二次函数常用公式、结论及训练

初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练

一、 常用公式或结论

（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。 纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。 （2）点轴距离：

点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。 （3）两点间的距离公式：

若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 （4）点到直线的距离：

点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：

d （5）中点坐标公式:

若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212

,22

x x y y ++）

（6）直线的斜率公式：

若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：12

12

=AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论：

已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2

①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。 （8）两直线垂直的结论：

已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1•k 2 =-1；②若k 1•k 2 =-1，则l 1┴l 2

（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：

【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】

直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：

AB=212

1x x k -•+=2122124)(1x x x x k -+•+

证明如下：

设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得：

AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上，

∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=

2

212221)()(x x k x x -+-=

2

212))(1(x x k -+=212

1x x k -•+

=2122124)(1x x x x k -+•+

而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1•x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。

（10）由特殊数据得到或联想的结论：

等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。

②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。

③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若K=±

与X轴的夹角为

30；若K=1±；则直线与X轴的夹角为045；若K=±

与X轴的夹角为0

60

教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。

二、基本公式或结论训练

--------破解函数难题的基石

】。

（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=-

x x

大小

（1）若A（2,0），B（10,0），则AB=————————。

（2）若A（-2,0），B（-4,0），则AB=——————————。

（3）若M（-3,0），N（10,0），则MN=——————————。

（4）若O（0,0），A（6,0），则OA=————————。

（5）若O（0,0），A（-4,0），则OA=——————————。

（6）若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=———。

（7）若O（0,0），A(t,0),且A在O的左端，则OA=———。

（8）若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=————。

（9）若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，则AB=——————。

（10）若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在M的右端，则PM=————————。

注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。

】。（二）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=-

y y

大小

（1）若A(0,5)，B（0,7），则AB=——————————。

（2）若A（0，-4），B（0，-8),,则AB=——————。

（3）若A（0,2），B（0，-6），则AB=————————。

（4）若A（0,0），B（0，-9),则AB=————————。

（5）若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=————————。

（6）若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=————————。

（7）若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=——————————。

（8）若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB=————————。