椭球面面积的近似计算

椭球面面积的近似计算

专题摘要：利用曲面面积计算公式和函数幂级数展开的麦克劳林公式，给出椭球面表面积的近似计算公式。

我们知道半径为R 的球的表面积为2

4R π，但椭球的表面积如果通过曲面面积计算公式来计算，其积分为第二类椭圆积分，不能通过重积分方法计算出表面积值。下面给出近似计算公式。

设椭球面方程为

a b c c

z b y a x ≤≤=++,122

2222， （1） 由对称性我们只需求出第一卦限部分的表面积再乘8即可。由曲面面积计算公式[40]。

dxdy y

z x z S D

⎰⎰∂∂+∂∂+=2

2)()(

1， （2） 其中}1:),{(2222≤+=b y a x y x D ，22

221b

y a x c z --=。于是

222221b y a x x a c x z ---

=∂∂， 2

22221b

y a x y b c

y z ---=∂∂ 所以

2

2222

4224222222211)()(1b

y

a x y

b c x a c b y a x y z x z --++--=∂∂+∂∂+， 设2

0,10,sin ,cos π

θθθ≤≤≤≤==r rb y ra x ，则上述广义极坐标变换的Jacobi 行列

式为abr J =

2

22222

2

2

221)sin cos (1)()(1r

b a r

c r y z x z -++-=∂∂+∂∂+θ

θ 2

22221)

cos 1()(1r e r b c

r --+-=θ， 其中22

1a

b e -=。从而

θθπabrdrd e b

c

r r S ⎰⎰

--+-=102

2222

]1)cos 1()[(1118， （3）

由于有幂级数展式

]1,1[6

4231421211132-∈-⋅⋅⋅+⋅-+

=+x x x x x ， 所以当x 很小时有

x x 2

1

11+

≈+， （4） 因为,10≤≤e 所以)2

0(1cos 02

π

θθ≤

≤≤≤e ，因此

1]1)cos 1()[(1222≤--≤-θe b

c

r

根据（4）式有

]1)cos 1()[(211]1)cos 1()[(1222222--+≈--+θθe b

c

r e b c r ，（4）

所以

θθπdrd e b

c r r r ab S ]}1)cos 1()[(211{18102

22

22

--+

-≈⎰⎰

⎰⎰⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+-=2

022

10232]1)cos 1()[(21118π

θθd dr e b c r r r r ab

⎰--+=2

22]}1)cos 1()[(311{8π

θθd e b c

ab

⎰--+=2

222]2cos )(61)(61)(3132[8πθθd e b c

e b c b c ab

)]1

1(1231[8222b

a c a

b ++=π。

不难看出，当c b a ==时，π2

4a S =，即为球的表面积。

此方法也适用于求椭圆周长的近似值。