利用韦达定理求一元二次方程的根

利用韦达定理求一元二次方程的根

一、关于韦达定理的性质

１．韦达定理:假设一元二次方程ａx2+bx＋ｃ＝０的两根分别为x1、x２，则有x1+ｘ２＝－＼f(b,ａ)，x1x2＝错误!.

２．推导：(法一)根据一元二次方程的求根公式x＝－b±＼r(b2－4ac)

2a

不妨假设x1＝错误!, x2＝错误!

不难得出x1+ｘ2＝-＼f(b,a）,x1x2＝错误!.

（法二）若一元二次方程的两根分别为x

１

、ｘ２,则方程可以写成以下形式

a(x－ｘ１)（ｘ-x2)＝0 (ａ≠0) （双根式) 按照x的次数降幂排列，得aｘ2-a(ｘ1+ｘ２)x＋ａx1ｘ２=0

对比一元二次方程的一般式aｘ２＋ｂx＋c＝0，得

b=－a(ｘ1＋x２)，c=ax1x2,

∴x1＋x2＝－错误!，ｘ1x2＝错误!.

３. 推论：（一)当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x2+ｐx＋q＝0的形式假设方程的两根分别为ｘ1、ｘ2，则有x1＋ｘ2=-p,x1x２=q.

(二)已知一元二次方程两根分别为x1、x2，则方程可以写成以下形式

x2-(x1＋x2)x＋ｘ1ｘ２=0．

４.实质:韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.

二、利用韦达定理求一元二次方程的根

例如，求一元二次方程x2―22ｘ―6=0的根．

很明显,根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法．

(法一）

因式分解，得(ｘ-32）(x+＼r(2）)＝０,

解得, ｘ1＝３＼r(2），x2=－错误!．

当然，利用十字相乘法很难凑数时,我们就会选用求根公式法．

（法二) a=１,b=－22,c=－6，

∴b２-4ac＝8+24=３2，

∴x＝错误!＝错误!＝错误!±２错误!,

于是有x

１

=3＼r(２)，x2＝－ 2.

结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十

分灵活，若每一个系数都是整数,且满足x2－（x

１

＋x2)x＋x1x2=０形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时,虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么

方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢?接下来,我们看以下解法.

（法三）已知方程x2―2错误!x―6=0，

＋x2=2错误!，x1x２=―６.

根据韦达定理有x

１

在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数ａ（假定为正数），使得

x1=错误!＋ａ, x2=错误!-a, (满足条件ｘ1+x2=2错误!）且(2+a)(＼r（2）－a)=―6. (满足条件x1ｘ2＝―6)

于是有2-ａ2=―6，则a2＝８，因此a=2＼r(2)

∴x1＝错误!+2错误!=3错误!,x2＝错误!-2错误!＝－错误!.

上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果,为了方便,习惯上可以假定a为正数.观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点,计算快捷且万能通用.当然我们也可以看以下例子．

例1: 解方程x2―6x―25＝0,

根据韦达定理有ｘ１+x2=6，x1x２＝―25.

在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数）,使得

x1＝3+a, x2=3－a，（满足条件x1＋x２=6）且（3＋a)（３-a)＝―25．(满足条件ｘ１ｘ２＝―25) 于是有9－a2=―25，则ａ2＝34, 因此a=错误!

∴x1=3＋34, x２＝3－错误!.

例2：解方程ｘ２+2４x―63＝０,

根据韦达定理有ｘ1＋ｘ2＝－２4，x1x2＝―63.

在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数ａ(假定为正数),使得

x１=－12+a, x２＝－12－a，(满足条件x１＋x2=-２４) 且(－１２+a)(-12-a）=―63. (满足条件x

x2＝―6３)

１

于是有1４４－a2＝―63, 则a2＝207, 因此a＝错误!

=-１2＋207，x2＝-12-错误!.

∴x

１

例3:解方程x２―１4x+4８＝0，

根据韦达定理有x1＋x2＝1４，x1ｘ2=48.

在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数ａ（假定为正数)，使得x1＝７＋ａ, x2=7-a，(满足条件x1+ｘ２＝１4）且（7+ａ）（7－a)=４8．（满足条件x1x２=48)

于是有49－ａ2=48, 则ａ2＝１，因此a＝1

∴ｘ１＝7＋1＝8, x2=7－1=６.

例4:解方程x2＋18ｘ+40=0,

根据韦达定理有x1＋x2=－18,x1x2＝40.

在方程有解的情况下,必然会存在某一个实数a(假定为正数)，使得

＝－9＋a，x2＝－9-a,（满足条件x１＋x2＝－18）

x

１

且（－9＋a)（－9－ａ)＝40 （满足条件ｘ1ｘ2=4０）

于是有81－a2＝40，则a2＝41, 因此a＝41

∴x1＝-9＋41，x２=-9－错误!．

通过以上4个例子,我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如