利用韦达定理求一元二次方程的根
一元二次方程根与系数的关系和韦达定理应用探讨
∴k=1,
2若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
解：两根则m²≠0，x1+x2=(2m-3)/m²，x1x2=1/m²
S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵ 是方程①的两个实数根
∴方程②
∵a是方程②的根，∴
6、已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．证明：
（1）则实数m的取值范围是m≤ （2）当x12-x22=0时，则m=考点：根的判别式Fra bibliotek根与系数的关系．
即实数m的取值范围是；m≤
（2）由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得，m=
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去；
若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知；m=
故当x12-x22=0时，m= ．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、 B、3 C、6 D、9
7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（）A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22， 于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114， 于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程的根与系数的关系(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)
一元二次方程的根与系数的关系（知识点考点一站到底）知识点☀笔记韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 考点☀梳理考点1：韦达定理必备知识点：如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 解题指导：适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）韦达定理拓展公式 ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2②1x 1+1x 2=x 2+x 1x 1∙x 2x 2x 1+x1x 2=x 12+x 22x 1∙x 2=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2x 1∙x 2③(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2④|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2 ；（2）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
初中韦达定理公式
韦达定理公式那么韦达定理公式是什么呢？怎么计算？具体如下：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若b2-4ac若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根若b2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根定理拓展(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为-1，则a-b+c=0(5)若一根为1，则a+b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根。
以上为韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2x1乘x2公式韦达定理是什么公式？x1乘x2公式韦达定理是一元二次方程。
即ax加bx加c等于0，a不等于0且△等于b^度2减4ac大于等于0中若两个根为X1和X2，则X1加X2等于负b除a，X1乘X2等于c除a，只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是2二次的整式方程叫做一元二次方程。
x1乘x2公式韦达定理特点一元二次方程方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系，无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理，判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
两种方法证明韦达定理
两种方法证明韦达定理韦达定理是代数学中的一个重要定理，主要描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。
本文将详细介绍两种证明韦达定理的方法，帮助读者深入理解这一数学原理。
方法一：利用一元二次方程的求根公式证明首先，我们有一元二次方程：[ ax^2 + bx + c = 0 ]其求根公式为：[ x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]根据求根公式，我们可以得到方程的两个根：[ x_1 = frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ][ x_2 = frac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]将两个根相加，得到：[ x_1 + x_2 = frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + frac{-b - sqrt{b^2 -4ac}}{2a} ][ x_1 + x_2 = frac{-2b}{2a} = -frac{b}{a} ]将两个根相乘，得到：[ x_1 cdot x_2 = left(frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}ight) cdot left(frac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}ight) ][ x_1 cdot x_2 = frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = frac{b^2 - b^2 +4ac}{4a^2} = frac{4ac}{4a^2} = frac{c}{a} ]因此，我们证明了韦达定理：对于一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，其两个根( x_1 ) 和( x_2 ) 满足( x_1 + x_2 = -frac{b}{a} ) 和( x_1 cdot x_2 = frac{c}{a} )。
方法二：利用因式分解证明对于一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，我们可以将其因式分解为：[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) ]其中( x_1 ) 和( x_2 ) 分别为方程的两个根。
超级韦达定理
超级韦达定理韦达定理是初中数学中常见的一个定理，用于求解一元二次方程的根。
然而，有一天，一位数学家发现了一种更加强大的定理，被称为超级韦达定理。
这个定理不仅可以解决一元二次方程，还可以应用于更高阶的多项式方程。
本文将介绍超级韦达定理的原理、应用以及一些相关的例子。
超级韦达定理是基于韦达定理推导出来的，因此我们先来回顾一下韦达定理。
韦达定理是指对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以用下面的公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±表示两个根的取正负号的不同组合。
当判别式Δ= b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不相等的实根；当Δ等于零时，方程有两个相等的实根；当Δ小于零时，方程有两个共轭复数根。
超级韦达定理的核心思想是将多项式方程转化为一元二次方程，然后应用韦达定理来求解。
对于一个n阶的多项式方程，如f(x) =a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = 0，我们可以通过变量替换来将其转化为一元二次方程。
令y = x^n，我们可以得到一个一元二次方程g(y) = a_ny^2 + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_0 = 0。
然后，我们可以通过韦达定理来解这个方程，得到y的根，然后再将y的根转化为x的根。
这种转化多项式方程的方法使得我们可以利用已有的韦达定理的求根公式来解决更高阶的多项式方程。
它极大地简化了多项式方程的求解过程，并且广泛应用于数学、物理、工程等领域。
下面我们通过一些例子来详细说明超级韦达定理的应用。
例子1：解三次方程考虑方程f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 1 = 0。
我们可以通过变量替换y = x^3，得到一个一元二次方程g(y) = 2y^2 + 3y - 2y - 1 = 0。
通过韦达定理，我们可以求得y的根为y1 = 1/2和y2 = -1。
一元二次方程两个根的关系公式
一元二次方程两个根的关系公式一元二次方程，这可是中学数学里的“常客”，要说这一元二次方程两个根的关系公式，那可是有不少有趣的地方呢！咱们先来说说这一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
要是这个方程有两个根，分别记为 x₁和 x₂，那它们之间的关系可就有讲究啦。
韦达定理告诉咱们，x₁ + x₂ = -b/a ，x₁ × x₂ = c/a 。
这两个公式看起来挺简单，但是用处可大着呢！就比如说，给你一个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那根据韦达定理，两根之和 x₁ + x₂就等于 5 ，两根之积 x₁ × x₂就等于 6 。
然后你一解这个方程，发现它的两个根是 2 和 3 ，嘿，2 + 3 正好是 5 ，2 × 3 正好是 6 ，是不是很神奇？我还记得有一次，在课堂上给学生们讲这个知识点。
有个学生特别调皮，一直在下面小声嘀咕说：“这有啥用啊，能当饭吃吗？”我当时也没生气，就笑着跟他说：“同学，你先别着急，咱们来做个小游戏。
”我在黑板上出了一道题：已知一元二次方程 2x² + 3x - 5 = 0 的一个根是 1 ，求另一个根。
这时候那调皮的学生傻眼了，不知道从哪儿下手。
我就引导大家一起用韦达定理来解决。
因为两根之和是 -3/2 ，一个根是 1 ，那另一个根很快就能算出来是 -5/2 。
那学生眼睛一下子亮了，说：“老师，这还真有用啊！”从那以后，他上数学课认真多了。
再比如说，有时候题目会给你两根之间的关系，让你求方程中的系数。
比如告诉你一个方程的两根差是 3 ，那结合韦达定理就能列出式子，然后求出系数的值。
在实际生活中，一元二次方程两个根的关系公式也有用武之地哦。
比如计算面积问题，或者工程中的一些计算，都可能用到这个知识点。
所以啊，别小看这小小的韦达定理，它能帮咱们解决好多数学问题呢！只要咱们认真学，好好用，数学也能变得很有趣，很有用！希望大家以后遇到一元二次方程两个根的关系问题，都能轻松应对，加油！。
一元二次方程的根与系数韦达定理
二次方程的根与系数（韦达定理）考点一：一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算ac b 42-的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 例：1.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。
2、若方程（x －2）2=a －4有实数根，则a 的取值范围是________3、若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为_______4、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；5、当m 为何值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m有实根。
6、已知关于x 的方程x k x k 2211410-+++=()，k 取什么值时，方程有两个实数根？考点二：一元二次方程的根与系数的关系c b a .,ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么12x +x =___ ______，12x x =_____ ___.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==例：1如果x x 12、是方程x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。
一元二次方程 2个相同的根 韦达定理怎么算
一元二次方程是中学数学中的重要概念之一，常常出现在数学课程和相关的考试中。
它的一般形式可以表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的常数，而x则是未知数。
而一元二次方程的解即是求出x，使得该方程成立。
在一元二次方程的解中，有一种特殊情况，即方程的解中有两个相同的根。
这种情况下，韦达定理就可以派上用场。
我们来简单回顾一下一元二次方程的解法。
当我们要解一元二次方程时，可以使用求根公式来求得方程的解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这里，±代表两个可能的解，分别为加号和减号。
而在一元二次方程有两个相同的根的情况下，即b^2 - 4ac = 0，这时，两个可能的解重合在一起，即x = -b / (2a)。
韦达定理则可以用来验证一元二次方程的根的情况。
韦达定理表示为：如果一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个相同的根，则b^2 -4ac = 0。
那么，韦达定理要怎么算呢？我们可以通过代入方程的系数来验证b^2 - 4ac是否为0。
具体来说，我们可以按照以下步骤来进行：1. 将方程的系数a、b和c代入韦达定理中的公式，即计算出b^2 -4ac的值。
2. 将得到的值进行计算，如果结果等于0，则说明方程有两个相同的根；反之，如果结果不等于0，则说明方程没有两个相同的根。
通过这种方法，我们可以验证一元二次方程的根的情况，进而更好地理解方程的性质。
在我个人的观点中，一元二次方程及其解法是数学中的一个重要概念。
而韦达定理作为一种验证方程根的方法，在解决一元二次方程时起到了重要的作用。
通过学习和掌握韦达定理，我们可以更好地理解一元二次方程的解的情况，从而更深入地理解方程的特性和性质。
一元二次方程及其相关的解法和定理是数学学习中的重要内容，通过深入学习和掌握，我们可以更好地理解和应用这一知识。
希望通过本文的介绍和解释，你对一元二次方程、有两个相同的根以及韦达定理有了更全面、深刻和灵活的理解。
一元二次方程根与系数的关系
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
k 1 由根与系数的关系得x1 2+x2=
∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－2
答：方程的另#43;m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
2 3
, x1 ·x2=-3
2 3 3
=
x1 x 2 x1 x 2
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x x
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
韦达定理在一元二次方程中的应用
例 ：已知二次函数y＝-x²＋p x＞β,求证：p＋q＞1．
（1）一元二次方程y＝-x²＋p x＋q中,两根α、 β.利用韦达定理求得根与系数的关系式： α+β =p, αβ=-q． （2）求得等式关系 p +q= α+β - αβ. （3）要想p＋q＞1．相当于求α+β – αβ ＞1. 将α+β – αβ因式分解为-(α-1)(β -1)+1. （4）利用α、β的大小关系α＞1＞β得出结论.
韦达定理在一元二次方程中的应用
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进， 它最早系统地引入代数符号，推进了方程论 的发展，用字母代替未知数，指出了根与系 数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方 程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创 造和开拓了广泛的发展空间。利用韦达定理 可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应 用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、 方程论中均有体现。
证明：由题意可知方程-x² +px+q＝0的两根为
α 、 β. 由韦达定理得 α+β =p, αβ=-q． 于是 p +q= α+β - αβ, =-（αβ-α-β +1)+1 =-(α-1)(β -1)+1＞1(因为α＞1＞ β)．
1.学会用韦达定理求代数式的值。 2.理解并掌握用韦达定理求待定系数。 3.理解并掌握应用韦达定理构建方程，解 方程。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程韦达定理的解题技巧
一元二次方程韦达定理的解题技巧一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的韦达定理是一种常用的解题方法，它可以帮助我们快速求解方程的根。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的解题技巧。
一、韦达定理的表达式韦达定理是指一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取正负号，√表示平方根。
二、解题步骤使用韦达定理解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：将方程的各项整理为ax^2 + bx + c = 0的形式，确保系数a不为0。
2. 计算判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，判别式的值可以判断方程的根的情况。
a. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；b. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；c. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可能有复数根。
3. 根据判别式的值计算根：根据韦达定理的公式，将判别式的值代入公式中计算根的值。
a. 当Δ > 0时，方程的两个实数根为x1 = (-b + √Δ) / (2a)和x2 = (-b - √Δ) / (2a)；b. 当Δ = 0时，方程的两个相等实数根为x1 = x2 = -b / (2a)；c. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可能有复数根，可以表示为x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a)和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i为虚数单位。
三、解题示例为了更好地理解韦达定理的解题技巧，我们来看一个具体的解题示例。
例题：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
解：根据韦达定理的步骤，我们先将方程化为标准形式：2x^2 + 5x - 3 = 0然后计算判别式Δ = b^2 - 4ac：Δ = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49由于Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。
专题06 韦达定理(一元二次方程的根与系数的关系) 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝242b b aca -±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) （A ）2（B ）2- （C ）12 （D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．（3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( )（A ）20-（B ）2（C ）220-或（D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，224b b ac-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【解析】（1）法一：（代入求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 法二：（韦达定理求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7．（2）设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．（3）法一：设这两个数分别是x ，y ，则 x ＋y ＝4， ① xy ＝－12． ②∴x 1＝－2，x 2＝6． ∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6． 法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．（4）（ⅰ）∵方程两实根的积为5 ∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为5．（ⅱ）由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故0∆=⇒32k =；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，又由于 0∆>⇒32k >，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．【解析】由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-．（1）2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=；（2）121212112220072007x x x x x x +-+===-； （3）121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-； （4）22212121212||()()4(2)4(2007)4502x x x x x x x x -=-=+-=---=．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【解析】（1）设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4， 由②得 a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4．（2）法一：由⎩⎨⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3<a ．法二：设)(x f ＝ x 2－4x ＋a ，则如图所示，只须0)3(<f ，解得3<a ．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （C ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （D ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ B ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （C ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（A ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( A )（A ）2（B ）2-（C ）12（D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是____ ．9或3- （3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．12（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 1,3p q =-=-（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( A )（A ）20- （B ）2（C ）220-或 （D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ C ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 2816|1|0a a b ++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？1,4=-=b a 4<k 且 0≠k小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2-<a。
一元二次方程的解和根的区别
一元二次方程的解和根的区别一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，a ≠ 0。
解和根是解决方程的结果，但在数学中，解和根有着不同的含义和用法。
解的概念出现在方程的求解过程中，表示方程的解集，也就是满足方程的所有实数或复数的集合。
对于一元二次方程，根据韦达定理（Vieta's formulas），方程的解可以通过以下公式求得：x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在一元二次方程中，可能存在三种情况：1.当(b^2 - 4ac) > 0时，方程有两个实数解，解集为{x1, x2}；2.当(b^2 - 4ac) = 0时，方程有两个相等的实数解，解集为{x1 = x2}；3.当(b^2 - 4ac) < 0时，方程没有实数解，但存在两个互为共轭的复数解，解集为{x1 = (-b + √(4ac - b^2)i) / (2a), x2 = (-b- √(4ac - b^2)i) / (2a)}根的概念源于方程与函数的关系。
在代数学中，根是指函数在给定值时的零点或者函数与坐标轴（通常是x轴）的交点。
对一元二次方程，也就是求解方程时使方程等式左边取0的值。
换句话说，根是方程的解在数轴上的对应点。
根的个数与方程的解的个数是一致的，但是根的分类更加简单明确。
对一元二次方程，根据韦达定理，我们可以得到以下结论：1.当(b^2 - 4ac) > 0时，方程有两个实数根，在数轴上分别对应两个不同的点；2.当(b^2 - 4ac) = 0时，方程有一个实数根，在数轴上对应一个重复的点；3.当(b^2 - 4ac) < 0时，方程没有实数根，但在复数域内有两个互为共轭的根，在复平面上对应两个不同的点。
总结起来，解是方程的所有满足条件的实数或复数的集合，而根是方程在数轴上的零点或者复平面上的交点。
解给出了方程的所有值，而根只是方程的交点和零点的位置。
一元二次方程根的判别式.韦达定理
新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：2一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．重、难点1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解例题精讲一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
一元二次方程求根公式韦达定理
一元二次方程求根公式韦达定理一元二次方程是数学中的基础知识之一，它的求解方法有很多种，其中最常用且广泛适用的方法就是韦达定理。
韦达定理是一种求解一元二次方程的公式，它可以快速且准确地求得方程的根。
我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c都是已知的实数，且a不等于0。
我们的目标是找到方程的根，即求出满足方程的x的值。
根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±表示两个相反的数，即正负两个根。
√表示开方，即求平方根。
b^2 - 4ac被称为判别式，它可以用来判断方程的根的情况。
接下来，我们来详细解释一下韦达定理的求解步骤。
我们需要计算判别式b^2 - 4ac的值。
根据判别式的值，可以得出以下几种情况：1. 如果判别式大于0，即b^2 - 4ac大于0，那么方程有两个不相等的实根。
这时，我们可以将判别式开方得到的值代入公式，计算出两个实根。
2. 如果判别式等于0，即b^2 - 4ac等于0，那么方程有两个相等的实根。
这时，我们可以将判别式开方得到的值代入公式，计算出两个相等的实根。
3. 如果判别式小于0，即b^2 - 4ac小于0，那么方程没有实根。
这时，方程的解为复数，不能直接用韦达定理求解。
通过韦达定理，我们可以快速地求解一元二次方程的根。
这个公式的优点是简单易懂，适用范围广，不需要额外的计算步骤。
只需要代入方程的系数，就可以直接得到方程的根。
对于一元二次方程的求解，除了韦达定理，还有其他的方法，比如配方法、因式分解等。
这些方法在不同的情况下有各自的优势，但韦达定理作为一种通用的求解方法，可以应用于大多数的一元二次方程。
在实际应用中，一元二次方程经常出现在物理、经济、工程等领域的问题中。
通过韦达定理，我们可以准确地求解这些问题，并得到满足条件的解。
一元二次方程韦达定理公式
一元二次方程韦达定理公式
韦达定理（Vieta's Theorem），又称有理函数定理，是一元多项式方程在体系上极为重要的定理。
它可以用来表达一元二次方程的根与系数之间的关系，也称为“二次函数的根的表示”。
1、定义
韦达定理指的是一元二次函数的根的表示，用公式表示为：
ax²+ bx + c = 0
其中，a、b、c为实数，且a不等于零，则此方程的根是：
x1 = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
x2 = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
2、定理证明
证明韦达定理的步骤：
（1）假定一元二次函数（1）ax²+ bx + c = 0 的两个根为 x1 与 x2 ，这两个根处函数值均为0，即：
a x1² + bx1 + c= 0
a x2² + bx2 + c= 0
（2）将上述两式相减，得到：
a(x1²- x2) = -b(x1 - x2)
由此可推出：
x1 + x2= -\(\frac{b}{a}\)
与 x1x2 = \(\frac{c}{a}\)
（3）将第（2）步推出的 x1 + x2 及 x1x2 带入第（1）步的函数表达式，即可求得函数的解。
3、应用
由于一元二次方程有两个解，根据韦达定理可以把它们表示为以系数
形式表示的函数式，从而起到简化计算方法的作用，从而节省计算时间。
因此，韦达定理在求解一元二次方程时，有重要的应用意义。
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利用韦达定理求一元二次方程的根
一、关于韦达定理的性质
１．韦达定理:假设一元二次方程ａx2+bx＋ｃ＝０的两根分别为x1、x２，则有x1+ｘ２＝－＼f(b,ａ)，x1x2＝错误!.
２．推导：(法一)根据一元二次方程的求根公式x＝－b±＼r(b2－4ac)
2a
不妨假设x1＝错误!, x2＝错误!
不难得出x1+ｘ2＝-＼f(b,a）,x1x2＝错误!.
（法二）若一元二次方程的两根分别为x
１
、ｘ２,则方程可以写成以下形式
a(x－ｘ１)（ｘ-x2)＝0 (ａ≠0) （双根式) 按照x的次数降幂排列，得aｘ2-a(ｘ1+ｘ２)x＋ａx1ｘ２=0
对比一元二次方程的一般式aｘ２＋ｂx＋c＝0，得
b=－a(ｘ1＋x２)，c=ax1x2,
∴x1＋x2＝－错误!，ｘ1x2＝错误!.
３. 推论：（一)当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x2+ｐx＋q＝0的形式假设方程的两根分别为ｘ1、ｘ2，则有x1＋ｘ2=-p,x1x２=q.
(二)已知一元二次方程两根分别为x1、x2，则方程可以写成以下形式
x2-(x1＋x2)x＋ｘ1ｘ２=0．
４.实质:韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.
二、利用韦达定理求一元二次方程的根
例如，求一元二次方程x2―22ｘ―6=0的根．
很明显,根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法．
(法一）
因式分解，得(ｘ-32）(x+＼r(2）)＝０,
解得, ｘ1＝３＼r(2），x2=－错误!．
当然，利用十字相乘法很难凑数时,我们就会选用求根公式法．
（法二) a=１,b=－22,c=－6，
∴b２-4ac＝8+24=３2，
∴x＝错误!＝错误!＝错误!±２错误!,
于是有x
１
=3＼r(２)，x2＝－ 2.
结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十
分灵活，若每一个系数都是整数,且满足x2－（x
１
＋x2)x＋x1x2=０形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时,虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么
方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢?接下来,我们看以下解法.
（法三）已知方程x2―2错误!x―6=0，
＋x2=2错误!，x1x２=―６.
根据韦达定理有x
１
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数ａ（假定为正数），使得
x1=错误!＋ａ, x2=错误!-a, (满足条件ｘ1+x2=2错误!）且(2+a)(＼r（2）－a)=―6. (满足条件x1ｘ2＝―6)
于是有2-ａ2=―6，则a2＝８，因此a=2＼r(2)
∴x1＝错误!+2错误!=3错误!,x2＝错误!-2错误!＝－错误!.
上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果,为了方便,习惯上可以假定a为正数.观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点,计算快捷且万能通用.当然我们也可以看以下例子．
例1: 解方程x2―6x―25＝0,
根据韦达定理有ｘ１+x2=6，x1x２＝―25.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数）,使得
x1＝3+a, x2=3－a，（满足条件x1＋x２=6）且（3＋a)（３-a)＝―25．(满足条件ｘ１ｘ２＝―25) 于是有9－a2=―25，则ａ2＝34, 因此a=错误!
∴x1=3＋34, x２＝3－错误!.
例2：解方程ｘ２+2４x―63＝０,
根据韦达定理有ｘ1＋ｘ2＝－２4，x1x2＝―63.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数ａ(假定为正数),使得
x１=－12+a, x２＝－12－a，(满足条件x１＋x2=-２４) 且(－１２+a)(-12-a）=―63. (满足条件x
x2＝―6３)
１
于是有1４４－a2＝―63, 则a2＝207, 因此a＝错误!
=-１2＋207，x2＝-12-错误!.
∴x
１
例3:解方程x２―１4x+4８＝0，
根据韦达定理有x1＋x2＝1４，x1ｘ2=48.
在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数ａ（假定为正数)，使得x1＝７＋ａ, x2=7-a，(满足条件x1+ｘ２＝１4）且（7+ａ）（7－a)=４8．（满足条件x1x２=48)
于是有49－ａ2=48, 则ａ2＝１，因此a＝1
∴ｘ１＝7＋1＝8, x2=7－1=６.
例4:解方程x2＋18ｘ+40=0,
根据韦达定理有x1＋x2=－18,x1x2＝40.
在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数)，使得
＝－9＋a，x2＝－9-a,（满足条件x１＋x2＝－18）
x
１
且（－9＋a)（－9－ａ)＝40 （满足条件ｘ1ｘ2=4０）
于是有81－a2＝40，则a2＝41, 因此a＝41
∴x1＝-9＋41，x２=-9－错误!．
通过以上4个例子,我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如
例5:解方程2x2＋9ｘ―5＝0，
（法一)根据韦达定理有x1+x2=－＼ｆ(9，2),x１ｘ2=―错误!.
在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a(假定为正数）,使得x1=－错误!+ａ，x２＝－错误!-a,（满足条件x１＋x２＝-错误!）
且(－9
４
+a)(-错误!-a)＝―错误!. （满足条件x1ｘ2＝―错误!)
于是有81
16-a
２=―＼ｆ(5，２），则a2＝
121
16，因此
ａ=
１1
4
∴x
１
＝－＼f(9,4)+错误!=错误!, x2=－错误!-错误!＝-5.
（法二）a＝2,b=9,ｃ=-5，
∴b2-４aｃ＝８１+4０＝1２１，
∴ｘ＝错误!＝错误!，
于是有x1=＼f(１,2），x2=-５．
当然,当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多,因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。