最优化理论与方法 对偶原理

B
根据这个推论，能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问 题的一个最优解。
对偶问题的基本性质
互补松弛性质（见教材）
对于对偶规划，当知道一个问题的最优解 时，根据互补松弛定理求出另一个问题的 最优解。
对偶可行的基本解
考虑线性规划问题
min cx s.t. Ax = b
(4.2.1)
x≥0
定义:设 x(0) 是(4.2.1)式的一个基本解，它对应的基矩阵 为B，记w = cBB-1，若 w 是 (4.2.1)式的对偶问题的可行 解，即对所有j，成立 wp j − c j ≤ 0 ，则称 x(0) 为原问题的 对偶可行的基本解。 对偶可行的基本解
解：设拟生产甲、乙产品各x1,x2 单位， 解：设煤、电、油三种资源的定价分 总收入为z。 别为y1, y2, y3 ，买方总支出为w。
max z = 7 x1 + 12 x2 s.t. 9 x1 + 4 x2 ≤ 360 4 x1 + 5 x2 ≤ 200 3 x1 + 10 x2 ≤ 300 x1 , x2 ≥ 0
x x= B 0
对偶单纯形法的基本思想
求改进的对偶可行的基本解的过程，也就是选择离基变 离基变 进基变量，进行主元消去 主元消去的过程。这与单纯形方法 量和进基变量 进基变量 主元消去 有类似之处。 与前面介绍的单纯形法 区别 单纯形法的区别 单纯形法 区别在于：在单纯形法的迭代 过程中，始终保持右端列(目标函数值除外)非负，即保 持原问题的可行性；而在对偶单纯形法中，要保持所有 的判别数 wp j − c j ≤ 0 (对于极小化问题)，即保持对偶可 保持对偶可 行性。（当然，在每次迭代中不要求右端列各分量均非 行性 负，正因为如此，也就不需要引入人工变量 不需要引入人工变量。） 不需要引入人工变量
对偶问题的表述 – 非对称形式
对称形式 非对称形式
原问题： min cx
s.t. Ax ≥ b x≥0
min cx s.t. Ax = b x≥0
max wb s.t. wA ≤ c
对偶问题
max wb s.t. wA ≤ c w≥0
对偶问题的表述（一般形式）
原问题 对偶问题
max w1b1 + w2b2 + w3b3 s.t. w1 A1 + w2 A2 + w3 A3 ≤ c w1 ≥ 0 w3 ≤ 0 w2 无限制
【例】原问题与对偶问题
某工厂拟生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油 三种资源。有关数据如表所示：
产品资源单耗资源 煤（t） 电（kW·h） 油（t） 单位产品价格（万元） 甲 9 4 3 7 乙 4 5 10 12 资源限量 360 200 300
问题一： 总收入最大的生产方案 问题一：试拟订使总收入最大 生产方案 总收入最大 生产方案。 问题二： 问题二：若厂家不再打算生产甲、乙产品，而是打算将其资源全部卖掉。 厂家要求：其收入不低于生产产品时的收入；买方希望：原料价格 越低越好。试拟定能够保证卖方收入 保证卖方收入且使买方支出最小 定价方案。 支出最小的定价方案 保证卖方收入 支出最小 定价方案
min w = 360 y + 200 y + 300 y 1 2 3 s.t . 9y + 4y + 3y ≥ 7 1 2 3 4 y + 5 y + 10 y ≥ 12 1 2 3 y ,y ,y ≥0 1 2 3
下面将会看到，这两个问题互为对偶问题，其中一个称为原问题， 则另一问题就是它的对偶问题。
第4章 对偶原理
4.1线性规划中的对偶理论 4.2对偶单纯形法
原问题与对偶问题
线性规划中普遍存在着配对的现象，即对 每一个线性规划问题，都存在另一个与之 密切联系的线性规划问题，其中之一称为 原问题，而另一个成为它的对偶问题 对偶问题。 原问题 对偶问题 对偶问题深刻揭示了每对问题中原问题与 对偶问题的内在联系。
(0) (0) (4.1.1) (4.1.2) cx (0) = w(0)b 则 x 和w 分别是 (4.1.1)和 (4.1.2)的最优解。
对偶规划(4.1.1)和(4.1.2)有最优解的充要条件是它们同时有 可行解。 若原问题(4.1.1)的目标函数值在可行域上无下界，则对偶问 题(4.1.2)无可行解；反之，若对偶问题(4.1.2)的目标函数值 在可行域上无上界，则原问题(4.1.1)无可行解。
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题）
max问题 问题
一 一 对 应
个变量, 有m个变量 n个约束条件 个变量 个约束条件 第i个变量 个变量≤0 个变量 个变量≥0 第i个变量 个变量 个变量无非负约束， 第i个变量无非负约束，是自由变量 个变量无非负约束 个约束条件为≤关系 第j个约束条件为 关系 个约束条件为 个约束条件为≥关系 第j个约束条件为 关系 个约束条件为 个约束条件为＝ 第j个约束条件为＝关系 个约束条件为
min cx s.t. A1 x ≥ b1 A2 x = b2 A3 x ≤ b3 x≥0
原问题与对偶问题间的相互转换关系
原问题（或对偶问题） 原问题（或对偶问题）
min问题 问题 个约束条件,n个变量 有m个约束条件 个变量 个约束条件 第i个约束条件为 关系 个约束条件为≤关系 个约束条件为 个约束条件为≥关系 第i个约束条件为 关系 个约束条件为 第i个约束条件为等式关系 个约束条件为等式关系 个变量≥0 第j个变量 个变量 个变量≤0 第j个变量 个变量 个变量无非负约束， 第j个变量无非负约束，是自由变量 个变量无非负约束
对偶问题的基本性质
对偶问题的对偶是原问题。 。
对偶定理（以对称对偶形式叙述）
【定理4.1.1】若 x (0) 和w(0)分别是(4.1.1)和(4.1.2)的可行解， 定理 】 则 cx (0) ≥ w(0) b 。（可得到以下重要推论 推论：） 推论
若 x (0) 和 w(0) 分别是(4.1.1)和(4.1.2)的可行解，且
xB B −1b x= = 称为方程组的一个基本解 称为方程组的一个基本解 xN 0
max wb s.t. wA ≤ c
对偶单纯形法的基本思想
从原问题的一个对偶可行的基本解 对偶可行的基本解出发，求改进的对偶 对偶可行的基本解 改进的对偶 可行的基本解，当得到的对偶可行的基本解是原问题的 可行的基本解 可行解时，就达到最优解。 这里改进的对偶可行的基本解 改进的对偶可行的基本解的含义是： 改进的对偶可行的基本解 根据定义，对每个对偶可行的基本解 都对应一个 对偶问题的可行解w = cBB-1 ，相应的对偶问题的目标函 数值为wb= cBB-1b 。所谓改进的对偶可行的基本解 改进的对偶可行的基本解，是 改进的对偶可行的基本解 指对于原问题的这个基本解，相应的对偶问题的目标函 数值wb有改进。
【例】原问题与对偶问题
问题一： 总收入最大的生 问题一：试拟订使总收入最大 生 总收入最大 产方案。 产方案
资源 煤 电 油 单价
甲 9 4 300
问题二： 保证卖方收入且 问题二：试拟定能够保证卖方收入 保证卖方收入 使买方支出最小 定价方案 支出最小的定价方案 支出最小 定价方案。
对偶问题的表述—对称形式
原问题 对偶问题
max wb s.t. wA ≤ c w≥0
min cx s.t. Ax ≥ b x≥0
其中 A = ( p1 ,..., pn )是 m × n 矩阵， = (b1 ,..., bm )T 是m 维列向 b c x 量， = (c1 ,..., cn ) 是n 维行向量， = ( x1 ,..., xn )T 是由原问题的 w 变量组成的n 维列向量， = ( w1 ,..., wm ) 是由对偶问题的变 量组成的 m维行向量。
min cx s.t. Ax ≥ b （4.1.1） x≥0
max wb s.t. wA ≤ c （4.1.2） w≥0
对偶定理（以对称对偶形式叙述）
【定理4.1.2】设原问题或对偶问题中有一个问题存在最优解， 定理 】 则另一个问题也存在最优解，且两个问题的目标函数值相等。 【推论】若线性规划(4.1.1)存在一个对应基B的最优基本可行解， (4.1.1) B −1 则单纯形乘子w = c B 是对偶问题(4.1.2)的一个最优解。