现代控制理论知识点汇总

第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。

通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。

实现是非唯一的。

方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。

熟练使用梅森公式。

注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。

b 模拟结构图的等效。

如前馈点等效移到综合反馈点之前。

p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5．状态矢量的线性变换。

也说明了状态空间表达的非唯一性。

不改变系统的特征值。

特征多项式的系数也是系统的不变量。

特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。

a 互异根时，各特征矢量按列排。

b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。

系统的并联实现：特征根互异；有重根。

方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。

6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s WD B A sI C s W ++-=-1)()( r m ⨯的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。

方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

7．离散系统的状态空间表达式及实现（模拟结构图）Duk Cx k y Huk Gx k x +=+=+)()()()1(8．时变系统：四个矩阵是时间t 有关的。

非线性系统：各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。

利用泰勒级数可以线性化。

第二章 控制系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x= ）的解：0)(x e t x At = 二．矩阵指数函数——状态转移矩阵 1．Atet =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。

5个基本性质。

2．Ate 的计算：a 定义；b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L eAt记忆常用的拉氏变换对2222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1)(1;1)(ωωωωωδ+↔+↔+↔↔+↔↔↔↔-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t atn n at d 应用凯莱-哈密顿定理三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x+= ）的解：τττφφd Bu t x t t x t)()()0()()(0⎰-+=。

可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。

求解步骤：先求Ate t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。

特殊激励下的解。

四．线性时变系统的解１．状态转移矩阵用),(0t t φ来表示。

２．),(0t t φ的计算：当)()()()(0t A d A d A t A tt tt ττττ⎰⎰=时，])(ex p[),(00ττφd A t t tt ⎰=；通常不等。

不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：+++=⎰⎰⎰010100000)()()(),(ττττττφτd d A A d A I t t t tt t t３．解为：ττττφφd u B t t x t t t x tt )()(),()(),()(000⎰+=五．离散时间系统状态方程的解（递推法和Z 变换法） １．递推法k G k =)(φ为状态转移矩阵；满足I k G k ==+)0();()1(φφφ解为，τφφτφφd j Hu j k x k k x d j Hu j k x k k x k j k j )()1()0()()()()1()0()()(110∑∑-=-=--+=--+=或直接计算kG k =)(φ有一定困难，可采用这样的步骤：先将原状态方程化为约旦标准型，求变换矩阵T ，)(~)(k x T k x =，再求出)(~k x ，再得到)(k x 。

当然k k Λ=)(~φ，1)(~)(-==T k T G k k φφ。

２．Z 变换法 公式不用记忆，现推最好。

)]()[()]0()[()(1111z Hu G zI Z zx G zI Z k x -----+-= ；可见k G k =)(φ＝11)[(---G zI Z z];计算)(k x 的用到的内容：部分分式展开（先除z 后乘z ）；ZT 对 0;111≥-=-↔-k az zaz a k六．连续时间状态空间表达式的离散化 １．定常系统的离散化a. Du Cx y Bu Ax x +=+= )()()()()()()()1(k Du k Cx k y k u T H k x T G k x +=+=+→ ATe T G =)(；B dt e T H T At ⋅=⎰0)(b.近似离散化 )()()()()()())1((k Du k Cx k y kT TBu kT x I TA T k x +=++=+ 即 TB T H I TA T G ≈+≈)(;)(２．时变系统的离散化 略第三章 线性控制系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统） 二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换 Bu Ax x+= Bu T ATz T z 11--+=→１．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：B T 1-没有全为０的行。

变换矩阵T 的求法。

２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的B T1-中最后一行元素没有全为０的。

②B T 1-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为０的。

变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能控。

但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、B T1-。

判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别Bu Ax x+= 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M n -= 的秩为n 。

在单输入系统中，M 是一个n n ⨯的方阵；而多输入系统，M 是一个nr n ⨯的矩阵，可通过)(TMM rank rankM = 三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换 Cx y Ax x == →TCzy ATz T z==-1１．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：TC 中没有全为０的列。

变换矩阵T 的求法。

２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT TJ 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。

②对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。

变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能观。

但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、TC 。

判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别能观性的充要条件是 能观性判别矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1n CA CA C N 的秩为n 。

在单输入系统中，N 是一个n n ⨯的方阵；而多输入系统，N 是一个n nm ⨯的矩阵，可通过)(TMM rank rankM = 四．离散时间系统的能控性与能观性)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x +=+=+ 能控性充要条件),,,(12H G H G GH H M n -= 的秩为n 。

能控性充要条件⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1n CG CG C N的秩为n 。

五．时变系统的能控性与能观性（与定常系统不同）１．u t B x t A x)()(+= 在],[0f t t 上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵),(0f c t t W 非奇异。

dt t t t B t B t t t t W T T t t f c f),()()(),(),(0000φφ⎰= ),(0t t φ与),(0t t φ一样么？这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，则失去工程意义。

２．使用)()(t B t A 信息))(,),(),(()(21t B t B t B t Q n c =，其中)()(1t B t B =，)()()()(11t B t B t A t B i i i --+-= 如果存在某个时刻0>f t ，使得n t rankQ f c =)(，则系统在],0[f t 上是状态完全能控的。