2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-

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2016年第57届IMO中国国家队选拔考试试题及部分试题答案

第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
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中国数学竞赛交流群:337278802
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�� ∧ �� = (min{��1, ��1}, min{��2, ��2}, ⋯ , min{��, ��}). 求 �� 的非空真子集 �� 的元素个数的最大值, 使得对任意 ��, �� ∈ ��, 均有 �� ∨ �� ∈ ��, �� ∧ �� ∈ ��.
3. 如图, 圆内接四边形 �� 中, �� > ��, �� > ��, ��, �� 分别是 △��, △�� 的内心, 以 �� 为直径的圆与线段 �� 交于点 ��, 与 �� 的延长线交于点 �� .
2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考试
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第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

第16届WMO全国总决赛5年级初赛

五年级初赛试卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.春节期间，“WMO 世奥赛”工作人员乘坐火车去上海迎接参赛的小选手们，火车发车时间是19:35，预计12小时到达，到达时看到的景象可能是（）。

A.旭日东升 B.艳阳高照C.夕阳西下D.月明星稀2.老师让学生在教室后面的通知栏上贴照片，并嘱咐了以下内容：(1)通知栏比较窄，照片只能横向贴。

(2)用胶水或胶带贴很容易弄脏通知栏，所以使用图钉。

(3)为了贴得稳固，所有照片的四个角上都要摁上图钉。

(4)尽量少使用图钉。

下面是按照老师的要求贴的照片，如果需要贴20张照片，至少需要（）个图钉。

A.60B.48C.42D.403.我们任何人都是一秒一秒地度过自己的人生，同学们有没有想过人生度过19亿秒大约是（）的时候。

A.30岁而立之年 B.60岁花甲之年C.70岁古稀之年D.80岁杖朝之年4.图中有两只蚂蚁，一只蚂蚁从点（11,8）处沿网格线向下爬，另一只蚂蚁从点（6,3）处沿网格线向右爬，如果两只蚂蚁同时开始爬行且速度相同，则两只蚂蚁会在（）点相遇。

（注：点（2,3）在图中已标出）A.（8,6） B.（6,8）C.（11,3）D.（3,11）5.ab＝2，a＋b＝5，（a＋b）2＝a 2＋2ab＋b 2，那么a 2＋b 2－2ab＝（）。

A.21B.19C.17D.156.在某种游戏中：胡萝卜：生长期20分钟，播种和收获各需1分钟，成熟后每个价值10个金币；白萝卜：生长期30分钟，播种和收获各需1分钟，成熟后每个价值15个金币；只有一块地，每次只能种一种植物。

种子是免费的，一个种子仅结一个果实，请问2个小时内，最多可得金币（）个。

A.60B.55C.45D.507.某停车场里停了一些轿车和卡车，轿车数量是卡车的3.5倍，过了一会3辆轿车开走后，又来了6辆卡车，这时停车场轿车的数量是卡车的2.3倍，停车场原来一共有（）辆车。

全国奥林匹克数学竞赛一等奖

全国奥林匹克数学竞赛一等奖
获得全国奥林匹克数学竞赛一等奖是每一位数学天才的梦想。

作为数学爱好者，我深刻体会到自己获得一等奖的幸福，一想到能够和最优秀的数学高手竞争并获胜，我怀着无比自豪的心情，终于获得了一等奖的殊荣。

全国奥林匹克数学竞赛是我从高中起就一直梦寐以求的比赛。

为追求更高的成就，我从高中坚持专业课的学习，加强了对数学思维的训练，增加了数学能力的锻炼。

在参加全国奥林匹克数学竞赛的过程中，我学会了认真思考问题，耐心研究，不断创新，努力去解决新的数学问题。

参加此次比赛，也让我对数学领域有了更多深刻的理解和体会，对数学有了更为深刻的认识，激发了对数学的浓厚兴趣，也在这个过程中增强了我的原创能力，印证了我在数学领域的超前思维。

参加比赛过程中，不断提高数学水平，增长知识，在很多问题上想出超前思维，总能在解决的过程中发现新的解题思路，这些都是参加此次比赛中最宝贵的收获。

最终能够获得一等奖的成绩，激励了我以强烈的热情，希望能够有更多获奖机会，不断创新，发现新型思维，深入数学的奥秘，也努力提高个人能力，变得更加优秀，发挥自己的价值。

今后，我要终生专研数学，坚持科学研究，发掘更多数学的奥秘，努力运用数学技能，创造性的解决实际中的问题，并在今后的学习中不断提升自己的水平，尽自己最大的努力去实现自身的理想。

得到一等奖的荣誉，只是我能力的一小步，今后，我会努力去学习，勇敢地挑战，在数学发展道路上更进一步，不断攀登，实现自我价值，走出一条成功的数学路。

2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ．设函数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ，均有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。

2016全国高中联赛获奖情况

2016年全国高中数学联赛北京赛区获奖名单一等奖（63名）二等奖（174名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级梁元成男人大附中早9周天宇男北师大实验中学高三陈泉霖男人大附中早8滕生宇男清华附中高三杨诚远男人大附中早9刘恺闻男北师大实验中学高三王天冶男人大附中高三谭智泉男北师大实验中学高三王一鸣男人大附中高一胡小龙男人大附中高一徐浩轩男北师大实验中学高一杨昊宸男北师大实验中学高二白雨石男人大附中高二贾纪元男人大附中高三张卓敏男北师大实验中学高三钮滉男清华附中高二张紫昭男人大附中高二陈天杨男人大附中高一贺思凯男人大附中早9初佳慧女北师大实验中学高三乐阳男北京一零一中高二张梓博男北师大实验中学高三伍颉男北大附中高二庆语其男北师大实验中学高三秘玮晨女北京四中高三常阔男北京十一学校高三徐家兴男北京十一学校高二单梦伊女人大附中高三赵福民男北师大实验中学高一杨名男北师大实验中学高三汪一帆男人大附中高三张鸣儒男人大附中高三袁子麒男北师大实验中学高三姚锦文男清华附中初三易睿哲女北师大实验中学高一赵赫扬男人大附中高二杨关霖男北师大实验中学高三漆沛羽男北师大实验中学高一李拓新男北京十一学校高三李汉唐男人大附中高二邱杨嘉昱男北京四中高二高昊辰男北京十一学校高三章志宇男北师大实验中学高三汪子骐男人大附中高三刘宸昊男人大附中高三张灵溪女北师大实验中学高三冯家睿男人大附中高一张凯勃男北京十一学校高二鹿星怡女人大附中高二范一喆男人大附中高二申睿男北师大实验中学高三白瑞祺男北京十一学校高三徐明宽男北师大实验中学高三王祉衡男北师大实验中学高三王靖涵男北师大实验中学高二刘景和男人大附中早9张嘉宸男北京十一学校高二彭汉唐男北师大实验中学高三董昊文男牛栏山一中高三李沛岩男北师大实验中学高三仇傲男人大附中高一周凌波男清华附中高一张煜泽男景山学校高二杨天宇男北师大实验中学高三傅舟清男朝阳外国语学校高三王紫晨女北师大实验中学高二吴雨川男人大附中高三吕捷诚男清华附中高三刘祎璠男北京一零一中高三武钰淞男清华附中高二单旭男北京五中高三张起帆男北师大实验中学高三韩浩男民大附中高三高雨亭女北京十一学校高一李子俊男清华附中高三王诗玥女北京十一学校高二肖子豪男北京十一学校高二张溥睿男人大附中早11迟家明男人大附中高三李一荻男北师大实验中学高三丁乾坤男人大附中高二高畅女北京八十中高三李维瑄女北师大实验中学高三刘子衿男北师大附中高三孙枫男北师大二附中高三霍子宇男北京十一学校高一张惟明男北师大实验中学高一甄家晖男北师大实验中学高三荆诚男北京十一学校高一徐易男清华附中高二沈嘉男北京八十中高三高文昊男牛栏山一中高三朱贝鸣女北京十一学校高三郑博中男人大附中高一邓京阳男人大附中高三潘乐延男北京一零一中高二曹浩轩男首师大附中高二李凡芃男牛栏山一中高三郑荣坤男人大附中高二何皓辰男人大附中高三方政清男清华附中高二杨雁娇女北京四中高二闵辰男人大附中高一钱博翀男北京十一学校高二范宇宸男北师大二附中高三吕挹清男人大附中高一贾郅平男人大附中高二曾柯淏男北京十一学校高一马嘉旭男清华附中高二罗士钧男北师大实验中学高三邓明扬男人大附中早9余天枢男北京四中高三董玥女清华附中高三付雪融女北师大实验中学高三李元恺男北师大实验中学高二王中子男人大附中高一肖广瀚男北师大实验中学高三张潇宇女北京四中高二冯济生男北师大实验中学高三邱远男清华附中高一杨笛龙男北京四中高一晁宇航男北师大实验中学高三田隆凌男北师大实验中学高二杨佳明男北京四中高二高天伟男北京四中高一金泽宇女北师大实验中学高三张靖楠女北京四中高二贺文迪男人大附中高三叶乃萌女清华附中高二曾若凡男人大附中高二杨瀚思男昌平二中高三袁景昭男北京四中高二朱子悦女育英学校高二徐炜男首师大附中高二徐海博男人大附中高二依嘉男人大附中早9周英博男人大附中高三白钰卓女北京四中高二赵昊喆男北京十一学校高三邹寒凝男北京五中高二亢博旸男北京十二中高三孙宇聪男北京十一学校高三王衍之男人大附中高二周世元男北师大实验中学高二周鼎昌男人大附中高一许朋程男北师大实验中学高三孙文男北师大二附中高三魏雪晴女北京四中高三强少华男北京四中高三张峻恺男北京十一学校高二陈纪源男北师大实验中学高一吴昊男人大附中早11昝思研男北京四中高三方泽栋男北京一零一中高二沈元哲男人大附中早11丁芊屹男北师大二附中高三李靖阳男北京一零一中高三崔逸童男北京四中高二胡煜彬男人大附中高一颜珅男北师大实验中学高三何舒扬男人大附中高三刘卓月女北师大实验中学高三冯心禹女北京四中高三李经纬男北师大实验中学高二薛华赛鼎男人大附中高一韩子健男北京四中高三邰芊琛男首师大附中高三卢楚祺女北师大实验中学高三张亦弛男清华附中高二高志强男北师大实验中学高三梁念宁男北京十一学校高三王子轩男人大附中高三李一文男北京五中高二刘晓冰女北京四中高三三等奖（124名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级周显昊男北京四中高一马思然女首师大附中高二宋子萌男清华附中高一侯悦石男民大附中高二顾子杉男人大附中高二陈卓男北京四中高二高文磊男北京十一学校高一孙睿男人大附中早9陈亚楠女清华附中高二赵圆圆女北京十一学校高二刘屹霄男人大附中早11朱翊豪男清华附中高二张睿齐男北京五中高二黄镇男北京十一学校高二张弛男人大附中高一姚瑞辰男汇文中学高三刘雨辰男北京十一学校高二魏容哲男清华附中高三刘溯晨男人大附中早10刘辰飞男清华附中高二黄奕文男人大附中早8柯王雨沁女清华附中高二巩煜聪男北京十一学校高二杨其帆女育英学校高二李宜芳女北师大实验中学高二周筱敏女北京四中高二郑明宇男人大附中高一杨晨男人大附中高三姚有恒男民大附中高二杨煦男北师大实验中学高一王浩领男北师大二附中高三郭丰赫男人大附中高二韩百洋女北师大实验中学高二李沫洋女人大附中高二丁远哲男人大附中高一熊宇轩男人大附中高二宋在男北京十一学校高二王嘉伟女清华附中高二高溶女北京一零一中学高二卜力汀男北京二中高三李婧女人大附中高三韩智鹏男北京五中高三刘安澜女北京二中高三郭天傲男北师大实验中学高三汪弘毅男人大附中高三何杪松男人大附中早9王煦彤男北京一零一中学高二周天翔男人大附中高二马瑞聪女首师大附中高二荣星睿男人大附中早9赵明轩男北京八十中高三樊洛卿女北京十一学校高一余江晖男北京五中高三赵明昊男北京八中高三宁辰男汇文中学高二农钧翔男人大附中高一彭丁宇男景山学校高二成嘉淮男北京十一学校高二涂海洋男北京十一学校高二吴桐男北京八中高三曹瀚哲男北师大实验中学高一周庆庆女北京一零一中高三姓名性别学校年级姓名性别学校年级孙天宇男北京八中高三杨东林男北师大实验中学高一宋柏乐男北师大实验中学高三李帅东男民大附中高三刘子昂男清华附中高二卢润恒男人大附中高二翟江天男北京一零一中高二李云济男北京二中高二谭欣雨女人大附中高二黄子琦男北京一零一中高三刘武傲男民大附中高三欧阳静涵女清华附中高三刘紫箫男首师大附中高三魏欣然男人大附中高二张泽辰男景山学校高二宋子玉男人大附中中高二张翊洲男北京四中高三姬郭宁男北京十二中高三徐而翔男清华附中高三吕辰男人大附中高二王兆祺男北京十一学校高三邹天健男北京一零一中高三郭思成男北师大实验中学高二郑汉唐男人大附中高三李知雨女北京十一学校高三童圣博男清华附中高一王天睿男北京一零一中高二胡泽华男首师大附中高一陈淼男人大附中高三蒋楷男北京四中高一王悦女人大附中高二林忻桐女北京十一学校高三胡天羿男北京四中高三沈征宇女北师大二附中高三臧晓明男人大附中高二程雪珂女北京一零一中高三陀础熠男北京八中高三刘冠洋男北京一零一中高三陆宇豪男人大附中高三史浩然男牛栏山一中高三耿纪平女人大附中高一张岳阳男潞河中学高三闫子垚男人大附中早9马文畅男牛栏山一中高三王子涵男人大附中高三宋彬彬男顺义一中高三郑博钰男人大附中高二孙艺佳男潞河中学高三李子雍男北京十一学校高一张翼女昌平二中高三张伊凡男北师大实验中学高三魏铮男大兴一中高三夏瀚洋男北师大二附中高二崔爽男密云二中高三王宁男牛栏山一中高三陈鑫男北师大良乡附中高三李立缘女人大附中高一郭慜杰女大兴兴华中学高三嵇晨希男人大附中高二张文锦男密云二中高三孟祖平男北师大实验中学高三褚峰男延庆一中高三。

2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-

2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-2016年小学数学竞赛决赛试卷（国奥赛决赛）（2016年4月10日下午2:00-3:30）（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。

）1.）（）（）（40375.08.041545.2⨯÷⨯⨯⨯ = 。

【考点】计算【难度】★ 【答案】964 【解析】原式 = 0.5×4×0.2÷（43×403） = 52×9160 = 964 2.1811611411212222－＋－＋－＋－ = 。

【考点】计算（平方差公式利用）【难度】★★【答案】94【解析】原式 = )18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（⨯⨯⨯⨯） = 971751531311⨯⨯⨯⨯＋＋＋ = （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×21= （1－91）×21 = 98×21 = 943.)]32152(347[163)25.016743(＋－＋－÷⨯÷ = 。

【考点】计算【难度】★ 【答案】2869【解析】原式 = )1215347(163)4171643(⨯⨯⨯－＋－ = 316163)41712(⨯＋－ = 2841+ 1= 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。

【考点】最值问题【难度】★ 【答案】54【解析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。

经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。

第16届WMO全国总决赛4年级初赛

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二、再接再厉（单选题Ⅱ，每题 7 分，共 70 分）
16.有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做
19.下面是使用三个数字进行计算的（加法机器）。当放入 {3，4，6}的时候，第一次结果是{10，9，7}。再把这个结果放入机器，第二次结果是{16，17，19}。若放入 {20，1，3}，然后将结果放入机器，这样一共重复操作 2017遍，那时候出现的结果中最大数和最小数的差是（）。
例如：
（√）
11.某个展厅的通道用线表示如下所示，现欲将每个通道都
走一遍，且每个通道不能重复走过，下列说法正确的是
（）。
B
C
A.A 作入口 D 作出口
B.B 作入口 C 作出口 C.B 作入口 E 作出口 A
F
E
D
第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点
……，这个六边形点阵共 10 层，一共有（）点。
乙地后立即以每小时 80 千米的速度返回甲地。该车往返
的平均速度是每小时（）千米。
A. 60
B. 70
C. 80 D.大于 60 小于 80
8.波特要为哈利准备生日派对。将很厚的图纸剪成扇形，然后卷起来就可以做成一个小高帽。波特使用的图纸印
）。有条纹，剪成扇形后如右图所示。波特做出的帽子是（）。（备注：不考虑涂抹浆糊的地方。）
第 16 届 WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛

11年——16年小学数学奥林匹克决赛试卷

2011年小学数学奥林匹克决赛试卷姓名得分1、计算：∙÷⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-.3.032171125.0116222153= 2、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++1211018161×⎪⎭⎫ ⎝⎛+++14112110181－⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1411211018161×⎪⎭⎫ ⎝⎛++12110181 3、从1到100的自然数中，既是2的倍数又是3的倍数的所有自然数之和是4、右图是一个半径为2的四分之一圆和两个半径为1的半圆构成的图形，取3=π那么，它的阴影部分的面积是5、两个数相除，商5余7，且除数、被除数、商和余数之和为253，那么，被除数是6、已知a 、b 的最小公倍数是60，b 、c 的最小公倍数是36，c 、a 的最小公倍数是90。

那么，满足这些条件的不同数组（a 、b 、c ）共有个。

7、工地上有一堆建筑垃圾需要运走，如果用2辆大卡车，4天可以运完，如果用4辆小卡车，5天可以运完，如果用20辆小板车，8天可以运完，工地安排1辆大卡车，2辆小卡车，和10辆小板车运了两天后，全部改用小板车将剩下的在两天内运完，那么，后两天工地需要小板车辆。

8、将k 个自然数10+1，10+2，…，10+k 分成三组，使得各组所有数之和满足比例关系2：3：5。

那么，k 的最小值是9、小李把一笔钱按一年定期存入银行，年利率为2 .5%，存入若干天后，银行将一年定期存款年利率调高为2.75%）（活期利率不变），这时小李把这笔钱取出重新按一年定期存入（前面存入的若干天银行规定按活期利率计算利息），小李重新存款一年到期取出后，比原来一年定期到期后将本金再存入同样的天数的活期再取出，可多得利息200元，那么，小李存入银行的这笔钱是元。

10、A、B、C三辆汽车经相同的速度同时从甲地开往乙地，出发2小时后，A车出了故障，B车和C车照常前进，A车停了半小时后以原来的速度的1.2倍继续前进。

2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案

， ⎥ ⎥ ⎨ ⎬ 2 ⎦} 2 ⎩⎭ a⎩⎭ 2016 年福建省高中数学竞赛暨 2016 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016 年 5 月 22 日上午 9：00－11：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。

请直接将答案写在题中的横线上）1. 若函数 f (x ) = 3cos(ωx +π ) -sin(ωx - π)（ω > 0 ）的最小正周期为π ，则 f (x ) 在区间 6 3⎡0 π ⎤上的最大值为。

⎣⎢2 ⎦【答案】 2 【解答】∵ f (x ) = 3cos(ωx + π ) -sin(ωx - π ) = 3cos(ωx + π ) -sin(ωx + π - π)6 3 6 6 2 = 3cos(ωx + π ) + cos(ωx + π ) = 4 cos(ωx + π) ，且 f (x ) 的最小正周期为π 。

6 6 6∴ ω = 2 ， f (x ) = 4 cos(2x + π ) 。

又 x ∈ ⎡0 π ⎤ 时， π ≤ 2x + π ≤ 7π ，6 ⎢⎣ ， 6 6 6 ∴ 2x + π = π ，即 x = 0 时， f (x ) 在区间⎡0 π ⎤上取最大值2 。

6 6 ⎢⎣ ， ⎦2. 已知集合 A ={xx 2 - 3x + 2 ≤ 0 }，B = ⎧x ⎩ 1 x - 3< a ⎫ ，若 A ⊆ B ，则实数a 的取值范⎭ 围为。

【答案】 (- 1，+ ∞)2【解答】 A = { x 1 ≤ x ≤ 2 。

由 1x - 3< a ，得-ax + 3a +1 < 0 。

x - 3∴ a = 0 时， B = { x- x < 3} 。

满足 A ⊆ B 。

x - (3 + 1) a > 0 时，由ax + 3a +1 < 0 ，得 a > 0 ，B = ⎧ x x < 3 或 x > 3 + 1⎫。

2015-2016世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛试题(B卷)三年级(无答案)

三年级第1页三年级第2页绝密★启用前2015-2016年度世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级赛试题（B 卷）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分：解答题，共计66分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

5、本试卷满分150分，考试时间120分钟。

三年级一、填空题（每题8分，共计64分）1、在下图中的空格里填上合适的数，使得任意三个相邻的格子中的数的和都是18。

642、爸爸、妈妈、儿子三人并排在肮脏的楼梯下从下往上走，爸爸一步上4级，妈妈一步上3级，儿子一步上2级，如果楼底和楼顶都有这三人的脚印，那么仅有一人脚印的楼梯至少有级。

3、今年《复仇者联盟2》在白鹿影院上映，爸爸带小铃去看电影，出门的时候是18：15，开车到电影院需要20分钟，开到一半路程的时候发现电影票忘带了，又开车回去取，到电影院时刚好开始放映，电影播放了126分钟，问电影结束的时间是：（用24计时法）。

4、体育课后，小明回到家里非常口渴，倒了一杯牛奶喝，先喝了一半，然后用开水加满；又喝了一半，再用开水加满；最后一口气喝完，这样小明一共喝了杯牛奶和杯开水。

5、有2克、4克、5克的砝码各一个，在一架天平上最多可秤出种不同质量的物体。

（天平两边都可放物体）6、今天周末，爸爸妈妈都在加班，明明独自在家，他想，今天可要轻松一下，他准备做以下五项事情：玩电脑30分钟；听音乐20分钟；煮稀饭35分钟，整理房间15分钟；健身25分钟，明明要做好这么多事情，至少需要分钟。

7、在一次跳高比赛中，没有并列的名次。

已知小李只比一个人跳得高；小钱只比一个人跳得低；小赵比小孙跳得高，小周比小孙跳得低。

请排出这五个人的名次。

。

8、父亲和两个孩子要划船过河，只有一条船（父亲和孩子都会划船）并且载重90千克，父亲重80千克，两个孩子重都是40千克，船划到对岸需要11分钟，问父子三人全部过河需要分钟二、计算题（每题10分，共计20分）9、785+(125—47)+375—（253+285）10、1+2-3-4+5+6-7-8+……+29+30三、解答题（共5题,11-13题每题12分，14题14分，15题16分，共计66分）11、学校将52本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的3倍还多4本。

2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析

2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析KOOA CBDF'BDF K第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析2016.03.17 严文兰数学工作室由于IMO 试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。

1. 如图，在圆内接六边形ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE ，若线段AE 内一点K 满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA ，证明：KC=KF 。

分析：圆中角的关系最为灵活也相对简单，由已知圆周角∠AFE=∠BKD ，注意到弧BD=弧AE 的一半，所以又有∠AFE=∠BOD ，从而∠BKD=∠BOD ，B 、K 、O 、D 四点共圆，注意到OC 为此圆对称轴，所以在直径上，所以OK 为∠BKD 的外角平分2. 求最小的正实数λ，使得对任意三个复数123,,{|||1}z z z z C z ∈∈<，若1230z z z ++=，则22122331123||||z z z z z z z z z λ+++<。

分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是≤的情况。

在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。

所以，容易想到当22122331123||||z zz z z z z z z +++最大时，123,,z z z至少有两个在边界，即满足||1z =，而22122331123||||z z z z z z z z z +++=2232122331123|()|||i i z zz z z z e z z z e θθ+++，故不妨设1212||||1,Re Re 0,z zz z x ====≥则32zx=-，10,2x ≤≤ 所以2222224122331123|||||14||2|14161z z z z z z z z z x x x x +++=-+=-+≤，所以min1λ=下面设法证明之不妨设123,,z z z 中3z 的模最大，因为3||1z≤，将每个数都乘以13z --代替原来的数，则左边更大，此时31z =-，因为1230z zz ++=，设12,1,,,0zx yi z x yi x y R y =+=--∈≥，则0x 1≤≤，代入化简得f =左边=22222222(2xy-y)(1)()x x y x x y +-+-+-+，先固定x ，得'228()y f y x x y =-+，所以'yf 先负后正，f 先减后增，在两端最大，当0y =时，22112()122f x x=--+≤，当y 最大时，12||,||z z 至少一个为1，不妨设2||1z=，以下同前面分析，即旋转为1z 在x 轴负半轴上，设1(01)z x x =-≤≤，则左边222(1)1x x =-+≤，所以min1λ=。

2016年全国初中数学联赛试题和参考答案(ABC卷)

第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）把 x [ x] 称为 x 的小数部分.已知 t 1．用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，
1 ，a 是 t 的小数部分， 2 3
（）
b 是 t 的小数部分，则
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
得m
3 3 ， n 2 3 .所以，点 C 的坐标为 ( , 2) . 2 2
2．在四边形 ABCD 中， BC // AD ， CA 平分 BCD ， O 为对角线的交点，． CD AO ， BC OD ，则 ABC ＝【答】 126 . 因为 BC // AD ， CA 平分 BCD ，所以 DAC ACB ACD ，所以 DA DC ，又 CD AO ，所以 AD AO ，所以 ADO AOD . 记 DAC ACB ACD ＝， ADO AOD .
A M D H B C
CD 1 ，对角线的交点为 M ，则 DM ＝
A.
（ D.
）
3 ． 2
B.
5 ． 3
C.
2 ． 2
1 ． 2
【答】D. 作 AH BD 于点 H ，易知△ AMH ∽△ CMD ，所以

2016年全国高中数学竞赛湖北省预赛试题(word高二含答案)

2016年全国高中数学联赛湖北省预赛试题 (高二)一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1.已知函数f (x )满足：f (1) = 2，()()1(1)1f x f x f x ++=-对定义域内任意x 都成立。

那么f (2016)＝。

答案：13。

2.从五个正整数a , b , c , d , e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{44, 45, 46, 47}则a + b + c + d + e = 。

答案：57。

3.已知ABC ∆是等边三角形，椭圆Γ的一个焦点为A ，另一个焦点F 在线段上BC ，如果椭圆Γ 恰好经过,B C 两点, 则它的离心率为_____________。

答案：3。

4.已知实数满足2213x y +=，则2442P x y x y =+-+--的取值范围是。

答案：[2,14]。

5.袋子中有5 个白球、4 个红球和3 个黄球，从中任意取出4 个球，各种颜色的球都有的概率为。

答案：611。

6.以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有个。

（说明：全等的三角形视为形状相同）答案：14。

7.已知质数p ，q 满足q 5 - 2p 2 =1，则p + q = 。

答案：14。

8.已知四面体的一条棱长为6，其余棱长均为5，则这个四面体的外接球的半径为。

9.已知MN 是边长为62的等边△ ABC 的外接圆的一条动弦，MN ＝4， P 为△ ABC 的边上的动点，则MP PN ⋅ 的最大值为。

答案：4。

10.设[a ]表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为。

答案：104。

二、解答题（本题满分60 分，每小题20 分。

）11.已知{}{}22,log a A x x x B x x x =<=<，且B A ⊂，求实数a 的取值范围。

12.已知定义在R 上的函数f (x )满足：()1013f =，且对任意实数x , y ，恒有 f (x ) f (y ) = f (x + y ) + f (x - y ) ①若数列{a n }满足a n = 3f (n )- f (n -1)，n ∈N *。

2016年高中数学联赛试题答案

2 2
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则． log w u 的值为 4 答案：． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条件化为 a ab b 5, 3 ，由此可得 ab ．因此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小为． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径．设底面中心为 O ，则 PO 平面 ABC ．易知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知，，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为．

2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)

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2016年全国高中数学联赛福建省预赛试卷及答案

2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为。

2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为。

4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B A C D --的大小为。

5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅= 。

6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。

O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为。

7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为。

8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。

（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。

10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z +++的最大值为。

C 1B 1D 1C ABDA 1二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。

2016全国高中数学竞赛金牌获得

2016年全国高中数学竞赛金牌获得者随着社会的不断发展，越来越多的人意识到数学在现代社会中的重要性。

在我国，数学竞赛作为一种选拔人才的重要方式，备受关注。

2016年全国高中数学竞赛金牌获得者的产生，更是引起了广泛的关注和热议。

本文将对该事件进行介绍和分析。

1. 事件概述2016年全国高中数学竞赛金牌获得者，是指在全国各地的高中生中，通过层层选拔，最终获得全国竞赛金牌的优秀学生。

他们不仅在数学知识上有着扎实的基础，而且在解题能力和应试技巧上都表现出色，从而获得了全国性的荣誉。

2. 获奖条件要成为2016年全国高中数学竞赛金牌获得者，首先需要在所在地区的初赛中脱颖而出，获得省级及以上的奖项。

随后，需要参加全国性的决赛，经过激烈的角逐，最终获得金牌荣誉。

这一过程不仅检验了学生的数学水平，也考察了学生的心理素质和应试能力。

3. 优秀获奖者2016年全国高中数学竞赛金牌获得者中，有许多优秀的学生。

他们来自各个地区的中学，有的是省级的尖子生，有的是县级的冲锋者，但他们都在竞赛中展现出了自己的才华和实力。

他们的成功不仅为自己赢得了荣誉，也为母校和家乡增添了光彩。

4. 对社会的影响2016年全国高中数学竞赛金牌获得者的涌现，不仅是对他们个人的肯定，也是对我国数学教育的一种鞭策和鼓舞。

他们的成功，将激励更多的学生学习数学，发现数学的乐趣和美丽。

也将促进全国性的数学教育改革，提高数学教学的质量和水平，为培养更多的数学人才打下坚实的基础。

5. 结语2016年全国高中数学竞赛金牌获得者的脱颖而出，是他们辛勤努力和才华横溢的体现，更是我国数学教育取得成就的标志。

相信在未来的数学竞赛中，将会有更多的学生获得荣誉，为我国数学事业的繁荣作出更大的贡献。

6. 获奖者的背后故事每一个获得2016年全国高中数学竞赛金牌的学生都有着属于自己的背后故事。

有的学生自小便展现出了超凡的数学天赋，对数学充满了浓厚的兴趣和热爱；有的学生则是依靠坚持不懈的努力和日积月累的积累获得了成功。

全国奥林匹克数学竞赛一等奖

全国奥林匹克数学竞赛一等奖
全国奥林匹克数学竞赛一等奖是由中国教育部主办的一项重要数学竞赛，旨在培养和提升中小学生的数学水平。

该竞赛分初赛、复赛和总决赛三个阶段。

初赛以全国范围内的市县级竞赛为基础，前往复赛的选手必须在初赛中排名前五；复赛由省级数学竞赛委员会组织，选手必须在复赛中排名前二；总决赛由全国数学竞赛委员会组织，最终可以获得一等奖的选手必须在总决赛中排名前三。

获得一等奖的选手将获得相应的奖励，并有机会参加国际奥林匹克竞赛。