高等数学下试题及参考答案华南农业大学

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高数(下学期)试卷及参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为（）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ．Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是（）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n ∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是（）Ａ．绝对收敛Ｂ．条件收敛Ｃ．发散Ｄ．敛散性不确定５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿．４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿．５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分）１．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分）１．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．４．计算曲面积分=++，I xdydz ydzdx zdxdy)∑其中∑为上半球面z=参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．Ｃ２．Ｂ３．Ｃ４．Ａ５．Ｂ二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分）１．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．解：21112x dx dy x y=-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分）2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分）２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xyz z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分）３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分）解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分）５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分）所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分）故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分）７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分）１．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分）２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）12d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂1.5CM3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分）因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑上a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分）由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而1)xdydz ydzdx zdxdy ∑++100Dzdxd y dxdy ∑===．．．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。

2011高等数学下试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为（）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ．Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是（）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是（）Ａ．绝对收敛Ｂ．条件收敛Ｃ．发散Ｄ．敛散性不确定５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求）２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿．４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿．５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分）１．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分）１．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．Ｃ２．Ｂ３．Ｃ４．Ａ５．Ｂ二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分）１．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分）２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分）３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分）解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分）５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分）所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分）故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分）７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分）１．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分）２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分）因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分）由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。

解答-华南农业大学12年高代下

2011-2012学年第2学期高等代数II 期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 数域P 上n 维线性空间V 的零变换O 的值域及核的维数分别是( B ). A. 0,0 B. 0,n C. ,0n D. ,n n 分析：显然，零变换O 的值域为零子空间，维数为0；因此，核的维数为n. 2. 下列数域P 上的线性空间，与23P ⨯同构的有( D )个. (1) 32P ⨯ (2) 6[]P x (3) 数域P 上全体3级对称矩阵构成线性空间 (4) 数域P 上全体6级对角形矩阵构成线性空间 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列论断不正确的是( A ). A. 线性空间中同一个向量在不同基下的坐标一定不同； B. 线性空间中不同的向量在同一基下的坐标一定不同；C. 若线性空间V 的线性变换A 以0为一特征值，则A 不可逆；D. 有限维欧氏空间的不同基的度量矩阵是合同的.4. 下面命题正确的是( C )A. A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 唯一确定一个n 级矩阵;B. A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 关于任意基的矩阵是可逆的;C. 两个不同的矩阵可能是同一线性变换在不同基下的矩阵;D. 两个n 级矩阵相似当且仅当它们的秩相等.注意：选项A,A 在一组基下唯一确定一个n 级矩阵;选项B,可逆线性变换在任一组基下的矩阵是可逆的；选项D,秩相等是相似的必要而不充分条件.5. 设12,αα是方阵A 的属于特征值0λ的两个不同的特征向量，则如下为A 的特征向量的是( D )A. 1k αB. 2k αC. 12αα+D. 12αα-注意：特征向量非零，选项A,B 如果k=0为零向量，C 也可能为零向量.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知123(1,2,1,2),(1,1,0,2),(1,3,2,6)ααα=-==-, 则由123,,ααα生成的子空间123(,,)L ααα注意：123(,,)L ααα的基就是生成元123,,ααα的极大无关组.2. 在线性空间22R ⨯中，1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基11000ε⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100ε⎛⎫= ⎪⎝⎭， 30010ε⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001ε⎛⎫= ⎪⎝⎭下的坐标为_____(1234)T ___. 3. 3P 中的线性变换12312231(,,)(2,,)A =-+x x x x x x x x , 那么A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵为______210011100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭__________.4. 已知2B A A E =-+, 其中A 与1302⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，则B =____3__. 5. 设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则向量12ξαα=+的长度ξ注意：向量12ξαα=+在这组基下的坐标为110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，ξ=三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）1. ( ⨯ )平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间.2. ( ⨯ )设A 是线性空间V 上的一个线性变换, 则A 的值域V A 的一组基与A 的核1(0)-A 的一组基合起来是V 的一组基.注意：dim(V A )+dim(1(0)-A )=n,但是两个空间的和V A +1(0)-A 不一定是空间v.3.( ⨯ )(1)n n >维欧氏空间V 可能有标准正交基，也可能没有标准正交基. 注意：欧氏空间一定存在标准正交基，而且(1)n n >时标准正交基不唯一.4. ( √ )n 维欧氏空间V 中的向量组121,,,,n n αααα+ 不是正交向量组.注意：n 维线性空间至多有n 个线性无关的向量；同样，n 维欧氏空间至多有n 个线性无关的向量；也至多有n 个正交向量. 5. ( √ )对称变换在任意一组标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵. 四、计算题（本大题共2小题，共33分） 1. (本题15分)已知3P 中线性变换A 在基)1,1,1(1-=η，)1,0,1(2-=η，)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭, 基)0,0,1(1=ε，)0,1,0(2=ε，)1,0,0(3=ε. 求: (1) 由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵; (2) A 在基321,,εεε下的矩阵; (3) 若向量α在基321,,ηηη下的坐标为(1,1,2)T -, 求α在基321,,εεε下的坐标. 解 (1) 因为()()123123110,,,,101111ηηηεεε-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭，即由基321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵为110101111X -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭， (3分)从而由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为11110111101011111101Y X -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5分)(2) 设A 在基321,,εεε下的矩阵为B ，则A 与B 相似, 且1B Y A Y -=1XAX -=， (8分)即110101111112101110011220111121101302B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (10分)(3) ()()123123123111012(,,)1,,1011,,1211120αηηηεεεεεε---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即向量α在基321,,εεε下的坐标为(2,1,0)T . (15分) 注意：上述解题过程可以用图分析2. (本题18分)已知二次型222123123121323(,,)22222f x x x x x ax x x x x x x =+++++，通过某个正交线性替换可化为标准形2221234f y y y =++. (1) 写出二次型f 的矩阵A ，并确定a 的值；(2) 求所用的正交线性替换.解 (1) 此二次型的矩阵21112111A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (2分)由已知，A 的特征值为1231,4λλλ=== (5分) 由112233123a a a λλλ++=++，即22114a ++=++得，2a =. (8分) 注意：这里也可以用114=42A a =⋅⋅⇒=(2) 当121λλ==时，解方程组()0E A x -=得其基础解系()()121,0,1,0,1,1T T αα=-=-. (10分)正交化得()()211122111(,)11,0,1,1,2,1.(,)2T T αββαβαβββ==-=-=-- (12分) 再在单位化得1212110,.T T ηηββ⎛==== ⎝(14分) 当34λ=时，解方程组(4)0E A x -=得其基础解系()31,1,1T α=，(15分)单位化得 331.Tηα== (16分) 令()1230T ηηη⎛ == ⎝，则T 是正交矩阵, 正交变换X TY =化二次型为标准型2221234.f y y y =++ (18分) 五、证明题（本大题共3小题，共27分） 1. (本题7分) 证明：如果21V V V ⊕=，12111V V V ⊕=，那么21211V V V V ⊕⊕=. 证明显然，21211V V V V ++=. (2分)由21V V V ⊕=可得12dim dim dim V V V =+ (4分)同理，12111dim dim dim V V V += (5分)所以21211dim dim dim dim V V V V ++= (6分) 故21211V V V V ⊕⊕=. (7分)2. (本题7分)设V 是复数域C 上的n 维线性空间，A , B 是V 的线性变换，并且AB =BA .证明：如果0λ是A 的一个特征值，那么特征子空间0V λ是B 的不变子空间.证明 00{}V V λααλα=∈=A . (2分)0,V λξ∀∈有0ξλξ=A . (3分) 于是00()()()()()()ξξξξλξλξ=====A B AB BA B A B B (6分)可见0V λξ∈B ，故0V λ是B 的不变子空间. (7分)3. (本题13分) 设A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意V ξ∈, 有 ()(,). ,1V ξξλξαααα=-∈=A(1) 证明: A 是V 的一个线性变换.(2) 当λ取何值时, A 是V 的一个正交变换?解 (1) 对于,,,V k R ξη∀∈∀∈ 由()()(,)()(,)(,) [(,)][(,)]()(),ξηξηλξηααξηλξααληααξλξααηληααξη+=+-+=+--=-+-=+A A A (3分)以及()(,)[(,)](k k k k k ξξλξααξλξααξ=-=-=A A (5分) 所以A 是V 的一个线性变换. (6分)(2) 对于任意的,,V ξη∈如果A 是V 的一个正交变换，即有22((),())((,),(,))(,)(,(,))((,),)(,)(,)(,) (,)2(,)(,) (,)(,)(,)(,),ξηξλξααηληααξηλξηααλξααηλξαηαααξηληαξαλξαηαααξη=--=--+=-+=A A (9分) 那么由1α=，即(,)1αα=得2(2)(,)(,)0λλξαηα-= (10分) 于是由,V ξη∈的任意性(这当然包括ξηα==的情况)，所以220,λλ-= (12分) 所以2λ=或0λ=. (13分)。

华农高数下期末试卷

装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。

2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。

3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。

4．设xz y=，则dz=____________________。

5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。

华南农业大学601高等数学历年考研真题专业课考试试题

真题
2009年南京农业大学360高等数学考研真题
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高等数学下试卷及答案 2复习课程

2009高等数学下试卷及答案2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

将答案写在横线上）1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。

（今年不作要求）2．设y z x =，则dz = 。

3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则2Lydx xdy +=⎰__________。

4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。

5. 级数11(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。

二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

） 1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C ．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢32．设22()z y f x y =+-，其中()f u 是可微函数,则zy∂=∂ （）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（）A．1n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑ D．1n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-12202])()([2dr r rf dr r rf π5.一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 212x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂。

11学年第二学期大学数学2试卷(A卷)-参考答案

2011-2012学年第 2 学期大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案一、1. 0.8； 2. 31e --； 3. 518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分）则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分）（2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分） 2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为 (5分) (3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分)3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e ---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20x x F y P X y P X dx dx --=<=<== (8分)所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分)4. 解（1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他(3分)（2）{}(,)y x P Y X f x y dxdy <<=⎰⎰3300[]x y edy dx -=⎰⎰ (6分) 330(1)x e dx -=-⎰3390181()333xx e e --=+=+()9183e -=+ (8分)（3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分) 所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+= (14分) 四、1. 解检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分）依题意，取统计量：222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分）查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分）计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分）因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异. （8分） 2. 解 (1)(2) 解因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86y x =-+ (8分)。

高等数学B-下册-历年考试题目及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期考试科目高等数学（经济类）考试类型：（闭卷）考试时间： 120分钟学号姓名专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。

2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。

3．()200sin limx y xy x→→= 。

4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。

5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。

6．320y y y '''-+=的通解为。

7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是。

8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为。

9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为。

10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。

二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。

2010高等数学下试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。

（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。

3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。

4．设x z y =，则dz =____________________。

5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。

2009高等数学下试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。

（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。

3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。

4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。

5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。

二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。

高等数学下试题及参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。

2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。

4．设yz u x =，则du = 。

5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →= （）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是（）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

1. 求2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学下试题及参考答案

华南农业大学期末考试试卷〔A 卷〕2021~2021 学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：〔闭卷〕考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业〔估计不考或考的可能性比拟小的题目已删除〕一、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。

2. 向量(,1,5)a λ=与向量(2,7,1)b =-垂直，则λ= 。

3．直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++=的夹角为。

4．设2y z x =，则zy∂=∂ 。

5．当参数p 满足条件时，级数111p n n∞+=∑收敛。

二、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕1．微分方程2'cos y y x =的通解是〔〕A ．1sin y x C =-+ B ．1sin y x C =+C ．1sin y C x =-+D ．1sin y C x=+2．求极限(,)(0,2)sin()limx y xy x→= 〔〕A ．1B ．2C ．不存在D ．y3．通过y 轴和点(3,2,1)--的平面方程为〔〕A ．30x y +=B ．30x z +=C ．30x z +=D ．30x y +=4．D 是由曲线221x y += 围成的闭区域，则3Ddxdy =⎰⎰ 〔〕A ．πB ．3πC ．0D ．2π 5．级数2010(sin10)n n ∞=∑ 〔〕A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．不能判定三、计算题〔本大题共7小题，每题7分，共49分〕'yy x y=+的通解。

1(1)nn n n x∞=+∑的和函数。

3．设由方程ln y zz x=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。

4.求曲线积分3()Lx y ds +⎰，其中L 为连接点(1,0)及(0,1)的直线段。

5.计算22xy De dxdy --⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤。

2014高等数学下试题及参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业（估计不考或考的可能性比较小的题目已删除）一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解。

2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。

3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是。

4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于（）A ．1-B ．1C ．12 D．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是（）A ．()i k ±-B ．()2j k ±- C ．)2j k ±+ D ．)2i j k ±-+3．设ln z xy =（），则11x y dz=== （）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有（）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是（） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．1n ∞=D ．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。

华南农业大学珠江学院期末高数考试A卷和答案

华南农业大学珠江学院期末考试试卷2020学年度下学期考试科目：高等数学考试年级：信工系08本科_ 考试类型：（闭卷）A 卷考试时刻：120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）1.微分方程2323230d y d y dx x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的阶数为 .2.已知{}1,2,2a =，{}b ,,=λ-21，且b a ⊥，那么=λ .3.已知函数2x yz e=, 那么 1 2x y dz=== _ .4.已知ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰, 那么改变积分顺序后，二次积分变成 _ .5.已知三重积分(,,),I f x y z dv Ω=Ω⎰⎰⎰: 由旋转抛物面22z xy =+ 与平面1z =围成，将其化成三次积分为 _ _ .6.曲面222236x y z ++=在点（1，1，1）处的法线方程为 ________________________7.若是级数1nn u∞=∑收敛，那么必然知足的条件是lim n n u →∞= _ .8.已知 L 为连接（1, 0）及( 0 ,1 )两点的直线段，那么积分 ()Lx y ds +⎰= _ .二、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）在每题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

9.二元函数(,)z f x y =在00,)x y 点（处可微是偏导数 00 00,),,)x y f x y f x y （（存在的（）. A. 必要条件 ; B. 充要条件 ; C. 充分条件 ; D. 既非充分又非必要条件.10.方程22212y x z -+=所表示的曲面是（）. A. 双曲抛物面 ; B.椭圆锥面 ; C. 双叶旋转双曲面 ; D. 单叶旋转双曲面 . 11.点（0，0）是函数z xy =的（）.A. 极值点;B. 驻点 ;C. 最大值点 ;D. 不持续点 . 12.设D 由圆22(1)1x y -+= 所围成,那么(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）A. 2cos 0(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰; B.2cos 2 02(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;C.2cos 22(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰; D.22 0(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ .13.已知L 为从点（1，1）到点（4，2）的直线段，那么()()Lx y dx y x dy ++-⎰值为（）.A. 10 ;B. 11 ;C. 8 ;D. 9 . 14.以下级数中绝对收敛的是（）.A. 1(1)nn n ∞=-∑ ; B.1!3n n n ∞=∑ ; C. 121(1)n n n -∞=-∑ ;D. 1(1)nn ∞=-∑ . 三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）15.求微分方程440y y y '''-+=知足初始条件01,4x x y y =='==的特解.16.过点（2，0，-3）且与直线 247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程.17.设22(,)y z f x y x =-，f 具有一阶持续编导数,求z z x y∂∂∂∂及.18.函数(,)z z x y = 由方程zx y z e +-=所确信，求2z zx x y∂∂∂∂∂及.19.求22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与双曲线1xy =所围成的闭区域.20.计算222(2sin )cos L y xy x dx x dy -+⎰ ，其中L 为椭圆22221x y a b+=的右半部份，取逆时针方向.21.求1(1)321n n nn x n ∞=--∑ 的收敛半径及收敛域.四、应用题（本大题共1题，共12分）22.在曲面22()1x y z --=上求出点的坐标，使其到原点的距离最短，并求出此最短距离.五、证明题（本大题共1题，共5分）23.设(()),u x y ϕψ=+其中,ϕψ具有二阶导数，证明：222u u u u x x y y x ∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂ .A 卷答案及评分标准一、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 3； 2. 0； 3. 2(4)e dx dy +； 4.1ee (,)ydy f x y dx ⎰⎰；5.2211-1(,,)x y dx f x y z dz +⎰⎰⎰； 6.111123x y z ---==； 7. 0； 8..二、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9. C; ; 11. B; 12. C; 13. B; 14. C.三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分） 15.解：所给微分方程的特点方程为 2440r r -+=解得两相等实根122r r == …………2分故所给微分方程的通解为：212()xy C C x e =+将初始条件01,x y==代入通解，得11C =，将11C =再代回通解，得22(1)xy C x e =+ …………5分对上式求导，得2222(1)2x x y C e C x e '=++再将初始条件04x y ='=代入上式，得22C =，将其代回通解中，得特解：2(12)xy x e =+ …………7分 16. 解：依照题意，所求平面的法向量n 可取直线的方向向量s ，即 n = s =124352i j k-- …………3分{}16,14,11=- …………5分由已知点（2，0，-3）（平面点法式方程），所求平面方程为：16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=即161411650x y z ---= …………7分17.解：令22,yu x y v x=-=…………1分2z z z z z 2z z z 1z 2u v x u x v xy x u x vz u v y u y v yy u x v∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂ …………4分…………7分 18.解：(可用公式法, 也能够直接方程两边同时对自变量求偏导方式) 方程两边同时对x 求偏导,z z 1z 11z ze x xx e ∂∂-=∂∂∂=∂+ …………2分…………3分方程两边同时对y 求偏导,z z 1z 11z ze y yy e ∂∂-=∂∂∂=∂+因此 …………5分23z z 1()()1(1)zzz z x y y x y eee ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂+=-+…………7分19. 解：由题意可知： D=1(,)12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭…………2分因此：222 x 122 1 221 1 23 122411()()19()244x Dx xx x d dx dyy y x dxyx x dxx x σ==-=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …………5分…………7分20. 解：设1L 是从点（0,)b -到点(0,b)的有向直线段，由1L 与L 所围成的闭区域为D ，那么由L 与1L -组成的有向闭曲线是D 的正向边界曲线。

06高数下(含答案)2022

2006（2）华南农业大学工科高数期末考试试卷（A ）卷一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____ 二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （） A. 0 B. e C. e 1 D. e11+3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（）A.1B.2C.3D.4 5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A.∑∞=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞=-121)1(n n n 三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 2.设z e z y x =-+2，求y z x z ∂∂∂∂, 3.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(y dx y x dy I4.求二重积分⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xey )(21221的值，其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域5.求微分方程01122=--+dy yx dx 的通解6.试将函数x 3展开成x 的幂级数，并求其收敛域7.计算曲面积分⎰⎰∑+dxdz x 2)1(，:∑半球面2222R z y x =++)0(≥y 的外侧四.解答题（每题7分，共21分）1.设⎪⎭⎫⎝⎛=23x y f x z ，其中f 为可微函数，证明z y z yx z x 32=∂∂+∂∂ 2.在所有对角线为d 的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长 3.设函数)(x ϕ连续可微，且21)0(=ϕ，试求)(x ϕ，使曲线积分[]⎰-+Lxdy x ydx x e)()(ϕϕ与路径无关华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科）考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2vu y v u x -=+=，从而 2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr r d d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1 因此通解为)sin cos (212x C x C e y x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim 1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（）A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x 选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （）A.0B. eC. e 1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--101011)1(e dx e dy xe dx xxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdy ydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nn C. ∑∞=-11)1(n nn D. ∑∞=-121)1(n n n解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分） 1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性解答：11231lim 232lim 21231lim =+=+=+∞→∞→∞→nn n n n n n n ，因此该级数与等比∑∞=121n n 同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yzx z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy eydx e dz zz +++=1211 因此zz e y y z e x z +=∂∂+=∂∂12,11 3.计算二次积分⎰⎰-+=110222)sin(y dx y x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。

高等数学下试题及参考答案

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。

2.设向量(2,1,2)a = ，(4,1,10)b =- ，c b a λ=- ，且a c ⊥，则λ=。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。

4．设yz u x =，则du =。

5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（）A．2x y Ce =B．22xy Ce =C．22y y e Cx=D．2y e Cxy=2．求极限(,)(0,0)24limx y xy xy →-+=（）A．14B．12-C．14-D．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（）A．直线L 平行于平面πB．直线L 在平面π上C．直线L 垂直于平面πD．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则22Dx y d σ+=⎰⎰（）A．33()2b a π-B．332()3b a π-C．334()3b a π-D．333()2b a π-得分得分5．下列级数收敛的是（）A．11(1)(4)n n n ∞=++∑B．2111n nn ∞=++∑C．1121n n ∞=-∑D．311(1)n n n ∞=+∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2.计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y∂∂+∂∂。

华农-11-12年第二学期高等数学下试题及参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。

2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是。

3．设u =，则(1,1,1)u =grad 。

4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。

35．（此题新大纲不做要求，已删除）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是（ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是（ C ）A．n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是（ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce -=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。

华南农业大学高等数学(下)试卷

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008学年第2学期考试科目：高等数学(经济类)考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟一 .填空题（每小题3分，共15分）1.过点(1,2,1M -且与直线2,34,x t y t z t =-+=-=-垂直的平面方程是。

2. 设函数()f u 可微，且(0)0.5f '=，则22(4)z f x y =-在点(1,2)处的全微分是()12dz=，。

3. 交换积分次序12201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰。

4. 二阶微分方程22sin x y y y ex -'''++=的特解形式y *= 。

（本题只要求写出特解形式，不必求解）5. 幂级数11(1)(1)n nn x n ∞-=--∑的收敛区域是。

二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设平面曲线0z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩z 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是（）。

A. z =；B.z =C.z =； D.z =2. 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则在该点处下列结论不一定成立的是（）。

A ．连续； B ．极限存在； C ．偏导数存在； D ．偏导数连续。

3. 极坐标系下的二次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标系下的形式（）。

A ．100(,)dy f x y dx ⎰； B ．1(,)dy f x y dx ⎰；C．1(,)dx f x y dy ⎰； D．1(,)dx f x y dy ⎰.4.设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x 和2()y x ，C 为任意常数，则该方程的通解为（）。

A. []12()()C y x y x -；B. []112()()()y x C y x y x +-；C. []12()()C y x y x +；D. []112()()()y x C y x y x ++. 5.若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散，则（）。