高中数学选修22全套知识点及练习答案解析(良心出品必属精品)
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案
4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析： 按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射 的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上 ，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3
数学选修22课后习题答案
数学选修22课后习题答案数学选修22课后习题答案在学习数学选修22这门课程时，我们经常会遇到各种各样的习题。
这些习题是我们巩固知识、理解概念和培养解决问题能力的重要工具。
然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。
在这篇文章中，我将为大家提供数学选修22课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解数学知识。
第一章：函数的概念与性质1. 1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的关系，通常用符号f(x)表示。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 2. 函数的性质：函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
函数的图像可以是对称的。
3. 3. 函数的图像：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来表示。
在坐标系中，自变量表示横轴，因变量表示纵轴。
4. 4. 函数的极值：函数在某个区间内取得最大值或最小值的点称为极值点。
极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。
第二章：函数的运算与初等函数1. 1. 函数的四则运算：函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
两个函数相加得到的函数称为它们的和函数，两个函数相减得到的函数称为它们的差函数，两个函数相乘得到的函数称为它们的积函数，两个函数相除得到的函数称为它们的商函数。
2. 2. 初等函数：常见的初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学中具有重要的地位，广泛应用于各个领域。
3. 3. 函数的复合：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过将函数的表达式代入另一个函数来求得。
4. 4. 函数的逆运算：函数的逆运算是指将函数的自变量和因变量互换。
如果一个函数存在逆函数，那么它们的复合函数等于自变量。
第三章：导数与微分1. 1. 导数的定义：函数在某个点的导数表示函数在该点的变化率。
导数可以通过求函数的极限来定义。
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16.类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或 相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M 是 P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；
和差的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x) g' (x)
积的导数运算
商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性
f (x) g(x)' f ' (x)g(x) f (x)g' (x)
特别地： Cf x ' Cf 'x
f (x) '
g
(
果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根 处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f (x) 在 a,b上的极值；
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
y
f (x) 在 x
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处的瞬时变化率是
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数学选修2-2知识点总结一、导数y f f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1) 1．函数的平均变化率为x x2x1xx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是ylim f(x0x)f(x0)，那么称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫limxx0x x0做y f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|xx，即f'(x0)=lim y lim f(x0x)f(x0).x0x x0x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景〔1〕切线的斜率；〔2〕瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数y c y'0yx n nN*y'nx n1y a x a0,a1y'a x lnay e x y'e xy log a x a0,a1,x0y'1 xlnay lnx y'1 xy sinx y'cosxy cosx y'sin x第1页共6页6、常见的导数和定积分运算公式:假设f x ，gx 均可导〔可积〕，那么有：和差的导数运算f(x) g(x)''(x)g '(x)f f(x)'f '(x)g(x)f(x)g '(x)g(x)积的导数运算特别地： Cf x ' Cf'xf (x)g(x)''(x)g(x)f(x)g '(x)f2(g(x)0)g(x)商的导数运算特别地：1g'(x)g 'g 2 xx复合函数的导数y xy u u xbxdxf 微积分根本定理a〔其中F' xfx 〕bb b[f 1(x) f 2(x)]dxaf 1(x)dxf 2(x)dx和差的积分运算aabb特别地：kf(x)dxkf(x)dx(k 为常数)aabc dxb 积分的区间可加性f(x)dxf(x) f(x)dx(其中acb)aac用导数求函数单调区间的步骤 : ①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
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数学选修2-2 知识点总结、导数1．函数的平均变化率为y f f (x2) f(x1) f(x1 x) f(x1)x x x2 x1 x注1：其中x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2 ：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念: 函数y f(x) 在x x0 处的瞬时变化率是lim y lim f(x0 x) f ( x0 )，则称函数y f (x)在点x0处可导，并把这个极限x 0 x x 0 x叫做y f(x) 在x0 处的导数，记作f'(x0) 或y'|xx0 ，即f'(x0) = lim ylim f(xx) f(x).x 0 x x 0 x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4 导数的背景( 1 )切线的斜率；( 2 )瞬时速度；5、常见的函数导数6、常见的导数和定积分运算公式:若 f x ，g x 均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数 f '(x)②令 f '(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 f '(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；［注］：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数 f '(x)(3)求方程 f '(x)=0 的根(4)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f /(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求 f (x) 在a,b 上的极值；⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数注1:其中X 是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念：函数y f(X )在XX o 处的瞬时变化率是则称函数y f(x)在点X O 处可导，并把这个极限叫做y f(x)在xo 处的导数，记作3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数函数导函数 (i)y c y' o (2)y x n n Ny' nx ni x⑶ y a a o,a i y' a x In a ⑷y e xy' e(5) y log a x a o,a i,x oy' xlna⑹ y In xy'丄X(7) y sin x y' cosx (8) y cosxy'sin xf(X 2) f(X i )X if(X iX ) f(X i ) Xy |X Xo，y即仏)=啊匚 lim f(Xo X) f(Xo)x oxf(Xj)f '(Xo)或1 •函数的平均变化率为丄x6常见的导数和定积分运算公式若f x , g x均可导(可积)，则有:①求函数f(x)的导数f '(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；［注］:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1) 确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f'(x)(3) 求方程f '(x) =0的根⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查fix)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f (x)在a,b上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为yx fxf(x)f(x)f(x1x)f(x1)21x2x1x注1：其中x是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
y f(x x)lim lim2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是xxx0x0f(x)，'x 则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y f(x)在x0处的导数，记作f(0)或'y|，即()f= x x'x00y f(x x)f(x)00 lim limx x x0x0.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数(1) y c y'0(2) ny x*n N'1ny nx(3) x xy a a0,a1'lny a a(4) x xy e y'e(5) y log a x a0,a1,x0y'1 xln a(6) y ln x y'1 x(7) y sin x y'cos x(8) y cos x y'sin x6、常见的导数和定积分运算公式:若f x，g x均可导（可积），则有：和差的导数运算'''f(x)g(x)f(x)g(x)'''f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地：Cf x'Cf'x'''f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2g(x)g(x)(g(x)0)商的导数运算特别地：1g'(x)'2g x g x复合函数的导数y y ux u x微积分基本定理baf x dx F(a)--F(b) （其中F'x f x）和差的积分运算b b ba[f(x)f(x)]dx a f(x)dx a f(x)dx 1212特别地：b bkf(x)dx k f(x)dx(k为常数)a ab c b积分的区间可加性f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中a c b)a a c.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
数学选修22习题答案
数学选修22习题答案数学选修22习题答案数学选修22是高中数学课程中的一门选修课程，主要内容包括数列、概率与统计以及解析几何等。
本文将为读者提供一些数学选修22习题的答案，帮助读者更好地掌握这门课程的知识。
一、数列1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项。
解：将n分别代入1、2、3、4、5，得到数列的前5项为5、8、11、14、17。
2. 求等差数列{an}的通项公式，已知该数列的首项为3，公差为2。
解：设等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 3 +(n-1)2，化简得到通项公式an = 2n + 1。
二、概率与统计1. 在一次抽奖活动中，有5个一等奖，10个二等奖和15个三等奖。
如果从中随机抽取3个奖品，求至少抽到一等奖的概率。
解：总共有30个奖品，从中抽取3个奖品的组合数为C(30,3) = 4060。
抽到至少一等奖的情况有两种：抽到一等奖的组合数为C(5,1) = 5，其余两个奖品可以从剩下的25个奖品中抽取，组合数为C(25,2) = 300；抽到两个一等奖的组合数为C(5,2) = 10，剩下一个奖品可以从剩下的25个奖品中抽取，组合数为C(25,1) = 25。
因此，至少抽到一等奖的概率为(5*300 + 10*25)/4060 ≈ 0.368。
2. 某班级有40个学生，其中男生25人，女生15人。
从中随机抽取3个学生，求抽到至少一个男生的概率。
解：总共有40个学生，从中抽取3个学生的组合数为C(40,3) = 9880。
抽到至少一个男生的情况有三种：抽到一个男生的组合数为C(25,1) = 25，剩下两个学生可以从剩下的39个学生中抽取，组合数为C(39,2) = 741；抽到两个男生的组合数为C(25,2) = 300，剩下一个学生可以从剩下的39个学生中抽取，组合数为C(39,1) = 39；抽到三个男生的组合数为C(25,3) = 2300。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -=(3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
高中数学选修2_2知识点总结(最全版)
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一、三角函数基本知识
1. 弧度制和角度制的相互转换
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的定义与性质
3. 周期、对称性及图像变换
4. 函数值、解析式和定义域、值域
5. 三角函数间的基本关系
6. 弦割定理和余弦正弦定理
二、三角函数的图像及其相关式子
1. 函数y=sin(x)
三、三角函数的诱导公式
1. 诱导公式的基本概念
2. 诱导公式的归纳证明
3. 应用：求三角函数值
1. 三角函数和差化积公式
3. 正弦和余弦的二倍角公式
6. 万能公式：将任意一个三角函数表达为tan(x/2)的形式
1. 三角函数在一定区间内的值域和零点
2. 基本方程的分类及其解法
3. 一次三角方程及其解法
3. 三角函数的附加恒等式
4. 三角函数的化简或证明
1. 直角三角形的三角函数关系及其应用
2. 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的周长和面积的计算
4. 海伦公式及其应用
五、导数与微分的基本概念
1. 函数的概念及其分类
2. 极限的概念及其基本性质
4. 可导函数的判定方法
5. 常用函数的导数公式
6. 导数与函数图象的关系
六、函数的单调性、最值和曲线的几何特征
1. 函数的单调性和最值
2. 曲线的拐点和点的分类
3. 曲线的凸凹性及其判定方法
4. 图象和函数的简图
七、导数的应用
3. 曲线的渐近线
4. 物理学中的应用：单位变化法
八、反三角函数
3. 反三角函数的图像及其性质。
高中数学选修2-2(人教B版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习题及答案
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解析： 对于①，若
a − b ⩾ 1 ，且 a2 − b 2 = (a + b) (a − b) = 1 ， 又 a > 0, b > 0 ，则 a + b > a − b ⩾ 1,此时 (a + b) (a − b) > 1 ，这与" a2 − b 2 = (a + b) (a − b) = 1 "相矛盾，因 此 a − b < 1 ，①正确； 2 4 对于②，取 a = 2, b = ，此时 a − b = > 1 ，因此②不正确； 3 3 对于③，注意到取 a = 9, b = 4 ，有 √a − √b = 1 ，但此时 |a − b| = 5 > 1 ，因此③ 不正
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务 了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点． 二、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证 法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
1 1 − = 1 ，则 a − b < 1 ； b a ③若 |√a − √b | = 1 ，则 |a − b| < 1 ； ④若 |a3 − b 3 | = 1 ，则 |a − b| < 1 ．
①若 a2 − b 2 = 1 ，则 a − b < 1 ； ②若 其中的真命题有
答案： ①④
（写出所有真命题的编号）．
答案： B
) 个．
C．4 D．5
B．3
2. 用分析法证明：欲使① A > B ，只需② C < D ，这里①是②的 ( A．充分条件 C．充要条件
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数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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高中数学选修2-2知识点总结(最全版)精品课时一：常见函数的性质1、关于指数函数：（1）其指数运算正比关系：若a>b，则ea>eb ;若a<b，则ea<eb。
（2）其图像倾斜向上，且随x的增加而迅速增大；（3）其函数值总是大于零，并且在定义域上无上下限；（4）其图像关于y轴对称；（5）其反函数为对数函数。
3、关于三角函数：（1）其图像周期性质：端点处的六个三角函数的值均为1或-1；（2）特殊点处的三角函数的值有所不同：对于正弦函数，正半周期处值为1，负半周期处值为-1；对于余弦函数，正半周期处值为1，负半周期处值为-1；对于正切函数，而非角度值特殊点处值始终为无穷大。
（3）其图像过曲线处点：正弦函数图像过Π/2处的点；正切函数图像过Π/4、3Π/4处的点；余弦函数图像过0、Π，2Π处点。
课时二：指数与对数之间的转换1、关于转换公式：指数函数和对数函数之间的转换公式∶ea=y⇒y=loga2、关于应用：（1）利用指数函数求解：解决问题的过程中，可运用ea=y，将对数指数函数转化为指数函数，从而进行有关指数的运算、计算和求解；（2）利用对数函数求解：解决问题的过程中，可运用loga=y，将指数函数转化为对数函数，从而进行有关对数的运算、计算和求解。
课时三：指数函数与对数函数的性质1、关于指数函数的性质：（1）其导数为其本身：即，ea的导数为ea；（2）其函数系数正比关系：a的函数系数正比于a的函数值；（3）其函数增长性质：an是an-1的函数值的n倍；（4）其函数在无穷点是存在极小值；（5）其函数反函数是多项式函数；（6）其函数在有穷间隔上，对称轴是y轴。
新课程人教版高中数学选修2_2课后习题解答(全)
第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-； （6）y '=习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<. 令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323n nn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()nni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑， 从而 11lim nban i b adx b a n →∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）409.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..。
(word完整版)高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题,推荐文档
高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义：瞬时速率。
2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()xf x a =, 则()ln x f x a a '= 6. 若()x f x e =,则()x f x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析修选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数 ( ) y f x 在0x x 处的瞬时变化率是0 00( ) ( )limxf x x f xx ，我们称它为函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数，记作0( ) f x 或0| x x y，即0( ) f x =0 00( ) ( )limxf x x f xx 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线nPP 的斜率是 00( ) ( )nnnf x f xkx x，当点nP 趋近于 P 时，函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数就是切线 PT 的斜率k，即0000( ) ( )lim ( )nxnf x f xk f xx x3. 导函数：当 x 变化时， ( ) f x 便是 x 的一个函数，我们称它为 ( ) f x 的导函数. ( ) y f x 的导函数有时也记作y ,即 0( ) ( )( ) limxf x x f xf xx 二二. 导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若 ( ) f x c (c 为常数)，则 ( ) 0 f x ； 2 若 ( ) f x x ,则1( ) f x x ; 3 若 ( ) sin f x x ,则 ( ) cos f x x1/ 34 若 ( ) cos f x x ,则 ( ) sin f x x ;5 若 ( )xf x a ,则 ( ) lnxf x a a6 若 ( )xf x e ,则 ( )xf x e7 若 ( ) log xaf x ,则1( )lnf xx a8 若 ( ) ln f x x ,则1( ) f xx导数的运算法则 1. [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x2. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )]f x f x g x f x g xg x g x复合函数求导 ( ) y f u 和 ( ) u g x ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 ( ( )) y f g x 为一个复合函数( ( )) ( ) y f g x g x 三三. 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递增；(2)如果 ( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( ) y f x 的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧( ) 0 f x ,那么0( ) f x是极大值（2）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧 ( ) 0 f x ,那么0( ) f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数( ) y f x 在 [ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （1）求函数 ( ) y f x 在 ( , )a b 内的...3/ 3。
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选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x kx x -=-，当点n P 趋近于P时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数求函数()在[,]a b上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y f x=在(,)a b内的极值；y f x()=（2）将函数()的各极值与端点处的函数值()f a，()f b比较，其中最y f x=大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
考点三 证明1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法: 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1)复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2)分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则（1）12()()z z a c b d i ±=±+±（2）12()()z z ac bd ad bc i ∙=-++ （3） 12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ 2,几个重要的结论(1) 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ (2) 22||||z z z z ∙== (3)若z 为虚数,则22||z z ≠ 3.运算律(1) m n m n z z z +∙=;(2) ()m n mn z z =;(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ∙=∙∈ 4.关于虚数单位i 的一些固定结论：（1）21i =- （2）3i i =- （3）41i = （2）2340n n n n i i i i ++++++= 练习一组 一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零 [答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0) [答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，故应选D.3．已知函数f(x)＝－x 2＋x ，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9 [答案] D[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f(－0.9)－f(－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f(x)＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 [答案] B[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69. ∴k AB ＝f(1.3)－f(1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，函数f(x)从2到2＋Δx 的平均变化率为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx)2－2·Δx [答案] B[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx) ＝－2Δx－(Δx)2，∴f(2＋Δx )－f(2)2＋Δx－2＝－2－Δx，故应选B.6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx)2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝f(1＋Δx )－f(1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx.故应选C.7．质点运动规律S(t)＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )A ．6.3B ．36.3C ．3.3D ．9.3 [答案] A[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度v ＝S(3.3)－S(3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x ＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x 、②y＝x 2、③y ＝x 3、④y＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx＝0.3时，①y＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s(t)，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt]内的平均速度是( ) A ．v 0 B.Δts(t 0＋Δt )－s(t 0)C.s(t 0＋Δt )－s(t 0)ΔtD.s(t)t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14(Δx )2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx，14(Δx )2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14(Δx＋1)2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx，14(1＋Δx )2[答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝14(Δx＋1)2，故应选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________.[答案] (Δx)2＋6Δx＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x ＝2附近，Δx＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx＝12时的平均变化率为________． [答案]6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx ＝11＋Δx＋1＝6－2.14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB 的斜率是________． [答案] 5 4.1[解析] 当Δx＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5.当Δx＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x ＋1，g(x)＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率． [解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f(5)－f(0)5－0＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 g(5)－g(0)5－0＝－2.16．过曲线f(x)＝2x 2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB ，求出当Δx＝14时割线的斜率．[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝ΔyΔx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx＋2)(1＋Δx )2＝－7225.17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f(1＋Δx )－f(1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f(2＋Δx )－f(2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f(3＋Δx )－f(3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx.对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大．18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯． (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率． [解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为xm ，AB 为身影长度，AB 的长度为ym ，由于CD∥BE，则AB AC ＝BECD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f(x)＝14x. (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f(x 2)－f(x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14.练习二组 一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C[解析] 由定义，f′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81 [答案] B[解析] ∵s(t)＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt ＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt →18，故应选B.3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1 [答案] B[解析] ∵f(x)＝x 2，x ＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2 ∴ΔyΔx ＝2＋Δx 当Δx→0时，ΔyΔx →2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t 2－3(s(t)的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A ．37 B ．38 C ．39 D ．40 [答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt，∴s′(5)＝li m Δt→0 ΔsΔt ＝li m Δt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y ＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)叫做函数值的增量B.Δy Δx ＝f(x 0＋Δx )－f(x 0)Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率C ．f(x)在x 0处的导数记为y′D ．f(x)在x 0处的导数记为f′(x 0) [答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.6．函数f(x)在x ＝x 0处的导数可表示为y′|x＝x 0，即( ) A ．f′(x 0)＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)B ．f′(x 0)＝li m Δx→0[f(x 0＋Δx)－f(x 0)]C ．f′(x 0)＝f(x 0＋Δx )－f(x 0)ΔxD ．f′(x 0)＝li m Δx→0 f(x 0＋Δx )－f(x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( )A ．4aB ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b [答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a(2＋Δx )2＋b(2＋Δx )＋c －4a －2b －cΔx＝4a ＋b ＋aΔx，∴y′|x ＝2＝li m Δx→0 ΔyΔx ＝li m Δx→0 (4a ＋b ＋a·Δx)＝4a ＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线 [答案] D[解析] 当f(x)＝b 时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t [答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt ＝3－Δt ，∴s′(0)＝li m Δt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x ，则li m x→a f(x)－f(a)x －a 等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a 2 D.1a 2[答案] C[解析] li m x→a f(x)－f(a)x －a ＝li m x→a 1x －1a x －a＝li m x→a a －x (x －a)·xa ＝－li m x→a 1ax ＝－1a 2.二、填空题11．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则 li m Δx→0f(x 0－Δx)－f(x 0)Δx ＝________；li m x→x 0 f(x)－f(x 0)2(x 0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] li m Δx→0f(x 0－Δx)－f(x 0)Δx＝－li m Δx→0 f(x 0－Δx)－f(x 0)－Δx ＝－f′(x 0)＝－11；li m x→x 0 f(x)－f(x 0)2(x 0－x)＝－12li m Δx→0 f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx＝－12f′(x 0)＝－112.12．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1＋11 ＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx )2Δx＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx＋1.∴y′|x ＝1＝li m Δx→0 Δx Δx＋1＝0. 13．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f′(2)＝2，则a 等于______． [答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a(2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，∴f′(1)＝li m Δx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x 0)＝li m x→x 0 f(x)－f(x 0)x －x 0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li m x→3 2x －3f(x)x －3的值是________．[答案] 8[解析] li m x→32x －3f(x)x －3＝li m x→3 2x －3f(x)＋3f(3)－3f(3)x －3＝lim x→32x －3f(3)x －3＋li m x→3 3(f(3)－f(x))x －3. 由于f(3)＝2，上式可化为li m x→3 2(x －3)x －3－3li m x→3 f(x)－f(3)x －3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x 2，求f′(x 0)，f′(－1)，f′(2)． [解析] 由导数定义有f′(x 0) ＝li m Δx→0 f(x 0＋Δx )－f(x 0)Δx＝li m Δx→0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx→0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0Δt＋12a(Δt)2∴Δs Δt ＝at 0＋12aΔt， ∴li m Δt→0 Δs Δt ＝li m Δt→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12aΔt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y ＝f(x)＝x 2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)， 求(1)Δy Δx(2)f′(1)．[解析] (1)Δy Δx ＝f(1＋Δx )－f(1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx ＝2＋Δx.(2)f′(1)＝lim Δx→0f(1＋Δx )－f(1)Δx ＝lim Δx→0(2＋Δx)＝2. 18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2(x≥0)－x －x 2(x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝⎩⎪⎨⎪⎧Δx＋(Δx )2(Δx>0)－Δx－(Δx )2(Δx<0)∴lim x→0＋ Δy Δx ＝lim Δx→0＋ (1＋Δx)＝1， lim Δx→0－ ΔyΔx＝lim Δx→0－ (－1－Δx)＝－1， ∵lim Δx→0－ Δy Δx ≠lim Δx→0＋ Δy Δx ，∴Δx→0时，Δy Δx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)练习三组1．如果曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f′(x 0)＞0B ．f′(x 0)＜0C ．f′(x 0)＝0D ．f′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f′(x 0)＝－12＜0.故应选B.2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4C.54π D ．－π4 [答案] B[解析] ∵y′＝li m Δx→0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx＝li m Δx→0 (x ＋12Δx)＝x∴切线的斜率k ＝y′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [答案] D[解析] 易求y′＝2x ，设在点P(x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 [答案] B[解析] y′＝3x 2－6x ，∴y′|x ＝1＝－3. 由点斜式有y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足lim x→0f(1)－f(1－2x)2x ＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 [答案] B[解析] lim x→0 f(1)－f(1－2x)2x ＝lim x→0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y′|x ＝1＝－1，则y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x 0)＝0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交 [答案] B[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B.7．已知曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )A ．3,3B ．3，－1C ．－1,3D ．－1，－1 [答案] B[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,0)或(－1，－4)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,4) [答案] A[解析] ∵f(x)＝x 3＋x －2，设x P ＝x 0，∴Δy＝3x 20·Δx＋3x 0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴Δy Δx ＝3x 20＋1＋3x 0(Δx)＋(Δx)2， ∴f′(x 0)＝3x 20＋1，又k ＝4，∴3x 20＋1＝4，x 20＝1.∴x 0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πD.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π[答案] A[解析] 设P(x 0，y 0)，∵f′(x)＝li m Δx→0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tanα＝3x 20－3≥－ 3. ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π.故应选A.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12] B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义．∵y′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1， ∴－1≤x≤－12.11．已知函数f(x)＝x 2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．[答案] 4x －y －1＝0 [解析] ∵f(x)＝x 2＋3，x 0＝2∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2∴Δy Δx ＝4＋Δx.∴li m Δx→0 Δy Δx＝4.即f′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y －7＝4(x －2)即4x －y －1＝0.12．若函数f(x)＝x －1x ，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f(x)＝x －1x ＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝li m Δx→0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋1xΔx＝li m Δx→0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x(x ＋Δx )＝1＋1x 2.∴切线的斜率k ＝1＋11＝2.∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．13．曲线C 在点P(x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个． [答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P(x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P(x 0，y 0)，则过P(x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值．设切点为P(x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0. 三、解答题15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程．[解析] ∴y′＝lim Δx→0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx－x)Δx＝lim Δx→0－Δx x(x ＋Δx )－Δxx ＋Δx＋x Δx＝lim Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x(x ＋Δx )－1x ＋Δx＋x ＝－1x 2－12x . ∴y′|x ＝4＝－116－14＝－516，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x 3－3x 及y ＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P 作直线l.(1)求使直线l 和y ＝f(x)相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f(x)相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g(x)．[解析] (1)y′＝li m Δx→0 (x ＋Δx)3－3(x ＋Δx)－3x 3＋3xΔx ＝3x 2－3.则过点P 且以P(1，－2)为切点的直线的斜率 k 1＝f′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)又直线l 过点P(1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14.17．求证：函数y ＝x ＋1x 图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析] y′＝li m Δx→0 f(x ＋Δx )－f(x)Δx＝li m Δx→0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝li m Δx→0 x·Δx (x ＋Δx )－Δx(x ＋Δx )·x·Δx＝li m Δx→0(x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x2＜1，∴y＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y′|x ＝1＝li m Δx→0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx ＝3，所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B(b ，b 2＋b －2)， y′|x ＝b ＝li m Δx→0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x－b)，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0.所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.练习三组1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y′＝0 B ．若y ＝5x ，则y′＝5 C ．若y ＝x －1，则y′＝－x －2[答案] D2.曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.3.函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] y′＝[(x ＋1)2]′(x－1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x－1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y′|x ＝1＝4.4.设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a>0)，则f(x)为R 上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案] D[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.5．已知函数f(x)在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x 3，f′(x)＝3x 2，f′(0)＝0，但x ＝0不是f(x)的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.6.函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能 [答案] A[解析] ∵M＝m ，∴y＝f(x)是常数函数 ∴f′(x)＝0，故应选A.7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h)2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2∴V＝13πr 2h ＝π3h(2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V′＝43πRh－πh 2.令V′＝0得h ＝43R.当0<h<43R 时，V′>0；当4R3<h<2R 时，V′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.8.．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1) [答案] C[解析]∑i ＝15(y i＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5，故选C.9．设f(x)是[a ，b]上的连续函数，则f(x)dx －f(t)dt 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零 D ．不能确定 [答案] B[解析] f(x)dx 和f(t)dt 都表示曲线y ＝f(x)与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.10.．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则f(x)dx 等于( )A.34B.45 C.56 D ．不存在 [答案] C[解析] f(x)dx ＝x 2dx ＋(2－x)dx 取F 1(x)＝13x 3，F 2(x)＝2x －12x 2，则F′1(x)＝x 2，F′2(x)＝2－x ∴f(x)dx＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.11.．如图所示，阴影部分的面积为( )A.f(x)dxB.g(x)dxC.[f(x)－g(x)]dxD.[g(x)－f(x)]dx [答案] C[解析] 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.12已知f(x)＝x 3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( ) A ．1个B ．2个C ．多于两个D ．不能确定 [答案] B[解析] ∵f(x)＝x 3，∴f′(x)＝3x 2， 令3x 2＝1，得x ＝±33，即切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，39或⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，－39. 由点斜式可得切线方程为y －39＝x －33或y ＋39＝x ＋33，即y ＝x －239或y ＝x ＋239.故应选B. 13.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 [答案] A[解析] y′＝2x ＋a ，∴y′|x ＝0＝(2x ＋a)|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b)代入切线方程得b ＝1.14.关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论是或然性的[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.15.下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案] B[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.16.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.17.证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A．综合法 B．分析法C．反证法D．以上都不是[答案] A[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.19.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( )A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.20.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”的过程应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．以上都不是 [答案] B[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B. 21.．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．22.i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i [答案] A[解析] i ＋i 2＋i 3＝i －1－i ＝－1.23.．如果复数a ＋bi(a ，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a>0，b<0B ．a>0，b>0C ．a<0，b<0D ．a<0，b>0 [答案] D[解析] 复数z ＝a ＋bi 在复平面内的对应点坐标为(a ，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D. 24.i 是虚数单位，i3＋3i ＝( )A.14－312i B.14＋312i C.12＋36iD.12－36i [答案] B [解析]i 3＋3i ＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)＝3＋3i 12＝14＋312i ，故选B.25.复数z 是实数的充分而不必要条件为( ) A ．|z|＝z B ．z ＝z C ．z 2是实数 D ．z ＋z 是实数[答案] A[解析] 由|z|＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z|＝z ，如z ＝－2，此时|z|≠z，故|z|＝z 是z 为实数的充分不必要条件，故选A.26.．复数i 3(1＋i)2＝( ) A ．2 B ．－2 C ．2i D ．－2i [答案] A[解析] 考查复数代数形式的运算． i 3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.27.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i [答案] A[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i2i ＝－3－4i.。