合肥市2019届高三调研性检测数学试题-理科含答案
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
《高考真题》专题14 等差数列-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ．专题14 等差数列【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程思想的应用.要求： 1．熟练掌握等差的通项公式、前n 项和公式． 2．掌握与等差数列有关的数列的求和的常见方法． 3．了解等差数列与一次函数的关系．【命题规律】等差数列是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等差数列通项形如关于n 的一次函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【知识总结】1．等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n =a m +（n –m ）d （n ，m ∈N *）．（2）若{a n }是等差数列，且k+l=m+n （k ，l ，m ，n ∈N *），则a k +a l =a m +a n ；反之，不一定成立． （3）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． （4）若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n +qb n }（p ，q ∈N *）也是等差数列．（5）若{a n }是等差数列，则a k ，a k+m ，a k+2m ，…（k ，m ∈N *）组成公差为md 的等差数列． 2．与等差数列各项的和有关的性质（1）若S m =n ，S n =m ，则S m+n =–（m+n ）；若S m =S n ，则S m+n =0． （2）若{a n }是等差数列，则{n S n}也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12．（3）若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m –S m ，S 3m –S 2m 成等差数列．（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶–S 奇=nd ，S S 奇偶=1nn a a +； ②若项数为2n –1，则S 偶=（n –1）a n ，S 奇=na n ，S 奇–S 偶=a n ，S S 奇偶=-1nn ．（5）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为2-12-1n n S T =nna b ． 【方法总结】 （一）等差数列1．等差数列的判定与证明方法有以下四种：（1）定义法：a n+1–a n =d （常数）（n ∈N *）或a n –a n –1=d （n ∈N *，n ≥2）⇔{a n }为等差数列． （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （3）通项公式法：a n =an+b （a ，b 是常数，n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （4）前n 项和公式法：S n =an 2+bn （a ，b 为常数）⇔{a n }为等差数列．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n+1，a n+2，使得这三项不满足2a n+1=a n +a n+2即可．判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般优先考虑定义法，即先表示出a n +1–a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．也可根据已知条件求出一些项，根据求解过程寻找具体的解题思路．注意常数列{a n }的通项公式为a n =a （a 为常数），它是一个首项为a ，公差为0的等差数列．2．等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解． 3．求数列前n 项和的最值的方法：（1）通项法：①若a 1>0，d<0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，来确定；②若a 1<0，d>0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，来确定．（2）二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n =na 1+–12n n （）d=2d n 2+（a 1–2d）n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值． （3）不等式组法：借助S n 最大时，有–11n n nn S S S S +≥⎧⎨≥⎩，（n ≥2，n ∈N *），解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值（即S n 的最值）． （二）其他数列1．求数列前n 项和的常用方法 （1）分组求和法分组转化法求和的常见类型①若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．②通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项． 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭相加2．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； 5．以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在数列{}n a 中，35a =，()120n n a a n ++--=∈N ，若25n S =，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()120n n a a n ++--=∈N ，所以1=2n n a a +-=d ，所以数列{}n a 是等差数列，121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……所以()11145 ,1,512252a a n n n na +=⎧⎪∴==⎨-+⋅=⎪⎩．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a = A ．11 B ．13 C ．15 D ．17【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，62423744,a a d d d =+⇒=+⇒= 根据等差数列的通项公式得到42215.a a d =+=故选C ．【名师点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题． 3．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【解析】∵()461315415220a a a a a a +++=+=，∴41510a a +=， ∴()1012101211555a a a a -=-()891011121215a a a a a a =++++- ()89101115a a a a =+++()41525a a =+4=．故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题．4．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21016a a +=，714S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1777()142a a S +==，得174a a +=①， 因为21016a a +=，所以11116a a +=②，②–①得，11712a a -=，即412d =，所以3d =，故选B ．方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21016a a +=，714S =，所以112101672114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列基本量求解，属于基础题．等差数列基本量求解的通法是方程组法，利用等差数列的通项公式、求和公式将条件转化为关于1a 和d 的方程组，进而求解；另外也可以运用性质法，即利用等差数列的相关性质公式以及通项公式、求和公式直接求出基本量．5．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．–66 D ．–132【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．【名师点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题．6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a = A ．4 B ．7 C ．8 D ．14【答案】A 【解析】()177477282a a S a +===，故44a =，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题． 7．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且86a =，828S =，则其公差为A ．47 B ．57 C ．47-D ．57-【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由86a =，828S =，则1176878282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得57d =，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S = A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2019【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 所以2019110092019S a d =+，20181201720182S a d =+，代入20192018120192018S S -=，得2d =． 所以()20192019201820192018202S ⨯=⨯-+⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学】等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a = A ．6B ．7【答案】A【解析】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，则公差d = A ．6 B ．6- C ．2- D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5<a 6，∴a 5=–2，a 6=4，∴d =a 6–a 5=6，故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的构造及解法，是基础的计算题． 11．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于A ．9B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =， 因为33S =，所以21a =，所以公差7225a a d -＝＝，所以5237a a d =+=．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若357911355,3a a a a a s ++++==，则5a 等于A ．5B ．6【答案】C【解析】在等差数列{}n a 中，因为35791155a a a a a ++++=，所以7755511a a =⇒=， 又33S =，123223331a a a a a ∴++=⇒=⇒=，又因为7252a a d d =+⇒=，5237a a d ∴=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S =A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===．【名师点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题．14．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在等差数列{}n a 中，已知10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038【答案】B【解析】由题得2019S =1201910102019)201920192a a a +==（．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】等差数列{}n a 中，2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，则12345a a a a a ++++=A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，∴2a +4a ＝4＝1a +532a a =， 则1234510a a a a a ++++=．故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题． 16．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】若等差数列{}n a 的前n 项和为258,2,8n S a a S +=-=，则n S =A ．22n n -B ．27n n -C ．251n n ++D ．27n n -+【答案】B【解析】令()11n a a n d =+-，则1114287882a d a d a d +++=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩162a d =-⎧⇒⎨=⎩ 所以()216272n n n S n n n ⨯-=-⨯+⨯=-，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键在于能够将已知条件转化为关于基本量的方程，属于基础题．17．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，912162a a =+，24a =，若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为1011，则k =A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,24,a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩解得12a d ==．()21222n n n S n n n-∴=+⨯=+，()111111nS n n n n ∴==-++， 1211111111110112231111k S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10k =．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．18．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==，故本题选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质．考查了运算能力． 19．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知等差数列{}n a 满足711a =，2810a a +=，则11=SA ．176B ．88C ．44D ．22【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，由2810a a +=，得55a =，又711a =， 则()()111571*********a a a a S ++===，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．20．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =A ．8B ．9C ．16D ．15【答案】D【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+， 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++，解得2d =， 所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n bn c =++，等比数列{}n b 的前n 项和3nn T d =+，则向量(,)c d =a 的模为A ．1 BCD ．无法确定【答案】A【解析】等差数列{}n a 前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即常数项为0的二次式， 而根据已知2n S n bn c =++，故可得0c =，等比数列{}n b 的前n 项()1111111n n n b q b bT q qq q-==----， 而根据已知3nn T d =+，可得11111b d q b q⎧=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩，即1d =-，因此向量()0,1=-a ，则1=a ，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质，属于中档题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．31-【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，()51555164022S a a ∴=+=⨯=，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．23．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，8566S S -=，则33a =A ．82B ．97C ．100D ．115【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，所以39d =，解得3d =， 又由8566S S -=，所以11875483536622a a ⨯⨯+⨯--⨯=，解得14a =， 所以331324323100a a d =+=+⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．24．【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =，11a =（2m ≥，且m ∈N ），则m 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =， ∴19m m m a S S -=-=，又25m S =，11a =，∴()15252m m a a m S m +===，∴5m =，故选B ．【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，考查前n 项和与通项的关系，考查计算能力．25．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】A【解析】∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝3，S 6＝21，∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得a 1＝1，d ＝1．∴数列{a n }的公差为1．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．【四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学】设n S 为等差数列的前n 项和，且3652a a a +=+，则7S =A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】因为563542a a a a a +=+=+，所以42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题．求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系．27．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，则9S =__________． 【答案】63【解析】因为57a =，所以()199599632a a S a +===．故答案为：63． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型． 28．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________．【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==，所以443423262S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：26． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题．29．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】设等差数列{}n a 满足：127a a +=，136a a -=-，则5a =__________．【答案】14【解析】∵等差数列{a n }满足：a 1+a 2＝7，a 1–a 3＝–6．∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩，解得a 1＝2，d ＝3，∴5a ＝a 1+4d ＝2+4×3＝14．故答案为：14． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题． 30．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】由题意，男子每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ．根据题意可知，91471260,390S a a a =++=，法一：()199********,1402a a S a a +===∴=，147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=，34120a a d ∴=-=．故答案为：120．法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩， 所以312120a a d =+=．故答案为：120．【名师点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题．。
《高考真题》专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-．若(l n2)8f =，则a =______________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中 ，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x =C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数， 当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增， 且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可． 【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】 【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()233f ===， ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解． 【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足 ，代入函数求值即可． 【解析】 对一切 且 恒成立．恒成立，恒成立．， ．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当时， ，则______________． 【答案】【分析】根据 是周期为4的奇函数即可得到 ＝f (﹣8 )＝f ( )＝﹣f ()，利用当0＜x ＜2时，＝4x，求出，再求出 ，即可求得答案．【解析】∵ 是定义在R 上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系．29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________． 【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=， 可得(4)0f =，则20191(1)(2)(019))(2i f i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f =+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f ++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数 与 都是定义在 上的奇函数，当 时， ，则的值为______________． 【答案】2【分析】根据题意，由 是定义在R 上的奇函数可得 ，结合函数为奇函数，分析可得 ，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得 的值，相加即可得答案． 【解析】根据题意 是定义在R 上的奇函数，则 的图象关于点（﹣1，0）对称， 则有 ，又由 是R 上的奇函数，则 ，且 ，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题(含答案与解析)_5559
1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵盟中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 162. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A.B.C. 4D. 83. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 64. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种C. 48种D. 60种5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（ ）A.π3B.2π3C.3π4D.5π67. 已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0B. -2C. -4D. -8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8D. 方差为3735010. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期11. 已知双曲线C ：2213y x -=左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B.当m =时，MN =为的C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 13. 若关于x 方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值.17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确概率均为23.的的假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △面积为43，求直线l 的方程. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中元素，进而求出集合A 的子集个数．的【详解】由题意得，{}5N |00,1,22A x x ⎧⎫=∈≤≤=⎨⎬⎩⎭， 则A 的子集个数为328=， 故选：C ．2. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A. B.C. 4D. 8【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，将A 点坐标代入抛物线方程，求得4p =，求出524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求得OAF △的面积.【详解】将54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入C 的方程，得5222p p =，故4p =，所以524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAF △的面积521222S =⨯⨯=故选：A.3. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】(),0,m n ∀∈+∞，919119110104444m m n mn n n m mn ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时等号成立. 故选：B.4. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种【答案】B 【解析】【分析】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解. 【详解】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为1233C C +， 所以不同的安排方法有313332(C C )(33)636A +=+⨯=（种）. 故选：B 5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b << B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数1()2ln ,1f x x x x=+>，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数1()2ln ,1f x x x x =+>，求导得221221()0x f x x x x -'=-+=>， 因此函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(2)(e)(3)f f f <<，1112ln222ln32e 3+<+<+，所以a c b <<故选：C6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =.（ ） A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D 【解析】【分析】由已知等式结合正弦定理可得()2221b a B =+，再由余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可【详解】由()22sin 21sin B B A =及正弦定理得()2221b B a=+，即()2221b a B =+， 由a c =及余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，∴()()222121cos a B a B =-cos B B =-，∴tan B =. 又0πB <<，∴5π6B =. 故选：D.7. 已知AB 是圆O ：222x y +=直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0 B. -2C. -4D. -【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则30OC =°=∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，的∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】利用赋值法，先后求出()01f =，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再令12y x =-，得到()()10f x f x +-=，即可求解.【详解】令12x y ==，则有()()()()21011f f f f =+， 又()11f =-，∴()01f =.令12x =，0y =.则有()()1121011022f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12y x =-，则有()()122221212f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()2210f x f x +-=，∴()()10f x f x +-=， ∴()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+.()()()()()012202320241101201f f f f f =+++⋅⋅⋅++=+⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数为9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8 D. 方差为37350【答案】ABD 【解析】【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A ，平均数()19.19.39.49.69.810109.67=++++++=，故A 正确； 对于B ，出现次数最多的数为10，故B 正确；对于C ，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C 错误； 对于D ，方差为()()()()()()2222221379.19.69.39.69.49.69.69.69.89.62109.67350⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.10. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据奇偶函数得定义判断；对B ，计算()()4πf x f x -=-可判断；对C ，计算()()πf x f x -=可判断；对D ，根据周期函数的定义判断.【详解】由题意得，()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x =+++， 对于A ，x ∈R ，()()()()()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x -=-+-+-+-()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴函数()f x 是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()()()1114πsin 4πsin 34πsin 54πsin 74π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴()f x 的图象关于点()2π,0对称，故B 正确； 对于C ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =+++=，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确； 对于D ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴π不是()f x 的周期，故D 错误. 故选：BC.11. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B. 当m =时，MN =C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据离心率的公式即可求解A ，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B ，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C ，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.【详解】由题意得，1,a b ==2c e a ===，故A 错误；联立22113x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得2803y -=，解得0y =或y =，则0MN =-=，故B 正确；由直线l ：()1x my m =-∈R 可知()1,0M -，又1,2a b c ===，01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭，故P 在线段2MF 的中垂线上，设PM ，2PF 的斜率分别为k ，k -，()1,0M -，故直线MP 的方程为()1y k x =+，联立()22113y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()22223230k x k x k ----=，设()11,N x y ，则212213k x k -+=-，21233k x k +=-，故22236,33k k N k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭. 当2NF x ⊥轴时，2223b MF a c NF a=+===，2MF N 是等腰直角三角形，且易知2245PF M NF P ∠=∠=︒；当2NF 不垂直于x 轴时，直线2NF 的斜率为22226233123k k k k k k-=+---，故222tan 1k NF M k ∠=--， 因为2tan PF M k ∠=，所以2222tan 2tan 1kPF M NF M k∠==∠-，所以222PF M NF M ∠=∠，22PF M NF P ∠=∠，故C 正确；因为12QF PF ∥，故212221F FQ PF M NF P F QF ∠=∠=∠=∠，故2124QF F F ==，故D 正确.故选:BCD.第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()5,4-- 【解析】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，()4050a a +<⎧⎨-+<⎩，解得54a -<<-，∴实数a 的取值范围是()5,4--. 故答案为：()5,4--.13. 若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 【答案】1e##1e - 【解析】【分析】根据题意，由条件可得()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，构造函数()e e x f x x =+，即可得到()()ln ln f m f x x =-，然后利用导数求得函数()ln g x x x =-的值域即可得到结果.【详解】由题意得，()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，令()e e xf x x =+，则()()ln ln f m f x x =-， 易知()f x 单调递增，所以ln ln m x x =-. 令()lng x x x =-，()1xg x x-'=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()ln 11m g ≤=-，得10em <≤. 所以m 的最大值为1e. 故答案为：1e14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______. 【答案】32π3##32π3【解析】【分析】首先将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面，确定点E 的位置，再建立空间直角坐标系，确定球心的位置，根据球体积公式计算即可．【详解】由题意得，12,B AB C ==，将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面， 当点,,A E C 共线时，此时AE EC +最小， 在展开图中作CN AB ⊥，垂足为N ，因为1BCC 为等腰直角三角形，所以12BC CC ==，BN CN ==由ABE ANC 得，BE AB CN AN =⇒=2BE =-，在正方体1111ABCD A B C D -，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，则2EF BF ==如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()2,0,0,2,2,0A B ，()0,2,0C ，2,2E-，()()()1112,2,2,0,2,2,0,0,2B C D ，则()()()11112,2,2,2,0,2,2,2,0AC B C B D =-=--=--， 因为111110,0AC B C AC B D ⋅=⋅= ，所以11111,AC B C AC B D ⊥⊥ ，又因为111,B C B D ⊂平面11B CD ，且1111B C B D B ⋂=， 所以1AC ⊥平面11CB D ，因为1111111,AD AB AC C D C B C C ====， 所以三棱锥11B ECD -外接球的球心在1AC 上，设球心为O ，设()()12,2,20AO k AC k k k k ==-≠，则()22,2,2O k k k -，因为OC OE =，所以()()()(()(22222222222222222k k k k k k -+-+=-+-+-+，解得1k =，即()0,2,2O ，所以外接球2R OC ==， 所以三棱锥11B ECD -外接球的体积3432ππ33V R ==， 故答案为：32π3. 【点睛】方法点睛：立体图形中求线段和最小值，将线段所在平面展开在同一平面，即可确定最小值；确定立体图形的外接球，可先确定球心所在直线，建立空间直角坐标系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10230x y +-=（2）4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）令()0f x '=，分离参数可得212e 3x m x -=，由题意可得方程212e3x m x-=在()0,∞+上有2个根，构造函数()212e 3x g x x-=，()0,x ∈+∞，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【小问1详解】 由题意得，()()21212212e 21e 32e 3x x x f x x mx x mx ---'=+--=-，故131524f m ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，解得8m =， 而112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故所求切线方程为1152y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即10230x y +-=； 【小问2详解】 令()0f x '=，则2122e3x x mx -=，故212e 3x m x-=， 因为函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，所以方程212e 3x m x-=在()0,∞+上有2个根，令()212e 3x g x x -=，()0,x ∈+∞，则()()21221e23x x g x x --'=⋅，令()0g x '=，解得12x =，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 且1423g ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0x →时，()g x ∞→+，当x →+∞，()g x ∞→+， 故实数m 的取值范围为4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）先得到1AC CC ⊥，ACBC ⊥，得到线面垂直，故1AC B B ⊥，再得到1B C BC =，由三线合一得到1BB CP ⊥，得到线面垂直，得到结论；（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【小问1详解】因为45CAB CBA ∠=∠=︒，故90ACB ∠=︒， 又1A AC ACB ∠=∠，所以190A AC ∠=︒， 故侧面11AAC C 为矩形，故1AC CC ⊥， 又ACBC ⊥，1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂11CC B B ，所以AC ⊥平面11CC B B ，而1B B ⊂平面11CC B B ，故1AC B B ⊥，又1BC CC =，11160B BC CC B ∠=∠=︒，故1BCB △为等边三角形， 所以1B C BC =，因为P 是线段1BB 的中点，故1BB CP ⊥，且AC CP C ⋂=，,AC CP ⊂平面ACP ，故1BB ⊥平面ACP ， 因为AP ⊂平面ACP ，故1BB AP ⊥.【小问2详解】由（1）知，AC ⊥平面11CC B B ，又AC ⊂平面ABC ， 故平面11CC B B ⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴， 过点C 在平面11CC B B 内作垂直CB 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()2,0,0A ，()0,2,0B，(1B，(10,C -，30,2P ⎛ ⎝，(12,A -，设(),,N a b c ，则11123A N AB =，即(()22,1,2,2,03a b c -+-=-，解得21,,33a b c ===故21,33N ⎛⎝， 易得平面ACP的一个法向量为(10,BB =-，设平面NCP 的法向量(),,n x y z =，则2033302x y n CN n CP y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ ，令1y =，则(4,1,n =.记平面NCP 与平面ACP 夹角为θ，故cos cos ,n θ==， 即平面NCP 与平面ACP .17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为23. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 【答案】（1）分布列见解析，2110； （2）12. 【解析】【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率. 【小问1详解】小明同学答每个问题，回答正确的概率112722510P =+⨯=， X 的所有可能取值为0,1,2,3，显然7~(3,10X B ， 则3327(0)(101000P X ===，1230()37189(1)C 1010100P X =⋅==，22337441(2)C 10101000(P X =⋅==⋅，3337343(3)C ()101000P X ===，则X 的分布列为X0 1 2 3P271000 1891000 4411000 3431000数学期望721()31010E X =⨯=. 【小问2详解】记事件i A 为小明同学答对了i 道题，事件j B 为唐老师答对了j 道题，1,2i =，0,1j =，其中小明同学答对某道题的概率为111(1)222p p +=+，答错某道题的概率为1(1)2p -，则1212111(C (1)(1)(12)22)P A p p p =⋅+⋅-=-，=+=+22211()[(1)](1)24P A p p ，==2011()()39P B ，112214(C 39)3P B =⋅⋅=， 所以小明同学获胜概率为102120102120)()()(()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++2222111411151(1(1)(1)(3107)29494936144)p p p p p =-⋅++⋅++⋅=++≥，解得112p ≤<，所以p 的最小值为12.18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △的面积为43，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）圆C ''与圆C '内切，理由见解析（3）20x y --=或20x y +-=【解析】【分析】（1）利用点差法，结合中点坐标，以及直线的斜率，求椭圆方程； （2）根据椭圆的定义，表示圆心距和两圆半径的关系，即可判断两圆的位置关系；（3）首先设直线l 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点M 的坐标，并利用坐标表示MAB △的面积，即可求解直线方程. 【小问1详解】 易知24b =，则2b =.的.设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，故22231043b a -⋅=，解得2212b a =，则28a =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】设2AF r =，圆C '的半径为椭圆C 的左焦点为F '，则1r ⎤∈-+⎦，2AF r '=-，设D 为线段AF的中点，则12OD AF r '==-， 故圆C ''与圆C '内切. 【小问3详解】当直线l 斜率为0时，不符合题意，舍去.当直线l 斜率不为0时，设直线l 方程为()20x my m =+≠，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，易知()22161620m m =++> ，则12242m y y m +=-+，12242y y m ⋅=-+. 易知()1,0A x '，()2,0B x '， 所以直线AB '：()1212y y x x x x =--①，直线A B '：()2121yy x x x x =--②，联立①②()()122112211212121222224M my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++，所以12121211142222MAB M S BB x x y x y my y =⋅-=-=-'⋅ ， 因为12121my y y y =+，所以()212121142223MABS y y y y y =-+=-===，解得1m =±，故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立方程求出点M 的坐标，并利用坐标表示面积公式. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）()245F =，()339F =（2）不存在，理由见解析（3）500 【解析】【分析】（1）由()k F n 的定义，分别求出()24F ，()33F ；（2）若()()()666F m F n F p +=成立，可转化为666m n p +=，即166n m p m --+=，即可判断； （3）根据题意可知[]15S =，当2n ≥时，可证5 5.6n S <<，即[]5n S =，得解. 【小问1详解】在不大于42的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以()245F =.在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以()339F =. 【小问2详解】因为在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n个，能被6整除的数有66n个， 所以()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.若()()()666F m F n F p +=，则666333m n p+=，即666m n p +=， 因为m n p <<，所以166n m p m --+=，易知16n m -+是奇数，6p m -是偶数，上式不成立， 故不存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=. 【小问3详解】由（2）知，当1n =时，()165551121S F ===--，所以[]15S =，当2n ≥时，()111165561631261261266n n n n F n -----==<=-⋅-⋅-⋅，（上式变换注意用到不等式，若0,0a b c >>>，则b bc a a c+<+.） 所以当2n ≥时，()211165111315351166656nn n n i S F i --=⎛⎫⎛⎫=<+++⋅⋅⋅+=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，所以当2n ≥时，5 5.6n S <<，[]5n S =， 所以[][][][]1231005100500S S S S +++⋅⋅⋅+=⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问，关键是根据()k F n 的定义分析在不大于6n 的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n 个，能被6整除的数有66n个，进而可得()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.第三问，关键是分析得到当2n ≥时，()1165631266n n F n --<=-⋅成立，此处用到糖水不等式放缩.。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题
合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，专题04 二项式定理由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-，可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=．故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、2x 项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查()na b +的展开式的通项公式其通项公式为1C r n r rr n T a b -+=，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查结合题意，考查r 的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式()()na b n *+∈N 展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +；（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点．指数和为n ；（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开；（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）．2．二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n ；二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种．所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的C rn ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：()521x +展开式中第三项为()32235C 21T x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()322335C 2180T x x =⋅⋅=，化简后的结果80为该项的系数．（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如()51x + 展开式的第三项为()32235C 1T x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为10．4．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项． 5．()na b +与()na b -的联系 首先观察他们的通项公式，()na b +：1r n r r r n T C a b -+=；()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-．两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题．1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是 A ．27 B ．–27 C ．26 D ．–26【答案】B【解析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数，1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项，1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243C 327xx =，所以4x 的系数是27-，故选B ．【名师点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题．2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在102()x x-的二项展开式中，6x 的系数等于 A ．–180 B ．53- C ．53D ．180【答案】D【解析】102()x x-的二项展开式的通项公式为102110C (2)r r r r T x -+=-⋅⋅， 令1026r -=，求得2r =，可得6x 的系数为2210(21C )80-⋅=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于–80，则a = A ．–2 B ．2 C ．–4 D ．4【答案】A【解析】由题意3325C (1)80a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．–80 B ．–40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】要求()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数，则x y +中x 与()52x y -展开式中23x y 相乘，以及x y +中y 与()52x y -展开式中32x y 相乘，而()52x y -展开式中，23x y 项为()()233235C 240x y x y -=-，32x y 项为()()322325C 280x y x y -=．所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的项为333333408040x y x y x y -+=，故选C ．【名师点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某一项的系数，属于基础题．5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ．15 D ．1【答案】C【解析】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66316621C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，求得2r =，故展开式中的常数项为26C 15=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设0sin d x a x π=⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为__________．（用数字填写） 【答案】60【解析】0sin d x a x π=⎰cos πcos02=-+=，则662a x x ⎛⎛= ⎝⎝，展开式的通项为(6162rrr r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时得到常数项为(2446260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为60．【名师点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式63x⎛⎝的展开式中4x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】15【解析】因为二项式63x⎛ ⎝的展开式的通项为()()()1718632216611kk kkk k kk T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令71842k -=得4k =， 所以展开式中4x 的系数为()446115C -=．故答案为：15．【名师点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 8．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】11【解析】()()5211x x +-=()()55211x x x -+-而()51x -展开式的通项为()515C 1rr r r T x -+=-取3r =和5r =，得()51x -展开式中含3x 和5x 项的系数分别为10和1， 所以()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为10+1=11．【名师点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题．9．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________． 【答案】15．【解析】通项公式T r +16C r =（x 2）6–r1()r x-=（–1）r 6C r x 12–3r，令12–3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项为46C =15．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】()()341212x x +-展开式中4x 的系数为__________． 【答案】48【解析】因为()()()()()()333342221212141214214x x x x x x x+-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 的系数为()223448C -=．故答案为：48．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 11．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学】若6x ⎛+ ⎝⎭的展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 【答案】3【解析】6a x ⎛+ ⎝⎭展开式的通项公式为6316·C r r r r T x -+=，令630r -=，求得2r =， 可得它的常数项为26C ·45a =，1545a ∴=，3a ∴= 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】若二项式2nm x ⎫+⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据题意，2nm x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n ＝5，则2nm x ⎫⎪⎭展开式的通项为T r +1＝5C r •）5–r•（2m x ）r ＝m r •5C r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2nm x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为T 2＝m •15C ，则有m •15C ＝10，即m ＝2，故答案为：2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．13．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知(12)n x +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式()211()nx x x++展开式中的常数项为__________． 【答案】35【解析】由()12nx +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =．多项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式：662166C C r r r r rr T x x x ---+==，其中0,1,2,,6r =．考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和含2x -的项： （1）令622r -=-，则4r =； （2）令620r -=，则3r =．故常数项为4366C C 152035+=+=．故答案为：35．【名师点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为__________．【答案】–455【解析】依题意，3x 的系数为332217774C (1)12C (1)9C (1)455⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-．故答案为：–455．【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题．15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学】1(2)n x x-（n 为正整数）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 项的系数是__________． 【答案】560-【解析】依题意可知2128n =，解得7n =，()712x x --展开式的通项公式为()()()717727721C C 2rrrr r rr x x x ----⋅-=-⋅⋅⋅，当721r -=时3r =，故含x 项的系数为()3437C 12560-⨯⨯=-．故答案为：560-．【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题．。
棉城中学2019-2020学年高三第二学期第一次月考考试数学试题(理科)
A．{x|10＜x＜1}
B．{x|x＞1}
C．{x|x≥2}
D．{x|1＜x＜2}
2．复数 2＋i 等于( ) 1－2i
A．i
B．－i
C．4＋3i
D．4－3i
3.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的
概率为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5
5
5
5
13．定积分 1(2x ex )dx ＝____. 0
14．已知 a＞0，且二项式(a x－ 1 )6 展开式中含1项的系数是 135，则 a＝______.
x
x
y x
15．设
m
1，变量
x,
y
在约束条件
y
mx
下，目标函数 z x my 的最大值为 2 ，
x y 1
则 m ________.
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A． 2
3
B．
2
2
C．
3
1
D．
2
x2 11.双曲线 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右焦点为 F1，F2，P 是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，
直线 PF1 与圆 x2+y2=a2 相切，则双曲线的离心率为（ ）
5
A．
4
B. 3
23
C.
3
5
D.
3
12．设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a＜1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)＜0，则 a 的取值
(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)△ABC 中边 a，b，c 所对的角为 A，B，C，若 acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝ 3，当 f(B)
安徽省合肥市2021届高三一模数学试题及答案(理科)
合肥市2021年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（解析版） （考试时间：120 分钟满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A.33i 22+ B.33i 22-C.13i 22+ D.13i 22- 【答案】C 【详解】()()()()=-+--=+-=i i i i i i z 111212i 2321-，所以i z 2321+=， 故选：C.2.已知集合{}2xA y y ==，{B x y ==，则A B ⋂=（ ）A.∅B.[]0,1C.()0,1D.(]0,1【答案】D 【详解】{}x y y A 2==()∞+=，0，{}(]1,1∞-=-==x y x B ，所以(]1,0=B A ， 故选;D.3.某商场2020年部分月份销售金额如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为6.171.38ˆ-=x y，则a =（ ） A.198.2 B.205 C.211 D.213.5 【答案】B 【详解】 由题意知，5108642++++=x 6=，5850536828613264aa y +=++++=， 因为样本中心点()y x ,在回归直线方程6.171.38ˆ-=x y上， 所以6.1761.385850-⨯=+a，解得205=a ， 故选：B.4.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足321n n S a =-，则5a =（ ）A.32B.321C.116- D.16- 【答案】D 【详解】当1=n 时，12311-=a a ，11-=a ，当2≥n 时，12311--=-n n a S ，又123-=n n a S ，两式相减，得1-223n n n a a a -=， 即1-2n n a a -=()2≥n ，所以数列{}n a 为以1-为首项，以2-为公比的等比数列， 所以()()162145-=-⨯-=a ，故选：D.5.已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 上一点()2,1P 关于原点的对称点为Q ，若PQF △的周长为则a b -=（ ）B.2【答案】A 【详解】取椭圆E 的右焦点F '，连接F P '，F Q '，则四边形F QFP '为平行四边形，则QF F P ='，因为PQF ∆的周长为5224+，所以5224+=++PQ QF PF ，所以52242+=+'+PO F P PF ，由椭圆定义知，a F P PF 2='+，因为()1,2P ，所以51222=+=PO ，所以5224522+=+a ，解得22=a ， 又点()1,2P 在椭圆E 上，所以11422=+ba ， 解得2=b ，所以2222=-=-b a ，故选：A.6.自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（）A.5712元B.8232元 C.11712元 D.33000元【答案】A 【详解】由题意知，应纳税所得额为()-%20-12496008232060000456052800=--， (]144000,3600082320∈，所以税率为%10，则此人全年应缴纳个人所得税应该为57122520%1082320=-⨯， 故选：A.7.在ABC △中，2AB =，3AC =，2BD DC =，AE EB =，则AD CE ⋅=（ ）A.76-B.76C.163- D.163【答案】C 【详解】+=+=AB BD AB AD ()AC AB AB AC AB BC 32313232+=-+=+，AC AB AC AE CE -=-=21， 所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AC AB AC AB CE AD 21323131633226132612222-=⨯-⨯=-AC AB ，故选：C. 【点睛】关键点睛：⑴用向量AB ，AC 作基底表示向量AD ，CE ；⑵用平面向量的数量积运算公式计算CE AD ⋅的值.8.设函数()21log 20,0x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩.若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A.(B.⎡⎣C.()0,2D.[)1,2【答案】B 【详解】因为⎪⎩⎪⎨⎧≤->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,0,21log )(2x x x x x f ，所以()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1,11,23log )1(2x x x x x f ， 方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点，画出)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象，如图所示，由图象可知31<≤k ，故选：B.【点睛】关键点睛：⑴准确画出函数)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象；⑵方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点.9.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P ABCD -，PA AB AD ==，E ，F 分别为棱PB ，PD 的中点.以下四个结论：①PB ⊥平面AEF ；②EF ⊥平面PAC ；③平面PBD ⊥平面AEF ：④平面AEF ⊥平面PCD .其中正确的是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】D 【详解】因为AD AB =，四边形ABCD 为矩形，所以四边形ABCD 为正方形， 因为四棱锥ABCD P -有一条侧棱与底面垂直，且AB PA =AD =， 所以⊥PA 平面ABCD ，所以AP AD AB ,,两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,0,1E ，()1,1,0F ，对①：因为()2,0,2-=PB ，()1,1,0=AF ，()0212-1002≠-=⨯+⨯+⨯=⋅AF PB ， 所以PB 和AF 不垂直，所以PB 与平面AEF 不垂直，故①错误； 对②：()0,1,1-=EF ，()2,0,0=AP ，()0,2,2=AC ，因为()200101⨯+⨯+⨯-=⋅AP EF 0=，()0002121=⨯+⨯+⨯-=⋅AC EF ， 所以AP EF ⊥，AC EF ⊥，A AC AP = ，所以⊥EF 平面PAC ，故②正确； 对③：()2,0,2-=PB ，()0,2,2-=BD ，()1,1,0=AF ，()0,1,1-=EF ，设平面PBD 的法向量为()z y x m ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BD m PB m ，得⎩⎨⎧=+-=-022022y x z x ，令1=x ，则()1,1,1=m，设平面AEF 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF n AF n ，得⎩⎨⎧=+-=+00y x z y ，令1=x ，则()1,1,1-=n，因为01≠=⋅n m，所以平面PBD 与平面AEF 不垂直，故③错误；对④：()2,2,0-=PD ，()0,0,2-=CD ，设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CD a PD a ，得⎩⎨⎧=-=-02022x z y ，令1=y ，则()1,1,0=a ， 又平面AEF 的法向量为()1,1,1-=n，且()0111110=-⨯+⨯+⨯=⋅n a，所以平面⊥AEF 平面PCD ，故④正确； 故②④正确， 故选：D.10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ）A.6π B.4π C.3πD.23π 【答案】A【详解】由正弦定理和余弦定理得R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =，bc a c b A 2cos 222-+=，由A C b C c A a cos sin 2sin 2sin =+，得⋅⋅=⋅+⋅R c b R c c R a a 22222bc a c b 2222-+， 化简得2222b c a =+，即2222c b a -=，代入bca cb A 2cos 222-+=，得bcc b c b A 22cos 2222--+=234324322=⋅⋅≥+=bc c b bc c b ，当且仅当c b 3=时等号成立，所以⎥⎦⎤⎝⎛∈30π，A ，所以A 的最大值为3π， 故选：A.11.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，曲线C 上一点P到x 轴的距离为2a ，12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）B.1+C.2+D.4【答案】C 【详解】因为双曲线C 上一点P 到x 轴的距离为a 2， 由等面积法得，212121sin 21221PF F PF PF a F F ∠⋅⋅⋅=⋅⋅， 即︒⋅⋅⋅=⋅⋅120sin 21222121PF PF a c ，所以ac PF PF 3821=， 由余弦定理得，+=21221PF F F ︒-120cos 22122PF PF PF ，即()()22122PF PF c -=213PF PF +，即()2122122212PF PF PF PF PF PF +-=+，即()()2222a c =ac 383⨯+，整理得-+ac c 232032=a ， 两边同时除以2a ，得03232=-+e e ，解得23+=e 或23-=e （舍），故选：C.12.若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ） A.516 B.14 C.524D.16【答案】D 【详解】如图，在正方体中作出两个四面体，结合立体图形可知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体， 将该正八面体分为上、下两个完全相同的正四棱锥，且每个正四棱锥的棱长均为22，高为21，所以该正八面体的体积21223122⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=V61=，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查空间几何体的特征、多面体体积的求解.解题关键是：⑴在正方体中作出两个正四面体；⑵结合立体图形知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若实数x，y满足条件10,10,220,x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则32x y-的最小值为 .【答案】2-【详解】由线性约束条件画出可行域，如图中阴影部分，设yxz23-=，则223zxy-=，画出直线23xy=，平移直线，当直线经过()1,0A时，直线的纵截距最大，则yxz23-=取得最小值，所以()2120323min -=⨯-⨯=-y x . 故答案为：2-. 14.若函数()ln a xf x x=的图象在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=垂直，则a 的值等于 . 【答案】 4 【详解】2ln )(x x a a x f -='，因为直线014=-+y x 的斜率为41-， 所以4)1(='f ，即4=a . 故答案为：4.15.在521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的偶次项系数之和是 .【答案】16- 【详解】521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第1+r 项为()rr r rr r r x C x x C T 355255111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以当5,3,1=r 时，对应的项为偶次项，所以x 的偶次项系数之和为16553515-=---C C C .故答案为：16-.16. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】27【详解】 2021年共有365天，记2021年1月1日为第一天，大张三天休息一天，小张每周一或周五休息，他俩同时在2021年1月1日休息， 记集合{}3651,,14≤≤∈+==x Z k k x x A ，{}3651,4717≤≤∈+=+==y Z k k y k y y B ，或，则集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数.①当171421+=+k k ，则2174k k =()Z k k ∈21,，所以()Z k k k ∈=3317， 因为3651411≤+≤k ，所以9101≤≤k ，则91703≤≤k ，即()Z k k ∈≤≤33130， 所以符合条件的3k 有14个；②当471421+=+k k ，则37421+=k k ()Z k k ∈21,，所以()()134221+=-k k k ， 所以()132+k 是4的倍数，所以()Z k k k ∈=+33241，所以()Z k k k ∈-=33214，因为3654712≤+≤k ，所以7361732≤≤-k ，则736114733≤-≤-k ，即()Z k k ∈≤≤3379271，所以符合条件的3k 有13个. 综上，2021年“家庭日”的个数为271314=+. 故答案为：27【点睛】本题考查等差数列的通项、集合的运算.关键点睛：⑴将大张和小张的休息日用等差数列的通项公式表示并用集合的形式表示；⑵集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数；⑶利用3651411≤+≤k 和3654712≤+≤k ，得到3k 的范围.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A 、B 、C 三道工序，三道工序相互独立.工序A 的加工成本为70元/件，合格率为78，合格品进入工序B ；工序B 的加工成本为60元/件，合格率为67，合格品进入工序C ：工序C 的加工成本为30元/件，合格率为56.每道工序后产生的不合格品均为废品.（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；（2）已知坯件加工成本为A 、B 、C 三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.【答案】（1）83；（2）答案见解析 【详解】⑴ 每道工序生产的都是合格品的概率为85657687=⨯⨯， 则一个坯件在加工过程中成为废品的概率83851=-=P ； ⑵设每个坯件的加工成本为ξ元，则ξ的可能取值为70，130，160()8187170=-==ξP ；()8176187130=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==ξP ；()437687160=⨯==ξPξ∴的分布列为14543160811308170=⨯+⨯+⨯=∴ξE ,所以每个坯件加工成本的期望为145. 18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角ϕ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：223x y +=与x 轴正半轴的交点是0P .若圆C 上一动点从0P 开始，以rad /s π的角速度逆时针做圆周运动，t 秒后到达点P .设()2f t AP =.（1）若3πϕ=且()0,2t ∈，求函数()f t 的单调递增区间；（2）若123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，536ππϕ<<，求56f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31；（2）22-4【详解】由已知条件和三角函数的定义得，()ϕϕsin ,cos A ，()t t Pππsin 3,cos 3，则()()222sin 3sin cos 3cos )(t tAP t f πϕπϕ-+-==t t πϕπϕsin sin 32cos cos 324--=()ϕπ--=t cos 324⑴若3πϕ=，则⎪⎭⎫⎝⎛--=3cos 324)(ππt t f 令()Z k k t k ∈+≤-≤πππππ232，解得()Z k k t k ∈+≤≤+234231 又()2,0∈t ，)(t f ∴的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31. ⑵由2)31(=f ，653πϕπ<<，得23cos 324=⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕπ 即333cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ， 032<-<-ϕππ ， 所以 363sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ 2243sin 32465cos 324)65(-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ϕπϕπf . 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点.以EF 为折痕把DEF △折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点.（I ）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（I ）答案见解析；（2）105【详解】⑴连接BE 交AC 于点M ，连接GM ，CE由已知可得，四边形ABCE 是正方形，M ∴是线段BE 的中点，G 为线段PB 的中点，GM PE ∥∴⊂GM 平面GAC ，⊄PE 平面GAC ，∥PE ∴平面GAC ，F E , 分别为线段CD AD ,的中点，AC EF ∥∴,⊂AC 平面GAC ，⊄EF 平面GAC ，∥EF ∴平面GAC ，又E EF PE = ，⊂EF PE ,平面PEF ，∴平面∥GAC 平面PEF .⑵ 平面⊥PEF 平面ABCFE ，平面 PEF 平面EF ABCFE =，EF PF ⊥，⊥∴PF 平面ABCFE ，FP FC FE ,,∴两两垂直.以点F 为原点，FP FC FE ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0P ，()0,1,0C ，()0,2,1B ，()0,1,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛21,1,21G ， ⎪⎭⎫⎝⎛-=∴21,0,23AG ，()1,1,0-=CP ，()0,0,2=CA设平面PAC 的法向量()z y x n ,,=由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CA n CP n ，得⎩⎨⎧==+-020x z y ，令1=y ， 则()1,1,0=n， 设直线AG 与平面PAC 所成角为θ，则10522521cos sin =⨯===nθ 所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为105. 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l ：()()0y k x m m =->与抛物线E 交于A ，B 两点，与抛物线E 的准线交于点N .（1）若1k =时，AB =求抛物线E 的方程；（2）是否存在常数k ，对于任意的正数m ，都有2FA FB FN =⋅？若存在，求出k 的值：若不存在，说明理由.【答案】（1）x y 42=；（2）1±=k 【详解】⑴设()11,y x A ，()22,y x B由()⎩⎨⎧-==m x k y px y 22，消去y 得，()0222222=++-m k x p m k x k ， l 与抛物线E 交于两点，0≠∴k ，又0,0>>p m ，04822>+=∆∴p mp k 恒成立，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴22122122m x x k p m x x ，当1=k 时，22122421p mp x x k AB +=-+=， 因为224+=m AB ，所以2242422+=+m p mp ， 整理得，()()0222=-++p m p ，0,0>>p m ，2=∴p ，所以抛物线E 的方程为x y 42=； ⑵假设存在常数k 满足题意.抛物线E 的方程为px y 22=，其焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线方程为2p x -=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∴2,2p m k p N ，从而22222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=p m k p FN 由抛物线的定义得，21p x FA +=，22px FB += ， ()222221212124222k p p m p x x p x x p x p x FB FA +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴由2FN FB FA =得，22222222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m k p k p p m ，即()0212222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k p p m k因为022>⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m ，022>k p ，012=-∴k ，即1±=k .所以存在1±=k ，使得2FN FB FA =对于任意的正数m 都成立. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x=++有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：1241e x x <（e为自然对数的底数）. 【答案】（1）20-<<e a ；（2）答案见解析 【详解】⑴)(x f 的定义域为()∞+，0，2)(xax x f -=' ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在()∞+，0上单调递增，)(x f 至多有一个零点，不符合题意；②当0>a 时，0)(='a f ，且当()a x ,0∈时，0)(<'x f ；当()+∞∈,a x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在()a ，0上单调递减，在()+∞,a 上单调递增，从而)(x f 的最小值为2ln )(+=a a f .（i ）若0)(≥a f ，即2-≥e a ，此时)(x f 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）（ii ）若0)(<a f ，即20-<<e a ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，0)(<a f ，01)1(>+=a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()+∞,a 内有且只有一个零点.又 )(x f 在()a ，0上单调递减，且0)(<a f ，考虑11ln 2)(2++=a a a f 的正负. 令11ln 2)(++=xx x g ，()2,0-∈e x ， 则012)(2<-='xx x g ，)(x g ∴在()2,0-e 上单调递减， 03)()(22>-=>∴-e e g x g ，即011ln 2)(2>++=aa a f ， a a <<20 ，0)(2>∴a f ，0)(<a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()a ，0内有且只有一个零点.所以，当20-<<e a 时，)(x f 恰有两个零点，符合题意.综上得，20-<<e a .⑵由条件得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++01ln 01ln 2211x a x x a x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∴2121212111ln ln 211ln ln x x a x x x x a x x()2ln 112ln ln 21111ln ln ln ln 12121212212121121221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=---+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 要证421-<e x x ，即证4ln ln 21-<+x x ，即证42ln 11121212-<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ， 即证2ln 11121212-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ，即证2ln 11121212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ①，设12x x t =，不妨设21x x <，由2210x e x <<<-知，1>t 证①式，即转化为证明：当1>t 时，2ln 11>-+t t t ， 设112ln )(+-⋅-=t t t t h ，则()()()22211141)(+-=+-='t t t t t t h ， ∴当1>t 时，0)(>'t h 恒成立，即)(t h 在()+∞,1上单调递增， ∴当1>t 时，0)1()(=>h t h ，所以4211e x x <成立. 解法二：不妨设21x x <，由⑴可知，()2,0-∈ea ，()a x ,01∈，()+∞∈,2a x ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，要证4211e x x <，即证4121e x x <，即证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<4121e x f x f ， 即证03ln 141>+--x ae x ，即证0-3ln 141<+x ae x由01ln )(111=++=x ax x f ，得()1ln 11+-=x x a ， ∴只需证()01ln 3ln 12141<+++x x e x ①，令()1ln 3ln )(24+++=x x e x x h ，则()3ln 21)(4++='x x e xx h ， 令()3ln 21)(4++=x x e x x ϕ，则()()5ln 215ln 21)(42442++-=++-='x e xe x e x x ϕ， 由20-<<e x ，得2ln -<x ，241xe <，0)(<'∴x ϕ，)(x ϕ∴在(]2,0-e 上单调递减，且0)(2=-e ϕ， (]2,0-∈∴e x ，0)(>x ϕ，即0)(>'x h ，)(x h ∴在(]2,0-e 上单调递增，且0)(2=-e h ，而21-<<e a x ， 0)()(2=<∴-e h x h ，即①式得证，所以4211ex x <成立. 【点睛】方法点睛：⑴研究函数)(x f 零点问题，方法一：令0)(=x f ，参变分离，得到)(x g a =的形式，借助数形结合（几何法）求解；方法二：整体含参通过求导讨论)(x f 的单调性、极值的符号，由数形结合可知函数)(x f 的图象与x 轴的交点情况即函数)(x f 的零点情况. ⑵处理极值点偏移问题的基本策略是利用极值点满足的等式构建不等式，再利用导数讨论不等式对应的函数的单调性即可.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y βββ=⎧⎪⎨=⎪+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程：（2）若点M ，N 为曲线C 上两点，且满足3MON π∠=，求2211OMON-的最大值.【答案】（1）()Z k k ∈+≠+=,2sin 31122ππθθρ；（2）233 【详解】⑴化简曲线C 的参数方程得，⎪⎩⎪⎨⎧==ββ2sin 212cos y x （β为参数，且ππβk +≠2，Z k ∈） 消去参数β得曲线C 的普通方程()11422-≠=+x y x .化成极坐标方程为()()()Z k k p ∈+≠=+,21sin 4cos 22ππθθθρ，θρ22sin 311+=∴()Z k k ∈+≠,2ππθ.⑵ 不妨设()θρ，1M ，⎪⎭⎫⎝⎛+32πθρ，N ，则1ρ=OM ，2ρ=ON , - ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+∴3sin 31sin 31112222πθθON OM⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=32sin 2332cos 492sin 433πθθθ 当且仅当()Z k k ∈+=ππθ127时，2211ONOM +取得最大值为233. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22f x x a x a =--+. （1）若()11f ≥，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()20f x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】⑴⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,；（2）0【详解】⑴由1)1(≥f ，得11212≥+--a a ，()⎩⎨⎧≥++--≤∴112211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤<-11221211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->1121221a a a 解得1-≤a 或211-≤<-a ， a ∴的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,.⑵ 设t x =2()0≥t ，由已知得，对任意0≥t ，使得0)(≤t f 成立，0)(≤t f ，则a t a t +≤-22，即()()2242a t a t +≤-，即01232≥+at t ，当0=t ，R a ∈；当0>t ，04≥+a t 恒成立，即0≥a ，0≥∴a ，即a 的最小值为0.。
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
安徽省临泉一中2019届高三上学期三模数学试卷(理科)
高三上学期第三次模考数学试题(理科)命题人:曹胜龙 审题人:潘素梅第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{}(){}2210,,220,A y kx y k B x y xy x y A B =--+==+--=⋂则中元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1或22．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 设()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2,1log 2,2231x x x e x f x ，则不等式()2>x f 的解集为（ ） A. B. C. D.4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B=（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π5．已知函数()1y f x =+关于直线1x =-对称，且()f x 在(0，+∞)上单调递增，()()0.3331log ,2,2log 25a f b f c f -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<6.记{}n S 是为正项等差数列{}n a 的前n 项和.若253S a =，11a =，则数列{}n a 的公差d 为（ ）（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 7.函数cos sin y x x x =+的图像大致为（ ）8.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.-2B.23-C.34- D.-1 9..数列{}n a 满足11112,1n n n a a a a ++-==+，其前n 项积为n T ，则2017T 等于（） A.16 B.16- C.6 D.2 10.已知等比数列{}n z 中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且0>y ），则数列{}n z 的前2019项的和为（ ） A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+ 11．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图像与直线1y =-相邻两个交点距离为π，若以()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.设函数()22ln f x x x ax x =--，若不等式()0f x <仅有1个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）11,ln 22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ （B ）11,ln 22⎛⎤-- ⎥⎝⎦（C ）11ln 2,ln 323⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ （D ）11ln 2,ln 323⎛⎤-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为__________．14．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是．DCBA15. 已知336cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 65cos 2πααπ__________．16．[]x 是不超过x 的最大整数，则方程()[]04124722=--x x 满足1<x 的所有实数解是____________． 三、解答题：本大题共6小题。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题48 圆的方程(解析版)
考点48 圆的方程1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满足a b ≠，0c ≠，且()()0c a c b -⋅-=，则a b a bc++-的最小值是（）AB ．C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()()0c a c b -⋅-=得0AC BC ⋅=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB ， 因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++ 1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而2a b a bc++-≥，选 C.2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（）A ．9B ．C ．9或D ．9或【答案】C 【解析】 因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，所以，解得. 圆的圆心坐标是，半径为，因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为，解得或.当时，；当时，.综上，或.故选.3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选：．4．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）已知点A 在圆22(2)1x y -+=上，点B 在抛物线28y x=上，则||AB 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】由题得圆()2221x y -+=的圆心为（2,0），半径为1. 设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆()2221x y -+=的圆心， 由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1, 设点B 的坐标为(x,y),所以|AB|≥x -(-2)-1=x+1,因为x≥0， 所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1. 故选：A5．（新疆2019届高三第三次诊断性测试数学理）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【答案】B 【解析】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，即1<因为点P 1， 所以点P 在圆外，故选B ．6．（河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（ ）A ．y 2＝xB ．y 2C ．y 2＝2xD ．y 2＝x【答案】C 【解析】 【分析】 如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2p ，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴32N x p =， ∴|NA|＝322p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ． 故选：C ．7．（闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考数学理）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(2)26x y +++=D ．22(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=本题正确选项：A ．8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）Rt ABC ∆中，090ABC ∠=，AB =4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ） A．2,2] B．(4,2] C．2,2]+ D．2,2]【答案】C 【解析】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y轴建立直角坐标系；(0,0);(0,4)B A C设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方； 当点D 可能在直线AB 的上方；直线BD 的斜率1yk x=；直线AD的斜率2k =由两直线的夹角公式可得：2121tan12011k k k k x-=⇒=+⋅化简整理的22((1)4x y ++=可得点D的轨迹是以点1)M -为圆心，半径2r =的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：22CM r -== 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D的轨迹方程：22((1)4x y +-=此时点D的轨迹是以点N 为圆心，半径2r =的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：22CN r +==所以CD的取值范围为2⎡⎤⎣⎦．9．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）已知圆关于对称，则的值为A ．B．1 C．D．0【答案】A【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A．10．（北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C （0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C【解析】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.11．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考)数学理）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 圆心为的中点，半径为，则以线段为直径的圆的方程为.故选D.12．（四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试）点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A ．B ．C ．1D ．3【答案】D 【解析】圆x 2+y 2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M ，N 在圆x 2+y 2+kx+2y-4=0上，且点M ，N 关于直线l ：x-y+1=0对称， 所以直线l ：x-y+1=0经过圆心， 所以．所以圆的方程为：x 2+y 2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C ．13．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）在直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使2M A M O =，则圆心C 的非零横坐标是__________． 【答案】125【解析】圆心在l 上,设(),24C a a -,点(),M x y ,因为2MA MO ==,化简得:()2214x y ++=,所以点(),M x y 在以()0,1D -为圆心,以2为半径的圆上,又点(),M x y 在圆C 上,所以圆C 与圆D 有唯一公共点,即两圆相切,211CD =-=,或者213CD =+=,即251280a a -+=或25120a a -=,解得0a =(舍)或125,故填125. 14．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 15．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：116．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．【答案】.【解析】 ∵圆的圆心为M （-3，2）， ∴圆关于M （-3，2）中心对称，又曲线，关于（-3，2）中心对称， ∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则，,∴，故答案为.17．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）已知点A （-2，0），B （0，2），若点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为______．【答案】4 【解析】∵点A （-2，0），B （0，2），∴AB 的直线方程为=1，即x-y+2=0．圆心C （3，-1）到直线AB 的距离为d=，因为点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，所以点P到直线AB距离的最小值为：=，且.则ABP面积的最小值为.故答案为：4．18．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）已知直线过定点，线段是圆的直径，则________.【答案】7.【解析】直线可化为，联立，解得点，∵线段是圆的直径，∴19．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．【答案】.【解析】如图：，，，，，，，，解得：，故答案为：．20．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）在极坐标系下，点π(1,)2P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q距离的最小值为_________．1 【解析】由题得点P 的直角坐标为（0,1），222222cos 2cos +201)1x y x x y ρθρρθ=∴=∴-=∴-+=，，，（，所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆，所以点P 11-=.1．21．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()5,0B .若圆()()22:44M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为______.【答案】【解析】根据题意，设P 的坐标为(,)a b ，直线PA 的方程为(1)1by x a =++，其在y 轴上的截距为1b a +， 直线PB 的方程为(5)5b y x a =--，其在y 轴上的截距为55b a --，若点P 满足使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有5()()515b b a a ⨯-=+-， 变形可得22(2)9b a +-=，则点P 在圆22(2)9x y -+=上，若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一点P ，则圆M 与22(2)9x y -+=有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，2，则两圆只能外切， 则有2425m +=，解可得：m =故答案为：22．（湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试理）已知圆22:(6)(6)16M x y -+-=，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为______． 【答案】12 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边OM =N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，直线OM的方程为0x y -=，点()7,5到直线OM=所以N 到直线OM 的距离的最大值为故OMN ∆的面积的最大值为1122⨯=. 故答案为：1223．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考数学理）已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】由题意，可设圆C 的方程为，则，，所以， 则圆C 的方程为，即，可得，设，则== =，由题意可知，，所以.故答案为：. 24．（江苏省苏州市2018届高三调研测试理）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________． 【答案】【解析】根据题意，设圆C 的圆心为（m ，n ），半径为r ，则圆C 的标准方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝r 2，则有， 解可得：m ＝1，n ＝﹣2，r，则圆C 的方程为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝225．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆1C ：2214x y +=的左、右两个顶点分别为,A B ，点P 为椭圆1C 上异于,A B 的一个动点，设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若动点Q 与,A B 的连线斜率分别为34,k k ，且3412(0)kk kk λλ=≠，记动点Q的轨迹为曲线2C .（1）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（2）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于,E F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1,3]λ∈，求12S S 的取值范围. 【答案】(1) 224(2)x y x +=≠± (2) []5,7【解析】（1）设()00,P x y ()02x ≠±，则220014x y +=，因为()()2,0,2,0A B -，则2020001222000011422444x y y y k k x x x x -=⋅===-+---(),Q x y 设 ()2x ≠±所以2341222244y y y k k k k x x x λλ=⋅===-+--，整理得 2214x y λ+= ()2x ≠±.所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为 ()2242x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,E x y F x y . 由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为：22x y =-+.由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+= ()2x ≠±，联立 ()2262244x y x x y λλ=-⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()29160y y λλ+-=，得 1691y λλ=+ 联立()2222244x y x x y λλ=-+⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()2120y y λλ+-=，得 221y λλ=+2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y λλ∠--+=====+∠-- 设()918911g ，λλλλ+==-++ 则()g λ在[]1,3上递增 又()()15,37g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 26．（四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为. （Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点； （Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，由消去整理得，又因为直线与抛物线相切， 所以，解得．当时，直线方程为，可得点坐标为，又因为焦点，所以点在轴上的射影为焦点． （Ⅱ）设直线的方程为，由，其中恒成立.设，，则，所以，．由于圆是以线段为直径的圆过点，则，所以所以，解得或．当时，直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为，圆的方程为．27．（江西省抚州市七校2019届高三10月联考数学理）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可知，设圆的方程为，，解得，，所以圆的方程为．（2）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为．又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．由题可知，，．因此，又，同理，所以，当且仅当时取等号．又，所以的取值范围是．。
干货提取01(第一篇)- 干货提取之2019届高三数学最新模拟试题精选精析(原卷版)
干货提取之2019届高三数学最新模拟试题精选精析 01一.选择题精选1.【广东省惠州市2019届高三第一次调研考试】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三 角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A B ．1 C D 2. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 3. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】在中，为的中点，，则（ ） A ． B ．C ．3D ．4. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A．B．C．D．6.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．7.【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则（）A．B．C．D．8.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A．B．C．D．9.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】函数的图像大致为( )A．B．C．D．10.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A．B．C．D．11.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知双曲线，分别过其左、右焦点，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为（），则双曲线的离心率为( )A．B．C．2D．12.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).A．B．C．D．13.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知函数，若在区间内无最值，则的取值范围是( )A．B．C．D．14.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).A．B．C．D．二．填空题精选1．【山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三上学期第一次联考】已知ABC ∆的面积为S ，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若2224c b a S +=+，则)4πco s(si n +-B C 取最大值时C = ．2. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为____．3. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】在中，，，，过作交于，则__________．4. 【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________. 5. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在锐角中，，，则中线AD 长的取值范围是_________.6. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_____．7. 【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以1S ，3S ， 4S 为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________.8. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知函数在区间上恒满足，则实数的取值范围是____．9. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．10. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.二．解答题精选1.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【理】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的两个零点分别为，（），证明：.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【文】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.2.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【理】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且满足，求直线与平面所成角的正弦值.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【文】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求点到平面的距离.3.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】【理】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.若随机变量服从正态分布，则，.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】【文】未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）由频率分布直方图，若在年龄，，的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在组内抽取的人数；（3）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？附：，其中.参考数据：4.【广东省雷州市2019届高三上学期期末考试】【文理】已知正项数列满足，且对任意，．（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和．5.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】【理】设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】【文】已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.（1）求抛物线的方程；（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.。
2019年高考数学母题题源系列专题01集合及其运算(含解析)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ . 【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么AB = ▲ ． 【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.【母题来源三】【2017年高考江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}AB =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意.故答案为1．【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}AB x x A x B =∈∈且. （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且ð.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系； ③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知集合{1,3,5,7}A =，{}0,1,3B =，则集合A B =________.【答案】{}1,3【解析】因为集合{1,3,5,7}A =，{}0,1,3B =，所以{}1,3A B =. 故答案为{}1,3【名师点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.求解时，根据交集的概念，可直接得出结果.2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B =________.。
专题18 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）(,82． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦专题18 解三角形综合定理求解），最后考查△ABC 是锐角三角形这个条件的利用。
考查的很全面，是一道很好的考题．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin cos 0A A =，a，b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【答案】（1）4c = ；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =． 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=． 解得6c =-（舍去），4c =．（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=． 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅． 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力．【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，有时也以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题．【知识总结】1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则2．三角形中的常见结论在△ABC中，常有下列结论：（1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tan C ；sin 2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ．3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）． 【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形；③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有：①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状． 注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知在ABC △中．,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c +-=，ABC △的面积为（1）求角C 的大小；（2）若c =，求sin sin A B +的值．【答案】（1）π3；（2）32．【解析】（1）由ABC △的面积为1sin 2ab C = 由2228a b c +-=及余弦定理可得2cos 8ab C =，故tan 3C ==π； （2）∵,2cos 8,83C ab C ab ==∴=π，又2228,a b c c +-==6a b +=， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==， 得()sin sin sin 3sin sin 2a C b C C A B a b c c c +=+=+=． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图，在ABC △中，4AB =，点D 在边BC的延长线上，已知7cos 9CAD =∠，AC AD ==（1）求sin B 的值；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）sin 3B =；（2）【解析】（1）在A C D △中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠729=+-，所以3CD =， 在ACD △中，221cos 23AC CD AD ACD AC CD +-∠==⋅． 因为()0,ACD ∠∈π，所以sin 3ACD ∠=，所以()sin sin sin ACB ACD ACD ∠=π-∠=∠=． 在ACB △中，sin sin AC AB B ACB=∠．所以3sin 4B ==，（2）()1cos cos cos 3ACB ACD ACD ∠=π-∠=-∠=-． 在ABC △中，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠．所以2100BC +-=，解得BC =所以ABC △的面积为11sin 422AB BC B ⋅=⨯= 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理、以及三角形的面积公式即可，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=．（1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，ABC △，求ABC △的周长．【答案】（1）1sin 3A =；（2）2+【解析】（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a +-=，所以222cos 23b c a A bc +-==，从而1sin 3A ===．（2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =．因为ABC △，所以1sin 2bc A =即21123=24c =，解得2c =． 【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos b B a A A B -=，a b ¹．（1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）由sin sin cos cos b B a A A B -=-及正弦定理得，22sin sin B A -cos cos A A B B =，∴1cos21cos222B A --- A B =，cos2cos2A A B B -=-， 即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又a b ≠， ∴2266A B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23A B π+=， ∴()3C A B π=π-+=． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．5．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图所示，在平面四边形ABCD 中，2BC CD ==，BCD △的面积是2．（1）求BCD ∠的大小；（2）若260ABD ACB ∠=∠=o ，求线段AD 的长．【答案】（1）90︒；（2）AD =【解析】（1）在BCD △中，2BC CD ==，12BCD S =△sin 2BC CD BCD ⨯⨯⨯=，解得sin 1BCD =， 90BCD ︒∴∠=．（2）由2BC CD ==，90BCD ︒∠=，得到45,CBD BD ︒∠==260ABD ACB ︒∠=∠=，45,45CBD CAB ︒︒∠=∴∠=，在ABC △中，由正弦定理有：sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即2sin30sin45AB ︒︒==在BAD △中由余弦定理有：(22226AD ︒=+-⨯=，AD ∴=【名师点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．6．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()222222(2sin sin )sin a b cA B a c b B +--=+-． （1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）∵()()2222sin sin a b c A B +--= ()222sin a c b B +-． ∴()2cos 2sin sin 2cos sin ab C A B ac B B -=．∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=，又在ABC △中，sin 0A ≠，∴1cos 2C =， 又0C <<π，∴π3C =． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+． 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C <<π，所以23C π=． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．8．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】在ABC ∆中，已知内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足π2sin 6a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积等于12，求a 的最小值． 【答案】（1）π6；（21【解析】（1）)π2sin cos 6a B c a B B c ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，得)()sin cos sin sin A B B C A B +==+，sin sin cos A B A B + sin cos cos sin A B A B =+，sin cos sin A B A B =，又据题意，sin 0B ≠cos A A =， 解得π6A =． （2）1sin 22S bc A bc =⇒=，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-(222b c bc =+≥ 4=-当且仅当b c =时取等号，即)2241a ≥-=，所以a 1． 【名师点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式求最值，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】如图所示，在ABC △中，45B D ∠=︒，是BC 边上一点，23AD AC DC ===，．（1）求ADC △的面积；（2）求BD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠=⨯ 22231912232+-==-⨯⨯．∴120ADC ∠=︒，故sin ADC ∠=． ∴1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠△1232=⨯⨯=． （2）1204575BAD ADC B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，()sin sin75sin 3045BAD ∠=︒=︒+︒sin30cos45cos30sin45=︒︒+︒︒=．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠∠， ∴sin sin AD BAD BD B ⋅∠=∠212==+ 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos (2)cos b A c a B =-+．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，ABC △的面积为ABC △的周长．【答案】（1）23B π=；（2）6． 【解析】（1）由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B AC A B =--，即()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=．又角C 为ABC △的内角，所以sin 0C >，所以1cos 2B =-． 又()0,B ∈π，所以23B π=．（2）由1sin 2ABC S ac B ===△8ac =． 又()222236b a c ac a c ac =++=+-=，所以a c +=ABC △的周长为6．【名师点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．11．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()cos 2cos 0c B b a C +-=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】（1）π3C =；（2 【解析】（1）因为()ccos 2cos 0B b a C +-=，所以()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，所以()sin 2sin cos B C A C +=．又因为A B C ++=π，所以sin 2sin cos A A C =．又因为()0,A ∈π，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =． 又()0,C ∈π，所以π3C =． （2）据（1）求解知，π3C =， 所以222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-．又2c =，所以224a b ab =+-．又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4ab ≤．所以ABC ∆面积的最大值()max max 11sin 4sin 223ABC S ab C π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭△ 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可求解，属于常考题型．12．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在ABC △中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，ABBD =，2AD =．（1）求ADB ∠；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）34ADB π∠=；（2）3． 【解析】（1）已知ABBD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 22AD BD AB ADB AD BD +-∠==-⨯⨯， 又因为()0,ADB ∠∈π，所以34ADB π∠=． （2）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以4ADC π∠=， 因AD AC ⊥，所以ADC △为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S =+=⨯+⨯⨯=△△△． 13．【贵州省思南中学2018–2019学年高二下学期第二次月考数学】如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，3AD =，7AC =，13cos 14ACD ∠=．（1）求BC 的长：（2）求ABC △的面积．【答案】（1）2）4【解析】（1）∵在ACD △中，3,7AD AC ==，13cos 14ACD ∠=． ∴由余弦定理可得：2222cos =AD AC CD AC CD ACD -+⋅⋅∠， 所以2139492714CD CD +⨯⨯⨯＝﹣， 由于7CD <，∴解得5=CD ， ∵2223571cos 2352CDA +-∠==-⨯⨯，∴3CDB π∠=，又∵2DCB π∠=，∴BC = （2）在CBD △中，2DCB π∠=，3CDB π∠=，∴C 点到AB 的距离h =10BD =，∴ABC △面积113224S =⨯⨯=．【名师点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量．（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理．。
安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题含答案
安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合}{}{22,R ,230x M y y x N x x x ==∈=--≤，则M N ⋂=（）A ．()0,3B ．(]0,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞2．已知1e ，2e 是单位向量，且它们的夹角是60︒，若122a e e =+ ，12b e e λ=- ，且a b ⊥，则λ=（）A ．25B ．45C ．1D ．23．拋掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，记事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A 与B 独立，则n 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，3AB =，2BC BD CD ===，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．AF ，BE 是异面直线，AF BE⊥B ．AF ，BE 是相交直线，AF BE⊥C ．AF ，BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D ．AF ，BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直5．波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)x a x b a b +=≠>的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2x ay =交于点R ，RQ OQ ⊥.已知x OQ =是方程32x a x b +=的一个解，则点P 的坐标为（）A ．2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,0b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，若10114n n a ==-∑，则13579a a a a a ++++=（）A ．512B ．678C ．1010D ．10227．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则(2)f m （）A ．2-B ．CD ．28．已知函数()()sin (0,0,π2π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）AB ．1C ．－1D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11ADD A 内的一点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 是线段1A D 的中点时，存在点E ，使得1A E ⊥平面11PB D B ．当点E 为线段1CC 的中点时，过点A ，E ，1D 的平面截该正方体所得的截面的面积为94C ．点E 到直线1BD 2D ．当点E 为棱1CC 的中点且22PE =时，则点P 的轨迹长度为2π311．我们把方程1x xe =的实数解称为欧米加常数，记为Ω.Ω和e 一样，都是无理数，Ω还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A ．()Ω0.5,1∈B ．1lnΩΩ=C ．Ωu u u =，其中1eu =D ．函数()1e ln 1xx x f x x +=+的最小值为(Ω)f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+ ，若a b ⊥，则t =.13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，半径为6的圆C 过坐标原点O 以及F ，且与该抛物线的准线l 相切，则p =.14．欧拉函数()n ϕ表示不大于正整数n 且与n 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知()12111111r n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1p ，2p ，…，r p 是n 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如()11100100114025ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭⎝⎭.若数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，则()()()()123100a a a a ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+=.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知)tan tan 1C B C +-，(1)求角A .(2)若a =ABC 所在平面内有一点D 满足2π3BDC ∠=，且BC 平分ABD ∠，求ACD 面积的取值范围.16．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定须将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值60K =时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A 型手机和B 型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；(2)设K x =且[]50,55x ∈，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．17．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，π3ABC ∠=，ABP 是正三角形，G 是BCD △的重心，点F 满足3AP FP =.(1)求证：//FG 平面BCP ；(2)若32CP AB =，求直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值.18．若正实数数列{}n c 满足()2*12n n n c c c n ++≤∈N ，则称{}n c 是一个对数凸数列；若实数列{}n d 满足122n n n d d d ++≤+，则称{}n d 是一个凸数列.已知{}n a 是一个对数凸数列，ln n n b a =．(1)证明：11056a a a a ≥；(2)若1220241a a a ⋅⋅⋅=，证明：101210131a a ≤；(3)若11b =，20242024b =，求10b 的最大值．19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1M ．若斜率为1k 的直线1l 与椭圆E 相切于点T ，过直线1l 上异于点T 的一点P ，作斜率为2k 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，定义2PTPA PB⋅为点P 处的切割比，记为P λ．(1)求E 的方程；(2)证明：P λ与点P 的坐标无关；(3)若35P λ=，且2l OT ∥（O 为坐标原点），则当20k <时，求直线1l 的方程．参考答案：1．B【分析】利用指数函数的性质及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.【详解】由x ∈R ，得20x y =>，所以()0,M =+∞，由2230x x --≤，得()()130x x +-≤，解得[]1,3N =-，所以()[](]0,30,1,3M N +∞-== .故选：B.2．B【分析】由a b ⊥ 得0a b ⋅=，列出方程求解即可．【详解】由a b ⊥ 得，()2212121122(2)()220a b e e e e e e e e λλλ⋅=+⋅-=+-⋅-=，即22102λλ-+-=，解得4=5λ，故选：B ．3．B【分析】分别求出11C ()2nnP A +=，2()2n P B =，1()2n P AB =，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，则基本事件总数为2n ，事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，则n 次全部正面朝上或n 次中恰有1次反面朝上，则11C ()2nnP A +=，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则2()2n P B =，于是1()2n P AB =，因为A 与B 独立，所以()()()P AB P A P B =，即121n n -=+，分别代入2n =，3，4，5，验证，可得3n =符合题意.故选：B 4．A【分析】先用定理判断AF ，BE 是异面直线，再证明BE 与AF 垂直，连接BF ，即可得到CD ⊥平面ABF ，取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，从而得到EQ AF ⊥、BQ AF ⊥，即可证明AF ⊥平面BEQ ，从而得解．【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD 外一点B 与平面ACD 内一点E 的直线BE 与平面ACD 内不经过E 点的直线AF 是异面直线．下面证明BE 与AF 垂直：证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，因为BC BD CD ==，F 分别为CD 的中点，连接BF ，所以BF CD ⊥，因为AB BF B = ，,AB BF ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，如图：取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，因为AF ⊂平面ABF ，所以CD AF ⊥，又因为//EQ CD ，所以EQ AF ⊥，因为2BC BD CD ===，所以2BF AB =，又因为Q 为AF 的中点，所以BQ AF ⊥，因为BQ EQ Q ⋂=，,BQ EQ ⊂平面BEQ ，所以AF ⊥平面BEQ ，又因为BE ⊂平面BEQ ，所以AF BE ⊥．故选：A ．5．A【分析】求得以OP 为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y ，可得x 的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标．【详解】设(,0)P t ，OP 的中点为,02t ⎛⎫⎪⎝⎭，则以OP 为直径的圆的方程为22224t t x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与抛物线2:C x ay =联立，可得2242124t t x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简可得4220x x tx a-+=，由于RQ OQ ⊥，可得R ，Q 的横坐标相等，则方程32x a x b +=和方程320x x t a -+=有相同的解，即有2b a t =，解得2bt a =，则2,0b P a ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．6．B【分析】由12a =，12n n a a +=计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算【详解】由题意知12a =，222a =，⋅⋅⋅，101021024a ==，因为11014n n a =∑=-，所以110,,a a ⋅⋅⋅中至少有一项是负数．①若101024a =-，则111010910141010n n n n a a a a ==∑=∑-=--=，若129,,,a a a ⋅⋅⋅均为正数，则()919212102212n n a =⨯-∑==-，比1010多12，所以前9项中必有负项，且其和为6-．易得当122,4a a =-=-，且其他项为正项时满足题意，故135792832128512678a a a a a ++++=-++++=．②若101024a =，当129,,,a a a ⋅⋅⋅均为负数时，数列{}n a 的前9项和最小，此时()919212102212n n a =⨯-∑=-=--，11010221024214n na=∑=-+=>-，不符合题意．综上，13579678a a a a a ++++=故选：B 7．A【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则()2sin 21x ϕ+=，即()1sin 22x ϕ+=在()0,π上恰有一个实数根m ，因为π恰为()sin 2y x ϕ=+的最小正周期，且当()0,πx ∈时，2(,2π)x ϕϕϕ+∈+，所以1sin 2ϕ=，若1sin 2ϕ≠，则关于x 的方程()1f x =在()0,π上有两个实数根，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，此时π()2sin(2)16f m m =+=，即π5π266m +=，解得π3m =，所以2π4ππ(2)()2sin(2336f m f ==+=-．故选：A 8．A【分析】先通过图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭列方程求出,ωϕ，进而可得()f x 的解析式，再代入5π6x =-计算即可.【详解】由已知得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()02sin 1ππ2sin 133f f ϕωϕ⎧==-⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即1sin 2π1sin 32ϕωϕ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，又()0,1-为单调减区间上的点，π,13⎛⎫⎪⎝⎭为单调增区间上的点，且在一个周期内，所以5π2π6,Z ππ2π36k k k ϕωϕ⎧=-+⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩，两式相减得π3πω=，所以3ω=，又π2πϕ<<，所以π67ϕ=，所以()7π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以5π5π7π4π2π2sin 2sin 2sin 62633f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.9．ABD【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是503020050500-=，A 正确；对于B ，由875%6⨯=，得第75百分位数为911102+=，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错误；对于D ，由20.053.937 3.841x χ=>=，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：ABD 10．ACD【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.【详解】对于A ，如下图所示，连接11,A C AB，因为点P 是线段1A D 的中点，所以点P 也是线段1AD 的中点，所以平面11PB D 即为平面11AB D .根据正方体的性质，1AD ⊥平面1A DC ，1AB ⊥平面1A BC ，所以1111,AD A C AB A C ⊥⊥，又因为11AD AB A ⋂=，1AD ⊂平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，所以E 与C 重合时，1A E ⊥平面11PB D ，故A 正确；对于B ，如下图所示，取BC 的中点M ，根据,E M 分别为1,CC BC 的中点，易得1EM AD ∥，所以1,,,A M E D 四点共面，所以截面为四边形1AMED ，且该四边形为等腰梯形.又因为11ME AD AM ED ====所以等腰梯形1AMED 2，所以截面面积为1922=，故B 错误；对于C ，如图建立空间直角坐标系，由图可得，1(2,2,0),(0,0,2)B D ，所以1(2,2,2)BD =--，设(0,2,)(02)E m m ≤≤，所以(2,0,)BE m =-，所以点E 到直线1BD的距离d =所以1m=C 正确；对于D ，如图所示，取1DD 的中点G ，连接,,EG GP PE ，易得GE ⊥平面11AA D D ，又因为GP ⊂平面11AA D D ，所以GE GP ⊥，所以2GP ==，则点P 在侧面11AA D D 内的运动轨迹为以G 为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为π3，所以点P 的轨迹长度为π2π2=33⨯，故D 正确.故选：ACD.11．ABC【分析】对于A ：构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：设u uu a =N，整理得1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合选项A 分析判断；对于D ：结合不等式e 1x x ≥+分析可知()1f x ≥，当且仅当1ln 0x x-=时，等号成立，结合()1ln m x x x=-的零点分析判断.【详解】对于选项A ：构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()0.510g =<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；综上所述：()Ω0.5,1∈，故A 正确；对于选项B ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，故B 正确；对于选项C ：设u uu a =N，则a u a =，整理得au a =，即1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得e 1a a =，所以a =Ω，即Ωu u u =，故C 正确；对于选项D ：构建()e 1xh x x =--，则()e 1x h x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()h x 在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h ≥=，可得e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，则()1111ln 111e ln ln 1ln e ln e ln 11111111x xx xx x x x x x x x f x x x x x+++++++===≥=++++，当且仅当11ln 0x x+=，即1ln 0x x -=时，等号成立，因为1,ln y y x x==-在()0,∞+内单调递减，可知()1ln m x x x =-在()0,∞+内单调递减，且()()1110,e 10em m =>=-<，可知()m x 在()0,∞+内存在唯一零点()01,e x ∈，即0>Ωx ，所以()f x 的最小值为()01f x =，不为(Ω)f ，故D 错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．12．4-【分析】根据题意，利用空间向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+，因为a b ⊥，可得(2,3)(1,2)2630a b t t t t ⋅=--⋅-+=-+--= ，解得4t =-.故答案为：4-.13．8【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可知圆心C 在直线4px =上，且642p p+=，解得即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，因为圆C 过坐标原点O 以及F ，所以圆心C 在直线4px =上，因为圆C 的半径为6且与该抛物线的准线l 相切，所以642p p+=，解得8p =.故答案为：814．1002【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数()n ϕ计算即可得解.【详解】由题意可得132n n a -=⨯，则()()1133123a ϕϕ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()11113211223n n n a ϕ--⎛⎫⎛⎫=⋅⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()()99129910012310021222222212a a a a ϕϕϕϕ-+++⋅⋅⋅+=++++=+=- .故答案为：1002.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分1n =及2n ≥进行讨论，结合题中公式求(){}n a ϕ的通项公式.15．(1)π3(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tan A =（2）设ABC CBD x ∠=∠=，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得34sin cos ACD S x x = ，结合导数求解即可.【详解】（1）由题)tan tan 1C BC =-，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，即tan tan 1tan tan B CB C+=-所以()tan B C +=()tan πA -=，所以tan A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由题（1）知π3BAC ∠=，又2π3BDC ∠=，设ABC CBD x ∠=∠=，由BCD △中，2π3BDC ∠=，故π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π2π2π233ACD x x ∠=---=-，由正弦定理有sin sin BC AC BAC x =∠，sin sin BC DCBDC x=∠，则2sin AC CD x ==，故ACD 面积()()2312sin sin π24sin cos 2ACD S x x x x =⋅-= ，令()34sin cos x x x ϕ=，则())224212sin cos 4sin 4sin sin sin x x x x xx xx x ϕ=-=+-'，又π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>，知函数()34sin cos x x x ϕ=在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00ϕ=，π3ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ACD 面积的取值范围为⎛ ⎝⎭.16．(1)0.007(2)136万元【分析】（1）根据频率分布直方图，I 级品中该指标小于或等于60的频率和II 级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A 、B 型手机的损失费用可得()5768f x x =-，结合一次函数的性质即可求解.【详解】（1）临界值60K =时，I 级品中该指标小于或等于60的频率为()0.0020.005100.07+⨯=，II 级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I 级品芯片和1个II 级芯片分别应用于A 型手机和B 型手机，两部手机均有损失的概率为：0.070.10.007⨯=；（2）当临界值K x =时，I 级品中该指标小于或等于临界值K 的概率为()0.002100.005500.0050.23x x ⨯+⨯-=-，可以估计10000部A 型手机中有()100000.0050.23502300x x -=-部手机芯片应用错误；II 级品中该指标大于临界值K 的概率为()0.01100.03600.03 1.9x x ⨯+⨯-=-+，可以估计10000部B 型手机中有()100000.03 1.919000300x x -+=-部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300f x x x =⨯-+⨯-5768x=-又[]50,55x ∈，所以()[]136,176f x ∈，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17．(1)证明见解析【分析】（1）根据重心的性质可得FG PC ∥，即可根据线线平行求证，（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得平面COP ⊥平面ABP ，根据余弦定理以及勾股定理求解长度，即可利用等体积法求解长度，利用线面角的几何法求解，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与直线方向向量的夹角求解即可.【详解】（1）如图，连接AC BD 、，交点为M ，则M 是BD 的中点.因为G 是BCD △的重心，所以2CG GM =.又M 是AC 的中点，所以3AC GC =.由3AP FP =知F 在线段AP 上，且3AP FP =，所以FG PC ∥，而FG ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以//FG 平面BCP .（2）方法1：设2AB =，则3CP =.取AB 中点O ，连接CO PO 、，则AB CO ⊥，AB PO ⊥，,,CO PO O CO PO ⋂⊂=平面COP ,故AB ⊥平面COP ，又AB ⊂平面ABP ，所以平面COP ⊥平面ABP ，交线为PO .由3CO PO ==3PC =，则2221cos 22CO PO PC COP CO PO +-∠==-⋅,得2π3COP ∠=.所以C 到平面ABP 的距离1h 等于C 到直线OP 的距离2π33sin32==.设G 到平面BCP 的距离为2h ，由//FG 平面BCP 知F 到平面BCP 的距离也是2h .由F BCP C BPF V V --=得211133BCP BPF S h S h ⋅=⋅△△，22221113373222224BCPS PC BC PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113331222332BPF BPA S S =⨯⨯⨯=△△从而221h =在CGB △中，2CB =，23CG =，π3BCG ∠=，由余弦定理得2211272333BG BC CA BC CA ⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭所以直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值是223372127h BG ==方法2：如图，以AB 中点O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系.设2AB =，则3CP =，()0,1,0A -，()0,1,0B ，332P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0C ，()3,2,0D-，31,033G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以234,,033BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,333,0,22CP ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ,()3,1,0BC =-,设平面PBC 的法向量是()000,,m x y z =，由()()())()0000000000000000,,1,0000,,033,,000,,,0,0222x y z y x y z BC x y z CP z x y z ⎧⋅-=-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎛⎫⋅=++=⋅-=⎪⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩.令01x =，则00y z =，(m =.所以，cos<,m BG =>= ，从而直线BG 与平面BCP18．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.【分析】（1）法一：由212n n n a a a ++≤得到10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，累乘法得到11056a a a a ≥；法二：由109329821a a a aa a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥得到11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥；（2）法一：由题意得()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，从而得到()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，证明出101210131a a ⋅≤；法二：考虑反证法，假设101210131a a >，得到101110141a a >，进而推出1220241a a a ⋅⋅⋅>，假设不成立；法三：得到1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，且121n n n n b b b b +++-≤-，利用累加法得到()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，证明出结论；（3）由222n n n a a a ++≤可得()()222ln ln n n n a a a ++≤，即121n n n n b b b b +++-≤-，累加得()20241011102014b b b b -≥-，另外()11101019b b b b -≥-，故202410101111020149b b b bb b --≥-≥，故10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，显然n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【详解】（1）法一：由题意得：212n n n a a a ++≤，∴21121121n n n n n n n n a a a a aa a a a a ++-+--≥≥≥≥⋅⋅⋅，∴10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，将以上式子累乘得：10651a a a a ≥，也即11056a a a a ≥成立．法二：由题意得：109329821a a a a a a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥，∴11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥，∴11056a a a a ≥成立．（2）法一：∵121n n n n a a a a +++≤，∴112111n k n k n n n k n k n k n n n k a a a a aa a a a a --+++++---++≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅≤，∴()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，则10121013101110141010101512024a a a a a a a a ⋅≤⋅≤⋅≤⋅⋅⋅≤⋅，∴()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，∴101210131a a ⋅≤．法二：考虑反证法，假设101210131a a >，由121n n n n a a a a +++≤得101210131014101110121013a a a a a a ≤≤，∴1012101310111014a a a a ≤，∴101110141a a >，同理：101210121011101410151015101010111010101310141013a a a a a a a a a a a a =⋅≤⋅=，∴1010101510121013a a a a >，∴101010151a a >，同理可证：100910161a a >，100810171a a >，…，120241a a >，综上可得：1220241a a a ⋅⋅⋅>，与条件矛盾，∴假设不成立，∴101210131a a ≤成立．法三：∵1220241a a a ⋅⋅⋅=，∴122024()ln 0a a a ⋅⋅⋅=，也即1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，同时，由212n n n a a a ++≤可得：()()212ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴1013101220242023b b b b -≤-，1012101120232022b b b b -≤-，…，2110131012b b b b -≤-，将以上式子累加得：1013120241012b b b b -≤-，也即1012101312024b b b b +≤+，同理可得：1012101322023b b b b +≤+，1012101332022b b b b +≤+，……1012101310121013b b b b +≤+，将以上式子累加得：()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，∴101210130b b +≤，∴10121013ln ln 0a a +≤，∴101210131a a ≤成立．（3）由222n n n a a a ++≤可得：()()222ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴202420231110b b b b -≥-，202320221110b b b b -≥-，…，11101110b b b b -≥-，将以上式子累加得：()20241011102014b b b b -≥-，①另外，1110109b b b b -≥-，111098b b b b -≥-，…，111021b b b b -≥-，将以上式子累加得：()11101019b b b b -≥-，②结合①②式可得：202410101111020149b b b b b b --≥-≥，∴10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，另外，显然有n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【点睛】思路点睛：数列{}n b 的性质可参考2y x =这类下凸函数进行理解，不等式2024101110101201419b b b b b b ---≥≥相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系．19．(1)221124x y +=(2)证明见解析(3)4y x =-或4y x =+．【分析】（1）根据椭圆离心率得223a b =，又()3,1M 在椭圆上得22911a b +=，联立可得结果；（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，联立椭圆方程，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+，并求2PT ，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立椭圆方程结合韦达定理，求出PA PB ⋅，利用()2211124n k m k -=+化简2PT PA PB ⋅可得结果；（3）由（2）可知切点()00,T x y ，得00113OT y k x k ==-，结合已知进而可得直线OT 的方程，联立椭圆方程求T 点坐标，从而求出直线1l 的方程.【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c，由题意知，c a =22223a b a -=，解得223a b =．又椭圆E 过点()3,1M ，所以22911a b+=，结合223a b =，解得2212,4a b ==，所以E 的方程为221124x y +=．（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，由()2211124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22211111363120k x k n k m x n k m ++-+--=，()()()()22222111111Δ641331212124k n k m k n k m k n k m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+．设切点()00,T x y ，则()11021313k n k m x k -=-+，101012113n k m y k x n k m k -=+-=+，所以()()()()()22221111212221113311313k m nk k n k m PT k m k k ++⎡⎤-=+--=⎢⎥++⎣⎦，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立由()2221124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22222221363120k x k n k m x n k m ++-+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()221222613k n k m x x k -+=-+，()22122231213n k m x x k --=+，所以12PA PB m m ⋅=--()()22212121k x x m x x m =+-++()()()22222222222312611313n k m k n k m k m m k k ⎡⎤---=+--+⎢⎥++⎣⎦222222131213k n m k +=+-+，易知，点(),P m n 在椭圆E 外，所以221124m n +>，所以223120n m +->，()222222131213k PA PB n m k +⋅=+-+．由()2211124n k m k -=+，得22221112124n k m mnk k +-=+，即()222112412mnk n k m -+=-．因为()()212221331213m nk n m k +-+-+()()()2222112131331213m nk k n m k +-++-=+()222222221112196312331213m k n mnk n m k n m k ++--+-+-=+()()222222111219324331213k n mnk n k n m k +-+-+-=+()()2222222111219312331213k n k m k n m k +--+-=+()()22222211213312331213k n m k n m k +--+-=+0=．所以()212221331213m nk n m k+=+-+，所以()2222121131213k PT n m k +=+-+．所以()()()()222122212113131P k k PT PA PB k k λ++==⋅++，与点P的坐标无关．（3）由（2）得()11021313k n k m x k -=-+，102113n k m y k -=+，所以00113OT y k x k ==-，因为2l OT ∥，所以2113k k =-①，又35P λ=，所以()()()()2212221211335131k k k k ++=++②，由①②解得12113k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12113k k =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）．所以直线OT 的方程为13y x =-，由22112413x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3,1x y =⎧⎨=-⎩或3,1,x y =-⎧⎨=⎩故切点T 的坐标为()3,1-或()3,1-．所以直线1l 的方程为4y x =-或4y x =+．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果.。
专题07 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题07 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3， 故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【母题来源二】【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源三】【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】3【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.【命题意图】高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 【命题规律】1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 【方法总结】（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为 A ．1B 2C ．12D ．2【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ， 所以向量a 在b 方向上的投影的数量为2cos ,22⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.2．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】把点()3,2A 按向量()1,4=a 移到点B ，若2OB BC =-（O 为坐标原点），则C 点坐标为A ．()1,1-B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6， 所以()4,6B ，设(),C x y ，则()4,6OB =，()4,6BC x y =--，又2OB BC =-，所以()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以()2,3C . 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题.求解时，点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6，设(),C x y ，求得OB ，BC ，再利用2OB BC =-列方程组可得：()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解方程组即可.3．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【答案】D【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤…m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．求解时，根据()2⊥+m m n ，得()20⋅+=m m n ，再根据4=n m 进行数量积的运算即可求出cos ,m n 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．4．【湖南师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】连接AC ，根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =， 所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.解答本题时，根据题意得：1()2AF AC AE =+，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求.5．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷数学试题】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b 25，则实数m = A ．2± B ．2 C ．5±D 5【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )12mm =+=⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b（此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）.6．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ， 故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用向量平行的充要条件得到m ，进而利用数量积的坐标运算得到结果. 7．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+， 由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0， 可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 8．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()+⊥λa b c ，则实数=λA ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23-+λλλa +b =，又()+⊥λa b c ，所以()0+⋅=λa b c ，即()()412+523=0-+λλ，解得= 2-λ. 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.求解时，由,a b 的坐标，表示出λa +b ，再由()+⊥λa b c ，得到()()412+523=0-+λλ，进而可求出结果. 9．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题】若向量,a b 的夹角为120︒，1=a ，27-=a b ，则=bA ．12B 7C ．1D ．2【答案】C【解析】因为222244cos ,-=+-a b a b a b a b ， 又,120=︒a b ，1=a ，27-a b ， 所以27=142++b b ，解得32=-b (舍去)或1=b . 故选C.【名师点睛】本题考查求平面向量的模，常用方法是用数量积或22=a a 求解.求解时，先对27-=a b 两边同时平方，代入已知条件，即可解得b .10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知向量a ，b 满足2=a ，且()40+=>λλa b a ，则当λ变化时，⋅a b 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】由已知，(1)4-=λa b ，得2(1)4-=⋅λa a b ，因为||2,0=>λa ，所以11⋅=->-λa b ， 故选D.【名师点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题.求解时，由向量数量积得1⋅=-λa b 即可求解.11．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月）质检数学试题】已知向量,a b 满足1=a ，(),2t t =-b ，-a b与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ． 又由222+-=-⋅a b a a b b ()22=12+[2]t t -+-()2=211t -+ 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得()2211t -=-+a b 根据二次函数的性质，即可求解．12．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是A ．95- B ．0 C ．45-D ．1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知cos B =， 设BP x =，则5CP x =， ∴2565()1()(5)(1)EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅-=-， 05x 剟，∴当355x =时，EP BP ⋅取得最小值95-． 故选A ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．求解时，计算cos B ，设BP x =，把EP EC CP =+代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值．13．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知向量()3,4=a ，()1,k =-b ，且⊥a b ，则4+a b 与a 的夹角为________．【答案】4π 【解析】因为⊥a b ，故0⋅=a b ，所以340k -+=，故34k =，故()41,7+=-a b ， 设4+a b 与a 的夹角为θ， 则2cos 5025525θ===⨯⨯， 因为[]0,π∈θ，故π4=θ， 故填4π. 【名师点睛】解答时，先计算出k ，再求出4+a b 与a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=⋅a a a ；（2）计算角，cos ,⋅=a b a b a b.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0⋅=a b . 14．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知向量()cos ,sin =θθa ，向量(1,=-b ，则3-a b 的最大值是______.【答案】6【解析】由题意，向量()cos ,sin =θθa ，则()33cos ,3sin =θθa ，所以向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，3-a b 最大，最大值为6.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的坐标表示的应用，其中解答中熟练应用向量的几何意义和向量的坐标表示是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．求解时，由向量()cos ,sin =θθa ，得到向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，即可求解，得到答案．15．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABC △中，D 为BC 的中点，且33BC AD ==，则AB AC ⋅=_______． 【答案】54- 【解析】()()22AD DB A AB A D DC C AD BD =++=-⋅⋅95144=-=-. 【名师点睛】本题主要考查向量的基向量表示及向量运算，选择已知信息较多的向量作为基底，是求解这类问题的重要策略.求解时，用AD 表示出所求向量，利用数量积相乘可得结果.。
2022-2023学年高三起航调研测试(Ⅱ)数学试题含答案
本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x ＞x ，q ：x ＜1，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合A ＝{sin x |0≤x ＜π2}，B ＝{x |0≤x ＜π2}，则A ∩B ＝A ．{1}B ．{0}C ．{0，1}D ．{x |0≤x ＜1}3．已知a ，b 为单位向量．若|a ·b |＝|a ＋2b |，则|a －3b |＝A ．2B ．10C ．4D ． 54．抛物线C ：y 2＝4x 在点(2，22)处的切线与双曲线E ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行，则E 的离心率为 A ．2 2B ．2C ．62D ． 35．设a ＝sin 2π6－sin 2π12，b ＝tan π12，c ＝sin π8，则A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知圆A ：(x －2)2＋(y －1)2＝1在平面xOy 内，C (0，t ，2)(t ∈R )．若△OAC 的面积为S ，以C 为顶点，圆A 为底面的几何体的体积为V ，则VS 的最大值为2022～2023学年度高三年级起航调研测试（Ⅱ）数 学A ．510π B ．2515π C ．255π D ．53π 7．已知公差为d (d ＞0)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝d ，b n ＝S n －1S n，且b 1＋b 2＋…＋b 10＝0，则b 11＝ A ．6B ．356C ．11D ．120118．定义在R 上的函数f (x )的值域为(0，π2)，且sin f (x )＝cos f (2x －1)．若f (2)＝1，则A ．f (1)＝π2B ．f (log 23)＝1C ．f (127)＝π2－1D ．f (7)＝π2－1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分 10 分)
已知等比数列 an各项都是正数，其中 a3上上 a2 a3 a4 成等差数列， a5 32 . (Ⅰ)求数列 an的通项公式；
(Ⅱ)记数列
log2
an 的前
n
项和为
Sn
，求数列
1 Sn
立的是
(A) f a2 1 f 2a (B) f a2 1 f 2a (C) f a2 1 f a 1 (D) f a2 1 f a
(12)在 ABC 中， CAB 90o ， AC 1 ， AB 3 .将 ABC 绕 BC 旋转至另一位置 P (点 A 转到点 P )，
合肥市 2019 届高三调研性检测
数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合 M x 1 x 2， N x 1 x 3，则 M N
如面图AD，E D所为成B角C的的正中弦点值，是E 为 PC 的中点.
若 AE 3 ，则 2
AB 与平
(A) 3 8
(B) 3 6
(C) 3 4
(D) 3 3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上相应的位置.
(13)若 a 与 b 的夹角为135o ，
a
(A)
2
k，k
k
Z
(C)
8
1 4
k，1 4
k
k
Z
(B)
k，2
k
k
Z
(D)
1 4
k， 8
1 4
k
k
Z
(11)已知函数 f x ex ex 2 cos x ，其中 e 为自然对数的底数，则对任意 a R ，下列不等式一定成
(5)已知直线 l : x y 5 0 与圆 C : (x 2)2 ( y 1)2 r2 (r 0) 相交所
为 2 2 ，则圆 C 的半径 r
是 得的弦长
(A) 2
(B)2
(C) 2 2
(D)4
(6)执行右面的程序框图，若输出的结果为 15，则判断框中的条件
是
(A) i 4?
(A) 48 8
(B) 48 4
(C) 64 8
(D)
近线的
由半圆 积等于 64 4
(10)若将函数 f x cos2 x 1 cos x1 cos x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，
得到函数 y g x的图象，则函数 y g x的单调递减区间为
情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为 2 和 3.若从右图内
点，则该点取自阴影区域的概率为
据我国古 国人民热 随机取一
(A) 2 3
(B) 8 9
(C) 12 13
(D) 24 25
xy0
(4)(已A)知实6上 数23 x上 y 满(足B)条件0上 23xx2yy(2C0)0，6上 则 z 2x (yD)的0取上 值 范围
统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如 2017 年 7 月与
2017 年 6 月相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如 2017 年 7 月与 2016 年 7 月相比.
环长 上上上
上上上上上 数数 =
上上 数
100% ， 上上上上
上上上上上 数数 长=
的前
n
项和
Tn
.
(18)(本小题满分 12 分)
已知：在 ABC 中， a，b，
c 分别是角 A，B，
C
所对的边长，
cos
a
A
C
b cosA0 Nhomakorabea.
(Ⅰ)判断 ABC 的形状； (Ⅱ)若 C ， c 6 2 ，求 ABC 的面积.
6
(19)(本小题满分 12 分)
(A) x2 y2 1 3
(B) x2 y2 1 或 x2 y2 1
3
3
(C) x2 y2 1 12 4
(D) x2 y2 1 或 x2 y2 1
12 4
4 12
(9)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都
及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面
子不同行、不同列，且不在 3 3 方格图所在正方形的同一条对角线上，则不
同放法共
有___________种.
在 R (上16有)已三知个不f 同x的 零xe点2x ，14上上则xx aaa的(取其值中范a 围0是，__e_为__自__然__对__数. 的底数)，若
g x f f x
1，
b
2 ，则 a b __________.
(14)已知数列 an的前 n 项和为 Sn ， a1 1， Sn1 2Sn n N * ，则 a10
.
(15)将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入 3 3 方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋
(B) i 5? (C) i 6?
(D) i 7 ?
(7)已知
tan
3
，则
sin
2
cos
2
的值为
(A) 3 10
(B) 3 10
(C) 3 5
(D) 3 5
(8)已知双曲线 M : x2 y2 1 (a 0上 b 0) 的焦距为 4，两条渐 夹角为 60o ，则双曲线 Ma2的标b2准方程是
(A) 1,3
(B) 1, 2
(C) 1, 2
(D) 2,3
(2)已知复数 z 1 2i ( i 为虚数单位)，则 | z | 2i
(A) 1 5
(B) 3 5
(C) 4 5
(D) 1
(3)右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根
代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中
上上 数
100% .
下表是某地区近 17 个月来的消费者信心指数的统计数据：