圆周角(1)(优质竞赛课件)
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圆周角优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
B
A
E DC
第13页
练习： 如图，P是△ABC外接圆上一点
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
第14页
例3: 船在航行过程中，船长经常经过测定 角度来确定是否会碰到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁分布在经过A,B两点一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ
Ｃ
第10页
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E大小有什么关系?
为何?
∠B = ∠D= ∠E
D
B E
●O
A
C
图1
第11页
问题解答
1、圆周角定理推论2：
用于找相等角
同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；
同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧也相等。
用于找相 等弧
第12页
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒BD=⌒DE
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
A
B
第17页
一个圆形人工湖,弦AB是湖上一座桥,已知桥
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
D
A
B
第18页
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论用途你都 知道了吗？
第19页
P
弓形所含圆周角 ∠C=50°,问船在航行 C 时怎样才能确保不进 入暗礁区?
E O
A
A
E DC
第13页
练习： 如图，P是△ABC外接圆上一点
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
第14页
例3: 船在航行过程中，船长经常经过测定 角度来确定是否会碰到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁分布在经过A,B两点一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ
Ｃ
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问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E大小有什么关系?
为何?
∠B = ∠D= ∠E
D
B E
●O
A
C
图1
第11页
问题解答
1、圆周角定理推论2：
用于找相等角
同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；
同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧也相等。
用于找相 等弧
第12页
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒BD=⌒DE
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
A
B
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一个圆形人工湖,弦AB是湖上一座桥,已知桥
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
D
A
B
第18页
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论用途你都 知道了吗？
第19页
P
弓形所含圆周角 ∠C=50°,问船在航行 C 时怎样才能确保不进 入暗礁区?
E O
A
圆周角一专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
A
O
B
C
D
❖ 证实：作直径AD, 由第一个情况知
∠BAD=1/2 ∠BOD ∠CAD=1/2 ∠COD
∴ ∠BAD+ ∠CAD=1/2(∠BOD+
∠COD)
∴ ∠BAC=1/2 ∠BOC
第9页
第三种情况：圆心在圆周角外部
❖ 证实：作直径AD， 同理由第一个情况得 ∠BAD=1/2∠BOD， ∠CAD=1/2∠COD ∴ ∠CAD- ∠BAD=1/2( ∠COD- ∠BOD) ∴∠BAC=1/2∠BOC
第10页
圆周角定理：一条弧所正确圆周角等于它所正 确圆心角二分之一。
推论：同弧或等弧所正确圆周角相等；在同圆 或等圆中，相等圆周角所正确弧相等。
第11页
1、求圆中角x度数？ =?
第12页
❖ 如图，四边形ABCD四个顶点在⊙O上，找出 图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4相等角。
D
34
C
2 1
O
A
B
第3页
摸索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
第4页
重点观测下面三个图形中,圆心与圆周角位置关系?
在以上三个图 形中,哪个图形 是特殊,其它图 形能够转化为
特殊图形吗?
第5页
圆心角和圆周角都是和圆相关角,同弧所正确 圆心角相等。
假如圆心角和圆周角所对弧相同,那么 1、同弧所正确所有圆周角度数是否也相等呢? 2、同一条弧所正确圆周角与圆心角之间又有什么 关系呢?
第16页
总结、扩展 这节课主要学习了两个知识点： 1．圆周角定义． 2．圆周角定理及其定理应用． 办法上主要学习了圆周角定理证实渗入了“特殊到 普通”思想办法和分类讨论思想．
第17页
.圆周角市公开课一等奖百校联赛获奖课件
图４
图５
辨一辨
第3页
请画出BC所对圆心角以及圆周角画Fra bibliotek画思索：
第4页
B
C
以不变应万变（弧不变）
第5页
如图：找出图中全部圆周角.
图中圆周角有:∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
第6页
如图，量出圆周角∠BAC与它所对弧上圆心角∠BOC度数，二者之间有什么关系？
当点A在弧BEC 上移动过程中，∠BAC与圆心O有几个不一样位置关系？
第14页
半圆或直径所正确圆周角是直角, 90°圆周角所正确弦是直径。
推论：
第15页
例1：如图,等腰三角形ABC顶角∠BAC=500，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D,交AC于点E.求BD,DE,AE度数。
例题观赏
⌒
⌒
⌒
第16页
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
例题观赏
例2：如图, B是AC上一点，∠AOC＝n°，求∠ABC度数 。
⌒
变式：如图,在⊙O中，∠AOC=1200，∠ACB=250,求∠BAC度数。
第17页
第18页
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
本节课你学到了什么？ 有何收获？
本节课包括： （1）研究方法：特殊 —— 普通 —— 特殊 （2）数学思想：转化、分类讨论。
猜测
归纳
应用
量一量每次改变后∠BAC度数，你发觉了什么？给出你猜测。
圆周角度数等于它所对弧上圆心角度数二分之一。
圆周角定理：
第7页
C
A
B
C
C
O
O
A
B
温馨提醒：分类
角边上 角内 角外
第8页
图５
辨一辨
第3页
请画出BC所对圆心角以及圆周角画Fra bibliotek画思索：
第4页
B
C
以不变应万变（弧不变）
第5页
如图：找出图中全部圆周角.
图中圆周角有:∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
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如图，量出圆周角∠BAC与它所对弧上圆心角∠BOC度数，二者之间有什么关系？
当点A在弧BEC 上移动过程中，∠BAC与圆心O有几个不一样位置关系？
第14页
半圆或直径所正确圆周角是直角, 90°圆周角所正确弦是直径。
推论：
第15页
例1：如图,等腰三角形ABC顶角∠BAC=500，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D,交AC于点E.求BD,DE,AE度数。
例题观赏
⌒
⌒
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Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
例题观赏
例2：如图, B是AC上一点，∠AOC＝n°，求∠ABC度数 。
⌒
变式：如图,在⊙O中，∠AOC=1200，∠ACB=250,求∠BAC度数。
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书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
本节课你学到了什么？ 有何收获？
本节课包括： （1）研究方法：特殊 —— 普通 —— 特殊 （2）数学思想：转化、分类讨论。
猜测
归纳
应用
量一量每次改变后∠BAC度数，你发觉了什么？给出你猜测。
圆周角度数等于它所对弧上圆心角度数二分之一。
圆周角定理：
第7页
C
A
B
C
C
O
O
A
B
温馨提醒：分类
角边上 角内 角外
第8页
圆周角 优质课比赛一等奖-精品PPT课件
已知：O中BC所对的圆周角是 BAC ，圆心角是BOC。
求证:BAC 12BOC
证明：分三种情况讨论。
⑴ 如图1中，圆心O在BAC 的一条边上。
O
∵OA=OC∴C=BAC 又BOC = BAC + C
∴BAC = 12BOC ⑵ 如图2中，圆心O在BAC 的内部。
B A
作直径AD，利用⑴的结果，有
（BAC= 36º， AOC= 108 º）
A
O
图2
?
140º B
C
C
O
B 图3
O D
B
A 图1
C
图2 C
A 图3 C
猜定想理:: 圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半。
A
将图中的点A沿BAC移动，可
A’
得到弧BC所对的多个圆周角，
如A’、 O
B
C
A
A’
将图中的点A沿BAC移动，可得 到弧BC所对的多个圆周角，如
A” A’、 A”······
O
而BC所对的圆心角只有BOC，
O
为C什么？
C
C不是，因为它有一边不与圆相交。
B
CC
定义:顶点在圆上,并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。
A
圆周角BAC所对的弧是哪一条？
圆心角BOC所对的弧是哪一条？ O
它们都对着BC
B
C
定义:顶点在圆上,并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。
猜对既那想弧然么:上它圆B们的周A之圆C角与间心的是角B度否O度数C存数都等在对的于着着一联它B半系所C，。？
达标训练
达标训练：
C
1 如图1在O中AB和CD是O的互 M
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苏科版九年级数学（上册）
圆 周 角（1）
A
A
A
O C
B O C
O
B
B
C
B
小强
C
O
小明
D
A
足球训练场上教 练在球门前划了一个 圆圈，进行无人防守 的射门训练，如图， 小明、小强两名同学 分别站在圆上A、D两 地，他们争论不休， 都说自己所在位置， 射门角度大，射门的 机率高。如果你是教 练，请评一评他们两 个人，如果仅从射门 角度的大小考虑，谁 的位置射门更有利？
B D
D
★圆心O在圆周角∠BAC的外部 作直径AD， 于是A O∠BAD＝CDB
1 ∠BOD，∠CAD＝ 2
∴∠CAD－∠BAD＝
1 （∠COD－∠BOD） 2
1 ∠COD 2
即∠BAC＝
1 ∠BOC 2
O D C
A
O D B
A
探索活动
A
A
A
O C
O C B
O
B
B
C
∠BAC＝
1 ∠BOC 2
结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
探索活动
在同圆或等圆中，把“同弧”改成“等弧”结论 是否依然成立？
归纳性质
圆周角性质：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
巩固练习
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同 侧，∠BAC＝35°,则 同弧所对的圆周角相等 ； ∠BDC ＝ 35 °，理由是 ∠BOC ＝ 70 °，理由是 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 。
A
O C B
作直径AD， 于是 1 1 ∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD 2 2 1 ∴∠BAD＋∠CAD＝ （∠BOD＋∠COD） 2 即∠BAC＝
A
1 ∠BOC 2
D
A
O
O C
B D
D
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A
A
A
O C
B
O C
O
B
B
C
图1
图2
图3
A
A
A
探索活动
B
O C
O
O C
(2)圆周角的性质：
A
B C
O
D O
B
A
C
反思小结
(1)分类思想
2、数学思想方法
A
A
A
O C
O C
O
B
B
A
B
C
A
O C
(2)从特殊到一 般思想
B
A
O C
B
A O
B
C
A
(3)转化思想
B
B
O C
转化
化转
O C
C
A O
B
C
B
B C
C
B
转化
F E D A O
化转D
D O O
E
A A
作业布置
1、必做题：教材第122页习题5.3的第1、3、4、5题； 2、选做题： （1）已知：如图1，在⊙O中，弦AB的长度等于半径，则弦AB所对的 圆周角的大小为__ _____． （2）如图2，∠BAC的两边均与⊙O相交，交点分别为B、D、C、E，试探究 ∠BAC的大小与弧BC、弧DE的度数之间的关系．
D O
E
A
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A
A
A
O C
B
O C
O
B
B
C
图1 半径
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA，
C
O
∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
B
探索活动
B C
O F D E A
小明
F E D
O
A
例题解析
B
C
变式：站在点D的 小强向前进了几步， 进到了圆内，仅从 射门角度大小考虑， 此时小明A、 小强 D谁的位置射门更 有利？
O F E D A
小明
例题解析
变式：如图，移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC 的大小又如何？并说明理由。
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A
∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC，
C
O
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
B
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A
A
A
O C
B
O C
O
B
B
C
图1
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的内部
2、图2中相等的圆周角有
A
∠A=∠ D、∠B=∠ C
A
。
O B C
图1
D
D
B
图2
C
例题解析
B
C
例1：站在点D的小强向后退 例1：如图，点A、B、C 在⊙O上，点D在圆外， 了几步，退到了圆外，此时 CD、BD分别交⊙O于点E、 从射门角度大小考虑，小明 A、小强D谁的位置射门更 F，比较∠BAC 与∠BDC 有利？ 的大小，并说明理由。
A
O B A
图1
B
D O
E
C
图2
教师赠言
近代伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的 秘诀时，写下了一个公式：A＝X＋Y＋Z。 他解释道：A代表成功，X代表艰苦的劳动， Y代表正确的方法，Z代表少说空话。
解： ∠BDC＞∠BAC。理由是： 延长BD交⊙O于点E，连接CE ∵∠BDC是△CDE的一个外角
B D
C
∴∠BDC＞∠BEC ∵∠BAC ＝∠BEC （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BDC＞∠BAC E
O
A
小结提升
B
C
B
C D
B
C
F E D
O
D
A
O
E
O
A
A
反思小结
1、数学知识
(1)圆周角的概念：
比较∠BAC的∠BDC大小？
概念归纳
圆周角定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
B C
D
O
A
练习巩固
辨一辨： 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
A
B
C
D
E
F
探索活动
1、观察操作、得到猜想
B
C
猜想1：同弧所对的圆周角 相等。 猜想2：同弧所对的圆周角 等于该弧所对的圆心角的 一半。
圆 周 角（1）
A
A
A
O C
B O C
O
B
B
C
B
小强
C
O
小明
D
A
足球训练场上教 练在球门前划了一个 圆圈，进行无人防守 的射门训练，如图， 小明、小强两名同学 分别站在圆上A、D两 地，他们争论不休， 都说自己所在位置， 射门角度大，射门的 机率高。如果你是教 练，请评一评他们两 个人，如果仅从射门 角度的大小考虑，谁 的位置射门更有利？
B D
D
★圆心O在圆周角∠BAC的外部 作直径AD， 于是A O∠BAD＝CDB
1 ∠BOD，∠CAD＝ 2
∴∠CAD－∠BAD＝
1 （∠COD－∠BOD） 2
1 ∠COD 2
即∠BAC＝
1 ∠BOC 2
O D C
A
O D B
A
探索活动
A
A
A
O C
O C B
O
B
B
C
∠BAC＝
1 ∠BOC 2
结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
探索活动
在同圆或等圆中，把“同弧”改成“等弧”结论 是否依然成立？
归纳性质
圆周角性质：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
巩固练习
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同 侧，∠BAC＝35°,则 同弧所对的圆周角相等 ； ∠BDC ＝ 35 °，理由是 ∠BOC ＝ 70 °，理由是 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 。
A
O C B
作直径AD， 于是 1 1 ∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD 2 2 1 ∴∠BAD＋∠CAD＝ （∠BOD＋∠COD） 2 即∠BAC＝
A
1 ∠BOC 2
D
A
O
O C
B D
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探索活动
2、分类转化、证明猜想
A
A
A
O C
B
O C
O
B
B
C
图1
图2
图3
A
A
A
探索活动
B
O C
O
O C
(2)圆周角的性质：
A
B C
O
D O
B
A
C
反思小结
(1)分类思想
2、数学思想方法
A
A
A
O C
O C
O
B
B
A
B
C
A
O C
(2)从特殊到一 般思想
B
A
O C
B
A O
B
C
A
(3)转化思想
B
B
O C
转化
化转
O C
C
A O
B
C
B
B C
C
B
转化
F E D A O
化转D
D O O
E
A A
作业布置
1、必做题：教材第122页习题5.3的第1、3、4、5题； 2、选做题： （1）已知：如图1，在⊙O中，弦AB的长度等于半径，则弦AB所对的 圆周角的大小为__ _____． （2）如图2，∠BAC的两边均与⊙O相交，交点分别为B、D、C、E，试探究 ∠BAC的大小与弧BC、弧DE的度数之间的关系．
D O
E
A
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A
A
A
O C
B
O C
O
B
B
C
图1 半径
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA，
C
O
∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
B
探索活动
B C
O F D E A
小明
F E D
O
A
例题解析
B
C
变式：站在点D的 小强向前进了几步， 进到了圆内，仅从 射门角度大小考虑， 此时小明A、 小强 D谁的位置射门更 有利？
O F E D A
小明
例题解析
变式：如图，移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC 的大小又如何？并说明理由。
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A
∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC，
C
O
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
B
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A
A
A
O C
B
O C
O
B
B
C
图1
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的内部
2、图2中相等的圆周角有
A
∠A=∠ D、∠B=∠ C
A
。
O B C
图1
D
D
B
图2
C
例题解析
B
C
例1：站在点D的小强向后退 例1：如图，点A、B、C 在⊙O上，点D在圆外， 了几步，退到了圆外，此时 CD、BD分别交⊙O于点E、 从射门角度大小考虑，小明 A、小强D谁的位置射门更 F，比较∠BAC 与∠BDC 有利？ 的大小，并说明理由。
A
O B A
图1
B
D O
E
C
图2
教师赠言
近代伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的 秘诀时，写下了一个公式：A＝X＋Y＋Z。 他解释道：A代表成功，X代表艰苦的劳动， Y代表正确的方法，Z代表少说空话。
解： ∠BDC＞∠BAC。理由是： 延长BD交⊙O于点E，连接CE ∵∠BDC是△CDE的一个外角
B D
C
∴∠BDC＞∠BEC ∵∠BAC ＝∠BEC （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BDC＞∠BAC E
O
A
小结提升
B
C
B
C D
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E
O
A
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反思小结
1、数学知识
(1)圆周角的概念：
比较∠BAC的∠BDC大小？
概念归纳
圆周角定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
B C
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A
练习巩固
辨一辨： 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
A
B
C
D
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F
探索活动
1、观察操作、得到猜想
B
C
猜想1：同弧所对的圆周角 相等。 猜想2：同弧所对的圆周角 等于该弧所对的圆心角的 一半。