数学建模：投资问题

投资的收益与风险问题摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。

然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。

关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好2.问题重述与分析3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。

（）1、已知时的相关数据如下：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。

并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。

设购买S i （i=0,1…….n;S 0表示存入银行，）的金额为x i ;所支付的交易费为c i (x i )，则：0000()01, 2,, ,()0i i i i ii i i ii ix c x p u x u i n c x p x x u =⎧⎪=<<==⎨⎪≥⎩对S i 投资的净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= （i ＝0，1，…，n ）对S i 投资的风险为: i i i i x q x Q =)( （i ＝0，1，…，n ），q 0=0 对S i 投资所需资金（即购买金额 x i 与所需的手续费 c i (x i ) 之和）是)()(i i i i i x c x x f += （i ＝0，1，…，n ）投资方案用 x =（x 0，x 1，…，x n ）表示，那么， 净收益总额为： 0()()niii R R x ==∑x总风险为：)(x Q =)(min 0i i ni x Q ≤≤所需资金为： )()(0ini ix f x F ∑==所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,)()()(min x M x F x R x Q x但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。

3.假设与模型假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资， 市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。

3.1模型a假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q （x ）限制在k 内，Q （x ）k ≤，则模型可转化为：max ()x Rs.t ()0,)(,≥=≤x M x F k x Q3.2模型b假设投资的收益水平是h ，即净收益总额)(x R 不少于 h ：)(x R ≥h ，则模型可转化为：)(min x Qs.t 0,)(,)(≥=≥x M x F h x R3.3模型c假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：)()1()(min x R x Q ρρ--s.t.0,)(≥=x M x F3.4 模型求解及分析由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性函数i i i i x p x c =)(从而，资金约束简化为()()(1)n ni i i i i i F f x p x M ====+=∑∑x净收益总额简化为()()[()]()n n ni i i i i i i i i i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x在实际进行计算时，可设 M =1，此时i y =（i p +1）i x （i ＝0，1，…，n ）可视作投资 S i 的比例.以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1）模型 a 的求解模型 a 的约束条件 Q (x )≤k 即00()max ()max()i i i i i ni nQ Q x q x ≤≤≤≤==x ≤k ，所以此约束条件可转化为k x q i i ≤ （i ＝0，1，…，n ）.这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：max ()s.t. , =1, 2,, (1)1, 0ni i ii i i niii r p x q x k i n p x==-≤+=≥∑∑x具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：43210185.0185.019.027.005.0m ax x x x x x ++++s.t k x k x k x k x ≤≤≤≤4321026.0,055.0,015.0,025.00,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (4)利用matlab7.1 求解模型a 输出结果是{0.177638, {x0 -> 0.158192, x1 -> 0.2, x2 -> 0.333333, x3 -> 0.0909091,x4 -> 0.192308}}这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M .当 k 取不同的值（0~0.025），风险与收益的关系见图1. 输出结果列表如下：表1模型1的计算结果图1 模型1中风险k 与收益的关系结合图1，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.006，0.2019），这时对的投资比例见表1的黑体所示。

从表1中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的 S 2，然后是 S 1 和 S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i –p i ）较大的 S 1 和 S 2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．2）模型 b 的求解模型 b 本来是极小极大规划：0min max()i i i nq x ≤≤s.t.()niiii r p x=-∑≥h(1)1niii p x=+=∑ x ≥0但是，可以引进变量 x n +1=0max()i i i nq x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：风险 a收益1min()n x +s.t 1+≤n i i x x q ,i =0,1,2,…,n ,()niiii r p x=-∑≥h ,(1)1niii p x=+=∑, x ≥0具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：min x 5s.t 54535251026.0,055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤,185.0185.019.027.005.043210h x x x x x ≥++++,0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)利用 matlab7.1 求解模型 b ，当 h 取不同的值（0.1~0.25），我们计算最小风险和最优决策,收益水平h 取，结果如表2所示，风险和收益的关系见图2. 从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。

对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（）最大的和。

这些与人们的经验是一致的。

表2模型2的计算结果图2 模型2中风险与收益h 的关系结合图2，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.059，0.2），这时对的投资比例见表2的黑体所示。

3）模型 c 的求解类似模型 b 的求解，我们同样引进变量 x n +1=0max()i i i nq x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：min ρx n +1–（1–ρ）()niiii r p x=-∑s.t 1+≤n i i x x q ,i =0，1，2，…，n(1)1niii p x=+=∑ x ≥0具体到 n =4 的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模型为：)185.0185.019.027.005.0)(1(m in 432105x x x x x x ++++--ρρs.t 54,535251026.0055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)利用 matlab7.1 求解模型 c ，当 ρ 取不同的值（0.75~0.95），我们计算最小风险和最优决策 输出结果列表如下：表3模型3的计算结果风险收益从图5可以看出，模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。