCF是梯形．又因为BE＝12AB，CF＝12AC，AB＝AC，所以BE＝CF．所以四边形EBCF是等腰梯形．（2）如图3，作FG//EC交BC的延长线于点G，得平行四边形CEFG．因为四边形EBCF是等腰梯形，所以BF＝CE＝GF．又因为CE⊥BF，所以GF⊥BF．所以△BFG是等腰直角三角形．因为EF是△ABC的中位线，所以BC＝2EF＝2．所以BG＝BC＋CG＝BC＋EF＝2＋1＝3．所以BF＝FG＝2BG．所以S△BFG＝12BF FG＝214BG＝94．如图4，因为△EFB与△CGF是等底等高的两个三角形，所以S△EFB＝S△CGF．所以S四边形EBCF＝S△EFB＋S△CFB＝S△CGF＋S△CFB＝S△BFG．所以S四边形EBCF＝94．图2 图3 图4例2020年上海市浦东区初二下学期期末第27题在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图1为P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为(1, 2)．（1）如图2，点B的坐标为(b, 0)．①若b＝－2，则点A，B的“相关矩形”的面积是______；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为_______；（2）如图3，点C在直线y＝－1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；（3）如图4，等边三角形DEF的边DE在x轴，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为(1, 0)，点M的坐标为(m, 2)．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．图1 图2 图3 图4动感体验打开几何画板文件名“20浦东27”，拖动点M在直线y＝2上运动，可以体验到，正方形MKNL是否存在，取决于点N是否在边FE、FD上．满分解答（1）①如图5，矩形AGBH为点A，B的“相关矩形”．由A(1, 2)，B(－2, 0)，得BG＝3，AG＝2．所以S矩形AGBH＝3×2＝6．②如图6，若S矩形AGBH＝8，那么BG＝4．当点B在点G左侧时，1－b＝4．所以b＝－3．当点B在点G右侧时，b－1＝4．所以b＝5．（2）如图7，矩形APCQ为点A，C的“相关矩形”．若矩形APCQ为正方形，那么CQ＝AQ＝3．当点C在点Q左侧时，C(－2,－1)．由A(1, 2)、C(－2,－1)，得直线AC的表达式为y＝x＋1．当点C在点Q右侧时，C(4,－1)．由A(1, 2)、C(4,－1)，得直线AC的表达式为y＝－x＋3．图5 图6 图7 （3）如图8，矩形MKNL为点M，N的“相关矩形”．若矩形MKNL为正方形，那么ML＝NL，△MNL为等腰直角三角形．因为△DEF是等边三角形，FO⊥DE，所以OD＝OE．在Rt△ODF中，因为OD＝1，DF＝DE＝2，所以OF＝3．图8 图9 图10 以点M的位置为分类标准，分两种情况讨论m的取值范围．①点M在y轴左侧．如图9，当点N与点E重合时，ML＝NL＝2，此时m＝－3．如图10，当点N与点F重合时，ML＝NL＝23m32．②点M在y轴右侧．如图11，当点N与点F重合时，ML＝NL＝23m＝23如图12，当点N 与点D 重合时，ML ＝NL ＝2，此时m ＝3．所以m 的取值范围为－3≤m ≤3－2或2－3≤m ≤3．图11 图12例 2020年上海市普陀区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过点A (0, 4)和B (2, 0)．（1）求直线AB 的表达式；（2）把直线AB 向下平移，平移后的直线与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点D 的坐标为(0,－6)，点E 是直线CD 上的一点，如果四边形ABDE 是等腰梯形，求点E 的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20普陀24”，可以体验到，四边形ABDE 有一组对边平行，当另一组对边EA 与DB 相等时，四边形ABDE 是等腰梯形或平行四边形．满分解答（1）设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋4（k ≠0）．代入点B (2, 0)，得2k ＋4＝0．解得k ＝－2．所以直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋4．（2）如图2，因为AB //CD ，D (0,－6)，所以直线CD 的表达式为y ＝－2x －6． 设E (x ,－2x －6)．因为ED //AB ，所以四边形ABDE 是梯形．若四边形ABDE 是等腰梯形，那么EA ＝DB ．根据EA 2＝DB 2列方程，得2222(264)26+---=+x x ．整理，得28120++=x x ．解得x 1＝－6，或x 2＝－2．如图3，当x ＝－2时，四边形ABDE 是平行四边形，舍去．所以E(－6, 6)．图2 图3例2020年上海市普陀区初二下学期期末第25题如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，P是射线AC上的一点，联结BP，过点P作BP 的垂线交射线DC于点F．（1）求证：PB＝PF；（2）当点F在边DC上时，四边形PBCF的面积为y，设AP＝x，求y关于x的函数解析式和定义域；（3）当以P、B、C、F为顶点的四边形的面积为12时，求AP的长．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20普陀25”，拖动点P在AC上运动，观察函数图像，可以体验到，y随x的增大而减小．观察左图，可以体验到，△BPM和△FPN始终保持全等，四边形PBCF的面积可以转化为正方形PMCN的面积．观察右图，可以体验到，四边形PBFC的面积可以看成是两个同底三角形的面积和．满分解答（1）如图2，作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，得正方形PMCN．又因为BP⊥PF，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2．又因为PM＝PN，所以△BPM≌△FPN（ASA）．所以PB ＝PF ．（2）由（1），得S 四边形PBCF ＝S △PBM ＋S 四边形PMCF ＝S △FPN ＋S 四边形PMCF ＝S 正方形PMCN ＝PN 2． 如图3，在等腰直角三角形ADC 中，AD ＝4，所以AC ＝42． 在等腰直角三角形PCN 中，PC ＝AC －AP ＝42-x ，所以PN ＝22PC ＝2(42)2-x ． 所以y ＝22[(42)]2-x ＝2142162-+x x ．定义域是0≤x ＜22．图2 图3（3）以点F 的位置为分类标准，分两种情况讨论．①如图2，当点F 在线段DC 上时，由（2），得S 四边形PBCF ＝PN 2＝12． 所以PN ＝23．所以PC ＝2PN ＝26．所以AP ＝AC －PC ＝4226-．②如图4，当点F 在线段DC 的延长线上时，同理可得△BPM ≌△FPN ．由S 四边形PBFC ＝12⋅BC NF ＝12，得14122⨯=NF ．所以NF ＝6． 如图5，在等腰直角三角形AM ′P 中，M ′P ＝BM ＝NF ＝6，所以AP ＝2M ′P ＝62．图4 图5。
沪教版数学八年级第二学期期末压轴题（答案）.doc
沪教版数学八年级第二学期期末压轴题（答案）.doc1、已知：在矩形ABCD中， AB=10， BC=12，四边形 EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形 ABCD边 AB、BC、DA上， AE=2.（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF 示）；（ 5 分）A H DEGB FC △GFC的面积；（5分）=a 时，求△GFC的面积（用含 a 的代数式表HA DEGB F C2、如图，直线y3x 4 3 与 x 轴相交于点 A ，与直线y3x 相交于点P.(1)求点 P的坐标.(2)请判断△ OPA 的形状并说明理由.(3)动点 E 从原点 O 出发，以每秒1 个单位的速度沿着O P A 的路线向点 A 匀速运动（ E 不与点O、 A 重合），过点 E 分别作EF x 轴于F，EB y 轴于 B .设运动t秒时，矩形 EBOF 与△ OPA 重叠部分的面积为S .求 S 与 t 之间的函数关系式.yyBPO F A xO A(备用图）x3、已知直角坐标平面上点A 2,0，P 是函数y x x 0 图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点 Q（如图）.（1）试证明：AP=PQ；（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是 _______；2S APQ 时，求点P的坐标.y（3）当 SAOQy=x 3PQO A x4、（本题满分10 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分）已知点 E 是正方形 ABCD外的一点， EA=ED，线段 BE与对角线AC相交于点 F，（1）如图 1，当BF=EF时，线段AF与 DE之间有怎样的数量关系并证明；（2）如图2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF 之间的一个数量关系，并证明．EEA DF FB C B C图 1 图 25、（本题满分 10 分，第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 3 分 ,第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4， BC=6，∠COA=45° , 动点P 从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→ A→ B→ C，到达点 C 时停止．作直线CP.（1）求梯形OABC的面积；（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；（3）当?OCP是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）yC BO P A x6、如图已知一次函数y =－ +7 与正比例函数y =4x 的图象交于点，且与 x 轴交于点．x3B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作AC ⊥ y 轴于点 C ，过点 B 作直线l ∥ y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O ﹣ C ﹣A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点，交线段 BA 或线段于点．当点 P 到达点 A 时，点R AO QP 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 (t0) ．①当 t 为何值时，以A 、P 、 R 为顶点的三角形的面积为 8②是否存在以 A 、P 、Q 为顶点的三角形是 QA=QP 的等腰三角形若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．7、已知边长为 1 的正方形中，P 是对角线上的一个动点（与点 A 、 C 不重合），ABCDAC过点 P 作PE ⊥ PB ，PE 交射线 DC 于点 E ，过点 E 作EF ⊥AC ，垂足为点 F .（1）当点 E 落在线段 CD 上时（如图 10），① 求证： PB=PE ；② 在点 P 的运动过程中， PF 的长度是否发生变化若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点 E 落在线段 DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（ 3）在点 P 的运动过程中，⊿ PEC 能否为等腰三角形如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．ADA DP。
沪教版数学八年级的第二学期期末压轴题(答案)
1、已知：在矩形ABCD中， AB=10， BC=12，四边形 EFGH的三个极点E、F、H分别在矩形 ABCD边 AB、BC、DA上， AE=2.（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF 示）；（ 5 分）A H DEGB FC △GFC的面积；（5分）=a 时，求△GFC的面积（用含 a 的代数式表HA DEGB F C2、如图，直线y3x 4 3 与 x 轴订交于点 A ，与直线y3x 订交于点P.(1)求点 P的坐标.(2)请判断△ OPA 的形状并说明原因.(3)动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着O P A 的路线向点 A 匀速运动（ E 不与点O、 A 重合），过点 E 分别作EF x 轴于F，EB y 轴于 B .设运动t秒时，矩形 EBOF 与△ OPA 重叠部分的面积为S .求 S 与 t 之间的函数关系式.yyBPP EO F A xO A(备用图）x3、已知直角坐标平面上点A 2,0，P 是函数y x x 0 图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点 Q（如图）.（1）试证明：AP=PQ；（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b对于a的函数关系式是 _______；2S APQ 时，求点P的坐标.y（3）当 SAOQy=x 3PQO A x4、（此题满分10 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分）已知点 E 是正方形 ABCD外的一点， EA=ED，线段 BE与对角线 AC订交于点 F，（1）如图 1，当BF=EF时，线段AF与 DE之间有如何的数目关系并证明；（2）如图 2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、 EF之间的一个数目关系，并证明．EEA DA DF FB C B C图 1 图 25、（此题满分 10 分，第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 3 分 ,第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA， OC=AB=4， BC=6，∠COA=45° , 动点P 从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→ A→ B→ C，抵达点 C 时停止．作直线CP.（1）求梯形OABC的面积；（2）当直线CP把梯形OABC的面积分红相等的两部分时，求直线CP的分析式；（3）当 ?OCP是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只要写出结果）yC BO P A x6、如图已知一次函数y =－ +7 与正比率函数y =4x 的图象交于点，且与 x 轴交于点 ．x3AB（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 AC ⊥ y 轴于点 C ，过点 B 作直线 l ∥ y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O ﹣ C ﹣A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以同样速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 ，交线段 BA 或线段 于点 ．当点 P 抵达点 A 时，点R AO QP 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 (t0) ．①当 t 为什么值时，以 A 、P 、 R 为极点的三角形的面积为 8②能否存在以 A 、P 、Q 为极点的三角形是 QA=QP 的等腰三角形若存在， 求 t 的值；若不存在，请说明原因．7、已知边长为 1 的正方形中，P 是对角线上的一个动点（与点 A 、 C 不重合），ABCDAC过点 P 作 PE ⊥ PB ，PE 交射线 DC 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥AC ，垂足为点 F .（1）当点 E 落在线段 CD 上时（如图 10），① 求证： PB=PE ；② 在点 P 的运动过程中， PF 的长度能否发生变化若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明原因；（2）当点 E 落在线段 DC 的延伸线上时，在备用图上画出切合要求的大概图形，并判断上述（ 1）中的结论能否仍旧成立（只要写出结论，不需要证明）；（ 3）在点 P 的运动过程中，⊿ PEC 可否为等腰三角形假如能，试求出AP 的长，假如不可以，试说明原因．ADA DP。
八年级数学沪科版一次函数的图象及性质压轴题
八年级数学沪科版一次函数的图象及性质压轴题1、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC 为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S四答案解析2、如图，能得到AB∥CD的条件是（）A．∠B=∠DB．∠B+∠D+∠E=1答案D 解析3、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90o，DC∥AB，BC=3，DC=4，AD=5．动点P从B点出发，由B→答案B 解析4、的相反数是（）答案B 解析5、如图是正方体的展开图，则正方体相对两个面上的数字之和的最小值是 ( ). 答案B 解析6、已知等腰三角形中的一边长为5㎝，另一边长为9㎝，则它的周长为（答案D 解析7、若不等式组的解集为，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＝0C．a＞4 答案B 解析8、为保护水资源，某社区新建了雨水再生工程，再生水利用量达58600立方米/年。
这个数据用科学记数法表示为（保留两个答案C 解析考点：科学记数法与有效数字．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：58 600用科学记数法表示为5.86×10≈5.9×10．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为A．0 答案D 解析10、下图中几何体的主视图是（;）答案C 解析11、一些列各组数中;为边的三角形不是直角三角形的是（m 答案A 解析九年级数学部审浙教版三角形的内心与外心如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于DM⊥AC 于M，下列结论：①DB=DC；②AC-AB=2AM；答案B 解析12，4的平方根是A．±2B．±C．2D．16 答案A 解析13。
(完整)上海八年级数学压轴题
1．已知：如图，在△ABC 中，AD 、BE 是高，F 是AB 的中点，FG DE ⊥，点G 是垂足．求证：点G 是DE 的中点．2．如图，在△OBC 中，点O 为坐标原点，点C 坐标为（4，0），点B 坐标为（2，23），AB y ⊥轴，点A 为垂足，BC OH ⊥，点H 为垂足．动点P 、Q 分别从点O 、A 同时出发，点P 沿线段OH 向点H 运动，点Q 沿线段AO 向点O 运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求证：OB CB =；（2）若△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及定义域； （3）当PQ OB ⊥（垂足为点M ）时，求五边形ABHPQ 的面积的值.A BH OQPy xMC3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CM ⊥AB 于M ，试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系，并说明理由。
BP4. 如图，R t △ABC 中，AB=AC ，︒=∠90A ，O 为BC 中点。
（1） 写出点O 到△ABC 三个顶点的距离之间的关系；（2） 如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM 。
请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
5．如图，点A 的坐标为（3,0），点C 的坐标为（0,4），OABC 为矩形，反比例函数xky =的图像过AB 的中点D ，且和BC 相交于点E ，F 为第一象限的点，AF =12,CF =13. （1）求反比例函数xky =和直线OE 的函数解析式； （2）求四边形OAFC 的面积．_6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．7．已知：如图，在⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC =6，点D 在边BC 上，AD 平分∠CAB ，E 为AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）求证：AD=DB ；（2）设CE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）当∠DEF =90°时，求BF 的长.第26题图FE D CBA压轴题答案1．证明： 联结EF 、DF ．……………………………1分∵AD 是高， ∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=．………………………1分 又∵F 是AB 的中点， ∴12DF AB =(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ．……2分 同理可得：12EF AB =．……………………………………………1分∴EF DF =．…………………………………………………………1分 又∵FG DE ⊥，…………………………………………………………1分 ∴DG EG =．…………………………………………………………1分 即：点G 是DE 的中点．2．解：（1）∵4OB ==………………………………………………1分4CB ==………………………………………1分∴OB CB = ………………………………………………………………1分 （2）易证：△OBC 为等边三角形． ∵BC OH ⊥，∴30BOH HOC ∠=∠=．………………1分 ∴30AOB ∠=．过点P 作PE OA ⊥垂足为点E ． 在Rt △PEO 中，30EPO ∠=,PO t =， ∴122tEO PO ==，由勾股定理得：2PE =．…………………………1分 又∵OQ AO AQ t =-=，………………………………………………1分∴()211363232224t t S OQ PE t t -==-=．………………………1分 即：232S t =+（320<<t ）．……………………………………1分 【说明】最后1分为定义域分数．（3）易证Rt △OAB ≌Rt △OHB ≌Rt △OHC ，GFEDCBA∴2OABH 3434OAB OHBOHB OHCOBCS S SSSSOC =+=+==⨯=四边形．1分 易证△OPQ 为等边三角形， ∴OQ OP =，即：23t t -=，解得 3t =．……………………………………………1分 ∴233344OPQSOP =⨯=．…………………………………………………1分 ∴ABHPQ 331343344OPQOABH S S S =-=-=五边形四边形．……………1分 3. 解：PD+PE=CM ， 证明：连接AP ，∵AB=AC， ∴S △ABC =S △ABP +S △ACP =AB ×PD+AC ×PE=×AB ×（PD+PE ）， ∵S △ABC =AB ×CM， ∴PD+P E=CM 。
最新上海初二下学期数学函数压轴题(优选.)
上海初二数学函数压轴题1. 在梯形AB CD AD 5cmABCD 中， AD ∥BC ， ，BC=11cm ，点 P 从点 D 开始沿 DA 边以每秒 1cm 的速度 移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 2cm 的速度移动（当点 P 到达点 A 时 ，点 P 与点 Q 同时停止移动），2 假设点 P 移动的时间为 x （秒），四边形 ABQP 的面积为 y （cm ）．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形 ABQP 的面积与四边形 QCDP 的面积相等时 x 的值；x x （3）在移动的过程中，是否存在 使得 PQ=AB ，若存在求出所有的值，若不存在请说明理由． PADBCQ2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边 AB 上（点E 与点 A 、B 不重合），过点E 作 FG ⊥DE ，FG 与边 BC相交于点 F ，与边 DA 的延长线相交于点 G ．(1)由几个不同的位置，分别测量 BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现 BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎 样的关系？并证明你所得到的结论；x y y x (2)联结 DF ，如果正方形的边长为 2，设 AE= ，△DFG 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式， 并写出函数的定义域；5(3)如果正方形的边长为 2，FG 的长为 ，求点 C 到直线 DE 的距离．2CCDDFBAABEG（供证明计算用）（供操作实验用）（第 2 题图）3．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，CE=AE，F是AE的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF的长．F EA DOB C（第3题图）14已知一次函数y x4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B．梯形AOBC的边AC = 5．2（1）求点C的坐标；（2）如果点A、C在一次函数y k x b（k、b为常数，且k<0）的图像上，求这个一次函数的解析式．yBxO A（第4题图）5．如图，直角坐标平面xoy中，点A在x轴上，点C与点E在y轴上，且E为OC中点，BC//x轴，且BE⊥AE，联结AB，（1）求证：AE平分∠BAO；（2）当OE=6，BC=4时，求直线AB的解析式．yBCE。
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题四(原卷版)
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题四例2020年上海市青浦区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x－4分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点C(－1, 0)．点D在第四象限，BD⊥BA．（1）求直线BC的解析式；（2）当S△ABD＝4S△BOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点E在x轴上，点F在直线BC上．如果以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段OE的长．图1例2020年上海市青浦区初二下学期期末第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝23，BD⊥DC．M、N分别是AD、CD的中点，联结MN交BD于点Q，点P在线段BQ上．（1）求∠C的度数；（2）求线段DQ的长；（3）联结PM、PN．设PB＝x，△PMN的面积为y，求y关于x的函数关系式．图1如图1，平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(－1, 0)、B(0,－2)，顶点C、D 在反比例函数第一象限的图像上，边AD与y轴交于点E．（1）过点D作y轴的平行线交BC于点F，过点C作CH⊥DF，垂足为H，若点D的坐标为(a, b)，求点C点坐标（用a、b表示）．（2）若四边形BCDE的面积是△ABE的面积的5倍，求反比例函数的解析式．图1例2020年上海市世外初二下学期期末第25题如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5．点P是边AD上一点，联结CP，将四边形ABCP沿CP所在直线翻折，落在四边形EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．（1）当AP＝2时，求PG的值；（2）如果AP＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结BP并延长与线段CF交于点M，当△PGM是以MG为腰的等腰三角形，求AP的长．图1 备用图如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BC＝2AD，点E是BC边的中点，AE、BD相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）设边CD的中点为G，联结EG，求证：四边形FEGD是矩形．图1例2020年上海市松江区初二下学期期末第26题如图1，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E为线段AC上一点（点E不与A、C重合），联结DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）求证：DE＝EF；（2）联结CG、EG，设AE＝x，△ECG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）设EG、CD相交于点H，如果△EDH是等腰三角形，求线段AE的长．图1 备用图例2020年上海市杨浦区初二下学期期末第25题如图1，已知在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数kyx=（k≠0）在第一象限内的图像交于点A(m, 2)，将直线y＝2x平移后与kyx=在第一象限内的图像交于点B，且△AOB的面积为2．（1）求k的值；（2）求平移后的直线表达式．图1已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC//DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝23，当△AED是直角三角形时，求BC的长．图1 图2 备用图例2020年上海市长宁区初二下学期期末第24题如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF//BC交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．图1如图1，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）联结DG，求证：DG⊥EF；（3）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域．图1。
上海初二下压轴题
1.已知一次函数113y x =+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．点C 的坐标为（2，0）． （1）求直线BC 的函数解析式；（2）点D 在y 轴上，若A 、B 、C 、D 四点恰好为梯形的四个顶点，求所有满足条件的D 点坐标．2. 已知一次函数333+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，点C 、D 分别在线段OA 、AB 上，CD=CA ． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求OCD ∠的度数；（3）如果△CDO 的面积是△ABO 面积的41，求点C 的坐标．3.如图，一次函数的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标．如图，O 为坐标原点，正方形OBAC 的边长为1，M 、N 分别在AC 、AB 上，若△MON 为正三角形，求M 、N 的坐标．4．如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外），联结DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F ．（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P 在边BC 上时，正方形的边长为2．设CE = x ，AF = y ． 求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当x = 1时，求EF 的长．24y x =+ DCBA（第4题图）EF PGFNMECB DA如图，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，连结FG ，延长AF ，AG 与直线BC 相交于M 、N 。
（1）若FG ＝10cm ，求MN 的长；（2）若FG ＝X ，△ABC 的周长为Y ，求Y 关于X 的函数关系式（不要写定义域）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6064=∠==B BC AB ，，，点E 、F 是AB 和CD 边上的中点，点P 是线段EF 上的一个动点，过点P 作EF PM ⊥交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，联结PN ，设x EP = （1）填空：PM =____________；（2）如图1，当点N 在线段AD 上时，求PMN ∆的面积；（3）如图2，当点N 在线段CD 上时，设PMN ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当点N 在线段CD 上时，是否存在点P ，使P MN ∆为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足要求的x 的值；若不满足，请说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年上海初二数学函数压轴题 在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．CBP!2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．(1)由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系并证明你所得到的结论；(2)联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．!（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）D ABD AB'3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF 的长．4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5． （1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．；5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y 轴上，且E 为OC 中点，（第4题图）ABCDOEF?BCb kx y +=y x y<k9．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，另一个正方形OHIG 绕点O 旋转（如图），设OH 与边BC 交于点E （与点B 、C 不重合），OG 与边CD 交于点F. &（1）求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，四边形OECF 的面积是否会变化若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；（3）联结EF 交对角线AC 于点K ，当△OEK 是等腰三角形时，求∠DOF 的度数.、BFD E G 第6题图ABH 第26题图 《D C B AE FP 。
O D 'CB A备用图O 。
)10 如图，已知矩形ABCD，过点C作∠A的角平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB、MD．求证：MB = MD．11．如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，E是AB边上的一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M、DC于点N．（1）请判断△DMF的形状，并说明理由；（2）设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x取何值时，S△DMF = 3 ．、12．如图1，在ABC中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE 相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由．（2）如图2，P是线段BC上的一动点（图2），（点P不与B、C重合），连PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．②当P在线段BC上运动时，是否有△PQR与△BOC全等若全等，求BP的长；若不全等，请叙述理由．13,已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．（1）求证：△APQ是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；.（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．[14．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE CA=，联结AE，过点C作CF AE⊥，垂足为点F，联结BF、FD.（1）求证：FBC∆≌FAD∆；（2）联结BD，若35FBBD=，且10AC=，求FC的值. 图１备用图( B DFEDCBA%15,A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．（1）请填写下表后分别求出A B y y ，与x 之间的函数关系式，并写出定义域；解：（（2）试讨论A B ，两地中，哪个运费较少； 解：~16.,已知：正方形ABCD 的边长为28厘米，对角线AC 上的两个动点E F ，，点E 从点A 、点F 从点C 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ；过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定：线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若E 的运动时间为x 秒，解答下列问题：（1）如图①，判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明； （2）当08x <<时，求x 为何值时，12S S =；（3）若y 是1S 与2S 的和，试用x 的代数式表示y ．（图②为备用图） （1）解：>17,如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ，与x 轴交于点B ，且与直线383-=x y 平行。
(1)求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；(2)如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，交直线383-=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标。
H 图①《18, 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90，∠C =45º，AB =8，BC =14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF x y y x42+=x y x yABCD AD BC M N BD AC 求证：（1）MN ∥BC ； （2）)(21AD BC MN -=.A：CDEF（第19题）（第18题）$DA CEFMP23,已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP . （1）若将AD 顺时针旋转︒30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数.（2）若将AD 顺时针旋转α度)900(︒<<︒α至AP ，求BPD ∠的度数.（3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(︒<<︒α至AP ，请分别求出︒<<︒900α、︒=90α、︒<<︒18090α三种情况下的BPD ∠的度数（图4、图5、图6）.&ABC`PM图4ABC DM)N图2ABC D P图3…24,:ABC DP图6ACDP;图525、某公路上一段道路的维修工程准备对外招标，现有甲、已两个工程队前来竟标，竟标资料显示：若由甲乙两队合作6天可以完成，共需工程费7800元，若单独完成此项工程甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。
（1）甲、乙两队单独完成各需多少天 }（2）从节约资金的角度上考虑，应选哪个队单独完成并说明理由26.如图,在△ABC 中,E 是AB 的中点,CD 平分∠ACAB,AD ⊥CD 于带点D.求证:(1)DE=BC;(2)DE=21(BC-AC).B CD]A@27.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,点P 为BC 边上一点,PE ⊥AB,BG ⊥CD,垂足分别为E,F,G. 求证:PE+PF=BG￥28.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.(1)求证:四边形MENF 是菱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论.、29,.已知如图,在△ABC 中∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交BC 于D, CH ⊥AB 于H 交AD 于F,DE ⊥AB 于E.求证:四边形CDEF 为菱形.E FB N C）D M A BPE CF G ·#30.如图.点P 是等腰直角三角形ABC 底边BC 上的一点,过P 作BA,AC 的垂线,垂足为E,F 设D 为BC 的中点.(1)求证:DE ⊥DF;(2)若点P 在BC 的延长线上是DE ⊥DF 吗试证明你的结论.~31,.如图,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交C,D 于E, EF ∥AB,交AB 于点F,求证:CE=BF.；32.如图, Rt △ABC 中∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC 交CD 于F,过F 作FH ∥AB 交BC 于H.求证:CE=BH.!33.如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.CA B HEDFBD P （A E F C A DB FE CA D ) H F EDA—34.如图,已知□ABCD 中,E 为AD 的中点,CE 的延长线交BA 的延长线于点F.(1)求证:CD=FA;(2)若使∠F=∠BCF, □ABCD 边长之间还需要再添加一个什么条件请补上这个条件,并进行证明.(不再添辅助线).35.如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 上一动点(点E 不与B,C 两点重合), EF ∥BD 交AC 于点F,EC ∥AC 交BD 于点G. 求证:四边形EFOG 的周长等于2OB.!36,.已知一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是多少厘米37,.矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB,CD 的延长线分别交于E,F;(1)求证:△BOE ≌△DOF;(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是棱形,并证明你的结论B A F EC ] @CM N A D O1cm }9cm 5cmB38,.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点. 求证: (1)四边形MENF 是棱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论39,.如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1) 试猜想AE 与BF 有何关系说明理由;(2) 若△ABC 的面积为23cm ,求四边形ABFE 的面积; (3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形说明理由40. 如图:棱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点H,交AD 于点G.(1)求棱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.41,.已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N. (1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.乙甲C F E BD A N MFE C B AC FDE B A GH42. 如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11. (1) 连接D D 1,求证:901=∠ADD ;(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少并证明你的结论;(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.43. 已知:如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边AB,CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G.(1)求证: △ADE≌△CBF;(2)若四边形BEDF 是棱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形并证明你的结论.44.已知:如图, □ABCD 中,AB ⊥AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1) 证明:当旋转角为90时,四边形ABEF 是平行四边形; (2) 试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;(3)试说明在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形。