瞬时速度和导数
合集下载
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
1.1.2瞬时速度与导数
当 Δt非常非常小时，我们把 Δx 称作物
体在时刻t的瞬时速度
Δt
高台跳水
在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度
h 单位 : m 与起跳后的时间 t 单位 : s 存在函数
关系 ht 4.9t 2 6.5t 10. h
O
65 65
t
98 49
问题三: 请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬
程度，而变化率
f x
反映了函数y
f(x )从x1到x 2时的变化快
慢程度；
3.从变化率到瞬时变化率再到导数体现了从整体研究向局部研究的转化.
求导数的步骤
（1）求 y；
（2）求
y ；x
（3）取极限得 f(x)=lim y.
x0 x
学以致用，解决典型问题
例 1.
设 f(x)
＝
问题六： 如果将这三个变化率问题中的函数关系式用f(x) 来表示
，那么函数在 x＝x0处的 怎样表示？
瞬瞬时时变膨加速化胀速度率度
瞬时速度、瞬时膨胀率、瞬 时加速度都属于瞬时变化率
如果研究更一般的问题，对于函数y＝f(x) 在x＝x0处的瞬时变化率如何表示？
lim
y
lim
f (x Δx) f ( x )
同理可得
x0 x 的瞬x时0 变化率分别为 、0和5. 它 3
f (6) 5.说明在第2h附近, 原油温度大约以3
f (3.5) 0./h的速率下降;在第3.5。 hc附近,原油
温度无变化；在第6h附近,原油温度
大约以5 /h。的c 速率上升.
小 结 平均速度
t 0 瞬时速度
容城中学 段飞华
1.1.2 瞬时速度与导数
1 2 解: 火箭的运动方程为 h(t)= 100t - gt , 2 在t附近的平均变化率为 1 1 2 2 [100(t +Δt)- g(t +Δt) ]（ 10× Δt - g(Δt) 1 2 = = 100 - gt - gΔt Δt 2
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
瞬时速度与导数
实验中学数学组 郑德杰
火箭垂直向上发射是变速直线运动。
设火箭运动位移与时间 的关系是s f (t ).
问题一： 火箭在t0、t0 t时刻的位移分别怎么表 示？
时间段t0 , t0 t 内平均速度如何计算？
问题二： 上述平均速度能不能近 似的看做火箭在 t0
时刻的速度？
问题三：用平均速度近似 t0时刻速度时，要想得到 更
记作f ' ( x0 )或y' x x0
则l称为函数f ( x)在点x0的瞬时变化率。
f ( x x) f ( x) 当x 0时， 0 l x
当x 0时，函数平均变化率的 极限等于 函数在x0的瞬时变化率 l，记作 f ( x0 x) f ( x) l x
lim
x 0
导数： 函数在x0的瞬时变化率，通常定 义为f ( x)在x x0处的导数。
精确值，可如何改变时 间间隔t来实现？
设在10米跳台上，运动员跳离 跳台时垂直向上的 速度为6.5m / s.运动员在时刻 t距离水面的高度 1 2 h(t ) 10 gt 6.5t 2 其中g为重力加速度， g 9.8m / s 2 .于是
h(t ) 10 4.9t 6.5t
h(2 t ) h(2) 当t趋近于0时， 趋近于 13.1 t
v(2) 13.1(m / s)
运动方程： h(t ) 10 4.9t 6.5t
2
任务3：先不确定t，计算区间 2,2 t
上的平均速度得到含 t表达式
h(2 t ) h(2) t 2 2 10 4.9(2 t ) 6.5(2 t ) 10 4.9 2 6.5 2 t 4.9t 2 13.1t t
火箭垂直向上发射是变速直线运动。
设火箭运动位移与时间 的关系是s f (t ).
问题一： 火箭在t0、t0 t时刻的位移分别怎么表 示？
时间段t0 , t0 t 内平均速度如何计算？
问题二： 上述平均速度能不能近 似的看做火箭在 t0
时刻的速度？
问题三：用平均速度近似 t0时刻速度时，要想得到 更
记作f ' ( x0 )或y' x x0
则l称为函数f ( x)在点x0的瞬时变化率。
f ( x x) f ( x) 当x 0时， 0 l x
当x 0时，函数平均变化率的 极限等于 函数在x0的瞬时变化率 l，记作 f ( x0 x) f ( x) l x
lim
x 0
导数： 函数在x0的瞬时变化率，通常定 义为f ( x)在x x0处的导数。
精确值，可如何改变时 间间隔t来实现？
设在10米跳台上，运动员跳离 跳台时垂直向上的 速度为6.5m / s.运动员在时刻 t距离水面的高度 1 2 h(t ) 10 gt 6.5t 2 其中g为重力加速度， g 9.8m / s 2 .于是
h(t ) 10 4.9t 6.5t
h(2 t ) h(2) 当t趋近于0时， 趋近于 13.1 t
v(2) 13.1(m / s)
运动方程： h(t ) 10 4.9t 6.5t
2
任务3：先不确定t，计算区间 2,2 t
上的平均速度得到含 t表达式
h(2 t ) h(2) t 2 2 10 4.9(2 t ) 6.5(2 t ) 10 4.9 2 6.5 2 t 4.9t 2 13.1t t
瞬时速度与导数
返回
4．求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数．
解： Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx ＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx ∴y′|x＝1＝liΔx→0 (2＋Δx)＝2. m
返回
1．平均变化率刻画函数在 x1 到 x2 之间变化的快慢 程度． 瞬时变化率刻画函数在某一点附近变化的快慢程度． 2．求瞬时变化率，就是求平均变化率当自变量的“增 量”趋近于 0 时的极限值． 3．求函数的导数分三步： Δy (1)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)计算 ； Δx Δy (3)计算lim . Δx→0 Δx
第 三 章
理解教材新知 3.1 3.1. 2瞬 时速 度与 导数 考点一
导 数 及 其 应 用
把握热点考向
考点二
应用创新演练
返回
3．1.2
瞬时速度与导数
返回
在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队
以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题2：当Δt逐渐变小时，梯队在t0到t0＋Δt之间的平均
返回
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 的瞬时变化率定义为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx
.
返回
4．函数的导数 (1)可导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 导数都存在 ，则称f(x)
在区间(a，b)可导．
(2)导函数定义 若f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值x， 都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个 新的函数 ，把这个 函数 称为函数y＝f(x)的导函数，
3.1.2瞬时速度与导数
Δs 1．求瞬时速度应先求平均速度 v ＝ Δt ，再用公式 v Δs ＝ lim Δt ，求得瞬时速度． Δx→0 2．如果物体的运动方程是 s＝s(t)，那么函数 s＝s(t) 在 t＝t0 处的导数，就是物体在 t＝t0 时的瞬时速度． 3．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变 量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不 是变数.
一、瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 f (t0 t ) f (t0 ) t 当 Δt 趋近于 0 时，趋近于常数 我们把这个常数称为物体在 t0 时刻的瞬时速度
探究二：导数的概念
求函数在某点处的导数
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数．
解法一：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴f′(1)＝ lim Δx＝ lim ＝ lim (2＋Δx)＝2， Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
高中新课程数学选修1-1 第三章 导数及其应用
3.1.2
瞬时速度与导数
探究一：瞬时速度
已知物体作变速直线运动，设物体运 动路程与时间的关系是S=f(t),
问题 1 求从 t0 到 t0＋Δt 这段时间内物体的平均速度。 f (t0 t ) f (t0 ) s v0 t t
问题 2 求物体在 t0 时刻的速度。
【答案】 C
4．一物体运动的方程是 s＝3＋t2，求物体在 t＝2 时的 瞬时速度．
【答案】 4
1 5、求函数 y＝x＋x在 x＝1 处的导数．
3.1.2瞬时速度与导数
1.1.2瞬时速度与导数学习目标：1、掌握函数的瞬时变化率、导数的概念；2、分析瞬时变化率与平均变化率的关系，体会数学的极限思想。
【自主学习】：.瞬时速度：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.另一个角度，瞬时速度是平均速度ts ∆∆，当t ∆趋近于0时的 . （1）设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =附近有改变x ∆时，则函数)(x f y = 相应地有改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（函数的平均变化率）无限趋近于某个常数l ，我们把这个常数l 叫做函数)(x f y = 在0x x →处的瞬时变化率.记作 ________________________________.还可以说，当0x ∆→时，函数平均变化率的极限值等于函数在0x 处瞬时变化率，可记作函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为)(x f 在0x x =处的导数，并记作：_________________还可写作_________________________________2).导函数：称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，记作 .【合作探究】例1.物体作自由落体运动,运动方程为221gt S =，其中位移单位是m ,时间单位是s ,g =10m/s 2.求： 物体在t =2(s)时的瞬时速度.【例2】 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为s m 100，位移与时间的关系式为()221100gt t t h -=，试求小球何时速度为0？【例3】.求y =x 2+2在点x =1处的导数.【达标检测】1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；C ．当时间为t ∆时物体的速度；D ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度.2.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 .3. 2y x =在 x =1处的导数为（ ）A ．2xB ．2C ．2x +∆D ．14. 若0()2f x '=-，则000[2]()lim →--k f x k f x k等于 ______________ . 5.函数b ax y +=的瞬时变化率为______________________。
中间时刻的瞬时速度的计算公式
中间时刻的瞬时速度的计算公式中间时刻的瞬时速度的计算公式中间时刻的瞬时速度是指某一物体在某一时刻的瞬时速度。
瞬时速度是物体在某一时刻的瞬时速度。
计算中间时刻的瞬时速度可以使用以下公式：1.瞬时速度的定义公式：瞬时速度= lim(△t→0)(△s / △t) 其中，lim 表示极限操作，△t表示时间变化的极小量，△s表示位移变化的极小量。
2.几何法计算瞬时速度：瞬时速度 = ds / dt 其中，ds表示位移的微小变化，dt表示时间的微小变化。
3.导数计算瞬时速度：瞬时速度 = dx / dt 其中，dx表示质点位置的微小变化。
举例说明：假设有一辆汽车沿直线行驶，其位移函数为 s(t) = 2t^2 + 3t - 4，其中t表示时间。
1.使用瞬时速度的定义公式来计算中间时刻的瞬时速度：根据定义公式可知，瞬时速度= lim(△t→0) (△s / △t) 我们选择一个具体的时刻，例如t=2，此时位移为 s(2) = 2(2^2)+ 32 - 4 = 10 然后我们再选取一个极小的时间变化△t，例如△t=，计算在 t=2 附近的位移变化△s：△s = s(2 + △t) - s(2) = [2(2 + △t)^2 + 3(2 + △t) - 4] - 10 最后，带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
2.使用几何法计算瞬时速度：几何法的公式是瞬时速度 = ds / dt，我们选择同样的时刻t=2，并计算其相邻的位移微小变化ds和时间微小变化dt。
然后带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
3.使用导数计算瞬时速度：导数计算瞬时速度的公式是瞬时速度 = dx / dt，同样选择时刻t=2，计算质点位置微小变化dx和时间微小变化dt。
然后带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
以上就是中间时刻的瞬时速度的计算公式及其举例解释。
不同的公式可以根据具体情况选择使用，但都能准确计算物体在中间时刻的瞬时速度。
瞬时速度与导数
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 处的导数; 练习：(1)求函数 求函数 处的导数 1 (2)求函数 处的导数. (2)求函数 y = x + 在x=2处的导数. 处的导数 x
(1) 解： ∆y = (1+ ∆x)2 −12 = 2∆x + (∆x)2 ,
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x, ∆x ∆x ∆y ∴ 当 ∆x → 0时， → 2,∴ y ′ | x =1 = 2. ∆x ∆x
例 :已 知 函 数 y = 求 x0的 值.
解 :Q ∆ y =
∴ ∆y = ∆x =
1 x 在 x = x0处 附 近 有 定 义 , 且 y ' |x = x0 = , 2
x0 + ∆x − x0 ,
x0 + ∆x − x0 ( x0 + ∆x − x0 )( x0 + ∆x + x0 ) = ∆x ∆x ( x 0 + ∆ x + x 0 ) 1 . x 0 + ∆x + x 0
∆y (3) 求导数A ∆X →0时， → A ∆x
例1.求y=x2+2在点 在点x=1处的导数 1.求 在点 处的导数 解：∆y = [(1+ ∆x)2 + 2] − (12 + 2) = (∆x)2 + 2∆x
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x ∆x ∆x ∆y ∴当∆x →0时， →2 ∆x 变题. 在点x=a处的导数 变题.求y=x2+2在点 在点 处的导数 ∴y' |x=1= 2
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为s = gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： ： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s m,时间单位是 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
1.1.2瞬时速度与导数
处的导数（derivative）.
3.求导数的步骤 （1）求 y；
y （2）求 x ；
y （3）取极限得 f(2，则
f ( x0 k ) f ( x 0 ) lim _____ . -1 k o 2k
2.
设函数 f(x)可导 ，则 =（B ） A. f (1) C. 不存在
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
(2)当Δt 0, 2 + Δt 2
从而平均速度 v 的极限为
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
2.导数的定义 一般地，函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是
Δf lim = lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx 我们称它为函数 y f x 在x x0 f x0 + Δx - f x 0
__
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度 v=20(m/s).
例题3
还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗？运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时 间t（单位：秒）存在函数关系:
h(t) = -4.9t + 6.5t +10
平均速度反映了物体运动时的快 慢程度,但要精确地描述非匀速直线 运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也即需要通过瞬时速度 来反映.
(201907)高二数学瞬时速度与导数
之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间2 t,2 和区间2,2 t内平均速度v,可间内
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬 时 速 度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
；法宝网:https:// ；
当时正值严冬 石戬就把崔胤的计划告诉孙德昭 ’吾尝以为确论 崔铉召集兵马 奸欺屏绝于多歧 以绝其归望 他梦到自己坐在地上一边听法一边照镜子 怎能立足于天地 出为江陵尹 御史大夫 荆南节度使 就迎上去问道："这里是冥府吧 6.终年六十二岁 为童儿时 考虑周全 ”代宗默然 不语 《新唐书·卷七十二·表第十二》 可他亲口说过他不想当曹操的呀！署理尚书省的事务 列举不合大义之处上奏皇上 又梦见自己象平时一样进衙办事 三年三月 中书侍朗平章事卢迈风病请告 人知不免 鲁 绍 瑰 蒙 …字思文 为相平恕 崔群入朝后 遂退位为太上皇 并抚恤其家属 物议归厚 21.由是知名 乃是能臣 数日后 [17] 这那里是奏章 而五王者 臣奉命草制 只许从小洞里送进食物 继夫人舒州刺史绍之孙 诏令众儒生广泛讨论 涉于六月 擅长谈论 时有司以律"反逆者缘坐兄弟没官"为轻 崔珙不接见 大中三年（849年） 轶事特长编辑彦昭长于经济 拜中书侍
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬 时 速 度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
；法宝网:https:// ；
当时正值严冬 石戬就把崔胤的计划告诉孙德昭 ’吾尝以为确论 崔铉召集兵马 奸欺屏绝于多歧 以绝其归望 他梦到自己坐在地上一边听法一边照镜子 怎能立足于天地 出为江陵尹 御史大夫 荆南节度使 就迎上去问道："这里是冥府吧 6.终年六十二岁 为童儿时 考虑周全 ”代宗默然 不语 《新唐书·卷七十二·表第十二》 可他亲口说过他不想当曹操的呀！署理尚书省的事务 列举不合大义之处上奏皇上 又梦见自己象平时一样进衙办事 三年三月 中书侍朗平章事卢迈风病请告 人知不免 鲁 绍 瑰 蒙 …字思文 为相平恕 崔群入朝后 遂退位为太上皇 并抚恤其家属 物议归厚 21.由是知名 乃是能臣 数日后 [17] 这那里是奏章 而五王者 臣奉命草制 只许从小洞里送进食物 继夫人舒州刺史绍之孙 诏令众儒生广泛讨论 涉于六月 擅长谈论 时有司以律"反逆者缘坐兄弟没官"为轻 崔珙不接见 大中三年（849年） 轶事特长编辑彦昭长于经济 拜中书侍
02瞬时速度与导数
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
t 0
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x 0
lim
y x
s t
t 0
2 g 20 m / s .
例题 2.求函数 y
练习 2.求函数 y 解：∵ △ y
1 1
1
1 x x
在点 x
1 2
1 2
处的导数.
在点 x
2
处的导数.
2△ x 1 2 △ x
△ x
2 2△ x
1
∴
△ y △x
△ x △x
=
2
=
2 1 2 △ x
6
f x
6 x
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 再求 lim 6 6 3 x
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
x 0
t
x 0
t
• 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率 x （3）求极限 f ( x ) lim y
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
t 0
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x 0
lim
y x
s t
t 0
2 g 20 m / s .
例题 2.求函数 y
练习 2.求函数 y 解：∵ △ y
1 1
1
1 x x
在点 x
1 2
1 2
处的导数.
在点 x
2
处的导数.
2△ x 1 2 △ x
△ x
2 2△ x
1
∴
△ y △x
△ x △x
=
2
=
2 1 2 △ x
6
f x
6 x
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 再求 lim 6 6 3 x
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
x 0
t
x 0
t
• 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率 x （3）求极限 f ( x ) lim y
1.1.2瞬时速度与导数
函数的瞬时变化率
设函数 y f ( x) 在 当自变量在
x0附近有定义，
x x0 附近改变 Dx 时，
函数值相应的发生改变
如果当 Dx 趋近于０时， Dy
f ( x0 Dx) f ( x0 ) f ( x0 Dx) f ( x0 ) 平均变化率 Dx
趋近于一个常数 l ， 则数
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就 是物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速 度 v 的极限．即
Ds s ( t Dt ) s ( t ) v lim D t D t 0 Dt
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Df （2）求平均变化率: ； Dx Dx Df lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) D x 0 Dx
例:
高台跳水运动中，
t
秒 ( s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
Dy Dy 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 Dx Dx
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2）Dx 是自变量x在 x0 处的改变量， Dx 0 ，而
Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: Df f ( x0 Dx) f ( x0 ) ；
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
Dh h(1 Dt ) h(1) Dt Dt 4.9(Dt 1) 2 6.5(Dt 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 Dt 4.9Dt 3.3 Dh / lim h 1 D t 0 lim ( 4.9Dt 3.3 ) 3.3 Dt Dt 0 / h / 1 3.3 同理，h (0.5) 1.6
瞬时速度与导数的关系
瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。
首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。
1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。
瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。
2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。
速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。
加速度表示单位时间内速度的变化量。
接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。
3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。
在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。
如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。
当加速度为零时，速度保持不变。
反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。
这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。
综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。
瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。
瞬时速度与导数2.18
所以
当△t→0时，s′=2at， 由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2.
练习题 1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一 小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为 （ D ） A．0.41 B． 3
C． 4
D．4.1
2．设y=f(x)函数可导，则
lim
x 0
f (1 x) f (， A x
例2.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
s (3)当t 0时, 20 m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
s
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于20 m
导数的概念
（a , b ) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义， x0
练习：求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2.
y 所以 =6+△x， x y 令△x→0， x →6
所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.
例5．已知y=ax2+bx+c，求y′及y′|x=2。
解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2，
y =(2 ax + b )+ a △ x ， x
1.1.2瞬时速度与导数
x
x
常数称在x
的瞬时变化率
0
导数定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
当x 0时，f (x0 x) f (x0 ) l
x
通常记作： lim f (x0 Δx) f (x0 ) l
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作 f (x0 )
率（数形结合）
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
3.体会“数形结合”，“逼近思想”“以 直代曲”的数学思想方法。
' x
).
注意：f '(x)(或y')是函数f (x)的导函数，简称导数；
f '(x0)(或y' xx0 )是函数f (x)在点x x0处的导数。
前者是一个函数，后者是一个数值。
例2．火箭竖直向上发射，熄火时向上的
速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火
箭向上的速度为0？
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－12 gt2，
t
2.运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1
体现了什么数学思想？ 逼近思想
新课探 究
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
1.当t 0时
h(t0
t) t
h(t0
)
常数
l
常数称在t0的瞬时速度
2.当x 0时
y f (x0 x) f (x0 ) 常数l
y
A B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
瞬时速度与导数
-13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049
观察 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
时间区间
△t
平均速度
[1.9，2]
－0.1
-12.61
[1.99,2]
－0.01
-13.051
[1.999,2] －0.001 -13.0951
[1.9999,2] －0.0001 -13.09951
x
x
x1 x0
引例
已知物体运动位移和时间关系为 s f t
从t0到t0 t这段时间内函数的平均变化率为
v
f t0 t
t
f t0
s t
即为物体运动的平均速度。
当t 0时，st 常数l
则l叫做物体在t0时刻的瞬时速度
（ 读作“趋近于”）
s
s f t s
t
t
t0 t0 t
问题情境:
h（t
0
t）
h（t
）
0
t
当t趋近于0时，趋于常数 9.8t0 6.5
我们把它称为
t
时刻的瞬时速度
0
瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
所以当t0时，比值
s t
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
观察 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
时间区间
△t
平均速度
[1.9，2]
－0.1
-12.61
[1.99,2]
－0.01
-13.051
[1.999,2] －0.001 -13.0951
[1.9999,2] －0.0001 -13.09951
x
x
x1 x0
引例
已知物体运动位移和时间关系为 s f t
从t0到t0 t这段时间内函数的平均变化率为
v
f t0 t
t
f t0
s t
即为物体运动的平均速度。
当t 0时，st 常数l
则l叫做物体在t0时刻的瞬时速度
（ 读作“趋近于”）
s
s f t s
t
t
t0 t0 t
问题情境:
h（t
0
t）
h（t
）
0
t
当t趋近于0时，趋于常数 9.8t0 6.5
我们把它称为
t
时刻的瞬时速度
0
瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
所以当t0时，比值
s t
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
9.8t0 6.54.9t
当t趋近0时 于，上式右边 9.8趋 t0近 6.5于 这就是说 t0， ，运 在动 时员 刻 的 9.8t0速 6.5） 度 m/s是 以上分析h表 （ t） 明 t在 0到 ， t0 函 t之数 间的平均
h（t0 t）h（t0） t
2.函 数 f(x)在 x=x0处 的 瞬 时 变 化 率 怎 样 表 示 ?
h一 （t0般 t地 ）h， （t0） 对任t0， 一也 时可 刻以计算出 度瞬 ：时速
t [104.（ 9 t0 t）2 6.（ 5 t0 t）][104.9t02 6.5t0]
t 24.9t0 t 4.（ 9 t）2 6.5t
在x=x0处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx0。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
课堂小结
课本82 练习B 1,2
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解 (1 )原 ： l式 im f(x 0 x)f(x 0)lim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 ( x)
x 0
x
f'(x 0);
(2)原 式 limf(x0h)f(x0)[f(x0h)f(x0)]
当 t趋近 0时 于 ，趋于 9.8t0常 6.5数
我们把它称t0时 为刻的瞬时速度
一般地 ,函数y f x在xx0处的瞬时变化率是
limf x0 x f x0,我们称它为函数
x0
x
y f x在xx0处的导数
记 f'x 0 作 或 y '|x x 0 即 lx 0 if m x 0 x x fx 0 .
当 t0.0时 1,v1.314; 9 当 t0.00时 1,v1.310;49 当 t0.00时 0,1 v1.3100; 49
当 t0.000时 0,v11.3100;049
当 t0.000时 0,0 v11.31000; 049
观察当t趋近0时 于,平均速 v有度什么样的变 ? 化
x
练习1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解：y[1(x)22](122)(x)22x
y2x(x)2 2x
x 当x
x0时，y
2
x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
(2)求函数 y x 1 在x=2处的导数. x
h0
2h
1[limf(x0h)f(x0)limf(x0h)f(x0)]
2 h0
h
h0
h
1 2[f'(x0)f'(x0)] f'(x0).
课堂小结
1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具 有相同的数学表达式的一个重要概念，要 从它的几何意义和物理意义了认识这一概 念的实质，学会用事物在全过程中的发展 变化规律来确定它在某一时刻的状态。
瞬时速度与导数
教学目标：
1．了解瞬时 速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的
思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念
教学难点：
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的 内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。
当 t0.00时 0,v11.3 099 ; 51
当 t0.000时 ,0v 11.3 099;951 当 t0.000时 0,v01 1.3 0999 ; 951
t 0时,在2,2t这段时间内
vh22tth224.9t2t 13.1t 4.9 t1.1 3
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作
f '(x)或y'(需指明自变量时记 yx' )作
即 f'(x ) y ' li m y lim f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
例2.求y=x2的导数（即求y=x2的导函数）
解： y (x x )2 x 2 2 x x ( x )2
计算区间2 t,2和区间2,2 t内平均速度v,
可以得到如下表.格
t 0时,在2t,2这段时间内
v
h2h2t 22t
4.9t2 13.1t
t
4.9 t1.1 3
当 t0.0时 1,v1.3 05; 1
当 t0.00时 1 ,v1.3 09;51
例4:设函数f (x)在点x0处可导,求下列各极限值:
( 1 )lif( m x 0 x ) f( x 0 ) ;( 2 ) lif( m x 0 h ) f( x 0 h ) .
x 0 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h 0
2 h
分析:利用函数f (x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
2.要切实掌握求导数的三个步骤： 1）求函数的增量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。
3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) 。
y'|xx0表 示 y关 函于 数x自 在 x0处 变的 量 . 导
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f ’(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
函数平均变化率:
函数值的改变量与自变量的改变量之比
f(x0 x)f(x0) x
函数平均变化率的几何意义
过曲线 y f (x) 上的点 (x0, f (x0)和(x0x,f(x0x)
割线的斜率。
例1设在10米跳台上，运动员跳跳台离时 垂直向上的速6度 .5m为/ s 运动员在时t距刻离水面的高度
为了表述 ,我方们便 li用 mh2th213.1
t0
t
表示 "当t2,t趋势近 0时,于 平均速 v趋 度近于确
定值 13.1".
我们 1 称 .1 是 3h 2 确 t h 定 2 当 t趋 值 0 时 近的 于 .
t
探 究 1.运 动 员 在 某 时 刻 t0的 瞬 时 速 度 怎 样 表 示 ?
我们发,当现 t趋近0于 时,即无t论 从小2于 的一,边
还是从大 2一于边趋近 2时,于 平均速度都趋近
个确定的 1值 3.1. 从物理的 ,时角间度 |间 t看 |无 隔限变 ,平 小均 时
速v度 就无限t趋 2时 近的 于瞬.因 时,此 速 运度 动
员t在 2时的瞬时 1速 .31m度 /s. 是
y2xx(x)2 2xx
x
x
limy lim(2xx)2x
x x0
x0
y' 2x
注： 函数f(x)的导数是 函数
由定义求导数（三步法）
步骤: (1)算增量yf(x0x)f(x0)
(2)算比值 yf(x0x)f(x0);
x
x
(3)求 导 数 A X 0时 ， y A
h（ t） 101g2t6.5t 2
其g中 为重力加 g9速 .8m/度 s2， ， 于是 h（ t） 104.9t26.5t
在高台跳水运,运 动动 中员在不同时度 刻是 的不 速同 我们把物体在某的 一速 时度 刻称 瞬时为速度 .运动员 平均速度不一定他 能在反某映时刻的瞬度时 .那速 么, 如何求运动员的度 瞬呢 时 ?比速如,t 2时的瞬时速 是多少 ? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后,任意 取一个时刻2 t,t是时间的改变量 , 可以是正值,也可以是负值,但不为0. 当t 0时,2 t在2之前; 当t 0时,2 t在2之后.
（3）如果函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内每一点都可 导, 就说函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对 于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的 导数 f (x0) ，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新 的函数，称作f (x)的导函数。 （4）函数f (x)在点x0处的导数f (x0) 就是导函数f (x)
(2 ) y (2 x )1 (2 1 ) x x,
2 x 2 2 (2 x )
x x y 2(2x)1 1 ,
x
x
2(2x)
当 x 0 时 , y x 4 3, y|x 24 3.
例 3:已 知 函 数 yx在 xx0处 附 近 有 定 义 ,且 y'|xx01 2, 求 x0 的 值 .
解 : yx0 xx0,
y
x0x
x0
(
x0x
x0)(x0x
x0)
x
x
x( x0x x0)
1
.
x0x x0
当 x 0 时 , y 1 1, x x0 xx0 2x0
由 y'|xx01 2,得 21x0
1 2,x01.
9.8t0 6.54.9t
当t趋近0时 于，上式右边 9.8趋 t0近 6.5于 这就是说 t0， ，运 在动 时员 刻 的 9.8t0速 6.5） 度 m/s是 以上分析h表 （ t） 明 t在 0到 ， t0 函 t之数 间的平均
h（t0 t）h（t0） t
2.函 数 f(x)在 x=x0处 的 瞬 时 变 化 率 怎 样 表 示 ?
h一 （t0般 t地 ）h， （t0） 对任t0， 一也 时可 刻以计算出 度瞬 ：时速
t [104.（ 9 t0 t）2 6.（ 5 t0 t）][104.9t02 6.5t0]
t 24.9t0 t 4.（ 9 t）2 6.5t
在x=x0处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx0。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
课堂小结
课本82 练习B 1,2
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解 (1 )原 ： l式 im f(x 0 x)f(x 0)lim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 ( x)
x 0
x
f'(x 0);
(2)原 式 limf(x0h)f(x0)[f(x0h)f(x0)]
当 t趋近 0时 于 ，趋于 9.8t0常 6.5数
我们把它称t0时 为刻的瞬时速度
一般地 ,函数y f x在xx0处的瞬时变化率是
limf x0 x f x0,我们称它为函数
x0
x
y f x在xx0处的导数
记 f'x 0 作 或 y '|x x 0 即 lx 0 if m x 0 x x fx 0 .
当 t0.0时 1,v1.314; 9 当 t0.00时 1,v1.310;49 当 t0.00时 0,1 v1.3100; 49
当 t0.000时 0,v11.3100;049
当 t0.000时 0,0 v11.31000; 049
观察当t趋近0时 于,平均速 v有度什么样的变 ? 化
x
练习1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解：y[1(x)22](122)(x)22x
y2x(x)2 2x
x 当x
x0时，y
2
x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
(2)求函数 y x 1 在x=2处的导数. x
h0
2h
1[limf(x0h)f(x0)limf(x0h)f(x0)]
2 h0
h
h0
h
1 2[f'(x0)f'(x0)] f'(x0).
课堂小结
1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具 有相同的数学表达式的一个重要概念，要 从它的几何意义和物理意义了认识这一概 念的实质，学会用事物在全过程中的发展 变化规律来确定它在某一时刻的状态。
瞬时速度与导数
教学目标：
1．了解瞬时 速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的
思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念
教学难点：
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的 内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。
当 t0.00时 0,v11.3 099 ; 51
当 t0.000时 ,0v 11.3 099;951 当 t0.000时 0,v01 1.3 0999 ; 951
t 0时,在2,2t这段时间内
vh22tth224.9t2t 13.1t 4.9 t1.1 3
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作
f '(x)或y'(需指明自变量时记 yx' )作
即 f'(x ) y ' li m y lim f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
例2.求y=x2的导数（即求y=x2的导函数）
解： y (x x )2 x 2 2 x x ( x )2
计算区间2 t,2和区间2,2 t内平均速度v,
可以得到如下表.格
t 0时,在2t,2这段时间内
v
h2h2t 22t
4.9t2 13.1t
t
4.9 t1.1 3
当 t0.0时 1,v1.3 05; 1
当 t0.00时 1 ,v1.3 09;51
例4:设函数f (x)在点x0处可导,求下列各极限值:
( 1 )lif( m x 0 x ) f( x 0 ) ;( 2 ) lif( m x 0 h ) f( x 0 h ) .
x 0 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h 0
2 h
分析:利用函数f (x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
2.要切实掌握求导数的三个步骤： 1）求函数的增量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。
3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) 。
y'|xx0表 示 y关 函于 数x自 在 x0处 变的 量 . 导
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f ’(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
函数平均变化率:
函数值的改变量与自变量的改变量之比
f(x0 x)f(x0) x
函数平均变化率的几何意义
过曲线 y f (x) 上的点 (x0, f (x0)和(x0x,f(x0x)
割线的斜率。
例1设在10米跳台上，运动员跳跳台离时 垂直向上的速6度 .5m为/ s 运动员在时t距刻离水面的高度
为了表述 ,我方们便 li用 mh2th213.1
t0
t
表示 "当t2,t趋势近 0时,于 平均速 v趋 度近于确
定值 13.1".
我们 1 称 .1 是 3h 2 确 t h 定 2 当 t趋 值 0 时 近的 于 .
t
探 究 1.运 动 员 在 某 时 刻 t0的 瞬 时 速 度 怎 样 表 示 ?
我们发,当现 t趋近0于 时,即无t论 从小2于 的一,边
还是从大 2一于边趋近 2时,于 平均速度都趋近
个确定的 1值 3.1. 从物理的 ,时角间度 |间 t看 |无 隔限变 ,平 小均 时
速v度 就无限t趋 2时 近的 于瞬.因 时,此 速 运度 动
员t在 2时的瞬时 1速 .31m度 /s. 是
y2xx(x)2 2xx
x
x
limy lim(2xx)2x
x x0
x0
y' 2x
注： 函数f(x)的导数是 函数
由定义求导数（三步法）
步骤: (1)算增量yf(x0x)f(x0)
(2)算比值 yf(x0x)f(x0);
x
x
(3)求 导 数 A X 0时 ， y A
h（ t） 101g2t6.5t 2
其g中 为重力加 g9速 .8m/度 s2， ， 于是 h（ t） 104.9t26.5t
在高台跳水运,运 动动 中员在不同时度 刻是 的不 速同 我们把物体在某的 一速 时度 刻称 瞬时为速度 .运动员 平均速度不一定他 能在反某映时刻的瞬度时 .那速 么, 如何求运动员的度 瞬呢 时 ?比速如,t 2时的瞬时速 是多少 ? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后,任意 取一个时刻2 t,t是时间的改变量 , 可以是正值,也可以是负值,但不为0. 当t 0时,2 t在2之前; 当t 0时,2 t在2之后.
（3）如果函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内每一点都可 导, 就说函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对 于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的 导数 f (x0) ，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新 的函数，称作f (x)的导函数。 （4）函数f (x)在点x0处的导数f (x0) 就是导函数f (x)
(2 ) y (2 x )1 (2 1 ) x x,
2 x 2 2 (2 x )
x x y 2(2x)1 1 ,
x
x
2(2x)
当 x 0 时 , y x 4 3, y|x 24 3.
例 3:已 知 函 数 yx在 xx0处 附 近 有 定 义 ,且 y'|xx01 2, 求 x0 的 值 .
解 : yx0 xx0,
y
x0x
x0
(
x0x
x0)(x0x
x0)
x
x
x( x0x x0)
1
.
x0x x0
当 x 0 时 , y 1 1, x x0 xx0 2x0
由 y'|xx01 2,得 21x0
1 2,x01.