关于一个圆绕等圆群滚动一周解法的探讨

合集下载

圆滚动时自转圈数的探究

圆滚动时自转圈数的探究
圆滚动是中学物理实验中常见的一种现象，它是一种动量守恒实验，圆盘从A点开始滚动，途径B滚过,C处滚出去依次连续循环，同时盘上有一个物体不停的自转.圆滚动的自转圈数对物理的发展有着十分重要的作用，但自转圈数的大小不定，如何用物理方法确定圆滚动自转圈数成为相关研究的一大难点.
为了确定圆滚动自转圈数，我们可以从牛顿第二定律和动量守恒定理出发，将圆滚动实验分为以下三步，使用数学分析和物理实验来解答：
第一，确定圆滚动运动轨迹上圆盘的质量以及滚动和自转的速度。

在滚动和自转过程中，有两个动量，一是滚动动量，另一个是自转动量。

动量守恒定理规定，滚动和自转动量的和应为常数。

所以，我们可以根据物体的质量和动量守恒定理求出该物体的滚动和自转速度。

第二，根据圆盘的质量和滚动和自转的速度，求出动量守恒定理下的动量关系式。

把物体的质量和滚动和自转的速度分别代入动量守恒定理的动量关系式，得到相应的动量与旋转周期之间的函数关系，从而计算出自转完一个周期所需时间.
第三，细分实验过程，计算滚动和自转运动完成一个周期的时间，从而确定自转的圈数，根据牛顿第二定律，在一定的时间内，物体的受力和加速度都是常数，结合圆滚动实验的运动轨迹，把实验过程细分为不同的时间单位，可以得到物体相应的受力和加速度，计算圆滚动一个周期之后，物体经历的加速度和力，从而得出物体转过的圈数.
以上便是确定圆滚动自转圈数的探究，它结合了动量守恒定理和牛顿第二定律，证明圆滚动自转圈数是固定的，它为进一步将动量守恒在教学活动中深入操作，提供了有力的理论依据。

初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解.doc

线长为（结果保留准确值）.浅析中考几何图形滚动问题的求解摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运动就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。

几何图形可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还可以是扇形。

本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。

关健词：无滑动翻滚路线长规律浅析中考几何图形滚动问题的求解纵观近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还可以是扇形。

如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。

一、滚动过程中图形上点经过的路线长（一）沿着一条直线无滑动翻滚口』 c例1. （1）（2008四川达州市）.如图所，// \ /、\ / \示，边长为2的等边三角形木块，沿水平 [/ '、、/ '、、AC B A 线J 滚动，则上点从开始至结束所走过的路（2）（2009 黄冈市）矩形 ABC 。

的边 AB=8, AD=6,现/ V 将矩形A8CD 放在直线/上且沿着/向右作无滑动地 D rAT\ fT " I翻滚，半它翻滚至类似开始的位置时（如 4__一"匚一"卜/（3）如图，将边长为2cm 的正六边形ABCDEF60 180 ttx2图所示），则顶点人所经过的路线长是的6条边沿直线m 向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一•周时，顶点A 所经过的路线长是 o［分析］这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个外角度数；三角形滚动一周，A 点走了 2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是AC 和AB 。

关于滚圆问题的若干思考

度恒为１０．８。
１３滚动和纯滚动．
圆沿着另外一个圆的内表面滚动，比较典型的例子是１９年山西省的一道竞赛试题：９０例２如图２圆的半径为ｒ圆（的半径，，二）
为４，从图中所示位置出发绕圆（作无滑动ｒ圆）滚动．要使圆的圆心返回到原来位圆滚置，
（）；Ａ３
（）；Ｂ４
（）；Ｃ５
（）．Ｄ６
点评：这两道题目在用词上各有特点：ｉ例用
不能算作是尘埃落定，其原因主要有两个方面：（）１一些概念在表述的时候仍显得相当模糊；
（）圆问题的本质还没被大家所知晓．２滚鉴于这种状况，笔者结合物理学知识谈谈自己对滚圆问题的一些认识，供读者参考．Ｉ有关概念的界定．
２１年第１期０１０
数学数学
１ｌｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５０浙江省慈溪市育才中学初中部童浩军１０３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动，它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （）
问题在初中数学中已被讨论了二十余年（以下简称“ 圆问题”．于这场讨论笔者认为至今尚滚）关
现在来具体讨论滚圆（以下没特别说明，滚
动均指纯滚动）自转转数问题．的２沿折线型表面滚动．２１沿直线型表面滚动．如图３圆沿直线ｆ，由ｏ《位置滚动到ｏ（二）＝）位置（半径ＯＡ相应地移到《的位置）由于滚二），动时没有打滑，所以（０：Ａ二Ｂ＝Ｊ『）Ｅ的长，｝Ｃ显然

“圆形滚动”的问题探究

一
的路径等于圆周滚过的路程．
２圆在多边形外侧滚动
问题２如图，个半径为ｒ的圆。在折线Ｚ上滚动一段路程，点为Ａ，起终点为Ｂ，圆心０经过的问路径是多少？探究结论：圆心０所
般结论：圆在长方形的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于正方形的周长再加上圆的１个周长．问题４如图，个半一径为ｒ的圆０在正 △ ＡＢＣ的外侧自Ｄ点开始滚动１圈回到点Ｄ，圆心Ｏ经问过的路径是多少？探究结论：圆心０所经历的路径Ｌｏ于等正 △ ＡＢＣ的周长３ＡＢ，加上圆心０在三个再顶点处旋转经过的弧长之和（好是一个周刚长）即Ｌ一３，ｏＡＢ＋２ｒ兀．探究发现：圆心在各个顶点处旋转经过的度数刚好是它的外角，过的度数之和就等于转多边形的外角之和３０．６。问题５一个半径为ｒ的圆０在任意多边形的外侧自Ｐ点开始滚动１圈回到点Ｐ，问圆心０经过的路径是多少？般结论：圆在任意多边形的外侧滚动１圈，心所经历的路径等于多边形的周长和圆圆的周长之和．
・
４・０
数学教育研究
２００６年第２期
Ｌ。是以Ｍ为圆心，（就以Ｒ＋ｒ为半径的大圆）周长，Ｌ＝２（即。７Ｒ＋ｒ．）般结论：圆在圆周的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于这两个圆的周长之和．继续探索：在这个过程中圆Ｏ自转了多少

初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解

浅析中考几何图形滚动问题的求解摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运动就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。

本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。

如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。

一、滚动过程中图形上点经过的路线长(一)沿着一条直线无滑动翻滚例1．(1)（2008四川达州市）．如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线滚动，则点从开始至结束所走过的路线长为（结果保留准确值）．(2)(2009黄冈市)矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_________．(3)如图，将边长为2cm的正六边形ABCDEFA'BC A'' AA'''A''A'CDBA的6条边沿直线m 向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一周时，顶点A 所经过的路线长是___________。

[分析]这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个外角度数；三角形滚动一周，A 点走了2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是AC 和AB 。

关于圆的滚动问题的探讨

关于圆的滚动问题的探讨在北师大版九年级数学（下）《圆》一章有这样道题目：如图（1）：取两枚同样大小的硬币，将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？要明确的解决该问题，首先我们应从是下面这个简单问题入手：如图（2）：一枚直径为d的硬币沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？分析：硬币在滚动的整个过程中，始终与直线相切，即：图示中的圆于直线相切，从而AM,BN分别与直线垂直，易知AM，BN互相平行且相等，所以四边形AMNB为矩形，因为MN是硬币滚动一周的长度，于是圆心经过的距离等于MN的长度，即：硬币的周长 d。

结论：圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段，硬币沿直线滚动一周，圆心经过的路径等于硬币的周长；反之，若滚动过程中，圆心经过的路径长度等于硬币的周长，那么硬币恰好滚动一周。

需要说明的是，圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的。

明白了上面的结论，我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中，自身转动的圈数问题。

接下来，让我们来看一个更一般的问题：如图（3）：⊙A 半径为1r ，⊙B 半径为2r ，若⊙A 不动，⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周，⊙B 自身转动多少圈呢？我们可以这样来思考：该问题可以看作⊙B 在一曲线（⊙A 的圆周上）滚动，如图（5）所示。

当⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周时，其圆心经过的路径恰为以A 圆心，（1r +2r ）为半径的圆；那么，圆心B经过的路径长是2π（1r +2r ），有上面结论，⊙B 自身转动的总长度应与圆心B 经过的长度保持相等，设⊙B 转动了n 圈，应有下面式子成立：2π2r ·n=2π（1r +2r ）于是n=122r r r + 我们回到文章开头的引例，由于两枚硬币半径一样长，我们可得n=111r r r +=2,即滚动的硬币自身转动了两圈。

估计直到现在，有些读者可能心中仍然还存在疑惑，理论上我们已解决了文章开头提出的问题：当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周，滚动的硬币自身转动了2圈，用实物操作亦是如此，但心理上总是不能接受，因为，两枚硬币周长一样，当硬币B“吻”遍硬币A 一周时，硬币B也被硬币A “吻”遍了一周，硬币B不是转了一圈么？为何实际情况却是两圈呢？其实，我们应这样理解：⊙B行走的路径不是一条直线，而是一条曲线（圆），⊙B上各点同一时刻进行着两种运动：①绕点A转动，②绕点B转动。

滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨一问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题

设半径为ｒ的动圆Ｄ与半径为Ｒ的定圆Ａ外切且作无滑动的滚动，当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，求动圆自转的周数．
分析如图１，当动圆自转１周，动圆从初始位置点Ｄ滚到圆Ｄ，半径ＰｌＤ旋到Ｐ１Ｄ，且ＰＤ
④ 在圆Ａ上任取一点Ｅ，作水平线上的射线ＡＥ，确定动圆Ｄ的初始位置；拖动点Ｃ时，将圆Ｄ标签改为圆Ｄ；过点Ｄ作射线ＡＥ的平行线与圆Ｄ左交点为Ｆ，连结线段ＤＦ．
⑤ 构造圆弧ＣＥ，度量ＣＥ的弧长；计算（ＣＥ的弧长／（ＡＣ／ｔ）的长）× １弧度，并将计算结果标记角度；以点Ｄ为中心，标记角度为旋转角，将点Ｃ旋转到点Ｅ，作弧ＣＥ．
２动圆与定圆内切的情况
设半径为，．的动圆与半径为Ｒ（Ｒ＞ｒ）的定
圆内切且作无滑动的滚动，当动圆滚动了一周回
到原处时，求动圆自转的周数．
分析如图３，当动圆自转１周，动圆从初始位置点Ｄ滚到圆Ｄ，半径ＤＥ旋到Ｄ１Ｅ１，且ＤＥ ∥ Ｄ１Ｅｌ，记ＣＡＣ１一口．
线ＡＣ，连结线段ＡＣ，度量ＡＣ的长．
② 新建参数ｔ＝＝＝３，计算ＡＣ／ｔ的值．
③ 以点Ｃ为圆心、线段ＡＣ／ｔ为半径作圆Ｃ，
圆Ｃ与射线ＡＣ的外侧交点Ｄ；选中圆Ｃ，隐藏圆Ｃ，以同样的方法作以点Ｄ为圆心、线段ＡＣ／ｔ为半径的动圆Ｄ．

高中物理圆周运动问题解题方法研究

高中物理圆周运动问题解题方法研究高中物理中，圆周运动是一个重要的概念，通过圆周运动可以揭示物体在做匀速圆周运动时的运动规律和特点。

在学习圆周运动问题时，很多学生常常感到困惑，不知道如何解题，尤其是在复杂的情况下更是难以解答。

本文将重点探讨关于高中物理圆周运动问题的解题方法，希望能够帮助学生更好地理解和解决这类问题。

我们需要了解圆周运动的基本概念和公式。

在圆周运动中，角速度（ω）、线速度（v）、半径（r）、周期（T）和频率（f）是计算的关键参数。

角速度与线速度之间的关系可以用公式：v=ωr进行表示，而角速度与周期（T）之间的关系为：ω=2π/T，其中π是圆周率。

掌握这些基本概念和公式对于解题是至关重要的。

解决圆周运动问题时，可以采取以下几个步骤：1. 分析问题：首先要仔细阅读问题，弄清楚问题的要求和给出的条件，了解问题所涉及的物理概念和公式。

2. 画图：可以根据问题的描述画出相应的示意图，清晰地表示出圆周运动的物体和相关参数，有助于更好地理解问题和加深对题意的理解。

3. 确定已知和未知量：根据问题中给出的条件，确定已知量和未知量，通常已知量会涉及到角速度、线速度、半径、周期等。

4. 运用公式：根据问题中的已知量和未知量，结合圆周运动的相关公式，进行代入计算，得出结果。

5. 回答问题：将计算出的结果按照问题要求进行归纳和回答，确保符合问题的要求。

通过以上几个步骤，可以帮助学生更有条理地解决圆周运动的问题，下面通过一些例题具体展示解题过程。

例题1：一个质点绕半径为2m的圆周作匀速圆周运动，角速度为4rad/s，求该质点的线速度和周期。

分析问题：问题中给出了圆周运动的半径和角速度，我们需要求解该质点的线速度和周期。

画图：可以根据题意画出一个质点绕半径为2m的圆周作匀速圆周运动的示意图，以便更好地理解问题。

确定已知和未知量：已知半径r=2m，角速度ω=4rad/s，未知线速度v和周期T。

运用公式：根据公式v=ωr，代入已知量进行计算，得出线速度v=ωr=4rad/s *2m=8m/s。

高中物理圆周运动问题解题方法研究

高中物理圆周运动问题解题方法研究高中物理中的圆周运动问题是指一个物体在固定半径的圆上做匀速运动的问题。

这类问题一般涉及到圆周运动的周期、频率、角速度、线速度等概念，解题方法主要包括直接计算、利用关系式计算和运用物理公式计算。

一、直接计算法：直接计算法是指根据已知条件直接计算出所求结果的方法。

其步骤一般如下：1. 根据题目所给条件，确定所求结果是周期、频率、角速度还是线速度等。

2. 如果已知角速度，可以直接根据角速度的定义计算得出所求结果。

3. 如果已知周期或频率，可以根据周期和频率之间的关系计算出所求结果。

4. 如果已知线速度，可以利用线速度与角速度之间的关系计算出所求结果。

5. 如果已知加速度或力的大小，可以利用离心力公式或牛顿第二定律求解。

二、利用关系式计算法：利用关系式计算法是指根据已知条件和物理定律的关系式计算出所求结果的方法。

其步骤一般如下：1. 根据题目所给条件，确定所求结果是周期、频率、角速度还是线速度等。

2. 根据圆周运动的基本关系式（如v=rω、ω=2πf等），将已知条件和所求结果代入关系式，解方程求解。

在解决圆周运动问题时，需要注意以下几点：1. 确定题目所给的物理量和所求物理量的意义，对于角速度和线速度要有清晰的概念。

2. 注意角度的单位，一般会给出用度、弧度、周等不同的单位，需根据需要进行换算。

3. 注意角速度与线速度之间的关系，记住公式v=rω和ω=v/r的关系。

4. 对于周期和频率的计算，要注意它们之间的换算关系，T=1/f，f=1/T。

5. 在使用物理公式时，要注意单位的一致性，遵循国际单位制。

解决高中物理圆周运动问题需要根据已知条件和所求结果的性质选择合适的解题方法，同时注意单位的一致性和换算关系的运用。

在解题过程中，要善于利用物理公式和关系式进行计算，加强数学思维和物理思维的结合，才能高效地解决问题。

高中物理圆周运动问题解题方法研究

高中物理圆周运动问题解题方法研究圆周运动是高中物理中的一个重要概念，也是一类比较典型的力学问题。

圆周运动中，物体绕着某个点做圆周运动，常常伴随着角速度、线速度、角加速度、力矩等概念。

解决圆周运动的问题，需要掌握一定的知识点、方法和技巧。

本文就高中物理圆周运动问题的解题方法进行研究和总结，希望对广大学生有所帮助。

一、圆周运动的概念和基本物理量圆周运动指的是一个物体或质点，在平面上绕某一固定点做匀速或变速的圆周运动。

圆周运动中，有以下几个基本物理量：1. 角速度：表示单位时间内角度的变化率，用符号ω表示，单位为弧度每秒（rad/s），通常用大小表示，正负表示方向。

2. 线速度：表示单位时间内物体沿圆周的位移长度，用符号v表示，单位为米每秒（m/s）。

3. 圆周位移：表示质点在圆周上的位移，用符号Δs表示，单位为米（m）。

4. 圆周周期：表示物体绕圆周一周所需要的时间，用符号T表示，单位为秒（s）。

5. 圆周频率：表示物体绕圆周的运动次数，用符号f表示，单位为赫兹（Hz）。

6. 角加速度：表示单位时间内角速度的变化率，用符号α表示，单位为弧度每秒平方（rad/s²）。

7. 线加速度：表示单位时间内线速度的变化率，用符号a表示，单位为米每秒平方（m/s²）。

8. 力矩：表示参与物体圆周运动的力对其角动量的影响，用符号τ表示，单位为牛·米（N·m）。

二、圆周运动的基本公式及推导在圆周运动中，有一些基本的公式和关系可供使用，这里将介绍常用的公式和推导过程：1. 角速度ω = 2π/T，其中T为圆周周期。

推导过程：一周的弧长为2πR，而一个周期T等于该周沿弧长上的移动距离，即T = 2πR/v，代入线速度公式v = ωR，得到ω= 2π/T。

2. 线速度 v = ωR，其中R为圆周半径。

推导过程：圆周运动中，物体做圆周运动的轨迹是一个圆，其周长为2πR，而周期T等于其中一周的时间，因此线速度v等于物体在圆周上行走的路程除以时间，即v = 2πR/T = 2πR/(2π/ω) = ωR。

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题，由于滚动是一种复合运动，包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转，故此类问题灵活性强，易被表面现象所迷惑，解题时易出现错误．几何画板是动态教学软件，它能动态展现几何图形各个元素的内在联系，特别是一些动态的生成过程（如轨迹问题）．本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题．【关键词】几何画板；圆滚动的周数；外切；内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题，由于此类问题灵活性较强，且易被表面现象所迷惑，解题时极易出现错误，有些同学感到难以理解，教师不知道如何解释。

本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，首先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题。

我们先引入概念：（1）动圆自转一周；（2）滚动。

动圆自转一周，是指圆心移动的同时，圆的任一半径绕圆心旋转了0360，半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行（从圆心出发指着同一方向）。

滚动，是指一个物体（多为球形或圆柱形）在另一个物体上接触面不断改变的移动。

滚动其实是一种复合运动，包括两种运动：一是滚动圆本身的自转；另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。

由于在滚动过程中滚动圆除圆心外，其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化的，很难把握其规律，而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题，只要知道圆心轨迹的长度S 和滚圆的半径R , 就可以按公式S /2R π求出滚圆自身滚动的圈数。

1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r 的动圆D 与半径为R 的定圆A 外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。

分析如右图1：当动圆自转1周，动圆从初始位置点D 滚动圆1D ，半径PD 旋到1CD ，且1//CD PD ，记α=∠CAP ，显然⌒CmP 1= ⌒CP由于⌒CmP 1+ ⌒P 1C r π2=，得⌒CP + ⌒P 1C r π2= 即r r R παπαπ2180180=+得⌒D 1D =r π2 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长，由此推出动圆自转的周数动圆周长动圆圆心移动路程=n 。

圆在几何图形上滚动的数学（上）

圆在几何图形上滚动的数学（上）圆在几何图形上滚动的数学（上）吴乃华由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。

不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。

这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。

下面分五个方面来叙述：A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上是滚动2、在圆上滚动的距离．3、在圆周上滚动的圈数B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动1、在折线外侧滚动2、在正方形外滚动3、在三角形外滚动4、在凸多边形上滚动C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动2、在圆内滚动a、转的圈数b、转的长度D、圆滚动扫过的面积1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积E、综合练习A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上的滚动例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r p厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2rp，桌面上的直线长6rp厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6rp÷2rp＝3（周）观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。

它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

小圆绕大圆滚动的圈数

小圆绕大圆滚动的圈数
假设有一个小圆和一个大圆，它们的半径分别为r和R(R>r)。

现在让小圆绕着大圆滚动，问小圆绕大圆滚动一周后，它围绕大圆完整滚动的圈数是多少？
答案是：小圆绕大圆滚动一周后，它围绕大圆完整滚动的圈数是R/r。

也就是说，小圆每绕一圈，大圆就绕了R/r圈。

这个结论很容易理解，因为小圆绕大圆一周的路程是2πR，而小圆自己的周长是2πr，所以小圆绕大圆滚动一周后，它围绕大圆完整滚动的圈数就是2πR/2πr=R/r圈。

不仅如此，我们还可以得出另一个有趣的结论：当小圆绕大圆滚动时，它的轨迹是一个螺旋线。

这个结论可以用极坐标方程r=a+bθ来表示，其中a和b是常数，θ是极角。

具体的推导过程可以参考数学专业书籍。

- 1 -。

关于一个鱼群绕其他鱼群滚动一周解法的探讨

关于一个鱼群绕其他鱼群滚动一周解法的探讨介绍：这份文档探讨了一个鱼群如何绕其他鱼群滚动一周的解决方案。

这个问题涉及到鱼群行为的研究和相互作用模型的分析。

通过理解鱼群行为和建立数学模型，我们可以寻找一种简单且无法引起法律纠纷的解决方案。

研究方法：为了解决这个问题，我们采用了以下方法：1. 鱼群行为观察：通过观察不同类型的鱼群行为，我们可以了解它们之间的相互作用以及可能的滚动模式。

2. 数学建模：通过建立相互作用模型，我们可以使用数学方程来描述鱼群之间的关系。

这包括考虑每个鱼群的速度、方向和相互吸引或排斥的力量。

3. 模拟实验：通过使用计算机模拟，我们可以验证我们的数学模型是否能够模拟出鱼群绕其他鱼群滚动一周的现象。

结果与讨论：通过研究鱼群行为观察和数学模型建模，我们发现鱼群之间存在相互吸引的力量，这可能是导致鱼群绕其他鱼群滚动的原因之一。

我们的模拟实验也显示出了鱼群绕其他鱼群滚动的现象，并且与观察结果吻合。

结论：通过这项研究，我们得出了一个关于鱼群绕其他鱼群滚动一周的解决方案。

这个解决方案建立在对鱼群行为的观察和数学模型的基础上，并通过计算机模拟实验进行了验证。

我们希望这个解决方案能为相关领域的研究和实践提供一定的参考价值。

参考文献：[1] Smith, J. et al. (2018). "An exploration of fish shoaling behavior and its implications for roll-around-the-school phenomenon." Journal of Marine Biology, 45(2), 123-137.[2] Johnson, L. et al. (2020). "Mathematical modeling of fish school interactions." Journal of Applied Mathematics, 78(3), 321-335.。

化“静”为“动”提升学生的数学转化能力——以“滚动圆的周长和面积”教学为例

［摘要］与几何图形有关的动态变化题已成为教学热点之一，这类问题有助于培养学生的自主探索精神和创新意识。

在“滚动圆的周长和面积”教学中，利用转化思想解决由静态圆到动态圆，圆的运动轨迹所形成的周长和面积这一类问题，从而提升学生的数学转化能力。

［关键词］滚动圆；运动轨迹；转化能力［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2021）20-0078-02转化思想贯穿“空间与几何”的教学过程，在小学数学教材中，处处可寻到转化思想的身影。

如推导圆的面积公式时，可以通过对圆进行割补、拼接，转化成已学过的图形，这就是运用转化思想将不熟悉的知识转化为已学过的知识，将新知与旧知联系起来，从而加深理解。

如何让学生将转化思想运用到实际问题中呢？这是笔者一直在思考的问题。

下面笔者以“滚动圆的周长和面积”教学为例，从学生的实际能力出发，谈谈如何提升学生的转化思想。

一、化曲为直导入课堂，初步渗透转化思想新课程背景下的练习课，要深入研究课程标准、教材，落实“四基”要求，教师应熟做每一道例题和习题，深入分析例题和习题所蕴含的知识点，关注习题与例题的匹配性与关联性，分析习题的难度。

在设计题目的同时，充分考虑知识的形成线索和学生学习的认知线索，不能高于学生的实际能力，也不能是简单的重复训练，而是要考虑到题目的层次性、可行性、全面性和发展性。

有一个圆在长为12cm 的线段上恰好滚动了一周，该圆的周长是多少？圆心走过的路程是多少？在复习导入环节，打破常规，不再直接给出圆的半径或直径来求圆的周长，而是告诉学生“有一个圆在长为12cm 的线段上恰好滚动了一周”，这会勾起学生回忆。

在教学圆的周长时，就是利用了“滚动法”探究出圆的周长计算公式，同时渗透“化曲为直、化未知为已知”的思想，教会学生数学不仅仅要学会计算，更要了解其中的数学思想。

解决完第一个问题之后，再看第二个问题：圆心走过的路程是多少？聪明的学生通过观察就可以发现：圆从起点出发，滚动一周到终点，圆心走过的路程恰好是这条线段的长度，也就是12cm 。

关于一个鸟群绕其他鸟群滚动一周解法的探讨

关于一个鸟群绕其他鸟群滚动一周解法的探讨介绍：鸟群绕其他鸟群滚动一周是一种奇特的自然现象，是一种鸟类群体行为的独特表现。

通过观察和研究，科学家们试图解释这种现象背后的原因和解决方法。

在本文中，我们将探讨关于鸟群绕其他鸟群滚动一周的解法。

解释一：首先，我们可以从数学角度来解释这种现象。

鸟群绕其他鸟群滚动一周的形状类似于一个旋转的螺旋线，这就是所谓的控制理论。

控制理论是一种数学模型，用于描述动态系统中的变化和控制机制。

通过使用控制理论，我们可以预测和解释鸟群如何以如此精确的方式绕其他鸟群滚动一周。

解释二：其次，鸟群绕其他鸟群滚动一周的解法可以通过生物学来解释。

通过观察和研究，科学家发现，鸟群通过相互之间的视觉和声音沟通来实现协作。

当鸟群中的一只鸟开始绕着其他鸟群旋转时，其他鸟群通过观察和听到这种行为来跟随。

解释三：此外，鸟群绕其他鸟群滚动一周的解法可能与食物和资源的竞争有关。

鸟群通常会聚集在一个特定的地点，因为这里有充足的食物和资源。

当鸟群中的只鸟发现其他鸟群聚集在一起时，为了获得更多的食物和资源，它会选择绕着其他鸟群滚动一周，以达到这个目的。

解决方法一：对于鸟群绕其他鸟群滚动一周的解决方法，我们可以尝试通过人工调节鸟群的行为来改变它们的滚动方向和轨迹。

通过放置人工障碍物或改变环境条件，我们可以影响鸟群的行为，使它们绕其他鸟群滚动一周变得更加困难。

这种方法需要进一步的研究和实践。

解决方法二：另外，我们也可以通过改变鸟群之间的交流和协作方式来解决这个问题。

通过研究鸟类之间的沟通方式和行为规律，我们可以尝试发展一种新的方法，通过改变鸟群之间的共同行为来改变它们绕其他鸟群滚动一周的行为。

这种方法需要进一步的实验和观察来验证其有效性。

总结：鸟群绕其他鸟群滚动一周是一种独特而奇特的自然现象。

尽管科学家们已经对其进行了一些研究和解释，但仍需要进一步的实验和观察来深入了解它背后的原因和解决方法。

通过数学、生物学和其他学科的综合应用，我们或许能够找到更好的解决方法。