第十四章 轴向压杆的稳定计算
第十四压杆稳定
结论 ：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的 抗弯
刚度。
原因：
压杆在制作时其轴线存在初曲率；
作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的 轴线相重合；
压杆的材料不可避免地存在不均匀性。
将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。受偏心压 力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的次要变形 ——弯曲变形 将随压力的增大而加速增长， 并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。
δ
l
2
y
0
?
δ sin kl
sin kl
?
2δ
cos kl 2
2
要想压杆在微弯状态下 平衡只有
cos kl ? 0 2
kl ? n ? ( n ? 1,3,5 ???)
22
x
P cr
l
δ
l
2
y
kl ? n ? (n ? 1,3,5 ???)
22 其最小解为 n = 1 的解
P cr EI
?
k2
k ?l ? P cr ?l ? ?
2
2
y ? ? sin ?x
l
挠曲线为半波正弦曲线。
§ 14—3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1 两端绞支
P cr
?
?
2 EI l2
2 一端固定另绞支端
C 为拐点
P cr
?
? 2 EI (0.7l )2
P cr
B
l
0.7l
Ac
3 两端固定
C，D 为拐点
P cr
?
π 2 EI (0.5l )2
x
P cr
l
l 2
y
A
工程力学：14第十四章 压杆稳定
π2EI π2EI
Fcr 4l 2 2l2
w 1 cos x
2l
14-4 欧拉公式的适用范 围中小柔度杆的临界应力
1.临界应力和柔度
临界应力可用临界力Pcr 除 以横截面面积A 来求得。
cr
cr
2EI
l2
令
iy
Ιy , Α
iz
Ιz Α
式中，iy和iz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半 径。
s p
cr
2 2
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式： cr a b
压杆的临界应力图
s
a
b
s
经验公式的 适用范围：
s p
cr
cr s
s p
cr a b
cr
2 2
小柔度杆
S
欧拉公式
s p
实际是强度问题 cr s
一些常用材料的a、b值：
例14-1 截面为1220cm2,l = 7m,E = 10GPa,试求木柱的临
令 l
i
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
cr
cr
2EI
l2
cr
2Ε 2
2.欧拉公式的适用范围
cr
2 2
p
材料在线弹性范围内工作 压杆的临界应力图
比例极限的柔度值： cr
Ε p σp
s p
当 p时，欧
拉公式才适用。
这类压杆称为
大柔度杆或细 长杆。
欧拉公式
w Ak coskx Bksin kx
边界条件
x 0 w 0, w 0
xl w
积分常数 挠曲线近似方程
工程力学材料力学杆的稳定计算与校核
公式讨论
Fcr =
π2EI ( μ l) 2
1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比； 2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）， 压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；
最小抗弯刚度平面：惯性矩I为最小 的纵向平面
如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最 小抗弯刚度平面。
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Ch14 压杆的稳定性 §14-1
压杆的稳定性概念
受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料 的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡 形式，为失稳破坏。
1
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故压杆为中长杆
临界应力: cr a b (304 1.12 65.8)MPa 230.3MPa
横截面面积: A 14.3cm 2 临界力:
Fcr cr A 230.3 106 14.3 10 4 N 329.3kN
25
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cr a b (29.3 0.19 99.93)MPa 10.3MPa
Fcr cr A 10.3 106 0.104 2 N 111.4kN
23
b
3m
l
l 12 3 12 99.93 b 0.104
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§10-3 欧拉公式的适用范围
实际上 σcr ≥σu 时 压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。称为短粗杆(小柔度杆) 直线公式的适用范围
轴心压杆的稳定性计算
5 截面几何参数
6 内力及内力图
7应力和变形
8 强度刚度计算
9 压杆稳定计算
10静定结构计算
11力
法
12位 移 法
13力 矩 分 配法
14影 响 线
15其它问题简介
长度系数μ
两端铰支
μ=1
一端固定另端铰支 μ0.7
两端固定
μ=0.5
一端固定另端自由 μ=2
4
9 轴心压杆的稳定性计算
1绪
论
2 静 力 学 基础
2
9.2 欧拉公式和抛物线公式
9.2.1两端铰支压杆的临界力
1绪
论
2 静 力 学 基础
3 平面任意力系
4 空间任意力系
5 截面几何参数
6 内力及内力图
7应力和变形
8 强度刚度计算
9 压杆稳定计算
10静定结构计算
11力
法
12位 移 法
13力 矩 分 配法
14影 响 线
15其它问题简介
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，且杆将绕惯性
矩最小的轴弯曲
Pcr
2 EI
(l ) 2
9.2.2各种杆端约束情况下的临界力
Pcr
2 EI ( l ) 2
式中μl 称为压杆的计算长度
表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l折算成 两端铰支压杆的长度，μ称为长度系数 。
3
9 轴心压杆的稳定性计算
1绪
论
2 静 力 学 基础
3 平面任意力系
4 空间任意力系
cr
2E 2
2、λ称为柔度或长细比
l
i
5
9 轴心压杆的稳定性计算
1绪
压杆稳定性计算公式例题
压杆稳定性计算公式例题在工程结构设计中，压杆是一种常见的结构元素，用于承受压力和稳定结构。
在设计过程中，需要对压杆的稳定性进行计算，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将介绍压杆稳定性计算的基本原理和公式，并通过一个例题进行详细说明。
压杆稳定性计算的基本原理。
压杆稳定性是指压杆在受压力作用下不会发生侧向屈曲或失稳的能力。
在进行压杆稳定性计算时，需要考虑压杆的材料、截面形状、长度、支座条件等因素，以确定其稳定性。
一般来说，压杆的稳定性可以通过欧拉公式或约束条件来计算。
欧拉公式是描述压杆稳定性的经典公式，其表达式为：Pcr = (π^2 E I) / (K L)^2。
其中，Pcr表示压杆的临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示约束系数，L表示压杆的有效长度。
这个公式是基于理想的弹性理论，适用于较长的细杆，但在实际工程中，压杆的稳定性计算可能还需要考虑其他因素。
除了欧拉公式外，压杆稳定性计算还需要考虑约束条件。
约束条件是指压杆在受力时的支座和边界条件，对压杆的稳定性有重要影响。
在实际工程中，约束条件可以通过有限元分析等方法来确定，以获得更精确的稳定性计算结果。
压杆稳定性计算的例题分析。
下面我们通过一个例题来说明压杆稳定性计算的具体步骤和方法。
假设有一根长度为2m的钢质压杆，截面形状为矩形，截面尺寸为100mm ×50mm，弹性模量为2.1 × 10^5 N/mm^2。
现在需要计算在这根压杆上施加的最大压力，使得其不会发生侧向屈曲或失稳。
首先，我们需要计算压杆的有效长度。
对于简支压杆，其有效长度可以通过以下公式计算：Le = K L。
其中，K为约束系数，对于简支压杆，K取1。
所以，这根压杆的有效长度为2m。
接下来，我们可以使用欧拉公式来计算压杆的临界压力。
根据欧拉公式，可以得到：Pcr = (π^2 E I) / L^2。
其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
根据矩形截面的惯性矩公式，可以计算得到I = (1/12) b h^3 = (1/12) 100mm (50mm)^3 = 5208333.33mm^4。
压杆稳定
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端
铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
N CB a
P B
轴向拉压杆的稳定计算
14.2 压杆的临界力和临界应力
14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳 就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响
直杆弯曲变形的因素有关：
l越大
杆的长度l
抵抗变形的能力越小
EI越大
抗弯刚度EI
抵抗变形的能力越强
容易失稳 不易失稳
F
14.1 压杆稳定的基本概念
1、概念
压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象， 称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。
研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆； 压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某 个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具 有很大的破坏性。
cr
Fcr A
2E (l)2来自I AI i2 A
cr
2 Ei 2 (l ) 2
2E ( l )2
2.88107 mm4
2.88105 m4
两端固定，长度系数μ=0.5
Fcr
2EIZ (l)2
3.142 10109 2.88105 (0.5 8) 2
N
177103 N 177kN
Fcr
z y
120
200
8m
120 200
14.2 压杆的临界力和临界应力
μl——压杆的计算长度。
14.2 压杆的临界力和临界应力
两端铰支
Fcr
一端固定 一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
第十四章压杆稳定
中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 直线型经验公式 ①σP<σ<σS 时：
σ cr =a−bλ
Qσ cr = a − b λ ≤σ s a −σs ∴λ ≥ = λ0
λ0 ≤λ <λP
b
中柔度杆， 中柔度杆，应力用经验公式计算
②σS<σ 时：
σ cr
σS
σP
σ cr =σ s
λ < λ 0 小柔度杆，临界应力为屈服应力 小柔度杆，
=
cr
≥ nst
[ Fst ]
稳定许用压力
二、压杆的稳定容许应力: 压杆的稳定容许应力: 安全系数法确定容许应力: 安全系数法确定容许应力:
σ≤
σ cr
nst
= [σ st ]
二 折减系数法
[σ st ]
稳定条件是
= ϕ [σ ]
ϕ→折减系数, 它是λ的函数。
σ ≤ ϕ [σ ]
三 压杆的合理设计 1 压杆的合理设计 2 合理选择截面
解：压杆在正视图平面 两端约束为铰支,屈 内，两端约束为铰支 屈 曲时横截面将绕 z 轴转 动：x y平面 平面
λz=µz l / iz ,
iz =Izຫໍສະໝຸດ AIz=bh3/12λz=132.6
λy=µy l / iy , Iy=hb3/12
iy
压杆在俯 压杆在俯视图平面 内，两端约束为固 定端,屈曲时横截面 定端 屈曲时横截面 将绕 y 轴转动：x、z 轴转动： 、 平面 Iy = A
λy=99.48
因此，压杆将在正视图平面内屈曲（弯曲）。 因此，压杆将在正视图平面内屈曲（弯曲）。 屈曲 而且λ λz=132.6 > λy=99.48 而且λz=132.6 > λp=100
理论力学14压杆稳定
I y > I z λ y = λz
16
压杆稳定
两根中心受压杆的材料和支撑情况相同，若两杆的所有 尺寸均成比例，即彼此几何相似，则两杆的临界应力如何？
πE σ cr = 2 λ 答：相等。
2
λ=
μl
i
i=
I A
非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界应力，其结果 σ比实际大还是小？
cr
σ cr = a − b λ
压杆稳定
折减系数法
[σ ]st = ϕ [σ ]
σ ≤ ϕ[σ ]
ϕ = ϕ (λ ) 称为折减系数
强度许用应力
19
例
2
一连杆尺寸如图，材料为Ａ３钢， E = 200GPa ，
σ p = 200MPa ，σ s = 240MPa ， F = 110kN ，[n]st = 3
试校核连杆的稳定性。
y
26
压杆稳定
本章小结
压杆稳定的概念
压杆的临界力
Fcr =
π EI
2
π EI
Fcr = ( μl ) λ ≥ λp
欧拉公式
2 min
l
2
2
压杆的临界应力
大柔度杆或细长杆
πE σ cr = 2 λ
2
27
压杆稳定
λs ≤ λ < λ p 直线公式 σ cr = a − bλ
中柔度杆或中长杆 小柔度杆或短粗杆
σ cr = a − bλ
πE 2
σcr = 2 λ
λ
λs
λp
临界应力总图表示临界应力随柔度的变化。
15
压杆稳定
思考：
两压杆为管状薄壁容器式细长杆，管两端封闭，且为 铰支座。ａ杆无内压，ｂ杆有内压，其他条件相同。则两 杆临界应力的关系如何？
压杆的稳定计算
A
在土建工程中，一般按稳定因数法进行稳定计算。
【例题】
校核AB杆的稳定性
F 33 kN
[] 10 MPa
（1）计算压杆的柔度
a4
i
I A
12 a2
a 120 mm 34.64 mm 12 12
l 1 4 103 mm 115
i 34.64 mm
（2）确定稳定因数
查表由直线内插法可求得 0.24
（3）校核AB杆的稳定性
F A
33103 N 1202 mm2
2.29
MPa
[ ]
2.40
MPa
提高压杆稳定性的措施
提高压杆的临界力或临界应力
Fcr （2 El）I2
cr
2 E
2
一、合理选择材料 二、选择合理的截面形状 三、改善约束条件、减小压杆长度
综合练习题
结构尺寸及受力如图所示，梁ABC为22b工字钢， [σ]=160MPa; 柱BD为圆截面木材，直径d=160mm ， [σ]=10MPa,两端铰支。试作梁的强度校核和柱的稳定性校核。
FAx
FAy
FB
Fx 0 FAx 0
F’B
Fy 0 FAy 10 3 FB 50 0
M A (F ) 0 10 31.5 FB 3 50 4 0
FB 81.67kN FAy 1.67kN
FD
1.67
3m 81.67 1m
50
1.67 13.75
31.67 50
max
压杆的稳定计算
（1）安全因数法：
nf
Fcr F
cr
≥[nst
]
许用稳定安全因数 [ nst ] 的取值一般要大于强度安全因数n
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程
轴心压杆的稳定性计算共18页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
压杆稳定概念和欧拉公式
2. 刚体平衡稳定性的概念
稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡
判断方法—— 微小扰动法：
在平衡位置给物体一任意微小扰动，扰动消失 后考察物体是否自动恢复原平衡位置。
3. 压杆的平衡 （1）工程实例
压杆
（2）压杆的平衡状态
P P<Pcr
P P>Pcr
稳定的
不稳定的
临界状态 —— 压杆从稳定平衡到不 稳定平衡之间的过渡状态
C 0.25l
A
固-固
μ=0.5
P cr
2 EI
l 2
两端铰支 ＝1.0 两端固定 ＝0.5 一端自由，一端固定 ＝2.0 一端铰支，一端固定 ＝0.7
P
讨论
分析小孔对 图示压杆的强度 和稳定临界力的 影响
P 关于欧拉临界力公式 cr 式中I 如何确定 ？
2 EI l2
z
z
z
z
O
O
y
最小形心主惯性矩，且按未 削弱面积计算； （4）n —— 失稳曲线的正弦半波数目。
v Asin n x 失稳曲线
l
n=1 n=2
n=3
l
二、其他杆端约束
方法1： 同欧拉公式， 微分方程 + 边界条件
方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于
两端铰支的一段（即两端曲率 为零或弯矩为零），该段临界 力即压杆的临界力。
C 0.25l
A
3. 两端固定
相当于长度为0.5l
两端铰支压杆的临界力。
P cr
2 EI
0.5l 2
三、欧拉公式的一般形式
P cr
2 EI
l 2
μ —— 长度系数 μl —— 相当长度
Pcr
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第十四章轴向压杆的稳定计算【教学要求】了解压杆稳定与失稳的概念；理解压杆的临界力和临界应力的概念；能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力；熟悉压杆的稳定条件及其应用；了解提高压杆稳定性的措施。
【重点】1、计算临界力。
2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。
【授课方式】课堂讲解【教学时数】共计4学时【教学过程】•14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时•14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时•14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】【课后作业】•14.1 压杆稳定的基本概念•• 有实例提出问题，总结引申新的课题。
1、概念压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。
研究压杆稳定性的意义：压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。
在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。
2、平衡状态的稳定性当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。
3、压杆临界力F cr14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。
14.2.1临界力的欧拉公式22()cr EIP l πμ=适用条件：弹性范围内。
式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。
lμ称为压杆的计算长度, μ称为长度系数，是与杆端支承情况有关的量例14.1 一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。
解查型钢表得Iz=2370cm4，Iy=158cm4由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。
例14.2 一矩形截面的中心受压的细长木柱，长l=8m，柱的支承情况，在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支（图a）；在最小刚度平面内弯曲时为两端固定（图b）。
木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的临界力。
解由于最大刚度平面与最小刚度（1）计算最大刚度平面内的临界力截面的惯性矩为两端铰支，长度系数μ=1（2）计算最小刚度平面内的临界力。
两端固定，长度系数μ=0.5比较计算结果可知，第一种情况的临界力小，所以压杆失稳时将在最大刚度平面内产生弯曲。
此例说明，当在最小刚度平面与最大刚度平面内支承情况不kN346N10346N310158102003289222=⨯=⨯⨯⨯⨯==-ππlEIFcr454743m108mm108mm12200120-⨯=⨯=⨯=yIkN123N10123N)81(108101014.3)(3259222=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-lEIF ycrμπ454743m1088.2mm1088.2mm12120200-⨯=⨯=⨯=ZIkN177N10177N)85.0(1088.2101014.3)(3259222=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-lEIF Zcrμπ同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确定。
14.2.2 临界应力A l EI A P Cr cr22)(μπσ==引入截面的惯性半径iA I i =于是临界应力可写为2222)()(il E Al EI crμπμπσ==令i lμλ=则有22λπσE cr =上式为计算细长压杆临界应力的欧拉公式，式中A 称为压杆的柔度(又称为长细比)。
柔度是量纲为1的量，它综合反映了压杆的支承情况、杆长及横截面的形状和尺寸等因素对临界应力的影响。
由式可知，压杆的柔度越大，其临界应力越小．压杆越容易失稳。
所以，柔度是衡量压杆稳定性的一个重要参数。
14.2.3 欧拉公式的适用范围即：——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。
14.2.4 超出比例极限时压杆的临界应力、临界应力总图压杆的应力超出比例极限时（λ<λp ），这类杆件工程上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。
抛物线公式（经验公式）σcr = a - b λ2【小 结】p cr Eσλπσ≤=22pp σπλλE=≥pλ1、细长压杆的临界力（临界应力）用欧拉公式计算。
欧拉公式是材料服从胡克定律的条件下导出的，所以，只有当P P cr λλσσ≥即, 时，欧拉公式才能适用。
22()cr EI P l πμ=，22λπσE cr =2、柔度是压杆稳定计算中的重要参数。
它综合反映了压杆的长度、支承情况、截面形状及尺寸对压杆稳定性的影响。
li μλ=，A I i =【课后作业】教材：P32，习题1.★14.3 压杆的稳定条件及其应用14.3.1 压杆稳定条件[]PA σϕσ=≤ϕ-----材料的折减系数。
当材料一定时，折减因数ϕ的值取决于柔度λ，λ值越大ϕ值越小，且ϕ值在0-1之间变化。
14.3.2 压杆稳定条件的应用 1、稳定校核。
2.设计截面。
3.确定稳定许用荷载。
例 14-3 一圆形木柱高6m ，直径d=20cm,两端铰支，承受轴向压力P=50kN,木材的许可应力[σ]=10Mpa.校核该柱的稳定性。
解 （1）计算截面的惯性半径54d i cm ====（2）计算柔度λ。
因两端铰支，1μ=，所以16001205liμλ⨯===（3）查折减系数ϕ。
从表11-2中查得ϕ=0.209。
（4）稳定校核3225010 1.59 1.592004[]0.20910 2.09P N MPa mm A MPa σπϕσ⨯====⨯=⨯=因此，[]σϕσ ，木柱满足稳定条件。
14.4 提高压杆稳定性的措施1、减小压杆的支承长度2、改善支承情况 ，减小长度系数μ3、选择合理的截面形状当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I ，从而达到增大惯性半径i ，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。
当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的稳定性是由I min 方向的临界应力控制。
因此，应尽量使截面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个弯曲平面内具有相同的稳定性。
4、合理选择材料对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E 有关，由于各种钢材的弹性模量E 值相差不大。
所以，对大柔度杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越高的材料，临界应力越高。
所以，对中柔度杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。
【小 结】1、压杆稳定计算。
工程中常采用折减系数法进行计算。
压杆的稳定条件是[]PA σϕσ=≤折减系数ϕ因材料而不同，随柔度而变化。
2、提高压杆的稳定性可采用以下措施：1、选择合理的截面形状；2、减小压杆长度；3、改善支承情况；4、选择适当的材料。
【课后作业】教材：P32，习题8.。