现代控制理论知识点汇总

第一章

控制系统的状态空间表达式

１．状态空间表达式 n 阶

Du

Cx y Bu Ax x

+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:

A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情

况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２．状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．状态空间表达式的建立

① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积

分器的输出选作i x ，输入则为i x

；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。

特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。

系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。

6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W

D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ⨯的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

7．离散系统的状态空间表达式及实现（模拟结构图）

Du

k Cx k y Hu

k Gx k x +=+=+)()()()1(

8．时变系统：四个矩阵是时间t 有关的。

非线性系统：各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。利用泰勒级数可以线性化。

第二章 控制系统状态空间表达式的解

一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x

= ）的解：0)(x e t x At = 二．矩阵指数函数——状态转移矩阵 1．At

e

t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。5个基本性质。

2．At

e 的计算：

a 定义；

b 变换为约旦标准型 AT T J 1

)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或

c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e

At

记忆常用的拉氏变换对

2

222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1

)(1;1)(ωωωωωδ+↔

+↔+↔↔+↔↔

↔↔-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at

n n at d 应用凯莱-哈密顿定理

三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x

+= ）的解：τ

ττφφd Bu t x t t x t

)()()0()()(0

⎰-+=。可由拉氏变

换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求At

e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。特殊

激励下的解。

四．线性时变系统的解

１．状态转移矩阵用),(0t t φ来表示。 ２．),(0t t φ的计算：当)()()()

(0

t A d A d A t A t

t t

t ττττ⎰

⎰

=

时，])(ex p[),(0

0ττφd A t t t

t ⎰=；通常不等。

不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：

+++=⎰⎰⎰010

10

00

00

)()()(),(ττττττφτd d A A d A I t t t t

t t t

３．解为：ττττφφd u B t t x t t t x t

t )()(),()(),()(0

00⎰+

=

五．离散时间系统状态方程的解（递推法和Z 变换法） １．递推法

k G k =)(φ为状态转移矩阵；满足I k G k ==+)0();()1(φφφ

解为，τφφτφφd j Hu j k x k k x d j Hu j k x k k x k j k j )()1()0()()()()1()0()()(1

10

∑∑-=-=--+=--+

=或