第五章-动态数列—水平指标
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第五章 动态数列
一定时期内现象的总发展速度 等于各期环比发展速度的连乘积。
总发展 速度 环比发展速度 yi y i-1 yn y0 （i 1， 2， ，n）
【例】
根据第四次、第五次人口普查资料，我 国大陆人口1990年普查时有113368万人， 2000年普查时为126583万人，则此两次人口 普查之间我国人口平均发展速度为：
四、增长１％的绝对值
指每增长1%所包含的绝对 增长量，是一个由相对数和绝 对数结合运用的指标。
逐期增长量 增长1%的绝对值 环比增长速度 100 前一期水平 100
【例】
已知某集团公司2006年利税总额比 2005年增长1000万元，环比增长速 度为20%，求该公司2006年利税总 额比2005年增长1%的绝对值。
（i 1， 2， ，n）
当i=n时
定基增 长速 度 yn y0 y0 yn -1 y0 yi -1 y i-1
定基发展速度 -1
环 比 发 展 速 度 -1 （环比增长速度 1） -1 y i - y i-1 （ 1） -1 y i-1 （ （ （
三、平均发展速度和 平均增长速度
平均发展速度：是指各个时期环比发 展速度的平均数，说明现象在一定时 期内逐期发展变化的一般水平。 平均增长速度：是现象在一段时间内 增减变化的平均程度。 平均增长速度=平均发展速度-1 平均发展速度总是正值，而平均增长 速度可为正值也可为负值
总发展速度
② 相邻的两个定基发展速度之商，等于 相应时期的环比发展速度。即：
y i y i 1 yi (i 1,2,3, ,n) y0 y0 y i 1
二、增长速度
增长量 增长速度 基期发展水平 报告期发展水平 基期发展水平 基期发展水平 发展速度 1
总发展 速度 环比发展速度 yi y i-1 yn y0 （i 1， 2， ，n）
【例】
根据第四次、第五次人口普查资料，我 国大陆人口1990年普查时有113368万人， 2000年普查时为126583万人，则此两次人口 普查之间我国人口平均发展速度为：
四、增长１％的绝对值
指每增长1%所包含的绝对 增长量，是一个由相对数和绝 对数结合运用的指标。
逐期增长量 增长1%的绝对值 环比增长速度 100 前一期水平 100
【例】
已知某集团公司2006年利税总额比 2005年增长1000万元，环比增长速 度为20%，求该公司2006年利税总 额比2005年增长1%的绝对值。
（i 1， 2， ，n）
当i=n时
定基增 长速 度 yn y0 y0 yn -1 y0 yi -1 y i-1
定基发展速度 -1
环 比 发 展 速 度 -1 （环比增长速度 1） -1 y i - y i-1 （ 1） -1 y i-1 （ （ （
三、平均发展速度和 平均增长速度
平均发展速度：是指各个时期环比发 展速度的平均数，说明现象在一定时 期内逐期发展变化的一般水平。 平均增长速度：是现象在一段时间内 增减变化的平均程度。 平均增长速度=平均发展速度-1 平均发展速度总是正值，而平均增长 速度可为正值也可为负值
总发展速度
② 相邻的两个定基发展速度之商，等于 相应时期的环比发展速度。即：
y i y i 1 yi (i 1,2,3, ,n) y0 y0 y i 1
二、增长速度
增长量 增长速度 基期发展水平 报告期发展水平 基期发展水平 基期发展水平 发展速度 1
实用统计学_05动态分析指标解析
an 2
an 4
an 3
an 2 5
an 1 an
这种方法也比较简便易行，但须注意时距选择要适中，不要过
小或过大。用这种方法不仅可以观察发展趋势，同时也可以进行
趋势预测。
第四节 动态数列因素分析
三、最小平方法 最小平方法又称最小二乘法，是依据动态数列的观察值与趋势值
的离差平方和为最小值的基本要求，拟合一种趋势模型，然后利 用多元函数求极值的方法，推导出标准联立方程组，并求其参数， 进而测定各期的趋势值，形成一条较为理想的趋势线。
② 两个相邻时期的定基发展速度相除之商，等于相应的 环比发展速度，即
a2 ÷ a1 a2 × a0 a2 a0 a0 a0 a1 a1
第三节 动态数列的速度指标
二、增长速度
增长速度是根据增长量与基期水平对比而求得的一种相对数。 它表明现象在一定时期内增长的程度，说明报告期水平比基期 水平增长了百分之几（或若干倍），也是发展速度减1或减 100%的差额。
an
1 2
b1
b2
…
1 2
bn
第二节 动态数列的水平指标
（三）平均数时间数列的序时平均数 平均数时间数列可以由静态平均数或序时平均数所组成。由于静 态平均数的分子多属于标志总量，其分母多属于总体单位总量， 故其时间数列实际上也是由两个绝对数时间数列相应项对比形成 的。因此，要计算静态平均数时间数列的序时平均数，与由相对 数时间数列求序时平均数的方法一样，也需先分别求出分子、分 母两个数列的序时平均数，然后对比计算。
＋a2＋…＋an－1＋
an 2
n－1
第二节 动态数列的水平指标
若是间隔不等的时间数列，公式为：
a
a1＋a2 2
统计学第四版5动态数列
2019-2019年某国电冰箱年平均增长量：
a29273万台
4
第 五 章
统 计 学 原
理 第三节 动态数列速度分析指标
& 一、发展速度与增长速度
& 二、平均发展速度与平均增长速度
第 五 章
统 计
一、发展速度与增长速度
学
原
理
㈠发展速度
发展速度 报基告期期水水平平
环比发展速度： a1 , a2 ,..... an
产量（万台） 768 918 980 1044 1060
环比发展速度% — 119.5 106.8 106.5 101.5
定基发展速度% 100 119.5 127.6 135.9 138.0
环比增长速度% — 19.5 6.8 6.5
1.5
定基增长速度% — 19.5 27.6 35.9 38.0
定基发展速度% 100 119.5 127.6 135.9 138.0
定基发展速度与环比发展速度的关系：
⒈定基发展速度等于环比发展速度的连乘积
an a1 a2 ..... an
a0 a0 a1
an1
⒉两个相邻的定基发展速度之比等于环比发展速度
第
五 章
a a n
n1
an
a0 a0
23499.9
24133.8
26967.2
26857.7
29896.3
统
计
学 原
如果用符号a0，a1，a2，a3， ……a n-1，an代
理
表数列中各个发展水平，则在本例中，如果以
2019年作为基期水平，记为a0，则2019年、2019 年、2019年、2019年进出口总额分别用a1、 a2、 a3、 a4表示，称为报告期水平或计算期水平。
统计原理课件 第五章动态数列分析
(a1 a0 ) (a2 a1) (a3 a2 ) (an1 an ) an a0
②相邻两期累计增长量之差等于相应时期的逐期增 长量，即：
(ai a1 ) (ai1 a1 ) ai ai1
5.2.2 增长水平与平均增长水平
③年距增长量 在实际统计分析中，为了消除季节变动的
5.1.1 动态数列的概念
动态数列也称时间序列或时间数列，它是将 社会经济现象在不同时间上的指标数值，按其发 生的时间先后顺序排列而成的统计数列。
时间数列由两个基本要素组成： 一是被研究现象所属的时间； 二是反映该现象的统计指标数值。
5.1.1 动态数列的概念
动态数列的作用： ⑴ 可以描述总体现象的发展状态和结果。 ⑵ 可以研究总体现象变化的方向、速度和幅度。 ⑶ 可以揭示总体现象发展变化的规律性，从而对未
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑴环比发展速度 环比发展速度也称逐期发展速度，是报告
期水平与前一期水平之比。用符号表示为 ：
a1 , a2 , a3 ,..., an
a0 a1 a2
an1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑵定基发展速度
定基发展速度是报告期水平与某一固定基 期水平(通常为最初水平或特定时期水平)之 比，表明现象在较长时期内总的发展速度， 也称为总速度。用符号表示为 ：
平均增长量
逐期增长量之和 逐期增长量个数
累计增长量 时间序列项数 1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⒈ 发展速度 发展速度是两个不同时期的发展水平之比。
它表明现象发展的程度和方向，通常用百分 数或倍数表示，其计算公式为：
发展速度
报告期水平 基期水平
100 %
由于计算时采用的基期的不同，发展速度 又环比发展速度和定基发展速度之分。
②相邻两期累计增长量之差等于相应时期的逐期增 长量，即：
(ai a1 ) (ai1 a1 ) ai ai1
5.2.2 增长水平与平均增长水平
③年距增长量 在实际统计分析中，为了消除季节变动的
5.1.1 动态数列的概念
动态数列也称时间序列或时间数列，它是将 社会经济现象在不同时间上的指标数值，按其发 生的时间先后顺序排列而成的统计数列。
时间数列由两个基本要素组成： 一是被研究现象所属的时间； 二是反映该现象的统计指标数值。
5.1.1 动态数列的概念
动态数列的作用： ⑴ 可以描述总体现象的发展状态和结果。 ⑵ 可以研究总体现象变化的方向、速度和幅度。 ⑶ 可以揭示总体现象发展变化的规律性，从而对未
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑴环比发展速度 环比发展速度也称逐期发展速度，是报告
期水平与前一期水平之比。用符号表示为 ：
a1 , a2 , a3 ,..., an
a0 a1 a2
an1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑵定基发展速度
定基发展速度是报告期水平与某一固定基 期水平(通常为最初水平或特定时期水平)之 比，表明现象在较长时期内总的发展速度， 也称为总速度。用符号表示为 ：
平均增长量
逐期增长量之和 逐期增长量个数
累计增长量 时间序列项数 1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⒈ 发展速度 发展速度是两个不同时期的发展水平之比。
它表明现象发展的程度和方向，通常用百分 数或倍数表示，其计算公式为：
发展速度
报告期水平 基期水平
100 %
由于计算时采用的基期的不同，发展速度 又环比发展速度和定基发展速度之分。
统原PP第五章动态数列(上)
象不同时期的规模或水平。
▲发展水平指标主要是总量指标，也有平均指标和相
对指标。
2、意义 ①直接观察，反映过程，深刻具体。②计算其它指标基础。
3、小概念
a0 a1
a2 ……an-1 an
a
最初水平 中间水平
最末水平 平均水平
基期水平
报告期水平
◆注意 数列以a0开始共有n+1项；数列从a1开始则只有n项。
ⅰ间隔相等连续 ⅱ间隔不相等连续
ⅲ间隔相等不连续
c
a b
a b
n n
a b
c
a b
af
f
bf
f
af bf
c
a
a1 2
a2
an1 an
2
b
b1 2
b2
bn1
bn
2
ⅳ间隔不等不连续
因为
c a b
ca
a1 a2 2
f1
an1 2
an
f n 1
b
b1 b2 2
f1
bn1 2
bn
1 a2 a3
b 时期的序时平均数，然后分子分母都按时
期数列进行计算。
0
a
b1
b1 b2 b2 b3
c
1 2
b0
b1
1 2
bn
b0 b1 b1 b2
2
2
an
bn 一定时期内所增长的绝对数量的统计指标称为增长量。 增长量=报告期水平-基期水平 逐期增长量 a1-a0， a2-a1, a3-a2,……, an-an-1 年增长量 累积增长量 a1-a0, a2-a0, a3-a0,……, an-a0 总增长量 逐期增长量之和等于累积增长量
动态数列水平指标
表4-7 某工厂2017年下半年各月初产品库存情况
月份
6
7
8
9
10 11 12
月初库存量/吨 200 270 310 305 330 285 340
（一）绝对数动态数列的 平均发展水平
任务
13
动态数列水平指标
二、平均发展水平
2．时点数列的平均发展水平
【例4-1】
由此可见，对于间隔相等的间断时点数列，在计算其平均发展水平时， 可将数列中首项数值的 ，加上中间各项数值，再加上末项数值的 ，然后用所 得各项之和除以项数减1的差值，即可求得平均发展水平。这一方法称为简单 序时平均法，计算公式如下。
a
a1 2
a2
an1
an 2
n 1
（4-8）
（一）绝对数动态数列的 平均发展水平
5
基期水平
（一）发展水平
5
任务
动态数列水平指标
一、发展水平和增长量
1．逐期增长量
逐期增长量是指报告期发展水平减去前一期发展水平所得差值，用来反映报告期发 展水平比前一期发展水平增加（或减少）的绝对量，其计算公式为
逐期增长量 an an1
（4-1）
在表4-6中，2016年相对于2015年国内生产总值的增长量即为逐期增长量，即
1
应用统计学
2
任务
动态数列水平指标
一、发展水平和增长量
动态数列水平指标主要有：发展水平、增长量、平均发展水平、平均增长量等。现 以2012—2016年我国国内生产总值相关资料（见表4-6）为例，说明动态数列水平指标 的计算方法。
表4-6 2012—2016年我国国内生产总值相关资料
年份 发展水平/亿元
在表4-6中，2015年以前的逐期增长量之和等于2015年的累计增长量，即
月份
6
7
8
9
10 11 12
月初库存量/吨 200 270 310 305 330 285 340
（一）绝对数动态数列的 平均发展水平
任务
13
动态数列水平指标
二、平均发展水平
2．时点数列的平均发展水平
【例4-1】
由此可见，对于间隔相等的间断时点数列，在计算其平均发展水平时， 可将数列中首项数值的 ，加上中间各项数值，再加上末项数值的 ，然后用所 得各项之和除以项数减1的差值，即可求得平均发展水平。这一方法称为简单 序时平均法，计算公式如下。
a
a1 2
a2
an1
an 2
n 1
（4-8）
（一）绝对数动态数列的 平均发展水平
5
基期水平
（一）发展水平
5
任务
动态数列水平指标
一、发展水平和增长量
1．逐期增长量
逐期增长量是指报告期发展水平减去前一期发展水平所得差值，用来反映报告期发 展水平比前一期发展水平增加（或减少）的绝对量，其计算公式为
逐期增长量 an an1
（4-1）
在表4-6中，2016年相对于2015年国内生产总值的增长量即为逐期增长量，即
1
应用统计学
2
任务
动态数列水平指标
一、发展水平和增长量
动态数列水平指标主要有：发展水平、增长量、平均发展水平、平均增长量等。现 以2012—2016年我国国内生产总值相关资料（见表4-6）为例，说明动态数列水平指标 的计算方法。
表4-6 2012—2016年我国国内生产总值相关资料
年份 发展水平/亿元
在表4-6中，2015年以前的逐期增长量之和等于2015年的累计增长量，即
5.2动态数列水平指标 课件(共20张PPT)-《基础统计第六版》同步教学(高教版).ppt
平均增长量
逐期增长量之和 逐期增长量项数
累计增长量 数列项数1
例9 根据表5.10的资料计算，我国社会消费品零售总额在2011~2015年期间平均每年 增长量为：
5年期间平均增长量 29198 27227 28410 29053 29035 5
142923 28584.6（亿元） 6 -1
5-02 讲授完毕
商品流转次数动态数列是由商品销 售额时期数列和月末库存额时点数 列(分段平均)对比所得到。
例7 某企业第一季度各月销售额、库存额和商品流 转次数资料如表5.9所示。
c 300 400 280 980 4.84(次）
70 2
75
55
75 2
202.5
第二节
二、平均发展水平
（三）根据平均数动态数列计算
第二节
二、平均发展水平
（二）根据相对数动态数列计算
2. 形成相对数动态数列的 分子与分母均为时点数列
c
a b
(a1 / 2 a2 (b1 / 2 b2
a3 b3
an1 an / 2) /(n 1) bn1 bn / 2) (n 1)
a1 b1
/ 2 a2 / 2 b2
a3 b3
时间
工人数 （人）
1月 1日
1200
4月 30日
1230
7月 31日
1280
11月 30日
12月 31日
1275 1270
a
1 2001 230 2
4
1 2301 280 2
3
1 2801 275 2
4
1 2751 270 2
1
12
15 007.5 1 250.6人
统计学 第五章 动态数列
例
某商业企业2010年第二季度某商品库存 资料如下，求第二季度的月平均库存额
时间 3月末 4月末 5月末 6月末
库存量（百件）
66
72
64
68
解：第二季度的月平均库存额为：
66 68 72 64 2 2 67.67百件 a 4 1
※间隔不相等 时，采用加权序时平均法
一季 度初 二季 度初
af 解：a f
780 9 784 6 786 7 783 9 783(人) 9679
②由间断时点数列计算
一季 度初 二季 度初 三季 度初
不是逐日记录，而 是每隔一段时间登 记一次，表现为期 初或期末值
四季 度初 次年一 季度初
※间隔相等 时，采用首末折半法
时期数列
时期数列特点：
数列中各个指标数值是可加的； 数列中每个指标数值的大小随 着时期的长短而变动； 数列中每个指标数值通常通过连 续不断的登记而取得。
时点数列
在绝对数动态数列中，如果 各项指标都是反映某种现象在某 一时点上（瞬间）所处的数量水 平，这种绝对数动态数列就称为 时点数列。 如 表 4-1 中 所 列 的 我 国 20022008年全国人口年末数。
增速 3.8 9.2 14.2 13.5 12.6 10.5 9.6 8.8 7.8 7.1 8.0
例
某市职工2006-2010年年平均工资 单位：元
年份 年平均工资
2006 10663
2007 11425
2008 12059
2009 14147
2010 15420
三、动态数列的编制原则
时期长短应该统一 总体范围应该一致
⑵ a、b均为时点数列时
第五章动态数列分析
年距增长量=本年某期水平－上年同期水平
四、平均增长量
平均增长量=逐期增长量之和÷逐期增长量个数 平均增长量=累计增长量÷（数列项数－1）
两个时期数列序时平均数之比
某企业2019年计划产值和产值计划 完成程度的资料如下表，试计算该企业 年产值计划平均完成程度指标。
季度
1
2
34
计划产值（万元）b 860 887 875 898
环比发展速度（%） — 106.9 113.4 110.8 103.2 102.7
定基增长速度（%） —
6.9 21.1
34.3
38.6 42.3
环比增长速度（%） —
6.9 13.4
10.8
3.2
2.7
平均速度指标计算例题
x n x
1.9 0 % 1 6 .4 1 % 1 3 .8 1 % 1 0 .2 0 % 1 3 .7 0 %
何秀余: 重点
第二节、现象发展的水平指标
一、发展水平
发展水平就是动态数列中的每一项指标值。
二、平均发展水平
1、总量指标动态数列序时平均数
（1）时期数列序时平均数 （2）时点数列序时平均数
A、间断时点数列：间隔相等、间隔不等 B、连续时点数列：间隔相等、间隔不等
何秀余: 重点
平均发展水平计算公式
a
49287531285227853433545322 5967
2
2
17.9%
一个时期数列一个时点数列序时平均数之比
某企业2019年下半年各月劳动生产率 资料如下表，要求计算下半年平均月劳 动生产率和下半年劳动生产率。（12月 末工人数910人）
月份
总产值（百万元）a 月初工人 数（人）b 劳动生产率（元/人）c
四、平均增长量
平均增长量=逐期增长量之和÷逐期增长量个数 平均增长量=累计增长量÷（数列项数－1）
两个时期数列序时平均数之比
某企业2019年计划产值和产值计划 完成程度的资料如下表，试计算该企业 年产值计划平均完成程度指标。
季度
1
2
34
计划产值（万元）b 860 887 875 898
环比发展速度（%） — 106.9 113.4 110.8 103.2 102.7
定基增长速度（%） —
6.9 21.1
34.3
38.6 42.3
环比增长速度（%） —
6.9 13.4
10.8
3.2
2.7
平均速度指标计算例题
x n x
1.9 0 % 1 6 .4 1 % 1 3 .8 1 % 1 0 .2 0 % 1 3 .7 0 %
何秀余: 重点
第二节、现象发展的水平指标
一、发展水平
发展水平就是动态数列中的每一项指标值。
二、平均发展水平
1、总量指标动态数列序时平均数
（1）时期数列序时平均数 （2）时点数列序时平均数
A、间断时点数列：间隔相等、间隔不等 B、连续时点数列：间隔相等、间隔不等
何秀余: 重点
平均发展水平计算公式
a
49287531285227853433545322 5967
2
2
17.9%
一个时期数列一个时点数列序时平均数之比
某企业2019年下半年各月劳动生产率 资料如下表，要求计算下半年平均月劳 动生产率和下半年劳动生产率。（12月 末工人数910人）
月份
总产值（百万元）a 月初工人 数（人）b 劳动生产率（元/人）c
第五章 动态数列
总量指标动态数列根据其指标值的时间特点不同，又可分为时期 数列和时点数列。
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1.时期数列 时期数列是指由时期指标构成的数列，即数列中每一指标值都是反映
某现象在一段时间内发展变化的总量。如表5-2所示的某工厂年“总产值 ”资料。
通过对表5-2的观察可知，时期数列具有以下特点。 (1)时期数列中各个指标数值具有可加性。相加后的结果表示该现象更长 时期的指标数值。 (2)时期数列中各个指标数值的大小与所包括的时期长短有直接关系。通 常是时期越长，其指标数值就越大;反之，其指标数值越小。 (3)时期数列的指标数值需采用连续统计的方式取得。
1.时期数列计算序时平均数。时期数列的各项指标数值具有可加性，故时 期数列计算序时平均数的方法就类似于一般平均数中“算术平均数”的计
算方法，即将数列中各个不同时间上的指标数值相加后除以项数即可。其
计算公式如下
a a1 a2 an1 an a
n
n
式中，n为项数，a为发展水平。
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f
45768
928 30.9（ 3 万元） 30
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例5-4 某企业2007年的库存量资料见表5-7，计算该企业的年平均库存量。 根据表5-7资料计算的该企业的年平均库存量为:
a
1 2
a1
a2
an1
1 2
an
28 36 52 18 8
2
2
31(件)
n 1
5 1
②间隔不等的时点数列，则应以间隔数为权数进行加权平均计算序时平均
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由于动态数列有三种，因此，计算序时平均数时就需要针对不同的动
态数列，采用不同的计算方法。其中，总量指标动态数列计算序时平均数
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1.时期数列 时期数列是指由时期指标构成的数列，即数列中每一指标值都是反映
某现象在一段时间内发展变化的总量。如表5-2所示的某工厂年“总产值 ”资料。
通过对表5-2的观察可知，时期数列具有以下特点。 (1)时期数列中各个指标数值具有可加性。相加后的结果表示该现象更长 时期的指标数值。 (2)时期数列中各个指标数值的大小与所包括的时期长短有直接关系。通 常是时期越长，其指标数值就越大;反之，其指标数值越小。 (3)时期数列的指标数值需采用连续统计的方式取得。
1.时期数列计算序时平均数。时期数列的各项指标数值具有可加性，故时 期数列计算序时平均数的方法就类似于一般平均数中“算术平均数”的计
算方法，即将数列中各个不同时间上的指标数值相加后除以项数即可。其
计算公式如下
a a1 a2 an1 an a
n
n
式中，n为项数，a为发展水平。
上一页 下一页 返回
f
45768
928 30.9（ 3 万元） 30
上一页 下一页 返回
例5-4 某企业2007年的库存量资料见表5-7，计算该企业的年平均库存量。 根据表5-7资料计算的该企业的年平均库存量为:
a
1 2
a1
a2
an1
1 2
an
28 36 52 18 8
2
2
31(件)
n 1
5 1
②间隔不等的时点数列，则应以间隔数为权数进行加权平均计算序时平均
上一页 下一页 返回
由于动态数列有三种，因此，计算序时平均数时就需要针对不同的动
态数列，采用不同的计算方法。其中，总量指标动态数列计算序时平均数
统计学基础动态数列
af a f
其中： f 表示各指标数值持续不变的时间长度（天数） 。
◆ 根据间断时点数列计算平均发展水平
第一种情况： 根据间隔相等的间断时点数列计算平均发展水平 间隔相等的间断时点数列中的指标数值需要间隔一定的 时间登记一次，而且每相邻两次登记的时间间隔都相等，即在 间隔相等的时点上进行登记。 其计算公式为：
●两个相邻时期的定基发展速度之比等于相应时期的环比 发展速度，即：
an a a n 1 度又称为增长率，是增长量与基期水平的比值，是用 以反映某种现象的量增长程度的动态分析指标，一般用百分数 或倍数表示。其计算公式为：
增长速度 增长量 报告期水平 基期水平 发展速度 1 基期水平 基期水平
1）逐期增长量 逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，说明现象逐期增长的数量。 2）累计增长量 累计增长量是报告期水平与某一固定基期水平（最初水平）之差，说明现象在某 一段时间内总的增长量。 3）逐期增长量和累计增长量之间的关系 ◆累计增长量等于同一动态数列中各项逐期增长量之和，即
an a0 (a1 a0 ) (a2 a1 ) (a3 a2 ) (an an 1 )
关键术语
• 发展水平 平均发展水平 增长量 平均增长量 发展速度 • 平均发展速度 增长速度 平均增长速度 长期趋势
章首引例
•
• •
2008年初步核算，全年国内生产总值300670亿元，比上年增长9.0%。分产 业看，第一产业增加值34000亿元，增长5.5%；第二产业增加值146183亿元， 增长9.3%；第三产业增加值120487亿元，增长9.5%。第一产业增加值占国 内生产总值的比重为11.3%，比上年上升0.2个百分点；第二产业增加值比重 为48.6%，上升0.1个百分点；第三产业增加值比重为40.1%，下降0.3个百分 点。全年粮食种植面积10670万公顷，比上年增加106万公顷；棉花种植面积 576万公顷，减少17万公顷；油料种植面积1271万公顷，增加139万公顷；糖 料种植面积193万公顷，增加13万公顷。全年粮食产量52850万吨，比上年增 加2690万吨，增产5.4%。 在这个案例中，运用了哪些动态分析指标？它们是如何计算的？ 通过本章学习，我们就能很好地回答上述问题。
统计学原理 第5章 动态数列
例题2 某企业2002年第三季度各月末商品库存额资料如
下表所示：试计算其平均商品库存额。 表5--8
日期 月末库存额 单位 万元 6月末 7月末 8月末 100 86 104 9月末 114
该企业第三季度平均商品库存额为：
an a1 a2 an 1 2 a 2 n 1 50 86 104 57 4 1 99(万元）
an a a1 a2 c ，c1 , c2 , , cn b b1 b2 bn
2.不同时期或时点上的相对指标或平均指标不具有可加性
3.不能直接计算它们的平均发展水平 4.计算原则：
C=a/b
------公式（6）
20
例1.某企业2001年各季度的销售额和销售利润率资料如下 表：试计算年平均利润率 表 5--10
4.是根据动态数列计算的平均数
5.不同种类的动态数列计算平均发展水平的方法有所不同。 除了静态平均数使用的所有方法外，还有其独有的方 法—高次方程法。
10
（一）绝对数动态数列的平均发展水平
1.时期数列平均发展水平（
a
）的计算：设
计
a1 , a2 , , an ,
表5--3
年份 1995
为一动态数列，用简单算术平均法
2.时点数列平均发展水平的计算 时点数列分为： （1）连续间隔相等的时点数列
（2）连续间隔不等的时点数列
（3）间断间隔相等的时点数列 （4）间断间隔不等的时点数列
12
四种时点数列的平均发展水平的计算
1、某企业2004年8月份每天的人口数如下：表5-4
8.1 129
时点连续 间隔相等 按日统计 逐日登记
ai ai 1 2 fi a fi 15.2 14.2 14.2 17.6 17.6 16.3 16.3 15.8 2 4 3 3 2 2 2 2 2 433 16.（万元） 0
统计学第5章动态数列
第五章
动态数列
教学目的与要求
态数列分析是一种广泛应用的、 动态数列分析是一种广泛应用的、重要的 统计分析方法。 统计分析方法。本章详细介绍了动态数列的种 类、动态数列的构成内容、动态分析指标的计 动态数列的构成内容、 算方法及运用条件。通过本章的学习， 算方法及运用条件。通过本章的学习，要求能 够区分各种动态数列， 够区分各种动态数列，能够运用所学方法结合 实际资料进行计算分析。 实际资料进行计算分析。
二、平均发展水平
平均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数。 均数，统计上又叫序时平均数。
例
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 增加值(万元) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显， 从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显， 如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数) 如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数)，就可 以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表： 以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表：
若为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为： 的相对数动态数列的序时平均数为：
a +a a +a a1 + a2 f1 + 2 3 f2 +L + n−1 n fn−1 2 2 c=a = 2 b b1 + b2 f1 + b2 + b3 f2 +L + bn−1 + bn fn−1 2 2 2
3000 + 3300 = 3150(件 ) 2 3300 + 2680 = 2990(件 5月 a = ) 份 2 2680 + 2800 = 2740(件 6月 a = ) 份 2 1 ∴第 季 平 库 量 = (3150 + 2990 + 2740) = 2960(件 ) 二 度 均 存 3 4月 a = 份
动态数列
教学目的与要求
态数列分析是一种广泛应用的、 动态数列分析是一种广泛应用的、重要的 统计分析方法。 统计分析方法。本章详细介绍了动态数列的种 类、动态数列的构成内容、动态分析指标的计 动态数列的构成内容、 算方法及运用条件。通过本章的学习， 算方法及运用条件。通过本章的学习，要求能 够区分各种动态数列， 够区分各种动态数列，能够运用所学方法结合 实际资料进行计算分析。 实际资料进行计算分析。
二、平均发展水平
平均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数。 均数，统计上又叫序时平均数。
例
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 增加值(万元) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显， 从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显， 如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数) 如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数)，就可 以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表： 以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表：
若为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为： 的相对数动态数列的序时平均数为：
a +a a +a a1 + a2 f1 + 2 3 f2 +L + n−1 n fn−1 2 2 c=a = 2 b b1 + b2 f1 + b2 + b3 f2 +L + bn−1 + bn fn−1 2 2 2
3000 + 3300 = 3150(件 ) 2 3300 + 2680 = 2990(件 5月 a = ) 份 2 2680 + 2800 = 2740(件 6月 a = ) 份 2 1 ∴第 季 平 库 量 = (3150 + 2990 + 2740) = 2960(件 ) 二 度 均 存 3 4月 a = 份
第5章动态分析指标2013概要
某商店2006年第一季度商品情况表 （单位：万元）
上年12月 1月
2月
3月
销售额
—
120
216
312
月末库存商品额 50
70
76
84
商品流转次数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
商品销售额 平均商品库存额
38
1月份商品流转次数 a1 120 2(次) b1 b2 50 70
2
2
2月份商品流转次数 a2 216 2.96(次) b2 b3 70 76
a
2
2
2
13173(吨)
534
29
✓相对数动态数列计算序时平均数
ca b
公式 式中 c —相对数时间数列的序时平均数； a —分子绝对数时间数列的序时平均数； b —分母绝对数时间数列的序时平均数。
30
▪由时期数列计算序时平均数
a. 分子、分母资料齐备计算序时平均数
a
公式
c
n
b
a b
n
31
b. 掌握比值、分母资料、缺分子资料计算序时平均数
23
b. 间隔不等的连续时点数列计算序时平均数
公式
a af
f
式中 f －每次变动后间隔期长短
24
例4.2 某厂职工人数变动情况如表，求该厂第一季度日 平均人数。
人数
1月1日 1254
1月20日 1261
2月3日 1273
2月24日 3月1日
1268
1284
3月31日 1284
a
af f
125419 126114 1273 21 1268 5 1284 31 19 14 21 5 31
114357 1270.63 1271(人) 90
上年12月 1月
2月
3月
销售额
—
120
216
312
月末库存商品额 50
70
76
84
商品流转次数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
商品销售额 平均商品库存额
38
1月份商品流转次数 a1 120 2(次) b1 b2 50 70
2
2
2月份商品流转次数 a2 216 2.96(次) b2 b3 70 76
a
2
2
2
13173(吨)
534
29
✓相对数动态数列计算序时平均数
ca b
公式 式中 c —相对数时间数列的序时平均数； a —分子绝对数时间数列的序时平均数； b —分母绝对数时间数列的序时平均数。
30
▪由时期数列计算序时平均数
a. 分子、分母资料齐备计算序时平均数
a
公式
c
n
b
a b
n
31
b. 掌握比值、分母资料、缺分子资料计算序时平均数
23
b. 间隔不等的连续时点数列计算序时平均数
公式
a af
f
式中 f －每次变动后间隔期长短
24
例4.2 某厂职工人数变动情况如表，求该厂第一季度日 平均人数。
人数
1月1日 1254
1月20日 1261
2月3日 1273
2月24日 3月1日
1268
1284
3月31日 1284
a
af f
125419 126114 1273 21 1268 5 1284 31 19 14 21 5 31
114357 1270.63 1271(人) 90
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24
40(台)
例 2：某企业4月1日职工有300人，4月11日新 进厂9人，4月16日离厂4人，则该企业4月份平 均职工人数为：
300 10 309 5 305 15 a 304 人 10 5 15
返回
25
(2)间断时点数列
①间隔相等的间断时点数列 首末折半法
其中：a 为分子的序时平均数，
b 为分母的序时平均数。
a 和b 具体的计算可按照上面的各类公式计算。
37
例6：某企业 7-9 月份生产计划完成情况：
月份
实际产量（件） 计划完成 %
7月份
8月份
618 600 103
9月份
872 800 109
a
500 500 100
计划完成量（件） b
c
时 期 数 列
第四章 动态数列
第一节 动态数列概述
第二节 动态数列水平分析指标
第三节 动态数列速度分析指标
第四节 长期趋势的测定与预测
第一节 动态数列概述
一、动态数列的概念及构成
1.含义 一个统计指标的数值按时间先后顺序排 列，形成的一列数。又称时间数列。 一是现象所属的时间， 二是各时间上的指标数值
2.要素
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计算各季度平均每月总产值和全年平均每 月总产值
20
第一季度
第二季度 第三季度 第四季度
4200 4400 4600 a1 4400 万元 3 4820 4850 4900 a2 4856 .7万元 3 5000 5200 5400 a3 5200 万元 3 5400 5500 5600 a4 5500 万元 3
全年平均每月总产值
1 a 4200 4400 4600 4820 4850 4900 5000 5200 5400 5400 5500 5600 12 4989.2万元
21
2、时点数列
（1）连续时点数列
①连续变动数列（逐日登记）
a
a
n
a1 a2 ..... a n n
最初水平：a0 中间水平: a1 最 末水平: an an-1
基期水平
报告期水平
例：我国2002－2006年我国进出口总额（人民币）
年份
2002
2003 24133.8
2004 26967.2
中间水平
2005 26857.7
2006 29896.3
进出口总额 23499.9 (亿元) 最初水平
最末水平
99
101
102
间隔 不等
101
33
练习：某建筑工地水泥库存量资料如下：
日期
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
6月1日
7月1日
10月1日
11月1日
次年1 月1日
水泥 库存 量
8.14
7.83
7.25
8.28
10.12
9.76
9.82
10.04
9.56
要求：计算该工地各季度及全年的平均水泥库存 量
34
日期 水泥 库存 量
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
6月1日
7月1日
10月1日
11月1日
次年1 月1日
9.56
8.14
7.83
7.25
8.28
10.12
9.76
9.82
10.04
第一季度平均库存量：
8.14 8.28 7.83 7.25 2 7.76吨 a1 2 3
第二季度平均库存量：
11
第二节 动态数列的水平分析指标
一、发展水平与平均发展水平 二、增长量与平均增长量
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12
一.发展水平
1、含义
动态数列各个具体指标数值。
注意一般用总量指标表示，也可能 用相对指标或平均指标表示。
例：我国2002－2006年我国进出口总额（人民币）
年份
2002
2003 24133.8
2004 26967.2
2005 26857.7
2006 29896.3
ห้องสมุดไป่ตู้
进出口总额 23499.9 (亿元)
13
表4-1 我国1996—2002年国民经济主要指标
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
GDP(亿元) 第三产业 产值占 GDP的比 重(%) 全国人口 年末数(万 人) 全国职工 年平均工 资 (元 )
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17
连续时点数列 （按日统计） 非连续变动
连续变动
（一） 绝对数动态数列的序时平均数
1、时期数列
a
a
n
a1 a2 ..... a n n
18
例1：某企业上半年的销售额（万元）
月份 销售额
1 21.4
2 18.6
3 35.7
4 39.4
5 24.6
6 27.4
上半年的月平均销售额：
67885
74463
78345
82066
89468
97315
102398
30.1
30.9
32.1
33.0
33.4
34.1
33.7
122389
123626
124761
125786
126743
127627
128453
6210
6470
7479
8346
9371
10870
12422
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5
㈠绝对数动态数列
15
二、平均发展水平
概念 不同时期发展水平的平均数。又称序时
平均数或动态平均数。
平均发展水平与一般平均数的区别： 序时平均数 一般平均数
同一指标在不同时期上数值的平均数 同一标志在同一时期但在不同单位上 标志值的平均数
16
计算
时期数列 绝对数动态数列 时点数列 间断时点数列 间隔相等 （按月、季、年） 间隔不等 相对数、平均数动态数列
1420 1400 1400 1200 1200 1250 1250 1460 2 5 2 3 2 2 2 2 a 2523
32
间隔 相等 1月初 职工数 100 2月初 99 3月初 101 4月初 102 5月初 101
1月初
3月初
6月初
9月初
11月初
职工数 100
7
㈡相对数动态数列
含义 相对指标按时间先后顺序排列所形成的动态数列
例：90年代我国GDP指数的环比发展速度
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 发展速度（%） 103.8 109.2 114.2 113.5 112.6 110.5 109.6 108.8
a a
1
2
a
2
f1
a a
2
3
2
f2
a a n 1 ....
2
n -1
n
f n 1
f
31
例5：某农场某年生猪存栏数（头）如下：
日期 存档数（头） 1月1日 1420 3月1日 1400 8月1日 1200 10月1日 1250 12月31日 1460
试求全年生猪平均存栏数
2008 年1 月1 日
月初 职工 300 300 304 306 人数 （人）
308
314
312
320 320
340
342
345
350
试计算：1、各季度平均职工人数 2、上半年和下半年的平均职工人数 3、全年平均职工人数。
28
第一季度
300 306 300 304 2 302人 a1 2 3
8.28 10.12 10.12 9.76 2 1 2 2 a2 9.45吨 2 1
35
日期 水泥 库存 量
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
6月1日
7月1日
10月1日
11月1日
次年1 月1日
9.56
8.14
7.83
7.25
8.28
10.12
9.76
9.82
10.04
9.76 + 9.82 第三季度平均库存量： ´ 3 2 a3 = = 9.79(吨) 3 第四季度平均库存量：
1月19日 1月24日 1月26日 101 102 101
计算该企业一月份平均每日的职工人数
非连续 变动
23
练习3：某种商品6月份的库存纪录如下表：
日期 库存量 （台）
1日
5日
8日
14日
21日
24日
29日
49
52
39
29
43
38
51
计算该商品6月份的平均库存量：
af a f
49 4 52 3 39 6 29 7 43 3 38 5 51 2 4367352
第二季度
306 312 308 314 2 310人 a2 2 3
第三季度
312 340 320 320 2 322人 a3 2 3
第四季度：
29
全年平均职工人数：
302 310 322 344 a 320人 4
返回
30
②间隔不相等的时点数列 折半加权平均法
21.4 18.6 35.7 39.4 24.6 27.4 a 27.85(万元) 6
40(台)
例 2：某企业4月1日职工有300人，4月11日新 进厂9人，4月16日离厂4人，则该企业4月份平 均职工人数为：
300 10 309 5 305 15 a 304 人 10 5 15
返回
25
(2)间断时点数列
①间隔相等的间断时点数列 首末折半法
其中：a 为分子的序时平均数，
b 为分母的序时平均数。
a 和b 具体的计算可按照上面的各类公式计算。
37
例6：某企业 7-9 月份生产计划完成情况：
月份
实际产量（件） 计划完成 %
7月份
8月份
618 600 103
9月份
872 800 109
a
500 500 100
计划完成量（件） b
c
时 期 数 列
第四章 动态数列
第一节 动态数列概述
第二节 动态数列水平分析指标
第三节 动态数列速度分析指标
第四节 长期趋势的测定与预测
第一节 动态数列概述
一、动态数列的概念及构成
1.含义 一个统计指标的数值按时间先后顺序排 列，形成的一列数。又称时间数列。 一是现象所属的时间， 二是各时间上的指标数值
2.要素
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计算各季度平均每月总产值和全年平均每 月总产值
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第一季度
第二季度 第三季度 第四季度
4200 4400 4600 a1 4400 万元 3 4820 4850 4900 a2 4856 .7万元 3 5000 5200 5400 a3 5200 万元 3 5400 5500 5600 a4 5500 万元 3
全年平均每月总产值
1 a 4200 4400 4600 4820 4850 4900 5000 5200 5400 5400 5500 5600 12 4989.2万元
21
2、时点数列
（1）连续时点数列
①连续变动数列（逐日登记）
a
a
n
a1 a2 ..... a n n
最初水平：a0 中间水平: a1 最 末水平: an an-1
基期水平
报告期水平
例：我国2002－2006年我国进出口总额（人民币）
年份
2002
2003 24133.8
2004 26967.2
中间水平
2005 26857.7
2006 29896.3
进出口总额 23499.9 (亿元) 最初水平
最末水平
99
101
102
间隔 不等
101
33
练习：某建筑工地水泥库存量资料如下：
日期
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
6月1日
7月1日
10月1日
11月1日
次年1 月1日
水泥 库存 量
8.14
7.83
7.25
8.28
10.12
9.76
9.82
10.04
9.56
要求：计算该工地各季度及全年的平均水泥库存 量
34
日期 水泥 库存 量
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
6月1日
7月1日
10月1日
11月1日
次年1 月1日
9.56
8.14
7.83
7.25
8.28
10.12
9.76
9.82
10.04
第一季度平均库存量：
8.14 8.28 7.83 7.25 2 7.76吨 a1 2 3
第二季度平均库存量：
11
第二节 动态数列的水平分析指标
一、发展水平与平均发展水平 二、增长量与平均增长量
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12
一.发展水平
1、含义
动态数列各个具体指标数值。
注意一般用总量指标表示，也可能 用相对指标或平均指标表示。
例：我国2002－2006年我国进出口总额（人民币）
年份
2002
2003 24133.8
2004 26967.2
2005 26857.7
2006 29896.3
ห้องสมุดไป่ตู้
进出口总额 23499.9 (亿元)
13
表4-1 我国1996—2002年国民经济主要指标
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
GDP(亿元) 第三产业 产值占 GDP的比 重(%) 全国人口 年末数(万 人) 全国职工 年平均工 资 (元 )
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17
连续时点数列 （按日统计） 非连续变动
连续变动
（一） 绝对数动态数列的序时平均数
1、时期数列
a
a
n
a1 a2 ..... a n n
18
例1：某企业上半年的销售额（万元）
月份 销售额
1 21.4
2 18.6
3 35.7
4 39.4
5 24.6
6 27.4
上半年的月平均销售额：
67885
74463
78345
82066
89468
97315
102398
30.1
30.9
32.1
33.0
33.4
34.1
33.7
122389
123626
124761
125786
126743
127627
128453
6210
6470
7479
8346
9371
10870
12422
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5
㈠绝对数动态数列
15
二、平均发展水平
概念 不同时期发展水平的平均数。又称序时
平均数或动态平均数。
平均发展水平与一般平均数的区别： 序时平均数 一般平均数
同一指标在不同时期上数值的平均数 同一标志在同一时期但在不同单位上 标志值的平均数
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计算
时期数列 绝对数动态数列 时点数列 间断时点数列 间隔相等 （按月、季、年） 间隔不等 相对数、平均数动态数列
1420 1400 1400 1200 1200 1250 1250 1460 2 5 2 3 2 2 2 2 a 2523
32
间隔 相等 1月初 职工数 100 2月初 99 3月初 101 4月初 102 5月初 101
1月初
3月初
6月初
9月初
11月初
职工数 100
7
㈡相对数动态数列
含义 相对指标按时间先后顺序排列所形成的动态数列
例：90年代我国GDP指数的环比发展速度
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 发展速度（%） 103.8 109.2 114.2 113.5 112.6 110.5 109.6 108.8
a a
1
2
a
2
f1
a a
2
3
2
f2
a a n 1 ....
2
n -1
n
f n 1
f
31
例5：某农场某年生猪存栏数（头）如下：
日期 存档数（头） 1月1日 1420 3月1日 1400 8月1日 1200 10月1日 1250 12月31日 1460
试求全年生猪平均存栏数
2008 年1 月1 日
月初 职工 300 300 304 306 人数 （人）
308
314
312
320 320
340
342
345
350
试计算：1、各季度平均职工人数 2、上半年和下半年的平均职工人数 3、全年平均职工人数。
28
第一季度
300 306 300 304 2 302人 a1 2 3
8.28 10.12 10.12 9.76 2 1 2 2 a2 9.45吨 2 1
35
日期 水泥 库存 量
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
6月1日
7月1日
10月1日
11月1日
次年1 月1日
9.56
8.14
7.83
7.25
8.28
10.12
9.76
9.82
10.04
9.76 + 9.82 第三季度平均库存量： ´ 3 2 a3 = = 9.79(吨) 3 第四季度平均库存量：
1月19日 1月24日 1月26日 101 102 101
计算该企业一月份平均每日的职工人数
非连续 变动
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练习3：某种商品6月份的库存纪录如下表：
日期 库存量 （台）
1日
5日
8日
14日
21日
24日
29日
49
52
39
29
43
38
51
计算该商品6月份的平均库存量：
af a f
49 4 52 3 39 6 29 7 43 3 38 5 51 2 4367352
第二季度
306 312 308 314 2 310人 a2 2 3
第三季度
312 340 320 320 2 322人 a3 2 3
第四季度：
29
全年平均职工人数：
302 310 322 344 a 320人 4
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30
②间隔不相等的时点数列 折半加权平均法
21.4 18.6 35.7 39.4 24.6 27.4 a 27.85(万元) 6