小球的质量为m沿着光滑的弯曲轨道滑下轨道的形状如图

3-2 小球的质量为m 沿着光滑的弯曲轨道滑下轨道的形状如图 1 要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离轨道问小球至少应从H 为多高的地方滑

下 2 小球在圆圈的最高点A 受到那几个力的作用

3 如果小球由H=2R 的高处滑下小球的运动将如何

分析取小球地球为系统时轨道作用于小球的支持力是外力但在小球运动过程中支持力不作功因此系统机械能守恒小球恰可沿原型轨道运动一周而不脱离轨道则要求在最高点A 具有卡壳作圆周运动所需的最小动能

解1

1 由受力分析可得小球在圆形轨道上任意点B 的运动方程

法线方向

R

v m mg N 2

cos =−θ 1 支持力 0≥N 2

小球从H 高度滑动到A 点的过程中系统机械能守恒选圆形轨道最低点C 为势能零点则有

2

2

1)cos (mv R R mg mgH +

−=θ 3 解123三式得

θcos

2

`3R R H −

≥ 4 对最高点A 应有 πθ= 所以 R R R H 2523=+

≥ 即小球至少应从R H 2

5=处滑下此时有 mg R

v m N ==2

,0

这就是小球恰可沿圆形轨道运动一周而不脱离轨道的动力学要求 2 球在圆形轨道最高点A 受力与开始下滑高度H 有关

当R H 2

5>时小球受重力和支持力方向竖直向下 当R H 2

5=,小球只受重力 3 当R H

2

5<时小球将不能绕圆轨道到达A 点 当H=2R 时小球将在圆轨道的某点处脱离轨道作抛体运动在脱离点 N=0

将H=2R 代入4式并取等号得

o 8.131=θ 由1式得小球脱离轨道时的速率

3/2Rg v =

解21对小球和地球组成的系统机械能守恒取圆环最低处为重力势能零点设

小球在最高点具有速率v 有 22

12mv R mg mgH +•= 小球恰可作圆周运动在最高点仅由重力提供向心力

即 R

v m mg 2

= 解上述两式

得 R H 25= 23同解1略