瞬时速度和导数

新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作
f '(x)或y'(需指明自变量时记 yx' )作
即 f'(x ) y ' li m y lim f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
例2.求y=x2的导数（即求y=x2的导函数）
解： y (x x )2 x 2 2 x x ( x )2
当 t0.00时 0,v11.3 099 ; 51
当 t0.000时 ,0v 11.3 099;951 当 t0.000时 0,v01 1.3 0999 ; 951
t 0时,在2,2t这段时间内
vh22tth224.9t2t 13.1t 4.9 t1.1 3
当 t趋近 0时 于 ，趋于 9.8t0常 6.5数
我们把它称t0时 为刻的瞬时速度
一般地 ,函数y f x在xx0处的瞬时变化率是
limf x0 x f x0,我们称它为函数
x0
x
y f x在xx0处的导数
记 f'x 0 作 或 y '|x x 0 即 lx 0 if m x 0 x x fx 0 .
x
练习1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解：y[1(x)22](122)(x)22x
y2x(x)2 2x
x 当x
x0时，y

2
x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
(2)求函数 y x 1 在x=2处的导数. x
y2xx(x)2 2xx
x
x
limy lim(2xx)2x
x x0
x0
y' 2x
注： 函数f(x)的导数是 函数
由定义求导数（三步法）
步骤: (1)算增量yf(x0x)f(x0)
(2)算比值 yf(x0x)f(x0);
x
x
(3)求 导 数 A X 0时 ， y A
（3）如果函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内每一点都可 导, 就说函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对 于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的 导数 f (x0) ，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新 的函数，称作f (x)的导函数。 （4）函数f (x)在点x0处的导数f (x0) 就是导函数f (x)
当 t0.0时 1,v1.314; 9 当 t0.00时 1,v1.310;49 当 t0.00时 0,1 v1.3100; 49
当 t0.000时 0,v11.3100;049
当 t0.000时 0,0 v11.31000; 049
观察当t趋近0时 于,平均速 v有度什么样的变 ? 化
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解 (1 )原 ： l式 im f(x 0 x)f(x 0)lim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 ( x)
x 0
x
f'(x 0);
(2)原 式 limf(x0h)f(x0)[f(x0h)f(x0)]
y'|xx0表 示 y关 函于 数x自 在 x0处 变的 量 . 导
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f ’(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
百度文库
为了表述 ,我方们便 li用 mh2th213.1
t0
t
表示 "当t2,t趋势近 0时,于 平均速 v趋 度近于确
定值 13.1".
我们 1 称 .1 是 3h 2 确 t h 定 2 当 t趋 值 0 时 近的 于 .
t
探 究 1.运 动 员 在 某 时 刻 t0的 瞬 时 速 度 怎 样 表 示 ?
我们发,当现 t趋近0于 时,即无t论 从小2于 的一,边
还是从大 2一于边趋近 2时,于 平均速度都趋近
个确定的 1值 3.1. 从物理的 ,时角间度 |间 t看 |无 隔限变 ,平 小均 时
速v度 就无限t趋 2时 近的 于瞬.因 时,此 速 运度 动
员t在 2时的瞬时 1速 .31m度 /s. 是
函数平均变化率:
函数值的改变量与自变量的改变量之比
f(x0 x)f(x0) x
函数平均变化率的几何意义
过曲线 y f (x) 上的点 (x0, f (x0)和(x0x,f(x0x)
割线的斜率。
例1设在10米跳台上，运动员跳跳台离时 垂直向上的速6度 .5m为/ s 运动员在时t距刻离水面的高度
(2 ) y (2 x )1 (2 1 ) x x,
2 x 2 2 (2 x )
x x y 2(2x)1 1 ,
x
x
2(2x)
当 x 0 时 , y x 4 3, y|x 24 3.
例 3:已 知 函 数 yx在 xx0处 附 近 有 定 义 ,且 y'|xx01 2, 求 x0 的 值 .
解 : yx0 xx0,
y
x0x
x0
(
x0x
x0)(x0x
x0)
x
x
x( x0x x0)

1
.
x0x x0
当 x 0 时 , y 1 1, x x0 xx0 2x0
由 y'|xx01 2,得 21x0
1 2,x01.
h（ t） 101g2t6.5t 2
其g中 为重力加 g9速 .8m/度 s2， ， 于是 h（ t） 104.9t26.5t
在高台跳水运,运 动动 中员在不同时度 刻是 的不 速同 我们把物体在某的 一速 时度 刻称 瞬时为速度 .运动员 平均速度不一定他 能在反某映时刻的瞬度时 .那速 么, 如何求运动员的度 瞬呢 时 ?比速如,t 2时的瞬时速 是多少 ? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后,任意 取一个时刻2 t,t是时间的改变量 , 可以是正值,也可以是负值,但不为0. 当t 0时,2 t在2之前; 当t 0时,2 t在2之后.
h0
2h
1[limf(x0h)f(x0)limf(x0h)f(x0)]
2 h0
h
h0
h
1 2[f'(x0)f'(x0)] f'(x0).
课堂小结
1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具 有相同的数学表达式的一个重要概念，要 从它的几何意义和物理意义了认识这一概 念的实质，学会用事物在全过程中的发展 变化规律来确定它在某一时刻的状态。
2.函 数 f(x)在 x=x0处 的 瞬 时 变 化 率 怎 样 表 示 ?
h一 （t0般 t地 ）h， （t0） 对任t0， 一也 时可 刻以计算出 度瞬 ：时速
t [104.（ 9 t0 t）2 6.（ 5 t0 t）][104.9t02 6.5t0]
t 24.9t0 t 4.（ 9 t）2 6.5t
2.要切实掌握求导数的三个步骤： 1）求函数的增量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。
3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) 。
t
9.8t0 6.54.9t
当t趋近0时 于，上式右边 9.8趋 t0近 6.5于 这就是说 t0， ，运 在动 时员 刻 的 9.8t0速 6.5） 度 m/s是 以上分析h表 （ t） 明 t在 0到 ， t0 函 t之数 间的平均
h（t0 t）h（t0） t
计算区间2 t,2和区间2,2 t内平均速度v,
可以得到如下表.格
t 0时,在2t,2这段时间内
v
h2h2t 22t
4.9t2 13.1t
t
4.9 t1.1 3
当 t0.0时 1,v1.3 05; 1
当 t0.00时 1 ,v1.3 09;51
瞬时速度与导数
教学目标：
1．了解瞬时 速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的
思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念
教学难点：
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的 内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。
例4:设函数f (x)在点x0处可导,求下列各极限值:
( 1 )lif( m x 0 x ) f( x 0 ) ;( 2 ) lif( m x 0 h ) f( x 0 h ) .
x 0 x
h 0
2 h
分析:利用函数f (x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
在x=x0处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx0。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
课堂小结
课本82 练习B 1,2