二次函数中绝对值问题的求解策略

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绝对值优化题目

绝对值优化题目在数学中，绝对值是一个常见的概念，表示一个数的大小。

在某些情况下，我们需要优化绝对值的问题，即找到使得绝对值最小或最大的解。

问题描述给定一个函数 $f(x)$，我们的目标是找到一个变量 $x$ 的值，使得 $f(x)$ 的绝对值最小。

解决方法为了解决绝对值优化问题，我们可以使用以下简单的策略：1. 寻找临界点：找到函数 $f(x)$ 的使得导数等于零的点，并计算这些点处的函数值。

这些点可能是使得绝对值最小的解。

2. 假设正负情况：我们可以分别考虑 $f(x)$ 的正负两种情况。

我们寻找使得 $f(x)$ 最小的 $x$ 值和使得 $f(x)$ 最大的 $x$ 值。

然后比较两种情况下的绝对值，找到最小的绝对值解。

3. 利用最值问题的性质：如果函数 $f(x)$ 在某个点处取得最小（或最大）值，则在该点的左右两侧，函数的值会增加（或减小）。

我们可以利用这个性质对绝对值优化问题进行求解。

4. 使用数值优化算法：当函数 $f(x)$ 呈现复杂形式时，我们可以使用数值优化算法，如最小二乘法、牛顿法等，来计算绝对值优化问题的解。

示例为了更好地理解绝对值优化问题，下面给出一个简单的例子。

假设我们需要找到使得函数 $f(x) = |x-2|$ 绝对值最小的 $x$ 值。

我们可以按照如下步骤进行求解：1. 寻找临界点：根据 $f'(x) = 0$，我们得到 $x = 2$，计算得到$f(2) = 0$。

因此 $x = 2$ 是使得绝对值最小的解。

2. 假设正负情况：我们仅考虑 $x > 2$ 的情况。

在该情况下，$f(x) = x-2$。

我们可以发现，$f(x)$ 在 $x > 2$ 时，是一个递增函数。

因此，使得绝对值最小的解为 $x = 2$。

综上所述，函数 $f(x) = |x-2|$ 的绝对值最小的解为 $x = 2$。

结论绝对值优化题目是数学中常见的问题。

通过寻找临界点、假设正负情况、利用最值问题的性质以及使用数值优化算法等方法，我们可以解决绝对值优化问题，并找到使得绝对值最小或最大的解。

二次函数、二次方程、二次不等式的求解策略PPT优秀课件

C. －1< a <1
详解
D. 0≤a <1
函数f(x)=x2－2x +3在[0,a] 上有最大值3，最小值2, 则a的范围是( C )
A . a≥1
B. 0≤a ≤2 C. 1≤a ≤2 D. a ≤2
函数f(x)lo1g(x2ax2a)在(－∞,
2
－
1 2
)上单调递增，则实数a的
取值范围是____1_,_16_____.
思想分析、解决问题
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一、知识识记：
1.二次函数的三种解析式：
一般式： f(x)a2x b xc(a0)
顶点式： f(x)a(xh)2k(a0)
两根式：f(x ) a (x x 1 )x (x 2 )a ( 0 )
2.二次函数的图象及性质：
f(x)a2x b x c(a0 )
y
顶
点：
b 2a
,
4acb2 4a

递减区间：

,
b 2a

O
x
递增区间：
b 2a
,
3.三个“二次”的基本关系：
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3.三个“二次”的基本关系：
b24ac 0
0
0
【解】由 x2a x2x1 x2(a1)x10
则问题转化为：f(x)x2(a1)x10在 [0，2]上有实根,

0
则原题等价于
1 a 2
0

2
或
f (0) 1 0 f ( 2 ) 2 a 3 0
f (0)10 f (2)2a30
解：由题:奇函数f (x) 在R上是减函数, 则f (1－2x2 + 4a2) ≥ f ( 3－4ax)

二次函数中的绝对值问题

二次函数中的绝对值问题
今天，我们从一个二次函数绝对值问题的处理方法入手，探讨此类问题的一种解决方法，为研究此类问题开辟一条路子。

一.问题及其解法的启示
为配方后利用绝对值不等式创造有利条件，其方法是利用绝对值不等式的性质.
二.方法延伸
上面我们运用绝对值不等式解决了一个与绝对值有关的二次函数问题，下面继续这方面的工作.
题目解说：本题是1996年全国高考题之一.
方法透析：由二次函数的单调性知，二次函数的最值一般是在区间的端点或者图像的顶点处达到，于是，由条件可得一系列含有参数a,b,c的不等式，再由绝对值不等式的性质以及等号成立的条件寻求与目标式子的距离即可.
证明：只证明（2）
(配凑法).。

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析（1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论：（i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。

例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。

函数中含绝对值问题的求解策略

函数中含绝对值问题的求解策略戴海林【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】5页(P1-5)【作者】戴海林【作者单位】瑞安中学浙江瑞安 325200【正文语种】中文函数是高中数学的重要内容，也是高考数学中突出考查的主干知识，在历年浙江省数学高考中都占较大的比重，考查涉及函数的概念、图像、性质及其综合应用，命题设计以基本初等函数、抽象函数、复合函数为背景，从函数与方程、不等式等知识交汇处来立意，突出考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想．试题中既有灵活多变的客观性试题，又有内涵丰富的解答题，要求考生有较高的理性思维能力．由于浙江省深化课程改革要求减少必修课程，从而使2015年和2016年浙江省高考数学的考查内容发生了较大的变化，不再要求考查导数．综观2015年浙江省高考试题及各地区模拟试题不难发现，命题时设计解答题主要是以二次函数为背景，而小题着重考查函数概念与性质为主，最明显的特征是试题中大多都带有绝对值符号，显然是想通过绝对值符号来增加函数试题背景的复杂性，从而有利于考查学生分类讨论、转化化归的能力与意识．因此，在2016年的高考复习中仍然应重视函数中含绝对值问题的研究，努力去发现并总结一些解决这类问题的思路与方法．2．1有关函数的知识体系高中阶段学习的函数及相关内容包括:必修1中的函数、必修4中的三角函数及必修5中的数列，在复习时应梳理并把握函数有关内容的知识体系(如图1)、弄清每个内容的本质所在及其相互关系，比如对于函数性质的复习，必须明确每个性质的定义、本质及数学表示，加强性质的综合应用，并要把握研究一个新函数性质的顺序:定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域．我们知道，定义域是研究一切性质的基础，有了函数周期性或奇偶性就可以缩小研究范围，单调性是函数最重要的性质，知道了单调性就可以确定函数值域(最值)，从而可以解决函数零点、恒成立等问题．2．2有关绝对值的重点知识1)绝对值的含义:它的几何意义表示数轴上坐标为a的点到原点的距离．2)绝对值不等式的解法:①从绝对值的几何意义出发可得出②从函数的图像出发可得出3)绝对值三角不等式:|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．3．1利用分段函数分解绝对值问题我们知道含绝对值的函数是分段函数的另一类表现形式，因此，把函数中含绝对值的问题转化为分段函数来解决是最基本的方法．例1已知函数m有2个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，3) B．［3，+∞)C．(0，3) D．(3，+∞)分析设函数则利用图像容易得出:当x∈(0，3)时，方程g(x)=m 有2个不同的解，即函数f(x)有2个不同的零点．故选C．例2 已知函数f(x)=x2－|2x－a|．1)若a=1，求函数y=f(x)的单调递增区间;2)当a＞0时，若对任意的x∈［0，+∞)，不等式f(x－1)≤2f(x)恒成立，求实数a 的取值范围．分析1)当a=1时，易得函数f(x)的单调递增区间为+∞)．2)不等式f(x－1)≤2f(x)可化为即2|2x－a|－|2x－(2+a)|≤x2+2x－1对任意的x∈［0，+∞)恒成立．式子左侧含2个绝对值可分3类情形讨论，因为a＞0，所以可分类如下:当时，只需对任意恒成立．设，显然g(x)在上为增函数，则由g(x)min=g(0)= 1－a≥0，得0＜a≤1．当与时，同理可得综上所述，a的取值范围为评注从例1和例2的分析中可以看出，分类讨论是解决绝对值问题的基本方法．一般地，要去掉一个绝对值需分2类，去掉2个绝对值需分3类，……，依次类推，从而将它转化为分段函数问题．对于分段函数问题，其基本方法是“分段归类”，即自变量涉及到哪一段就用这一段的解析式来处理．3．2利用几何意义表示绝对值问题尽管使用分类讨论是解决绝对值问题的基本方法，但许多特定背景下的绝对值问题也可以选择其他的方式来避免繁琐的分类讨论．例3已知t为常数，若函数在区间［0，3］上的最大值为2，则t =______．分析1设函数u=x2－2x－t，则由题意可知－1－t=－2或3－t=2，可得t=1．分析2设函数u= x2－2x，则－1≤u≤3，而y= |u－t|表示数轴上坐标为u的点A 到坐标为t的点B之间的距离(如图2所示)，且点A在区间［－1，3］内移动，易得t=1．例4若对于任意的x，y恒成立，则实数a的值为______．分析1设f(x)=|x+1|+|x－a|，g(y)= －y2+2y+2，根据题意得f(x)min≥g(y)max，求f(x)的最小值应先对a分情况(a＞1，a=1，a＜1)讨论，再对每一类情形进行分类去绝对值，较为繁琐．分析2 由绝对值的几何意义知|x+1|+ |x－a|表示数轴上坐标为x的点到坐标为－1的点及坐标为a的点的距离之和，显然它的最小值为|a+1|，而g(y)max=3，则由|a+1|≥3得a≥2或a≤－4．评注从例3和例4的分析中可以发现:有时利用绝对值的几何意义可以直观而又简便地解决问题，有时可以利用|x－a|+|x－b|的最小值为|a－b|，|x－a|－|x－b|的最大值为|a－b|，从而解决绝对值问题．3．3利用图形对称转化绝对值问题函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法，假如我们能够发现绝对值符号下函数的图形特征，就能把函数中含绝对值问题中的“数”转化为“形”进行解题，这是避免分类讨论的又一种有效手段．例5设max{a，b}表示数a，b中的最大值，若f(x)= max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为_____;若f(x)=关于x= 2016对称，则t =______．分析画出函数y=e|x|， y=e|x－2|的图像，可以发现它们的图像形状一样，前者是偶函数，图像关于y轴对称，后者的图像关于直线x=2对称，2个图像关于直线x=1对称，因此函数f(x)的图像为图3中的实线部分，可得f(x)的最小值为e;类似地，若f(x)=max{e|x|，e|x－t|}关于x=2016对称，则t=4032．例6存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有( )A．f(sin2x)=sinx B．f(sin2x)=x2+xC．f(x2+1)=|x+1| D．f(x2+2x)=|x+1|分析1这是2015年浙江省数学高考理科试题第7题．试题较为抽象，但若采用特殊值排除法，选出正确答案并不难，比如将代入，发现选项A，B都错;再将x=1，x=－1代入，发现选项C错．故选D．分析2对于选项D，设函数u=x2+2x，t= |x+1|，可知这2个函数图像都关于直线x=－1对称，且它们在对称轴2侧都是单调函数，当x≤－1时，对于每一个x 的值，u，t都是唯一的，从而满足题意．对于选项C，函数u=x2+1，t=|x+1|的图像的对称轴不一样，当x=1，x=－1时u的值相等，但t的值不相等，不符合函数定义，对于选项A，B也可一样处理，很容易发现它们不符合函数概念．例7 已知函数f(x)=|x－3|+|x－a|，g(x)=x3+1，若函数y=f(g(x))的图像为轴对称图形，则实数a可能的值是( )A．－1 B．1 C．2 D．3分析函数g(x)=x3+1的图像关于点(0，1)成中心对称，设t=g(x)，则且它的图像关于直线对称，进一步由1得a=－1．评注对于函数f(x)，可以得出以下结论:函数y=f(|x|)是偶函数，它的图像是保留f(x)在y轴上及右侧部分的图像，y轴左侧的图像只要作出右侧图像关于y轴的对称图即可;函数y=|f(x)|的图像是保留f(x)在x轴上及上方部分的图像，并将x轴下方图像作出它关于x轴的对称图即可;函数f(x)=|x－a|+|x－b|的图像关于直线x=对称，函数f(x)=|x－a|－|x－b|的图像关于点成中心对称．3．4利用等价转换简化绝对值问题例8设函数f(x)=x|x－a|+2x，若存在a∈［0，4］使得关于x的方程f(x)=tf(a)有3个不相等的实数根，则实数t的取值范围是( )A BC D分析由已知得设，由图4可知则t＞1，且有2个不同的解，即x2－(2+a)x+2at=0，x∈(0，a)有2个不同的解，从而可得2＜a≤4且，故则，因此例9若存在实数x0∈［1，3］，使得不等式成立，则实数a 的取值范围是______．分析1由得则由题意知只要存在x0∈［1，3］使得a+3≥x0+成立．又，则a+3≥4且5≥a－3，可得1≤a≤8．分析2由得设，则|u－a|≤3且4≤u≤5，由绝对值的几何意义可知1≤a≤8．评注在研究函数中含绝对值问题的最值、零点等问题时，等价转换、数形结合是基本的解题方法，我们常将不等式问题转化为2个函数图像的上、下关系来解，方程解的个数转化为2个熟悉的函数图像的交点个数问题来求解，力争减少分类讨论．3．5利用放大、缩小巧解绝对值问题例10已知二次函数f(x)=－x2+bx+c在区间(m，m+1)(其中m∈R)上存在2个不同零点，设则( )A．min{|f(m)|，|f(m+1)|}B．min{|f(m)|，|f(m+1)|}C．min{|f(m)|，|f(m+1)|}D．min{|f(m)|，|f(m+1)|}分析设函数f(x)的2个零点为α，β(其中α≠β)，则且设t=min{|f(m)|，|f(m+1)|}，则可得故选B．例11已知函数f(x)=x2+ax+b，记M(a，b)是|f(x)|在区间［－1，1］上的最大值．1)证明:当|a|≥2时，M(a，b)≥2;2)当a，b满足M(a，b)≤2，求|a|+|b|的最大值．分析这是2015年浙江省数学高考理科试题第18题，主要考查二次函数的性质、分类讨论及转化化归等数学思想．1)当|a|≥2时可知f(x)在［－1，1］上是单调函数，则显然M(a，b)≥|f(1)|，M(a，b)≥|f(－1)|，则故M(a，b)≥2．(此题也可通过分a≥2与a≤－2讨论来解决．)2)由M(a，b)≤2得则|a+b|≤3，当a=－2，b=－1时取等号;同理由|1－a+b|= |f(－1)|≤2得当a=2，b=－1时取等号．又故|a|+|b|的最大值为3．评注解决函数中含绝对值的范围或最值问题时，经常构造2个式子的和或积，再利用基本不等式或绝对值三角不等式来进行放缩，从而借助整体思想巧妙得到解决，但要注意取等号的条件．1．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，对于函数h(x)= |f(x－1)|+g(x－1)，则下列结论中正确的是( )A．h(x)的图像关于点(1，0)对称B．h(x)的图像关于点(－1，0)对称C．h(x)的图像关于直线x=1对称D．h(x)的图像关于直线x=－1对称2．设函数若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则的取值范围是( )A．(4，16) B．(0，12)C．(9，21) D．(15，25)3．设函数f(x)=|log2ax|在上的最大值为M(a)，则M(a)的最小值是( )A．2 B C．1 D4．已知f(x)=a|x－2|，若f(f(x))＜f(x)恒成立，则a的取值范围为( )A．a≤－1 B．－2＜a＜0C．0＜a＜2 D．a≥15．已知函数f(x)=x2+ax+1，若存在x0，使同时成立，则实数a的取值范围是______．6．定义域为R的奇函数f(x)=x|x+m|，若对任意的x1，x2∈［1，1+a］，总有|f(x1)－f(x2)|≤ 2，则实数a 的取值范围是______．7．已知f1(x)=|x－1|，fn+1(x)=|(n+ 1)fn(x)－1|，其中n∈N*，若函数y=f3(x)－kx恰有4个不同的零点，则正实数k 的值为______．8．已知函数1)若f(x)在区间［0，1］上不单调，求a的取值范围;2)若对于任意的a∈(0，4)，存在x0∈［0，2］，使得|f(x0)|≥t，求t的取值范围．1．C2．B3．B4．A5．7．28．提示:1)2)当且仅当x=0或x=2时取等号，又(1+|a－2|)min=1，因此t≤1．。

绝对值问题的求解策略

倒３（９１第１届全俄中学生数学竞赛）已知ａ，１９年７。
…
＋［０，１—（）｝Ｉｘ－（）ｇ１］Ｉｘ一）ｌ ×一（）０］ｌｆＯ－（）ｌ［Ｏ０一１ｇ＋ＥＯ＋Ｏ
，
，
１＞）ａｌｌ，ｌ，，ｎ１（２，ｔ＜ｋ，３…，．ｎ且Ｉ＋１＝２一
ｌ粕ｇ）寺且）（Ｉ・－ｏ≥ ｒ
证明：这是一个存在性ｆ题，＊ｌ用反证法求解．如果对一
策略２裂项的方法：
本法与运用数列求和的技巧类似，先巧妙地裂项，然后逐一抵消．可以逆用此技巧，而达到化简求证的目也从
倒１（０２２０年第２届美国数学邀请赛）））０设和ｇ是
定义在［，１上的函数．０］求证：存在，０００， ≤ｙ≤ ｙ使 ≤ ≤１Ｏ０
故对任意 ∈［，，：，０１都有：］））ＩＩ＜
．
点评：类情况中的构造是解决本题的亮点．第②
ｏ＜ａ・ａｎｔ
故＋＋旦＋＜，）堕 …＋止（卜１＋
ｎ２锄ａｌａｌ
≤２卜１ｎ）力（ ≥２．－
②￣－＞＋由Ｉｌｌ得＋１ｔｔ ’ ａａｌ＜ｌ１，＋
所以Ｌ＜＋１一＜．１｜１若有个．２在 ≤ｉ｝一中，ｐＩ｝值使
① 若（＝，，ｎ１，Ｌ≤１ ≤ １２…，－）则．
（ｌ件
，））（：，０１且对任意不同的－ ∈ ｏ１，）（）［，都有］－ｘＩｓ２ｔ

二次函数及绝对值

已知 () 的根是 b b 2 4ac x 2a
表達式 b 2 4ac 稱為二次方程的判別式，並以符號來表示，即 b 2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個不等的實根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個相等的實根（或稱該二次方程有二重根）
x 10 1 或 3 2
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法例 1.2
1 若二次方程 2 x 2 kx 6 0 的根是， 2 試求 k 的值及方程的另一根
1 解：因為方程 2 x 2 kx 6 0 的根是， 2 2 1 1 2 k 6 0 2 2 1 k 6 0 2 2 1 k 12 0 左右兩邊乘以 2。
2
x
3 17 4
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法推導二次公式
解方程 ax 2 bx c 0 ，其中 a 0
x2
2
b c x a a
2 2
b b b c x x a 2a 2a a b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a
解： (a) (6) 2 4(3)(2)
12 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為無理數 (b) (3) 2 4(2)(2) 25
52 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為有理數 (c) (12) 2 4(9)(4)
1
二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法

二次函数解题思路十大技巧

二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。

一求函数解析式，再求面积带线段。

动点问题难解决，坐标垂线走在前。

三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。

二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。

顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。

但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。

.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。

“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。

.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。

3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。

例谈含参二次函数最值问题的求解策略

一、“定范围动轴 ”问题例１ (２０１８年潍坊市中考数学卷第９题改编)已知二次函数y＝－(x－h)２(h 为常数),当自变量x 的值满足２≤x≤５时,函数值 y 的最大值为－１,则h 的值为 . 根据上述求解策略 ,分三种情况讨论 : (１)当h≤２时,可得当 x＝２时 y 取最大值,
对于闭区间上的二次函数 y＝c(x－m)２＋n (a≤x≤b),已知参数求最值,较为简单;而已知最值求参数,则让很多学生头疼. 其实,后者 (即含参二次函数的最值问题)最基本的求解策略是:利用数形结合的方法,对图像的对称轴与自变量取值范围的位置关系进行分类讨论. 一般地,可以分对称轴在自变量取值范围的左侧 (m≤a)、中间 (a＜m＜b)、右侧(b≤m)三种情况 (如图１),再根据“开口向上,近小远大,自变量的取值范围内对称轴处最小”“开口向下,近大远小,自变量的取值范围内对称轴处最大”,快速确定最值点,得到有关参数的方程,解出参数.这样,不管题目条件如何变化 ,求解思路始终清晰 .
关键词 :二次函数参尤其是闭区间上的最值问题,无论是已知二次函数求最值,还是已知最值求(二次函数中的)参数,都是中考的一个热点. 原因在于其能够综合的内容比较多 ,也足够复杂 .
８０教育研究与评论课堂观察 /２０２０年第２期

二次函数综合题解题方法

二次函数综合题解题方法二次函数是高中数学中的重要内容，掌握二次函数的解题方法对于学生来说至关重要。

下面将从不同角度对二次函数的综合题解题方法进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下二次函数的基本形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

在解题时，我们通常会遇到以下几种情况：1. 求二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得，其中f(x)=ax^2+bx+c。

这个公式的推导可以通过配方法或者求导数来得到，根据具体题目的要求，我们可以选择合适的方法来求解顶点坐标。

2. 求二次函数与坐标轴的交点，当我们需要求二次函数与x轴或y轴的交点时，可以通过令y=0或x=0来解方程，从而得到交点的坐标。

这个方法在解题过程中经常会被用到，需要我们熟练掌握。

3. 求二次函数的图像，通过化简二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴方程等。

这些信息对于绘制二次函数的图像非常重要，也是解题过程中的关键一步。

4. 求二次函数的最值，通过求解二次函数的导数，我们可以得到二次函数的增减性和极值点的信息，从而求得二次函数的最值。

这个方法在优化问题中经常会被用到，需要我们熟练掌握求导数和解方程的技巧。

5. 求二次函数的零点，通过利用一元二次方程的求根公式或者配方法，我们可以求得二次函数的零点，也就是方程y=ax^2+bx+c=0的解。

这个方法在解题过程中经常会被用到，需要我们熟练掌握求根公式和配方法的运用。

以上就是关于二次函数综合题解题方法的详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

在解题过程中，我们需要根据具体题目的要求灵活选择合适的方法，同时也需要多加练习，提高解题的能力和水平。

希望大家能够在学习中取得更好的成绩，加油！。

高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项

高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项绝对值方程是高中数学中常见的一类方程，解绝对值方程需要掌握一些常见的技巧和注意事项。

本文将通过具体的例题，介绍解绝对值方程的方法和要点，帮助高中学生和家长更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值方程的基本形式绝对值方程的基本形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

我们以一道简单的例题来说明解这类方程的方法。

例题1：解方程|2x - 3| = 5。

解法：根据绝对值的定义，可以得到两个方程：2x - 3 = 5和2x - 3 = -5。

解这两个方程可以得到x的两个解：x = 4和x = -1。

二、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，需要注意以下几个方面：1. 分类讨论：绝对值方程的解可能有一个、两个或无解。

根据绝对值的非负性质，我们可以将绝对值方程分为两种情况进行讨论。

2. 消去绝对值：当绝对值方程中的绝对值表达式与一个常数相等时，可以通过消去绝对值的方式求解。

例如，|x - 2| = 3可以转化为两个方程：x - 2 = 3和x - 2 =-3，解得x = 5和x = -1。

3. 变号取反：在解绝对值方程时，需要注意当绝对值表达式的符号发生变化时，方程的解也会取反。

例如，|x - 2| = -3无解，因为绝对值的值不可能是负数。

4. 联立方程：当绝对值方程中存在多个绝对值表达式时，可以通过联立方程的方式求解。

例如，|x - 2| + |x + 3| = 5可以转化为两个方程：x - 2 + x + 3 = 5和x - 2 - (x + 3) = 5，解得x = 1和x = -3。

三、绝对值方程的解题技巧除了上述的基本方法和注意事项外，还有一些解绝对值方程的常见技巧，可以帮助我们更快地求解。

1. 借助图像：可以通过绘制绝对值函数的图像来辅助解题。

例如，对于方程|2x - 3| = 5，可以绘制y = |2x - 3|和y = 5的图像，通过图像的交点来确定方程的解。

绝对值最小值的解题技巧_解释说明以及概述

绝对值最小值的解题技巧解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在解题过程中，经常会遇到一类问题，即求解绝对值最小值的情况。

绝对值最小值问题在数学和工程领域都具有广泛的应用，掌握相关的解题技巧和策略对于解决这类问题非常重要。

本文旨在介绍绝对值最小值的解题技巧以及其应用。

首先我们将概述绝对值最小值问题的背景和意义，并针对该问题提出一些基础概念和关键点。

接下来，我们将详细介绍常见的解题技巧和策略，以帮助读者更好地理解如何处理这类问题。

1.2 文章结构本文分为五个部分。

除了本引言部分外，第二部分将详细解释什么是绝对值最小值，并讨论它的特性和应用。

第三部分将通过三个具体示例来分析解题过程，展示如何运用所学知识来求解不同类型的绝对值最小值问题。

第四部分将进一步扩展应用范围，介绍多元函数、不等式以及数列与级数中的绝对值最小值问题。

最后，在第五部分中，我们将总结文章的主要观点，并提出一些建议，同时探讨未来可能的研究方向。

1.3 目的本文的目的是帮助读者理解和掌握解决绝对值最小值问题的技巧。

通过详细解释基础概念和关键点，以及提供示例分析和进阶应用，我们希望读者能够在实际问题中灵活运用这些技巧。

同时，我们也希望启发读者对于该领域未来研究的兴趣，并为进一步拓展和深化相关问题提供思路和指导。

2. 解题技巧解释2.1 什么是绝对值最小值在数学中，绝对值最小值指的是一个函数或方程中，当自变量取某个特定值时，其对应的函数值或方程解的绝对值达到了最小。

这意味着该特定值是使得函数或方程解取得最接近零的解。

2.2 绝对值最小值的特性和应用绝对值最小值有一些重要的特性和应用。

首先，绝对值最小值问题通常可以转化为求函数或方程导数为零的点，这些点就是函数或方程在横坐标上使得纵坐标达到绝对值最小的位置。

其次，绝对值最小值问题经常出现在优化问题、极限计算以及不等式证明中。

通过研究和理解绝对值最小值的特性和应用，我们能够更好地解决各种数学问题。

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析（1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论：（i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

文章如何解决带有绝对值的一元二次不等式

文章如何解决带有绝对值的一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中的重要内容，其中带有绝对值的一元二次不等式在解题过程中常常出现。

本文将就如何解决带有绝对值的一元二次不等式展开探讨。

解决带有绝对值的一元二次不等式可以分为以下几个步骤：第一步：观察不等式中的绝对值表达式，根据绝对值的定义判断绝对值的取值范围。

对于形如|ax + b|的绝对值表达式，我们知道当ax +b > 0时，|ax + b| = ax + b；当ax + b < 0时，|ax + b| = -(ax + b)。

第二步：根据第一步得到的绝对值表达式的取值范围，将不等式分为不同的情况。

根据不同情况，分别求解不等式。

第三步：对于每个情况，将绝对值表达式的绝对值符号去掉，得到相应的二次不等式，然后进行求解。

因为去掉绝对值符号后的二次不等式仍为一元二次不等式，我们可以利用一元二次不等式的知识来解决。

第四步：将每个情况的解合并起来，得到整个不等式的解集。

合并解的过程可以使用并集或交集的方法，具体根据不等式的要求来确定。

下面通过一个具体的例子来说明以上步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| + 5 > 7第一步：观察绝对值表达式 |2x - 3|，根据绝对值定义可知，当 2x -3 > 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3。

第二步：根据第一步分别得到两个情况：2x - 3 > 0 和 2x - 3 < 0，将原不等式分为两部分。

情况1：2x - 3 > 0，此时 |2x - 3| = 2x - 3，原不等式化简为 2x - 3 +5 > 7，得到 2x + 2 > 7。

情况2：2x - 3 < 0，此时 |2x - 3| = -2x + 3，原不等式化简为 -2x + 3+ 5 > 7，得到 -2x + 8 > 7。

高二数学解绝对值函数方程与不等式的方法与技巧

高二数学解绝对值函数方程与不等式的方法与技巧高二数学是学生们接触到更加抽象和复杂的数学概念的阶段。

在这个阶段，解绝对值函数方程与不等式是学生们需要掌握的重要内容之一。

本文将介绍解绝对值函数方程和不等式的方法与技巧，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。

一、绝对值函数方程的解法绝对值函数方程的一般形式为|f(x)|=g(x)，其中f(x)为以x为自变量的函数，g(x)为以x为自变量的函数，并且g(x)大于等于0。

1. 分情况讨论法当g(x)大于等于0时，绝对值函数方程可以转化为两个普通的函数方程。

我们可以分别去掉绝对值符号，并将等式拆分为两个方程：f(x) = g(x) 或 f(x) = -g(x)解这两个方程后，得到的解集即为原绝对值函数方程的解集。

2. 代数法对于形式复杂的绝对值函数方程，可以通过代数方法解决。

我们需要引入一个辅助变量来表示绝对值函数中的正负号。

假设辅助变量为y，那么绝对值函数方程可以表示为：f(x) = g(x) 或 f(x) = -g(x)根据y的正负号的不同，我们分别解两个方程。

解出x后，再将x 代入到y的方程中，得到的y即为绝对值函数方程的解集。

二、绝对值函数不等式的解法绝对值函数不等式的一般形式为|f(x)|<g(x)，其中f(x)为以x为自变量的函数，g(x)为以x为自变量的函数，并且g(x)大于0。

1. 分情况讨论法当g(x)大于0时，绝对值函数不等式可以转化为两个普通的函数不等式。

我们可以根据f(x)的正负号分析不等式的解集：当f(x)>0时，得到f(x)<g(x)；当f(x)<0时，得到-f(x)<g(x)；解这两个不等式后，得到的解集即为原绝对值函数不等式的解集。

2. 图像法我们可以通过绘制绝对值函数和右侧函数的图像来确定不等式的解集。

首先，绘制绝对值函数图像，然后在图像上标出g(x)对应的函数值。

然后，观察图像和标注的点，确定函数值小于g(x)对应的自变量范围，得到不等式的解集。

绝对值方程式解题方法(一)

绝对值方程式解题方法(一)绝对值方程式解题方法方法一：分情况讨论当我们遇到绝对值方程式时，一种常见的解题方法是通过分情况讨论来求解。

具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。

2.对于每个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。

3.求解每个普通方程式，得到两组解。

4.将两组解合并，即得到原绝对值方程式的解集。

这种方法适用于绝对值方程式的解集较为复杂的情况，可以有效地将问题简化，使得解题过程更加清晰。

方法二：代入法另一种常用的解绝对值方程式的方法是代入法。

具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。

2.对于任意一个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。

3.对于每个普通方程式，选择一个代入值，将其代入方程式中。

4.求解代入后的方程式，得到一个解。

5.重复上述步骤，直到得到所有解。

这种方法相对于分情况讨论来说，更加直观和灵活，适用于简单的绝对值方程式求解。

方法三：图像法对于一元绝对值方程式，我们可以使用函数图像来求解。

具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。

2.对于每个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。

3.将普通方程式化简为函数的图像表达式。

4.根据函数图像，确定方程式的解集。

这种方法尤其适用于具有图像化特征的方程式，通过观察图像可以直观地得到解集。

方法四：绝对值性质法有些特殊的绝对值方程式可以利用绝对值的性质来进行求解。

具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。

2.利用绝对值的性质进行化简，消去绝对值符号。

3.求解化简后的方程式，得到解集。

这种方法适用于一些特定形式的绝对值方程式，可以减少计算量，提高求解效率。

方法五：不等式法绝对值方程式与不等式之间存在密切的关系，因此我们也可以通过不等式的方法来求解绝对值方程式。

具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。

二次函数题的解题方法

二次函数题的解题方法一、题目分析在解决二次函数题时，首先需要对题目进行仔细分析，了解题目所给的条件和要求。

1. 确定题目中的二次函数形式：二次函数一般可以表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c为常数。

2. 确定题目中的解的要求：一般来说，二次函数题要求求解函数的零点、顶点坐标、对称轴、开口方向等。

二、求解步骤在分析清楚题目的情况之后，我们可以按照以下步骤求解二次函数题。

1. 判断a的值，确定二次函数的开口方向：当a>0时，二次函数的抛物线向上开口；当a<0时，二次函数的抛物线向下开口。

2. 求解顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过利用以下公式求解：x = -b / (2a)y = f(x)其中，x为顶点x坐标，y为顶点y坐标，f(x)为根据给定的x值计算出的y值。

3. 求解对称轴及开口方向：对称轴方程可以通过以下公式求解：x = -b / (2a)开口方向即为根据a的值判断。

三、举例说明让我们通过一个具体的例子来说明二次函数题的解题方法。

例题：求解二次函数y = 2x² + 3x - 4的顶点坐标、对称轴及开口方向。

分析：该题给出了二次函数的形式，要求我们求解其顶点坐标、对称轴及开口方向。

解答：首先，我们判断a的值，可知a=2，因此二次函数的抛物线是向上开口的。

其次，我们可以根据公式求解顶点坐标：x = -b / (2a) = -3 / (2*2) = -3 / 4 ≈ -0.75y = 2*(-0.75)² + 3*(-0.75) - 4 = 2*(0.5625) - 2.25 - 4 ≈ -6.125因此，该二次函数的顶点坐标为(-0.75, -6.125)。

接下来，我们可以通过对称轴方程求解对称轴的坐标：x = -b / (2a) = -3 / (2*2) = -3 / 4 ≈ -0.75因此，该二次函数的对称轴为x = -0.75。

初中数学复习如何快速解决不等式与绝对值问题

初中数学复习如何快速解决不等式与绝对值问题不等式与绝对值问题是初中数学中的重要内容之一，对于学生来说，掌握快速解决这类问题的方法非常关键。

本文将介绍一些有效的复习策略和解题技巧，帮助初中生快速解决不等式与绝对值问题。

一、复习策略1.复习基础知识：在解决不等式与绝对值问题之前，我们需要掌握基本的数学概念和知识。

因此，复习基础知识是构建解题能力的重要基础。

初中学生可以通过预习教材、复习课堂笔记和解题方法等方式来巩固基础知识。

2.理解概念定义：对于不等式与绝对值的相关概念，如何理解其定义是解题的关键。

学生应该深刻理解不等式中的大小关系及其图像表示，以及绝对值的意义和特性等。

3.掌握解题步骤：在解决不等式与绝对值问题时，学生需要按照一定的步骤进行推理与求解。

初中生可以通过大量的练习来熟悉解题的步骤，加深对题型的理解和记忆。

4.总结规律方法：在解题过程中，总结规律方法可以帮助学生快速捕捉问题的特点，提高解题效率。

例如，学生可以通过观察和归纳，总结出不等式的基本性质和解法思路，并把它们应用于不同的问题中。

二、不等式问题的解决方法1. 简化问题：对于复杂的不等式问题，学生可以通过逐渐简化问题，化繁为简。

例如，可以通过进行数的替换、数的分解、绝对值的拆分等方法，将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的等式问题。

2. 确定不等式的类型：不同类型的不等式问题有不同的解题方法，学生需要根据题目给出的条件和要求，确定不等式的类型。

常见的不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

3. 运用数轴进行解题：在解决一元一次不等式时，可以利用数轴的性质进行推理和求解。

学生可以将不等式中的变量在数轴上标出，根据不等式的符号关系确定变量的取值范围，从而得到不等式的解集。

4. 利用性质和规律求解：学生还可以通过利用不等式的性质和规律，运用代数方法进行求解。

例如，可以通过移项、配方法、整理等操作，将复杂的不等式化简为简单的等式或不等式，从而得到问题的解。

绝对值方程求解题技巧

绝对值方程求解题技巧求解绝对值方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学中必须掌握的基础知识之一。

本文将从基本概念开始，逐步介绍求解绝对值方程的技巧和方法。

一、基本概念：绝对值是对一个数取其非负值，即去掉其正负号。

对于一个实数x，它的绝对值记作| x |，定义如下：当x ≥ 0时，| x | = x当x < 0时，| x | = -x二、一元一次绝对值方程的求解：一个一元一次绝对值方程的一般形式是：|ax + b| = c，其中a、b、c是已知实数，且a ≠ 0，c ≥ 0。

1. 当ax + b ≥ 0时，由绝对值的定义可知，|ax + b| = ax + b，此时原方程可化为ax + b = c。

求解此线性方程即可得到一个解。

2. 当ax + b < 0时，由绝对值的定义可知，|ax + b| = -(ax + b)，此时原方程可化为-(ax + b) = c。

解出此线性方程并求其相反数即可得到一个解。

三、一元二次绝对值方程的求解：一个一元二次绝对值方程的一般形式是：|ax²+ bx + c| = d，其中a、b、c、d是已知实数，且a ≠ 0，d ≥ 0。

对于这类方程，一种常用的思路是通过绝对值函数的性质进行分情况讨论。

具体步骤如下：1. 对于ax² + bx + c ≥ 0的情况，此时绝对值函数的值等于ax² + bx + c。

将原方程化简为ax² + bx + c = d，并解出此二次方程，得到两个解x₁、x₂。

2. 对于ax² + bx + c < 0的情况，此时绝对值函数的值等于-(ax² + bx + c)。

将原方程化简为-(ax² + bx + c) = d，并解出此二次方程，得到两个解x₃、x₄。

3. 将上述两种情况的解合并，即可得到原方程的所有解。

需要注意的是，对于一元二次绝对值方程的求解，有时候可能会得到多个解或者无解，因此在解题过程中要认真分析每个情况，并进行验证。