完整版交流电机坐标变换

这样，矩阵π的n个特?征根由? 下1式给? 出：0 n
解这个方程得到 n个特征根：
若记 则
?k
?
ej
2?
n
k
,
k ? 0,1,2,?
,n ?1
a
?
ej
2? n
?k ? a k
为求与特征根 λk对应的特征向量，将之代入特
征方程，并令 x1 ? 1/ ，n得
? X k ?
11 n
?k
?
2 k
?
? ? n ? 1 T k
这个变换矩阵将使置换矩阵π变成如下的对角矩阵：
?a n?1 0 ? ? 0 an?2 ? D ? F?1πF ? ? ? ? ? ?0 0 ? ?? 0 0 ?
0 0? 0 0? ? ?? a 0? 0 1??
2-2.3 电感矩阵的对角化
? D ? F ?1πF ? π ? FDF ?1
由此可以推导得
π 2 ? {FDF ?1}?{FDF ?1} ? FD 2F ?1
同样地
π 3 ? FD 3F ?1 ，? ，π n?1 ? FD n?1F ?1
这样
L ? F( LA1 ? M ABD ? M ACD2 ? ? ? M ANDn?1)F ?1
变换后的电感矩阵
LT ? F?1LF ? LA1 ? MABD ? MACD2 ? ?
?
M a (n?1)(n?2 AN
? M ANa (n?1)
)
? ? ? ? ?
?
LA ? MAB ? M AC ? ? ? M AN
?
2-2.4 变换矩阵的一般化
若在生成特征向量时，不是令x1=1，而是令其等于 一个模为1的复数，则
? ? Xk ? e j?k 1 ?k ?k2 ?
?n?1 T k
2-2.2 循环矩阵的对角化
n阶置换矩阵π的n个特征根由下面特征方程给出：
或者 因此
πX ? ?X , X ? ?x1 x2 ? ? xn T
x2 ? ?x1 , x3 ? ?x2 ,
??
xn ? ?xn?1 , x1 ? ?xn
x1 ? ?xn ? ?2 xn?1 ? ?
? ?n?1x2 ? ?n x1
?
M
Dn?1
AN
由于D，D2，…，Dn-1是对角矩阵，因此L T 也是一个对角 矩阵：
LT
?
? ? diag?? ?
LA LA
? M ABa n?1 ? ? M ABa n? 2 ?
LA ? MABa
M a 2(n?1) AC
?
?
来自百度文库M a 2(n?2) AC
?
?
?
? M ACa 2 ? ?
? M a (n?1)(n?1) AN
由此得到更加一般化的变换矩阵
?
e j?n?1
e j?n? 2
?
Fg ?
n?1 j?n?1
1 ?? aa ee 2( n?1) j?n?1 n? ?
Li ? Lj , Mi, j ? Mi?1, j?1
这样的矩阵称为循环矩阵。n阶循环矩阵只有n个不同的元素：
? LA M AB M AC ?
L ? ?????MMM?AAAMNB
LA
M AN ?
M AC
M AB
LA ?
M AD
?
?
? ?
M AN ?
M AM
M AL ?
LA
? ? ? ? ?
若n阶循环矩阵又是对称的，则根据n是奇数或偶数，其中只 有(n+1)/2或(n+2)/2个不同的元素。
#最简单的循环矩阵
?0 1 0 0 ? 0? ?0 0 1 0 ? 0? π ? ?? ? ? ? ? ?? ?0 0 0 0 ? 1? ??1 0 0 0 ? 0??
不难证明，循环电感矩阵可以表示成
L ? LA1 ? M ABπ ? M ACπ 2 ? ? ? M ANπ n?1
根据矩阵理论，任何可以对角化矩阵π 的变换T，也可以对 角化循环矩阵L 。矩阵π 称为置换矩阵。
Φc Ic
? ?
???i11
?2 ?
i2 ?
in??n ?
新的磁链φ1、 φ2、…、 φn称为实际磁链φA、 φB、…、 φN的分 量；同样i1、i2、…、in称为实际电流的分量。
利用这个变换，磁链方程变成：
T Φ c ? L ?TI c
所以
Φ c ? T ?1 ?L ?TI c
或者
Φ c ? L c ?I c
按k=n-1,n-2,…,1,0的顺序，将各特征根代入上式就 得到n个特征向量。
n个特征向量构成了如下的变换矩阵：
?1
1?
F?
1
? a n?1 ? a 2( n?1)
a n?2
?
a 2(n?2) ?
n? ?
??
??a (n?1)( n?1) a (n?1)(n? 2) ?
1 1? a 1? a 2 1? ? ?? a n?1 1??
其中
L c ? T ?1 ?L ?T
如果变换T明显使得新的电感矩阵Lc较变换前的电感矩阵L 简单，这个变换才是有意义的。如果Lc变成一个对角矩阵， 那这个变换是最理想的：
??1 ? ?L1 0 ?
Φc
?
???????n2
? ? ??
?
?0
? ??
? 0
L2 ? ?? 0?
0 ??i1 ?
0 ? Ln
????????ii?n2
? ? ??
?
L cIc
2-2: 循环矩阵的对角化
1. 电感矩阵的特点 2. 循环矩阵的对角化 3. 电感矩阵的对角化 4. 变换矩阵的一般化 5. 三阶循环对称电感矩阵的变换
2-2.1 电感矩阵的特点
#由于互感的对等性，电感矩阵是对 称矩阵：
? LA M AB M AC ?
?? A ? ? LA M AB ?
Φ
?
???????NB
? ? ??
?
????MM?NBAA
LB ?
M NB
?
? ?
M AN ??iA ?
M BN ?
LN
????????ii?NB
? ? ??
?
L
?I
假定存在一个非奇异矩阵T，将Φ变换成Φ c，将I 变换成I c：
Φ ? T ?Φ c , I ? T ?Ic ,
第二章 交流电机 的坐标变换
2-1: 变换概述 2-2: 循环矩阵的对角化 2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统 2-4:α、β、0坐标系统 2-5: d、q、0坐标系统 2-6: dc、qc、0坐标系统 2-7: 任意速坐标系统 2-8: 结论
2-1: 变换概述
一个电机系统的磁链方程可以写成：
L ? ?????MMM?AAANCB
LB
M BC ?
M BN
M BC
LC ?
M CN
?
?
? ?
M AN ?
M BN
M CN ?
LN
? ? ? ? ?
由于Mij=Mji, n阶对称矩阵中只有n(n+1)/2各不同 的元素。
#n相对称系统的电感矩阵是循环的
n相对称系统中各相自感相等，相同相对位置的两相 间的互感相等。即：