《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题
奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章 周期信号的傅里叶级
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题一、采样复习笔记本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。
学完本章读者应该掌握以下内容：（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。
（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。
（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。
（4）了解数字微分器及其频率特性。
（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。
一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1冲激串采样（1）冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。
该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
（2）冲激串采样过程（见图7-1-1）在时域中有x p（t）＝x（t）p（t）在频域中有即X p（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。
图7-1-1 冲激串采样过程（3）采样定理频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。
如果ωs＞2ωM，其中ωs ＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。
其中频率2ωM称为奈奎斯特率。
已知这些样本值，重建x（t）的办法：①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。
②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。
2零阶保持采样（1）零阶保持的含义在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。
图7-1-2 利用零阶保持采样（2）零阶保持采样的过程零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。
奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(下册)-z变换(圣才出品)
第10章z变换10.1 复习笔记一、z变换1．z变换的定义一个离散时间信号x[n]的z变换定义为其中z是一个复变量。
简单记为2．z变换与傅里叶变换的关系X（re jω）是序列x[n]乘以实指数r-n后的傅里叶变换，即指数加权r-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。
若r＝1，或等效为|z|＝1，z变换就变为傅里叶变换，即（1）在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，即在虚轴jω上的拉普拉斯变换是傅里叶变换。
（2）在z变换中是当变换变量z的模为1，即z＝e jω时，z变换演变为傅里叶变换。
即傅里叶变换是在复数z平面中半径为1的圆上的z变换。
在z平面上，单位圆在z变换中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换中所起的作用。
二、z变换的收敛域1．性质1X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
2．性质2收敛域内不包含任何极点。
3．性质3如果x[n]是有限长序列，那么收敛域是整个z平面，可能除去z＝0和/或z＝∞。
4．性质4如果x[n]是一个右边序列，并且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么|z|＞r0的全部有限z 值都一定在这个收敛域内。
5．性质5如果x[n]是一个左边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么满足0＜|z|＜r0的全部z值都一定在这个收敛域内。
6．性质6如果z[n]是双边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|＝r0这一圆环的环状区域。
7．性质7如果x[n]的z变换X（z）是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。
8．性质8如果x[n]的z变换X（z）是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，亦即半径等于X（z）极点中最大模值的圆的外边。
而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n＜0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z＝∞。
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记资料
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记资料第1章信号与系统1.1 复习笔记本章内容是信号与系统分析的基础。
主要介绍了信号的分类和基本运算，学完本章读者要重点掌握的内容有：（1）掌握信号的分类方法及其特点：连续/离散、周期/非周期、奇/偶、能量/功率。
（2）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义及性质。
（3）掌握常见连续/离散信号的波形及其表达式。
（4）掌握信号的时域运算和波形变换方法。
（5）掌握系统互连方法及其特点。
一、连续时间和离散时间信号1连续时间信号和离散时间信号（见表1-1-1）表1-1-1 信号的定义和表示方法图1-1-1 信号的图形表示（a）连续时间信号；（b）离散时间信号2信号能量与功率（见表1-1-2）表1-1-2 能量和功率的计算公式3能量信号和功率信号的特点（见表1-1-3）表1-1-3 能量信号和功率信号的特点二、自变量的变换1基本变换（见表1-1-4）表1-1-4 自变量的基本变换2周期信号与非周期信号（见表1-1-5）表1-1-5 周期信号与非周期信号的定义及特点3偶信号与奇信号（见表1-1-6）表1-1-6 偶信号与奇信号的定义及特点【注】任何信号＝偶信号＋奇信号，即x（t）＝E v{x（t）}＋O d{x（t）}，其中E v{x （t）}＝（1/2）[x（t）＋x（－t）]，O d{x（t）}＝（1/2）[x（t）－x（－t）]，E v{x （t）}为x（t）的偶部，O d{x（t）}为x（t）的奇部。
三、指数信号与正弦信号1连续时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-7）表1-1-7 连续时间复指数信号与正弦信号的表达式与特点2离散时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-8）表1-1-8 离散时间复指数信号与正弦信号3离散时间复指数序列的周期性质（1）离散时间指数信号的周期性的要求为了使信号是周期的，周期为N＞0，就必须有，也就是要求ω0N必须是2π的整数倍，即必须有一个整数m，满足：ω0N＝m2π或ω0/（2π）＝m/N。
奥本海姆信号与系统(第二版)复习题参考答案
第一章作业解答1.9解：（b ）jt t t j e e e t x --+-==)1(2)(由于)()(2)1()1())(1(2t x e e e T t x T j t j T t j ≠==++-+-++-，故不是周期信号；（或者：由于该函数的包络随t 增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c ）n j e n x π73][= 则πω70= 7220=ωπ是有理数，故其周期为N=2； 1.12解：]4[1][1)1(]1[1][43--=--==+---=∑∑∞=∞=n u m n mk k n n x m k δδ-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n1…减去：-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 nu[n-4]等于：-3 –2 –1 0 1 23 4 5 6 n…故：]3[+-n u 即：M=-1，n 0=-3。
1.14解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：而：g(t)如图(c)所示……dtt dx )(如图（d ）所示：……故：)1(3)(3)(--=t g t g dtt dx 则：1t ,0t 3,32121==-==；A A 1.15解：该系统如下图所示： 2[n]（1）]4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{]3[21]2[][][1111111222-+-+-=-+-+-+-=-+-==n x n x n x n x n x n x n x n x n x n y n y即：]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。
（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。
1.17解：（a ）因果性：)(sin )(t x t y =举一反例：当)0()y(,0int s x t =-=-=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；（b ）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。
奥本海姆《信号与系统》笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)(线性时不变系统)【圣才出品】
第2章线性时不变系统2.1 复习笔记一、离散时间线性时不变系统：卷积和1．用脉冲表示离散时间信号把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列δ[n－k]的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是x[k]。
2．线性系统的卷积和（1）输入x[n]表示为一组移位单位脉冲的线性组合。
（2）h k[n]为该线性系统对移位单位脉冲δ[n－k]的响应。
（3）线性系统对输入x[n]的响应y[n]就是系统对这些单个移位脉冲响应的加权线性组合，即3．线性时不变系统的卷积和或叠加和用符号记为意义：既然一个线性时不变系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，那么线性时不变系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特征。
4．用图解的方法来计算卷积和（1）对某一n值，比如n＝n0，已求得y[n]画出了信号h[n0－k]，将它与x[k]相乘，并对所有的k值将乘积相加。
（2）求下一个n值，即n＝n0＋1时的y[n]画出信号h[(n0＋1)－k]，即将信号h[n0－k]右移一点即可；（3）对于接下来的每一个n值，继续上面的过程把h[n－k]一点一点地向右移，再与x[k]相乘，并对所有的k将全部乘积相加。
二、连续时间线性时不变系统：卷积积分1．用冲激表示持续时间信号任意信号x(t)可表示成了一个加权的移位冲激函数的和上式为连续时间冲激函数的筛选性质。
2．连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分表示（1）单位冲激响应h(t)也就是h(t)是系统对δ(t)的响应。
（2）卷积积分或叠加积分意义：一个连续时间线性时不变系统的特性可以用它的单位冲激响应来刻画。
两个信号x(t)和h(t)的卷积标记为3．求解连续时间信号的卷积的步骤（1）在任意时刻t的输出y(t)是输入的加权积分，对x（τ）其权是h（t－τ）。
（2）为了求出对某一给定t时的这个积分值，首先需要得到h（t－τ）。
（3）h（t－τ）是τ的函数，t为某一固定值，利用h（τ）的反转再加上平移（t＞0时就向右移t；t＜0时就向左移|t|），就可以求得h（t－τ）。
奥本海姆《信号与系统》(第2版)(下册)名校考研真题-通信系统(圣才出品)
【答案】C
【 解 析 】 线 性 相 位 FIR 滤 波 器 必 满 足 某 种 对 称 性 ， 即 h(n) = h( N −1− n) 或 者 h(n) = −h( N −1− n) 。答案中 C 为偶对称，且 N＝8，为Ⅰ型 FIR 滤波器。
【答案】 h(n) = 0，n 0 h(t) = 0，t 0 【解析】①对于稳定的又是因果的离散系统，其系统函数 H (z) 的极点都在 z 平面的单 位圆内；②对于稳定的又是因果的连续系统，其系统函数 H (s) 的极点都在 s 平面的左半开 平面。
2．离散系统的模拟可由
【解析】LTI 连续时间系统总可被分解为全通网络和最小相移网络的级联的形式。
三、简答题
1．FIR 数字滤波器必为稳定系统，试说明。[清华大学 2006 研] 解：FIR 数字滤波器的冲击响应是有限长的，因而当有限输入时，必有有限输出，必为 稳定的。
2．已知
LTI
系统的输入
x[n]和输出
y[n]满足如下关系
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第 8 章 通信系统
一、选择题
1．下面给出了几个 FIR 滤波器的单位函数响应。其中满足线性相位特性的 FIR 滤波器 是（ ）。[东南大学 2007 研]
A．h（n）＝{1,2,3,4,5,6,7,8} B．h（n）＝{1,2,3,4,1,2,3,4} C．h（n）＝{1,2,3,4,4,3,2,1}
k +100
i=k −100
n) e(i
= +
k +n+100
e(i)
i=k +n−100
奥本海姆信号与系统第一章部分习题答案
(e)
x[n], n 1
y[n] 0,
n0
x[n 1], n 1
(e)
Байду номын сангаас[n], n 1
y[n] 0,
n0
x[n 1], n 1
(g )
y[n] x[4n 1]
+++
1.31 在本题中将要说明线性时不变性质的重要结果之一，即一旦知道了一个线性
∴ 1 = 3，1 = 0，2 = −3，2 =1（或-1）
1.19判定下列输入-输出关系的系统是否具有线性性质、时不变性质，或两者俱有。
线
性： 3 = 1 + 2
时不变性： 2 = 1 ( − 0 )
(a) = 2 ( − 1)
∴ 是线性的
∴ 不是时不变的
基波周期0 ： 使[] = + 成立的最小正整数。
离散时间复指数信号的周期： 0 ， 0 = 是有理数，则是周期的，
2
2 0
且和无公因子时，基波周期为，角频率为 =
常数通常不讨论它的周期性，但可以认为周期为1。
1
4
2
=
= ，1 = 7
2 7 × 2 7
1
3
1
[] = [cos + cos( )]
2
4
4
N1
2
* m 8, m 3
3 / 4
N1
∴ 是周期的，基波周期为 =8
2
* m 8, m 1
/4
+ + + 1.27 这一章介绍了系统的几个一般性质，这就是一个系统可能是或不是：
奥本海姆《信号与系统(第二版)》习题参考答案
Charpt 11.21—(a),(b),(c)一连续时间信号 x(t) 如图 original 所示，请画出下列信号并给予标注：a)x(t-1)b)x(2-t)c)x(2t+1)d)x(4-t/2)e)[x(t)=x(-t)]u(t)f)x(t)[ δ(t+3/2)- δ(t-3/2)](d),(e),(f)1.22一离散时间信号 x[n] 如图 original 所示，请画出下列信号并给予标注。
a)x[n-4]b)x[3-n]c)x[3n]e) x[n]u[3-n]f) x[n-2] δ [n-2]1.23确定并画出图 original 信号的奇部和偶部，并给予标注。
1.25判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。
a)x(t)=3cos(4t+ π /3) T=2π/4=π/2;b)x(t)=e j( t 1) T=2π/π=2;2c)x(t)=[cos(2t- π /3)] 2 x(t)=1/2+cos[(cos(4t-2 π/3))]/2, so T=2π/4=π/2;d)x(t)= E v {cos(4 π t)u(t)} 定义 x(0)=1/2, 则 T=1/2;e)E v {sin(4 π t)u(t)}非周期f ) x(t)= e(2t n)n假设其周期为 T 则e (2t n)= e(2t n 2T)= e(2t (n 2T))= e(2t n)n n n n所以 T=1/2( 最小正周期 ) ；1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定他们的基波周期。
(a)x[n]=sin(6 π /7+1)N=7(b)x[n]=cos(n/8- π ) 不是周期信号2(c)x[n]=cos( π n /8)假设其周期为 N，则(n N)2/8 n2/8＋2k所以易得 N=8(d) x[n]= cos( n) cos( n)24N=8(e) x[n]= 2cos( n) sin( n) 2cos( n )4 8 2 6N=161.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要的结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。
《信号与系统》考研奥本海姆版配套2021考研真题库
《信号与系统》考研奥本海姆版配套2021考研真题库第一部分考研真题精选一、选择题1下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（）。
[西安电子科技大学2012研]A．f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）B．f（t）δ（t）＝f（0）δ（t）C．D．【答案】A查看答案【解析】A项，正确结果应该为f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）－f′（0）δ（t）。
2x（t）＝asint－bsin（3t）的周期是（）。
[西南交通大学研]A．π/2B．πC．2πD．∞【答案】C查看答案【解析】因为asint的周期为T1＝2π/1＝2π，bsin（3t）的周期为T2＝2π/3，因为T1/T2＝3/1为有理数，因此x（t）是周期信号，且x（t）＝asint－bsin （3t）的周期是3T2＝T1＝2π。
3序列f（k）＝e j2πk/3＋e j4πk/3是（）。
[西安电子科技大学2012研]A．非周期序列B．周期N＝3C．周期N＝6D．周期N＝24【答案】B查看答案【解析】f1（k）＝e j2πk/3的周期N1＝2π/（2π/3）＝3，f2（k）＝e j4πk/3的周期N2＝2π/（4π/3）＝3/2，由于N1/N2＝2为有理数，因此f（k）为周期序列，周期为2N2＝N1＝3。
4积分[西安电子科技大学2011研]A．2B．1C．0D．4【答案】A查看答案【解析】5序列乘积δ（k＋1）δ（k－1）＝（）。
[西安电子科技大学研]A．0B．δ（k）C．δ（k＋1）D．δ（k－1）【答案】A查看答案【解析】根据f（k）δ（k－k0）＝f（k0）δ（k－k0），因此δ（k＋1）δ（k－1）＝δ（2）δ（k－1）＝0。
6信号f1（t）＝2，f2（t）的波形如图1-1-1所示，设y（t）＝f1（t）*f2（t），则y（11）＝（）。
[西安电子科技大学2011研]图1-1-1A．1B．0C．2D．3【答案】B查看答案【解析】7已知一连续系统在输入f（t）作用下的零状态响应为y（t）＝f（4t），则该系统为（）。
《奥本海姆 信号与系统 第2版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
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命题
目录
01 第1章 信号与系统
02
第2章 线性时不变系 统
03
第3章 周期信号的傅 里叶级数表示
04
第4章 连续时间傅里 叶变换
05
第5章 离散时间傅里 叶变换
06 第6章 信号与系统的 时域和频域特性
本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为奥本海姆《信号与系统》（第2版）的考生。也可 供各大院校学习奥本海姆《信号与系统》（第2版）的师生参考。本书是奥本海姆主编的《信号与系统》（第2版） 的配套电子书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点 进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精 华。（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对奥本海姆主编的《信号与系统》（第2 版）的课后习题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。（3）精编考研真题，培养解 题思路。本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。所选考研真题涵盖了每章的考 点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。（4）免费更新内容，获 取最新信息。本书定期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以 免费升级获得。
奥本海姆《信号与系统》(第2版)知识点归纳考研复习(下册)
第7章采样第8章通信系统第9章拉普拉斯变换第10章Z变换第11章线性反馈系统第7章采样7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。
试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。
7.6在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1（t）和x2（t）相乘，其乘积W （t）由一冲激串采样，x1（t）带限于ω17.7信号x（t）用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0（t），设x1（t）是在x（t）的样本上经过一阶保持处理的结果，即7.8有一实值且为奇函数的周期信号x（t），它的傅里叶级数表示为7.9考虑信号x（t）为7.10判断下面每一种说法是否正确。
7.11设是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：7.12有一离散时间信号其傅里叶变换具有如下性质：7.13参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入xc（t）为带限，而有7.14假定在上题中有重做习题7.13。
7.15对进行脉冲串采样，得到若7.16关于及其傅里叶变换7.17考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为频率响应在条件下为7．18假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。
7.19考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。
零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为其中W[n]是抽取系统的输入序列。
若输入x[n]为试确定下列ω1值时的输出y[n]：7.20有两个离散时间系统S1和S2用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。
信号与系统 奥本海姆1-4答案.doc
Signals and SystemChap11.6 Determine whether or not each of the following signals is periodic:(a): (/4)1()2()j t x t e u t π+= (b): 2[][][]x n u n u n =+-(c): 3[]{[4][14]}k x n n k n k δδ∞=-∞=----∑Solution:(a).No 【周期信号无始无终，单边肯定不周期】Because 12cos()2sin(),0()440,0t j t t x t t ππ⎧+++>⎪=⎨⎪<⎩ when t<0, )(1t x =0. (b).No 【注意n ＝0】 Because 21,0[]2,01,0n n n n x >⎧⎪==⎨⎪<⎩(c).Y es 【画图、归纳】 Because∑∞-∞=--+--+=+k k m n k m n m n x ]}414[]44[{]4[3δδ∑∞-∞=------=k m k n m k n )]}(41[)](4[{δδ{[4][14]}k n k n k δδ∞=-∞=----∑N=4.1.9 Determine whether or not each of the following signals is periodic, if a signal is periodic, specify its fundamental period:(a): 101()j tx t je =(b): (1)2()j t x t e -+=(c): 73[]j n x n e π=(d): 3(1/2)/54[]3j n x n e π+= (e): 3/5(1/2)5[]3j n x n e += Solution: (a). T=π/5Because 0w =10, T=2π/10=π/5. (b). Aperiodic.Because jt t e e t x --=)(2, while t e -is not periodic, )(2t x is not periodic. (c). N=2Because 0w =7π, N=(2π/0w )*m, and m=7. (d). N=10Because n j j e e n x )5/3(10/343)(ππ=, that is 0w =3π/5,N=(2π/0w )*m, and m=3. (e). Aperiodic.Because 0w =3/5, N=(2π/0w )*m=10πm/3 , it ’s not a rational number.1.14 consider a periodic signal 1,01()2,12t x t t ≤≤⎧=⎨-<<⎩with periodT=2. The derivative of this signal is related to the “impulsetrain ”()(2)k g t t k δ∞=-∞=-∑, with period T=2. It can be shownthat1122()()()dx t A g t t A g t t dt=-+-. Determine the values of1A , 1t , 2A , 2t .Solution:A 1=3, t 1=0, A 2=-3, t 2=1 or -1 Because∑∞-∞=-=k k t t g )2()(δ,)1(3)(3)(--=t g t g dtt dx1.15. Consider a system S with input x[n] and output y[n].This system is obtained through a series interconnection of a system S 1 followed by a system S2. The input-output relationships for S 1 and S 2 areS 1: ],1[4][2][111-+=n x n x n y S 2: ]3[21]2[][222-+-=n x n x n yWhere ][1n x and ][2n x denote input signals.(a) Determine the input-output relationship for system S.(b)Does the input-output relationship of system S change if the order in which S 1 and S 2 are connected in series is reversed(ie., if S2 follows S 1)? Solution: (a)]3[21]2[][222-+-=n x n x n y]3[21]2[11-+-=n y n y]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{1111-+-+-+-=n x n x n x n x]4[2]3[5]2[2111-+-+-=n x n x n xThen, ]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y【可以考虑先求取单位脉冲响应，再做卷积】(b).No. because it ’s linear, S 1 and S 2 do not diverge.1.16. Consider a discrete-time system with input x[n] and output y[n].The input-output relationship for this system is]2[][][-=n x n x n y(a) Is the system memory less?(b) Determine the system output when the input is ][n A δ, where A is any real or complex number . (c) Is the system invertible? Solution: (a). No.For example, when n=0, y[0]=x[0]x[-2]. So the system is memory. (b). y[n]=0.When the input is ][n A δ,]2[][][2-=n n A n y δδ, so y[n]=0.(c). No.For example, when x[n]=0, y[n]=0; when x[n]=][n A δ, y[n]=0. So the system is not invertible.1.17.Consider a continuous-time system with input x(t) and output y(t) related by ))(sin()(t x t y =， (a) Is this system causal? (b) Is this system linear? Solution: (A). No.For example,)0()(x y =-π. So it ’s not causal.【得到什么启示？】 (b). Y es.Because : ))(sin()(11t x t y = , (sin()(22tx t y =)()())(sin())(sin()(21213t by t ay t bx t ax t y +=+=1.21. A continuous-time signal ()x t is shown in Figure P1.21. Sketch and label carefully each of the following signals:(a): (1)x t - (b): (2)x t - (c): (21)x t + (d): (4/2)x t - (e): [()()]()x t x t u t +-(f): ()[(3/2)(3/2)]x t t t δδ+--Solution: (a).(b).(c). (d).1.22. A discrete-time signal ][n x is shown in as the following. Sketch and label carefully each of the following signals: (a): [4]x n - (b): [3]x n - (c): [3]x n(d): [31]x n + (e): [][3]x n u n -(f): [2][2]x n n δ--(g): 11[](1)[]22nx n x n +-(h): 2[(1)]x n -Solution:(a).(b).(e).(f) ]2[-n δ(g)1.25. Determine whether or not each of the following continuous-time signals is periodic. If the signal is periodic, determine its fundamental period.(a): ()3cos(4)3x t t π=+ (b): (1)()j t x t e π-=(c): 2()[cos(2)]3x t t π=-(d): (){cos(4)()}x t t u t ενπ=(e): (){sin(4)()}x t t u t ενπ= (f): (2)()t n n x t e∞--=-∞=∑Solution:(a).Periodic. T=π/2. Solution: T=2π/4=π/2. (b). Periodic. T=2.Solution: T=2π/π=2.(c). Periodic. T=π/2.【括号内周期，平方后仍然周期，或者做三角变换】 (d). Periodic. T=0.5. Solution: )}()4{cos()(t u t E t x v π= )}())(4cos()()4{cos(21t u t t u t --+=ππ )}()(){4cos(21t u t u t -+=π)4cos(21t π=So, T=2π/4π=0.5【值得商榷】 (e)、(f)非周期信号。
奥本海姆《信号与系统》(第2版)(下册)名校考研真题-采样(圣才出品)
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C．1 + 2
D． 12
【答案】C
【解析】由题意知，信号
x1 (t )
的最高频率为
1 2
，
x2 (t)
的最高频率为
2 2
。由傅里叶变
换性质和卷积定理可知：
x(t)
=
x1(t
+1)x2 (t
+ 2
=
2
+
3 2
1
。其奈
奎斯特采样频率： s = 2m = 22 + 31 。
2．已知数字音乐的抽样频率是 44.1KHz，由此，我们可以推测，人的听力频率范围的 上限接近（ ）。[华南理工大学 2008 研]
A．10 KHz B．20 KHz C．40 KHz D．80 KHz 【答案】B
【解析】根据奈圭斯特抽样定理，抽样频率 fs 2 fm 可得。
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3．若信号
f
(t)
的奈奎斯特采样频率为
fs
，则信号
g (t )
=
f
(t)
f
t 2
的奈奎斯特采样频
率为（ ）。[北京邮电大学 2009 研]
A．
1 2
fs
B． fs
C．1.5 fs
D． 2 fs
【答案】C
C． 4π m
D． π m
【答案】A
【解析】根据时域和频域之间关系，可知若时域扩展，则频域压缩。所以若 f (t) 的频带
宽度为 m ，则信号
y(t) =
奥本海姆 信号与系统 第一章知识点总结
第一章 信号与系统一．连续时间和离散时间信号 1.两种基本类型的信号：连续时间信号和离散时间信号。
在前一种情况下，自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；而后者是仅仅定义在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。
为了区分，我们用t 表示连续时间变量。
而用n 表示离散时间变量，连续时间变量用圆括号()•把自变量括在里面，而离散时间信号则用方括号[]•来表示。
2.信号能量与功率连续时间信号在[]21t t ，区间的能量定义为：E=dt t x t t 221)(⎰连续时间信号在[]21,t t 区间的平均功率定义为：P=dt t x t t t t 21221)(1⎰- 离散时间信号在[]21,n n 区间的能量定义为：E=∑=212][n n n n x离散时间信号在[]21,n n 区间的平均功率定义为：P=∑=+-21212)(11n n n t x n n 在无限区间上也可以定义信号的总能量： 连续时间情况下：⎰⎰+∞∞--∞→∆∞==dt t x E TTT 22x(t)dt )(lim离散时间情况下：∑∑+∞-∞=+-=∞→∆==n NNn N n x n x E 22][][lim在无限区间内的平均功率可定义为：⎰-∞→∆∞=TTT dt t x TP 2)(21lim∑+-=∞→∆∞+=NNn N n x N P 2][121lim 二．自变量的变换1.时移变换x(t)→x(t-0t ) 当0t >0时，信号向右平移0t ；当0t <0时，信号向左平移0tx[n]→x[n-0n ] 当0n >0时，信号向右平移0n ；当0n <0时，信号向左平移0n 2.反转变换x(t)→x(-t) 信号以t=0为轴呈镜像对称 x[n]→x[-n] 与连续时间的情况相同 3.尺度变换x(t)→x(at) a>1时，x(at) 是将x(t)在时间上压缩a 倍 0<a<1时，x(at)是将x(t)在时间上扩展1/a 倍由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
信号与系统奥本海姆第二版答案
第1章信号与系统1.1复习笔记1，连续时间和离散时间信号1个连续时间信号和离散时间信号（1）连续时间信号（图1-1（a））①定义连续时间信号是指自变量是连续变量的信号，并且该信号是在自变量的连续值上定义的。
②代表自变量由T表示，表示连续时间。
连续时间信号表示为X（T）。
（2）离散时间信号（图1-1（b））①定义离散时间信号的自变量仅在一组离散值中选择，并且仅在离散时间点定义信号。
②代表自变量由N表示，N表示离散时间。
离散时间信号表示为x [n]。
说明：hwocrtemp_ ROC60图1-1信号的图形表示（a）连续的时间表示；（b）离散时间信号2.信号能量和功率（1）有限间隔内信号的总能量和功率①描述中的连续时间信号x（T）：hwocrtemp_ roc120中的总能量说明：hwocrtemp_ ROC130哪里x |是X的模块（可能是复数）。
通过将上述公式除以长度t2-t1，可以获得平均功率。
②描述中的离散时间信号x [n]：hwocrtemp_ roc140中的总能量说明：hwocrtemp_ ROC150将其除以interval_中的点数即可。
Roc160获得该范围内的平均功率。
（2）无限间隔内信号的总能量和功率①无限时间连续时间信号的总能量x（T）说明：hwocrtemp_ ROC180无限时间连续时间信号x（T）的平均功率说明：hwocrtemp_ ROC220②无限时间中离散时间信号x [n]的总能量说明：hwocrtemp_ ROC190无限时间间隔内离散时间信号x [n]的平均功率说明：hwocrtemp_ ROC230（3）根据信号能量和功率的限制进行分类①该信号的总能量有限，即：hwocrtemp_ Roc240，该信号的平均功率为零。
②如果平均功率P∞是有限的，则其能量是无限的。
③具有无限大的P∞和E∞的信号。
2，自变量的变换基本转型（1）时移①X（t-t0）表示具有延迟|的X（T）。
奥本海姆《信号与系统》笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)(信号与系统的时域和频域特性)
第6章信号与系统的时域和频域特性6.1 复习笔记一、傅里叶变换的模和相位表示1．基本表示方法傅里叶变换是复数值的，可以用它的实部和虚部，或者用它的模和相位来表示。
（1）连续时间傅里叶变换X（jω）的模-相表示是（2）离散时间傅里叶变换X（e jω）的模-相表示是2．振幅与相位（1）模|X（jω）|所描述的是一个信号的基本频率含量，也即给出的是组成x(t)的各复指数信号相对振幅的信息。
是x(t)的能谱密度，即可认为是信号x(t)中位于频率由ω到ω＋dω之间这样一个无限小的频带内所占有的能量。
（2）相位角不影响各个频率分量的大小，但提供的是有关这些复指数信号的相对相位信息。
二、线性时不变系统频率响应的模和相位表示1．基本表示（1）根据连续时间傅里叶变换的卷积性质，一个线性时不变系统的输入和输出的傅里叶变换X（jω）和Y（jω）的关系：Y（jω）＝H（jω）X（jω）其中H（jω）是系统的频率响应，也即系统单位冲激响应的傅里叶变换（2）在离散时间情况下，一个频率响应为H（e jω）的线性时不变系统，其输入和输出的傅里叶变换X（e jω）和Y（e jω）的关系是Y（e jω）＝H（e jω）X（e jω）因此，一个线性时不变系统对输入的作用就是改变信号中每一频率分量的复振幅。
（3）在连续时间情况下，|Y（jω）|＝|H（jω）||X（jω）|且①线性时不变系统对输入傅里叶变换模特性的作用就是将其乘以系统频率响应的模。
②由线性时不变系统将输入的相位变化成在它基础上附加了一个相位（系统的相移）。
系统的相移可以改变输入信号中各分量之间的相对相位关系。
2．线性与非线性相位（1）线性相位①在连续时间情况下，当相移是ω的线性函数时，具有这种频率响应特性的系统所产生的输出就是输入的时移，即y(t)＝x（t－t0）②在离散时间情况下，当线性相位的斜率是一个整数时，线性时不变系统所产生的输出就是输入的简单移位，即y[n]＝x[n－n0]（2）非线性相位、如果输入信号受到的是一个ω的非线性函数的相移，那么在输入中各不同频率的复指数分量都将以某种方式移位，从而在它们的相对相位上发生变化。
信号与系统 (奥本海默) 总结 复习
第一章：Singnals and System（信号与系统）1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）信号：信息的载体。
在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables （独立自变量）。
例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]又叫序列（sequences）。
两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。
信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。
例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。
Signal energy and power（信号的能量与功率）把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。
因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，而相应这段时间的功率则为P=E/(t2-t1)信号在整个定义域的能量E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt信号在整个定义域的平均功率P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。
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《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题一、采样复习笔记本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。
学完本章读者应该掌握以下内容：（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。
（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。
（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。
（4）了解数字微分器及其频率特性。
（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。
一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1冲激串采样（1）冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。
该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
（2）冲激串采样过程（见图7-1-1）在时域中有x p（t）＝x（t）p（t）在频域中有即X p（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。
图7-1-1 冲激串采样过程（3）采样定理频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。
如果ωs＞2ωM，其中ωs ＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。
其中频率2ωM称为奈奎斯特率。
已知这些样本值，重建x（t）的办法：①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。
②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。
2零阶保持采样（1）零阶保持的含义在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。
图7-1-2 利用零阶保持采样（2）零阶保持采样的过程零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。
①用一个单位冲激响应为h r（t），频率响应为H r（jω）的线性时不变系统来处理x0（t）。
②给出一个H r（jω），以使r（t）＝x（t）。
这就要求若H r（jω）的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-1-4所示。
零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。
图7-1-3 零阶保持输出x0（t）的原理图图7-1-4 为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性需要注意以下两点：①零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，而不用附加任何低通滤波；②H r（jω）不可能真正实现，必须进行充分近似设计。
二、利用内插由样本重建信号内插是一个由样本值来重建某一函数的常用过程，也就是用一连续信号对某一组样本值的拟合。
1零阶保持零阶保持可以看成在样本之间进行内插的一种形式，图7-1-5是零阶保持和理想内插滤波器的传输函数。
图7-1-5 零阶保持和理想内插滤波器的传输函数2线性内插（一阶保持）（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来，如图7-1-6所示。
图7-1-6 线性内插（虚线表示原始信号，实线表示线性内插）（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）①输入x r（t）＝x p（t）*h（t）时上式体现了在样本点x（nT）之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。
②对于理想低通滤波器H（jω），h（t）为所以有按照上式在ωc＝ωs/2时的重建过程如图7-1-7所示，其中（a）图表示带限信号x （t），（b）图表示x（t）的样本冲激串；（c）图表示用sinc函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。
图7-1-7 利用sinc函数的理想带限内插3高阶保持零阶保持是一种很粗糙的近似，高阶保持是更为平滑的内插手段，它们所产生的恢复信号具有更好的平滑度。
三、欠采样的效果：混叠现象混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。
即当ωs＜2ωM时，x（t）的频谱X（jω）不在X0（jω）中重复，因此利用低通滤波不能把x（t）从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号x r（t）不等于x（t）。
需要注意：采样定理明确要求采样频率大于信号中最高频率的2倍，而不是大于或等于最高频率的2倍。
四、连续时间信号的离散时间处理1对连续时间信号的处理方法处理方法分为以下三个过程，框图如图7-1-8所示。
（1）连续时间到离散时间的转换（C/D）：x d[n]＝x c（nT）。
（2）离散时间系统内部处理，x d[n]和y d[n]都是对应于x c（t）和y c（t）的离散时间信号。
（3）离散时间到连续时间的转换（D/C），实现的是作为它的输入的各样本点之间的内插。
图7-1-8 连续时间信号的离散时间处理2连续时间信号x c（t）和它的离散时间表示x d[n]之间的关系。
把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节，整个系统的表示如图7-1-9所示，其中图（a）表示整个系统；图（b）表示两种采样率的x p（t），虚线包络代表x c（t）；图（c）表示两种不同采样率的输出序列。
图7-1-9 用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换需要注意：连续时间的频率变量用ω表示，将离散时间的频率变量用Ω表示。
3X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）的关系x c（t）和y c（t）的连续时间傅里叶变换分别用X c（jω）和Y c（jω）表示；而x d[n]和y d[n]的离散时间傅里叶变换分别用X d（e jΩ）和Y d（e jΩ）表示。
（1）用x c（t）的样本值来表示x p（t）的连续时间傅里叶变换X p（jω）又δ（t－nT）的傅里叶变换是e－jωnT，所以现在考虑x d[n]的离散时间傅里叶变换，即因为x d[n]＝x c（nT），因此从而可得X d（e jΩ）和X p（jω）的关系又因为因此得到（2）X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）三者之间的关系（见图7-1-10）①X d（e jΩ）是X p（jω）的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。
②x d[n]和x r（t）之间的频谱关系，是通过先把x c（t）的频谱X c（jω）按进行周期重复，然后再跟着一个按的线性频率尺度变换联系起来的。
图7-1-10 在两种不同采样率下，X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）之间的关系4利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统（见图7-1-11）图7-1-11 利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统图7-1-12 图7-1-11所示系统的频域说明其中（a）连续时间信号的频谱X c（jω）；（b）冲激串采样以后的谱；（c）离散时间序列x d[n]的谱；（d）H d（e jΩ）和X d（e jΩ）相乘后得到的Y d（e jΩ）；（e）H p（jω）和X p（jω）相乘后得到的Y P（jω）；（f）H c（jω）和X c（jω）相乘后得到的Y c（jω）。
（1）图7-1-12左边是某一代表性的频谱X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ），其中假定ωM＜ωs/2，所以没有混叠发生。
相应于时间滤波器输出的谱Y d（e jΩ）是X d （e jΩ）和H d（e jΩ）相乘，如图7-1-12（d）所示。
（2）变换到Y c（jω）就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-1-12（e）和图7-1-12（f）所示。
（3）因为Y d（e jΩ）是两个互为重叠的频谱积，如图7-1-12（d）所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。
（4）将图7-1-12（a）和（f）进行比较，可得Y c（jω）＝X c（jω）H d（e jωT），在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-1-12的整个系统事实上就等效于一个响应为H c（jω）的连续时间系统，而H c（jω）与离散时间频率响应H d （e jΩ）的关系为等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。
5数字微分器连续时间理想带限微分器的频率响应及用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应如表7-1-1所示。
表7-1-1 连续时间理想带限微分器及相应离散时间滤波器的频率响应6半采样间隔延时在输入x c（t）是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出关系为y c（t）＝x c（t－Δ），Δ代表延时时间。
连续时间延时系统频率响应的模和相位特性及相应的离散时间延时系统的频率响应的模和相位特性如表7-1-2所示。
表7-1-2 连续时间延时系统及相应的离散时间延时系统的频率响应五、离散时间信号采样1脉冲串采样（1）离散时间采样系统（见图7-1-13）由采样过程形成的新序列x p[n]在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列x[n]，而在采样点之间都是零，即图7-1-13 离散时间采样系统（2）X（e jω），P（e jω）和X p（e jω）的关系在时域中有在频域内有采样序列p[n]的傅里叶变换是式中采样频率ωs＝2π/N。
于是有图7-1-14 一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果其中图7-1-14（a）原始信号的频谱；（b）采样序列的频谱；（c）在ωs＞2ωM 时已采样信号的频谱；（d）在ωs＜2ωM时已采样信号的频谱，这时发生了混叠。
（3）信号的恢复在ωs＞2ωM没有频谱重叠的情况下（见图7-1-15），X（e jω）如实地在ω＝0和2π的整数倍附近再现，这样x[n]就能利用增益为N，截止频率大于ωm而小于ωs－ωM的低通滤波器从x p[n]中恢复出来。
（该低通滤波器的截止频率为ωs/2）图7-1-15 利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号其中（a）一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图；（b）信号x[n]的频谱；（c）x p[n]的频谱；（d）截止频率为ωs/2的理想低通滤波器的频率响应；（e）重建信号x r[n]的频谱。
（4）该低通滤波器的单位脉冲响应重建的序列x r[n]是x r[n]＝x p[n]*h[n]，或者等效地写成上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。
在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式为其中h r[n]是内插滤波器的单位脉冲响应。
2离散时间抽取与内插（1）离散时间抽取提取每第N个点上的样本的过程称为抽取。
抽取通常指每隔10抽1，现在通指每隔N（不一定为10）取1的运算。