《平面与平面垂直的性质》
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②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 必垂直于另一个平面。
A3 B 2 C1 D 0
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折 痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面， 求BD与平面ABC所成的角。
线线平行 面面平行
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线与另一个平面垂直.
符号表示:
bl
l
b
b
bl
简述为：
面面垂直
线面垂直
练习：
1、下列命题中错误的是（B ）
α A 如果平面 ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在
直线平行于平面 β
因为α ⊥γ，
所以b α， 因为β ⊥γ，
同一法
因此b β， 故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a， γ
αa Pβ b
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法一：
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，
线线垂直 线面垂直 作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β. 因为 α ∩ β= a， 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， γ 所以 a⊥γ.
αa β
Mb cN P
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任
意一点
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
内观垂察两直垂于直平交面线中的,一直个平线面与内 另一 个的位平直置线关面与系垂?另一直个. 平面的有哪些
l
符号表示：
b
Ⅱ.概括结论
bbbll 面bb简面述垂为：直该命题正确线吗？面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
D
D
折成
A
C
O
A
O
C
B
B
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
线线垂直
小结
β A B αa
线面垂直
面面垂直
B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直
线都垂直于平面 β
α C如果平面 不垂直于平面 β ，则平面 α 内一
定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β
交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所线以线b′ ‖c平′, 行
线面垂直
又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β.
又 b′ α, α ∩ β=a,
αa β
所以 b′ ‖ a, 故 a ⊥ γ.
b′ c′
γ
bc
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
提出问题：
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂
线，则这两该个命平面题垂正直确。吗？
符号表示：
b
bb
平面与平面垂直的性质定理
两Ⅰ个. 观平察面垂实直验,则一个平面
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 必垂直于另一个平面。
A3 B 2 C1 D 0
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折 痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面， 求BD与平面ABC所成的角。
线线平行 面面平行
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线与另一个平面垂直.
符号表示:
bl
l
b
b
bl
简述为：
面面垂直
线面垂直
练习：
1、下列命题中错误的是（B ）
α A 如果平面 ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在
直线平行于平面 β
因为α ⊥γ，
所以b α， 因为β ⊥γ，
同一法
因此b β， 故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a， γ
αa Pβ b
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法一：
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，
线线垂直 线面垂直 作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β. 因为 α ∩ β= a， 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， γ 所以 a⊥γ.
αa β
Mb cN P
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任
意一点
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
内观垂察两直垂于直平交面线中的,一直个平线面与内 另一 个的位平直置线关面与系垂?另一直个. 平面的有哪些
l
符号表示：
b
Ⅱ.概括结论
bbbll 面bb简面述垂为：直该命题正确线吗？面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
D
D
折成
A
C
O
A
O
C
B
B
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
线线垂直
小结
β A B αa
线面垂直
面面垂直
B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直
线都垂直于平面 β
α C如果平面 不垂直于平面 β ，则平面 α 内一
定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β
交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所线以线b′ ‖c平′, 行
线面垂直
又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β.
又 b′ α, α ∩ β=a,
αa β
所以 b′ ‖ a, 故 a ⊥ γ.
b′ c′
γ
bc
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
提出问题：
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂
线，则这两该个命平面题垂正直确。吗？
符号表示：
b
bb
平面与平面垂直的性质定理
两Ⅰ个. 观平察面垂实直验,则一个平面